模拟退火法
模拟退火算法及应用
一、概论1.1 问题概述在自然科学以及大多数科学当中和社会生活里经常出现最大或最小的问题，我们从小学开始学习大小比较，一直到高中大学时的最优解问题，都是一种名为最优化问题.最优化问题在大多是领域中都有重要的地位，例如管理科学、计算机科学、图像处理等等需要大量数据的学科中都存在着需要解决的组合优化问题。
用我们比较容易理解的说法就是已知一组固定的函数，令这组函数所对应的函数到达最大或最小值.而我们所想到的最简单的方法便是穷举法，然而这种方式存在这大量的数据计算穷举的缺点。
优化组合问题中的NP问题是一个很麻烦的问题，它解得规模会随着问题的规模增大而增大，求解所需的时间也会随问题的规模增大而成指数级增长，而当规模过大时就会因为时间的限制而失去了可行性。
旅行商问题（TSP）是优化组合问题中最为著名的一个问题，它的特点是容易描述却难于求解.这是一个经典的图论问题，假设有n个城市，用表示.城市之间距离为，i，j=1，2，3，···，n，假设所有城市之间两两连通，要求从一个城市出发，把所有城市都走一遍，而TSP问题就是恰好所有城市都走一遍，而所走路径形成回路且路径最短.将这个问题对应在一个n个顶点的完全图上，假设图为对称图，则要从个可能的解当中找到最小的解，需要的对比则要进行次，当的数值增大时，那么需要的次数也会随之以几何数倍增长，例如每秒运算一亿次的计算机，当需要的时间也只是0.0018秒，当需要的时间却是17年，可当时所需的时间却猛增到年，这个结果是我们所不想看到的。
优化组合问题的目标函数是从组合优化问题的可行解集当中求出最优解。
组合优化问题有三个基本要素：变量，约束和目标函数，在求解过程中选定的基本参数成为标量，对于变量的取值的所有限制称之为约束，表示可行的方案的标准的函数称之为目标函数。
随着问题种类的不同以及问题规模的扩大，要找到一种能够已有限代价来求解最优化问题的通用方法一直都是一个难题，建立用最大的可能性求解全局解一直是一个重要问题。
五大常用算法 模拟退火算法
五大常用算法模拟退火算法
模拟退火算法是一种常用的求解优化问题的算法，它可以用于解决各种实际问题。
本文将介绍模拟退火算法及其应用，同时还会介绍其他四种常用的算法。
一、模拟退火算法
模拟退火算法是一种启发式算法，适用于求解复杂的优化问题。
它源于固体物理学中的退火过程，通过模拟退火过程来寻求最优解。
模拟退火算法通过随机跳出局部最优解的过程，寻找全局最优解。
二、其他四种常用算法
1.遗传算法
遗传算法是一种模拟自然进化过程的优化方法。
它通过对可行解进行适应度评价、选择、交叉和变异等操作，将优秀的个体遗传给下一代，从而不断优化解的质量。
2.蚁群算法
蚁群算法是一种模拟蚂蚁寻找食物的行为而发展出来的算法。
它通过模拟蚂蚁在搜索过程中的信息素沉积和信息素挥发，不断优化搜索路径，从而找到最优解。
3.粒子群算法
粒子群算法是一种模拟粒子在空间中移动的算法。
它通过模拟粒子在搜索空间中的移动和互相协作，不断优化搜索路径，从而找到最优解。
4.人工神经网络
人工神经网络是一种模拟人脑神经元工作原理的算法。
它通过构建神经元之间的连接和权重来实现对输入信息的处理和输出结果的预测，可以用于分类、回归等问题的求解。
三、总结
以上介绍了五种常用的算法，它们都可以用于解决不同类型的优化问题。
在实际应用中，需要根据具体问题的特点选择合适的算法。
模拟退火算法是其中一种常用算法，具有较为广泛的应用。
模拟退火算法
模拟退火算法模拟退火是一种通用概率算法，目的是在固定时间内在一个大的搜寻空间内寻求给定函数的全局最优解。
它通常被用于离散的搜索空间中，例如，旅行商问题。
特别地，对于确定的问题，模拟退火算法一般是优于穷举法。
这是由于我们一般只需得到一个可接受的最优解，而不是精确的最优解。
退火一词来源于冶金学。
退火（见图1）是将材料加热后再经特定速率冷却，目的是增大晶粒的体积，并且减少晶格中的缺陷。
材料中的原子原来会停留在使内能有局部最小值的位置，加热使能量变大，原子会离开原来位置，而随机在其他位置中移动。
退火冷却时速度较慢，使得原子有较多可能可以找到内能比原先更低的位置。
因此，我们将热力学的理论应用到统计学上，将搜寻空间内每一点想象成空气内的分子；分子的能量，就是它本身的动能；而搜寻空间内的每一点，也像空气分子一样带有“能量”，以表示该点对命题的合适程度。
而模拟退火算法先以搜寻空间内一个任意点作起始：每一步先选择一个“邻居”，然后再计算从现有位置到达“邻居”的概率。
模拟退火原理最早是 S. Kirkpatrick, C. D. Gelatt 和 M. P. Vecchi 在1983年所创造的。
而 V . Černý 在1985年也独立发明了此算法。
1. 问题描述数学上的最优化问题一般描述为如下形式：()()minimize()g 0,1,2,,subject to 0,1,2,,i i f x x i m h x i p≤=⎧⎪⎨==⎪⎩ 其中，():R n f x R →称作问题的目标函数，()g 0i x ≤称作问题的不等式约束条件，()0i h x =称作问题的等式约束条件。
寻求上述问题的最优解的过程就类似于从热动力系统的任意一个初始状态向内能最小的状态转移的过程，即退火过程。
2. 模拟退火算法基本思想模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有图1 物理退火原理图序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。
模拟退火法
模拟退火法
模拟退火法（Simulated Annealing，SA）是一种常用的局部搜索优
化算法，是近几年来被广泛应用于特定问题的有效解法之一。
它模拟一种
由室温变低到固定温度的淬火过程，源自热力学中，被认为可以找到系统
能量最小值的演化算法。
模拟退火法根据物理中的概念设计，优点是能够
找到一个比较好的（比直接定值法要佳）最优解，可以解决一些概率问题，并能够使一个比较好的解脱离局部最优解，模拟退火法以当前温度作为搜
索的启动点，并以迭代的方式慢慢降低温度，从而让解的搜索收敛到全局
最优解，经过对相关因素的综合评价，模拟退火法以较少的时间，比较快
的收敛速度找到最优的局部最优解。
模拟退火法
模拟退火法简单解释：为了找出地球上最高的山，一群兔子们开始想办法。
首先兔子们用酒将自己灌醉了，它们随机地跳了很长的时间。
在这期间，它们可能走向高处，也可能踏入平地。
但是，随着时间的流逝，它们渐渐清醒了并朝着最高的方向跳去。
最后就达到了珠穆朗玛峰。
所谓的退火是指将固体加热到足够高的温度，使分子呈随机排列状态，然后逐步降温使之冷却，最后分子以低能状态排列，固体达到某种稳定状态。
重要理解：假设材料在状态i之下的能量为E(i),那么材料在温度T时从状态i进入状态j就遵循如下规律：如果E(j)<= E(i),接受该状态被转移如果E(j)> E(i)，则状态转移以如下的概率被接受： exp{[E(i)-E(j)]/KT}其中，K 是物理学中的波尔兹曼常数，T 是材料温度。
关键参数和操作的设定：从算法的流程上看，模拟退火算法包括三函数两准则，即状态产生函数、状态接受函数、温度更新函数、内循环终止准则和外循环终止准则，这些环节的设计将决定模拟退火算法的优化性能。
此外，初温的选择对模拟退火算法性能也有很大影响。
状态产生函数：原则：设计状态产生函数(领域函数)的出发点应该是尽可能保证产生的候选解遍布全部的解空间。
通常，状态产生函数由两部分组成，即产生候选解的方式和候选解产生的概率分布。
方法：在当前状态的领域结构内以一定概率方式(均匀分布、正态分布、指数分布等)产生状态接受函数：原则：函数一般以概率的方式给出，不同接受函数的差别主要在于接受概率的形式不同。
设计状态接受概率，应该遵循以下原则：（1）在固定温度下，接受使目标函数下降的候选解的概率要大于使目标函数上升的候选解概率；（2）随温度的下降，接受使目标函数上升的解的概率要逐渐减少；（3）当温度趋于零时，只能接受目标函数下降的解。
方法：状态接受函数的引入是模拟退火算法实现全局搜索的最关键的因素，模拟退火算法中通常用min[1,exp(-△C/t)]作为状态接受函数。
《模拟退火算法》课件
03
可能陷入局部最优 解
在某些情况下，模拟退火算法可 能无法跳出局部最优解，导致无 法找到全局最优解。
未来研究的方向和挑战
要点一
算法改进
针对模拟退火算法的缺陷，研究改进算法以提高其性能和 适用性。
要点二
并行化与分布式实现
研究如何利用并行计算和分布式技术加速模拟退火算法的 执行。
未来研究的方向和挑战
总结词
优化分类和聚类
详细描述
模拟退火算法在机器学习中用于优化分类和聚类算法的性能，通过优化参数和搜索空间 ，提高分类和聚类的准确性和稳定性。
06
总结与展望
Chapter
模拟退火算法的优势与局限性
全局优化
模拟退火算法在搜索过程中能够跳出局部最 优解，寻找全局最优解。
适用范围广
模拟退火算法适用于解决连续和离散优化问 题，尤其在处理大规模、复杂问题时表现出 色。
模拟退火算法的优势与局限性
• 灵活性高：算法参数可根据具体 问题进行调整，以适应不同场景 的需求。
模拟退火算法的优势与局限性
01
计算量大
模拟退火算法需要大量的计算资 源，尤其在问题规模较大时更为 明显。
02
参数设置困难
算法参数如初始温度、降温速率 等对算法性能影响较大，但合理 设置这些参数较为困难。
算法的参数敏感性分析
初始温度
模拟退火算法的初始温度对算法的性能有很大影响。初始温度过高可能导致算法陷入局部最优解，而初始温度过低则 可能导致算法收敛速度过慢。因此，需要根据问题特性和需求合理设置初始温度。
冷却率
冷却率决定了算法在退火过程中的温度下降速度。冷却率过高可能导致算法在最优解附近“振荡”，而冷却率过低则 可能导致算法收敛速度过慢。因此，需要根据问题特性和需求合理设置冷却率。
爬山算法与模拟退火比较
爬山算法与模拟退火比较在计算机科学领域，寻找最优解是一项常见的任务。
爬山算法和模拟退火算法是两种常用的优化算法，本文将对这两种算法进行比较。
一、爬山算法爬山算法是一种局部搜索算法，常用于解决最优化问题。
它的基本思想是从当前解出发，沿着梯度方向不断地移动，直到达到一个局部最优解。
爬山算法具有以下特点：1. 简单直观：爬山算法的实现相对简单，容易理解和实现。
2. 局部搜索：由于爬山算法只关注当前解的邻域，并不会全局搜索解空间，因此容易陷入局部最优解。
3. 容易受到初始解的影响：由于算法在初始解附近进行局部搜索，因此初始解的选择会直接影响搜索结果。
4. 高计算效率：爬山算法通过不断地调整当前解，找到更优的解。
由于只需计算当前解的邻域，所以计算效率较高。
二、模拟退火算法模拟退火算法是一种全局优化算法，它通过模拟固体退火的过程来进行搜索。
模拟退火算法具有以下特点：1. 全局搜索：模拟退火算法通过接受劣解的概率来跳出局部最优解，从而有机会搜索到全局最优解。
2. 逐步降温：模拟退火算法在搜索过程中逐渐减小退火温度，降低随机性，以便更好地接受优解。
3. 较复杂的参数设置：模拟退火算法需要合理地设置参数，如初始温度、退火速率等，而且不同问题可能需要不同的参数配置。
4. 高计算复杂度：由于模拟退火算法涉及到接受劣解的概率计算和随机跳转，因此其计算复杂度较高。
三、比较分析1. 搜索范围：- 爬山算法只在当前解的邻域内进行搜索，易陷入局部最优解。
- 模拟退火算法可以全局搜索，有机会找到全局最优解。
2. 算法复杂度：- 爬山算法的计算复杂度较低，因为它只需计算当前解的邻域。
- 模拟退火算法的计算复杂度较高，因为它需要多次重复计算接受劣解的概率和随机跳转。
3. 对初始解的依赖：- 爬山算法对初始解的依赖较大，不同的初始解可能导致不同的搜索结果。
- 模拟退火算法对初始解不敏感，因为算法会通过温度的逐渐降低逐渐摆脱初始解的影响。
模拟退火法
模拟退火法
有效的冷却进度表判据：
一．算法的收敛：主要取决于衰减函数和马 可夫链的长度及停止准则的选择 二．算法的实验性能：最终解的质量和CPU 的时间
模拟退火法
1） Metropolis准则提出
固体在恒定温度下达到热平衡的过程可以 用MorteCarol算法方法加以模拟，虽然该方 法简单，但必须大量采样才能得到比较精确 的结果，因而计算量很大。 鉴于物理系统倾向于能量较低的状态，而热 运动又妨碍它准确落到最低态。采样时着重 选取那些有重要贡献的状态则可较快达到较 好的结果。因此，Metropolis等在1953年提 出了重要的采样法，即以概率接受新状态。
高，从而可激活各状态的接受概率，以调整搜索进程中的当前状 态，避免算法在局部极小解处停滞不前。
(2) 增加记忆功能。为避免搜索过程中由于执行概率接受环节而遗失
当前遇到的最优解，可通过增加存储环节，将一些在这之前好的态 记忆下来。
(3) 增加补充搜索过程。即在退火过程结束后，以搜索到的最优解为 (4) 对每一当前状态，采用多次搜索策略，以概率接受区域内的最优 (5) 结合其他搜索机制的算法，如遗传算法、混沌搜索等。 (6)上述各方法的综合应用。
模拟退火法
模拟退火法
模拟退火算法起源于物理退火。 ������ 物理退火过程：
（1） （2） （3）
加温过程 等温过程 冷却过程
模拟退火法
模拟退火法
2021/2/22
1
模拟退火法
模拟退火法(参见[1,2])作为一种适合于求解大规模
的优化问题的技术，近来已引起极大的关注。特别是当
优化问题有很多局部极值而全局极值又很难求出时，模
拟退火法尤其有效。在实用上，它有效地“解决了”著
名的旅行推梢员问题，即在必须依次访问每一个城市
(共有N个城市)的前提下，为旅行推销员设计一条能够
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// 确定是否做段反转或段输送
if (idec==0){
//做输送
n[3]=n[2]+(int) (abs(nn-2)*ran3(&idum))+1;
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数，它的作用是将温度与能量联系起来。换句
话说，在有些情况下系统的能量可上升，也可 下降，但是温度越低，显著上升的可能性就越 小。
1953年，米特罗波利斯(Metropolis)及其合
作者们首次将这种原理渗透到数值计算中。他
们对一个模拟热力学系统提供了一系列选择项，
并假设：系统构形从能量 变化E 1 到能量 E 2
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（A）
（B）
（C）
图(A)表示的是从四个随机分布的城市中间找到的一条(接近)最短路径，中间 竖虚线标识的是一条河流，但这是对过河没有附加您罚项的情况。在图(B)中对过 河施加的惩罚项很大，而图中所示的解本身的过河次数也相应地只有少得不能再 少的两次。在图(C)中惩罚项为负，这就是说，推销员实际上成了恣意偷渡的走私 者！
因此，这一过程的本质在于缓缓地致冷， 以202争1/2/22取充足的时间，让大量原子在丧失可动性5
之前进行重新分布。这就是所谓退火在技术上 的定义，同时也是确保达到低能量状态所必需 的条件。
模拟退火算法
options = saoptimset('PlotFcns',{@saplotbestf,@saplottemperature, @saplotf,@saplotstopping}); simulannealbnd(@dejong5fcn,x0,lb,ub,options);
options = saoptimset('InitialTemperature',[300 50]);
模拟退火算法的数学模型：马尔可夫链（可达 性，渐近不依赖起点，分布稳定性，收敛到最 优解） 如果温度下降十分缓慢，而在每个温度都有足 够多次的状态转移，使之在每一个温度下达到 热平衡，则全局最优解将以概率1被找到。因 此可以说模拟退火算法能找到全局最优解。
模拟退火算法实现的技术问题
1）解的形式和邻域结构 •解的表现形式直接决定于邻域的构造
模拟退火算法对TSP的应用1）加ຫໍສະໝຸດ 数据表1 29个城市的坐标
城市序 号 X坐标 Y坐标 城市序 号 X坐标 Y坐标 1 1150.0 1760.0 11 840.0 550.0 21 830.0 1770.0 2 630.0 1660.0 12 1170.0 2300.0 22 490.0 500.0 3 40.0 2090.0 13 970.0 1340.0 23 1840.0 1240.0 4 750.0 1100.0 14 510.0 700.0 24 1260. 0 1500. 0 5 750.0 2030.0 15 750.0 900.0 25 1280.0 790.0 6 1030.0 2070.0 16 1280.0 1200.0 26 490.0 2130.0 7 1650.0 650.0 17 230.0 590.0 27 1460.0 1420.0 8 1490.0 1630.0 18 460.0 860.0 28 1260.0 1910.0 9 790.0 2260.0 19 1040.0 950.0 29 360.0 1980.0 10 710.0 1310.0 20 590.0 1390.0
(完整版)模拟退火算法基本原理介绍
模拟退火算法一、模拟退火算法概念模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。
根据Metropolis准则，粒子在温度T 时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann 常数。
用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。
退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。
二、模拟退火算法的模型模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。
模拟退火的基本思想:(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)，每个T值的迭代次数L(2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步：(3) 产生新解S′(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。
终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。
(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。
算法对应动态演示图：模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。
模拟退火遗传算法
模拟退火遗传算法模拟退火遗传算法是一种结合了模拟退火算法和遗传算法的优化算法。
它通过模拟物理退火过程和基因遗传进化过程，来寻找最优解。
在实际应用中，它被广泛应用于组合优化、函数优化、图像处理等领域。
一、模拟退火算法1.1 原理模拟退火算法是一种基于概率的全局寻优方法。
其原理是通过随机选择一个解，并以一定的概率接受该解或者以较小的概率接受劣解，从而达到全局最优解。
1.2 步骤（1）初始化初始温度T0和初始解x0；（2）对于每个温度T，进行多次迭代，每次迭代生成一个新的解x'；（3）计算新旧两个解之间的差异ΔE，并根据Metropolis准则决定是否接受新解；（4）降低温度T，并重复步骤(2)到(3)，直至达到停止条件。
1.3 优缺点优点：可以跳出局部最优，具有全局搜索能力；易于实现；不需要求导数。
缺点：需要大量迭代次数；结果具有一定的随机性；需要调节参数。
二、遗传算法2.1 原理遗传算法是一种基于生物进化思想的优化算法。
其原理是通过模拟自然界中的进化过程，将问题转换为一个个个体，通过交叉、变异等操作来产生新的个体，并筛选出适应度高的个体，从而达到全局最优解。
2.2 步骤（1）初始化种群；（2）计算每个个体的适应度；（3）根据适应度选择优秀的个体进行交叉和变异操作；（4）重复步骤(2)到(3)，直至达到停止条件。
2.3 优缺点优点：能够跳出局部最优，具有全局搜索能力；易于并行化处理；不需要求导数。
缺点：需要大量迭代次数；结果具有一定的随机性；容易陷入早熟现象。
三、模拟退火遗传算法3.1 原理模拟退火遗传算法是将模拟退火和遗传算法结合起来使用。
其原理是在模拟退火过程中引入了交叉和变异操作，从而增加了搜索空间，并提高了搜索效率。
3.2 步骤（1）初始化初始温度T0和初始种群；（2）对于每个温度T，进行多次迭代，每次迭代生成一个新的种群；（3）计算新旧两个种群之间的差异，并根据适应度选择优秀的个体进行交叉和变异操作；（4）降低温度T，并重复步骤(2)到(3)，直至达到停止条件。
模拟退火算法及其改进算法
2.模拟退火算法
2.1 模拟退火算法的原理 模拟退火算法来源于固体退火原理，将固 体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温 时，固体内部粒子随温升变为无序状，内 能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在 每个温度都达到平衡态，最后在常温时达 到基态，内能减为最小。根据Metropolis准 则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为 P=e-∆E/(kT) 其中: E为温度T时的内能 ∆E为能量的改变量 k为Boltzmann常数
X 0 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), t0 = 1, N = 5, ε = 0.02.
在计算机上运行后得到最优解 X * = (1,1, 0,1,1, 0,1,1,1,1)
1.2 随机神经网络 BP神经网络和反馈神经网络都是使能量 函数按梯度单调下降，如图 常常导致网络 落入局部最小点而达不到全局最小点，这 就意味着训练不收敛。
而随机网络即能赋予网络下山的能力，也 能赋予网络上山的能力，特点如下： （1）在学习阶段，随机网络不像其它网络那 样基于某种确定性算法（2）在运行阶段， 随机网络不是按某种确定性的网络方程进 行状态演变，神经元的净输入不能决定其 状态是1还是0.
t = 0.9t , n = 0, 转步骤3,否则停止算法输出当
3.1.4实例分析
L 某型导弹改进项目的投资 La 为300万元， b 为270万元。 现有10个研制单位申请投资，有关信息如表1表2所示。 现在要求确定军方的投资组合决策，以决定对哪些单 位投资。
运用Matlab软件，可以根据上述算法编制相应程对 该问题进行求解，其中相关参数的设置为
[ ∑ ∑ X i X j i cov(TNPVi , TNPV j )]1/ 2
i =1 j =1
模拟退火算法
在机器学习中的应用
总结词
模拟退火算法在机器学习中用于优化神经网 络结构和超参数调整。
详细描述
在机器学习中，神经网络结构和超参数的选 择对于模型性能至关重要。模拟退火算法可 以用于优化神经网络的结构，如神经元的数 量、层数等，以及调整超参数，如学习率、 正则化参数等。通过模拟退火算法，可以找 到一组最优的神经网络结构和超参数配置，
自适应调整策略
研究自适应调整策略，根据搜索过程 动态调整参数，以更好地适应问题变 化。
感谢您的观看
THANKS
局部搜索
在生成初始解之后，可以对初始解进行局部搜索，以改进其质量。局部搜索可以通过迭代更新当前解 的邻域来寻找更好的解。这种方法可以帮助模拟退火算法更快地收敛到全局最优解。
05
模拟退火算法应用实例
在旅行商问题中的应用
要点一
总结词
模拟退火算法在旅行商问题中表现出色，能够有效求解大 规模问题。
要点二
初始温度
初始温度的选择对算法的搜索效果有重要影响。初始温度太高可能导致算法陷入局部最优 解，而初始温度太低则可能使算法搜索不到全局最优解。通常，初始温度应根据问题的特 性进行设定。
最小温度
最小温度是算法终止时的温度，其选择同样重要。如果最小温度设置得太高，算法可能无 法收敛；如果设置得太低，则可能无法跳出局部最优解。最小温度通常根据问题的复杂度 和算法的迭代次数来设定。
模拟退火算法的相似性
通过模拟物理退火过程，模拟退火算法在搜索解空间时能够跳出局部最优解，寻找全局最优解。
Metropolis准则
Metropolis准则定义
对于当前解的任何小扰动，如果扰动后的解能量低于当前解，则接受该扰动；否则以一 定概率接受该扰动。
模拟退火法(SA)
SA算法简介 算法简介
• 假设在搜寻最佳解的过程中 – 令i 代表在时间k 的现有解， 其成本为C(i) – 下一个搜寻到的解，其成 本为C(j) – ∆ E= C(j) - C(i)为两个解之 间的成本差，如图所示
SA算法简介 算法简介
–当j的成本大于i时，SA会根据一几率決定是否 要接受j来取代i成为时间k+1的新解 –因此当搜寻到的新解比现有解之成本大时，会 有一个几率值来决定是否接受新解。 –SA 基本上是以Metrolopis 接受法则为基础， 再配合退火程序，由温度逐渐的降低来修整是 否接受成本较差新解的几率，当温度越低时， 几率值也跟著降低
Metropolis准则 准则
• Metropolis等在1953年提出了重要性采样法，即 以概率接受新状态。 • 在温度t,由当前状态i产生新状态j，二者的能量分 别是Ei和Ej，若Ej<Ei,则接受新状态j为当前状态。 • 否则，若概率pr =exp[-(Ej-Ei)／kt] >random(0,1),则仍接受新状态j为当前状态，若 不成立则保留状态i为当前状态，其中k为 Boltzmann常数。（有些概念中没有这个k参数）
SA的运作流程 的运作流程
• 包含了四个基本要素
–成本函数(Cost Function)：用来横量某一系统 状态下之能量函数。 –退火程序(Annealing Process)：退火程序中包 含的参数有初始温度、降温机制、冷却率和终止 温度。
• 在退火的过程中，在温度高的時候，虽然是较差的目 标值，但有可能被接受当成目前的目标值，但随着温 度慢慢的降低，接受较差目标值的几率逐渐降低。
模拟退火算法简介
• 1982年，Kirkpatrick等将退火思想引入组合优化的领域， 提出了一种求解大规模组合优化问题，特别是NP完全组 合优化问题的有效近似解的算法——模拟退火算法 （simulated annealing algorithm），简称为SA。 • 模拟退火算法是在某一初温下，伴随温度参数的不断下降， 结合概率突跳特性在解空间中随机寻找目标函数的全局最 优解，在局部优解处能概率性地跳出并最终趋于全局最优。 • 基于Metropolis接受准则的优化过程，可避免搜索过程陷 于局部极小，并最终趋于问题的全局最优解。
优化算法-模拟退火-粒子群-遗传算法
粒子群算法
二、粒子群算法求解最优解
D维空间中，有m个粒子； 粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)，将xi代入适应函数F(xi)求适应值； 粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD) 粒子i个体经历过的最好位置：pbesti=(pi1,pi2,…piD) 种群所经历过的最好位置：gbest=(g1,g2,…gD)
粒子群算法
每个寻优的问题解都被想像成一只鸟， 称为“粒子;
所有的粒子都由一个Fitness Function 确定适应值以判断目前的位置好坏;
每一个粒子必须赋予记忆功能，能记住 所搜寻到的最佳位置;
每一个粒子还有一个速度以决定飞行的 距离和方向，这个速度根据它本身的飞 行经验以及同伴的飞行经验进行动态调 整。
模拟退火算法
四、模拟退火算法特点
一．最终求得的解与初始值无关，与初始解状 态S无关；
二．具有渐近收敛性，在理论上是一种以概率 1收敛于全局最优解的全局优化算法；
三．具有并行性。
遗传算法
一．遗传算法概念
遗传算法简称GA，是模拟自然界遗传机制和生物进化论而成的一种并行随机搜索最优 化方法。遗传算法将“优胜劣汰，适者生存”的生物进化原理引入优化参数形成的编 码串联群体中，按所选择的适应度函数并通过遗传中的复制、交叉及变异对个体进行 筛选，使适应度高的个体被保留下来，组成新的群体，新的群体既继承了上一代的信 息，又优于上一代。这样周而复始，群体中个体适应度不断提高，直到满足一定的条 件。
遗传算法
一．遗传算法基本操作 1. 复制：复制操作可以通过随机方法来实现。首先产生0~1之间均 匀分布的随机数，若某串的复制概率为40%，则当产生的随机数 在0.40~1.0之间时，该串被复制，否则被淘汰 2. 交叉：在匹配池中任选两个染色体，随机选择一点或多点交换点 位置；交换双亲染色体交换点右边的部分，即可得到两个新的染 色体数字串。 3. 变异：在染色体以二进制编码的系统中，它随机地将染色体的某 一个基因由1变为0，或由0变为1。
模拟退火法
思想来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其慢慢冷却。
加温时，固体内部粒子随温度升高而变得无序，内能增大，冷却时让粒子趋于无序，在每个温度都达到平衡点，最后在常温时达到基态，内能变为最小。
定义：是一种随机寻优算法，理论上具有概率的全局最优性。
是一种赋予搜索过程一种时变且最终趋于0的概率突变性，从而避免陷入局部最优解，最终趋于全局最优解的串行结构的优化算法。
不同温度下，粒子趋于平衡的概率是不同的。
退火过程由冷却进度表构成，包含了控制参数的初值T和衰减因子t’，每个T值的迭代次数和停止条件S。
可分为：解空间，目标函数和初始解3部分。
基本思想：1、初始化，初始温度T（充分大），初始解状态S(算法迭代的起点)，每个T值的迭代次数。
2、对于k=1~L，做3~6步3、产生新解S’4、计算增量t’=C(S’)-C(S)，其中C是评价函数5、T’小于0，则作为新的当前解6、如果满足终止条件，则作为最优解输出7、T逐渐减小，直至趋于0。
然后转第2步产生步骤：由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解。
为了便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单变换后即可产生新解的方法。
计算由新解对于的目标函数之差。
由于目标函数的差仅有变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。
判断新解是否被接受。
判断依据是一个接受准则，若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。
新解被接受时，用新解替换当前解。
这只需将当前解中对应产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数。
模拟退火法是一种渐进收敛的方法。
模拟退火算法
开始
产生 i S k 0,Tk T0
设定 nTk n 0
产生 j N i n n 1 计算 f f j f i
f 0 N
exp f Tk U 0,1
N
n nTk N
Y k k 1，降温 Tk
N
Tk T f Y
停止
内循环
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四.计算举例 （1）
➢ 问题旳提出
Tk
Ei与 E j 旳小差别带来Pi Tk 和 Pj Tk 旳巨大差别
例如： Ei=90，E j =100，
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二.退火过程和Bolzman方程（6）
➢ 当 Tk =100时
90
Pi Tk
Pj Tk
Ck
e
100
Ck
100
e 100
u
0.406 Ck
0.367 Ck
0.406 0.367
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二.退火过程和Bolzman方程（7）
➢ 当 Tk =1时
Pi Tk Pj Tk 8.194 1040 Ck 3.72 1044 Ck 20000 此时 n
Pi Tk Pi Tk
i 1
结论: Tk 0 时，以概率1趋于最小能量状态
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三.SA旳算法构造及环节（1）
➢ SA旳模拟要求 ➢ 初始温度足够高 ➢ 降温过程足够慢 ➢ 终止温度足够低
四.计算举例 （4）
⑴ ① j 1324 ② j 43 21 ③ j 4 231
f j 98 f j 119 f j 132
f 20
ef Tk 0.8106 0.7414 ef Tk 0.8781 0.3991
i j i j i j
注释：
➢ ①无条件转移；
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N
（3） 由于每过一次河都将以作为惩罚，因而现在 我们设计的算法的目标，就变成了寻找尽可 能回避过河的最短路径。路径长度对过河次 数的相对重要性将由我们选择的来确定。图1 表明了所得的结果。显然，这种技巧可以推 广到包含许多相互冲突的目的要求的极小化 问题当中。
模拟退火法
模拟退火法(参见[1,2])作为一种适合于求解大规模 的优化问题的技术，近来已引起极大的关注。特别是当 优化问题有很多局部极值而全局极值又很难求出时，模 拟退火法尤其有效。在实用上，它有效地“解决了”著 名的旅行推梢员问题，即在必须依次访问每一个城市 (共有N个城市)的前提下，为旅行推销员设计一条能够 返回起点的最短旅程。模拟退火方法还被成功地用于设 计复杂的集成电路，也就是说如何最佳地安排几十万个 电路元件，使它们全部集成在一个很小的硅片上，而相 互连接的线路之间的缠绕能够达到最小(参见[3,4]).尽管 模拟退火法的功效非凡，但它的算法实现却相对地简单， 这一点似乎有些不可思议。
i i
一个构形就是数字的一个排列，可以解释 为推销员途径的城市的顺序。 2.调整 林(Lin)曾经提出过一种所谓“转 移有效集”，这里的“转移”包括两种类型： (a)移走路径的某一段，然后对这段路径上的 城市用相反次序重新进行排列，并用后者来代 替前者。(b)移走某段路径，并用位于城市间 的随机选取的另一段路径来取代被移走的路径。
i i
销员问题也是众多极小化问题中的一种，它 的目标函数具有多个局部极小值。在实际应 用当中，常常有足够多的条件可以从多个极 小值中选出一个最小的，这个最小值即使不 是绝对最小，也相当接近绝对最小了。退火 法的目的就是要获得这个最小值，同时又要 将计算量限制在N的低阶次的数量级上。 旅行推销员问题也是按模拟退火问题的方 式进行处理的。具体如下： 1.构形 将N个城市分别标记为中的数，其 中每个城市具有坐标 x , y 。
大量原子常常能够自行排列成行，形成一 个纯净的晶体，该晶体在各个方向上都被完全 有序地排列在几百万倍于单个原子大小的距离 之内。对于这个系统来说，晶体状态是能量最 低状态；而所有缓慢冷却的系统都可以自然达 到这个能量最低状态，这可以说是一个令人惊 奇的事实。实际上，如果某种液体金属被迅速 冷却或被“猝熄”，那么它不会达到这一状态， 而只能达到一种具有较高能量的多晶状态或非 结晶状态。 因此，这一过程的本质在于缓缓地致冷， 以争取充足的时间，让大量原子在丧失可动性
4. 一个控制参数T(类似于温度)和一个退 火进程，该进程用来说明系统是如何从高值 向低值降低的，例如在温度T时每次下降步骤 中要经过多少次随机的构形变化以及该步长 是多大等等。应说明的是，这里“高”和 “低”的含义，还有进程表的确定，都需要 一定的物理知识和/或一些摸索的实验。
组合极小化：旅行推销员问题
然不同的方式，所谓的玻尔兹曼(Boltzmann)概 率分布 Pr ob E ~ Exp E / kT (1) 表达了这样一种思想，即:一个处于热平衡状态且 具有温度T的系统，其能量按照概率，分布于 所有不同能量状态之中。即使在很低的温度下， 系统也有可能（虽然这种可能性很小）处于一 个较高的能量状态。因此，相应地，系统也能 够获得摆脱局部能量极小点的机会。并找到一 个更好的、更接近于整体的极小点。式()中的 参数k(称为玻尔兹曼常数)是一个自然常
请注意，我们上面提到的两个例子都属于 组合极小化问题。现本类问题通常也有一个目 标函数，但是函数的定义域并不是简单地由N 个连续参变量组成的N维空间，而是一个离散 的巨大空间，例如，由所有可能的城市旅行路 线组成的集合，或者硅片电路元件的所有可能 的分配方式的集合。构形空间中元素的数量相 当巨大，根本不可能穷举，而且因为集合是离 散的，我们也不可能“沿合适的方向连续下 降”。因此在构形空间中，“方向”概念就没 有什么意义了。
*/
# include <stdio.h> # include <math.h> # define TFACTR 0.9 //退火进程：每步中t的下降值由该因子决定 # define ALEN(a,b,c,d) aqrt(((b)-(a))*((b)-(a))+((d)-(c))*((d)-(c))) void anneal(float x[], float y[], int iorder[], int ncity)
4.退火进程 这一步需要借助试验来确定。 首先要进行一些随机调整，然后利用它们来 确定从转移到转移过程中将会遇到的 E 值之 范围。对参数T取一初始值(这个初始值要远 远大于通常所能遇到的 E 的最大值)，并以倍 增的步长下减，每次使T总共减少10%。我们 拿每个新的常数T值去试各种100N重构形， 或10N成功的重构形，无论哪个在前出现就 E 取哪个。当实在不能再进一步减小 时,则停 止。
// 确定是否做段反转或段输送 if (idec==0){ //做输送 n[3]=n[2]+(int) (abs(nn-2)*ran3(&idum))+1; n[3]=1+((n[3]-1) % ncity); //输送到一个不在当前路径上的某处 de=trncst(x,y,iorder,ncity,n); //计算代价 ans=metrop(de,t); //做预测 if(ans) { ++nsucc; path+=de; trnspt(iorder,ncity,n); //输送工作结束 } } else { //做段反转 de=revcst(x,y,iorder,ncity,n); //计算代价 ans=metrop(de,t); //作预测 if (ans) { ++nsucc; path+=de; reverse(iorder,ncity,n); //完成段反转 } }
数，它的作用是将温度与能量联系起来。换句 话说，在有些情况下系统的能量可上升，也可 下降，但是温度越低，显著上升的可能性就越 小。 1953年，米特罗波利斯(Metropolis)及其合 作者们首次将这种原理渗透到数值计算中。他 们对一个模拟热力学系统提供了一系列选择项， E E1 并假设：系统构形从能量 变化到能量 的概率为 p Exp E E kT 。很显然，如果 E E ，p 将大于1；在这类情况下，对构形的能 量变化任意指定一个概率值，也就是说，该系
后面我们还将介绍如何在其有连续控制参 数的空间中利用模拟退火法。这种应用实际上 要比组合问题复杂一些，因为其中又要出现 “狭长山谷”的情况。正如在下文中我们将看 到的，模拟退火法的试探步骤是“随机”的。 但在一个狭窄且漫长的等高线山谷中，几乎所 有的随机步骤都呈向上的趋势，因此，算法中 需要增加一些技巧。 模拟退火的核心思想与热力学的原理颇为相 似,而且尤其类似于液体流动和结晶以及金属 冷却和退火方式。在高温下，一种液体的大最 分子彼此之间进行着相对自由的移动。如果该 流体慢慢地冷却下来,热能可动性便会消失。
之前进行重新分布。这就是所谓退火在技术上 的定义，同时也是确保达到低能量状态所必需 的条件。 尽管我们的比喻并不算贴切，但是迄今为 止本身所讨论的所有极小化算法，确实与快速 冷却猝熄有某种关联之处。以往我们处理问题 的方式都是:从初始点开始，立即沿下降方向前 进，走得越远越好，似乎这样才能迅速求得问 题的解。但是，正如前面常常提到的，这种方 法往往只能求得局部极小点，却求不到整体最 小点。自然界本身的极小化算法则基于一种截
2
2 1
2
1
统总是取这个选择项。这种格式总是采取下 降过程，偶尔采取上升步骤。目前已被公认 为米特罗波利斯算法。 为了将米特波利斯算法应用于热力学以外的 系统，必须提供以下几项基本要素： 对可能的系统构形的一种描述。 2. 一个有关构形内部随机变化的生成函 数，这些变化将作为“选择项”提交给该系 统。 3. 一个目标函数 (类似于能量)，求解的 极小值，即为算法所要完成的工作。
下面的旅行推销员程序利用了米特罗波利 斯(Metropolis)算法，并展示了模拟退火技术 应用于组合问题的几个主要方面。
/* 本算法用于求解在ncity个城市之间作往返旅行的最短路径，其中这ncity个 城市的位置坐标存贮在数组x[l..ncity]和y[1..ncity]中。数组iorder[1..ncity] 表示途径城市的顺序。在输出项中，iorder中的元素将被置为数字l到ncity 的某排对，本程序将返回它所能求出的最佳选择路径。
for(i=1;i<ncity;i++) { //计算初始路径的长度 i1=iorder[i]; i2=iorder[i+1]:’ path+=ALEN(x[il],x[i2],y[i1],y[i2]); } i1=iorder[ncity]; //将路径头尾相连并结束循环 i2=iorder[1] path+=ALEN(x[i1],x[i2],y[i1],y[i2]); idum= -1; iseed=111 for (j=1;j<=100;j++) { //试验100个温度值 nsucc=0; for (k=1;k<=nover;k++) { do { n[1]=1+(int) (ncity*ran3(&idum)); //选择段的起始点… n[2]=1+(int)((ncity-1)*ran3(&idum)); //…段的结尾 if (n[2]>=n[1]) ++n[2]; nn=1+((n[1]-n[2]+ncity-1) % ncity); //nn为不位于当前段上的城市数 idec=irbit1(&iseed); } while (nn<3);
下面是我们用“旅行推销员问题”为具体 实例说明模拟退火法的应用。假设一个推销 员，要去N个分别位于 ( x , y ) 的城市进行推销, 并于最后返回他原来所在的城市，要求每个 城市只能去一次,而且所经过的路径要尽可能 地短。这个问题属于一类所谓“NP-完全问 题”。这类问题求出一个精确解所需的计算 时间是随N的增加以指数exp(常数×N)增长的。 当N不断增大时，运行时间将迅速增加,进而 导致费用高到令人难以接受的程度。旅行推