第十二章 交变应力

max
称为工作安全系数
例12-1 阶梯形圆轴如图所示，粗细二段的直径为 D=55mm，d=45mm，过渡圆角半径r=2mm，材料为合 金钢，σb=900MPa，σ-1=360MPa，构件的表面粗糙度为 0.2。承受对称循环交变弯矩M=±450N· m，n=2。试校 核轴的疲劳强度。
解（1）确定轴的有效应力集中 系数kσ、尺寸系数εσ、表面质量 系数β。 根据D/d=55/45=1.22， r/d=2/45=0.044，σb=900MPa， 由图12-8上查得：Kσ=2.26； 再由表12-2查得：εσ=0.73； 表面粗糙度0.2查表12-3：β=1
k n
n 0 1 n 也可把上式改写成用安全系数表示的形式：
max [ 1 ]
0 1
令
1 n 于是强度条件可写成： n k max 1 n 扭转交变应力的强度条件： n k max
0 1 n max
1480103 max MPa 113MPa 13100 200103 min MPa 15.3MPa 13100
2 max min m 64.2MPa 2
a
max min
48.9MPa
(2) 疲劳强度计算。根据d0/d=0.25，σb=650MPa，查 得：kσ=1.825；由d=60mm，查表12-2得：尺寸系数 εσ=0.81；表面质量系数β=1。
表面加工质量的影响
表面加工质量的影响

1 1 d
表面加工质量系数
(σ-1)d 、(τ-1)d －表面磨光试样的持久极限
(σ-1)β 、(τ-1)β －其它加工情况下构件的持久极限
工作环境的影响
在腐蚀性介质中工作----； 温度对构件的持久极限也有影响：过高、周期性 改变，构件在交变温度下所引起的这种疲劳破坏现 象，称为热疲劳。
（2）计算轴的持久极限
0.731 1 360MPa 116.3MPa k 2.26
0 1

（3）计算圆轴的最大弯曲正应力
max
M max 450103 MP a 50.3MP a W 453 32
（4）校核轴的强度：
0 1 116.3 n 2.3 n 2 max 50.3
1 n n k max 1 n n k max
n
1
(a)
n

k
k
a m 1
强度条件为
n n

a m

n
1
k
a m

350 1.825 48.9 0.2 64.2 0.811
2.85 2
强度满足
二、弯扭组合的疲劳强度计算 若构件承受弯扭组合交变应力， n n 经过实验和理论分析，其工作 n 2 n n2 安全系数可按下式计算 式中，nσ 、nτ为弯扭组合中弯曲正应力和扭转切应力 的工作安全系数，若为对称循环用(a)式计算，若为非 对称循环 则用(b)式计算。
第十二章
交变应力
交变应力与疲劳失效概述 疲劳失效特征及原因分析 疲劳极限与应力－寿命曲线 疲劳强度计算
轮
轴
第一节
交变应力与疲劳失效
交变应力－随时间作周期性变化的应力， 称为交变应力(alternative stress)
轮
My M d sin t I I 2
轴
交变应力作用下构件抵 抗疲劳失效的能力，称 为疲劳强度。
(σ-1)d 、(τ-1)d －光滑试样的疲劳极限 (σ-1)k 、(τ-1)k－有应力集中试样的疲劳极限
截面突变处的应力集中现象
与第三章介绍的理论应力集中系数不同，有效应力 集中系数除与构件的形状、尺寸有关外，还与强度极限， 亦即与材料的性质有关。一般说静抗拉强度越高，有效 应力集中系数也越大，即对应力集中越敏感。
min max 51MPa
轴的扭转剪切应力为非对称循环交变应力，其数值为：
max min
M x max 500103 MP a 39.7MP a 4 WT 1.2610 M x min 250103 MP a 19.8MP a 4 WT 1.2610
k
a m
式中，σm是平均应力； σa是应力幅值； 系数ψσ称为材料对非对称循环的敏感系数。 对拉压和弯曲，碳钢的ψσ =0.1～0.2 ；合金钢的ψσ=0.2～0.3 。
对扭转的情况，工作安全系数为
n
1
k
a m
扭转时碳钢的ψτ =0.05～0.1 ， 合金钢的ψτ =0.1～0.15 ；
此轴的疲劳强度是足够
第六节
非对称循环和弯扭组合的 疲劳强度计算
一、非对称循环的疲劳强度计算：
在工程中，通常是根据对称循环、脉动循环的持久极限和 静载荷的强度极限，经过分析简化，得到一般非对称循环的持 久极限，然后再进行强度计算。经过推导，可按下式计算构件 的工作安全系数：
n
1
初始裂纹(微裂纹) 宏观裂纹 脆性断裂
第二节
σ
交变应力的循环特性和应力幅值
一个应力循环
σmax
σmin
σm
σa
0
t
规则交变应力与不 规则交变应力
应力重复变化一次，称为一个应力循环， 重复变化的次数称为循环次数。
min 交变应力的循环特性 r max
σmax----最大应力 σmin----最小应力
2.1+1.6=3.7kN A 400 400 1480Nm B
400
A 400
400
2.1-1.6=0.5kN B 400
200Nm
例12-2
解 (1) 先求出危险点的交变应力。
h d 2 d 02 60 2 16 2 mm 57.8mm
y
x d0 d
截面A的惯性矩为：
d Iz d 0 57.83 3.8 10 5 mm 4 64 12
疲劳失效原因分析
初始缺陷 滑 移 滑移带
裂纹源：加工损伤、 材料内部缺陷、切应 力过大时材料产生微 裂纹； 裂纹扩展：应力交替 变化，裂纹两表面的 材料时而压紧时而分 离，形成断口光滑区。 裂纹扩展成宏观裂纹； 脆性断裂：呈三向拉 伸应力状态，构件有 效截面不足以承受外 载荷时，将发生脆性 断裂。
第四节
影响构件持久极限的主要因素
根据光滑小试样测出的，称为材料的持久极限。但实 际构件的持久极限，不仅与材料有关，而且还受构件 外形、尺寸、表面质量及工作环境等影响。
构件外形的影响
应力集中的影响用有效应力集中因数k 度量
( 1 ) d k ( 1 ) k ( 1 ) d k ( 1 ) k 1
(b)
例 12-3 图示一阶梯轴，直径D=50mm，d=40mm，受交变弯 矩和扭矩的组合作用。圆角半径r=2mm，弯矩变化范围 320N· ~ -320N· m m，扭矩变化范围 500N· 250 N· m~ m。轴的材 料为碳素钢，σb=550MPa，σ-1=220 MPa，τ-1=120 MPa， ψσ=0.1。设表面质量系数β=1，规定的安全系数n=1.5。试校核 该轴的疲劳强度。
零件尺寸的影响

尺寸系数
1 d
1

1 d
1
1
(σ-1)d 、(τ-1)d －光滑大试样的持久极限
ห้องสมุดไป่ตู้
σ-1、τ-1－光滑小试样的持久极限
持久极限随构件尺寸增大而降低的原因，是由于在最 大应力（如弯曲应力）相同的情况下，大试样内处于 高应力区的材料比小试样多；同时，试样尺寸增大后， 试样内部所含杂质、缺陷会增多，这样大试样就更易 于形成疲劳裂纹，使其持久极限降低 。
解: (1) 计算轴的交变应力
M
轴的抗弯截面模量：
Wz
Mx
Φ40 M
r

32 32 6.28 103 mm3
d
3

403 mm3
Φ50
Mx
抗扭截面模量：
WP

16
d 3 1.26 10 4 mm 3
轴的弯曲正应力为对称循环交变应力，其数值为：
M max 320103 max MPa 51MPa 3 Wz 6.2810
4

抗弯截面模量为
3.8 105 Wz mm3 1.31104 mm3 57.8 2
当离心力F向下时，轴内弯矩为最大，此时载 荷 Fmax=(2.1+1.6)kN=3.7 kN， 弯矩 Mmax=Fmax×0.4×103=1480N· m。
当离心力F向上时，载荷 Fmin=(2.1-1.6)kN=0.5 kN， 弯矩 Mmin=0.5×0.4×103N· m=200N· m。 各应力值为:
若交变应力的σmax和σmin在工作过程中始终保持不变， 则称为稳定交变应力，否则称为非稳定交变应力。 以上所述概念，对于承受扭转的交变应力情况同样适 用，只需将正应力改为切应力即可。
第三节
材料的持久极限
材料在交变应力作用下的强度指标为持久极限 (endurance limit)或疲劳极限----经过无穷多次 应力循环而不发生疲劳失效时的最大应力值。
综合考虑外形、截面尺寸、表面质量等
因素，构件在对称循环下的持久极限为：
0 1


k
1
0 1


k
1
式中σ -1、τ
-1是光滑小试件的持久极限。
第五节
对称循环的疲劳强度计算
[ 1 ]
0 1
构件的疲劳许用应力： 构件的强度条件为：
n

1
持久极限σ r也随循环特性r而变：对称循环下的持久极限为最低； 同时试样的变形形式对持久极限也有影响，如拉压交变应力的 σ r低于弯曲交变应力的σ r。 上面介绍的疲劳破坏属于高周疲劳破坏。工程上还存在着低循环 次数下的疲劳破坏，即低周疲劳破坏，如高压容器、高压管道、 汽轮机的某些构件的损坏。低周疲劳属于高应力（高于材料的屈 服极限）低寿命的一种疲劳。由于每一应力循环都将产生一定的 塑性变形，所以也称塑性疲劳。
强度条件仍为构件的安全系数应大于规定的安全系 数，即
n n
或
n n
例12-2 图示振动式落砂机主轴，轴上安装有两个偏心重块,重 量W=1.6kN,轴转动时偏心块的离心力F=2.1kN，材料为45钢， σ b=650MPa，σ -1=350 MPa， ψσ =0.20，轴径d=60mm，螺栓 孔径d0=16mm，表面质量系数β =1，安全系数n=2。试校核该轴 的疲劳强度。 A B
疲劳试验装置
应力－寿命曲线 (疲劳曲线)
疲劳试样
直径为7~10mm，表 面磨光的光滑小试样
σ
-1----对称循环的持久极限；σ 0----脉动循环的持久极限.
疲劳试验装置
对于有渐近线的S－N曲线，规定经历107次（结构 钢2108次）（称循环基数）应力循环而不发生疲劳破 坏，即认为可以承受无穷多次应力循环。 对于没有渐近线的S－N曲线，规定经历（5～10） 108时所对应的最大应力作为名义持久极限。
1 应力幅值: a ( max min ) 2 1 平均应力: m ( max min ) 2 对称循环: r 1, m 0, a max min 1 脉动循环: r 0, a m max 2 静应力: r 1, a 0, max min m 不对称循环: max m a , min m a
疲劳失效－材料与构件在交变应力作用下的失效， 称为疲劳失效(fatigue failure),简称疲劳(fatigue)。
疲劳失效特征
破坏时，名义应力值远低于材料的静载强度极限；
交变应力作用下的疲劳破坏需要经过一定数量的
应力循环; 破坏前没有明显的塑性变形， 即使韧性很好的材料，也会呈现 脆性断裂； 同一疲劳断口，一般都有明显 的光滑区域和颗粒状区域。