复旦大学课程教学大纲

复旦大学课程教学大纲课程代码 MATH120008.09 编写时间 2011年08月更新课程名称 数学分析（I）英文名称 Mathematical Analysis（I）学分数 5 周学时 6任课教师* 谢锡麟 开课院系**力学与工程科学系预修课程 仅需普通高中相关数学基础；无特别先有基础要求。

课程性质：本课程可谓所有基础科学（包括数学、力学、物理、化学、生物等）、技术科学（包括航空航天、环境、材料、信息等）等专业最为基础和重要的数学基础课程，提供微积分的基本内容。

从知识体系的发展而言，微积分融合线性代数（这点特别反映在《数学分析（Ⅱ）》中）作为核心基础，一方面将为后续复变函数、实分析与泛函分析、常微分方程与偏微分方程、概率统计、微分几何等系统的数学知识体系的发展提供实质性的基础；另一方面，微积分和线性代数亦是理论力学、连续介质力学（包括流体力学、弹性力学）、振动力学、控制力学等力学知识体系的发展的坚实基础。

总体而言，本一年制的数学分析课程将结合面对的对象（适用于非数学类的几乎所有的专业），提供系统的微积分知识体系，不仅注重微积分知识体系的核心基础特点，而且注重知识体系的现代化发展，力求学生具有坚实的基础并具有基于其上的自我学习的能力。

在教学的广度与深度上，我们力求课程所授的知识体系具有国内外一流化水平，且切实注重学生的实际接受水平。

本课程《数学分析（I）》将主要提供一元微积分的内容，包括常微分方程最为基础的若干思想及方法。

教学目的：2005年，学校在百年校庆时提出“走以内涵发展的道路”，以及现今所致力于探索和推广的“通识教育、精英教育”的理念，结合力学以及数学间相辅相成、紧密相连的关系，而考虑本门课程的具体教学。

以下反映一些基本的观点，这将指导具体的教学。

✧虽然数学分析是数学课程，但我们学习的是“认识自然的系统的思想和方法”——许多实践和成就表明，数学对于我们认识自然是极其有效的——许多数学机制具有鲜明的力学和物理背景。

事例1：二阶导数联系于法向（向心）加速度，故转轨设计的原则应该是保证二阶导数连续。

由于二阶导数无法直观观测，所以数学本身起到了认识自然规律的作用。

事例2：我们在多元微分学中将严格证明众所周知的阿基米德浮力定律。

所以，正如许多著名数学家所认为的，数学分析并不仅仅是严密的逻辑过程，她最为本质的一面是提供认识自然的思想及方法！对于一元微积分的教学，我们就将结合力学、物理等事例剖析数学在认为自然上的作为。

注：限于作者学识，将数学联系与非自然世界尚需积累。

✧我们学习数学是需要她指导我们各种实践的，然而数学在实践过程中所“表现出来”的作为将非常“客观”地取决于我们对于数学的认识！籍此，本课程教学将极力屏弃“应试的习气”，需要学生对于基本理论（思想和方法）及其基本应用都应努力追求“正本清源”，对于各部分知识需要知道其理论的发展以及理论所能提供的应用范畴。

✧微积分知识体系呈“辐射性”发展。

微积分的核心思想：通过引入极限的思想，动态逼近程度的一种刻画方式（点列极限以及函数极限），就可按数学逻辑推演出整个微积分体系（包括微分学、积分学以及级数）。

我们学习微积分，需要牢牢把握极限这一唯一的核心概念；在此观点下，导数是一种特定的极限，积分、级数也是特定的极限，由此这些知识的学习体现“温故而知新”的效果，而非总是在不断地学习“全新”的内容，这将非常有益于我们对具体知识以及整个知识体系的掌握，有助于追求对知识体系的“融会贯通”。

课程基本内容简介：《数学分析（I）》将主要提供一元微积分的内容，包括一元微分学和一元积分学。

一元微积分，又可称为一维Euclid空间上的微积分，主要对象为自变量空间和值域空间都为一维Euclid空间的函数（映照）。

另将包括常微分方程最为基础的若干知识。

具体内容请见教学内容安排部分。

基本要求：✧讲述上将努力做到“格物致知、正本清源”，叙述清楚理论的发展：（1）（抽象）概念的引入（数学问题归结的缘由）；（2）核心引理或定理的严格证明（数学逻辑过程）；（3）理论的应用。

在理解清楚理论的基础上努力考虑习题。

✧大学程度的高等数学，某种程度上而言是“一种思想的演绎”——我们可以基于不同的途径开展理论，或者经不同途径获得相同的结果。

对于微积分的掌握一定程度上反映在充分理解的基础上形成自己的风格——使用知识时个人所反映出的不同风格。

课程叙述中将尽量反映自己对知识本质的体会，引导学生充分理解和掌握。

✧基于现所用教程：北京大学 张筑生著《数学分析新讲》（第1、2册）主要参考：（1） 复旦陈纪修等《数学分析》（第二版）（上册）——基本概念及习题参考 （2） 菲赫金哥尔茨《微分分教程》——主要参考其理论的应用事例（3） 卓里奇《数学分析》（上册）——综合参考（4） 阿黑波夫等《数学分析讲义》——主要为程度参考本课程的叙述讲尽量汲取上述优秀教程各自的特点和长处；教学的广度和深度上希望能同上述教程相当。

教学方式:讲授为主（全程板书）；习题课隔周周日晚进行。

另，通过学习小组等形式为有兴趣的同学提供进一步的知识。

教材和教学参考资料：作者 教材名称 出版社 出版年月张筑生 《数学分析新讲》（第1，2册） 北京大学出版社 1999陈纪修等 《数学分析》 复旦大学出版社 2009菲赫金哥尔茨等 《微分分教程》（第8版）俄罗斯数学教材选译高等教育出版社 2006V.A.卓里奇 《数学分析》（上）（第4版）俄罗斯数学教材选译高等教育出版社 2006阿黑波夫等 《数学分析讲义》（第3版）俄罗斯数学教材选译高等教育出版社 2006教师教学、科研情况简介和主要社会兼职：05年3月起（作为复旦大学从事教学与研究的正式职工），从事微积分方面教学。

基于自身专业背景，注重理论联系实际，由此将数理知识体系理解为，按量化观点（包括定量与定性刻画），认识自然及非自然世界系统的思想和方法；并认为真正的创新（结合力学专业背景）需源于坚实基础之上。

由此，持续地研读具有世界一流水平的专著成为工作和生活的主要内容，同时也将此融合与教学，教学也与研究融合。

注重于基于坚实的数理基础，持续性从事复杂流动方面的理论、真实实验及数值实验研究，相关研究获得国家自然科学基金、上海市科委等资助。

入选复旦大学第五届世纪之星；2006年入选“上海优秀青年教师选拔培养工程”；2008年度复旦大学香港人奖教金；2010年度复旦大学教学成果二等奖，《基于现代张量分析的连续介质力学理论及其在流体力学中的实践》。

现担任《力学季刊》、《水动力学研究与进展》编委；中国力学学会第八届科学普及工作委员会委员。

教学内容安排：我们将微积分“知识体系”分成若干个“知识点”，而每个知识点由若干“知识要素”组成。

以下按知识体系的发展安排教学进度。

可能会由于假期或者教与学的实际情况对进度稍作调整。

第一部分 一维Euclid空间上的微分学1.微积分研究的主要对象、基本研究思想及方法：①函数（映照）的基本概念，她将成为微积分研究的主要对象。

②微积分知识体系的层次，本一年制课程将主要包括一维Euclid空间上的微积分，有限维Euclid空间上的微积分以及级数。

③主要建议学习方法：（a）坚持“正本清源”，要求澄清各个知识点的来龙去脉以及整个知识体系间的融会贯通。

（b）坚持“稳固而知新”，基于微积分知识体系辐射型发展的特点，努力以已有的知识发展新的知识。

（c）坚持“将学问升华为能力”，微积分知识体系可谓我们认识自然及非自然世界系统的思想及方法之核心，在对知识体系融会贯通的基础上追求触类旁通。

这将有二方面的作用，其一具有自我学习（吸取）更深入知识体系的能力，反映为具有好的学问；其二将知识体系融合精神，使其真正成为我们认识自然及非自然世界的能力。

2.数列极限概念：概念引入或提取可基于阿基米德曲边梯形之面积计算过程。

①引入一维Euclid空间作为线性空间（线性结构）、赋范线性空间（范数）以及由范数所诱导的距离的概念；籍借距离引入球形邻域（现即为开区间）概念。

②基于距离及球形邻域，引入点列（数列）极限的定义。

③点列极限的分析及运算性质。

注：将一维Euclid空间作为一般有限维Euclid空间的特列进行说明，可使得学生一开始就有个“总体性框架”：我们将最终建立有限维Euclid空间上的微积分；先从一维情形开始，然后推广至有限维情形，且此推广过程几乎就是一维情形的思想及方法的再次实践；知识体系呈辐射形式发展。

——第1周（叙述上述内容，下同）3.确界：①上、下确界基本概念；分别作为最小的上界和最大的下界。

②确界存在性定理。

③基于确界存在性定理系统获得：单调有界必收敛 → 闭区间套定理 → Bolzeno-Weierstrass定理 → 点列收敛的Cauchy原理。

④点列收敛的Cauchy原理的一则应用，一维Euclid空间上的Banach压缩映照定理（不动点原理）及其应用。

相关事例体现“高等数学”的意味。

注：限于实际的学时，教学具体对象及目标等，暂不考虑实数构造理论的细节，故承认确界存在性定理，且籍此开展所有的分析。

4.函数极限：①函数（映照）的概念。

②将函数极限理解为函数的某种局部行为，给出Cauchy叙述及Heine叙述；通过邻域（距离）加以表述，涉及广义邻域的定义，籍此给出数列极限统一叙述（包括当自变量趋于有限值，正、负无穷及无穷情形，因变量趋于有限值，正、负无穷及无穷情形）；需要掌握相关局部行为的图示表达。

③函数极限的Cauchy叙述、Heine叙述及其等价性；函数极限的Cauchy收敛原理。

④函数的连续性作为函数极限特殊情形处理。

⑤复合函数极限定理；叙述统一形式并加以证明。

——第2周5.若干重要的函数极限：①主要通过不等式估计获得若干重要的函数极限。

②无限小分析的Landau方法（带小o的分析）。

Landau的无限小分析方法可谓是经典哲学观点“抓住主要矛盾，忽略次要矛盾”的具体体现。

注：现尚未引入基于无限小增量公式的系统方法，但基本的分析思想及方法可见一斑。

6.函数导数：①函数的可微性定义。

可微性为函数的局部行为，其实质为基于线性映照来“逼近”因自变量变化而引起的因变量的变化，误差为因变量变化的一阶无穷小量。

由此，首先需要澄清二个一维Euclid空间之间线性映照的定义及其表示形式。

②函数可微性的具体表示：（a）通过Landau符号；对其几何意义的说明，可自然引入切线的概念。

（b）通过极限；由此常称导数为因变量相对于自变量的变化率。

③基于Landau的无限小分析获得导数的基本运算性质（四则运算）。

④基于Landau的无限小分析获得基本初等函数的导数。

⑤基于复合函数的极限定理获得复合函数的可微性定理。

基本初等函数的导数以及复合函数的可微性定理为计算复杂函数的导数提供了基本方法。