生活中的优化问题举例

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3-4 生活中的优化问题举例

3-4 生活中的优化问题举例

能力拓展提升一、选择题11.某公司生产一种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位的产品,成本增加100元,若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )=-x 39 000+400x,0≤x ≤390,则当总利润最大时,每年生产的产品单位数是( )A .150B .200C .250D .300[答案] D[解析] 由题意可得总利润P (x )=-x 3900+300x -20 000,0≤x ≤390.由P ′(x )=0,得x =300.当0≤x ≤300时,p ′(x )>0;当300<x ≤390时,P ′(x )<0,所以当x =300时,P (x )最大,故选D.12.三棱锥O -ABC 中,OA 、OB 、OC 两两垂直,OC =2x ,OA =x ,OB =y ,且x +y =3,则三棱锥O -ABC 体积的最大值为( )A .4B .8 C.43 D.83[答案] C[解析] V =13×2x 22·y =x 2y 3=x 2(3-x )3=3x 2-x33(0<x <3),V ′=6x -3x 23=2x -x 2=x (2-x ). 令V ′=0,得x =2或x =0(舍去). ∴x =2时,V 最大为43.13.要制作一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm ,要使其体积最大,则高为( )A.33cm B.1033cm C.1633cm D.2033cm[答案] D[解析] 设圆锥的高为x ,则底面半径为202-x 2, 其体积为V =13πx (400-x 2) (0<x <20), V ′=13π(400-3x 2),令V ′=0,解得x =2033. 当0<x <2033时,V ′>0;当2033<x <20时,V ′<0 所以当x =2033时,V 取最大值.14.若一球的半径为r ,作内接于球的圆柱,则其圆柱侧面积最大值为( )A .2πr 2B .πr 2C .4πr 2D.12πr 2[答案] A[解析] 设内接圆柱的底面半径为r 1,高为t ,则S =2πr 1t =2πr 12r 2-r 21=4πr 1r 2-r 21. ∴S =4πr 2r 21-r 41. 令(r 2r 21-r 41)′=0得r 1=22r .此时S =4π·22r ·r 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫22r 2=4π·22r ·22r =2πr 2. 二、填空题15.做一个容积为256的方底无盖水箱,它的高为________时最省料.[答案] 4[解析] 设底面边长为x ,则高为h =256x 2,其表面积为S =x 2+4×256x 2×x =x 2+256×4x ,S ′=2x -256×4x 2,令S ′=0,则x =8,则当高h =25664=4时S 取得最小值.16.某厂生产某种产品x 件的总成本:C (x )=1 200+275x 3,又产品单价的平方与产品件数x 成反比,生产100件这样的产品的单价为50元,总利润最大时,产量应定为________件.[答案] 25[解析] 设产品单价为a 元,又产品单价的平方与产品件数x 成反比,即a 2x =k ,由题知a =500x .总利润y =500x -275x 3-1 200(x >0),y ′=250x -225x 2,由y ′=0,得x =25,x ∈(0,25)时,y ′>0,x ∈(25,+∞)时,y ′<0,所以x =25时,y 取最大值.三、解答题17.已知某厂生产x 件产品的成本为c =25 000+200x +140x 2(元). (1)要使平均成本最低,应生产多少件产品?(2)若产品以每件500元售出,要使利润最大,应生产多少件产品?[解析] (1)设平均成本为y 元,则y =25 000+200x +140x 2x =25 000x +200+x40(x >0), y ′=⎝ ⎛⎭⎪⎫25 000x +200+x 40′=-25 000x 2+140. 令y ′=0,得x 1=1 000,x 2=-1 000(舍去). 当在x =1 000附近左侧时,y ′<0; 在x =1 000附近右侧时,y ′>0; 故当x =1 000时,y 取得极小值.由于函数只有一个极小值点,那么函数在该点取得最小值,因此要使平均成本最低,应生产1 000件产品.(2)利润函数为L =500x -(25 000+200x +x 240) =300x -25 000-x 240. ∴L ′=300-x20.令L ′=0,得x =6 000,当x 在6 000附近左侧时,L ′>0;当x 在6 000附近右侧时,L ′<0,故当x =6 000时,L 取得极大值.由于函数只有一个使L ′=0的点,且函数在该点有极大值,那么函数在该点取得最大值.因此,要使利润最大,应生产6 000件产品.18.已知圆柱的表面积为定值S ,求当圆柱的容积V 最大时圆柱的高h 的值.[分析]将容积V表达为高h或底半径r的函数,运用导数求最值.由于表面积S=2πr2+2πrh,此式较易解出h,故将V的表达式中h消去可得V是r的函数.[解析]设圆柱的底面半径为r,高为h,则S圆柱底=2πr2,S圆柱侧=2πrh,∴圆柱的表面积S=2πr2+2πrh.∴h=S-2πr2 2πr,又圆柱的体积V=πr2h=r2(S-2πr 2)=rS-2πr32,V′=S-6πr22,令V′=0得S=6πr2,∴h=2r,又r=S6π,∴h=2S6π=6πS3π.即当圆柱的容积V最大时,圆柱的高h为6πS 3π.。

了解生活中的优化问题及解决方案

了解生活中的优化问题及解决方案

详细描述
线性规划模型的核心是确定一个 最优解,该解满足给定的线性约 束条件并最大化或最小化一个线 性目标函数。线性规划在各种领 域都有广泛应用,如资源分配、 生产计划、物流管理等。
应用场景
例如,在物流管理中,线性规划 可以用于确定最佳的车辆路径或 货物配载方案,以实现运输成本 最低、时间最短等目标。
应用场景
动态规划广泛应用于各种优化问题,如背包问题、旅行商 问题、排序问题等。例如,在背包问题中,动态规划可以 用于标。
遗传算法
总结词
遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法,用于解决一些难以用传统数学方法解决的优化问题。
详细描述
遗传算法通过模拟生物进化过程中的基因选择、交叉和变异等过程,来寻找最优解。它采用随机搜索的方法,不断迭 代搜索空间,直到找到满足要求的解或达到预设的终止条件。
应用场景
模拟退火算法广泛应用于各种优化问 题,如函数优化、组合优化、机器学 习等。例如,在组合优化中,模拟退 火算法可以用于解决旅行商问题、背 包问题等难解的问题。
03
解决方案:人工智能技术
机器学习
总结词
机器学习是一种人工智能技术,通过算 法使计算机系统具备学习和改进的能力 ,从而完成特定的任务。
详细描述
专家系统通常用于高度专业化的领域 ,如医学、法律、金融等,它们可以 通过推理和解析来提供准确的决策支 持,帮助用户解决问题和做出决策。
04
解决方案:优化软件工具
MATLAB
要点一
总结词
MATLAB是一种高效的数值计算软件,广泛应用于算法开 发、数据分析、数据可视化以及数值计算等。
要点二
详细描述
MATLAB提供了友好的用户界面和丰富的功能,使得用户 可以轻松地进行矩阵运算、绘制图形、实现算法等。此外 ,MATLAB还提供了丰富的工具箱,包括统计、优化、机 器学习等,可以满足不同领域的需求。

1.4生活中的优化问题举例(三).ppt1

1.4生活中的优化问题举例(三).ppt1

半径为 6cm时,利润最大 .
y 换一个角度: 如果 我 们不用导 数工具 ,直接 从函数的图象 (图 r3 2 1.4 4)上观察,你有什么发现? f r 0.8π 3 r 从图象上容 易看出,当 r 3 时,
f 3 0,即瓶子半径是 3cm 时, 饮料的利润与饮料瓶的成本恰
解:⑴P(x) = R(x) – C(x) = – 10x3 + 45x2 + 3240x – 5000 MP (x) = P ( x + 1 ) – P (x) = – 30x2 + 60x +3275 (其中 xN 且 x[1, 20]). ⑵∵ P( x ) = – 30x2 + 90x + 3240 = – 30( x +9 )(x – 12) ∴当 1< x < 12 时, P( x ) > 0, P(x)单调递增, 当 12 <x < 20 时, P( x ) < 0 , P ( x ) 单调递减. ∴ x = 12 时, P(x)取最大值,即年建造 12 艘船时, 公司 造船的年利润最大. ⑶由 MP(x ) = – 30( x – 1) 2 + 3305 (xN 且 x[1, 20]). ∴当 1< x ≤ 20 时,MP (x)单调递减. MP (x)是减函数说明:随着产量的增加,每艘利润与前一 台比较,利润在减少.
4 3 S 3 S S 3 h h 3h 由①得 b= h,代入②,∴l= 3 h 3 h h 3
l′ = 3
S S S S =0, ∴ h = , 当 h < 时, l ′ <0, h > 时,l′>0. 2 4 4 4 h 3 3 3

生活中系统优化原理的例子

生活中系统优化原理的例子

生活中系统优化原理的例子系统优化原理是指通过对系统内部各个组成部分和运行流程进行分析和改进,以提高系统整体性能和效率的一种方法。

生活中有很多例子可以体现系统优化原理的应用,包括:1. 交通流优化:城市交通堵塞是一个普遍存在的问题,通过优化交通流可以提高交通效率。

例如,道路规划不当可能导致交叉口拥堵,可以通过减少交叉口数量、设置红绿灯优化信号灯配时,以及利用流量监测和智能交通系统来改进交通流。

2. 餐厅排队优化:在繁忙的餐厅等候排队是一种常见的情况,通过系统优化原理可以减少顾客等待时间。

例如,通过设置有效的预订和排号系统、提高厨房效率、设置快速结账通道,以及利用智能点餐系统等手段来优化餐厅排队过程。

3. 供应链管理:供应链是一个涉及多个环节和参与方的系统,通过优化供应链能够提高整体效率和降低成本。

例如,通过优化物流和库存管理,减少节点之间的运输和储存时间,以及建立供需预测机制等手段来改进供应链运作。

4. 生产流程优化:在制造业中,通过对生产流程进行优化可以提高生产效率和产品质量。

例如,通过改进工艺和设备、合理安排生产计划和员工工作,以及优化物料供应和排程等手段来提高整个生产流程的效率。

5. 能源消耗优化:为了减少能源消耗和环境负荷,需要对能源消耗进行优化。

例如,通过改进建筑结构和隔热材料、使用高效能源设备和照明系统、引入清洁能源,以及建立能源管理体系等手段来降低能源消耗。

6. 电子设备的运行优化:对于电子设备,通过对软硬件的优化可以提高系统性能和用户体验。

例如,通过优化操作系统和应用程序的代码,减少资源占用和提高响应速度,以及优化电池管理和内存管理等手段来提高电子设备的运行效率。

7. 信息检索和推荐系统优化:在互联网时代,信息的获取和推荐成为了一个重要的问题,通过优化搜索引擎和推荐算法可以提高用户的信息获取和推荐准确度。

例如,通过优化搜索算法和索引结构、个性化推荐算法,以及利用用户反馈和数据分析来优化信息检索和推荐系统。

生活中的优化问题举例

生活中的优化问题举例

生活中的优化问题举例引言生活中,我们经常面临各种各样的问题和挑战。

为了提高效率、提升生活质量,我们需要不断寻找解决问题的方法和策略。

在这篇文章中,我们将探讨生活中的优化问题,并给出一些实际的例子来说明如何应对这些问题。

什么是优化问题?优化问题是指在给定的限制条件下,寻找一个最优解的问题。

通过优化,我们可以最大限度地提高效率、降低成本、提升满意度等。

在生活中,我们可以将优化问题应用于各个领域,如时间管理、健康管理、金融规划等。

生活中的优化问题举例1. 时间管理时间管理是一个常见的生活优化问题。

我们每天都面临着有限的时间资源,如何合理分配时间成为了一个重要的课题。

以下是一些可以帮助我们优化时间管理的方法和技巧:1.制定优先级:将任务按照重要性和紧急性进行排序,优先处理重要且紧急的任务,避免因琐碎的事务耗费过多时间。

2.打破大目标:学会将大目标分解成小目标,逐步推进。

这样可以减少任务的压力,并更好地管理时间。

3.制定时间表:制定一个明确的时间表,为每项任务规定固定的时间段。

这样可以提高效率,并避免时间的浪费。

4.利用时间碎片:充分利用日常生活中的碎片化时间,比如排队等待、交通工具上的时间,可以用来读书、听课等。

2. 健康管理健康是幸福生活的基石,因此健康管理也成为了一个重要的优化问题。

以下是一些可以帮助我们优化健康管理的方法和策略:1.合理饮食:均衡饮食是健康的基础。

合理控制饮食,摄入适量的营养物质,避免过量或偏食,有助于维持身体的健康状态。

2.积极运动:适量的运动可以帮助我们保持身体健康和心理平衡。

根据个人情况选择合适的运动方式和时间,如慢跑、游泳、瑜伽等。

3.规律作息:良好的作息习惯对于身体和心理健康至关重要。

合理安排睡眠时间,确保充足的休息,有助于保持精力充沛和情绪稳定。

4.健康检查:定期进行身体检查,及时发现和处理潜在的健康问题,有助于预防和治疗疾病。

3. 金融规划金融规划是一个经济优化的问题。

1.4生活中的优化问题举例

1.4生活中的优化问题举例

练习1、 一条长为l的铁丝截成两段,分别弯成两个 正方形,要使两个正方形的面积和最小, 两段铁丝的长度分别是多少?
解:设两段铁丝的长度分别为x,l-x,
其中0<x<l 则两个正方形面积和为
S
=
s1
+ s2
=( x)2 4
+( l
- x)2 4
=
1 (2x2 16
-
2lx
+
l2
)
S 1 (4x 2l) 1 (2x l)
生活中经常遇到求利润最大、用料 最省、效率最高等问题,这些问题称 为优化问题,优化问题有时也称为最 值问题.解决这些问题具有非常重要 的现实意义.
通过前面的学习,我们知道,导数是求函 数最大(小)值的有力工具,本节我们运 用导数,解决一些生活中的优化问题。
类型一:求面积、容积的最大问题
例1、海报版面尺寸的设计: 学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传,
解:设版心的高为xdm,则版心的
1dm
m
宽 128 dm,此时四周空白面积为 2dm x
S( x) ( x 4)(128 2) 128 x
2x 512 8 ( x 0) x
S
'(
x
)
2
512 x2
2dm
S(
x)
2
x
512 x
8,S
'(
x)
2
512 x2
令S '(x) 0可解得x 1(6 x -16舍去)
V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).

V(x)= 60x - 3 x2 = 0 2
,解得x=0(舍去),x=40.且

生活中的优化问题举例

生活中的优化问题举例

生活中的优化问题举例
以下是一些生活中常见的优化问题举例:
1. 路线规划:对于一次旅行或者日常通勤,如何选择最短或最快的路线,以节省时间和资源。

2. 日程安排:如何合理分配时间,使得工作效率最大化,同时留出时间进行休息和娱乐。

3. 购物决策:在购买商品时,如何选择最佳的品牌、型号或价格,以满足需求并节约开支。

4. 饮食计划:如何合理安排饮食,以保证营养均衡,同时避免浪费和过量摄入。

5. 能源使用:如何优化能源的使用,例如合理设置空调温度、减少电器待机时间等,以节约能源成本并保护环境。

6. 个人理财:如何合理规划个人财务,包括投资、储蓄和债务,以实现财务增长并达到目标。

7. 旅游安排:在进行旅游计划时,如何选择最佳的目的地、交通方式、住宿和活动,以满足旅行的需求。

8. 学习方法:如何优化学习方法,例如选择适合个人的学习时间、学习环境和学习资源,以提高学习效率。

9. 生活习惯:如何培养健康的生活习惯,例如规律作息、科学饮食和适度运动,以改善身体健康。

10. 时间管理:如何合理分配时间,设置优先级和避免拖延,以提高工作和生活的效率。

1.4生活中的优化问题举例课件人教新课标

1.4生活中的优化问题举例课件人教新课标
2.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤是什么? 剖析:利用导数解决生活中优化问题的一般步骤如下:
重难聚焦
名师点拨1.在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的 意义,不符合实际意义的值应舍去. 2.在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'(x)=0的 情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知 道这就是最大(小)值. 3.在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用 函数关系表示,还应确定出函数关系中自变量的定义区间.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
利润最大问题 【例3】 某分公司经销某品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每 件产品需向总公司交a(3≤a≤5)元的管理费,估计当每件产品的售 价为x(9≤x≤11)元时,一年的销售量为(12-x)2万件. (1)求分公司一年的利润L(单位:万元)与每件产品的售价x的函数关 系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大?并求出 L的最大值Q(a). 分析:(1)利用题中等量关系找出L与x的函数关系式;(2)求出(1)中函 数关系式的导函数,再利用导数求最值.
当x=140时,y=175,即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500. 故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使矩形广告的面积最小.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)隔热层厚度为 x cm,
由题意知每年能源消耗费用为 C(x)= 3xk+5, 再由 C(0)=8,得 k=40,因此 C(x)= 3x4+05. 而建造费用为 C1(x)=6x.
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生活中的优化问题举例学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、选择题1.内接于半径为的圆的矩形的面积的最大值是( ) A.32 B .16 C.16π D .642.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ,那么其表面积最小时,底面边长为( )D .3.若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y =-x 3+27x +123(x>0),则获得最大利润时的年产量为( ) A .1百万件 B .2百万件 C .3百万件 D .4百万件4.把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱底面周长与高的比为( )A .1∶2 B .1∶π C .2∶1 D .2∶π5.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20cm ,要使其体积最大,则其高为( )A cmB .100cmC .20cmD .20cm 36.某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家更多的关注,据有关数据统计显示,从上午6时到9时,车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似地用如下函数表示:32133684y t t t =--+-6294,则在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是( )A .6时B .7时C .8时D .9时7.三棱锥O -ABC 中,OA 、OB 、OC 两两垂直,OC =2x ,OA =x ,OB =y ,且x +y =3,则三棱锥O -ABC 体积的最大值为( ) A .4 B .8 C .43 D .838.某公司生产一种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位的产品,成本增加100元,若总收入R (x )元与年产量x 的关系是()R x =3400,0390,90090090,390,x x x x ⎧-+≤≤⎪⎨⎪>⎩则当总利润最大时,每年生产产品的单位数是( ) A .150 B .200 C .250 D .300二、填空题9.球的直径为,当其内接正四棱柱的体积最大时的高为_________. 10.抛物线22y x =-与x 轴所围图形的内接矩形的最大面积为_________. 11.正三棱柱体积为16,当其表面积最小时,底面边长a =________.三、解答题12.要设计一个容积为V 的圆柱形水池,已知底面单位面积造价是侧面单位面积造价的一半,问:如何设计水池的底面半径和高,才能使总造价最低?13.等腰三角形的周长为2p ,问绕这个三角形的底边所在直线旋转一周所形成的几何体的体积最大时,各边长分别是多少?14.一个圆柱形圆木的底面半径为1 m ,长为10 m ,将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分.现要把其中一部分加工成直四棱柱木梁,长度保持不变,底面为等腰梯形ABCD (如图所示,其中O 为圆心,C ,D 在半圆上),设BOC θ∠=,木梁的体积为V (单位:m 3),表面积为S (单位:m 2).(1)求V 关于θ的函数表达式; (2)求θ的值,使体积V 最大;(3)问当木梁的体积V 最大时,其表面积S 是否也最大?请说明理由.参考答案1.A【解析】设矩形的长和宽分别为,a b ,则2264a b +=,则()2222264S a b a a==-4264aa =-+,∴()234128Saa '=-+,令()20S '=,得0a =(舍去)或a =-或a =当(a ∈时,()20S'>,当()a ∈时,()20S '<,则2S 在a =()((()2222max6432S ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦,即面积的最大值为32,故选A.考点:面积最大问题. 2.C【解析】设底面边长为x ,则表面积S =2x 2+x V (x>0),S′=2x(x 3-4V ),令S′=0,得x ,当x 时,表面积最小.考点:表面积最小问题. 3.C【解析】依题意得,y′=-3x 2+27=-3(x -3)(x +3),当0<x<3时,y′>0;当x>3时,y′<0.因此,当x =3时,该商品的年利润最大. 考点:利润最大问题. 4.C【解析】设圆柱的高为x cm ,底面半径为r cm ,则62πxr -=, 圆柱的体积πV =⋅2612π4πx x -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭(x 3-12x 2+36x )(0<x<6), V′=34π(x -2)(x -6),当x =2时,V 取极大值,也是最大值. 此时底面周长为4 cm ,底面周长∶高=4∶2=2∶1. 考点:体积最大问题. 5.A【解析】设圆锥的高为h cm ,则底面半径r =,所以底面面积为()22ππ400S r h ==-,则圆锥的体积()311π40033V Sh h h ==-,∴V '=()21π40033h -,令0V '=,则24003h =,∴3h =,当200,3h ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时,0V '>,当203h ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时,0V '<,则当h =V 取得最大值,故选A. 考点:体积最大问题.6.C【解析】2333682y t t '=--+,令y′=0,即3t 2+12t -36×8=0,解得t =8或t =-12(舍去).当0<t<8时,y′>0;当t>8时,y′<0.所以当t =8时,函数有极大值,也是最大值.考点:导数的实际应用. 7.C【解析】三棱锥的体积()()2222331230332333x x x x y x x V y x --=⨯⋅===<<,()2263223x x V x x x x -'==-=-.令V′=0,得x =2或x =0(舍去).∴x=2时,V 最大,为43. 考点:体积最大问题. 8.D【解析】设总利润为P (x )元,则()330020000,0390,9009009010020000,390,x x x P x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪-->⎩则()2300,0390,300100,390,x x P x x ⎧-+≤≤⎪'=⎨⎪->⎩令P′(x )=0,得x =300,当x =300时,P (x )取极大值,也是最大值,故选D. 考点:利润最大问题. 9【解析】设正四棱柱的底面边长为x ,高为h ,则2222x x h d ++=,∴2222h d x =-.∵2V x h =,∴()2424222V x h x d x ==-2462d x x =-,∴()2235412Vdx x '=-,由()20V '=得223d x =,∴3x =,此时V 有最大值,此时h===.考点:体积最大问题.10【解析】设矩形在第一象限的顶点坐标为()2,2(0x x x-<<,则()232242S x x x x=⋅-=-,∴246S x'=-,令0S'=,得x=,当x=时,maxS=.考点:面积最大问题.11.4【解析】正三棱柱的底面积为221224a a⨯=234a=,表面积S=2a2+a(a>0)a-2a,令S′=0,得a=4.则当4a=时,表面积最小.考点:表面积最小问题.12【解析】设水池的底面半径为r,底面单位面积造价为a,总造价为y,∵高2πVhr=,∴22π2π2πVy r a r ar=⋅+⋅⋅24πaVr ar=⋅+,242πaVy arr'=-,令0y'=,得r=可知当r=y取得最小值,此时h=.时,总造价最低.考点:导数的实际应用.13.当腰长为34p,底边长为2p时,旋转体的体积最大【解析】如图,设AB AC x==,则底边长为22(0)p x x p-<<,绕底边所在直线旋转一周所形成的几何体可以看成两个相同圆锥的组合体,圆锥的高BD p x =-,底面半径AD ===,则圆锥体的体积为()()221ππ233AD BD px p p x ⋅=--,所求几何体的体积为()()()2π223V x px p p x =⨯--()222π233p x px p =-+-,∴()()2π433p V x x p '=-+.令()0V x '=,得34px =,这是定义域内的唯一的极值点,因此当腰长为34p ,底边长为2p时,旋转体的体积最大.考点:体积最大问题.14.(1)()()10sin cos sin V θθθθ=+,π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ (2)π3θ=(3)是 【解析】(1)2cos 2sin sin cos sin 2ABCD S θθθθθ+=⋅梯形=+,π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 则()()10sin cos sin V θθθθ=+,π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. (2)()()()()2102coscos 1102cos 1cos 1V θθθθθ'=+-=-+.令()0V θ'=,得1cos 2θ=,或cos 1θ=-(舍).∵π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴π3θ=. 当π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,1cos 12θ<<,()0V θ'>,()V θ为增函数; 当ππ,32θ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,10cos 2θ<<,()0V θ'<,()V θ为减函数.∴当π3θ=时,体积V 最大. (3)是,理由如下:木梁的侧面积()21020cos 2sin12S AB BC CD θθ⎛⎫=++⋅=++ ⎪⎝⎭侧,π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.()=22sin cos sin 20cos 2sin 12ABCD S S S θθθθθ⎛⎫+=++++ ⎪⎝⎭侧梯形,π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.设()cos 2sin 12g θθθ=++,π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则()22sin 2sin 222g θθθ=-++, ∴当1sin22θ=,即π3θ=时,()g θ最大.又由(2)知π3θ=时,sin cos sin θθθ+取得最大值,所以π3θ=时,木梁的表面积S 最大.综上,当木梁的体积V 最大时,其表面积S 也最大.考点:函数解析式,用导数求最值,四棱柱的表面积及其最值.。

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