【名校名师】--第09章答案

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微积分课后题答案第九章习题详解

第9章习题9-11．判定下列级数的收敛性：(1) 115n n a ∞=⋅∑（a ＞0）； (2) ∑∞=-+1)1(n n n ;(3) ∑∞=+131n n ; (4) ∑∞=-+12)1(2n nn ; (5) ∑∞=+11ln n n n ; (6) ∑∞=-12)1(n n;(7) ∑∞=+11n nn ; (8) 0(1)21n n n n ∞=-⋅+∑．解：（1）该级数为等比级数，公比为1a ,且0a >,故当1||1a<,即1a >时，级数收敛，当1||1a≥即01a <≤时，级数发散. （2）Q n S =+++L1=lim n n S →∞=∞∴1n ∞=∑发散.（3）113n n ∞=+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11n n ∞=∑发散，故原级数113n n ∞=+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)222n n nn n n n ∞∞-==⎛⎫+--=+ ⎪⎝⎭∑∑ 而1112n n ∞-=∑,1(1)2m nn ∞=-∑是公比分别为12的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质知111(1)22n n n n ∞-=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑收敛，即原级数收敛. （5）Q lnln ln(1)1nn n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞=-∞,所以级数1ln1n nn ∞=+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==-∴ lim n n S →∞不存在，从而级数1(1)2nn ∞=-∑发散.（7）Q 1lim lim10n n n n U n→∞→∞+==≠∴ 级数11n n n ∞=+∑发散. （8）Q (1)(1)1, lim 21212n n n n n n U n n →∞--==++∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1(1)21n n nn ∞=-+∑发散.2．判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和：(1) ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+13121n n n ； (2) ※∑∞=++1)2)(1(1n n n n ;(3) ∑∞=⋅12sin n n n π; (4) 0πcos 2n n ∞=∑．解：Q （1）1111, 23n n n n ∞∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则11123n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛，且其和为1+12=32. （2）Q11121(1)(2)212n n n n n n ⎛⎫=-+ ⎪++++⎝⎭∴121112111211121122322342345212n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 11112212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭1lim 4n n S →∞=故级数收敛，且其和为14. （3）πsin 2n U n n =,而πsinππ2lim lim 0π222n n n U n→∞→∞=⋅=≠，故级数1πsin2n n n ∞=⋅∑发散. （4）πcos 2n n U =,而4lim limcos2π1k k k U k →∞→∞==,42lim limcos(21)π1k k k U k +→∞→∞=+=-故lim n n U →∞不存在，所以级数πcos2n n ∞=∑发散. 3※．设1nn U∞=∑ (U n ＞0)加括号后收敛，证明1nn U∞=∑亦收敛．证：设1(0)nn n UU ∞=>∑加括号后级数1n n A ∞=∑收敛，其和为S .考虑原级数1n n U ∞=∑的部分和1n k k S U ∞==∑，并注意到0(1,2,)k U k >=L ，故存在0n ,使11n n k t k t S U A s ∞===<<∑∑又显然1n n S S +<对一切n 成立，于是，{}n S 是单调递增且有上界的数列，因此，极限lim nn S →∞存在，即原级数1nn U∞=∑亦收敛.习题9-21．判定下列正项级数的收敛性：(1) ∑∞=++1n n n )2)(1(1; (2) ∑∞=+1n n n1;(3) ∑∞=++1n n n n )2(2; (4) ∑∞=+1n n n )5(12；(5) 111nn a ∞=+∑ (a ＞0); (6) ∑∞=+1n n ba 1(a , b ＞0); (7)()∑∞=--+1n a n a n22(a ＞0); (8) ∑∞=-+1n n n 1214； (9) ∑∞=⋅1n nn n 23； (10) ※∑∞=1n n n n !; (11) ∑∞=+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅1n n n )13(1074)12(753ΛΛ; (12) ∑∞=1n n n3；(13) ※∑∞=1n n n 22)!(2； (14) ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+1n nn n 12;(15)∑∞=1πn nn3sin2; (16) ∑∞=1πn n n n 2cos 32．解：（1）因为211(1)(2)n n n <++而211n n ∞=∑收敛，由比较判别法知级数11(1)(2)n n n ∞=++∑收敛.（2）因为lim lim10n n n U →∞→∞==≠，故原级数发散. （3）因为21(1)(1)1n n n n n n n +>=+++，而111n n ∞=+∑发散，由比较判别法知，级数12(1)n n n n ∞=++∑发散. （4）321n<=,而1n ∞=是收敛的p -级数3(1)2p =>,由比较判别法知,级数1n ∞=收敛.（5）因为111lim lim lim(1)111n n n nn n n na a a a a →∞→∞→∞+==-++11112001a a a >⎧⎪⎪==⎨⎪<<⎪⎩而当1a >时，11n n a ∞=∑收敛，故111nn a ∞=+∑收敛; 当1a =时，11n n a ∞=∑= 11n ∞=∑发散，故111nn a∞=+∑发散; 当01a <<时1lim101n n a →∞=≠+，故1lim1nn a →∞+发散; 综上所述，当01a <≤时，级数1lim 1n n a →∞+发散，当1a >时，1lim 1nn a →∞+收敛. （6）因为1lim lim lim(1)1n n n n n n n n b a a b a b a b b→∞→∞→∞+==-++ 1111101b b a b >⎧⎪⎪==⎨+⎪<<⎪⎩ 而当1b >时, 11n n b ∞=∑收敛，故11nn a b ∞=+∑收敛; 当1b =时，1111n n n b ∞∞===∑∑发散，故而由0a >, 101a <<+∞+,故11nn a b ∞=+∑也发散; 当01b <<时，11lim 0n n a b a →∞=≠+故11n n a b ∞=+∑发散; 综上所述知，当01b <≤时，级数11n n a b ∞=+∑发散;当b >1时，级数11nn a b∞=+∑收敛. （7）因为n n n→∞=0n a ==>而11n n ∞=∑发散，故级数10)n a ∞=>∑发散. （8）因为434431121lim lim 1212n n n n n n n n →∞→∞++-==-而311n n ∞=∑收敛，故级数21121n n n ∞=+-∑收敛.（9）因为1113233lim lim lim 1(1)232(1)2n n n n n n n n nU n n U n n +++→∞→∞→∞⋅⋅==>+⋅+由达朗贝尔比值判别法知，级数132nnn n ∞=⋅∑发散. （10）因为11(1)!1lim lim lim(1)1(1)!n n n n n n n nU n n e U n n n ++→∞→∞→∞+=⋅=+=>+，由达朗贝尔比值判别法知，级数1!nn n n ∞=∑发散.（11）因为1357(21)(23)4710(31)limlim 4710(31)(34)357(21)n n n nU n n n U n n n +→∞→∞⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+L L L L232lim1343n n n →∞+==<+,由达朗贝尔比值判别法知原级数收敛.（12）因为111311lim lim lim 1333n n n n n n nU n n U n n ++→∞→∞→∞++=⋅==<，由达朗贝尔比值判别法知，级数13n n n∞=∑收敛. （13）因为22221221(1)[(1)!]2(1)lim lim lim (!)22n n n n n n n nU n n U n +++→∞→∞→∞++=⋅= 由2212121(1)2(1)1lim lim lim 222ln 22ln 2x x x x x x x x x +++→∞→+∞→+∞+++==⋅⋅2121lim 022(ln 2)x x +→+∞==⋅知2121(1)lim lim 012n n n n n U n U ++→∞→∞+==<由达朗贝尔比值判别法知，级数221(!)2n n n ∞=∑收敛.（14）因为1lim 1212n n n n →∞==<+，由柯西根值判别法知级数121nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑收敛.（15）因为ππ2sinsin 33lim lim 1π2π33n n nn n n n n→∞→∞==⋅而112233nn n n n ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑是收敛的等比级数，它的每项乘以常数π后新得级数12π3n n n ∞=⋅∑仍收敛，由比较判别法的极限形式知，级数1π2sin3n n n ∞=∑收敛. （16）因为2πcos 322n nn n n ≤而与（12）题类似地可证级数12n n n ∞=∑收敛，由比较判别法知级数1πcos 32nn n n ∞=∑收敛.2．试在(0，+∞)内讨论x 在什么区间取值时，下列级数收敛：(1) ∑∞=1n n n x ; (2) nn x n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛123．解：（1）因为11lim lim lim 11n n n n n n nU x n nxx U n x n ++→∞→∞→∞=⋅==++由达朗贝尔比值判别法知，当1x >时，原级数发散; 当01x <<时，原级数收敛; 而当1x =时，原级数变为调11n n ∞=∑，它是发散的. 综上所述，当01x <<时，级数1nn x n ∞=∑收敛.（2）因为1313(1)2limlim 22n n n n n nx n U xU x n ++→∞→∞⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭==⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭,由达朗贝尔比值判别法知，当12x >即2x >时，原级数发散;当012x<<即02x <<时，原级收敛. 而当12x =即 2x =时，原级数变为31n n ∞=∑，而由3lim n n →∞=+∞知31n n ∞=∑发散，综上所述，当02x <<时，级数31()2nn x n ∞=∑收敛.习题9-31．判定下列级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛：(1) ∑∞=--1121)1(n nn ; (2) 11(1)2(1)2n n nn ∞-=-+-⋅∑; (3) ∑∞=12sin n n nx ; (４) 111π(1)sin πn n n n ∞+=-∑; (5) ∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-11210121n n n ； (6) ∑∞=+-1)1(n n x n ;(7) ∑∞=⋅1!)2sin(n n n x ．解：（1）这是一个交错级数121n U n =-, 1lim lim 021n n n U n →∞→∞==-, 1112121n n U U n n +=>=-+ 由莱布尼茨判别法知11(1)21nn n ∞=--∑. 又1111(1)2121n n n n n ∞∞==-=--∑∑，由1121lim 12n n n→∞-=,及11n n ∞=∑发散，知级数1121n n ∞=-∑发散，所以级数11(1)21nn n ∞=--∑条件收敛.（2）因为2111(1)211(1)22(1)2n n n n n ----+-=+-⋅-⋅,故11111(1)21111(1)22(1)22(1)2n n n n n n n n n ------+--=+≤+-⋅-⋅-⋅ 1113222n n n-=+=而112n n ∞=∑收敛，故132n n ∞=∑亦收敛，由比较判别法知11(1)2(1)2n n nn ∞-=-+-⋅∑收敛，所以级数11(1)2(1)2n n nn ∞-=-+-⋅∑绝对收敛. （3）因为22sin 1,nx n n ≤而级数211n n∞=∑收敛，由比较判别法知21sin n nxn ∞=∑收敛，因此，级数21sin n nxn ∞=∑绝对收敛. （4）因为121ππ|(1)sin |sin πlimlim 11πn n n n n n n n+→∞→∞-==而211n n∞=∑收敛，由比较判别法的极限形式知，级数111π|(1)sin |πn n n n ∞+=-∑收敛，从而级数11π(1)sin πn n n+-绝对收敛. （5）因为212121111111210210210n n n n n n ----≤+=+,而级数112nn ∞=∑收敛的等比级数1()2q =;由比值判别法，易知级数211110n n ∞-=∑收敛，因而21111210n n n ∞-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛，由比较判别法知级数21111210n n n ∞-=-∑收敛，所以原级数21111210n n n ∞-=-∑绝对收敛. （6）当x 为负整数时，级数显然无意义；当x 不为负整数时，此交错级数满足莱布尼茨判别法的条件，故它是收敛的，但因11n x n ∞=+∑发散，故原级数当x 不为负整数时仅为条件收敛.（7）因为sin(2)1!!n x n n ⋅≤由比值判别法知11!n n ∞=∑收敛(Q 1(1)!lim 01!n n n →∞+=)，从而由比较判别法知1sin(2)!n n x n ∞=⋅∑收敛，所以级数1sin(2)!n n x n ∞=⋅∑，绝对收敛.2．讨论级数∑∞=--111)1(n pn n 的收敛性(p ＞0)．解：当1p >时，由于11111(1)n p p n n n n ∞∞-==-=∑∑收敛，故级数111(1)n p n n ∞-=-∑绝对收敛. 当01p <≤时，由于111,(1)n n p pu u n n +=>=+ lim 0n n u →∞=,由莱布尼茨判别法知交错级数111(1)n p n n ∞-=-∑收敛，然而，当01p <≤时，11111(1)n p p n n n n ∞∞-==-=∑∑发散，故此时，级数111(1)n p n n∞-=-∑条件收敛. 综上所述，当01p <≤时，原级数条件收敛;当p >1时，原级数绝对收敛.3※．设级数∑∞=12n na及∑∞=12n nb都收敛，证明级数∑∞=1n nn ba 及()∑∞=+12n n nb a也都收敛．证：因为2222||||110||222n n n n n n a b a b a b +≤≤=+ 而由已知1nn a ∞=∑及21n n b ∞=∑都收敛，故221111,22n n n n a b ∞∞==∑∑收敛，从而2211122n n n a b ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛，由正项级数的比较判别法知1n nn a b∞=∑也收敛，从而级数1n nn a b∞=∑绝对收敛.又由222()2,n n n n n n a b a a b b +=++及2211,n n n n a b ∞∞==∑∑,以及1n n n a b ∞=∑收敛，利用数项级数的基本性质知，221(2)nn n n n aa b b ∞=++∑收剑，亦即21()n n n a b ∞=+∑收敛.习题9-41．指出下列幂级数的收敛区间：(1) ∑∞=0!n n n x (0!=1)； (2) ∑∞=0!n nn x nn ；(3) ∑∞=⋅022n n n n x ； (4) ∑∞=++-01212)1(n n n n x ．(5) ∑∞=⋅+02)2(n n n n x ； (6) ∑∞=-0)1(2n n nx n．解：（1）因为111(1)!limlim lim 011!n n n n na n p a n n +→∞→∞→∞+====+，所以收敛半径r =+∞，幂级数1!nn x n ∞=∑的收敛区间为(,)-∞+∞. （2）因为-111lim lim lim 1e 11n nn n n n n a n p a n n +→∞→∞→∞⎛⎫===-= ⎪++⎝⎭，所以收敛半径1e r p==. 当x =e 时，级数01!!e n n n n n n n n x n n ∞∞===∑∑，此时11(1)n n n u e u n+=+，因为1(1)nn +是单调递增数列，且1(1)nn+<e 所以1n nu u +>1,从而lim 0n n u →∞≠，于是级数当x =e 时，原级数发散.类似地，可证当x =-e 时，原级数也发散(可证lim ||0n n u →∞≠),综上所述，级数0!nnn n x n∞=∑的收敛区间为(-e,e).（3）因为2111limlim ()212n n n n a n p a n +→∞→∞===+,所以收敛半径为r =2. 当2x =时，级数221012n n n n x n n∞∞===⋅∑∑是收敛的p 一级数（p =2>1）;当x =-2时，级数22011(1)2n nn n n x n n ∞∞===-⋅⋅∑∑是交错级数，它满足莱布尼茨判别法的条件，故它收敛.综上所述，级数202nn n x n∞=⋅∑的收敛区间为[-2,2].（4）此级数缺少偶次幂的项，不能直接运用定理2求收敛半径，改用达朗贝尔比值判别法求收敛区间.令21(1)21n nn x u n +=-+，则22121lim lim 23n n n nu n x x u n +→∞→∞+=⋅=+.当21x <时，即||1x <时，原级数绝对收敛.当21x >时，即||1x >时，级数0||n n u ∞=∑发散，从而210(1)21n nn x n +∞=-+∑发散，当1x =时，级数变为01(1)21nn n ∞=-+∑;当1x =-时，级数变为11(1)21n n n ∞+=-+∑;它们都是交错级数，且满足莱布尼茨判别法的条件，故它们都收敛.综上所述，级数21(1)21n nn x n +∞=-+∑的收敛区间为[-1,1].（5）此级数为（x +2）的幂级数. 因为11limlim 2(1)2n n n n a n p a n +→∞→∞===+. 所以收敛半径12r p==，即|2|2x +<时，也即40x -<<时级数绝对收敛.当|2|2x +>即4x <-或0x >时，原级数发散.当4x =-时，级数变为1(1)nn n ∞=-∑是收敛的交错级数，当x =0时，级数变为调和级数11n n ∞=∑,它是发散的.综上所述，原级数的收敛区间为[-4,0).（6）此级数（x -1）的幂级数12limlim 21n n n n a np a n +→∞→∞===+ 故收敛半径12r =. 于是当1|1|2x -<即1322x <<时，原级数绝对收敛.当1|1|2x ->即12x <或32x >时，原级数发散.当32x =时，原级数变为01n n ∞=∑是调和级数，发散.当12x =时，原级数变为11(1)n n n ∞=-∑，是收敛的交错级数.综上所述，原级数的收敛区间为13,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 2．求下列幂级数的和函数：(1) ∑∞=-1)1(n n nn x ； (2) ∑∞=-1122n n nx ；(3) nn x n n ∑∞=+1)1(1； (4) ∑∞=+0)12(n n x n ．解：（1）可求得所给幂级数的收敛半径r =1.设1()(1)n nn x S x n ∞==-∑,则1111()(1)(1)1n n n n n n x S x x n x ∞∞-=='⎡⎤'=-=-=-⎢⎥+⎣⎦∑∑ ∴001()()d d ln(1) (||1)1x x S x S x x x x x x-'===-+<+⎰⎰又当x =1时，原级数收敛，且()S x 在x =1处连续.∴1(1)ln(1) (11)nnn x x x n ∞=-=-+-<≤∑ （2）所给级数的收敛半经r =1，设211()2n n S x nx∞-==∑,当||1x <时，有2121011()d 2d 2d xx xn n n n S x x nxx nx x ∞∞--====∑∑⎰⎰⎰22211nn x xx∞===-∑ 于是22222()1(1)x xs x x x '⎛⎫== ⎪--⎝⎭ 又当1x =±时，原级数发散. 故2122122 (||1)(1)n n xnx x x ∞-==<-∑（3）可求所给级数的收敛半径为1.令1111()(0)(1)(1)n n n n x x s x x n n x n n +∞∞====≠++∑∑ 令11()(1)n n x g x n n +∞==+∑,则111()1n n g x x x ∞-=''==-∑01()d ()(0)d 1xxg x x g x g x x''''=-=-⎰⎰(0)0,()ln(1)g g x x ''==--()d ()(0)ln(1)d ,(0)0xxg x x g x g x x g '=-=--=⎰⎰所以0()ln(1)d ln(1)ln(1)xg x x x x x x x =--=+---⎰;所以1()11ln(1),||1,S x x x x ⎛⎫=+--<⎪⎝⎭且0x ≠. 当1x ±时，级数为11(1)n n n ∞=+∑和11(1)(1)nn n n ∞=-+∑,它们都收敛.且显然有(0)0S =.故111ln(1)(1,0)(0,1)()00,1x x S x x x x ⎧⎛⎫+--∈-⋃⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=±⎩. （4）可求得所给级数的收敛半径为r =1且1x ±时，级数发散，设1()n n S x nx∞-==∑,则1()d .1xn n s x x x x∞===-∑⎰于是211()()1(1)S x x x '==--,即1211(1)n n nx x ∞-==-∑. 所以111(21)2nn n n n n n xx nxx ∞∞∞-===+=+∑∑∑221112(1)1(1)xx x x x +=⋅+=--- (||1)x <3．求下列级数的和：(1) ∑∞=125n n n ； (2) ∑∞=-12)12(1n nn ； (3) ∑∞=--112212n n n ； (4) 1(1)2nn n n ∞=+∑．解：（1）考察幂级数21nn n x∞=∑，可求得其收敛半径1r = ，且当1x ±时，级数的通项2nn u n x =，2lim ||lim n n n u n →∞→∞==+∞，因而lim 0n n u →∞≠，故当1x ±时，级数21n n n x ∞=∑发散，故幂级数21nn n x∞=∑的收敛区间为（-1，1）.设21() (||1)nn S x n xx ∞==<∑，则211()n n S x x n x ∞-==∑令2111()n n S x n x∞-==∑,则11011()d xnn n n S x x nx x nx ∞∞-====∑∑⎰.再令121()n n S x nx∞-==∑,则201()d 1xn n xS x x x x∞===-∑⎰. 故221()(||1)1(1)x S x x x x '⎛⎫==< ⎪--⎝⎭，从而有120()d (1)x x S x x x =-⎰. 1231() (||1)(1)(1)x xS x x x x '⎛⎫+==< ⎪--⎝⎭于是 213()() (||1)(1)x x S x xS x x x +==<- 取15x =，则223111()11555()5532115n n n S ∞=+===⎛⎫- ⎪⎝⎭∑. （2）考察幂级数21121n n x n ∞=-∑，可求得收敛半径r =1，设 2211111() (||1)2121nn n n S x x x x x n n ∞∞-====<--∑∑令21111()21n n S x x n ∞-==-∑,则221211()1n n S x x x ∞-='==-∑. 1200d 11()d ln1-21xxx xS x x x x+'==-⎰⎰即 1111()(0)ln (,(0)0)21xS x S s x+-==-. 于是 111()ln ,(||<1)21xS x x x+=-，从而11()()ln (||1)21x xS x xS x x x+==<-取x =则11(21)21n n S n ∞===-∑=（3）考察幂级数211(21)n n n x∞-=-∑，可求得其级数半经为r =1,因为212121111(21)2n n n n n n n xnxx ∞∞∞---===-=-∑∑∑令2111()2n n S x nx∞-==∑，则22121()d 1xnn x S x x xx ∞===-∑⎰.所以212222() (||1)1(1)x xS x x x x '⎛⎫==< ⎪--⎝⎭,于是212121111(21)2n n n n n n n xnxx ∞∞∞---===-=-∑∑∑3222222 (||1)(1)1(1)x x x x x x x x +=-=<--- 取12x =，得 3212111()121102212291()2n n n S ∞-=+-⎛⎫=== ⎪⎛⎫⎝⎭-⎪⎝⎭∑.（4）考察幂级数1(1)nn n n x∞=+∑，可求得其收敛半径r =1.设1()(1) (||1)nn S x n n xx ∞==+<∑则12111()d xn n n n S x x nxxnx∞∞+-====∑∑⎰.又设111()n n S x nx∞-==∑则101()d 1xn n x S x x x x∞===-∑⎰. 从而121()1(1)x S x x x '⎛⎫== ⎪--⎝⎭, 2212()d ()(1)xx S x x x S x x ==-⎰2232() ||1(1)(1)x x S x x x x '⎛⎫==< ⎪--⎝⎭ 取12x =，则 31121(1)2822112nn n n S ∞=⨯+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭∑习题9-51．将下列函数展开成x 的幂级数： (1) 2cos2x ; (2) 2sin x ； (3) 2x x -e ; (4) 211x -； (5)πcos()4x -．解：（1）2201cos 11cos (1)2222(2)!nn n x x x n ∞=+==+-∑ 211(1)(-)2(2)!nnn x x n ∞==+-∞<<+∞∑ （2）2101sin (1) ()2(21)!2n n n x x x n +∞=⎛⎫=--∞<<+∞ ⎪+⎝⎭∑（3）22210011e()(1) ()!!x nn n n n x x x x x n n ∞∞-+===-=--∞<+∞∑∑（4）211111211x x x ⎡⎤=+⎢⎥--+⎣⎦0002011(1)221[(1)]2 ||1n n nn n n n nn n n x x x x x x ∞∞==∞=∞==+-=+-=<∑∑∑∑（5）πππcos cos cos sin sin 444x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭2210(cos sin )2(1) ()2(2)!(21)!n n n n x x x xx n n +∞==+⎡⎤=-+-∞<<+∞⎢⎥+⎣⎦∑ 2．将下列函数在指定点处展开成幂级数，并求其收敛区间：(1)x -31,在x 0＝１； (2) cos x,在x 0=3π; (3) 3412++x x ,在x 0=1; (4) 21x, 在x 0＝３．解：（1）因为11113212x x =⋅---,而0111 (||112212nn x x x ∞=--⎛⎫=< ⎪-⎝⎭-∑即13x -<<). 所以100111(1) (13)3222nnn n n x x x x ∞∞+==--⎛⎫=⋅=-<< ⎪-⎝⎭∑∑.收敛区间为：（-1，3）. （2）πππ2π2cos cos ()cos cos()sin sin()333333x x x x ⎡⎤=+-=---⎢⎥⎣⎦22100()()133(1)(1)2(2)!(21)!n n n n n n x x n n ππ+∞∞==--=-+-+∑221011(1)())2(2)!33nn n n x x n ππ∞+=⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦∑ ()x -∞<<+∞ 收敛区间为(,)-∞+∞. （3）211111111()1143213481124x x x x x x =-=⋅-⋅--++++++ 001111(1)(1)4284n nn n n n x x ∞∞==--⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑223011(1)(1)22n n n n n x ∞++=⎛⎫=--- ⎪⎝⎭∑由112x -<且114x -<得13x -<<，故收敛区间为（-1，3）（4）因为011113(1)()333313n nn x x x ∞=-=⋅=-⋅-+∑ 1(3)(1)3nnn n x ∞+=-=-∑ 而21011(3)(1)3n n n n x x x ∞+=''⎡⎤-⎛⎫=-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑111(1)(3)3n n n n n x ∞-+=-=-⋅-∑1111(1)(3)3n n n n n x +∞-+=-=-∑ 2(1)(1)(3)3n nn n n x ∞+=-+=-∑ 由313x -<得06x <<. 故收敛区间为（0，6）.。

数学分析第09章答案

第九章再论实数系§1 实数连续性的等价描述1．求数列}{n x 的上、下确界（若}{n x 无上（下）确界，则称)(-∞∞+是}{n x 的上（下）确界）：（1）nx n 11-=；（2）])2(2[n n n x -+=；（3）)3,2,1(11,122 =+==+k k x k x k k ；（4）nn x n n 1])1(1[+-+=；（5）nn n nx )1(21-+=；（6）32cos 11πn n n x n +-=．解（1）0}inf{,1}sup{==n n x x ；（2）-∞=+∞=}inf{,}sup{n n x x ；（3）1}inf{,}sup{=+∞=n n x x ；（4）0}inf{,3}sup{==n n x x ；（5）1}inf{,5}sup{==n n x x ；（6）21}inf {,1}sup{-==n n x x ． 2．设)(x f 在D 上定义，求证： (1) )}({inf )}({sup x f x f Dx Dx ∈∈-=-；(2) )}({sup )}({inf x f x f Dx Dx ∈∈-=-．证明 (1)设a x f =)}(inf{，则D x ∈∀，都有a x f ≥)(，因而a x f -≤-)(，又由于0>∀ε，都D x ∈∃ε，使得εε+<a x f )(，因而εε-->-a x f )(，因此)}({inf )}({sup x f x f Dx Dx ∈∈-=-.(2) 设b x f Dx =∈)}({sup ，则D x ∈∀有b x f ≤)(，从而b x f -≥-)(，又由于,0>∀ε都D x ∈∃ε，使得εε->b x f )(，从而εε+-<-b x f )(，因此)}({sup )}({inf x f x f Dx Dx ∈∈-=-.3．设E sup =β，且E ∉β，试证自E 中可选取数列}{n x 且n x 互不相同，使β=∞→n n x lim ；又若E ∈β，则情形如何？证明由已知条件知E sup =β且E ∉β，因而(1) E x ∈∀，有β<x ；(2) 0>∀ε，都存在E x ∈ε，使得εβε->x ．由(1)、(2)知：对1=ε，存在E x ∈1，使得ββ<<-11x ；对},21min{1x -=βε，E x ∈∃2，使得ββ<<-221x 并且112)(x x x =-->ββ；对},31min{2x -=βε，E x ∈∃3，使得ββ<<-231x 并且223)(x x x =-->ββ；…如此继续下去，得数列}{n x 且n x 互不相同，并且β=∞→n n x lim ．若E ∈β，则结论不真，如⎭⎬⎫⎩⎨⎧=n E 1，则1s u p =E ，但没有n x 互不相同的数列}{n x ，使1lim =∞→n n x ．4．试证收敛数列必有上确界和下确界，趋于∞+的数列必有下确界，趋于∞-的数列必有上确界．证明 (1) 由于收敛数列是非空有界数列，且既有上界又有下界，因而有确界定理知其必有上确界和下确界；(2) 设+∞=∞→n n x lim ，则N ∃，当N n >时0>n x ，因而}0,,,,min{21N x x x 是数列}{n x 的下界，由确界原理知数列}{n x 存在下确界；(3) 设-∞=∞→n n x lim ，则N ∃，当N n >时0<n x ，因而}0,,,,max{21N x x x 是数列}{n x 的上界，由确界定理知数列}{n x 存在上确界．5．试分别举出满足下列条件的数列：（1）有上确界无下确界的数列；（2）含有上确界但不含有下确界的数列；（3）既含有上确界又含有下确界的数列；（4）既不含有上确界又不含有下确界的数列，其中上、下确界都有限．解（1）有上确界无下确界的数列，如}{}{n x n -=有上确界1}sup{-=n x ，但无下确界；（2）含有上确界但不含有下确界的数列，如取⎭⎬⎫⎩⎨⎧=n x n 1}{，则该数列含有它的上确界1}sup{=n x ，但下确界0}inf{=n x ，该数列不含有0；（3）既含有上确界又含有下确界的数列，如⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+=n x n n )1(1}{，既含有上确界1，又含有下确界0；（4）既不含有上确界又不含有下确界的数列，其中上、下确界都有限，如⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=-∈+==++.,213;,121Z k k n nZ k k n n x n则数列}{n x 有上确界3和下确界0，该数列}{n x 上含其上、下确界3和0．§2 实数闭区间的紧致性1．利用有限覆盖定理9.2证明紧致性定理9.4．证明设数列}{n x 有界，即存在R b a ∈,，使得对N n ∈∀，都有b x a n ≤≤．下证}{n x 有收敛子列．（1）若}{n x 存在子列}{k n x 是常数列，则}{k n x 是}{n x 的收敛子列．（2）若}{n x 不存在是常数列的子列，下证}{n x 有收敛子列，为此设}|{N n x X n ∈=，则X 是无限点集．反设}{n x 没有收敛的子数列，则],[b a x ∈∀都不是}{n x 的任一子数列的极限，因此对],[b a x ∈∀，都存在开区间),(x x x v u I =，使得x I x ∈且X I x 是有限集（否则对包含x的任一开区间),(x x v u 都有X 的无穷项，则x 是}{n x 的某一子列的极限），因此所有开区间x I 构成闭区间],[b a 的一个开覆盖Ω，由有限覆盖定理知存在有限数m ，使i x mi I b a 1],[=⊂ ，因而有)()()()()(],[3211X I X I X I X I X I X b a m i x x x x x mi =⊂=，注意到上式右端每一项都是有限集，故X b a ],[为有限集，矛盾!综合（1）（2）知}{n x 必有一收敛的子数列． 2．利用紧致性定理证明单调有界数列必有极限．证明设数列}{n x 单调递增且有上界，则}{n x 是有界数列，由紧致性定理知数列}{n x 必有收敛子数列}{k n x ，设c x k n k =∞→lim ，则由}{n x 单调递增知c 必为数列}{n x 的上界，且根据数列极限的定义知,,0K ∃>∀ε当K k >时，有ε<-c x k n ，即εε+<<-c x c k n ，特别地 ε->+c x K n 1，取1+=k n N ，则当1+=>k n N n 时，由数列}{n x 单调递增且c 为它的上界知εε+<≤≤<-+c c x x c n n K 1，即ε<-c x n ，从而c x n n =∞→lim ，即单调递增有上界数列必有极限．同理可证}{n x 单调递减有下界时必有极限，因而单调有界原理成立．3．用区间套定理证明单调有界数列必有极限．证明不妨假设数列}{n x 单调递增有上界（}{n x 单调递减有下界可同理证明)，即存在R b ∈，使得b x x x a n ≤≤≤≤≤= 21，下证数列}{n x 有极限．若b a =，则}{n x 为常驻列，故}{n x 收敛，因而以下假设b a <．取b b a a ==11,，二等分区间],[11b a ，分点为211b a +，若211b a +仍为}{n x 的上界，则令2,11212b a b a a +==；若211b a +不是}{n x 的上界，即存在m ，使211b a x m +>，则令12112,2b b b a a =+=. 二等分区间],[22b a ，分点为222b a +，若222b a +为}{n x 的上界，则令2,22323b a b a a +==；若222b a +不是}{n x 的上界，则令 .,223223b b b a a =+=依此类推得一闭区间套{}],[n n b a ，每一个区间的右端点都是}{n x 的上界，由闭区间套定理知存在唯一的R c ∈，使得c 属于所有闭区间，下证数列}{n x 的极限为c ．由于02lim)(lim 1=-=--∞→∞→n n n n n ab a b ，故根据数列极限的定义，0>∀ε，存在N ，当N n >时，都有2ε<-n n a b ，而],[n n b a c ∈，故),(],[εε+-⊂c c b a n n . （*）另一方面，由闭区间套的构造知K ∃，使得n K n b x a ≤≤，故对K n >∀，由于K n x x >，故n n K n b x x a ≤≤≤. 而由（*）知εε+<<-c x c n ，即ε<-c x n ，从而c x n n =∞→lim ，因而单调有界数列必有极限.4．试分析区间套定理的条件：若将闭区间列改为开区间列，结果怎样？若将条件⊃⊃],[],[2211b a b a 去掉或将条件0→-n n a b 去掉，结果怎样？试举例说明．分析（1）若将闭区间列改为开区间列，结果不真．如开区间列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛n 1,0满足001lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→n n 且 ⊃⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊃⊃⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊃⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊃⎥⎦⎤⎢⎣⎡n 1,031,021,011,0，但不存在r ，使r 属于所有区间．（2）若将定理其它条件不变，去掉条件 ⊃⊃],[],[2211b a b a ，则定理仍不成立，如⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n n n 1,是闭区间列，且0→-n n a b ，但显然不存在r ，使r 属于所有区间．（3）若去掉定理条件0→-n n a b ，则定理仍不成立，如闭区间序列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-n n 13,11满足 ⊃⊃],[],[2211b a b a ，此时区间]3,1[内任意一点都属于闭区间序列的任何区间，与唯一性矛盾．5．若}{n x 无界，且非无穷大量，则必存在两个子列∞→k n x ,a x k m →（a 为有限数）．证明由于}{n x 无界，故N k ∈∀，都存在k n x ，使得k x k n >，因而∞=∞→k n k x lim ．又由于}{n x 不是无穷大量，根据无穷大量否定的正面陈述知0M ∃，对0>∀K ，存在K m k >，使得0||M x k m <. 从而对于0>∀K ，数列}{k m x 为有界数列，从而必有收敛子列}{k m x ．故结论成立．6．有界数列}{n x 若不收敛，则必存在两个子列b x a x k k m n →→,)(b a ≠．证明由于}{n x 为有界数列，由紧致性定理知数列}{n x 必有收敛的子列}{k n x ，不妨设)(∞→→k a x k n ，又因为数列}{n x 不收敛于a ，故从}{n x 中去掉}{k n x 后所得的项还有无穷多项(否则数列}{n x 就收敛于a )．记其为数列}{k n x ，又因为}{k n x 为有界数列，故有收敛子列，设此子列的极限为b ，则b a ≠，而此子列也是}{n x 的子列，故设其为}{k m x ，因而)(lim b a b x k m k ≠=∞→.7．求证：数列}{n a 有界的充要条件是，}{n a 的任何子数列}{k n a 都有收敛的子数列．证明必要性：由紧致性定理知结论成立．充分性：反设数列}{n a 无界．若}{n a 是无穷大量，则}{n a 的任何子列都不存在收敛的子列，矛盾；若}{n a 不是无穷大量，则由第5题知}{n a 有一子列}{k n a 是无穷大量，从而}{k n a 没有收敛的子数列，也矛盾．因而数列}{n a 有界．8．设)(x f 在],[b a 上定义，且在每一点处函数的极限存在，求证：)(x f 在],[b a 上有界．证明对],[b a t ∈∀，由于)(x f 在t 处的极限存在，故设A x f tx =→)(lim ，则对01>=ε，存在0>t δ，x ∀，当t t x δ<-<||0时，有1)(=<-εA x f ，从而1||)(+<A x f ，取{}1||),(max +=A t f M ，则),(t t t t x δδ--∈∀，都有M x f <)(，即)(x f 在区间),(t t t t δδ--上有界．对所有],[b a t ∈，在1=ε下所取的t δ为半径的开区间{}],[|),(b a t t t t t ∈+-δδ构成闭区间],[b a 上的一个开覆盖，由有限覆盖定理知，存在],[,,,21b a t t t n ∈ ，使得),(],[1i i t i t i ni t t b a δδ+-⊂= ，而)(x f 在每个区间),(i i t i t i t t δδ+-),,2,1(n i =上有界，又由于区间个数有限，故)(x f在],[b a 上有界．9．设)(x f 在],[b a 无界，求证：存在],[b a c ∈，对任意0>δ，函数)(x f 在],[),(b a c c δδ+-上无界．证明反设结论不真，即],[b a c ∈∀，0>∃c δ，函数)(x f 在],[),(b a c c c c δδ+-上有界，则对所有的c ，{}],[|),(b a c c c c c ∈+-δδ构成区间],[b a 的一个开覆盖，由有限覆盖定理知其有有限子覆盖，即],[,,,21b a c c c n ∈∃ ，使),(],[1i i c i c i ni c c b a δδ+-⊂= ，由于函数在每一个],[),(b a c c i i c i c i δδ+-有界，而n 是有限数，故)(x f 在],[b a 有界，矛盾．因此结论成立.10．设)(x f 是),(b a 上的凸函数，且有上界，求证：)(lim ),(lim x f x f bx ax -+→→存在．证明由于)(x f 在),(b a 上有上界，故0>∃M ，对M x f b a x ≤∈∀)(),,(．先证明)(lim x f bx -→存在. 在区间),(b a 中任取一点0x ，并令 00)()()(x x x f x f x g --=，则由)(x f 是),(b a 上的凸函数知)(x g 在),(0b x 上递增，在),(0b x 中任取一点1x ，考察区间),(1b x ，),(1b x x ∈∀，由于1000)()()()(x x x f M x x x f x f x g --≤--=，即)(x g 在),(1b x 上有上界，从而)(x g 在),(1b x 上单调递增且有上界，由定理3．12知)(lim x g b x -→存在，不妨令A x g bx =-→)(lim ，则 )()()()()()(lim )(lim 000000x f x b A x f x x x f x f x x x f b x b x +-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--⋅-=--→→，即)(lim x f bx -→存在．再证明)(lim x f ax +→存在. 由于)(x f 是),(b a 上的凸函数，从而)(x g 在),(0x a 上递增，在),(0x a 中任取一点2x ，考察区间),(2x a ，),(2x a x ∈∀，由于ax Mx f x x x f x f x x x f x f x g --≥--=--=000000)()()()()()(，即)(x g 在),(2x a 上有下界，从而)(x g 在),(2x a 上单调递增且有下界，由定理3．12的推论知)(lim x g ax +→存在，设B x g ax =+→)(lim ，则 )()()()()()(lim )(lim 000000x f B x a x f x x x f x f x x x f a x a x +-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--⋅-=++→→，即)(lim x f ax +→也存在． 11．设)(x f 在],[b a 上只有第一类间断点，定义)0()0()(--+=x f x f x ω.求证：任意εωε≥>)(,0x 的点x 只有有限多个．证明反证法，使用区间套定理. 根据结论，反设存在00>ε，在],[b a 上使0)(εω≥x 的点有无限多个．记],[],[11b a b a =，二等分区间],[11b a ，则在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+111111,2,2,b b a b a a 中至少有一个区间含有无限多个x 使0)(εω≥x ，记此区间为],[22b a ，再二等分区间],[22b a ，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+222222,2,2,b b a b a a 中至少有一个区间含有无限多个x 使0)(εω≥x ，记此区间为 ],,[33b a ，如此继续下去，得闭区间套],[n n b a ，且每个区间],[n n b a 中含有无限多个x 使0)(εω≥x ．由区间套定理可知存在唯一 ,2,1],,[=∈n b a r n n由于)(x f 在],[b a 上只有第一类间断点，而],[b a r ∈，故)0(+r f 和)0(-r f 存在，设B r f A r f =-=+)0(,)0(，则对上述00>ε，存在),(,011δδ+∈∀>r r x 时，有2)(0ε<-A x f ，即2)(2εε+<<-A x f A ，从而由极限不等式知，当),(1δ+∈r r x 时，0)(εω<x ；同理存在),(,022r r x δδ-∈∀>时，0)(εω<x ．取{}21,min δδδ=，则在),(δδ+-r r 上满足0)(εω≥x 的点至多只能有r 一个点．而根据区间套性质知，N n N >∀∃,时，都有),(],[δδ+-⊂r r b a n n ，从而在],[n n b a 中最多只能有一个点，使得0)(εω≥x ，这与区间套的构造矛盾．故原结论成立．12．设)(x f 在],0[+∞上连续且有界，对),(+∞-∞∈∀a ，a x f =)(在),0[+∞上只有有限个根或无根，求证：)(lim x f x +∞→存在．证明由)(x f 在],0[+∞上有界知)(x f 在],0[+∞上既有上界又有下界，不妨设上界为v ，下界为u ，若v u =，则v u x f x ==+∞→)(lim ，结论必然成立，故以下假定v u <．令],[],[11v u v u =，二等分区间],[11v u ，分点为211v u +，由于2)(11v u x f +=在),0[+∞上只有有限个根或无根，而且)(x f 连续，因而11,0X x X >∀>∃时，有2)(11v u x f +>或2)(11v u x f +<．若2)(11v u x f +>，令⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=11122,2],[v v u v u ，若2)(11v u x f +<，则令⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=2,],[11122v u u v u ，因此1X x >∀时，],[)(22v u x f ∈，即22)(v x f u ≤≤．二等分区间],[22v u ，分点为222v u +，由于2)(22v u x f +=在),0[+∞上只有有限个根或无根且)(x f 连续，故212,X x X X >∀>∃时，有2)(22v u x f +>或2)(22v u x f +<．若2)(22v u x f +>，令⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=22233,2],[v v u v u ，反之令⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=2,],[22233v u u v u ，因此2X x >∀时，],[)(33v u x f ∈，即33)(v x f u ≤≤. 依此类推，得一区间套]},{[n n v u ，而且由区间套的构造知，n n n X x X X >∀>∃-,1时，n n v x f u ≤≤)(．由区间套定理知存在唯一的 ,2,1],,[=∈n v u r n n ，下证r x f x =+∞→)(lim ．事实上，对0>∀ε，由闭区间套]},{[n n v u 的构造知，存在N ，N n >∀时，有),(],[εε+-⊂r r v u n n ，特别地取1+=N n ，则),(],[11εε+-⊂++r r v u N N ，按区间套的构造知11,++>∀∃N N X x X 时，),(],[)(11εε+-⊂∈++r r v u x f N N ，即εε+<<-r x f r )(，从而ε<-r x f )(，即r x f x =+∞→)(lim ，也就是说)(lim x f x +∞→存在．§3 实数的完备性1．设)(x f 在),(b a 连续，求证：)(x f 在),(b a 一致连续的充要条件是)(lim x f ax +→与)(lim x f b x -→都存在．证明 )⇒必要性由)(x f 在),(b a 一致连续知，0,0>∃>∀δε，),(,b a x x ∈'''∀且δ<''-'||x x 时，都有ε<''-')()(x f x f .特别地，当),(,δ+∈'''a a x x 时，δ<''-'x x ，故ε<''-')()(x f x f ，由Cauchy 收敛原理知)(lim x f a x +→存在．同理可知)(lim x f b x -→也存在．)⇐充分性证法1 0>∀ε，由)(lim x f a x +→存在知1δ∃，),(,1δ+∈'''∀a a x x 时，ε<''-')()(x f x f ，又由于)(lim x f b x -→也存在，故2δ∃，),(,2b b x x δ-∈'''∀时，ε<''-')()(x f x f ．取⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=4,2,2min 21a b δδδ，则由以上两条知)(x f 在),[],,(b b a a δδ-+上一致连续，而又因为)(x f 在],[δδ-+b a 上连续，因而一致连续，因此)(x f 在],(δ+a a 、],[δδ-+b a 、),[b b δ-上均一致连续，因此)(x f 在),(b a 一致连续．证法2 由已知)(lim x f ax +→与)(lim x f bx -→ 都存在，设B x f A x f bx ax ==-+→→)(lim ,)(lim ，令⎪⎩⎪⎨⎧=∈==.);,()(;)(b x B b a x x f a x Ax F则)(x F 在],[b a 连续，因而一致连续，从而)(x F 在),(b a 一致连续，而)(x F 在),(b a 上就是)(x f ，因而)(x f 在),(b a 上一致连续．2．求证数列nx n 1211+++= ，当∞→n 时的极限不存在．证明利用Cauchy 收敛原理的否定形式证明．取0,0210>∀>=N ε，任取N n >，则N n >2，从而 nn n x x n n 2121112+++++=-021212121212111ε==+++>+++++>n n n n n n ，由Cauchy 收敛原理的否定知数列nx n 1211+++= 当∞→n 时的极限不存在．3．利用Cauchy 收敛原理讨论下列数列的收敛性．（1）)||,1||(2210M a q q a q a q a a x k n n n ≤<++++= ；（2）n n n x 2sin 22sin 21sin 12++++= ；（3）nx n n 1)1(312111+-+-+-= ．解（1）0>∀ε，由1||<q 知0lim 1=+∞→n n q，从而N ∃，N n >∀时，有εMq qn ||1||1-<+，对上述N m n N >∀,,时（不妨n m >），有m n n m n n m n x x x x x x x x +++≤+++=-++++ 2121++=++++≤++++++221121||||||||n n n n m n n q a q a x x x ()εε=-⋅-<-=++≤+++Mq q M q q M q q M n n n ||1||1||1||||||121.由Cauchy 收敛原理知数列}{n x 收敛．（2）这是(1)中21,sin ,10===q k a a k 的特殊情形，由于21||,1<≤q a k ，故数列}{n x 收敛．（3）证法1 利用Cauchy 收敛原理.0>∀ε，由01lim=∞→n n 知，N ∃，N n >∀时ε<n1，对上述N m n N >∀,,时（不妨n m >），有 mn n x x m n n m n 1)1(21)1(11)1(132+++-+++-++-=- mn n n m 1)1(21111---+++-+=. 由于01)1(21111>-+++-+--mn n n m ，故 mn n x x n m m n 1)1(21111---+++-+=- .若n m -为偶数，则mn n x x n m m n 1)1(21111---+++-+=- m m m n n n 11121312111-⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+= ε<+≤11n . 若n m -为奇数，则mn n x x n m m n 1)1(21111---+++-+=- ⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+=m m n n n 111312111 ε<+≤11n . 因而由Cauchy 收敛原理知数列}{n x 收敛．证法2 先考虑数列}{n x 的偶子列}{2n x ，由于22131211221)1(3121132)1(2+--+-=+-+-+-=++n n x n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=221121211214131211n n n nn x n n 2211214131211=⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-> ，故偶子列}{2n x 是单调递增的数列，又由于1211213121121)1(31211122<⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+-+-=+n n n x n n ，因而偶子列}{2n x 是单调上升且有上界的数列，由单调有界原理知}{2n x 必有极限存在，设a x n n =∞→2lim . 又由于121212++=+n x x n n 且0121lim =+∞→n n ，从而 a n x x n n n n n =++=∞→∞→+∞→121lim lim lim 212. 于是我们证得数列}{n x 的奇、偶子列均收敛而且极限相同，故数列}{n x 收敛.4．证明：极限)(lim 0x f x x →存在的充要条件是：对任意给定0>ε，存在0>δ，当δ<-'<00x x ,δ<-''<00x x 时，恒有ε<''-')()(x f x f .证明 )⇒必要性设A x f x x =→)(lim 0，则δδε<-<∀>∃>∀00,,0,0x x x ，就有2)(ε<-A x f ，因此由δ<-'<00x x ,δ<-''<00x x 知ε<-''+-'<-''--'=''-'A x f A x f A x f A x f x f x f )()())(())(()()(，因而必要性成立.)⇐充分性设}{n x 是任意满足0lim x x n n =∞→且0x x n ≠的数列，由已知0,0>∃>∀δε，只要δ<-'<00x x ，δ<-''<00x x 时，有ε<''-')()(x f x f .对上述0>δ，由于0lim x x n n =∞→，且0x x n ≠，故N n N >∀∃,时，有δ<-<||00x x n ；N m >∀时，有δ<-<||00x x m ，于是ε<-)()(m n x f x f ，即)}({n x f 是基本列，由实数列的Cauchy 收敛准则知)(lim n n x f ∞→存在．由}{n x 的取法知任意趋向于0x 而不等于0x 的实数列}{n x 都有极限)(lim n n x f ∞→存在．下证它们的极限都相等．反设)(lim ),(lim 0000x x x x x x x x n nn n n n ≠'='≠=∞→∞→，但)(lim )(lim n n n n x f x f '≠∞→∞→，则定义一个新的数列},,,,{}{2211 x x x x y n ''=，由}{n y 的构造知)(lim 00x y x y n n n ≠=∞→，但)(lim n n y f ∞→有两个子序列极限不相等，故极限)(lim n n y f ∞→不存在，矛盾．从而任意趋向于0x 而不等于0x 的实数列}{n x 构成的数列)(n x f 都有极限存在．而且它们的极限都相等．由Heine 归结原则知)(lim 0x f x x →存在．5．证明)(x f 在0x 点连续的充要条件是：任给0>ε，存在0>ε，当δ<-'0x x ，δ<-''0x x 时，恒有ε<''-')()(x f x f .证明 )⇒必要性由)(x f 在0x 点连续知)()(lim 00x f x f x x =→，故δδε<-∀>∃>∀0,,0,0x x x ，就有2)()(0ε<-x f x f ，因此由δ<-'0x x ，δ<-''0x x 知))()(())()(()()(00x f x f x f x f x f x f -''--'=''-'ε<-''+-'≤)()()()(00x f x f x f x f .因而必要性成立. )⇐充分性设}{n x 是任意满足0lim x x n n =∞→的数列，由已知0,0>∃>∀δε，只要δ<-'0x x ，δ<-''0x x 时，就有ε<''-')()(x f x f ．对上述0>δ，由于0lim x x n n =∞→，故N n N >∀∃,时，有δ<-||0x x n ，N m >∀时，有δ<-||0x x m ，于是ε<-)()(m n x f x f ，即)}({n x f 是基本列，由实数列的Cauchy 收敛准则知)(lim n n x f ∞→存在．由}{n x 的取法知任意趋向于0x 的实数列}{n x ，)(lim n n x f ∞→存在．下证它们的极限都相等．反设)(lim ),(lim 0000x x x x x x x x n nn n n n ≠'='≠=∞→∞→，但)(lim )(lim n n n n x f x f '≠∞→∞→，则定义一个新的数列},,,,{}{2211 x x x x y n ''=，由}{n y 的构造知0lim x y n n =∞→，但)(lim n n y f ∞→有两个子序列极限不相等，故极限)(lim n n y f ∞→不存在，矛盾．从而，任意趋向于0x 的实数列}{n x 构成的数列)(n x f 都有极限存在，而且极限都相等，由Heine 归结原则知)(lim 0x f x x →存在．特别地，取}{n x 为恒为0x 的常数列，则可得)()(lim 0x f x f n n =∞→，即)()(lim 00x f x f x x =→，从而)(x f 在0x 点连续．6．证明下列极限不存在：（1）32cos11πn n n x n +-=；（2）nn n nx )1(21-+=；（3）)sin(2n n x n +=π；（4）n x n cos =；（5）n x n tan =.解（1）取}{n x 的两个子序列，当k n 3=时，131336cos 13133+-=+-=k k k k k x k π，从而可以得到1lim 3=∞→k k x ．而当13+=k n 时，233213)13(2cos 23313+⋅-=++=+k k k k k x k π，从而21lim 13-=+∞→k k x .}{n x 的两个子序列极限不等，故}{n x 的极限不存在．（2）对}{n x 的奇子列，由于121212211+++⎪⎭⎫⎝⎛+=k k k x ，而且12lim 12=+∞→k k ，故1lim 12=+∞→k k x ；对}{n x 的偶子列，由于k k k x 22221+=，而222212222→⋅≤+≤k k k ，故2lim 2=∞→k k x ．原数列的奇子列与偶子列极限不同，故}{n x 的极限不存在．（3）由于()21lim2=-+∞→n n nn ，故取41=ε，则存在00,N n N >∀时 41212=<--+εn n n ，从而 4121412<--+<-n n n ，即 43412+<+<+n n n n ，从而 ()πππππ43412+<+<+n n n n .当n 为偶数时，由于ααπsin )sin(=+n ，从而由上式知()1sin 222≤+=≤n n x n π；当n 为奇数时，由于ααπsin )sin(-=+n ，从而()22sin 12-≤+=≤-n n x n π．因此取220=ε，对N ∀，任取},max{0N N n >，则},max{10N N n >+，而且n x 和1+n x 一个在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,22内，另一个在⎥⎦⎤⎢⎣⎡--22,1内，从而0122ε=>-+n n x x ，由Cauchy 收敛原理的否定形式知数列}{n x 极限不存在．（4）取1sin 20=ε，对N ∀，由阿基米德公理知，存在+∈N k ，使得142+>+N k ππ，在⎪⎭⎫⎝⎛++432,42ππππk k 区间上，由于区间长度12>π，从而存在N n >，使得 ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∈+432,421ππππk k n ，对于n 和2+n ，有1sin )1sin(222sin 22sin2cos )2cos(+=-+++=-+n nn n n n n 01sin 21sin 222ε==⋅≥，由Cauchy 收敛原理的否定形式知数列}{cos }{n x n =极限不存在．（5）取0330>=ε，对N ∀，由阿基米德公理知，存在+∈N k ，使得N k >π，由于⎪⎭⎫⎝⎛++2,6ππππk k 的区间长度13>π，从而在⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,6ππππk k 中有一个或两个大于N 的正整数点．若在⎪⎭⎫⎝⎛++2,6ππππk k 中只有一个正整数点n ，则 ⎪⎭⎫⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∈+ππππππππ)1(,2)1(22,21k k k k n ，从而0336tantan )1tan(tan tan )1tan(επ==>>+-=-+n n n n n ；若在⎪⎭⎫⎝⎛++2,6ππππk k 中有两个大于N 的正整数点，则取较大的正整数为n ，同样，⎪⎭⎫⎝⎛+-+∈+πππ)1(,2)1(1k k n ，从而0336tantan )1tan(tan tan )1tan(επ==>>+-=-+n n n n n . 由Cauchy 收敛原理的否定形式知数列}{tan }{n x n =极限不存在．7．设)(x f 在),(+∞a 上可导，|)(|x f '单调下降，且)(lim x f x +∞→存在，求证：0)(lim ='+∞→x f x x .证明由于)(lim x f x +∞→存在，由Cauchy 收敛原理，0,0>∃>∀X ε，当X x>2时，也有X x >，从而22)(ε<⎪⎭⎫ ⎝⎛-x f x f ．又因为)(x f 在),(+∞a 可导，故)(x f 在⎪⎭⎫⎝⎛x x ,2上满足Lagrange 中值定理条件，因而⎪⎭⎫⎝⎛∈∃x x ,2ξ，使得2)(2)(x f x f x f ξ'=⎪⎭⎫⎝⎛-，从而)(2)(2ξf x x f x f '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-，又根据)(x f '单调下降得εεξξ=⋅<⎪⎭⎫⎝⎛-='='≤'='222)(2)()()()(x f x f f x f x x f x x f x ，因此0)(lim ='+∞→x f x x .8．设)(x f 在),(+∞-∞可导，且1)(<≤'k x f ，任给0x ，令),2,1,0()(1 ==+n x f x n n ，求证：(1) n n x +∞→lim 存在；(2) 上述极限为)(x f x =的根，且是唯一的．证明（1）0>∀ε，取k x x k N ln )1(ln1--=ε，N m n >∀,，不妨m n <，下证ε<-||n m x x .由已知)(x f 在),(+∞-∞可导，故由Lagrange 中值定理得1111))(()()(---+-≤-'=-=-n n n n n n n n x x k x x f x f x f x x ξ，同理 ,211----≤-n n n n x x k x x ，依此类推得011x x k x x nn n -≤-+，因此n n m m n n m m m n m x x x x x x x x x x x -++-≤-+-+-=-+-+--11111011101011)(x x k k k x x k x x k n n m n m -+++=-++-≤+--010111)(x x kk x x kk nn n--=-++<+ .由于k x x k N n ln )1(ln1--=>ε，而1<k ，从而01)1(lnln x x k k n --<ε，故ε<--=-011x x kk x x nn m ，因此由Cauchy 收敛原理知n n x +∞→lim 存在.（2）由于)(x f 在),(+∞-∞可导，因而连续，在)(1n n x f x =+两边同时对∞→n 取极限，则)lim (lim n n n n x f x +∞→+∞→=，即n n x +∞→lim 是)(x f x =的根，下证唯一性．反设有)(,b a b a ≠，且)(a f a =，)(b f b =，则b a b a k b a f b f a f b a -<-≤-⋅'=-=-)()()(ξ，矛盾，故根是唯一的．9．设)(x f 在],[b a 满足条件：（1）10],,[,,)()(<<∈∀-≤-k b a y x y x k y f x f ；（2）)(x f 的值域包含在],[b a 内．则对任意],[0b a x ∈，令),2,1,0()(1 ==+n x f x n n ，有（1）n n x +∞→lim 存在；（2）方程)(x f x =的解在],[b a 上是唯一的，这个解就是上述极限值．证明（1）0>∀ε，取k x x k N ln ||)1(ln01--=ε，N m n >∀,，不妨m n <，下证ε<-n m x x .由已知)(1n n x f x =+，而],[0b a x ∈且)(x f 的值域包含在],[b a 内，因而对n ∀，都有],[b a x n ∈，从而01111)()(x x k x x k x f x f x x n n n n n n n -≤-≤-=---+，因此n n m m n n m m m n m x x x x x x x x x x x -++-≤-+-+-=-+-+--11111011101011)(x x k k k x x k x x k n n m n m -+++=-++-≤+--ε<--=-++<+010111)(x x kk x x kk nn n.因此由Cauchy 收敛原理知n n x +∞→lim 存在.（2）设方程)(x f x =在],[b a 上有两个不同的解d c ,，则d c d c k d f c f d c -<-<-=-)()(，矛盾，故根是唯一的．§4 再论闭区间上连续函数的性质1．设)(x f 在],[b a 上连续，并且最大值点0x 是唯一的，又设],[b a x n ∈，使)()(lim 0x f x f n n =+∞→，求证0lim x x n n =+∞→．证明不妨设),(0b a x ∈，当a x =0或b x =0时同理可证．对任意},min{000x b a x --<<ε，由于)(x f 在],[b a 上连续，故)(x f 在],[0ε-x a 、],[00εε+-x x 、],[0b x ε+上连续，由闭区间连续函数的最值定理，)(x f 在],[0ε-x a 、],[00εε+-x x 、],[0b x ε+上均有最大值，显然)(x f 在],[00εε+-x x 上的最大值为)(0x f ，设)(x f 在],[0ε-x a 和],[0b x ε+上的最大值为M ，由最大值点的唯一性可知M x f >)(0．取02)(0>-Mx f ，由)()(lim 0x f x f n n =+∞→知N n N >∀∃,时，2)()()(00Mx f x f x f n -<-，即 M Mx f M x f x f x f n >+=-->2)(2)()()(000，而)(x f 在],[0ε-x a 和],[0b x ε+上的最大值为M ，故),(00εε+-∈x x x n ，即ε<-||0x x n ，从而0lim x x n n =+∞→．2．设)(x f 在],[b a 上连续，可微；又设 (1) )(max )(min x f p x f bx a bx a ≤≤≤≤<<；(2) 如果p x f =)(，则有0)(≠'x f ，求证：p x f =)(的根只有有限多个．证明利用区间套定理．反设p x f =)(在],[b a 上有无穷多个根，设],[],[11b a b a =，二等分区间],[11b a ，则在两个子区间中必有一个区间含有p x f =)(的无穷多个根，设此区间为],[22b a ，再二等分区间],[22b a ，则在两个子区间中必有一个区间含有p x f =)(的无穷多个根，设此区间为 ],,[33b a ．依此类推得一区间套]},{[n n b a ，由区间套的构造知p x f =)(在任意],[n n b a 有无穷多个根.由区间套定理知],[b a r ∈∃，使得对于任意],[,n n b a r N n ∈∈+．若p r f ≠)(，则令p x f x g -=)()(，)(x g 也在],[b a 连续，且0)()(≠-=p r f r g ，从而由保号性知),(,δδδ+-∈∀∃r r x 时，都有0)(≠x g ，即p x f ≠)(，而由区间套知N n N >∀∃,时),(],[δδ+-⊂r r b a n n ，即p x f =)(在],[n n b a 无根，这与区间套的构造矛盾．若p r f =)(，则0)(≠'r f ，即0)()(l i m ≠--→rx r f x f rx ，从而x ∀'∃,δ，当δ'<-<||0r x 时，有0)()(≠--rx r f x f ，即p x f ≠)(，从而在),(δδ'+'-r r 上)(x f 只有一个根r ，而由区间套知N n N >∀∃,时),(],[δδ+-⊂r r b a n n ，即p x f =)(在],[n n b a 只有一个根，这与区间套的构造矛盾．因此p x f =)(在],[b a 上只有有限多个根．3．设)(x f 在],[b a 上连续，0)(,0)(><b f a f ，求证：存在),(b a ∈ξ，使0)(=ξf 且)(0)(b x x f ≤<>ξ．证明令],[|{b a x x E ∈=且}0)(=x f ，由于0)(,0)(><b f a f ，且)(x f 在],[b a 上连续，由介值性定理知φ≠E ，从而E 为非空有界数集，由确界原理知E 有上确界，设E sup =ξ，下证0)(=ξf ．事实上，由于E sup =ξ，由本章第一节习题3知可以在E 中选取数列}{n x ，使ξ=∞→n n x lim ，又由)(x f 连续知0)(lim )lim ()(===∞→∞→n n n n x f x f f ξ，又对于],(b x ξ∈∀，由于E x ∉，从而0)(≠x f ，又根据0)(>b f 知0)(>x f ，因而结论成立．4．设)(x f 是],[b a 上的连续函数，其最大值和最小值分别为M 和)(M m m <，求证：必存在区间],[βα，满足条件：(1) m f M f ==)(,)(βα或M f m f ==)(,)(βα； (2) M x f m <<)(，当),(βα∈x ．证明由于)(x f 是],[b a 上的连续函数，且有最大值M 和最小值m ，故由最值定理知],[b a c ∈∃，使得M c f =)(；],[b a d ∈∃，使得m d f =)(，由于M m <，故d c ≠，令},min{d c =α，},max{d c =β，则在区间],[βα上满足：（1）m f M f ==)(,)(βα或M f m f ==)(,)(βα；（2）对),(βα∈∀x ，由于m f M f ==)(,)(βα或M f m f ==)(,)(βα，而m M ,分别为],[b a 上的最大值和最小值，故M x f m <<)(．5．设)(x f 在]2,0[a 上连续，且)2()0(a f f =，求证：存在],0[a x ∈，使)()(a x f x f +=．证明考虑辅助函数)()()(a x f x f x g +-=，],0[a x ∈.若)()0(a f f =，根据已知条件)2()0(a f f =可知，取0=x 或a x =时，均有)()(a x f x f +=，命题已证．若)()0(a f f ≠，则)()0()0(a f f g -=，)0()()2()()(f a f a f a f a g -=-=，从而)0(g 与)(a g 符号相反，由零点定理知],0[a x ∈∃，使0)(=x g ，即)()(a x f x f +=．6．设)(x f 在],[b a 上连续，且取值为整数，求证≡)(x f 常数．证明反设)(x f 不恒为常数，则],[,21b a x x ∈∃，使得)()(21x f x f ≠，又由于)(x f 取值为整数，故)(),(21x f x f 均为整数，在)(),(21x f x f 之间任取一非整数c ，则由介值性定理知],[b a ∈∃ξ，使得c f =)(ξ，这与)(x f 取值为整数矛盾．7．设)(x f 在),(b a 一致连续，±∞≠b a ,，证明：)(x f 在],[b a 上有界．证明由于)(x f 在],[b a 上一致连续，故取01>=ε，则0>∃δ，当δ<-21x x 时，有1)()(21<-x f x f . 取定11,b a ，其中δ+<<a a a 1，b b b <<-1δ，则],(1a a x ∈∀，有δ<-1a x ，故1)()(1<-a f x f ，因而1)()(1+<a f x f ；同理),[1b b x ∈∀，有δ<-1b x ，故1)()(1<-b f x f ，因而1)()(1+<b f x f ，因此)(x f 在区间],(1a a 和区间),[1b b 均有界. 另一方面，由于)(x f 在],[11b a 上一致连续，根据闭区间上连续函数的性质可知存在01>M ，使得111)(],,[M x f b a x <∈∀.取0}1)(,1)(,max{111>++=b f a f M M ，则),(b a x ∈∀，均有M x f <)(，因而)(x f 在),(b a 上有界．8. 若函数)(x f 在),(b a 上满足利普希茨（Lipschitz ）条件，即存在常数K ，使得x x K x f x f ''-'≤''-')()(，),(,b a x x ∈'''.证明：)(x f 在),(b a 上一致连续．证明 ,0>∀ε 取,21εδK=则对δ<''-'∈'''∀x x b a x x ),,(,，由Lipschitz 条件知εε<⋅<''-'≤''-'KK x x K x f x f 21)()(，因而依定义知)(x f 在),(b a 上一致连续．9．试用一致连续的定义证明：若函数)(x f 在],[c a 和],[b c 上都一致连续，则)(x f 在],[b a 上也一致连续．证明对0>∀ε，由函数)(x f 在],[c a 一致连续知01>∃δ，对],[,21c a x x ∈∀而且121δ<-x x ，就有2)()(21ε<-x f x f ；又根据函数)(x f 在],[b c 上一致连续知02>∃δ，],[,21b c x x ∈∀且221δ<-x x 时，就有2)()(21ε<-x f x f ．取},min{21δδδ=，则],[,21b a x x ∈∀且δ<-21x x 时，若21,x x 同属于],[c a ，有εε<<-2)()(21x f x f ；若21,x x 同属于],[b c ，也有εε<<-2)()(21x f x f ；若21,x x 一个属于],[c a ，另一个属于],[b c ，则由δ<-21x x 知δδ<-<-c x c x 21,，从而εεε=+<-+-≤-22)()()()()()(2121x f c f c f x f x f x f .因而],[,21b a x x ∈∀且δ<-21x x 时，ε<-)()(21x f x f . 因此由一致连续的定义可知)(x f 在],[b a 上一致连续.10．设函数)(x f 在),(+∞-∞上连续，且极限)(lim x f x -∞→与)(lim x f x +∞→存在．证明：)(x f 在),(+∞-∞上一致连续．证明对0>∀ε，由于)(lim x f x -∞→存在，根据Cauchy 收敛原理知，存在01>X ，任意121,X x x -<时，就有ε<-)()(21x f x f ；又由于)(lim x f x +∞→存在，故存在02>X ，任意221,X x x >，就有ε<-)()(21x f x f .由于)(x f 在),(+∞-∞上连续，故)(x f 在区间]1,1[21+--X X 上连续，因而在]1,1[21+--X X 上一致连续，由一致连续的定义知，对上述0>ε，存在01>δ，任意]1),1([,2121++-∈X X x x ，只要112δ<-x x ，就有ε<-)()(21x f x f ．取0}1,min{1>=δδ，则),(,21+∞-∞∈∀x x ，只要δ<-21x x ，则21,x x 同属于区间),(1X --∞、]1),1([21++-X X 或),(2+∞X ，由上述讨论知，不管在哪种情况下，都有ε<-)()(21x f x f ，因而)(x f 在),(+∞-∞上一致连续．11．若)(x f 在区间X （有穷或无穷）中具有有界的导数，即M x f ≤')(，X x ∈，则)(x f 在X 中一致连续．证明对0>∀ε，取Mεδ=，则对任意X x x ∈21,，只要δ<-||21x x ，根据Lagrange中值定理，存在ξ在21,x x 之间，且εδξ=<-≤-'=-M x x M x x f x f x f 212121|))((|)()(，从而)(x f 在X 中一致连续．12．求证：x x x f ln )(=在),0(+∞上一致连续．证明由于x x x f ln )(=，故xx x xxx f 2ln 2ln 211)(+=+='，xx x x f 4ln )(-=''，令0)(=''x f 得1=x ，故1=x 是)(x f '的稳定点，当0)(),1,0(>''∈x f x ，从而)(x f '单调递增；而当0)(),,1(<''+∞∈x f x ，故)(x f '单调递减，因此1=x 是)(x f '的极大值点，也是最大值点，而1)1(='f ，从而对),0(+∞∈∀x ，1)(≤'x f ．再令0)(='x f 得2-=e x ，在区间),[2+∞-e 上，由于0)(≥'x f ，因而在),[2+∞-e 上1)(0≤'≤x f ，即1)(≤'x f ，由上题结论知)(x f 在),[2+∞-e 上一致连续．此外，由于0ln lim )(lim 00==++→→x x x f x x ，若令 ⎩⎨⎧=>=.00,0ln )(x x xx x g则)(x g 在]2,0[连续，因而一致连续，从而)(x g 在]2,0(上一致连续，即)(x f 在]2,0(一致连续．对0>∀ε，由)(x f 在),[2+∞-e 上一致连续知，01>∃δ，对任意),[,221+∞∈-e x x 且121δ<-x x ，都有ε<-)()(21x f x f ；又由)(x f 在]2,0(上一致连续知，02>∃δ，对任意]2,0(,21∈x x 且221δ<-x x ，也有ε<-)()(21x f x f ．取0}1,,min{21>=δδδ，则当),0(,21+∞∈x x 且δ<-21x x 时，要么],2,0(,21∈x x 要么),[,221+∞∈-e x x ，从而ε<-)()(21x f x f ．因此x x x f ln )(=在),0(+∞上一致连续．13．设)(x f 在),(+∞a 上可导，且+∞='+∞→)(lim x f x ，求证：)(x f 在),(+∞a 上不一致连续．证明取10=ε，对0>∀δ，由于+∞='+∞→)(lim x f x ，故0>∃X ，当X x >时，有δ2)(>'x f ，任取X x >1，X x x >+=212δ，虽然有δδ<=-221x x ，但根据lagrange中值定理知，存在)2,(11δξ+∈x x ，使得02121122)()()(εδδξ==⋅>-⋅'=-x x f x f x f . 根据一致连续的否定定义知)(x f 在),(+∞a 上不一致连续．14．求证：x x x f ln )(=在),0(+∞上不一致连续．证明由于+∞=+='+∞→+∞→)1(ln lim )(lim x x f x x ，由上题结论知结论成立．§5 可积性1. 判断下列函数在区间]1,0[上的可积性：（1）)(x f 在]1,0[上有界，不连续点为),2,1(1==n nx ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=∈⎪⎭⎫⎝⎛=;0,0],1,0(,sin sgn )(x x x x f π （3）⎪⎩⎪⎨⎧=∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=;0,0],1,0(,11)(x x x x x f（4）[]⎪⎩⎪⎨⎧=∈=.0,0],1,0(,1)(1x x x f x解（1）由于)(x f 在]1,0[上有界，故存在0>M ，对]1,0[∈∀x ，都有M x f ≤)(，故在区间]1,0[的任何子区间上，)(x f 的振幅M 2≤ω.对任给0>ε，由于04lim=∞→n M n ，故N n N >∀∃,时，都有24ε<n M ，特别地取10+=N n 时，也有240ε<n M . 由于)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,10n 上只有有限个间断点，因而是可积的，即01>∃δ，使得对区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,10n 的任何1)max(δλ<∆='i x 的分法，都有∑<∆'''2i i i x εω．取⎭⎬⎫⎩⎨⎧=011,min n δδ，对]1,0[的任意δλ<∆=)max(i x 的分法，下证εω<∆∑=n i i i x 1.由于)1,0(10∈n ，故对上述任意分法，都存在分点00,1i i x x -，使得00011i i x n x <≤-，因而∑∑∑∑∑+=-=+==-=∆++∆≤∆+∆+∆=∆ni i iii i i ni i iii i n i i i iiiixM x M xx xx o 11111110000022ωδωωωωεεεε=+<++≤222121200n M n M，这里最后一项210εω<∆∑+=ni i i i x 是由于[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊂+1,11,010n x i ，而)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,10n 可积，故函数在区间[]1,10+i x 可积，因而210εω<∆∑+=n i i iix ．因此0lim 1=∆∑=→ni iix ωλ，即)(x f 在]1,0[上可积．（2）由于)(x f 在]1,0[上有界，且不连续点为),2,1(1==n nx 和0=x ，根据（1）的证法知)(x f 在]1,0[上可积．（3）由于)(x f 在]1,0[上有1)(≤x f ，故)(x f 有界，而且)(x f 的不连续点为0=x 和),2,1(1==n nx ，由（2）的证法知，)(x f 在]1,0[可积．（4）由于)(x f 在]1,0[上有1)(0≤≤x f ，故)(x f 有界，而且)(x f 的不连续点只有。

高教线性代数第九章欧氏空间课后习题答案

第九章欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,在nR 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, nR 成一欧氏空间； 2) 求单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。

解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且(1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =ji j iij y x a,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j iij y x a,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。

2)设单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a aa a a212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ =ij a ，),,2,1,(n j i =，因此有B A =。

4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，,(,)ij i ji ja x xααα==∑，,(,)iji ji jay y βββ==∑，故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。

9.9 圆锥曲线的综合问题

又x1＋2 x2＝2k，所以y1＋2 y2＝kx1＋2 x2＋a＝2k2＋a，
报
即AB的中点为R(2k,2k2＋a)，则有PR⊥x轴．
课时
告
作
若四边形APBQ为菱形，则PR⊥AB，
业
所以k＝0，
此时P(0，－a)，R(0，a)，则Q(0,3a)．
第9章第9节
第15页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
(2)[证明] 由(1)知，A(2,0)，B(0,1)．
设P(x0，y0)，则x20＋4y20＝4.
报告
当x0≠0时，直线PA的方程为y＝x0y－0 2(x－2)．
课时作业
令x＝0，得yM＝－x02－y02，
从而|BM|＝|1－yM|＝1＋x02－y02.
第9章第9节
第29页
得A，B的坐标分别为 t，
4－t2 2
，
t，－
4－t2 2
，则k1＋k2＝
课
报
时
告 4－2tt2－2－ 4－2tt2＋2＝－1，得t＝2，不符合题设．
作业
从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)．
将y＝kx＋m代入x42＋y2＝1，得
(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
课
报告
点，即满足fgxx，，yy＝＝00，
的点(x0，y0)为直线或曲线所过的定
时作业
点．
第9章第9节
第19页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
2 圆锥曲线中的定值问题
1．[2018北京卷]已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1,2)，过
点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA 课

交大刘迎东微积分第九章习题9.4答案

交⼤刘迎东微积分第九章习题9.4答案9.4 重积分的应⽤习题9.41. 求球⾯2222x y z a ++=位于圆柱⾯22x y ax +=内部的那部分⾯积。

解：()cos 20cos 2200224424.a a S a a d a d a πθπθθθπ=====-2. 求下列曲⾯的⾯积：（1）球⾯2222x y z az ++=被锥⾯z =所割()0;a >解：由2222,x y z az z ?++=??=??得.z a =所以球⾯2222x y z az ++=被锥⾯z =所割恰为半球⾯，⾯积为22.a π（2）旋转抛物⾯222z x y =+被柱⾯221x y +=所割；解：()21.3S d ππθ===（3）曲⾯az xy =被圆柱222x y a +=所割；解：()220021.3a S d ππθ===??(4)由三个圆柱⾯222222222,,x y R x z R y z R +=+=+=所围成的⽴体的表⾯；解：(40022422024241sin 24242.cos cos R S d R d R ππθθθθθ==??=-=（5）曲⾯arctan y z x=在第⼀卦限中被圆柱⾯22()20ln 1.4S d ππθ===+??3.求锥⾯z =22z x =所割下部分的曲⾯⾯积。

解：由22z z x==解得()2211x y -+=，所以在xOy ⾯上的投影为()(){}22,,011x y x y -+≤，于是2cos 202222.S d d πθπππθθθ--====??4. 求底⾯半径相等的两个直交圆柱⾯222x y R +=及222x z R +=所围⽴体的表⾯积。

解：2200161616.R S d R πθ=== 5. 求平⾯1x y za b c++=被三坐标⾯所割出的有限部分的⾯积。

解：S ==??6. 设薄⽚所占的闭区域D 如下，求均匀薄⽚的质⼼：（1）D由0,0y x x y ===所围成；解：02000002000035;25122x D D x D D dx xdxdy x x dxdy px dx ydy ydxdy y dxdy ========（2）D 为半椭圆形闭区域()2222,1,0;x y x y y a b ??+≤≥解：202430;.322a D Db adx ydy ydxdy b x y ab ab dxdyπππ-=====（3）D 为介于两个圆()cos ,cos 0a b a b ρθρθ==<<之间的闭区域；解：()()()()33cos 2222cos 22222cos 8;0.244b a DDb a d d xdxdy a ab b x y a b b a b a dxdyπθπθπθρθρππ--++=====+--??7. 设平⾯薄⽚所占的闭区域D 由抛物线2y x =及直线y x =所围成，它在点(),x y 处的⾯密度()2,x y x y µ=，求该薄⽚的质⼼。

高等数学课后习题答案--第九章

9. 设 x n ＞0，
10. 讨论下列级数的收敛性(包括条件收敛与绝对收敛)
182
⑴ ⑶ ⑸ ⑺ ⑼
x sin ; n n =1 ∞ n (−1) n −1 n −1 ; ∑ 3 n =1 n +1 ∞ (−1) ( x > 0 ); ∑ n =1 n + x
∑ (−1)
∞
n +1
⑵ ⑷ ⑹ ⑻ ⑽
180
(4) (6)
∑
∞
∞
n =1 ∞
∑
n =1
ln n ln n 1 ln n 1 n 1 , = = 3 . 收敛; < 2 2 n n n n n n n2 1 1 1 , < , 收敛; n ln (n + 2) ln(n + 2) 2
n
(5)
收敛;
(7) (8) (13) (14)
∑ (
n =1
n −1
)
n
发散
由于 lim (10
a −1
1 n
n →∞
= ln a , 而 n n − 1 > n a − 1 ;
(11)
发散;
∑
n =1
∞
∞
∑
n =1
( n + 1 − n − 1 ), ( n + 1 − (2n − n + 1 − n − 1) = (n −
2 2 2 2 2
(9) 收敛;
收敛;
5.利用级数收敛的必要条件，证明： nn (1) lim = 0， (2) n →∞ ( n !) 2
∞
n →∞
lim
( 2 n) ! = 0. 2 n ( n +1)

名师课时计划物理第九章压强的答案

名师课时计划物理第九章压强的答案 English Answer:Lesson Plan: Physics Chapter 9 Pressure.Curriculum Objectives:Students will be able to define pressure and explain how it is calculated.Students will be able to identify the different factors that affect pressure.Students will be able to solve problems involving pressure.Materials:Textbook.Handouts.Whiteboard or chart paper.Markers.Objects of different weights and shapes.Ruler.Balance scale.Procedure:1. Begin by reviewing the concept of force. Ask students to define force and give examples of forces that they are familiar with.2. Introduce the concept of pressure. Define pressure as the force exerted per unit area. Explain that pressure is measured in pascals (Pa).3. Show students how to calculate pressure using the formula P = F/A. Explain that the force is the weight of the object and the area is the surface area of the object that is in contact with the surface.4. Have students work in groups to measure the pressure exerted by different objects. Provide students with objects of different weights and shapes. Have them measure the weight of each object and the surface area of the object that is in contact with the surface. Then have them calculate the pressure exerted by each object.5. Lead a class discussion about the factors thataffect pressure. Ask students to identify the factors that they observed in their experiments. Discuss how the weight of the object, the surface area of the object, and the angle of the object affect pressure.6. Assign homework problems involving pressure. Have students work through the problems to practice the concepts they have learned.Assessment:Observe students as they work in groups to measure pressure.Collect and review students' homework problems.Give a quiz to assess students' understanding of pressure.Differentiation:For struggling students, provide them with more support during the experiments. Help them to measure the weight and surface area of the objects and to calculate the pressure.For advanced students, challenge them to investigate the relationship between pressure and depth. Have them measure the pressure at different depths in a liquid.中文回答：名师课时计划，物理第九章压强。

高等数学, 李伟版 , 课后习题答案第九章

b a
dx
y2 ( x ) y1 ( x )
先把 f ( x, y ) 看作 y 的一元函数计算定积分 f ( x, y)dy 时，
得到 x 的一元函数 F ( x) ，然后再计算关于 x 的定积分（3）一个二重积分

b a
F ( x)dx ；
f ( x, y)d 在直角坐标系下计算时，是按照 X 型区域还是按照 Y 型
3 I 7 ）
习题 9—1（B）
1．设有一张平面薄板（不计其厚度）占有 xOy 面上的闭区域 D ，薄板上分布有面密度为
( x, y) 的电荷，且 ( x, y) 在 D 上连续，试用二重积分表示该板上全部电荷量 Q ．
解：将区域 D 用曲线网任意分割成 n 小块：
2，， i， n T： 1，
( x y)
D
2
d
( x y)
D
3
3
d ，所以后者大．
（2）在区域 D 上，由于 0 x y 1 ，则 x y 3 x y ，于是

D
x y d
2

D
x y d ，所以后者大．
2 2
（3）在区域 D 上，由于 x y 1 ，则 x y
D
体的体积. 答：（1）正确，这是由二重积分的定义所决定的．（2）不正确，函数在有界闭区域上连续仅仅是二重积分
f ( x, y)d 积分存在的一个充
D
分条件，而不是必要条件．如果函数 f ( x，y) 在 D 上有界，且 f ( x，y) 间断点的集合是 xOy 面上一个面积为零的集合，则二重积分如：积分区域为 D ： x f ( x, y)d 存在．

2018年高考数学课标通用理科一轮复习配套教师用书：第

§9.6 双曲线考纲展示►1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．2．了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景、了解双曲线在刻画现实世界或解决实际问题中的作用．3．理解数形结合的思想．考点1 双曲线的定义双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的________等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做________，两焦点间的距离叫做________．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0. (1)当________时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当________时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当________时，P 点不存在．答案：距离的差的绝对值双曲线的焦点双曲线的焦距 (1)a <c (2)a ＝c (3)a >c(1)[教材习题改编]已知双曲线两个焦点分别为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．双曲线上一点P 到F 1，F 2距离之差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为________．答案：x 29－y 216＝1解析：由已知可知，双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝5，a ＝3，∴b ＝4，故所求方程为x 29－y 216＝1.(2)[教材习题改编]双曲线的方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫62，0 解析：将双曲线方程化为标准方程为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32，∴c ＝62，故右焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0.双曲线的定义：关注定义中的条件．(1)动点P 到两定点A (0，－2)，B (0,2)的距离之差的绝对值等于4，则动点P 的轨迹是________．答案：两条射线解析：因为||PA |－|PB ||＝4＝|AB |，所以动点P 的轨迹是以A ，B 为端点，且没有交点的两条射线．(2)动点P 到点A (－4,0)的距离比到点B (4,0)的距离多6，则动点P 的轨迹是________．答案：双曲线的右支，即x 29－y 27＝1(x ≥3)解析：依题意有|PA |－|PB |＝6<8＝|AB |，所以动点P 的轨迹是双曲线，但由|PA |－|PB |＝6知，动点P 的轨迹是双曲线的右支，即x 29－y 27＝1(x ≥3)．[典题1] (1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．[答案] x 2－y 28＝1(x ≤－1)[解析] 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |，因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|.根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．(2)已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．[答案] 9[解析] 如图所示，设双曲线的右焦点为E ，则E (4,0)．由双曲线的定义及标准方程得|PF |－|PE |＝4，则|PF |＋|PA |＝4＋|PE |＋|PA |. 由图可得，当A ，P ，E 三点共线时， (|PE |＋|PA |)min ＝|AE |＝5，从而|PF |＋|PA |的最小值为9.[点石成金] 双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|，|PF 2|的联系．考点2 双曲线的标准方程与性质双曲线的标准方程和几何性质(1)[教材习题改编]若实数k满足0<k<9，则曲线x225－y29－k＝1与曲线x225－k－y29＝1的( )A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等答案：A解析：由0<k<9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上，由25＋9－k＝25－k＋9，得两双曲线的焦距相等，故选A.(2)[教材习题改编]设双曲线x2a2－y29＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为________．答案：a解析：双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近线方程为3x ±ay ＝0，与已知方程比较可得a ＝2.双曲线的标准方程：关注实轴的位置．双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，虚轴长为23，则双曲线方程为________．答案：x 2－y 23＝1或y 29－x 23＝1解析：当实轴在x 轴上时，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知可知b a＝3，b ＝3，所以a 2＝1，即所求方程为x 2－y 23＝1.当实轴在y 轴上时，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知可得b ＝3，a b＝3，所以a 2＝9，即所求方程为y 29－x 23＝1.求双曲线的标准方程：待定系数法．对称轴为坐标轴，经过点P (3,2)，Q (－6,7)的双曲线是________．答案：5x 233－y211＝1解析：由于不能确定双曲线的焦点在哪个轴上，故可设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)． ∵所求双曲线经过P (3,2)，Q (－6,7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋4B ＝1，36A ＋49B ＝1，解得A ＝533，B ＝－111.故所求双曲线方程为5x 233－y211＝1.[考情聚焦] 双曲线的标准方程和几何性质是每年高考命题的热点，尤其是渐近线与离心率问题，考查的力度比较大．主要有以下几个命题角度：角度一求双曲线的标准方程[典题2] (1)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 [答案] A[解析] 由双曲线方程知右顶点为(a,0)，设其中一条渐近线方程为y ＝b ax ，可得点A 的坐标为(a ，b )．设右焦点为F (c,0)，由已知可知c ＝4，且|AF |＝4，即(c －a )2＋b 2＝16，所以有(c －a )2＋b 2＝c 2，又c 2＝a 2＋b 2，则c ＝2a ，即a ＝c2＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12. 故双曲线的方程为x 24－y 212＝1，故选A.(2)[2017·辽宁沈阳四校联考]设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________．[答案]y 24－x 25＝1 [解析] 解法一：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，根据定义知2a ＝|15－2＋－2－15－2＋＋2|＝4，故a ＝2.又b 2＝32－a 2＝5，故所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1.解法二：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则a 2＋b 2＝9，又点(15，4)在双曲线上，所以16a 2－15b2＝1，解得a 2＝4，b 2＝5.故所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1.解法三：设双曲线的方程为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27<λ<36)，由于双曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)．故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1.[点石成金] 求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程，并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值．角度二已知离心率求渐近线方程[典题3] 若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x [答案] B[解析] 在双曲线中离心率e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2 ＝3，可得b a＝2，故所求的双曲线的渐近线方程是y ＝±2x .角度三已知渐近线求离心率[典题4] [2017·苏北四市联考改编]已知双曲线的一条渐近线方程为2x －y ＝0，则该双曲线的离心率为________．[答案]5或52[解析] 根据双曲线的渐近线方程知b a ＝2或a b＝2.则e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝5或52. 角度四由离心率或渐近线方程求双曲线方程[典题5] 下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1[答案] C[解析] 由双曲线焦点在y 轴上，排除选项A ，B ，选项C 中双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选C.角度五利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围[典题6] 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1， 5 ]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)[答案] C[解析] ∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则由题意得b a＞2， ∴e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2 ＞1＋4＝ 5.即双曲线离心率的取值范围为(5，＋∞)．[点石成金] 解决有关渐近线与离心率关系问题的两个注意点(1)已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分|m |＝b a 或|m |＝a b讨论． (2)注意数形结合思想在求渐近线夹角、离心率范围中的应用．考点3 直线与双曲线的位置关系[典题7] 若双曲线E ：x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，点C 是双曲线上一点，且OC →＝m (OA →＋OB →)，求k ，m 的值．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧c a＝2，a 2＝c 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，c 2＝2，故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.①∵直线与双曲线右支交于A ，B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧k >1，Δ＝k2－－k 2－，即⎩⎨⎧k >1，－2<k <2，∴1＜k ＜ 2.故k 的取值范围为(1，2)． (2)由①得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2k 2－1， ∴|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2＋k2－k2k 2－2＝63，整理得28k 4－55k 2＋25＝0， ∴k 2＝57或k 2＝54.又1＜k ＜2，∴k ＝52， ∴x 1＋x 2＝45，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8.设C (x 3，y 3)，由OC →＝m (OA →＋OB →)，得(x 3，y 3)＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(45m,8m )． ∵点C 是双曲线上一点，∴80m 2－64m 2＝1，得m ＝±14.故k ＝52，m ＝±14. [点石成金] 研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定.已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，求双曲线E 的方程．解：设双曲线E 的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差，得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－12b 2－15a 2＝4b25a2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5. 所以双曲线E 的标准方程是x 24－y 25＝1.[方法技巧] 1.双曲线标准方程的求法(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2m －y 2n＝1(mn >0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，这种形式在解题时更简便；(2)当已知双曲线的渐近线方程bx ±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值．2．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线方程．3．双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．4．过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a.5．过双曲线焦点F 1的弦AB 与双曲线交在同支上，则AB 与另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为4a ＋2|AB |.[易错防范] 1.在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线还是双曲线的某一支．2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±a bx .3．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．4．要牢记在双曲线中c 2＝a 2＋b 2，离心率e >1这两点是不同于椭圆的．真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)答案：A解析：由题意，得(m 2＋n )(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1<n <3.2．[2016·天津卷]已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b ＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 答案：D解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b 2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b 2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2，y A ＝2b4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，故选D.3．[2016·新课标全国卷Ⅱ]已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左，右焦点，点M 在E上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3 D ．2答案：A解析：设F 1(－c,0)，将x ＝－c 代入双曲线方程，得c 2a －y 2b ＝1，所以y 2b ＝c 2a －1＝b 2a ，所以y ＝±b 2a.因为sin ∠MF 2F 1＝13，所以tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝b 2a2c＝b 22ac ＝c 2－a 22ac ＝c 2a －a 2c ＝e 2－12e ＝24，所以e 2－22e －1＝0，所以e ＝ 2.故选A. 4．[2016·浙江卷]已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1答案：A解析：由于m 2－1＝c 2，n 2＋1＝c 2，则m 2－n 2＝2，故m >n ，又(e 1e 2)2＝m 2－1m ·n 2＋1n＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2>1，所以e 1e 2>1.故选A. 5．[2016·北京卷]双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a ＝________. 答案：2解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性可得ba＝1.又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22，所以a 2＋b 2＝c 2＝(22)2，解得a ＝2.6．[2016·山东卷]已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．答案：2解析：如图，由题意不妨设|AB |＝3，则|BC |＝2.设AB ，CD 的中点分别为M ，N ，则在Rt △BMN 中，|MN |＝2c ＝2，故|BN |＝|BM |2＋|MN |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝52. 由双曲线的定义可得2a ＝|BN |－|BM |＝52－32＝1，而2c ＝|MN |＝2，所以双曲线的离心率e ＝2c2a＝2.课外拓展阅读求双曲线离心率的易错点[典例] [2016·天津模拟]已知双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn >0)的一条渐近线方程为y ＝±43x ，则该双曲线的离心率为________．[易错分析] (1)未考虑m ，n 的取值，易漏掉焦点在另一坐标轴上的情况； (2)易将ba弄错，从而导致失分． [解析] 当m >0，n >0时，则有n m ＝43，所以n m ＝169， e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝1＋169＝53；当m <0，n <0时，则有m n ＝43，所以m n ＝169， e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝1＋916＝54，综上可知，该双曲线的离心率为53或54.[答案] 53或54温馨提醒(1)对于方程x 2m －y 2n＝1表示的曲线一定要视m ，n 的不同取值进行讨论，m ，n 的取值不同表示的曲线就不同．(2)对于双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn >0)的焦点位置不同，则ba的值就不一样，一定要注意区分．提醒完成课时跟踪检测(五十二)。

高等数学第九章习题答案

高等数学第九章习题答案高等数学第九章习题答案高等数学是大学数学的一门重要课程，涵盖了广泛的数学知识和技巧。

第九章是高等数学中的一个重要章节，主要涉及到微分方程和级数。

本文将为大家提供高等数学第九章习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 求解微分方程dy/dx = 2xy。

首先，我们可以将该微分方程转化为变量分离的形式。

将dy/dx移项得到dy/y = 2xdx。

对两边同时积分，得到ln|y| = x^2 + C，其中C为常数。

再对等式两边取指数，得到|y| = e^(x^2 + C)。

由于指数函数的定义域为正数，所以我们可以去掉绝对值符号，得到y = ±e^(x^2 + C)。

因此，该微分方程的通解为y = Ce^(x^2)，其中C为任意常数。

2. 求解微分方程dy/dx = y^2 - 1。

同样地，我们将该微分方程转化为变量分离的形式。

将dy/dx移项得到dy/(y^2 - 1) = dx。

对两边同时积分，得到∫(1/(y^2 - 1))dy = ∫dx。

对左边的积分进行分解，得到∫(1/[(y+1)(y-1)])dy = ∫dx。

通过部分分式的方法，我们可以将左边的积分化简为∫[(1/2)/(y-1) - (1/2)/(y+1)]dy = ∫dx。

继续进行积分，得到(1/2)ln|y-1| - (1/2)ln|y+1| = x + C，其中C为常数。

再对等式两边取指数，得到|y-1|/|y+1| = e^(2x+2C)。

由于指数函数的定义域为正数，所以我们可以去掉绝对值符号，得到(y-1)/(y+1) = e^(2x+2C)。

进一步化简得到y =(1+e^(2x+2C))/(1-e^(2x+2C))。

因此，该微分方程的通解为y =(1+e^(2x+2C))/(1-e^(2x+2C))，其中C为任意常数。

3. 求解级数∑(n=1到∞) [(n+1)/n^2]。

首先，我们可以对级数进行变形，得到∑(n=1到∞) [(n+1)/n^2] = ∑(n=1到∞) [1/n - 1/n^2]。

袁艳红主编大学物理学第九章课后习题答案

1第9章静电场习题一选择题9-1 两个带有电量为2q 等量异号电荷，形状相同的金属小球A 和B 相互作用力为f ，它们之间的距离R 远大于小球本身的直径，现在用一个带有绝缘柄的原来不带电的相同的金属小球C 去和小球A 接触，再和B 接触，然后移去，则球A 和球B 之间的作用力变为[ ](A)4f (B) 8f (C) 38f (D) 16f答案：B解析：经过碰撞后，球A 、B 带电量为2q，根据库伦定律12204q q F r πε=，可知球A 、B 间的作用力变为8f。

9-2关于电场强度定义式/F E =0q ，下列说法中哪个是正确的？[ ] (A) 电场场强E 的大小与试验电荷0q 的大小成反比 (B) 对场中某点，试验电荷受力F 与0q 的比值不因0q 而变 (C) 试验电荷受力F 的方向就是电场强度E 的方向 (D) 若场中某点不放试验电荷0q ，则0=F ，从而0=E 答案：B解析：根据电场强度的定义，E 的大小与试验电荷无关，方向为试验电荷为正电荷时的受力方向。

因而正确答案（B ）9-3 如图9-3所示，任一闭合曲面S 内有一点电荷q ，O 为S 面上任一点，若将q 由闭合曲面内的P 点移到T 点，且 OP =OT ，那么[ ](A) 穿过S 面的电场强度通量改变，O 点的场强大小不变 (B) 穿过S 面的电场强度通量改变，O 点的场强大小改变习题9-3图2 (C) 穿过S 面的电场强度通量不变，O 点的场强大小改变 (D) 穿过S 面的电场强度通量不变，O 点的场强大小不变答案：D解析：根据高斯定理，穿过闭合曲面的电场强度通量正比于面内电荷量的代数和，曲面S 内电荷量没变，因而电场强度通量不变。

O 点电场强度大小与所有电荷有关，由点电荷电场强度大小的计算公式204q E r πε=，移动电荷后，由于OP =OT ，即r 没有变化，q 没有变化，因而电场强度大小不变。

因而正确答案（D ）9-4 在边长为a 的正立方体中心有一个电量为q 的点电荷，则通过该立方体任一面的电场强度通量为 [ ](A) q /ε0 (B) q /2ε0 (C) q /4ε0 (D) q /6ε0 答案：D解析：根据电场的高斯定理，通过该立方体的电场强度通量为q /ε0，并且电荷位于正立方体中心，因此通过立方体六个面的电场强度通量大小相等。

第9章参考答案

第九章第一节参考答案跟踪练习：1、D2、C3、A4、C5、B当堂达标：1、磁铁的两端磁性强，所以吸引的大头针多；大头针被磁化，所以吸住一串大头针。

2、用一块磁铁靠近这三根棒：（1）不被吸引的是铜棒（2）只被吸引的是铁棒（3）被吸引，调换方向后又排斥的是磁铁棒3、ABC4、摩擦起电吸引灰尘，棋子和棋盘都是磁体。

5、喇叭里有磁铁，靠近后会减弱磁带的磁性。

6、同名磁极互相排斥，力可以改物体的运动状态。

第九章第二节参考答案跟踪练习一：1、D2、C3、略跟踪练习二：1、A2、（1）第四种说法（2）当信鸽飞行途中遇到雷雨和飞经电视发射塔附近时，由于这些区域的地磁场会受到干扰，扰乱了信鸽对地磁场的正确感知，使信鸽迷失方向。

（3）对比的方法当堂达标：1、BD2、地磁场，N3、B4、B5、排斥6、大磁体，不是7、磁感线，N极，S极8、办法：将铁屑撒在种子里并搅拌均匀，使铁屑吸附在杂草种子上，然后用磁铁将铁屑和杂草种子一起从混合种子中吸出来。

道理：磁铁具有吸引铁的性质。

9、（1）应多做几次实验，观察小磁针静止时，是否总是指向某一方向（2）小磁针静止时，N极所指的方向应是“月磁”的南极。

第九章第三节参考答案跟踪练习一：1、C跟踪练习二：1、B2、3、4 略当堂达标：1、A2、A3、C4、B5、D6、N，负，N7、通电导体周围有磁场，正第九章第四节参考答案跟踪练习一：1、D2、D3、C跟踪练习二：1、B2、D3、A4、铁芯；有电流通过时有磁性，没有电流时就失去磁性；磁化；磁性；铁芯；螺线管5、漆包线绕过软铁棒形成一个螺线管，连到电池组的两极上形成一个电磁铁，将地上的铁钉吸引出来。

当堂达标：1、b，变亮，上2、将插有细铁芯的电磁铁靠近铁钉，记下吸引铁钉的个数，再将插有粗铁芯的电磁铁靠近铁钉，记下吸引铁钉的个数。

比较两次吸引铁钉的多少，吸引的铁钉越多，磁性越强。

3、N，重力，二力平衡，磨擦4、（2）N，（3）左，大，大（4）强，多，强，第九章第五节参考答案第九章第六节参考答案学点一： 1、力 2、电流的方向磁感线的方向跟踪练习1： 1、ABD 2、下下上学点二：两部分转子定子向上向下向上向下电流的方向向上向下通电线圈在磁场中受力转动的原理跟踪练习2： 1、金属半环闭合电路自动2、D3、C学点三：直流电动机交流电动机电能机械能1、C2、热能机械能达标检测： 1、电流方向磁感线的方向 b和c2、C3、C4、ABC第九章第七节参考答案学点一：奥斯特法拉第火力发电、水力发电、风力发电产生感应电流的条件：闭合电路的一部分导体在磁场中做切割磁感线时，导体中就产生电流.导体运动的方向磁感线的方向电磁感应现象感应电流跟踪练习一1、机械能电能机械能电能2、C3、A4、A5、B学点二1、线圈磁体电刷等或转子定子电刷换向器等2、线圈转动越快，指针摆动频率越快，偏转幅度越大3、转速越大，灯泡越亮4、电流方向周期变化的电流5、在交变电流中，电流在每秒内周期性变化的次数叫做频率单位赫兹符号Hz 50 Hz6、A 、 B 、没有、 B 、A 、没有跟踪练习二1、D2、C E达标检测1、C2、B3、a、导体沿磁感线方向运动时，不能产生感应电流b、磁感线方向相同时，导体切割磁力线的运动方向影响感应电流的方向c、导体静止时不会产生感应电流d、导体运动方向相同时，磁感线的方向影响电流的方向。

【精品】第09章习题解

第9章真空中的静电场9。

1两个电量都是q +的点电荷分别固定在真空中两点A B 、，相距2a .在它们连线的中垂线上放一个电量为q '的点电荷，q '到A B 、连线中点的距离为r 。

求q '所受的静电力，并讨论q '在A B 、连线的中垂线上哪一点受力最大？若q '在A B 、的中垂线上某一位置由静止释放，它将如何运动?分别就q '与q 同号和异号两种情况进行讨论.解：()1222014qq F F a r πε'==+()1322022cos 2qq rF F arθπε'==+方向沿两点电荷连线垂直线远离它们方向。

令0dFdr= ()()()1222223220202a r a r dF qq dr a r πε⎡⎤+-'⎢⎥==⎢⎥+⎢⎥⎣⎦()2220a r -=2r a =±在q '为正电荷时,在中垂线某位置由静止释放时，q '将沿中垂线远离，作变加速速直线运动；若q '为负电荷，q '以AB 连线的中点为平衡位置作振动；若释放点为AB 连线中点，静止释放时，无论q '为正、负电荷均因受力为0而不运动。

9。

2在正方形的顶点上各放一个点电荷q。

（1)证明放在正方形中心的任意点电荷受力为零.(2）若在正方形中心放一个点电荷q，使得顶点上每个点电荷受到的合力恰好为零，求q'与q的关系。

解：⑴设正方形边长为a，正方形上各点电荷对中心放置的点电荷的作用力大小均为：220011422qq qqFaaπεπε''==⎛⎫⎪⎝⎭q'所受到的四个力大小相等且对称，两相对顶点上的点电荷为一对平衡力，即q'受力为0.⑵设正方形四个顶点上放置的点电荷q为正电荷，由于对称性，则可选一个顶点处理，其它点电荷对其的作用力大小为：1214qqFaπε=22142qqFaπε=3220011244qq qqFaπεπε''==⎫⎪⎝⎭各力的方向如图所示，要满足题意，中心点电荷q'应为负电荷。

2020人教新课标高考物理总复习教师用书：第九章磁场(教师用) 含答案

第九章 ⎪⎪⎪磁场 [全国卷5年考情分析]通电直导线和通电线圈周围磁场的方向(Ⅰ)洛伦兹力、洛伦兹力的方向(Ⅰ) 洛伦兹力公式(Ⅱ) 以上3个考点未曾独立命题(5)带电粒子在复合场中24第1节磁场的描述磁场对电流的作用一、磁场、磁感应强度 1．磁场基本性质：磁场对处于其中的磁体、电流和运动电荷有磁场力的作用。

2．磁感应强度(1)物理意义：描述磁场的强弱和方向。

(2)大小：B＝FIL。

[注1](3)方向：小磁针的N极所受磁场力的方向，也就是小磁针静止时N极的指向。

(4)单位：特斯拉(T)。

3．匀强磁场(1)定义：磁感应强度的大小处处相等、方向处处相同的磁场称为匀强磁场。

(2)特点：磁感线疏密程度相同、方向相同。

二、磁感线通电直导线和通电线圈周围磁场的方向1．磁感线及其特点(1)磁感线：在磁场中画出一些曲线，使曲线上每一点的切线方向都跟这点的磁感应强度的方向一致。

(2)特点[注2]①磁感线上某点的切线方向就是该点的磁场方向。

②磁感线的疏密定性地表示磁场的强弱。

③磁感线是闭合曲线，没有起点和终点。

④磁感线是假想的曲线，客观上不存在。

2．电流的磁场三、安培力、安培力的方向匀强磁场中的安培力1．安培力的大小(1)磁场和电流垂直时：F＝BIL。

(2)磁场和电流平行时：F＝0。

2．安培力的方向左手定则判断：[注3](1)伸出左手，让拇指与其余四指垂直，并且都在同一个平面内。

(2)让磁感线从掌心进入，并使四指指向电流方向。

(3)拇指所指的方向就是通电导线在磁场中所受安培力的方向。

【注解释疑】[注1]B的大小和方向由磁场本身决定，与该处放不放通电导线无关，在定义式中一定要强调通电导线垂直于磁场。

[注2]磁场是客观存在的特殊物质，磁感线是假想的曲线；磁感线是闭合的曲线，而电场线是不闭合的曲线。

[注3]安培力方向一定垂直电流与磁场方向决定的平面，即同时有F⊥I，F A⊥B。

而磁场与电流的方向可以A不垂直。

[深化理解]1．电流不受安培力或运动电荷不受洛伦兹力，都不能说明该处没有磁场，这一点与电场不同，电荷在电场中一定受电场力作用。

上海财经大学《高等数学》第九章习题及解答

第九章习题解答1.设xoy 平面上的一块平面薄片D ，薄片上分布有密度为),(y x u 的电荷，且),(y x u 在D 上连续，请给出薄片上电荷Q 的二重积分表达式．[解] 板上的全部电荷应等于电荷的面密度(,)u x y 在该板所占闭区域D 上的二重积分, 即=(,)DQ u x y d σ⎰⎰.2.由平面1342=++z y x ，0=x ， 0=y ，0=z 围成的四面体的体积为V ，试用二重积分表示V ． [解] 4(1)23Dx yV dxdy =--⎰⎰. 3．比较大小 (1) σ⎰⎰+D d y x 2)( 与σ⎰⎰+Dd y x 3)(，其中D 是x 轴、y 轴与直线1=+y x 所围成．(2)σ⎰⎰+Dd y x 2)(与σ⎰⎰+Dd y x 3)(，其中D 是由圆2)1()2(22=-+-y x 所围成． [解] (1) 由0x 1y ≤+≤，得32()x y ≤+(x+y), 由二重积分的性质可得23()()DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰.(2) 由积分区域D 位于+1x y ≥的半平面内，所以D 内有23()()x y x y +≤+，由二重积分的性质可得23()()DDx y d x y d σσ+≤+⎰⎰⎰⎰. 4．估计： (1) I=σ⎰⎰+Dd y x xy )(，其中D 是矩形区域：0≤x ≤1，0≤y ≤1；(2) I=σ⎰⎰++Dd y x )1(，其中D 是矩形区域：0≤x ≤1，0≤y ≤2；(3) I=σ⎰⎰++Dd y x )9(22，其中D 是圆形区域：422≤+y x ． [解] (1) 因为在区域D 上有01,0y 1x ≤≤≤≤，所以01,02,xy x y ≤≤≤+≤故0()2xy x y ≤+≤，所以0()22,DDDd xy x y d d D σσσ≤+≤=⎰⎰⎰⎰⎰⎰上海财经大学《高等数学》第九章习题及解答即()2Dxy x y d σ≤+≤⎰⎰0.（2）因为在区域D 上01,02x y ≤≤≤≤，所以114x y ≤++≤，故()=x 14=4DDDD d y d d D σσσ≤++≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰，即()218Dx y d σ≤++≤⎰⎰.(3) 因为2222x 494()925,y x y ≤++≤++≤9，所以25D I D ≤≤9，即36100I ππ≤≤.5．由二重积分的几何意义计算⎰⎰--Dd y x R σ222，222:R y x D ≤+．[解] 令2222z x y z R =++=，所以z Dd σ⎰⎰为上半球体的体积, 于是有314=23DR σπ⋅⎰⎰.6．求下列二重积分 1)σ⎰⎰+D d y x)(22，其中D 是矩形区域：|x|≤1， |y|≤1；2)σ⎰⎰+Dd y x )23(，其中D 是x 轴、y 轴与直线2=+y x 所围成闭区域;3)σ⎰⎰++Dd y y x x )3(322，其中D 是矩形闭区域：0≤x ≤1，0≤y ≤1； 4)σ⎰⎰+Dd y x x )cos(, 其中D 是顶点分别为（0，0），（π,0）和(π,π)的三角形闭区域; 5）σ⎰⎰Dy x d e),max{22，其中D 是矩形闭区域：0≤x ≤1，0≤y ≤1.[解] (1) 1112222211128233Dx y d x y dxdy x dx σ---+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰（）（）（）. （2）22-003232xDx y d dx x y dy σ+=+⎰⎰⎰⎰（）（）22224)xx dx =++⎰(-3220220(4)33x x x =-++=.(3) 11323323033Dx x y y d dy xx y y dx σ++=++⎰⎰⎰⎰（）（）42131001()()14424y y y y y dy =++=++=⎰.(4)coscos()xDx x y d xdx x y dy πσ+=+⎰⎰⎰⎰（）001(sin 2sin )(cos 2cos )2x x x dx xd x x ππ=-=--⎰⎰00113(cos 2-cos )cos 2-cos 222x x x x x dx πππ=-+=-⎰（）. (5) 因{}222222111max ,100001111(1)2222x x y x x x xD e d dx e dy e xdx e dx e e σ=====-⎰⎰⎰⎰⎰⎰, 所以 {}22max ,(1)x y Ded e σ=-⎰⎰.7. 画出积分区域，计算积分： 1) σ⎰⎰Dd y x ，其中D 是由两条抛物线2x y =, x y =所围成闭区域， 2) σ⎰⎰Dd xy2，其中D 是由圆周422=+y x 及y 轴所围成右半闭区域，3) σ⎰⎰+D yx d e, 其中D 是由1≤+y x 所确定的闭区域，4)σ⎰⎰-+Dd x y x )(22，其中D 是由直线x y y ==,2 及x y 2=所围成的闭区域． [解] （1）图略.27114400226()3355xDdx x x dx σ==-=⎰⎰⎰⎰（2）图略.222352222164();31015Dxy d dy dx y y σ--==-=⎰⎰⎰ （3）图略.1111101x x x y x y x y x x De d e dx e dy e dx e dy σ+-++----=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰1211211()()x x ee dx e e dx +---=-+-⎰⎰21021111111()()22x x e x ex e e e e +---=-+-=-.(4) 图略.2222202()()yy Dxy x dy x y x dx +-=+-⎰⎰⎰⎰2330193()248y y dy =-⎰ 4321911()2448y y =⋅- 136=. 8. 交换下列的积分顺序 1) ⎰⎰--22221),(x x xdy y x f dx ,2) ⎰⎰--aax a dy y x f dx 220),(3）⎰⎰-xx dy y x f dx sin 2sin 0),(π；4）⎰⎰--2ln 1),(2y e dx y x f dy ⎰⎰-++2)1(2112),(y dx y x f dy ;5)⎰⎰⎰⎰-+31301020),(),(yy dx y x f dy dx y x f dy ;6)⎰⎰--2ln 1),(2ye dx y xf dy ⎰⎰-++2)1(2112),(y dx y x f dy .[解] (1) 图略.2111202(,)(,)xydx f x y dy dy f x y dx--=⎰⎰⎰(2) 图略.(,)(,)aaadx f x y dy dy f x y dx-=⎰⎰(3) 图略.sin 01arcsin 0sin12arcsin 0arcsin 2(,)(,)(,)xyx yydx f x y dy dy f x y dx dy f x y dxπππ----=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4) 图略. 因{}{}22ln =1,2(,)111)2D y e y x x y y y x -≤≤-≤≤⋃≤≤-≤≤（x,y ）,因此积分区域还可以表示为212,02,1x D x y x e y x -⎧⎫⎪⎪=≤≤≤≤+⎨⎬⎪⎪⎩⎭（）,所以 1222212221(101)1 (,)(,)(,)x x eIn y yedy f x y dx f x y dx dx f x y dy --+--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(5) 图略. 由3x y =-和=2=1x y ,，得123323012(,)(,)=(,)yyxxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy --+⎰⎰⎰⎰⎰⎰.9．计算下列二重积分： ⑴⎰⎰+Dy x d e σ23．2||,2||:≤≤y x D ⑵⎰⎰+Dd y xσ)(22．1||||:≤+y x D ．⑶⎰⎰+Ddxdy y x 221．10,10:≤≤≤≤y x D . ⑷⎰⎰--Ddxdy y x )2(21．2,:x y x y D ==． [解] 223232322266442222111(1)()()326x y x y x y De d e dx e dy e e e e e e σ+------==+=--⎰⎰⎰⎰. (2)3111222100()()3xxy dx x y dy dx x y --+=+⎰⎰⎰3120(1)(1)3x x x dx ⎡⎤-=-+⎢⎥⎣⎦⎰ 12463=⨯=. (3) 23112110220011arctan 1133412Dx x dxdy x dx dy yy y ππ===⋅=++⎰⎰⎰⎰. (4)21011(2)(2)22x x Dx y dxdy dx x y --=--⎰⎰⎰⎰ 22101(2)22xx y dx y xy =--⎰2412230122222x x x x x x dx ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-----⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰1711(1)26410=-++ 11120=.10．利用极坐标求下列积分 1）⎰⎰+Dd y x σ)(22其中D 是由直线x y =, )0(3,,>==+=a a y a y a x y 所围成的区域. 2)⎰⎰+Ddxdy y x 22．1:22≤+y x D ．3）⎰⎰--D d y x R σ222,其中D 是由圆周Rx y x =+22所围成的区域.4) ⎰⎰+Ddxdy y x)(22．y y x D 6:22≤+．5）⎰⎰-+Dd y x σ222,其中D :322≤+y x . 6)σ⎰⎰++Dd y x )1ln(22,其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的第一象限内的闭区域； 7)计算dxdy y x D)(22⎰⎰+，其 D 为由圆 y y x 222=+，y y x 422=+及直线y x 3-0=， 03=-x y 所围成的平面闭区域8) 计算二重积分⎰⎰++Ddxdyyx y x 2222)sin(π,其中积分区域为22{(,)|14}D x y x y =≤+≤；9)σ⎰⎰++--Dd yx y x 222211，其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的第一象限内的闭区域． 10)⎰⎰++Dd y xσ)1ln(22．4:22≤+y x D ，0≥x ，0≥y ．[解] (1) 32222414ayay a Dx y d dy x y dx a σ-+=+=⎰⎰⎰⎰（）（）.（2）2120012233Dd r dr πθππ==⋅=⎰⎰.（3）cos 202R Dd rdr πθπθ-=⎰⎰cos 202R d rdr πθθ=⎰⎰33320112(sin )33R R d πθθ=-⎰34()33R π=-. （4）设cos ,sin x r y r θθ==, 则006sin r θπθ≤≤≤≤，.22=Dx y dxdy +⎰⎰原式（）6sin 3444000136sin 6432d r dr d πθπθθθπ==⨯=⎰⎰⎰.2222222000442230(5)22)2)55((24442D x y d d rdr d r rdr r rdr r r d r r πππσθθθππ⎡⎤+-=-=-+-⎢⎥⎣⎦⎡=--=⋅=⎢⎣⎰⎰⎰⎰⎰（6）积分区域D 的极坐标表达式0,012r πθ≤≤≤≤，则12222+x (1)(221)4DInd In r rdr In ππσ=+=-⎰⎰⎰⎰（1+y ）.（7）内边界22sin 2sin r r r θθ=⇒=, 外边界24sin 4sin r r r θθ=⇒=,则,2sin 4sin 63r ππθθθ≤≤≤≤，所以原式=4sin 2224332sin 6660sin 15(48Ddxdy d r rdr d ππθππθπθθθ=⋅==-⎰⎰⎰⎰⎰（x +y ）（8）cos ,sin x r y r θθ==，则02,12r θπ≤≤≤≤，原式221=sin 4Dd rdr πθπ==-⎰⎰.（9）采用极坐标计算200(2)8Dd ππθπ==-⎰⎰. (10) 积分区域D 的极坐标表达式为022r πθ≤≤≤≤0，，则22222+(1)(554)4DInd d In r rdr In ππσθ=+=-⎰⎰⎰⎰（1x +y ）.11. 将三次积分⎰⎰⎰yxxdz z y x f dy dx ),,(110改换积分次序为z y x →→.[解] 110(,,)(,,)xy yy x xxD I dx dy f x y z dz d f x y z dz σ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，现改为先y 后x 的顺序：11(,,)(,,)yyxDxzI dy dx f x y z dz dy f x y z d σ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰现改为先x 后z 的顺序:10(,,)(,,)yzy z zD I dy dz f x y z dx d f x y z dx σ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰现改为先y 后z 的顺序:110(,,)zzI dz dy f x y z dx =⎰⎰⎰.12．将三次积分⎰⎰⎰+10122),,(y x dz z y x f dy dx 改变成按x z y ,,的次序积分.[解] 1()(,,)(,,)D x I f x y z dV dx f x y z Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,其中22.Dy ≤≤≤≤+（x ）：0y 1,0z x 现改为先y 后z 的顺序，将D （x ）分成两部分: 2,01;y ≤≤≤≤0z x2211x z x y ≤≤+≤≤,所以：222111110=x x xI dx dz dy dx dz ++⎰⎰⎰⎰⎰.13．.求下列给定区域的体积 1)求由曲面222y xz +=及2226y x z --=,所围成的立体的体积;2）求由下列曲面所围成的立体体积，y x z+=，xy z =，1=+y x ，0=x ，0=y .[解] 1) 222226(2)z x y x y =+=-+, {22(,)|2},D x y x y =+≤ 于是2222(62)(2)DV z y x y dxdy =---+⎰⎰2263()D xy dxdy =-+⎰⎰2203)6r rdrd πθπ=-=⎰. 2) []111107()24xx y xx y z x xyV d d d d x y xydy -+-==+-=⎰⎰⎰⎰⎰. 14．作适当的变换,计算下列二重积分:1）⎰⎰Ddxdy y x22,其中D 是由两条双曲线1=xy 和2=xy ,直线x y =和xy 4=所围成的在第Ⅰ象限的闭区域. 2）⎰⎰+Ddxdy y x )(22,其中D 是椭圆区域:1422≤+y x . [解] 1) (,)(,)1,2,(,)(,)22u xyu v x y v yx y u v v v =⎧∂∂⎪==⎨∂∂=⎪⎩, {}'(,)|12,14D u v u v =≤≤≤≤, 于是,2422221117ln 2223x y u v u v D D u x y d d u d d d d v v =⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 2) cos 1sin 2x r y r θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩, {}'(,)|01,02D r r θθπ=≤≤≤≤, 于是 ,,222221()(cos sin )42D Dr x y dxdy r drd θθθ+=+⎰⎰⎰⎰ 123001535(cos 2)28832r drd πθθπ=+=⎰⎰.15. 计算dxdydz z xy V42⎰⎰⎰．31,20,10:≤≤≤≤≤≤z y x V ．[解]1232424213230010111196823515Vxy z dxdydz xdx y dy z dz x y z ==⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 16．计算dxdydz z y x V⎰⎰⎰++)sin(．V 由平面0=x ，0=y ，0=z ，2π=++z y x 围成．[解]222sin()sin()x yx y z dxdydz dx dy x y z dz πππ--Ω++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22200cos()|x ydx x y z dy πππ--=-++⎰⎰22sin()|xx y dx ππ-=+⎰12π=-.17．在柱面坐标系下计算三重积分dxdydz y xV⎰⎰⎰+)(22，其中V 由旋转抛物面)(2122y x z +=及平面2=z 所围成的立体． [解] 令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩, {}'02,02V r z θπ=≤≤≤≤≤≤, 于是,222223016()3x y z r z r z VVx y d d d r rd d d d d d πθθπ+=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 18．设有物体占有空间V: 0≤x ≤1, 0≤y ≤1,0≤z ≤1,在点()z y x ,,的密度是()z y x z y x ++=,,ρ,求该物质量.[解] (,,)()M x y z dxdydz x y z dxdydz ρΩΩ==++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1113()2dx dy x y z dz =++=⎰⎰⎰. 19.计算⎰⎰⎰Vdxdydz z xy32,其中V 是曲面xy z =与平面1,==x x y 和0=z 所围成的闭区域．[解] Ω在xOy 面上的投影区域Dxy 由,1,0y x x y ===所围成，则11232312001128364xxyxyz dxdydz xdx y dy z dz x dx Ω===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 20.计算⎰⎰⎰+++Vz y x dxdydz3)1(, 其中V 是平面1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成的四面体．[解] 令1x y z ++=中的0z =，得1x y +=，Ω在xOy 面上的投影区域Dxy 由0,0,1x y x y ==+=所围成, 所以111330001(1)(1)x x y dxdydz dx dy dz x y z x y z ---Ω=++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 1120011115()(ln 2)24(1)28x x y d d x y -=--=--++⎰⎰. 21. 计算⎰⎰⎰Vxyzdxdydz ,其中V 是球面1222=++z y x 及坐标面所围成的第一卦限内的闭区域．[解] 令2221x y z ++=中z=0得221y +=x ，故Ω在xOy 面上的投影区域Dxy 由221,0,0x y x y +===所围成，故1xyzdxdydz dx xyzdz Ω=⎰⎰⎰⎰1122220001111(1)(1)22448xdx y x y dy x x dx ⎡⎤=--=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰. 22. 计算⎰⎰⎰Vxyzdxdydz ,其中V 是平面1,,0===y y z z 以及抛物柱面2x y =所围成的闭区域．[解] （1）故Ω在xOy 面上的投影区域Dxy 由1y =，2y x =所围成, 所以2111yxxzdxdydz dx dy xzdz -Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰21121102x xdx y dy -==⎰⎰. （2）Ω在z 轴上的投影区域为[]0,h ，过[]0h ，内的任一点做垂直于z 轴的平面截Ω得截面为一圆域Dz ，其半径为R z h，所以Dz 为：22222R x y z h +=，面积为222R z h π，所以222224hhDzR R h zdxdydz zdz dxdy zz dz h ππΩ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.23. 计算⎰⎰⎰Vzdxdydz , 其中V 是曲面222y x z --=及22y x z +=所围成的闭区域． [解]联立z =及22z x y =+，22=1x y +，故Ω在xOy 面上的投影区域为221x y +≤ ，用柱坐标得2242121027()2212rr r zdv d rdr d r dr ππθπθΩ-==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.24. 计算⎰⎰⎰+Vdv y x )(22,其中V 是z y x 222=+及平面2=z 所围成的闭区域． [解] 联立222x y z +=及2z =得224x y +=，故Ω在xOy 面上的投影区域为224x y +≤，所以2222223216()3r x y dv d r dr dz ππθΩ+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 25. 计算⎰⎰⎰++Vdv z y x )(222,其中V 是球面1222=++z y x 所围成的闭区域． [解]2122240004()sin 5x y z dv d d r dr ππϕπθϕΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 26. 计算⎰⎰⎰Vzdv ,其中V 是由不等式()2222a a z y x ≤-++, 222z y x ≤+所围成的闭区域．[解] 在球面坐标系中，2222()y z a a ++-≤x ，即为2222cos ,r a x y z ϕ≤+≤，即4πϕ≤，所以22cos 2344440sin cos 2sin 2cos a zdv d d r dr ad d πππϕπϕϕϕϕϕθϕθΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰245440074cos (cos )6ad d a ππθϕϕπ=-=⎰⎰.27. 用三重积分计算下面所围体的体积:(1) 226y x z --=及22y x z +=(2) az z y x 2222=++及222z y x =+(含z 轴部分).[解] (1) 226z x y =--可变为26z r =-, z =变为z r =, 则22262230322(6)3r rV dv rdrd dz d rdr dz r r r dr r πθθπ-ΩΩ====--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. (2) 222x y z +=的球面坐标方程为=4πϕ, 2222x y z az ++=的球面坐标方程为2cos r a ϕ=, 则22cos 22340sin sin a V dv r drd d d d r dr a ππϕϕϕϕθπθϕΩΩ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.28. 求球面2222a z y x=++，含在圆柱体ax y x =+22内部的那部分面积.[解]上半球面方程为1D 为曲面在第一象限的投影：22,0x y ax y +≤≥，14D A =14D =cos 204a d πθθ=⎰⎰204(sin )a a a d πθθ=-⎰22(2)a π=-.29. 求锥面22y x z +=被柱面x z 22=所截得部分的曲面面积.[解] 由2222,2z x y z x =+=得222x y x +=，故所求曲面在xOy 的投影区域D 为222y x +≤x ，于是DA =D=⎰⎰Ddxdy ==.30. 求圆柱面222x y R +=将球面22224x y z R ++=截下部分的面积.[解] 由对称性,只考虑z =D :222x y R +≤, 于是x z =，y z =,==.因此，2S σ=⎰⎰4R d σ=⎰⎰4R θ=⎰⎰204R Rd πθ=⎰⎰0142(2RR π=⋅⋅-⋅28(2R π=.31. 求圆柱面222x y R +=，222x z R +=所围成的立体的表面积.[解] 由对称性,只考虑z =，D ：222x y R +≤. 于是，==, 因此所求的表面积为16S σ=⎰⎰16σ=⎰⎰16R Rdx =⎰201616RR dx R ==⎰.32. 已知A 球的半径为R , B 球的半径为h 且球心在A 球的表面上, 求夹在A 球内部的B球的部分面积(02h R ≤≤).[解] 建立坐标系可设球A ：2222x y z R ++=，球B ：2222()x y z R h ++-=，则两球面的交线在xOy 面的投影区域为D ：222222(4)4h x y R h R+=-，在A 球内部的B球面为：z R =A 球内部的B 球的表面积()S h σ=⎰⎰σ=⎰⎰θ=⎰⎰20hd πθ=⎰322h h Rππ=-.33. 求均匀半球体0,2222≥≤++z r z y x 的质心.[解]),0,0(r34. 求下列均匀的平面薄板重心：(1) 半椭圆;0,12222≥≤+y by a x (2) 高为h ，底分别为a 和b 的等腰梯形.[解] (1)设重心位置在),(y x ,由对称性0=x ,现求y .⎰⎰⎰⎰⎰⎰==DDDydxdy ab dxdyydxdyy πμμ2dr r ab d ab θθππsin 22120⎰⎰=π34b =. (2)设等腰梯形在直角坐标系中位置如图,其重心位置为),(y x , 对称性可得0=x ，并且有⎰⎰⎰⎰⎰⎰+==D DD ydxdy h b a dxdy ydxdyy )(2μμ⎰⎰--+=h y L y L dx ydy h b a 0)()(1211)(2 =⎰+--+h ydy a h y h b a h b a 0])([)(2=h b a ab )(32++，其中，12():()2h a L x y x h b a =++-, 22():()2h aL x y x h a b =-+-. 35. 由直线2,2,2===+y x y x 所围成的质量分布均匀 (设面密度为μ)的平面薄板,关于x 轴的转动惯量xI .[解] 2222024x y x yDI y d y d d σμμμ-===⎰⎰⎰⎰.36. 求边长为密度均匀的立方体关于其任一棱边的转动惯量.[解] 设方体的密度为ρ, 则22()z VI x y dxdydz ρ=+⎰⎰⎰2250002()3aaadx dy x y dz a ρρ=+=⎰⎰⎰.37. 求半径为a ，高为h 的圆柱体对于过其中心并且平行于母线的轴的转动惯量(假设密度1ρ=).[解] 建立坐标系，过中心且平行于母线的轴即为z 轴, 于是 22()(,,)z I x y x y z dv ρΩ=+⎰⎰⎰22()x y dv Ω=+⎰⎰⎰3r drd dz θΩ=⎰⎰⎰23ahd r dr dz πθ=⎰⎰⎰424a h π=⋅⋅412a h π=.38. 求抛物线2y x =，直线1y =所围成的均匀薄片对于直线1y =-的转动惯量.[解] 21(1)y DI y d ρσ=-=+⎰⎰21121(1)xdx y dy ρ-=+⎰⎰1231{8(1)}3x dx ρ-=-+⎰12302{8(1)}3x dx ρ=-+⎰164202{733}3x x x dx ρ=---⎰ 213368{71}375105ρρ=---=. 39. 求密度为ρ的均匀半球体对于在其中心的一单位质量的质点的引力.[解] 设球半径为R ，建立坐标系如图，由对称性，0x y F F ==；02222dv mdMdF kk r x y zρ==++， cos z dF dF γ={,,}n x y z =，02211,,}||n n x y z n x y ==+，故cos γ=；cos z dF dF γ=320222()zk dv x y z ρ=++，从而32222()z zdvF k x y z ρΩ=++⎰⎰⎰203cos sin r k r drd d rϕρϕθϕΩ=⎰⎰⎰0cos sin k drd d ρϕϕθϕΩ=⎰⎰⎰220000cos sin Rk d d dr ππρθϕϕϕ=⎰⎰⎰001{2}2k R k R ρπρπ=⋅⋅=.40. 求均匀薄片R y x ≤+22,0=z 对于轴上一点),0,0(c )0(>c 处的单位质量的引力;[解] 由对称性，引力方向必在z 轴方向上，因此0=x F ，0=y F ，且dxdy z y x ck F R y x x ⎰⎰≤+++=22223222)(μdr c r r d c k R⎰⎰+=0232220)(πθμ]1[222cR c k +-=πμ.故},0,0{Z F F =.41．求均匀柱体222a y x ≤+,h z ≤≤0对于点),0,0(c P )(h c >处的单位质量的引力.[解] 设物体密度为μ,由对称性0=x F ，0=y F . 进一步32222[()]z Vz cF k dxdydz x y z c μ-=++-⎰⎰⎰dz c z r c z dr r d k ha ⎰⎰⎰-+-=032220]])([[πθμ2]h k πμ=，故{0,0,2]}F h k πμ=, 其中k 为引力系数.。

2021版北师大版数学(文)大一轮复习文档：第九章平面解析几何 9.8 课时1 Word版含答案

1．直线与圆锥曲线的位置关系的推断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0 (或ay2＋by＋c ＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k (k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.【学问拓展】过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．【思考辨析】推断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与抛物线y2＝2px只有一个公共点，则l与抛物线相切．(×)(2)直线y＝kx (k≠0)与双曲线x2－y2＝1肯定相交．(×)(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．(√)(4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．(√)(5)过点(2,4)的直线与椭圆x24＋y2＝1只有一条切线．(×)(6)满足“直线y＝ax＋2与双曲线x2－y2＝4只有一个公共点”的a的值有4个．(√)1．直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．不确定答案A解析直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．2．若直线y＝kx与双曲线x29－y24＝1相交，则k的取值范围是()A.⎝⎛⎭⎫0，23B.⎝⎛⎭⎫－23，0C.⎝⎛⎭⎫－23，23D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞答案C解析双曲线x29－y24＝1的渐近线方程为y＝±23x，若直线与双曲线相交，数形结合，得k∈⎝⎛⎭⎫－23，23.3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条答案 C解析过(0,1)与抛物线y 2＝4x 相切的直线有2条，过(0,1)与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点．4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝8x 的准线上，则该双曲线的方程为______________．答案 x 2－y 23＝1 解析由于抛物线y 2＝8x 的准线方程为x ＝－2，则由题意知，点F (－2,0)是双曲线的左焦点，所以a 2＋b 2＝c 2＝4，又双曲线的一条渐近线方程是y ＝3x ，所以ba ＝3，解得a 2＝1，b 2＝3，所以双曲线的方程为x 2－y 23＝1. 5．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________．答案 16解析直线l 的方程为y ＝3x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋1x 2＝4y得y 2－14y ＋1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝14， ∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.课时1 直线与圆锥曲线题型一直线与圆锥曲线的位置关系例1 (1)过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条(2)(2022·湖北)设a ，b 是关于t 的方程t 2cos θ＋t sin θ＝0的两个不等实根，则过A (a ，a 2)，B (b ，b 2)两点的直线与双曲线x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1的公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 (1)B (2)A解析 (1)设抛物线的焦点为F ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋p 2＋x B ＋p2＝x A ＋x B ＋1＝2＋1＝3>2p ＝2.所以符合条件的直线有两条．(2)关于t 的方程t 2cos θ＋t sin θ＝0的两个不等实根为0，－tan θ(tan θ≠0)，则过A ，B 两点的直线方程为y ＝－x tan θ，双曲线x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1的渐近线方程为y ＝±x tan θ，所以直线y ＝－x tan θ与双曲线没有公共点．故选A.(3)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．①求椭圆C 1的方程；②设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．解 ①依据椭圆的左焦点为F 1(－1,0)，知a 2－b 2＝1，又依据点P (0,1)在椭圆上，知b ＝1，所以a ＝2，所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.②由于直线l 与椭圆C 1和抛物线C 2都相切，所以其斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋m )2＝1，即⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0，由题意可知此方程有唯一解，此时Δ＝4k 2m 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2(m 2－1)＝0，即m 2＝2k 2＋1.①把y ＝kx ＋m (k ≠0)代入抛物线方程得k4y 2－y ＋m ＝0，由题意可知此方程有唯一解，此时Δ＝1－mk ＝0，即mk ＝1.②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝2k 2＋1，mk ＝1，解得k 2＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－2，所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2. 思维升华争辩直线与圆锥曲线位置关系的方法争辩直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为争辩其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数．对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．解将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y 22＝1， ②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个相互重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．题型二弦长问题例2已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2又由于点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2，所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2，由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1.思维升华有关圆锥曲线弦长问题的求解方法：涉及弦长的问题中，应娴熟的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．(2021·湖南)已知抛物线C 1：x 2＝4y的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点．C 1 与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向． (1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．解 (1)由C 1：x 2＝4y知其焦点F 的坐标为(0,1)．由于F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝⎛⎭⎫±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.② 联立①②，得a 2＝9，b 2＝8. 故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．因AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③ 设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y得x 2－4kx －4＝0.而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0. 而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2，⑤ 将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2(9＋8k 2)2＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9(k 2＋1)(9＋8k 2)2，所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64. 题型三中点弦问题例3 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1 (2)已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________．答案 (1)D (2)0或－8解析 (1)由于直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝⎛⎭⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝⎛⎭⎫a24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a ＝32，选D.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 213＝1，①x 22－y 223＝1， ②x 1＋x 2＝2x 0， ③y 1＋y 2＝2y 0， ④由②－①得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＝13(y 2－y 1)(y 2＋y 1)，明显x 1≠x 2.∴y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝3，即k MN ·y 0x 0＝3，∵M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，∴k MN ＝－1， ∴y 0＝－3x 0.又∵y 0＝x 0＋m ，∴P ⎝⎛⎭⎫－m 4，3m4，代入抛物线方程得916m 2＝18·⎝⎛⎭⎫－m 4，解得m ＝0或－8，经检验都符合．思维升华处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．设抛物线过定点A (－1,0)，且以直线x ＝1为准线．(1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围．解 (1)设抛物线顶点为P (x ，y )，则焦点F (2x －1，y )．再依据抛物线的定义得|AF |＝2，即(2x )2＋y 2＝4，所以轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1. (2)设弦MN 的中点为P ⎝⎛⎭⎫－12，y 0，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则由点M ，N 为椭圆C 上的点，可知⎩⎪⎨⎪⎧4x 2M ＋y 2M ＝4，4x 2N ＋y 2N ＝4.两式相减，得4(x M －x N )(x M ＋x N )＋(y M －y N )(y M ＋y N )＝0，将x M ＋x N ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，y M ＋y N ＝2y 0， y M －y Nx M －x N＝－1k 代入上式得k ＝－y 02.又点P ⎝⎛⎭⎫－12，y 0在弦MN 的垂直平分线上，所以y 0＝－12k ＋m .所以m ＝y 0＋12k ＝34y 0.由点P (－12，y 0)在线段BB ′上(B ′，B 为直线x ＝－12与椭圆的交点，如图所示)，所以y B ′<y 0<y B ，也即－3<y 0< 3. 所以－334<m <334，且m ≠0.[方法与技巧]1．有关弦的三个问题涉及弦长的问题，应娴熟地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解． 2．求解与弦有关问题的两种方法(1)方程组法：联立直线方程和圆锥曲线方程，消元(x 或y )成为二次方程之后，结合根与系数的关系，建立等式关系或不等式关系．(2)点差法：在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必需提示的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数． [失误与防范]推断直线与圆锥曲线位置关系时的留意点(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不肯定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．A 组专项基础训练(时间：45分钟)1．若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( )A ．至多为1B ．2C ．1D ．0答案 B解析由题意知：4m 2＋n 2>2，即m 2＋n 2<2，∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2.2．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0答案 A解析由于直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝bax 平行，所以它与双曲线只有1个交点．3．已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m >0)，假如直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( ) A ．2 B ．22 C ．8 D ．23 答案 B解析依据已知条件得c ＝16－m 2，则点(16－m 2，2216－m 2)在椭圆x 216＋y 2m 2＝1(m >0)上， ∴16－m 216＋16－m 22m 2＝1，可得m ＝2 2.4．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105D.8105答案 C解析设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·⎝⎛⎭⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5＝425·5－t 2，当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们到直线x ＝－2的距离之和等于5，则这样的直线( ) A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条 C ．有无穷多条 D ．不存在答案 D解析抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1，设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则A ，B 到直线x ＝－1的距离之和为x 1＋x 2＋2. 设直线方程为x ＝my ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，则y 2＝4(my ＋1)，即y 2－4my －4＝0， ∴x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝4m 2＋2. ∴x 1＋x 2＋2＝4m 2＋4≥4.∴A ，B 到直线x ＝－2的距离之和x 1＋x 2＋2＋2≥6>5. ∴满足题意的直线不存在．6．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若使得|AB |＝λ的直线l 恰有3条，则λ＝_____________________. 答案 4解析 ∵使得|AB |＝λ的直线l 恰有3条． ∴依据对称性，其中有一条直线与实轴垂直．此时A ，B 的横坐标为3，代入双曲线方程，可得y ＝±2，故|AB |＝4. ∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，∴过双曲线的焦点肯定有两条直线使得交点之间的距离等于4，综上可知，|AB |＝4时，有三条直线满足题意．∴λ＝4.7．在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为______________．答案 (－2,4)，(1,1)解析设直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ，代入y ＝x 2中，整理得x 2＋x －b ＝0，令Δ＝1＋4b >0， ∴b >－14.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1， y 1＋y 22＝－x 1＋x 22＋b ＝12＋b ，由⎝⎛⎭⎫－12，12＋b 在直线y ＝x ＋3上，即12＋b ＝－12＋3，解得b ＝2，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝1.8．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________．答案 3x ＋4y －13＝0解析设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，由于A 、B 两点均在椭圆上，故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0.又∵P 是A 、B 的中点， ∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2， ∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－34.∴直线AB 的方程为y －1＝－34(x －3)．即3x ＋4y －13＝0.9．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列． (1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|P A |＝|PB |，求E 的方程．解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a ，l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y ，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b2.由于直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]，即43a ＝4ab 2a 2＋b2，故a 2＝2b 2，所以E 的离心率e ＝ca＝a 2－b 2a ＝22. (2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知 x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－2c 3，y 0＝x 0＋c ＝c 3.由|P A |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1，得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3. 故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.10．在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，其中F 2也是抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且|MF 2|＝53.(1)求椭圆C 1的方程；(2)若过点D (4,0)的直线l 与C 1交于不同的两点A ，B ，且A 在D ，B 之间，试求△AOD 与△BOD 面积之比的取值范围．解 (1)依题意知F 2(1,0)，设M (x 1，y 1)．由抛物线定义得|MF 2|＝1＋x 1＝53，即x 1＝23.将x 1＝23代入抛物线方程得y 1＝263，进而由⎝⎛⎭⎫232a 2＋⎝⎛⎭⎫2632b 2＝1及a 2－b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1.(2)依题意知直线l 的斜率存在且不为0，设l 的方程为x ＝my ＋4，代入x 24＋y 23＝1，整理得(3m 2＋4)y 2＋24my ＋36＝0，由Δ>0，解得m 2>4.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－24m3m 2＋4， ①y 1·y 2＝363m 2＋4， ②令λ＝S △AODS △BOD，则λ＝12|OD |·|y 1|12|OD |·|y 2|＝y 1y 2，且0<λ<1.将y 1＝λy 2代入①②，得⎩⎪⎨⎪⎧(λ＋1)y 2＝－24m3m 2＋4，λy 22＝363m 2＋4，消去y 2，得(λ＋1)2λ＝16m 23m 2＋4，即m 2＝4(λ＋1)210λ－3λ2－3.由m 2>4得(λ＋1)210λ－3λ2－3>1，所以λ≠1且3λ2－10λ＋3<0，解得13<λ<1或1<λ<3.又由于0<λ<1，所以13<λ<1.故△AOD 与△BOD 面积之比的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，1. B 组专项力量提升 (时间：25分钟) 11．过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线l 与抛物线交于B ，C 两点，l 与抛物线准线交于点A ，且|AF |＝6，AF→＝2FB →，则|BC |等于( ) A.92 B ．6C.132 D ．8答案 A解析不妨设直线l 的倾斜角为θ，其中0<θ<π2，点B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则点B 在x 轴的上方，过点B 作该抛物线的准线的垂线，垂足为B 1，于是有|BF |＝|BB 1|＝3，|AF ||AB |＝p|BB 1|，由此得p ＝2，抛物线方程是y 2＝4x ，焦点F (1,0)，cos θ＝p |AF |＝p 6＝26＝13，sin θ＝1－cos 2θ＝223，tan θ＝sin θcos θ＝22，直线l ：y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x消去y ，得2x 2－5x ＋2＝0，x 1＋x 2＝52，|BC |＝x 1＋x 2＋p ＝52＋2＝92，选A. 12．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728D.10答案 B解析设直线AB 的方程为x ＝ny ＋m (如图)， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵OA →·OB →＝2， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝2.又y 21＝x 1，y 22＝x 2，∴y 1y 2＝－2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，x ＝ny ＋m ，得y 2－ny －m ＝0，∴y 1y 2＝－m ＝－2， ∴m ＝2，即点M (2,0)．又S △ABO ＝S △AMO ＋S △BMO＝12|OM ||y 1|＋12|OM ||y 2|＝y 1－y 2， S △AFO ＝12|OF |·|y 1|＝18y 1，∴S △ABO ＋S △AFO ＝y 1－y 2＋18y 1＝98y 1＋2y 1≥298y 1·2y 1＝3，当且仅当y 1＝43时，等号成立．13．已知双曲线C ：y 2a 2－x2b 2＝1 (a >0，b >0)，P 为x 轴上一动点，经过点P 的直线y ＝2x ＋m (m ≠0)与双曲线C有且只有一个交点，则双曲线C 的离心率为________．答案52解析由双曲线的方程可知：渐近线方程为y ＝±abx .∵经过点P 的直线y ＝2x ＋m (m ≠0)与双曲线C 有且只有一个交点，∴此直线与渐近线y ＝a b x 平行，∴ab ＝2.∴e ＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝52.14．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．假如直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________. 答案 8解析直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ＋23，x ＝－2，得y ＝43，所以P (6,43)．由抛物线的性质可知|PF |＝6＋2＝8.15．已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1,0)，过C 1的焦点且垂直长轴的弦长为1.(1)求椭圆C 1的方程；(2)设点P 在抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R )上，C 2在点P 处的切线与C 1交于点M ，N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值．解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，2·b 2a ＝1.从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.因此，所求的椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1.(2)如图，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (t ，t 2＋h )，则抛物线C 2在点P 处的切线斜率为y ′|x ＝t ＝2t.直线MN 的方程为： y ＝2tx －t 2＋h .将上式代入椭圆C 1的方程中，得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0，即4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0.① 由于直线MN 与椭圆C 1有两个不同的交点，所以①式中的Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0.② 设线段MN 的中点的横坐标是x 3，则x 3＝x 1＋x 22＝t (t 2－h )2(1＋t 2).设线段P A 的中点的横坐标是x 4，则x 4＝t ＋12.由题意，得x 3＝x 4，即t 2＋(1＋h )t ＋1＝0.③ 由③式中的Δ2＝(1＋h )2－4≥0，得h ≥1，或h ≤－3. 当h ≤－3时，h ＋2<0,4－h 2<0，则不等式②不成立，所以h ≥1.当h＝1时，代入方程③得t＝－1，将h＝1，t＝－1代入不等式②，检验成立．所以，h的最小值为1.。