第六章树与森林2

childd
degree Child1 child2 ….
另一种办法是把每个结点的孩子结点排列起来，看成是一个链表，且以链表 作存储结构 N个结点又组成一个线性表。 存储结构如下：
Typedef struct CTNode{ int child; Struct CTNode * next; } *ChildPtr; Typedef struct{ TElemType data; ChildPtr firstchild;}CTBox; Typedef struct { CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE]; int n, r; } Ctree;
4 5
6
5
3 6 7
(b) PL = 15
一、树的路径长度（PL）
3、具有n个结点的路径长度分析
完全二叉树各结点的路径长度分别是数列 0,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4, …的前n项之和，具有 n 1 最小值 PL log 2 (i 1)
i 0
具有最小 WPL 的扩充二叉树叫霍夫曼树
2
4 2 4 5 7 5 7
7
5 2 4
(a) WPL = 36
(b) WPL = 46
(c) WPL = 35 (霍夫曼树)
问题： 在解某些判定问题时,利用赫夫曼树可以得到最佳判定算法。例如， 要编制一个将百分制转换成五分制的程序。显然，程序很简单，只要利用 条件语句便可完成。
指向左孩子 指向前驱
0 1
0 1
指向右孩子 指向后继
◆两标记域取值范围是0，1。各只占一个二进制位， 只增加很少的额外空间开销。
3、线索二叉树 ◆指向前驱和指向后继的指针叫做线索（Thread）。 ◆具有线索的二叉树叫做线索二叉树。 ◆因遍历的次序有三种，所以线索二叉树也分前、中、 后序这三种。 root ◆中序遍历线索二叉树结构示例
8
9
^
1
2 3 3 3
F
G H I J
^
^ ^ ^ ^ 求孩子运算方便，求双亲都方便
带双亲的孩子链表
三、孩子兄弟表示法
1、结点结构 firstchild data NextSibling 2、存贮示例 A B E F K C G L H D I M J
∧ E ∧ F ∧ G ∧ B C D ∧ root A ∧
如何构造赫夫曼树呢？
二、霍夫曼树
2、霍夫曼树的构造方法
将n个权值视为具有n棵扩充二叉树的森林F，然后重复 以下步骤，直到F中只有一棵树为止： ①在F中选根的权值最小的两棵作为左右子树构造一棵新 的二叉树，其根的权为左右子树根的权值之和。
②在F中删除那两棵树，并把新的二叉树加入。
18 11
6
7 ，2 ， ， 5 4
F 0
1
G
1
5.如何进行二叉树的线索化？ Status InOrderThreading(BiThTree &Thrt,BiThrTree T){ if(!(Thrt=(BiThrTree)malloc(sizeof(BiThrNode)))) exit(OVERFLOW); Thrt->Ltag=Link; Thrt->Rtag=Thread; thrt Thrt->rchild=Thrt; if(!T){ 0 1 Thrt->lchild=Thrt; 若为空树 else{ Thrt->lchild=T; Pre=Thrt; InThreading(T); thrt Pre->rchild=Thrt; 0 1 Pre->Rtag=Thread; Thrt->rchild=pre; T } Return OK; } 0 E 0
root
0 E 0 B 0 B 0 1 F 0 F D E NULL G
NULL
A 1 G 1 C
1 A 1 1 C 1
0 D 1
◆若根的左子树不空，则其最左下角的结点为中序遍 历的第一个结点，否则根为中序遍历的第一个结点。 ◆若根的右子树不空，侧其最右下角的结点为中序遍 历的最后一个结点，否则根为中序遍历的最后一个结点。
中序遍历二叉线索树T的非递归算法： void InOrderTraverse_Thr(BiThTree T) T { p=T->lchild; 0 1 while(p!=T){ Rt while(p->Ltag==Link) p=p->lchild; 0 E 0 printf(p->data); while(p->Rtag==Thread 0 B 0 1 && p->rchild!=T) { 1 A 1 0 D 1 p=p->rchild; printf(p->data); 1 C 1 } P=p->rchild; 中序线索二叉树及其存储结构 } }
root
0 1
Rt
0 E 0
0 B 0 1 F 0
1 A 1
0 D 1
1 G 1
1 C 1
中序线索二叉树及其存储结构
二、中序线索二叉树的类定义
1、类型定义 typedef enum {Link,Thread} PointerTag; Typedef struct BiThNode{ TElemType data ; struct BiThNode *lchild,*rchild; PointerTag Ltag,Rtag; } BiThrNode,*BiThTree;
HT[I].weight=HT[s1].weight+HT[s2].Weight; } HC=(HuffmanCode)malloc(n+1)*sizeof(char *)) Cd=(char *)malloc(n*sizeof(char)); Cd[n-1]=‘\0’; for(i=1;i<=n;i++){ start=n-1; for(c=i,f=HT[i].parent;f!=0;c=f,f=HT[f].parent) if(HT[f].lchild==c)cd[--start]=‘0’; else cd[--start]=‘1’; HC[I]=(char *)malloc((n-start)*sizeof(char)); Strcpy(HC[i],&cd[start]); } Free(cd);
}
7 ， ，5 ， 2 4 (a)
HT
HT
WEIGHT PARENT LCHILD RCHILD WEIGHT PARENT LCHILD RCH
7 ， ， 5 2
7 ，5 2
7
6
11
4
5 4
6
(a)
(b)
(c)
2 (d)
4
赫夫曼树和赫夫曼编码的存储表示： Typedef struct { unsigned int weight; unsigned int parent,lchild,rchild; }HTNode,*HuffmanTree; Typedef char ** HuffmanCode; void HuffmanCoding(HuffmanTree &HT, HuffmanCode &HC,int *w,int n){ if(n<=1)return; m=2*n-1; HT=(HuffmanTree)malloc((m+1)*sizeof(HTNode)); for(p=HT,i=1;i<=n;++i,++p,++w)*p={*w,0,0,0}; for(;i<=m;++i,++p)*p={0,0,0,0}; for(i=n+1;i<=m;++i){ select(HT,i-1,s1,s2); HT[s1].parent=i;HT[s2].parent=i; HT[i].lchild=s1; HT[i].rchild=s2;
Pre 始终指向刚刚访问的结点 若为非空树
Void InThreading(BiThTree p) { if(p){ InThreading(p->lchild); if(!p->lchild){ p->Ltag=Thread; p->lchild=pre; } if(!pre->rchild){ pre->Rtag=Thread; pre->rchild=p; } Pre=p; InThreading(p->rchild); 1 A } }
若n个结点的高度为h的二叉树，从根到 h – 1 层 都有最多结点数 2h – 1 ，其余结点分布在第 h 层的任 意位置上，也具有最小 PL ，这种树称为理想平衡二 叉树。
二、霍夫曼树
1、树的带权（Weighted）路径长度 WPL
带权的叶子结点又名外结点，具有外结点的树叫扩 充二叉树 具有n个外结点，其中任意结点的权值为Wi，到根的 路径长度为 li ，则该扩充二叉树的带权路径长度为：
root
B
C F K L G H I D
M
J
§6.6
赫夫曼树及其应用
一、树的路径长度（PL）
1.从树中一个结点到另一个结点之间的分支构成这两个结点之间的 路径,路径上的分支数目称做路径长度. 2、PL是指从根到其它各结点的路径长度（分支数）之和 0 1 3 7 (a) PL = 13 2 1 0
2 4
6.4.2 森林与二叉树的转换
1、森林是树的有限集合 2、若将每棵树分别用二叉树表示，然后通过下一个兄弟域 顺序链接在一起，就得到了森林的二叉树表示 3、森林与二叉树互换的示例 A T1 F T2 H T3 A T1 B E C G F T2 H T3 I J