4.1生活中的优化问题举例(1)
数学：1.4《生活中的优化问题举例》教案(1)(新人教A版选修2-2)
§1.4生活中的优化问题举例（2课时）教学目标：1． 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。
2． 提高将实际问题转化为数学问题的能力。
教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题。
教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题。
教学过程：一．创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题。
二．新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。
解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。
再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具。
利用导数解决优化问题的基本思路：三．典例分析例1．汽油的使用效率何时最高我们知道，汽油的消耗量w （单位：L ）与汽车的速度v （单位：km/h ）之间有一定的关系，汽油的消耗量w 是汽车速度v 的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：（1） 是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？（2） “汽油的使用率最高”的含义是什么？分析：研究汽油的使用效率（单位：L/m ）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如果用G 表示每千米平均的汽油消耗量，那么w G s=，其中，w 表示汽油消耗量（单位：L ），s 表示汽油行驶的路程（单位：km ）．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求G 的最小值的问题通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g （即每小时的汽油消耗量，单位：L/h ）与汽车行驶的平均速度v （单位：km/h ）之间有如图所示的函数关系()g f v =。
生活中的优化问题举例
解法二：由解法(一)得
S(x ) 2x
512
x
512
8 2 2x
512
x
8
2 32 8 72
当且仅当2x
128 此时y= 16 8
x
,即x 8 (x 0) 时S取最小值，
答：应使用版心宽为8dm，长为 16dm，四周空白面积最小
问题2: 饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?
y
r3 f (r ) 0.8 ( r 2 ) 3
o
2
3
r
从图中可以看出: 1、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)<0, 2、当半径为6cm时，利润最大。
y
从图中，你 还能看出什 么吗？
r 2 f (r ) 0.8 ( r ) 3
3
o
2
3
r
从图象上容易看出，当r=3时,f(3)=0， 即瓶子的半径是3 cm时，利润与成本 相等；当r>3时，利润才为正值.
求导数，得
512 S x = 2 - 2 . x
'
令
S' x = 2 -
512 =0 2 x
解得x=16(x=-16舍去) 于是宽为
128 128 = =8 x 16
当x∈(0,16)时， S' x < 0; 当x∈(16,+∞) 时， .因此，x=16是函数S(x)的极小 S' x > 0; 值点，也是最小值点.所以，当版心高为16dm， 宽为8dm时，能使四周空白面积最小.
简化问题得模型 中心128dm2 不变，周围 空白部分面积最小。
上、下两边各空2dm． 左、右两边各空1dm.
生活中的优化问题举例
生活中的优化问题举例引言生活中，我们经常面临各种各样的问题和挑战。
为了提高效率、提升生活质量，我们需要不断寻找解决问题的方法和策略。
在这篇文章中，我们将探讨生活中的优化问题，并给出一些实际的例子来说明如何应对这些问题。
什么是优化问题？优化问题是指在给定的限制条件下，寻找一个最优解的问题。
通过优化，我们可以最大限度地提高效率、降低成本、提升满意度等。
在生活中，我们可以将优化问题应用于各个领域，如时间管理、健康管理、金融规划等。
生活中的优化问题举例1. 时间管理时间管理是一个常见的生活优化问题。
我们每天都面临着有限的时间资源，如何合理分配时间成为了一个重要的课题。
以下是一些可以帮助我们优化时间管理的方法和技巧：1.制定优先级：将任务按照重要性和紧急性进行排序，优先处理重要且紧急的任务，避免因琐碎的事务耗费过多时间。
2.打破大目标：学会将大目标分解成小目标，逐步推进。
这样可以减少任务的压力，并更好地管理时间。
3.制定时间表：制定一个明确的时间表，为每项任务规定固定的时间段。
这样可以提高效率，并避免时间的浪费。
4.利用时间碎片：充分利用日常生活中的碎片化时间，比如排队等待、交通工具上的时间，可以用来读书、听课等。
2. 健康管理健康是幸福生活的基石，因此健康管理也成为了一个重要的优化问题。
以下是一些可以帮助我们优化健康管理的方法和策略：1.合理饮食：均衡饮食是健康的基础。
合理控制饮食，摄入适量的营养物质，避免过量或偏食，有助于维持身体的健康状态。
2.积极运动：适量的运动可以帮助我们保持身体健康和心理平衡。
根据个人情况选择合适的运动方式和时间，如慢跑、游泳、瑜伽等。
3.规律作息：良好的作息习惯对于身体和心理健康至关重要。
合理安排睡眠时间，确保充足的休息，有助于保持精力充沛和情绪稳定。
4.健康检查：定期进行身体检查，及时发现和处理潜在的健康问题，有助于预防和治疗疾病。
3. 金融规划金融规划是一个经济优化的问题。
生活中的优化问题举例图文
安排休息时间
总结词
合理安排休息时间是优化健康管理的重要环节，有助于 恢复身体机能和缓解压力。
详细描述
保证充足的睡眠时间，合理安排工作和休息时间，采用 适当的放松方式，如冥想、瑜伽等，有助于恢复身体机 能和缓解压力。
总结词
创造良好的睡眠环境，保持规律的睡眠习惯，有助于提 高睡眠质量。
详细描述
保持安静、黑暗、舒适的睡眠环境，避免睡前过度兴奋 或刺激，保持规律的睡眠习惯，有助于提高睡眠质量。
自身能力范围。
制定工作计划
01
分解任务
将工作目标分解为具体的任务， 明确任务的责任人、完成时间和 所需资源。
安排时间
02
Байду номын сангаас
03
调整计划
根据任务的紧急性和重要性，合 理安排工作时间，确保任务按时 完成。
在执行过程中，根据实际情况及 时调整工作计划，以适应变化和 应对突发情况。
安排工作时间
避免过度劳累
总结词
结合日常生活和工作，灵活安排运动时间和场地，有助于 提高运动计划的可行性和持久性。
详细描述
根据个人生活和工作情况，灵活安排运动时间和场地，将 运动融入日常生活和工作中，有助于提高运动计划的可行 性和持久性。
总结词
注意运动安全，遵循正确的运动姿势和技巧，预防运动损 伤。
详细描述
在运动前进行适当的热身活动，遵循正确的运动姿势和技 巧，避免过度运动和损伤，注意运动安全。
总结词
学会放松自己，缓解压力和焦虑情绪。
详细描述
通过冥想、瑜伽、深呼吸等放松技巧来缓解压力和焦虑 情绪，学会放松自己。
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生活中的优化问题举例
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生活中的优化问题举例
生活中的优化问题举例
以下是一些生活中常见的优化问题举例：
1. 路线规划：对于一次旅行或者日常通勤，如何选择最短或最快的路线，以节省时间和资源。
2. 日程安排：如何合理分配时间，使得工作效率最大化，同时留出时间进行休息和娱乐。
3. 购物决策：在购买商品时，如何选择最佳的品牌、型号或价格，以满足需求并节约开支。
4. 饮食计划：如何合理安排饮食，以保证营养均衡，同时避免浪费和过量摄入。
5. 能源使用：如何优化能源的使用，例如合理设置空调温度、减少电器待机时间等，以节约能源成本并保护环境。
6. 个人理财：如何合理规划个人财务，包括投资、储蓄和债务，以实现财务增长并达到目标。
7. 旅游安排：在进行旅游计划时，如何选择最佳的目的地、交通方式、住宿和活动，以满足旅行的需求。
8. 学习方法：如何优化学习方法，例如选择适合个人的学习时间、学习环境和学习资源，以提高学习效率。
9. 生活习惯：如何培养健康的生活习惯，例如规律作息、科学饮食和适度运动，以改善身体健康。
10. 时间管理：如何合理分配时间，设置优先级和避免拖延，以提高工作和生活的效率。
生活中的数学优化问题举例
解决优化问题的方法之一：
通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学 模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案， 使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有 力的工具，其基本思路如以下流程图所示 优化问题 用函数表示的数学问题
优化问题的答案
用导数解决数学问题
问题情景二：汽油使用效率何时最高
解：设每瓶饮料的利润为y，则 4 r3 3 2 2 y f (r ) 0 . 2 p r 0 . 8 p r ( 0 r 6) = 0.8π( - r ) 33 ∵当r∈(0，2)时， f ( r ) < f (0) 0 而f (6)=28.8p，故f (6)是最大值 答：当瓶子半径为6cm时，每瓶饮料的利润最大， 当瓶子半径为2cm时，每瓶饮料的利润最小.
4 3 解：∵每个瓶的容积为: pr ( ml ) 3 4 3 ∴每瓶饮料的利润： y f ( r ) 0.2 pr 0.8pr 2 3 3 r = 0.8π( - r 2 ) (0 r 6) 3
令f ' (r ) = 0.8π (r 2 - 2r ) 0，得r = 2
r f '( r ) f (r) (0，2)
我们知道，汽油的消耗量 w (单位:L)与汽车的速度 v (单位:km/h) 之间有一定的关系，汽车的消耗量 w 是汽车 速度 v 的函数. 根据实际生活，思考下面两个问题： （1）是不是汽车的速度越快， 汽油的消耗量越大? 如何计算每千米路 （2）当汽车的行驶路程一定时，是车速快省油还是 程的汽油消耗量？ 车速慢的时候省油呢？ 一般地，每千米路程的汽油消耗量越少，我们就说 汽油的使用效率越高（即越省油）。
r f '( r ) f (r) (0，2)
生活中的优化问题举例一
方法一： 基本均值不等式法：“一正二定三相等”
512 当且仅当 2x 即x 16时 ，S ( x )取 得 最 小 值 为 72 x
512 512 S( x) 2 x 8 2 2x 8 72 x x
方法二：（导数法求最值）
当0 x 16时， S（x） 0 当x 16时， S（x） 0
dm2 , 上 、 下 两 边 各 空 2dm， 左 、 右 两 边 各 空 1dm.如 何 设 计 海 报
分析： （1）建模关系式 四周空白面积 海报总面积 版心面积 （2）函数关系式：
128 S ( x ) ( x 4)( 2) 128 ( x 0) x x
x
（3）解模： 128 2) 128 ( x 0) 最小值 如何求函数 S ( x ) ( x 4)(
r 5r h
问题3、磁盘的最大存储量问题 (1) 你知道计算机是如何存储、检索信息的 吗？ (2) 你知道磁盘的结构吗？ (3)如何使一个圆环状的磁 盘存储尽可能多的信息？
例3：现有一张半径为R的磁盘， 它的存储区是半径介于r与R的 环行区域。 (1)是不是r越小，磁盘的存
R r
储量越大？ (2) r为多少时，磁盘具有最大存储量
若把0,3改为（ 0， 3）会怎样？
2、函数 f ( x ) sinx x在0， 上的最大值为 2
最小值为
题型一：面积、容积最大（小）问题
例1、 学 校 或 班 级 举 行 活 动通 ，常 需 要 张 贴 海 报 进宣 行 传.现 在 你 设 计 一 张 如 图 所 示竖 的向 张 贴 的 海 报 ， 要版 求心 面 积 为 128 的尺寸 ,才 能 使 四 周 空 白 面 积小 最？
§1.4.1生活中的优化问题举例(1)
§1．4．1生活中的优化问题举例(1)§1．4．1生活中的优化问题举例【学情分析】：导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。
【教学目标】：掌握利用导数求函数最值的基本方法。
提高将实际问题转化为数学问题的能力.提高学生综合、灵活运用导数的知识解决生活中问题的能力．体会导数在解决实际问题中的作用.【教学重点】：利用导数解决生活中的一些优化问题．【教学难点】：将生活中的问题转化为用函数表示的数学问题，再用导数解决数学问题，从而得出问题的最优化选择。
【教学突破点】：利用导数解决优化问题的基本思路：【教法、学法设计】：【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图复习引入：提问用导数法求函数最值的基本步骤学生回答：导数法求函数最值的基本步骤为课题作铺垫.典型例题讲解例1、把边长为c的正方形纸板的四个角剪去四个相等的小正方形，折成一个无盖的盒子，问怎样做才能使盒子的容积最大？解设剪去的小方形的边长为，则盒子的为求导数，得选择一个学生感觉不是很难的题目作为例题，令得或，其中不合题意，故在区间内只有一个根：，显然，因此，当四角剪去边长为c的小正方形时，做成的纸盒的容积最大．让学生自己体验一下应用题中最优化化问题的解法。
利用导数解决优化问题的基本思路：1、生活中的优化问题转化为数学问题立数学模型利用导数法讨论函数最值问题使学生对该问题的解题思路清析化。
加强巩固1例2、铁路AB段长100千米，工厂c到铁路的距离Ac为20千米，现要在AB上找一点D修一条公路cD，已知铁路与公路每吨千米的运费之比为3:5，问D选在何处原料从B运到c的运费最省?解：设AD的长度为x千米，建立运费y与AD的长度x 之间的函数关系式，则cD＝，BD＝100-x，公路运费5元／T，铁路运费3元／Ty＝，求出f'＝，令f’＝0，得3600＋9x2＝25x2解得x1＝15，x2＝-15，∵y＝330y＝400，y≈510∴原料中转站D距A点15千米时总运费最省。
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最新修正版§ 1. 4. 1生活中的优化问题举例(1)【学情分析】：导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题； 效率最值问题。
【教学目标】：1. 掌握利用导数求函数最值的基本方法。
2. 提高将实际问题转化为数学问题的能力 .提高学生综合、灵活运用导数的知识解决生活中问题的能 力* 3 .体会导数在解决实际问题中的作用 .【教学重点】：利用导数解决生活中的一些优化问题.【教学难点】：将生活中的问题转化为用函数表示的数学问题，【教学突破点】：利用导数解决优化问题的基本思路:解决数学模型【教法、学法设计】： 【教学过程设计】：例1 .海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。
现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。
如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？解：设版心的高为 xdm,则版心的宽为128dm,此时四周空白面积为x128 512S(x) =(x+4)( — +2) -128 =2x+— +8,x >0。
x x求导数，得S(x)=2-512。
教学环 ^节 (1)复习 引入：提 问用导 数法求 函数最 值的基 本步骤教学活动 设计意图学生回答：导数法求函数最值的基本步骤为课题作铺垫.再用导数解决数学问题，从而得出问题的最优化选择。
优化问题II 用函数表示的数学问题----- ----- 1 作答优化问题的答案卜作用导数解决数学问题(2)典型例题讲 解选择一个学 生感觉不是 很难的题目 作为例题，让学生自己 体验一下应 用题中最优 化化问题的 解法。
最新修正版x最新修正版令S'(x)=2-—2- =0,解得x=16(x = —16 舍去)。
x于是宽为空=竺x 16=8。
当^(0,16)时，S (x)<0；当x<^(16,+=c)时，S (x)>0.因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。
所以，当版心高为16dm,宽为8dm时，能使四周空白面积最小。
答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。
(3)利用导数1、生活中的优化问题转化为数学问题使学生对该解决优2、立数学模型(勿忘确定函数定义域) 问题的解题化问题3、利用导数法讨论函数最值问题思路清析的基本化。
思路：例.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响(1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?(2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】:某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料. 瓶子的制造成本是0.8兀r2分,其中r是瓶子的半径，单位是厘米。
已知每出售 1 mL 的饮料，制(4)加强巩固1 造商可获利问题：(2)0.2(1)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大? 瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是4 3 2 f r 2T。
2篇兀「一0如“创厅一「令f'(r) = 0."(r —2r)=0 解得r =2 (,0<r <6=0舍去) 使学生能熟练步骤.当r忘(0, 2 )时,f '(r )<0 ;当r 忘(2,6)时,f'(r )A0.当半径r〉2时, f\ O>0它表示f (r )单调递增，即半径越大, 利润越高;当半径r吒？时, f'(r)<0它表示f(r)单调递减，即半径越大, 利润越低.(1)半径为2cm时，利润最小，这时f (2)<0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值.(2)半径为6 cm时，利润最大.换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？有图像知：当r=3时，f(3)=0，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与最新修正版饮料瓶的成本恰好相等；当~r >3时，利润才为正值.当r亡(0, 2 )时，f'(r X O , f (r )为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为2cm时，利润最小.例3•磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上。
磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。
磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。
磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1这个基本单元通常被称为比特( bit )。
为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m ,每比特所占用的磁道长度不得小于n。
为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。
问题：区域.(1)(2)⑸加强巩固2解：由题意知：存储量=磁道数X每磁道的比特数。
设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于m，且最外上〔。
由于每条磁道上的比特数m即每条磁道上的比特数可达面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满,2兀r。
所以，磁盘总存储量nf(r)= 口Xm(1)它是一个关于r的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是r越小,磁盘的存储量越大.=——r(R-r)mn提咼提咼冋题的综合性，锻炼学生能力。
(2)为求f(r)的最大值，计算f'(r)=O •f y(R-2r)令f (r)=0,R解得r =-2R当r 时,2Rf '(r) >0 ；当r A—时，f'(r)C O .2R因此r=R时，磁盘具有最大存储量。
此时最大存储量为2竺Rmn 4现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形是不是r越小，磁盘的存储量越大？r为多少时，磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)？q = 80o 只有一个极值点，就是最值点。
80时，利润最大。
最大利润是：1 2L （80）=-一咒802 +40X80-500 =11004注意：还可以计算出此时的价格： P = 30元。
6、用长为90cm ，宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器 .先在四角分别截去一个小正方形 •然后把四边翻转90度角，再焊接而成（如图）.问容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积 是多少？V(x) =x(90 -2x)(48 -2x) =4x 3 -276X 2+4320X（6）课堂 小结 1、 建立数学模型（确立目标函数）是解决应用性性问题的关键 2、 要注意不能漏掉函数的定义域3、 注意解题步骤的规范性 ⑺ 作业布置：教科书P104 A 组1,2,3 O （8备用题目： 1、要做一个圆锥形漏斗，其母线长为 20cm ，要使其体积最大，则其高为 （A ） 20 A ------- cm B 100cm C320cm D — cm3 2、设正四棱柱体积为 V,那么其表面积最小时，底面边长为 A B V 2V C ^4V D 2V V 3、 设8分成两个数，使其平方和最小，则这两个数为 4、 用长度为的铁丝围成长方形，则围成的最大面积是 5、某厂生产产品固定成本为 500元，每生产一单位产品增加成本 q= 200-4p，问：产量为多少时，利润最大？最大利润是多少? 解：先求出利润函数的表达式： = gq-500-10q L(q) = R(q)-C(q) = pq-(500 +10q) 4 耳 耳 再求导函数:1 『(q)—2q +40O 10元。
已知需求函数为: =-丄 q 2+40q-500 4 求得极值点: 故得：q = 48- 2190-2；48-2x>0,90 -2x>0,x>0二0 e x c24求V(x)导数得V(X)=12X2-552X+4320 =12(x-10)(x-36)令V '(X)=0解得X i =10,X2 =36(舍)当X€(0,10)时,V'(x) A0,那么V(x)为增函数当^(10,24)时,V '(X)<0,那么V(x)为减函数因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x=10时取得最大值3其最大值为V(10) =10X(90 -20)x(48-20) =19600(cm )答:当容器的高为10cm时,容器的容积最大，最大容积为19600(cm3)令V '(X)= 0解得X1 =10,X2 =36(舍)当X亡(0,10)时,V '(X)>0,那么V(x)为增函数当涉(10,24)时,V '(X)< 0,那么V(x)为减函数因此，在定义域(0,24) 内,函数V(x)只有当X =10时取得最大值其最大值为V(10) =10X(90 —20)X(48 —20) =19600(cm3) 答:当容器的高为10cm时,容器的容积最大，最大容积为19600(cm3)。