全国高考数学一轮复习-椭圆知识点总结
高考椭圆专题知识点
高考椭圆专题知识点椭圆是高中数学中的一个重要几何形状，也是高考数学中的热点考点之一。
掌握椭圆的基本概念和相关知识点对于解题至关重要。
本文将详细介绍高考椭圆专题的知识点，帮助同学们更好地理解和应用。
一、椭圆的定义和特点椭圆是平面上到两个不重合点的距离之和等于常数的动点构成的轨迹。
其中，这两个点被称为焦点，记作F1和F2，二者之间的距离为2a。
椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c。
椭圆的离心率定义为e=c/a，表示椭圆的瘦胖程度。
椭圆的主要特点包括：1. 对称性：椭圆关于长轴、短轴及原点均具有对称性。
2. 焦点：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为常数。
3. 直径：椭圆上的直径包括长轴和短轴，长轴和短轴的中点都在椭圆上。
4. 首尾距离：椭圆上首尾相接的两个点到两个焦点的距离之和也等于常数。
5. 扇形面积：以焦点和首尾相接的两个焦点连线为半径的扇形面积与椭圆扇形面积的和为常数。
6. 弧长性质：椭圆上的弧长与弦长的关系满足等角弧弦定理。
7. 方程表达：椭圆可以用方程的形式表达，常见的标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1。
二、椭圆的性质与方程推导1. 椭圆的离心率性质：椭圆的离心率e满足0<e<1，当e=0时，为圆。
2. 椭圆的焦点距离性质：椭圆的焦点距离满足2a=c^2=a^2-b^2。
3. 椭圆的焦半径平方和：椭圆上任意一点到两个焦点距离平方之和等于两个焦点距离平方之和。
4. 椭圆的参数方程：椭圆的参数方程为x=a·cosθ，y=b·sinθ。
5. 椭圆的斜轴方程：斜轴方程为(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1，其中(h, k)为椭圆中心坐标。
6. 椭圆的标准方程：标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1。
三、椭圆的相关定理和性质1. 弦长定理：椭圆上两个不相交的弦的长度之积与它们两个弦所夹的角的余弦值成正比。
2. 切线定理：过椭圆上一点的切线与椭圆两焦连线的夹角等于该点切线与椭圆中心连线的夹角。
高考数学一轮复习考点知识专题讲解61---椭圆及其性质
高考数学一轮复习考点知识专题讲解椭圆及其性质考点要求1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用．知识梳理1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F 1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距．2．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长 短轴长为2b ，长轴长为2a焦点 F 1(－c ,0)，F 2(c ,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距 |F 1F 2|＝2c对称性 对称轴：x 轴和y 轴，对称中心：原点离心率e ＝ca (0<e <1)a ，b ，c 的关系a 2＝b 2＋c 2常用结论 椭圆的焦点三角形椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F 1PF 2＝θ.(1)当P 为短轴端点时，θ最大，12F PF S △最大． (2)12F PF S △＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|. (3)|PF 1|max ＝a ＋c ，|PF 1|min ＝a －c . (4)|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2. (5)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×)(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．(√)(3)y 2m 2＋x 2n 2＝1(m ≠n )表示焦点在y 轴上的椭圆．(×) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相等．(√) 教材改编题 1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于()A ．4B ．5C ．8D ．10 答案D解析依椭圆的定义知， |PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10.2．若椭圆C ：x 24＋y 23＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为()A ．3B ．2＋ 3C ．2 D.3＋1 答案A解析由题意知a ＝2，b ＝3，所以c ＝1，距离的最大值为a ＋c ＝3.3．(2022·深圳模拟)已知椭圆C 的焦点在x 轴上，且离心率为12，则C 的方程可以为________．答案x 24＋y 23＝1(答案不唯一)解析因为焦点在x 轴上，所以设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，a >b >0，因为离心率为12，所以c a ＝12，所以c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，则b 2a 2＝34.题型一 椭圆的定义及其应用例1(1)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 是圆上任意一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是()A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 答案B解析点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |.又AM 是圆的半径，所以|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |.由椭圆的定义知，P 的轨迹是椭圆．(2)设点P 为椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a >2)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为________． 答案433解析由题意知，c ＝a 2－4.又∠F 1PF 2＝60°，|F 1P |＋|PF 2|＝2a ， |F 1F 2|＝2a 2－4，∴|F 1F 2|2＝(|F 1P |＋|PF 2|)2－2|F 1P ||PF 2|－2|F 1P |·|PF 2|cos60° ＝4a 2－3|F 1P |·|PF 2|＝4a 2－16，∴|F 1P |·|PF 2|＝163， ∴12PF F S △＝12|F 1P |·|PF 2|sin60°＝12×163×32 ＝433. 延伸探究 若将本例(2)中“∠F 1PF 2＝60°”改成“PF 1⊥PF 2”，求△PF 1F 2的面积． 解∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4(a 2－4) ＝4a 2－16，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|·|PF 2|＝8， ∴12PF F S △＝4. 教师备选1．△ABC 的两个顶点为A (－3,0)，B (3,0)，△ABC 周长为16，则顶点C 的轨迹方程为() A.x 225＋y 216＝1(y ≠0) B.y 225＋x 216＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.y 216＋x 29＝1(y ≠0)答案A解析由题知点C 到A ，B 两点的距离之和为10，故C 的轨迹为以A (－3,0)，B (3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆，故2a ＝10，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝16.所以方程为x 225＋y 216＝1.又A ，B ，C 三点不能共线，所以x 225＋y 216＝1(y ≠0)．2．若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为()A ．7 B.74 C.72 D.752答案C解析由题意得a ＝3，b ＝7，c ＝2， ∴|F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6.∵|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos45° ＝|AF 1|2＋8－4|AF 1|，∴(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋8－4|AF 1|， 解得|AF 1|＝72.∴△AF 1F 2的面积S ＝12×22×72×22＝72. 思维升华 椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．跟踪训练1(1)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9.动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是()A.x264－y248＝1 B.x248＋y264＝1C.x248－y264＝1 D.x264＋y248＝1答案D解析设动圆的圆心M(x，y)，半径为r，圆M与圆C1：(x－4)2＋y2＝169内切，与圆C2：(x＋4)2＋y2＝9外切．所以|MC1|＝13－r，|MC2|＝3＋r.|MC1|＋|MC2|＝16>|C1C2|＝8，由椭圆的定义，M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为16的椭圆．则a＝8，c＝4，所以b2＝82－42＝48，动圆的圆心M的轨迹方程为x264＋y248＝1.(2)(2022·武汉调研)设椭圆x24＋y23＝1的一个焦点为F，则对于椭圆上两动点A，B，△ABF周长的最大值为()A．4＋ 5 B．6 C．25＋2 D．8答案D解析设F1为椭圆的另外一个焦点，则由椭圆的定义可得|AF|＋|BF|＋|AB|＝2a－|AF1|＋2a－|BF1|＋|AB|＝4a＋|AB|－|BF1|－|AF1|＝8＋|AB|－|BF1|－|AF1|，当A，B，F1三点共线时，|AB|－|BF1|－|AF1|＝0，当A，B，F1三点不共线时，|AB|－|BF1|－|AF1|<0，所以当A，B，F1三点共线时，△ABF的周长取得最大值8.题型二椭圆的标准方程命题点1定义法例2已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.x22＋y2＝1B.x23＋y22＝1C.x24＋y23＝1D.x25＋y24＝1答案B解析设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，由椭圆定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a. ∵|AB|＝|BF1|，∴|AF1|＋2|AB|＝4a.又|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝32|AF2|，∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.又|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF2|＝a，∴A为椭圆的短轴端点．如图，不妨设A(0，b)，又F 2(1,0)，AF 2—→＝2F 2B —→， ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－b 2.将B 点坐标代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b2＝1， ∴a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2. ∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.命题点2待定系数法例3已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则该椭圆的方程为________． 答案x 29＋y 23＝1解析设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )． 因为椭圆经过P 1，P 2两点， 所以点P 1，P 2的坐标满足椭圆方程，则⎩⎨⎧6m ＋n ＝1，3m ＋2n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝13.所以所求椭圆的方程为x 29＋y 23＝1.教师备选1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，过F 2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，若△F 1AB 的周长为8，则椭圆方程为() A.x 24＋y 23＝1 B.x 216＋y 212＝1C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 22＝1 答案A 解析如图，由椭圆的定义可知，△F 1AB 的周长为4a ， 所以4a ＝8，a ＝2， 又离心率为12，所以c ＝1，b 2＝3， 所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.2．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点为(2,0)，离心率为22，则此椭圆的方程为________．答案x 28＋y 24＝1解析椭圆的右焦点为(2,0)， 所以m 2－n 2＝4，e ＝22＝2m，所以m ＝22，代入m 2－n 2＝4，得n 2＝4， 所以椭圆方程为x 28＋y 24＝1.思维升华 根据条件求椭圆方程的主要方法(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a ，b .当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m ，n 的值即可．跟踪训练2(1)已知椭圆的两个焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，M 是椭圆上一点，若MF 1⊥MF 2，|MF 1|·|MF 2|＝8，则该椭圆的方程是() A.x 27＋y 22＝1 B.x 22＋y 27＝1 C.x 29＋y 24＝1 D.x 24＋y 29＝1 答案C解析设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ， 因为MF 1⊥MF 2，|MF 1|·|MF 2|＝8， |F 1F 2|＝25，所以m 2＋n 2＝20，mn ＝8， 所以(m ＋n )2＝36，所以m ＋n ＝2a ＝6，所以a ＝3. 因为c ＝5， 所以b ＝a 2－c 2＝2. 所以椭圆的方程是x 29＋y 24＝1.(2)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为() A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案C解析如图，|AF 2|＝12|AB |＝32，|F 1F 2|＝2，由椭圆定义， 得|AF 1|＝2a －32.①在Rt△AF 1F 2中，|AF 1|2＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22.②由①②得a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.题型三 椭圆的几何性质 命题点1离心率例4(1)(2022·湛江模拟)已知F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，过椭圆C 的下顶点且斜率为34的直线与以点F 为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆C 的离心率为()A.55 B.12 C.33 D.22答案A解析过椭圆C 的下顶点(0，－b )且斜率为34的直线方程为y ＝34x －b ，即34x －y －b ＝0，F (c ,0)，由点到直线距离公式， 得c ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪34c －b ⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋1，即c 2＝－32bc ＋b 2，即(2c －b )(c ＋2b )＝0，则2c －b ＝0，b ＝2c .又a 2＝b 2＋c 2，即a 2＝(2c )2＋c 2＝5c 2， 解得c a ＝55. (2)已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率e 的取值范围为()A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1答案B解析若椭圆上存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，则以原点为圆心，F 1F 2为直径的圆与椭圆必有交点，如图，可得c ≥b ，即c 2≥b 2， 所以2c 2≥a 2，即e 2≥12，又e <1，所以e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1.思维升华 求椭圆离心率或其范围的方法 (1)直接求出a ，c ，利用离心率公式e ＝ca求解．(2)由a 与b 的关系求离心率，利用变形公式e ＝1－b 2a2求解． (3)构造a ，c 的齐次式．可以不求出a ，c 的具体值，而是得出a 与c 的关系，从而求得e .命题点2与椭圆有关的范围(最值)例5(1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2 答案D解析设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时，以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积最大，所以12×2cb ＝1，故bc＝1，故2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22(当且仅当b ＝c ＝1时取等号)．(2)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1(b >0)的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的左焦点和右顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为________．答案4解析由题意知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1， 所以b 2＝a 2－c 2＝3， 故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.设P 点的坐标为(x 0，y 0)， 所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3. 因为F (－1,0)，A (2,0)， 所以PF →＝(－1－x 0，－y 0)， PA →＝(2－x 0，－y 0)，所以PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2，所以当x0＝－2时，PF→·PA→取得最大值4.教师备选1．嫦娥四号在绕月飞行时是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，则下列选项中正确的是()A．焦距长约为400公里 B．长轴长约为3988公里C．两焦点坐标约为(±150,0) D．离心率约为75 994答案D解析设该椭圆的长半轴长为a，半焦距长为c.依题意可得月球半径约为12×3476＝1738，a－c＝100＋1738＝1838，a＋c＝400＋1738＝2138，所以2a＝1838＋2138＝3976，a＝1988，c＝2138－1988＝150,2c＝300，椭圆的离心率约为e＝ca＝1501988＝75994，可得D正确，A，B错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C错误．2．(2022·太原模拟)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为()A ．2B ．3C ．6D ．8 答案C解析由椭圆x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)，点O (0,0)．设P (x ，y )(－2≤x ≤2)．则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，－2≤x ≤2， 当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.思维升华 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质； (2)利用函数，尤其是二次函数； (3)利用不等式，尤其是基本不等式．跟踪训练3(1)(2022·济南质检)设椭圆E 的两焦点分别为F 1，F 2，以F 1为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与E 交于P ，Q 两点．若△PF 1F 2为直角三角形，则E 的离心率为() A.2－1 B.5－12 C.22D.2＋1 答案A解析不妨设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，如图所示，∵△PF 1F 2为直角三角形， ∴PF 1⊥F 1F 2，又|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ， ∴|PF 2|＝22c ，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2c ＋22c ＝2a ， ∴椭圆E 的离心率e ＝c a＝2－1.(2)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得∠APB ＝120°，则该椭圆的离心率的取值范围是() A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34答案A 解析如图，当P 在上顶点时，∠APB 最大， 此时∠APB ≥120°，则∠APO ≥60°，所以tan∠APO ≥tan60°＝3， 即a b≥3，a 2≥3b 2，a 2≥3(a 2－c 2)， 所以2a 2≤3c 2，则c a ≥63， 所以椭圆的离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，1.课时精练1．已知动点M 到两个定点A (－2,0)，B (2,0)的距离之和为6，则动点M 的轨迹方程为() A.x 29＋y 2＝1 B.y 29＋x 25＝1C.y 29＋x 2＝1D.x 29＋y 25＝1 答案D解析由题意有6>2＋2＝4，故点M 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆， 则2a ＝6，c ＝2，故a 2＝9， 所以b 2＝a 2－c 2＝5， 故椭圆的方程为x 29＋y 25＝1.2．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为()A.12B.33C.22D.24 答案C解析依题意可知，c ＝b ， 又a ＝b 2＋c 2＝2c ， ∴椭圆的离心率e ＝ca ＝22. 3．椭圆x 22＋y 2＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，点P 是椭圆上任意一点，则PF 1—→·PF 2—→的取值范围是()A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,2] 答案C解析设F 1为左焦点，则由椭圆方程得F 1(－1,0)，F 2(1,0)， 设P (x ，y )，－2≤x ≤2，∴PF 1—→＝(－1－x ，－y )，PF 2—→＝(1－x ，－y )， 则PF 1—→·PF 2—→＝x 2＋y 2－1＝x 22∈[0,1]．4．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则实数k 的取值范围是()A ．(0,3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，163C ．(0,3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫163，＋∞ D ．(0,2)答案C解析当k >4时，c ＝k －4， 由条件知14<k －4k <1，解得k >163； 当0<k <4时，c ＝4－k ， 由条件知14<4－k4<1，解得0<k <3.5．已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为() A.3－1 B ．2－ 3 C.22 D.32答案A解析∵过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线， ∴∠F 1MF 2＝90°，|MF 2|＝c ， ∵|F 1F 2|＝2c ， ∴|MF 1|＝3c ， 由椭圆定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ， ∴椭圆的离心率e ＝21＋3＝3－1.6．(2022·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2，点P (1,1)在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法不正确的是()A ．|QF 1|＋|QP |的最小值为2a －1B ．椭圆C 的短轴长可能为2C ．椭圆C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 D ．若PF 1—→＝F 1Q —→，则椭圆C 的长轴长为5＋17 答案B解析由题意可知2c ＝2，则c ＝1，因为点Q 在椭圆上， 所以|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QP |＝2a －|QF 2|＋|QP |， 又－1≤－|QF 2|＋|QP |≤1，所以A 正确； 因为点P (1,1)在椭圆内部，所以b >1,2b >2， 所以B 错误；因为点P (1,1)在椭圆内部，所以1a 2＋1b2<1，即b 2＋a 2－a 2b 2<0，又c ＝1，b 2＝a 2－c 2， 所以(a 2－1)＋a 2－a 2(a 2－1)<0， 化简可得a 4－3a 2＋1>0(a >1)， 解得a 2>3＋52或a 2<3－52(舍去)， 则椭圆C 的离心率e ＝ca<13＋52＝15＋12＝5－12，又0<e <1，所以椭圆C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12， 所以C 正确；由PF 1—→＝F 1Q —→可得，F 1为PQ 的中点， 而P (1,1)，F 1(－1,0)， 所以Q (－3，－1)， |QF 1|＋|QF 2|＝(－3＋1)2＋(－1－0)2＋(－3－1)2＋(－1－0)2 ＝5＋17＝2a ， 所以D 正确．7.如图是篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22cm ，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为________．答案12解析由图可得，椭圆的短轴长2b ＝22⇒b ＝11，2a ＝22sin60°＝2232⇒a ＝223，∴e ＝c a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－34＝12. 8．(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 216＋y 24＝1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |＝|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为________． 答案8解析根据椭圆的对称性及|PQ |＝|F 1F 2|可以得到四边形PF 1QF 2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF 1QF 2为矩形．设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝8－m ，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝m 2＋(8－m )2＝2m 2＋64－16m ＝|F 1F 2|2＝4c 2＝4(a 2－b 2)＝48，得m (8－m )＝8，所以四边形PF 1QF 2的面积为|PF 1|×|PF 2|＝m (8－m )＝8. 9．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)． (1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积． 解(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 依题意得⎩⎨⎧2a ＝10，c ＝3，因此a ＝5，b ＝4，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)易知|y P |＝4，又c ＝3，所以12F PF S △＝12|y P |×2c ＝12×4×6＝12.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，左顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，A 到直线EF 2的距离为62b .(1)求椭圆C 的离心率；(2)若P 为椭圆C 上的一点，∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面积为3，求椭圆C 的方程． 解(1)由题意得，A (－a ,0)，EF 2：x ＋y ＝c ， 因为A 到直线EF 2的距离为62b ， 即|－a －c |12＋12＝62b ，所以a ＋c ＝3b ，即(a ＋c )2＝3b 2，又b 2＝a 2－c 2， 所以(a ＋c )2＝3(a 2－c 2)， 所以2c 2＋ac －a 2＝0， 因为离心率e ＝c a， 所以2e 2＋e －1＝0， 解得e ＝12或e ＝－1(舍)，所以椭圆C 的离心率为12.(2)由(1)知离心率e ＝c a ＝12，即a ＝2c ，①因为∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面积为3， 则12|PF 1||PF 2|sin60°＝3， 所以|PF 1||PF 2|＝4，又⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos60°＝(2c )2，所以a 2－c 2＝3，②联立①②得a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.11．(2022·大连模拟)已知椭圆C ：x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，左、右顶点分别是A 1，A 2，点P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，则下列说法正确的是() A ．|PF 1|＋|PF 2|＝4B ．存在点P 满足∠F 1PF 2＝90°C ．直线PA 1与直线PA 2的斜率之积为－916D ．若△F 1PF 2的面积为27，则点P 的横坐标为453答案C解析由椭圆方程知a ＝4，b ＝3，c ＝7， |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，A 错误； 当P 在椭圆上、下顶点时， cos∠F 1PF 2＝2a 2－4c 22a 2＝18>0，即∠F 1PF 2最大值小于π2，B 错误； 若P (x ′，y ′)，则1PA k ＝y ′x ′＋4，2PA k ＝y ′x ′－4，有1PA k ·2PA k ＝y ′2x ′2－16，而x ′216＋y ′29＝1，所以－16y ′2＝9(x ′2－16)， 即有1PA k ·2PA k ＝－916，C 正确；若P (x ′，y ′)，△F 1PF 2的面积为27， 即2c ·|y ′|2＝27， 故y ′＝±2，代入椭圆方程得x ′＝±453，D 错误． 12．2021年10月16日，神舟十三号发射圆满成功，人民日报微博发了一条“跨越时空的同一天”，致敬每一代人的拼搏！已知飞船在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即飞船的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ,2c ，下列结论不正确的是()A ．飞船向径的取值范围是[a －c ，a ＋c ]B ．飞船在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C ．飞船向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D ．飞船运行速度在近地点时最大，在远地点时最小答案C解析根据椭圆定义知飞船向径的取值范围是[a －c ，a ＋c ]，A 正确；当飞船在左半椭圆弧上运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，知在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，B 正确；a －c a ＋c ＝1－e 1＋e ＝21＋e－1，比值越大，则e 越小，椭圆轨道越圆，C 错误； 根据面积守恒规律，飞船在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D 正确．13．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是() A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 答案D解析设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，m ，F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，由线段PF 1的中垂线过点F 2得 |PF 2|＝|F 1F 2|， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －c 2＋m 2＝2c ， 得m 2＝4c 2－⎝⎛⎭⎪⎫a 2c －c 2＝－a 4c 2＋2a 2＋3c 2≥0， 即3c 4＋2a 2c 2－a 4≥0，得3e 4＋2e 2－1≥0，解得e 2≥13，又0<e <1，故33≤e <1. 14．(2021·浙江)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ,0)(c >0)．若过F 1的直线和圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12c 2＋y 2＝c 2相切，与椭圆的第一象限交于点P ，且PF 2⊥x 轴，则该直线的斜率是________，椭圆的离心率是________． 答案25555解析设过F 1的直线与圆的切点为M ，圆心A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ，0，则|AM |＝c ，|AF 1|＝32c ，所以|MF 1|＝52c ， 所以该直线的斜率k ＝|AM ||MF 1|＝c 52c ＝255. 因为PF 2⊥x 轴，所以|PF 2|＝b 2a ，又|F 1F 2|＝2c ，所以k ＝255＝b 2a 2c ＝a 2－c 22ac ＝1－e 22e (0<e <1)，得e ＝55.15．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，且△F 1AB 的面积为2－32，若点P 为椭圆上的任意一点，则1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围是________． 答案[1,4]解析由已知得2b ＝2，故b ＝1. ∵△F 1AB 的面积为2－32，∴12(a －c )b ＝2－32， ∴a －c ＝2－3，又a 2－c 2＝(a －c )(a ＋c )＝b 2＝1， ∴a ＝2，c ＝3， ∴1|PF 1|＋1|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2||PF 1||PF 2|＝2a|PF 1|(2a －|PF 1|)＝4－|PF 1|2＋4|PF 1|.又2－3≤|PF 1|≤2＋3， ∴1≤－|PF 1|2＋4|PF 1|≤4，∴1≤1|PF 1|＋1|PF 2|≤4， 即1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围为[1,4]．16．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆的离心率的取值范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．(1)解不妨设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦距为2c . 在△F 1PF 2中，由余弦定理得，cos60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|， 即4a 2－2|PF 1|·|PF 2|－4c 22|PF 1|·|PF 2|＝12， 所以|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－2|PF 1|·|PF 2|－4c 2，所以3|PF 1|·|PF 2|＝4b 2，所以|PF 1|·|PF 2|＝4b 23. 又因为|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时等号成立，所以3a 2≥4(a 2－c 2)， 所以c a ≥12，所以e ≥12. 又因为0<e <1，所以所求椭圆的离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. (2)证明由(1)可知|PF 1|·|PF 2|＝43b 2， 所12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60° ＝12×43b 2×32＝33b 2， 所以△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．。
椭圆高考必会知识点
椭圆高考必会知识点在高考的数学考试中，椭圆是一个重要的考点，学生需要熟悉和掌握相关的知识。
本文将介绍椭圆的定义、性质及其在解决数学问题中的应用。
一、椭圆的定义和性质椭圆是平面上一点到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的轨迹。
其中，两个固定点之间的距离被定义为焦距，焦距的一半被表示为c。
另外，连接两个焦点的长度的一半被定义为半焦距，半焦距的表示为ae。
椭圆的定义可以用数学方程表示为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a 和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
椭圆的中心为原点O(0,0)，半长轴和半短轴分别与x轴和y轴平行。
椭圆具有以下性质：1. 两焦点关于x轴和y轴对称；2. 长轴与x轴夹角为α，有tanα = b/a；3. 短轴与x轴夹角为β，有tanβ = a/b；4. 长轴和短轴的长度满足a>b。
二、椭圆的方程及常见图形1. 标准方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
通过标准方程，我们可以确定椭圆的形状和大小。
2. 常见图形：根据椭圆的标准方程，我们可以得到不同形状的椭圆。
当a=b时，椭圆变为圆；当a>b时，椭圆在x轴上展开，较短的轴在y轴上；当b>a时，椭圆在y轴上展开，较短的轴在x轴上。
三、椭圆的焦点和准线1. 焦点：椭圆的焦点是椭圆定义中的两个固定点，记为F1和F2。
根据椭圆的定义，任意一点P到焦点F1和F2的距离之和等于常数，即PF1 + PF2 = 2a。
焦点在椭圆的长轴上，且与短轴的中点连线垂直。
2. 准线：椭圆的准线是椭圆上所有与焦点和直径平行的直线。
准线与椭圆的性质密切相关，在解决数学问题中常常需要利用准线的性质进行推导和计算。
四、椭圆的参数方程除了标准方程外，我们还可以通过参数方程来表示椭圆。
椭圆的参数方程为：x = a*cosθy = b*sinθ其中θ为参数，取值范围为0°≤θ≤360°或0≤θ≤2π。
椭圆高考知识点总结
椭圆高考知识点总结椭圆作为高考数学中的一个重要知识点，是极坐标和二次曲线的重要组成部分。
椭圆具有丰富的性质和应用，掌握椭圆的基本概念和相关公式对于解题非常重要。
本文将对椭圆的知识点进行总结和归纳，帮助大家更好地理解和掌握椭圆的相关内容。
一、椭圆的基本概念椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹，记为E，F1F2的中点为圆心O，直线F1F2的长度为2c，那么我们有以下的基本概念：1. 长轴和短轴：椭圆的两个焦点F1和F2之间的距离2a称为椭圆的长轴，过圆心O的直线中长轴的两倍称为椭圆的短轴。
2. 首焦距和垂直焦距：首焦距也就是焦点到椭圆上一点的距离，垂直焦距就是焦点到椭圆的一条切线的距离。
3. 离心率：椭圆的离心率定义为离心距与长轴的比值，记为e。
离心率e的范围是0<e<1，当e=0时，椭圆退化为圆。
二、椭圆的方程椭圆的方程是椭圆上的一点(x, y)满足的条件，一般形式为：((x-h)²/a²) + ((y-k)²/b²) = 1其中，(h, k)为椭圆的圆心坐标。
三、椭圆的性质椭圆有许多重要的性质，包括以下几个方面：1. 对称性：椭圆具有两个互相关于长轴和短轴对称的轴线，这两个轴线称为椭圆的对称轴。
2. 切线性质：椭圆上任意一点处的切线斜率等于这点椭圆的切线的斜率。
3. 焦点性质：对于椭圆上的任意一点P(x, y)，有PF1 + PF2 = 2a，其中PF1和PF2分别为点P到焦点F1和F2的距离。
4. 弦长性质：椭圆上两点之间的弦和对应的准线之积等于常数4a²。
5. 曲线方程的性质：椭圆的标准方程为((x-h)²/a²) + ((y-k)²/b²) = 1，等于1的点表示椭圆上的点，大于1和小于1的点在椭圆的内部和外部。
四、椭圆的常见问题在高考试题中，椭圆常常与坐标系、焦点坐标、离心率、方程等形式相关，考察的重点主要有以下几个方面：1. 椭圆的焦点坐标和离心率的确定；2. 椭圆的方程参数的确定，如长轴、短轴或焦点的坐标；3. 椭圆的对称轴、矩形、标准方程的应用和转化；4. 椭圆的参数方程与极坐标方程的变换；5. 椭圆与抛物线、双曲线等其他二次曲线的关系。
2020届全国高考数学椭圆知识点总结
2020届全国高考数学椭圆知识点总结（名师总结必考知识点，值得下载背诵）知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+b y a x )0(>>b a 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的简单几何性质标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+bx a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221= 范围a x ≤，b y ≤b x ≤，a y ≤对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ±轴长长轴长=a 2，短轴长=b 2 长半轴长=a ，短半轴长=b （注意看清题目）离心率)10(<<=e ace c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1；(p 是椭圆上一点)（不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围）注意：①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；②与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等知识点三：椭圆相关计算1．椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义222c b a +=2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长ab 22焦点弦：椭圆过焦点的弦。
高三椭圆知识点总结
高三椭圆知识点总结1. 椭圆的定义椭圆是平面上的一个点集，它的定义是：给定一个点 F1 和一个实数 e（e＜1），平面上到 F1 的距离与到另一定点 F2 的距离的和是一个常数 2a ，即：PF1 + PF2 = 2a（a＞0）。
这样的点集就构成了一个椭圆。
2. 椭圆的性质（1）椭圆的对称性椭圆具有两条互相垂直的对称轴，称为长轴和短轴。
椭圆的中心既是长轴的中点，也是短轴的中点。
椭圆具有中心对称性，即椭圆上的任意点关于中心对称。
（2）焦点和直径在椭圆上存在两个特殊的点 F1 和 F2，它们被称为焦点。
椭圆上的所有点到焦点的距离和为定值 2a。
椭圆的长轴称为椭圆的主轴，短轴称为椭圆的次轴。
椭圆的主轴的两端点被称为端点，也被称为椭圆的顶点。
（3）椭圆的离心率椭圆的离心率 e 定义为焦点 F1 到椭圆中心 O 的距离与椭圆的底边长 b 的比值，即 e = OF1 / b。
离心率的取值范围为 0＜e＜1，当 e＝0 时，椭圆退化为一个圆；当e→1 时，椭圆逐渐趋近于一个狭长的形状。
（4）椭圆的方程椭圆的标准方程为 x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1 ，其中 a 和 b 分别是椭圆的长轴和短轴的长度。
椭圆的方程也可以表示为其它形式，如标准方程的极坐标形式、参数方程、直角坐标系下的一般形式等。
3. 椭圆的相关定理（1）椭圆的焦点定理椭圆上任意一点 P 到椭圆的两个焦点 F1 和 F2 的距离之和等于常数 2a，即 PF1 + PF2 = 2a。
（2）椭圆的切线定理椭圆的切线与椭圆的两个焦点之间的距离之和等于椭圆的两条焦轴的长度，即 PT1 + PT2= 2a；PT1 和 PT2 分别为切线的两个切点到椭圆两焦点的距离。
（3）椭圆的两条辅助圆定理椭圆与其两个辅助圆相交于同一条直线上，椭圆的两个焦点为圆心，椭圆的长轴为直径的圆被称为椭圆的第一辅助圆，椭圆的两个顶点为圆心，椭圆的短轴为直径的圆被称为椭圆的第二辅助圆。
高三数学第一轮复习椭圆的定义、性质及标准方程知识精讲
高三数学第一轮复习：椭圆的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】椭圆的定义、性质及标准方程椭圆的定义及相关概念、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质【知识掌握】 【知识点精析】1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a bx a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距)0(221>=c c F F)0(221>=c c F F3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
推导过程：由第二定义得11PFe d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。
高考椭圆的知识点
高考椭圆的知识点高考数学中关于椭圆的知识点主要包括以下几个方面：1、椭圆的定义：椭圆是平面内到两个固定点（焦点）的距离之和为定值（大于两焦点间距离）的所有点的轨迹。
2、椭圆的标准方程：当焦点在x轴上时，标准方程为：(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(a > b > 0)，(h, k)是椭圆中心的坐标。
当焦点在y轴上时，标准方程为：(y-k)^2/a^2 + (x-h)^2/b^2 = 1，同样a>b>0，(h, k)为椭圆中心坐标。
3、参数形式：椭圆还可以用参数方程表示，例如：x = a * cosθ + h，y = b * sinθ + k。
4、基本性质：长半轴a和短半轴b决定了椭圆的形状和大小，离心率e = c/a（c为焦距的一半），范围在0 < e < 1。
椭圆的面积公式S = πab。
焦点与长轴、短轴的关系：焦距|F1F2| = 2c，长轴长2a，短轴长2b，有关系式a^2 = b^2 + c^2。
5、几何性质：焦点弦性质、通径（过焦点垂直于长轴的弦）、共轭直径等。
与圆锥曲线相关的光学性质，如反射定律等。
6、解题方法：利用定义求解有关焦点、焦半径等问题。
根据给定条件确定椭圆的标准方程，通常采用待定系数法。
计算椭圆上的点与焦点或准线的距离，以及运用离心率解决相关问题。
7、离心率的应用：离心率常作为约束条件出现在题目中，用来求解椭圆方程或者判断椭圆形状。
8、交点问题：椭圆与其他图形（直线、圆、抛物线等）相交时求交点坐标及相关长度、面积计算。
高考中的椭圆题目类型多样，包括但不限于以上知识点，要求考生能够灵活运用椭圆的基本概念、性质及方程来解答不同难度的问题。
椭圆高考知识点总结
椭圆高考知识点总结一、椭圆的定义和基本性质1. 椭圆的定义椭圆的定义有多种表述方式，其中一种常见的定义是：椭圆是平面上到两个定点F1、F2的距离之和等于定常长2a（a＞0）的点P的轨迹。
称F1、F2为椭圆的焦点，2a为椭圆的长轴。
即椭圆定义为$|PF_1|+|PF_2|=2a$。
根据这个定义，我们可以推导出椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$2a$和$2b$分别为椭圆的长轴和短轴。
椭圆的离心率e满足$0<e<1$。
2. 椭圆的基本性质（1）主轴和短轴: 通过椭圆两个焦点连线的中垂线叫做长轴，椭圆的两个焦点所在直线叫做长轴；长轴的两端点叫做椭圆的顶点。
垂直于长轴的直线段叫做短轴。
（2）顶点和焦点：椭圆的两个端点叫做顶点，两个焦点分别叫做F1和F2。
（3）公式中的取值范围：椭圆标准方程中的参数a和b满足$a>b>0$。
（4）对称性：椭圆具有镜面对称性。
（5）内外离心率：椭圆的内离心率e1满足：$0<e_1<1$，外离心率e2满足：$1<e_2$。
3. 椭圆的离散表示：根据离心率e和焦点F1、F2获知椭圆的表达式$|PF_1|+|PF_2|=2a$表示椭圆的定点，即点到两个定点的距离之和等于一个定常长2a。
其中a是椭圆的长轴，F1、F2是焦点。
这个定义可以描述椭圆的形状和性质。
二、椭圆的方程和坐标变换1. 椭圆标准方程：椭圆的标准方程是$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。
其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。
2. 椭圆的一般方程：如果椭圆的长轴不在x、y轴上，可以通过坐标变换将椭圆的标准方程转化为一般方程$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$。
3. 椭圆的参数方程：椭圆的参数方程为$x=acos\theta$，$y=bsin\theta$，其中$\theta$是参数，$-\pi<\theta<\pi$。
高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆
高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆第五节椭圆[备考方向要明了][归纳知识整合]1．椭圆的定义(1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆①在平面内；②与两个定点F1、F2的距离之和等于常数；③常数大于|F1F2|.(2)焦点：两定点．(3)焦距：两焦点间的距离．[探究] 1.在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a|F1F2|，则动点的轨迹如何？提示：当2a＝|F1F2|时动点的轨迹是线段F1F2；当2a|F1F2|时，动点的轨迹是不存在的．2．椭圆的标准方程和几何性质高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆[探究] 2.椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？提示：离心率e ＝ca 越接近1，a 与c 就越接近，从而b ＝a 2－c 2就越小，椭圆就越扁平；同理离心率越接近0，椭圆就越接近于圆．[自测牛刀小试]1．椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为( )A.13 B.12 C.33D.22解析：选D ∵a 2＝16，b 2＝8，∴c 2＝8，∴e ＝c a ＝2 2.2．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )A ．6B ．5C ．4D ．3高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆解析：选A 根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.3．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( ) A.14B.12 C ．2 D ．4解析：选A 由题意知a 2＝1m ，b 2＝1，且a ＝2b ，则1m ＝4，得m ＝14. 4．若椭圆x 216＋y 2m 2＝1过点(－2，3)，则其焦距为( ) A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5解析：选C 把点(－2，3)的坐标代入椭圆方程得m 2＝4，所以c 2＝16－4＝12，所以c ＝23，故焦距为2c ＝4 3.5．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为________．解析：由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3，则|PF 2|＝6.故|PF 1|＝2×5－6＝4. 答案：4[例1] (1)已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 是周长是( )A ．23B ．6C ．4 3D ．12 (2)(2012山东高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( ) 高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1 [自主解答] (1)根据椭圆定义，△ABC 的周长等于椭圆长轴长的2倍，即4 3.(2)由离心率为32得，a 2＝4b 2，排除选项B ，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，与椭圆的四交点组成的四边形的面积为16可得在第一象限的交点坐标为(2,2)，代入选项A 、C 、D ，知选项D 正确．[答案] (1)C (2)D―――――――――――――――――――用待定系数法求椭圆方程的一般步骤(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；(2)设方程：根据上述判断设方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)或x 2b 2＋y 2a2＝1(a b 0)；(3)找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 或m 、n 的方程组；(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx 2＋ny 2＝1(m 0，n 0).1．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为______________．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)，根据椭圆定义2a ＝12，即a ＝6，又c a ＝32，得c ＝33，故b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为x 236＋y 29＝1. 答案：x 236＋y 29＝1 2．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a b 0)的左、右焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1⊥PF 2.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.解析：设椭圆的焦点坐标为(±c,0)根据椭圆定义和△PF 1F 2是一个面积等于9的直角三角形，高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆有????? |PF 1|＋|PF 2|＝2a ，①|PF 1||PF 2|＝18，②|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2. ③①式两端平方并把②、③两式代入可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，即b 2＝9，故b ＝3.答案：3[例2] (2012安徽高考)如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．[自主解答] (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12. (2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程可为y ＝－3(x －c )．将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ????85c ，－335c . 所以|AB |＝1＋3????85c －0＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1||AB |sin ∠F 1AB ＝12a 165c 32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3. 法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t . 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得，t ＝85a . 由S △AF 1B ＝12a 85a 32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆―――――――――――――――――――椭圆离心率的求法求椭圆的离心率(或范围)时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式(或不等式)，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，即可求得离心率或离心率的范围．3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△F AB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( ) A.3－12 B.5－12 C.1＋54D.3＋14 解析：选B 根据已知a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52，故所求的椭圆的离心率为5－12. 4．椭圆x 2a 2＋y 25＝1(a 为定值，且a 5)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，△F AB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆右焦点为F ′，由图及椭圆定义知，|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a .又△F AB 的周长为|AF |＋|BF |＋|AB |≤|AF |＋|BF |＋|AF ′|＋|BF ′|＝4a ，当且仅当AB过右焦点F ′时等号成立，此时4a ＝12，则a ＝3，故椭圆方程为x 29＋y 25＝1, 所以c ＝2，所以e ＝c a ＝23. 答案：23[例3] 如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)的距离为10.不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆AB 被直线OP 平分．(1)求椭圆C 的方程；(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程．[自主解答] (1)设椭圆左焦点为F (－c,0)，则由题意得????? (2＋c )2＋1＝10，c a ＝12，解得????? c ＝1，a ＝2.所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M .当直线AB 与x 轴垂直时，直线AB 的方程为x ＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，由????? y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12消去y ，整理得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，①则Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0，????? x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2.所以线段AB 的中点M ????－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2.因为M 在直线OP ：y ＝12x 上，所以3m 3＋4k 2＝－2km 3＋4k 2.得m ＝0(舍去)或k ＝－32.此时方程①为3x 2－3mx ＋m 2－3＝0，则Δ＝3(12－m 2)＞0，????? x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－33.所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝39612－m 2.设点P 到直线AB 距离为d ，则d ＝|8－2m |32＋22＝2|m －4|13.高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆设△ABP 的面积为S ，则S ＝12|AB |d ＝36(m －4)2(12－m 2). 其中m ∈(－23，0)∪(0,23)．令u (m )＝(12－m 2)(m －4)2，m ∈[－23，2 3 ]，u ′(m )＝－4(m －4)(m 2－2m －6)＝－4(m －4)(m －1－7)(m －1＋7)．所以当且仅当m ＝1－7时，u (m )取到最大值．故当且仅当m ＝1－7时，S 取到最大值．综上，所求直线l 方程为3x ＋2y ＋27－2＝0.高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆――――――――――――――――――― 直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法5．(2013洛阳模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)的离心率为22，短轴的一个端点为M (0,1)，直线l ：y ＝kx －13与椭圆相交于不同的两点A ，B . (1)若|AB |＝4269，求k 的值；(2)求证：不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M .解：(1)∵由题意知c a ＝22，b ＝1. 由a 2＝b 2＋c 2可得c ＝b ＝1，a ＝2，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. 由??? y ＝kx －13，x 22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2－43kx －169＝0. Δ＝169k 2－4(2k 2＋1)×???－169＝16k 2＋6490恒成立．设A (x 1，y 1)，B (x 2，x 2)，则x 1＋x 2＝4k 3(2k 2＋1)，x 1x 2＝－169(2k 2＋1)，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4(1＋k 2)(9k 2＋4)3(2k 2＋1)＝4269，化简得23k 4－13k 2－10＝0，即(k 2－1)(23k 2＋10)＝0，解得k ＝±1.(2)证明：∵MA ＝(x 1，y 1－1)，MB ＝(x 2，y 2－1)，∴MAMB ＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1) ＝(1＋k 2)x 1x 2－43k (x 1＋x 2)＋169高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆＝－16(1＋k 2)9(2k 2＋1)－16k 29(2k 2＋1)＋169＝0.∴不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M .1个规律――椭圆焦点位置与x 2、y 2系数之间的关系给出椭圆方程x 2m ＋y 2n＝1时，椭圆的焦点在x 轴上?m n 0；椭圆的焦点在y 轴上?0m n .1种思想――数形结合思想在椭圆几何性质中的运用求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．2种方法――求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a 、b 、c 的方程组，解出a 2、b 2，从而写出椭圆的标准方程．3种技巧――与椭圆性质、方程相关的三种技巧(1)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .(2)求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0e 1)．(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴.答题模板――直线与圆锥曲线的位置关系[典例] (2012北京高考满分14分)已知曲线C ：(5－m )x 2＋(m －2)y 2＝8(m ∈R )．高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；(2)设m＝4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线y＝kx＋4与曲线C交于不同的两点M，N，直线y ＝1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线．高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆[快速规范审题]第(1)问1．审条件，挖解题信息观察条件：方程的曲线是焦点在x 轴上的椭圆*****DD→椭圆的标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．2．审结论，明确解题方向观察所求结论：求m 的范围D→需建立关于m 的不等式．3．建联系，找解题突破口由椭圆的标准方程D→DDDDDD→确定a 2，b 2a 2＝85－m ，b 2＝8m －2*****→建立关于m 的不等式5－m ＞0，m －2＞0，85－m ＞8m －2解不等式组,得m 的取值范围．第(2)问1．审条件，挖解题信息观察条件：m ＝4；曲线C 与y 轴交于A ，B 与直线y ＝kx ＋4交于M ，N ；直线y ＝1与直线BM 交于G *****DDDD→把m ＝4代入曲线C 的方程并令x ＝0，得A 、B 的坐标曲线C 的方程x 2＋2y 2＝8，A (0,2)，B (0，－2)．2．审结论，明确解题方向观察所证结论：证明A ，G ，N 三点共线*****→利用斜率转化证明k AN ＝k AG . 3．建联系，找解题突破口联立方程y ＝kx ＋4与x 2＋2y 2＝8，消元DDDDDD→利用根与系数的关系确定M ，N 的坐标满足的条件*****DD→写出BM 的方程并令y ＝1写出G 的坐标*****DDD→写出k AN ，k AG 的表达式证明k AN －k AG ＝0. [准确规范答题](1)曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，当且仅当????? 5－m ＞0，m －2＞0，85－m ＞8m －2，?(3分) 解得72＜m ＜5，所以m 的取值范围是????72，5.?(4分) (2)当m ＝4时，曲线C 的方程为x 2＋2y 2＝8，点A ，B 的坐标分别为(0,2)，(0，－2)．?(5分)高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆由?????y ＝kx ＋4，x 2＋2y 2＝8，得(1＋2k 2)x 2＋16kx ＋24＝0.?(6分) 因为直线与曲线C 交于不同的两点，所以Δ＝(16k )2－4(1＋2k 2)×24＞0，即k 2＞32.?(7分)设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝kx 1＋4，y 2＝kx 2＋4，x 1＋x 2＝－16k 1＋2k 2，x 1x 2＝24 1＋2k 2.?(8分) 直线BM 的方程为y ＋2＝y 1＋2x 1x ，点G 的坐标为????3x 1y 1＋2，1.?(9分)因为直线AN 和直线AG 的斜率分别为k AN ＝y 2－2x 2，k AG ＝－y 1＋23x 1，?(11分) 所以k AN －k AG ＝y 2－2x 2＋y 1＋23x 1＝kx 2＋2x 2＋kx 1＋63x 1＝43k ＋2(x 1＋x 2)x 1x 2＝43k ＋2×1＋2k 2241＋2k 2＝0. 即k AN ＝k AG .?(13分)故A ，G ，N 三点共线．?(14分)[答题模板速成]解直线与圆锥曲线位置关系的一般步骤：?高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．(2012上海高考)对于常数m ，n ，“mn 0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 因为当m 0，n 0时，方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线不是椭圆，但当方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆时，m 0，n 0，mn 0.2．已知椭圆：x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( ) A ．4C ．4或8D ．以上均不对解析：选C 由?????10－m 0，m －20，得2m 10，由题意知(10－m )－(m －2)＝4或(m －2)－(10－m )＝4，解得m ＝4或m ＝8.3．矩形ABCD 中，|AB |＝4，|BC |＝3，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的椭圆的短轴的长为( )A ．2 3B ．2 6C ．4 2D ．4 3解析：选D 依题意得|AC |＝5，所以椭圆的焦距为2c ＝|AB |＝4，长轴长2a ＝|AC |＋高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆|BC |＝8，所以短轴长为2b ＝2a 2－c 2＝216－4＝4 3.4．(2013汕尾模拟)已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5C ．13D ．15解析：选B 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.5．以椭圆上任意一点与焦点所连接的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．相离D ．无法确定解析：选A 如图，设线段是PF 1，O 1是线段PF 1的中点，连接O 1O ，PF 2，其中O 是椭圆的中心，F 2是椭圆的另一个焦点，则在△PF 1F 2中，由三角形中位线定理可知，两圆的连心线的长是|OO 1|＝12|PF 2|＝12(2a －|PF 1|)＝a －12|PF 1|＝R －r . 6．(2012新课标全国卷)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A.12B.23C.34D.45解析：选C 根据题意直线PF 2的倾斜角是π3，所以32a －c ＝12|PF 2|＝12|F 1F 2|＝12×2c ，解得e ＝34. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)与曲线x 2＋y 2＝a 2－b 2恒有公共点，则椭圆的离心率e 的取值范围是__________．解析：由题意知，以半焦距c 为半径的圆与椭圆有公共点，故b ≤c ，所以b 2≤c 2，即a 2≤2c 2，高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆所以22≤c a .又c a 1，所以22≤e 1. 答案：????22，1 8．(2012江西高考)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a b 0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为________．解析：依题意得|F 1F 2|2＝|AF 1||BF 1|，即4c 2＝(a －c )(a ＋c )＝a 2－c 2，整理得5c 2＝a 2，得e ＝c a ＝55 . 答案：559．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)的离心率为32 .过右焦点F 且斜率为k (k 0)的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点．若AF ＝3FB ，则k ＝________.解析：根据已知c a ＝32，可得a 2＝43c 2，则b 2＝13c 2，故椭圆方程为3x 24c 2＋3y 2c2＝1，即3x 2＋12y 2－4c 2＝0.设直线的方程为x ＝my ＋c ，代入椭圆方程得(3m 2＋12)y 2＋6mcy －c 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则根据AF ＝3FB ，得(c －x 1，－y 1)＝3(x 2－c ，y 2)，由此得－y 1＝3y 2，根据韦达定理y 1＋y 2＝－2cm m 2＋4，y 1y 2＝－c 23(m 2＋4)，把－y 1＝3y 2代入得，y 2＝cm m 2＋4，－3y 22＝－c 23(m 2＋4)，故9m 2＝m 2＋4，故m 2＝12，从而k 2＝2，k ＝±2. 又k 0，故k ＝2.答案：2三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．解：设两焦点为F 1，F 2，且|PF 1|＝453，|PF 2|＝253. 由椭圆定义知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝25，即a ＝5.由|PF 1||PF 2|知，|PF 2|垂直焦点所在的对称轴，所以在Rt △PF 2F 1中，sin ∠PF 1F 2＝|PF 2||PF 1|＝12. 可求出∠PF 1F 2＝π6，2c ＝|PF 1|cos π6＝253，高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆从而b 2＝a 2－c 2＝103. 所以所求椭圆方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y 25＝1. 11．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程；(2)求△P AB 的面积．解：(1)由已知得c ＝22，c a ＝63，解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4.所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由????? y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.① 设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4. 因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PE ⊥AB .所以PE 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2. 此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△P AB 的面积S ＝12|AB |d ＝92. 12．(2012重庆高考)如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程．解：(1)如图，设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)，右焦点为F 2(c,0)．因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c 2. 结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255. 在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12|B 1B 2||OA |＝|OB 2||OA |＝c 2b ＝b 2. 由题设条件S △AB 1B 2＝4，得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1. (2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1y 2＝－16m 2＋5，又2B P＝(x 1－2，y 1)，2B Q ＝(x 2－2，y 2)，所以2B P 2B Q ＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16＝－16(m 2＋1)m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，得2B P 2B Q ＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.1．设e 1，e 2分别为具有公共焦点F 1与F 2的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足PF 1PF 2＝0，则e 21＋e 22(e 1e 2)2的值为________．解析：设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，|F 1F 2|＝2c ，由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，||PF 1|－|PF 2||＝2a 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝2a 21＋2a 22.又∵PF 1PF 2＝0，∴PF 1⊥PF 2. ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即2a 21＋2a 22＝4c 2.∴???a 1c 2＋????a 2c 2＝2，即1e 21＋1e 22＝2，即e 21＋e 22(e 1e 2)2＝2. 答案：22．已知F 1，F 2为椭圆x 2100＋y 2b 2＝1(0b 10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点．(1)求|PF 1||PF 2|的最大值；(2)若∠F 1PF 2＝60°且△F 1PF 2的面积为6433，求b 的值．解析：(1)由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝20，则|PF 1||PF 2|≤????|PF 1|＋|PF 2|22＝100，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时，等号成立，故(|PF 1||PF 2|)max ＝100.(2)因为S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝6433，所以|PF 1||PF 2|＝2563.① 又?????|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2＝400，|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝2|PF 1||PF 2|cos 60°，所以3|PF 1||PF 2|＝400－4c 2.②由①②得c ＝6，则b ＝a 2－c 2＝8. 3．已知平面内曲线C 上的动点到定点(2，0)和定直线x ＝22的比等于22. (1)求该曲线C 的方程；。
高考椭圆专题知识点总结
高考椭圆专题知识点总结椭圆作为数学中的一个重要概念，是高考数学中的一个重要考点。
本文将对椭圆的相关知识进行总结，从基本概念到具体应用进行阐述，探讨其在高考中的应对策略。
一、椭圆的基本概念椭圆是平面上的一个几何图形，其定义为到两个定点F₁、F₂的距离之和等于定值2a的点集合。
F₁、F₂称为椭圆的焦点，而直线段F₁F₂的长度为椭圆的主轴。
与主轴垂直的直径称为椭圆的次轴，两轴的交点称为椭圆的中心。
二、椭圆的数学描述椭圆的数学表示是(x/a)²+(y/b)²=1或(x/a)²/(y/b)²=1，其中a为椭圆的长半轴，b为椭圆的短半轴。
根据椭圆的性质，由于离心率e=√(a²-b²)/a<1，椭圆是离心率小于1的一类曲线。
三、椭圆的参数方程椭圆的参数方程是x=a*cosθ，y=b*sinθ，其中θ为参数。
通过参数方程，我们可以很方便地求得椭圆上的各个点的坐标。
此外，椭圆的参数方程还可以用来求椭圆中心、焦点等相关信息。
四、椭圆的常见性质1. 椭圆的离心率e满足0<e<1，离心率为0时即为圆。
2. 椭圆的长半轴a和短半轴b满足a>b>0。
3. 椭圆的焦距2c满足c²=a²-b²，其中c为焦点F₁F₂到中心的距离。
五、椭圆的相关定理1. 椭圆的切线定理：椭圆上任意一点处的切线斜率等于该点对应的椭圆的切线的倾角的正切值。
2. 椭圆的法线定理：椭圆上任意一点处的法线斜率等于该点对应的椭圆的切线的倾角的负倒数。
3. 椭圆的切线和法线的判定：切线和法线的直线方程满足x²/a²+y²/b²=1和bx/a²y+ay/b²x=1。
六、椭圆的应用椭圆在现实生活中有丰富的应用。
例如，椭圆的形状被广泛应用于汽车或自行车的轮胎、卫星的轨道等。
在高考数学中，椭圆的知识点也常常涉及到与其他几何图形的相互关系以及坐标变换等问题。
高考数学椭圆知识点总结
高考数学椭圆知识点总结在高考数学中，椭圆是一个重要的几何图形，掌握椭圆的相关知识点对于解题非常有帮助。
下面将对高考数学中与椭圆相关的知识点进行总结。
一、椭圆的定义和性质椭圆是一个平面上的封闭曲线，其定义是到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的点所构成的集合。
椭圆具有以下性质：1. 焦点和准线：椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，准线则是连接两个焦点并且垂直于长轴的直线。
2. 焦距和半长轴：椭圆的两个焦点之间的距离称为焦距，焦距的一半称为半焦距。
椭圆的长轴是过焦点的直线，长轴的一半称为半长轴。
3. 直径：椭圆的直径是通过椭圆两个焦点的直线段，并且垂直于长轴的。
二、椭圆的标准方程椭圆的标准方程为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h, k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度。
三、椭圆的参数方程和焦点坐标椭圆的参数方程为x = h + a*cosθ，y = k + b*sinθ，其中θ是0到2π的参数。
椭圆的焦点坐标为(h+c, k)和(h-c, k)，其中c是半焦距的长度。
四、椭圆的离心率和短焦距椭圆的离心率是一个描述椭圆形状的重要指标，计算公式为e = c/a，其中c是焦距的长度，a是半长轴的长度。
离心率小于1的椭圆被称为椭圆形，离心率等于1的椭圆被称为抛物线，离心率大于1的椭圆被称为双曲线。
椭圆的短焦距的长度可以通过短焦距的平方等于长焦距的平方减去椭圆的半长轴的平方来计算。
五、椭圆和直线的方程椭圆的方程和直线的方程可以相交、相切或者相离。
椭圆和直线相交时，可以通过联立椭圆的方程和直线的方程求解交点的坐标。
六、椭圆的面积和周长椭圆的面积可以通过公式A = πab来计算，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度。
椭圆的周长近似于公式C ≈ 2π√(2a²+b²)/2。
综上所述，掌握高考数学中与椭圆相关的知识点对于解题至关重要。
高考数学一轮复习--椭圆知识点与题型复习
椭圆知识点与题型复习一、基础知识 1．椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a (2a ＞|F 1F 2|)的动点P 的轨迹叫做椭圆，这两个定点F 1，F 2叫做椭圆的焦点. 2．椭圆的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．3．椭圆的几何性质注：长轴与短轴的交点叫做椭圆的中心．离心率表示椭圆的扁平程度．当e 越接近于1时，c 越接近于a ，从而b ＝a 2－c 2越小，因此椭圆越扁．二、常用结论(1)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为2b 2a ，过焦点最长弦为长轴．(2)过原点最长弦为长轴长2a ，最短弦为短轴长2b .(3)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)有共焦点的椭圆方程为x 2a 2＋λ＋y 2b 2＋λ＝1(λ＞－b 2)．(4)焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．若r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中：①当r 1＝r 2，即点P 为短轴端点时，θ最大；②S ＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝c |y 0|，当|y 0|＝b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc ；③△PF 1F 2的周长为2(a ＋c )．三、考点解析考点一 椭圆的标准方程例、(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的标准方程为( )A.x 26＋y 24＝1B.x 216＋y 236＝1C.x 236＋y 216＝1D.x 249＋y 29＝1 (2)已知中心在坐标原点的椭圆过点A (－3,0)，且离心率e ＝53，则椭圆的标准方程为________． 跟踪训练1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )A.x 236＋y 232＝1B.x 29＋y 28＝1C.x 29＋y 25＝1D.x 216＋y 212＝1 2．椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若椭圆C 的离心率等于12，且它的一个顶点恰好是抛物线x 2＝83y 的焦点，则椭圆C 的标准方程为______________．3．已知椭圆中心在原点，且经过A (3，－2)和B (－23，1)两点，则椭圆的标准方程为________．考点二 椭圆的定义及其应用例、(1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 23＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 29＋y 24＝1D.x 29＋y 25＝1 (2)已知点P (x ，y )在椭圆x 236＋y 2100＝1上，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若△PF 1F 2的面积为18，则∠F 1PF 2的余弦值为________．变式练习1．已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到椭圆一个焦点F 1的距离为3，则P 到另一个焦点F 2的距离为( )A ．2B ．3C ．5D ．7 2.(变结论)若本例(2)条件不变，则△PF 1F 2的内切圆的面积为________． 考点三 椭圆的几何性质考法(一) 求椭圆离心率的值(或范围)例、(1)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( ) A ．1－32 B ．2－3 C.3－12D.3－1 (2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.]23,0( B.]43,0( C )1,23[. D.)1,43[ [解题技法]求椭圆离心率的方法：(1)定义法：根据条件求出a ，c ，直接利用公式e ＝ca求解．(2)方程法：根据条件得到关于a ，b ，c 的齐次等式(不等式)，结合b 2＝a 2－c 2转化为关于a ，c 的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a 或a 2转化为关于e 或e 2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．考法(二) 与椭圆性质有关的最值问题例、已知点F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，点M 是该椭圆上的一个动点，那么|MF 1―→＋MF 2―→|的最小值是( )A ．4B ．6C ．8D ．10[解题技法]椭圆几何性质的应用技巧(1)与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形． (2)椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0＜e ＜1，三角形两边之和大于第三边，在求椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不等关系． 跟踪训练1．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，A 为左顶点，F 为右焦点，PF ⊥x 轴，若tan ∠P AF ＝12，则椭圆的离心率e 为( ) A.23 B.22 C.33 D.122．已知P 在椭圆x 24＋y 2＝1上，A (0,4)，则|P A |的最大值为( )A.2183 B.763C ．5D ．25 3．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 的离心率的取值范围是( ) A.)1,32[ B.]22,31[ C.)1,31[ D.]31,0( 课后作业1．椭圆以x 轴和y 轴为对称轴，经过点(2,0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为( ) A.x 24＋y 2＝1 B.y 216＋x 24＝1 C.x 24＋y 2＝1或y 216＋x 24＝1 D.x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝1 2．已知方程x 2|m |－1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围为( )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-23, B ．(1,2 ) C ．(－∞，0)∪(1,2) D ．(－∞，－1)∪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1 3．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m ＞0)，则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.33 C.22 D.124．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上的点A 满足AF 2⊥F 1F 2，若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P ―→·F 2A ―→的最大值为( ) A.32 B.332 C.94 D.1545．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( ) A ．1 B.2 C ．2 D ．226．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514B.59C.49D.5137．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________．8．过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆方程为________．9．已知△ABC 的顶点A (－3,0)和顶点B (3,0)，顶点C 在椭圆x 225＋y 216＝1上，则5sin Csin A ＋sin B ＝________.10．点P 是椭圆上任意一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，∠F 1PF 2的最大值是60°，则椭圆的离心率e ＝________.11．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)． (1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积．12．已知焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的左焦点和右顶点，P 是椭圆上任意一点，求PF ―→·P A ―→的最大值和最小值．提高练习1．P 为椭圆x 225＋y 29＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，过P 点作PH ⊥F 1F 2于点H ，若PF 1⊥PF 2，则|PH |＝( )A.254B.83 C ．8 D.94 2．已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2,0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.。
高三椭圆知识点总结
高三椭圆知识点总结椭圆是高中数学中的一个重要知识点，在高考中经常出现。
下面我们来对高三椭圆的相关知识进行一个全面的总结。
一、椭圆的定义平面内与两个定点$F_1$、＄F_2$的距离之和等于常数（大于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
用集合语言表示为：＄P ＝＼｛ M ｜｜MF_1| ＋｜MF_2| ＝ 2a, 2a ＞｜F_1F_2| ＼｝＄，其中$a$为椭圆的长半轴，＄｜F_1F_2| ＝2c$为椭圆的焦距。
二、椭圆的标准方程1、焦点在$x$轴上的椭圆标准方程：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$），其中$a$为长半轴长，＄b$为短半轴长，＄c ＝＼sqrt{a^2 b^2}＄为半焦距。
2、焦点在$y$轴上的椭圆标准方程：＄＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$）。
要注意区分焦点在不同坐标轴上时，方程中$x^2$和$y^2$的分母大小关系。
三、椭圆的几何性质1、范围对于焦点在$x$轴上的椭圆$＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$，有$a ＼leq x ＼leq a$，＄b ＼leq y ＼leq b$；对于焦点在$y$轴上的椭圆$＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$，有$b ＼leq x ＼leq b$，＄a ＼leq y ＼leq a$。
2、对称性椭圆关于$x$轴、＄y$轴和原点对称。
3、顶点焦点在$x$轴上的椭圆的顶点为$（＼pm a, 0)＄，＄（0, ＼pm b)＄；焦点在$y$轴上的椭圆的顶点为$（0, ＼pm a)＄，＄（＼pm b, 0)＄。
4、离心率椭圆的离心率$e ＝＼frac{c}｛a}＄，其中$0 ＜ e ＜ 1$。
高三数学一轮复习 椭圆知识点总结
高三数学一轮复习椭圆部分知识点总结一、定义平面内到两定点1F 、2F 的距离之和等于常数2a （122a F F >）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距()122F F c =.（1）()222210x y a b a b+=>>中,a x a b y b -≤≤-≤≤.（2）()222210y x a b a b+=>>中,b x b a y a -≤≤-≤≤.2.对称性()222210x y a b a b +=>>和()222210y x a b a b+=>>都关于x 轴对称、y 轴对称、原点对称.其中原点也成为椭圆的对称中心.3.顶点椭圆()222210x y a b a b+=>>中，顶点为长轴的左右端点()1,0A a -、()2,0A a 和短轴的两个端点()10,B b -和()20,B b .其中12A A 叫做椭圆的长轴、12B B 叫做椭圆的短轴.椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b .4.离心率椭圆的离心率c e a=,01e <<.并且0e →时椭圆越圆，1e →时椭圆越扁.圆的离心率0e =.（3）椭圆焦点三角形中，利用椭圆定义和余弦定理求12PF PF ⋅，进而求焦点三角形的面积.六、.椭圆第二定义（课外知识补充）平面内到定点距离与定直线距离比值等于常数()01e e <<的点的轨迹为椭圆.其中定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的一条准线，常数e 为椭圆的离心率.由椭圆第二定义可推出以下结论：（1）椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a c +，最小值为a c -（在长轴端点处取得）.（2）椭圆上的点到原点距离的最大值为a ，最小值为b （在长轴与短轴端点处取得）.（3）椭圆短轴的一个端点与长轴的两端点所成角，是椭圆上所有点与长轴两端点所成角中的最大角.（4）椭圆短轴的一个端点与椭圆两焦点所成角，是椭圆上所有点与两焦点所成角中的最大角.七、.直线与椭圆位置关系的常规解决方法联立直线与椭圆方程构成的方程组，消元化简，然后利用韦达定理解决相关问题.八、弦长公式.1212线有两焦点，否则此等式无意义.2.联立方程组法通过联立直线与椭圆（双曲线）的方程组得到一元二次方程后，利用韦达定理（即根与系数关系）求解。
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椭圆知识点
知识点一：椭圆的定义
平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的简单几何性质
椭圆：12222=+b y a x )0(>>b a 与 122
22=+b
x a y )0(>>b a 的简单几何性质
标准方程
122
22=+b y a x )0(>>b a 12
2
22=+b x a y )0(>>b a 图形
性质
焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F
焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤
b x ≤，a y ≤
对称性
关于x 轴、y 轴和原点对称
顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ±
轴长
长轴长=a 2，短轴长=b 2 长半轴长=a ，短半轴长=b （注意看清题目）
离心率
)10(<<=
e a
c
e c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1；
(p 是椭圆上一点)（不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围）
注意：①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；②与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等
知识点三：椭圆相关计算
1．椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义
222c b a +=
2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长a
b 2
2
焦点弦：椭圆过焦点的弦。
3.最大角:p 是椭圆上一点，当p 是椭圆的短轴端点时，21PF F ∠为最大角。
4.椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。
焦点三角形的面积2tan
221θ
b S F PF =∆，其中21PF F ∠=θ（注意公式的推导）
5.求椭圆标准方程的步骤（待定系数法）．
(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上． (2)设方程：
①依据上述判断设方程为2222b y a x +=1)0(>>b a 或22
22a
y b x +=1)0(>>b a
②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )．
(3)找关系，根据已知条件，建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组． (4)解方程组，代入所设方程即为所求． 6.点与椭圆的位置关系:
2222b y a x +<1,点在椭圆内；2222b y a x +=1，点在椭圆上；22
22b
y a x +>1, 点在椭圆外。
7.直线与椭圆的位置关系
设直线方程y ＝kx ＋m ，若直线与椭圆方程联立，消去y 得关于x 的一元二次方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．
(1)Δ＞0，直线与椭圆有两个公共点； (2)Δ＝0，直线与椭圆有一个公共点； (3)Δ＜0，直线与椭圆无公共点． 8.弦长公式：（注意推导和理解）
若直线b kx y l +=:与圆锥曲线相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则弦长
221221)()(y y x x AB -+-=221221)()(kx kx x x -+-= 2121x x k -+=
2122124)(1x x x x k -++==
9.点差法：
就是在求解圆锥曲线题目中，交代直线与圆锥曲线相交所截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。
求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。
涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．
步骤:①设直线和圆锥曲线交点为 ，
，其中点坐标为
，则得到关
系式：
， ．.
②把
，
分别代入圆锥曲线的解析式，并作差，利用平方差公式对结果进
行因式分解．其结果为0))(())((21212121=+-++-y y y y n x x x x m
③利用 求出直线斜率,代入点斜式得直线方程为 .
中点弦的重要结论（不要死记会推导）
10．参数方程cos sin x a y b θ
θ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）θ几何意义：离心角
11、椭圆切线的求法
1）切点（00x y ）已知时，22221(0)x y a b a b +=>> 切线00221x x y y
a b +=
22221(0)y x a b a b +=>> 切线00221y y x x
a b +=
2）切线斜率k 已知时， 22
221(0)x y a b a b +=>> 切线222y kx a k b =+
22
221(0)y x a b a b
+=>> 切线222y kx b k a =+
12、焦半径：椭圆上点到焦点的距离
22
221(0)x y a b a b +=>> 0r a ex =±（加减由长短决定）
22
221(0)y a a b a b
+=>> 0r a ey =±（加减由长短决定）
13．离心率的求法
椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种方
14. 焦点三角形的周长和面积的求法
利用定义求焦点三角形的周长和面积，解焦点三角形常利用椭圆的定义和正弦正理，常
15. 椭圆的范围或最值问题
知识点四：椭圆了解知识
1、椭圆面积：S a b π=⋅⋅椭
2、椭圆的第二定义：。