10-11(2)wjzh 10习题课完整篇

P ( x, y ) xy2 ,
Q( x , y ) y( x ),
P ( xy 2 ) 2 xy, Q [ y( x )] y( x ), y y x x
P Q 积分与路径无关 ， y x
由 y( x ) 2 xy
( x ) x 2 c
其中L 是沿逆
时针方向以原点为中心, a 为半径的上半圆周.
y
C
这说明积分与路径无关, 故
L
2
I

AB a 2 x dx a
( x y ) d x ( y x)dy
2
B
o
Ax
解法2 添加辅助线段 BA , 它与L所围区域为D, 则
I
L BA
( x y ) d x ( y x) d y ( x y ) d x ( y x) d y
如选路径 A C B 则 xydx x 2dy
I
CB y 2 AC

x y
2
B(0,2)
2
C(1,2)
0 1 x 2 dy dx 2 2 2 y 1 2 4 x 1 y 2
D(0,1)
A(1,1)
积分结果不易求出 但如选路径A D B 则
I x ( x 1) dx 0dy 1 x
Q P l Pdx Qdy ( x y )d D
P Q R )dv x y z
Gauss公式:
Pdydz Qdzdx Rdxdy (

dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz Stokes公式: x y z P Q R
•曲线积分路径无关的条件
设开区域G是一个单连通域, 函数P,Q在G内具
有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
(1)在G内曲线积分
Pdx Q dy与路径无关;
L
(2)在G内存在u(x,y),使得
称为Pdx+Qdy的原函数
du P( x, y)dx Q( x, y)dy
P Q (3) (x,y) G, ; y x (4) 对G 内任意闭曲线C: Pdx Qdy 0 .
第十章
小结
1.直接计算
2.转换为第二类

第一类
L
f ( x, y )ds f ( x, y, z )ds
曲 线 积 分
第二类


L
P ( x, y )dx Q( x, y )dy
1.直接计算 2.转换为第一类 3.公式(Green或Stokes)
Pdx Qdy Rdz
4.与路径无关
L
L
Pdx Qdy Rdz [ P cos Q cos R cos ]ds
•两类曲面积分之间的关系
Pdydz Qdzdx Rdxdy
[ P cos Q cos R cos ]dS

Green公式:
三 个 重 要 公 式
xdS dS

2
y
ydS dS
z
zdS dS
•转动惯量 I x ( y 2 z 2 ) dS
I y ( x z ) dS
2

I z ( x 2 y 2 ) dS


D
( x 2 y 2 )d ,

原式 =


2 0
e sin x 2 sin x cos xdx 2 e sin x d sin x
2

0
e sin x e sin x
2

2 0
2e 2
例 6 计算
I (e x sin y my )dx (e x cos y m )dy ,
L
其中 L为由点(a ,0) 到点( 0,0)的上半圆周
I 2 ( x y y ) d x ( y 2 x) d y
2
2
L
思考题解答:
(1) I1
y
C
L
( x 2 3 y ) d x ( y 2 x) d y

L AB

D
B
o
L
AB
Ax
2 3 2 2 2 d x d y a a ( a ) D 3 3 (2) I 2 ( x 2 y y 2 ) d x ( y 2 x) d y
AMOA

OA
y
M
Q P AMOA ( x y )dxdy D
m
D
m 2 dxdy a , 8
x
o
A(a ,0)
x
O A 0 0 dx (e
I
AMOA
a
m ) 0 0,
m 2 m 2 a 0 a . 8 8
D : x2 y2 a2


( x 2 y 2 z 2 )dv, : x 2 y 2 z 2 a 2
L : x2 y2 a2

L
( x 2 y 2 )ds,
(x
L
2
y z )ds,
2 2
x2 y2 z2 a2 , L: x y x 0
由(0) 0 ，知c 0
( 1 ,1 ) 2
( x ) x 2 .
1 1
1 故 xy dx y( x )dy 0 0dx 0 ydy . ( 0,0 ) 2
例9 确定参数 的值, 使得在不经过 y 0 2 2 2 2 2 x( x y ) x (x y ) dx dy 的区域上 I L 2 y y 与路径无关 , 并求当L为从A(1,1）到B(0,2)时
其中由平面 y = z 截球面 从 z 轴正向看沿逆时针方向. 故
z
o x
1y
原式 =
1 3 1 2 2 2 4 2 2
例4 计算
e
L
x2 y2
ds L : x y a , y x, y 0
2 2 2
所围成的在第三象限的扇形的整个边界 解 如图
x y y x P 2 Q 2 2 x y x y2 Q P x 2 y 2 2 xy ( x, y) (0,0) 2 2 2 x y (x y )
记L和 所为成的区域为D1 ，由Green公式
Pdx Qdy Pdx Qdy 0
向量场: A( x, y, z ) P ( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k





通
量: A n dS Pdydz Qdzdx Rdxdy

环流量:
场 论
Pdx Qdy Rdz A
其中 为曲线
z
解: 利用轮换对称性 , 有


o
y

x 2 ds y 2 ds z 2 ds

x
(的重心在原点)
利用重心公式知
2 I ( x 2 y 2 z 2 )ds 3 4 3 a 3
例15. 计算 解法1 令 P x 2 y, Q y 2 x, 则

OA
( x y )dx ( x y )dy 例7 计算 x2 y2 L
其中L为
x y 2 1 取顺时针方向 2 a b
解
2
2
以原点为心，作一半径充分小的圆周 x2 y 2 r 2 取逆时针方向
P Q 由于 L 所围区域包含原点 y , x 在原点不连续，
a 2 x dx a
2
2
y
C

D
2
2
BA
D
B
o
L
0 d x d y
思考:
2 3 a 3
Ax
(利用格林公式)
(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:
I1 ( x 2 3 y ) d x ( y 2 计算下述积分:
2 2
例12 验证: 在整个xoy面内,xy dx x ydy 是某个 函数的全微分, 并求出一个这样的函数. 例13 计算 其中 是圆周 x y 2z, z 2 若从 z 轴正向看去,这圆周是取逆时针方向
3 ydx xzdy yz dz 2 2
2
例14. 计算
2 0 1 2 2
2
1 0
1 2
1
1
dx dy 例10 计算 (1) xy 1 L
其中L为
例11 计算
(2)

L
xds xy 1
x y 1逆时针
ydx xdy 其中L为由 ( 1, 0) L x 2 y 2 y x 2 1 到 (2, 3) 沿


( x 2 y 2 z 2 )dS, : x 2 y 2 z 2 a 2
一、 曲线积分典型例题 例1计算 提示: 利用极坐标 , 其中L为圆周
ds
原式 =
r 2 r 2 d a d
a x ds
L
说明: 若用参数方程计算, 则
y
o
d s x2 y2 d t
x 2 y 2 ax , y 0 .
解
P x (e sin y my ) e x cos y m y y
Q x (e cos y m ) e x cos y x x