2019-2020学年重庆市十一中、七中等七校高二上学期期末考试数学试题(解析版)

重庆市十一中、七中等七校2019-2020学年高二上学期期末考试试题一、选择题1.若p ：x ∀∈R ，c o s 1x ≤，则（ ）A. p ⌝：0x ∃∈R ，0cos 1x > B. p ⌝：x ∀∈R ，cos 1x > C. p ⌝：0x ∃∈R ，0cos 1x ≥D. p ⌝：x ∀∈R ，cos 1x ≥答案A【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题P ：∀x ∈R ，cos x ≤1，则￢P ：∃x 0∈R ，cos x 0＞1． 故选A ． 2.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，直线BD 与11A C 的位置关系是（ ）A. 平行B. 相交C. 异面但不垂直D. 异面且垂直答案D【解析】由图形可知，两条直线既不相交也不平行，所以是异面直线，1111//,AC AC AC BD AC BD⊥⇒⊥，故选D.3.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的离心率为32，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（ ）A. 221810x y -=B. 22145x y -=C. 22154x y -=D. 221123y x -=答案B【解析】椭圆的标准方程为221123x y +=，∴椭圆中的2112a =，213b =，则222111239c a b =-=-=，3c ∴=双曲线的焦点与椭圆221123x y +=的焦点相同，∴双曲线中3c =， 双曲线222211(0,0)x y a b a b -==>>的离心率为32，233e a ∴==，则2a =．在双曲线中b ==22145x y -=，故选：B ．4.已知命题2:230p x x --<，命题:q x a <，若q 的一个充分不必要条件是p ，则a 的取值范围是（ ） A.[)3,+∞B.()3,+∞C.(],1-∞- D. (),1-∞-答案A【解析】由2230x x --<得13x，q 的一个充分不必要条件是p ，3a ∴，故选：A ．5.如图，已知三棱锥A BCD -的各条棱长均相等，E 为线段BC 的中点，则异面直线AB 与DE 所成角的余弦值为（ ）A.B.C.D. 12答案B【解析】取AC 中点O ，连结DO ，EO ，三棱锥A BCD -的各棱长都相等，E 为BC 中点，//EO AB ∴，DEO ∴∠是异面直线AB 与DE 所成角（或所成角的补角），设三棱锥A BCD -的各棱长为2，则DE DO =1OE =，222cos 2DE OE DO DEO DE OE +-∴∠===⨯⨯．∴异面直线AB 与DE所成角的余弦值为6．故选：B ．6.已知圆22:9C x y +=，直线:l y x b =-，若圆C 上恰有4个不同的点到直线l 的距离都等于1，则b 的取值范围是（ ）A.(B. ⎡⎣C. (-D. -⎡⎣答案C【解析】由圆C 的方程：229x y +=， 可得圆C 的圆心为原点(0,0)O ，半径为3若圆C 上恰有4个点到直线l 的距离等于1，则O 到直线:l y x b =-的距离d 小于2，直线l 的一般方程为：0x y b --=，2d ∴=<解得b -<<b的取值范围为(-．故选：C ．7.设F 1、F 2是椭圆221164x y +=的两焦点，P 为椭圆上的点，若PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2的面积为（ ） A. 8C. 4答案C【解析】由椭圆221164x y +=，可得4,2a b ==，则c ==，设12,PF m PF n==，由椭圆的定义可知：28m n a +==，因12PF PF ⊥，得1290F PF ∠=，由勾股定理可得：222(2)m n c +=，即22()24m n mn c +-=， 可得28248mn -=，解得8mn =，即128PF PF ⋅=，所以12PF F ∆的面积为12118422S PF PF =⋅=⨯=.故选C.8.过定点M 的直线20ax y +-=与过定点N 的直线420x ay a -+-=交于点P ，则·PM PN的最大值为（ ） A. 4B. 3C. 2D. 1答案A【解析】由题意可知，动直线20ax y +-=经过定点()0,2M ，动直线420x ay a -+-=即2(4)0x y a -+-+=，令2040x y -=⎧⎨-+=⎩解得24x y =⎧⎨=⎩，经过点定点()2,4N ， 过定点M 的直线20ax y +-=与过定点N 的直线420x ay a -+-=始终垂直，P 又是两条直线的交点，∴有PM PN ⊥，()22222||||||2428PM PN MN ∴+==+-=．故22||||||||42PM PN PM PN +=（当且仅当||||1PM PN ==时取“=” )故选：A ． 9.过抛物线()220y px p =>的焦点F 作斜率小于0的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且l 与准线交于点C ，若3CA AF =，则||||AF BF =（ ） A. 25 B. 49C. 13D. 12答案D【解析】22y px =，焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线2p x =-，设直线l 的方程为：2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()11,A x y ，()22,B x y 联立直线方程得222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩消去y 得()22222204k p k x k p p x -++=，2124p x x ∴=过A 作2AA ⊥x 轴，过B 作2BB ⊥x轴，3CA AF=2114FA FF ∴=，14p x ∴=2x p ∴=，2212422p p FA AF p BF FB p -∴===-，故选：D.10.已知四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，PAD △为等腰直角三角形，PA PD ==4AB =，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为（ ）A. 24πB. 20πC. 16πD. 8π 答案B【解析】取AD 的中点E ，连接PE ，连结AC ，交BD 于O ，连接OE ，PO依题意可得PE AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，PE ∴⊥平面ABCD，PA PD ==4AB =2AD ∴==，112PE AD ==，PO =ABCD 是矩形，AC BD ∴===OA OB OC OD ∴===，O ∴为四棱锥P ABCD -的外接球的球心，且外接球的半径R=∴四棱锥P ABCD -的外接球的表面积2420S ππ==．故选：B.11.已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别为12F F ，过2F 作圆222x y a +=的切线，交双曲线左支于点M ，若1245F MF ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. y =B. y =C. y x =±D. 2y x =±答案A【解析】设切点为A ，连接OA ，作1F 作21F B MF ⊥，垂足为B ，由||OA a =，且OA 为12F F B∆的中位线，可得1||2F B a =，2||F A b ==，即有2||2F B b =，在直角三角形1BMF中，可得1||MF =，即有2||22MF b a =+，由双曲线的定义可得21||||222MF MF b a a -=+-=，可得b =，即双曲线的渐近线方程为y =．故选：A ．12.如图，α，β，γ是由直线l 引出三个不重合的半平面，其中二面角l αβ--大小为60°，γ在二面角l αβ--内绕直线l 旋转，圆C 在γ内，且圆C 在α，β内的射影分别为椭圆1C ，2C .记椭圆1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，则2212e e +的取值范围是（ ）A. 13,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.15,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.15,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭答案C【解析】显然圆在两平面内的射影均为椭圆，且椭圆的长轴都为圆的直径，设圆的直径为2，要求椭圆的离心率，关键是求出其短轴，现将问题平面化，如图所示，设2AB =，在平面α内的投影为11A B ，平面β内的投影为22A B ，的设MOH θ∠=，π0,3θ则3MON πθ∠=-则11cos 2cos A B AB θθ==，222cos 3A B πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 所以222221221cos c a b e a a θ-===-，222222221cos 3c a b e a a πθ-⎛⎫===-- ⎪⎝⎭ 2222121cos 1cos 3e e πθθ⎛⎫-+-- ⎪⎝+=⎭∴222131cos 1cos cos sin 44θθθθθ-+---=251cos cos 42θθθ-=1sin 2261πθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭= 0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，52,666πππθ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭1sin 2,162πθ⎛⎫⎛⎤∴+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，113sin 2,26241πθ⎛⎫⎡⎫-+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭∴ 即221213,24e e ⎡⎫∈⎪⎢+⎣⎭， 故选：C. 二．填空题13.直线3y kx =+与直线210x y ++=平行，则k 的值为_________. 答案－2【解析】直线210x y ++=化为：21y x =--．直线210x y ++=和直线3y kx =+平行，则2k =-，31≠-． 故答案为：2-．14.若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则此圆锥的体积为______．答案【解析】圆锥的侧面展开恰为一个半径为4的半圆，所以圆锥的底面周长为：4π，底面半径为：2，圆锥的高为：212.3π⋅⨯=故答案为.15.抛物线()220y px p =>上一点()5,m 到焦点F 的距离为6，P ，Q 分别为抛物线与圆()2231x y -+=上的动点，则PQ PF+的最小值为________.答案3【解析】由抛物线2:2(0)C y px p =>焦点在x 轴上，准线方程2px =-，则点(5,)t 到焦点的距离为562p d =+=，则2p =，∴抛物线方程：24y x =， 过P 作PN于抛物线的准线，交准线于点N ，准线交x 轴于点1M ，如图所示圆()2231x y -+=圆心为()3,0M ，半径为1，由抛物线的定义可知PF PN=，113PQ PF PQ PN MM ∴+=+≥-=当且仅当P 在坐标原点，Q 在圆与x 轴的左交点时取最小值. 故答案为：316.已知棱长为1的无盖正方体容器中装有直径为1的实心铁球且盛满了水，另将半径为()0r r >的小球O '缓慢放入容器中，若小球O '能完全淹入水里，则r 的取值范围是_________．答案r ⎛∈ ⎝⎦【解析】根据题意临界条件为小球O '与正方体的三个面及大球均相切，如图所示设大球的球心为O ，正方体的棱长为1，∴正方体的内切球的半径12R =设小球球O '的半径为r ，作出对应的轴截面图如图：则//OE C C '，且O A '，12O O r '=+O A O O OA ''∴+=12r ++=，1)r ，r ==．故0r <，故答案为：⎛ ⎝⎦ 三．解答题17.已知点(3,3),A -点()1,3B 两点. （1）求以AB 为直径的圆C 的方程；（2）若直线230x y ++=与圆C 交于,M N 两不同点，求线段MN 的长度. 【解】（1）由题意圆心CAB 中点，所以0(2)C，半径r AC ===所以圆C 的方程为22(2)10x y -+=； （2）圆心到直线MN的距离d ==所以2MN==MN =18.如图：三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，90ACB ∠=︒，112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点.（1）证明：平面1BDC ⊥平面BDC ；（2）求直线CD 与平面1BDC 所成角的正弦值．【解】（1）证明：90ACB ∠=︒，BC AC ∴⊥三棱柱侧棱垂直于底面，1CC ∴⊥面ABC ，故1CC BC ⊥，1CC AC C=，AC ⊂面11ACC A ，1CC ⊂面11ACC A ，BC ∴⊥面11ACC A ，1DC ⊂面11ACC A ，1BC C D∴⊥D 为1AA 中点，在1C DC △中，111C D ===，CD ==22211CC C D CD ∴=+，1CD C D∴⊥BC ⊂面BDC ，DC ⊂面BDC ，DC BC C =,1C D ∴⊥面BDC ，1C D ⊂面1BDC ，∴面BDC ⊥面1BDC（2）依题意可知：直线CA ，CB ，1CC 两两垂直∴以C 为原点，建立如图所示坐标系设1AC BC ==，12CC =，()1,0,1D ∴，()0,0,0C ，()1,0,1CD =， ()0,1,0B ，()10,0,2C ，()1,1,1BD =- ，()10,1,2BC =-设面1BDC 的法向量为(),,m x y z =100m BD m BC ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩即20x y z y z -+=⎧⎨-+=⎩取()1,2,1m =cos CD m ∴<⋅>==， 所以CD 与面1BDC所成角的正弦值319.如图：在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 是菱形且60BAD ∠=︒，侧棱PA PD =，O 为线段AD 上的中点，M 为线段PC 上的定点.（1）求证：AD ⊥平面POB ；（2）若AD =PA =，PB =//PA 平面MOB ，求三棱锥P MOB-的体积.【解】（1）证明：PA PD =，O 为AD 中点，PO AD ∴⊥四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒， 设AO a =，则2AB a =，在OAB ∆中，由余弦定理2222cos60OB AO AB AO AB =+-⋅⋅︒得OB =BO AO ∴⊥，即BO AD ⊥PO BO O =，PO ⊂平面POB ，BO ⊂平面POBAD ∴⊥平面POB（2）PAD ∆是等腰三角形，AD AB ==PA =，12AO AD ∴==2OP ∴==，连接AC 交OB 与N ，连接BD 交AC 于E ，连接MN ，//PA 平面OMB ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC 平面OMB MN =，//PA MN ∴，∴PM ANPC AC =，四边形ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒， 23AN AE ∴=，2AC AE =，∴13PM AN PC AC ==， M ∴到平面ABCD 的距离2433d PO ==．11143323P MOB A MOB AOB V V S d --∆∴===⨯⨯=．20.抛物线()220x py p =>上的点P 到点0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离与到x 轴距离之差为1，过点()0,M p 的直线l 交抛物线于A ，B 两点.（1）求抛物线的方程；（2）若AOB 的面积为l 的方程.【解】（1）设()00,P x y ，02p PF y +∴=依题意有：00122p p y y ⎛⎫+-== ⎪⎝⎭ 2p ∴=故抛物线方程为：24x y =（2）因为()0,2M ，设直线AB 的方程为：2y kx =+，224y kx x y =+⎧⎨=⎩，消去y 得2480x kx --=216320k ∆=+>设()11,A x y ，()22,B x y ，124x x k∴+=，128x x ⋅=-1212AOB AOM BOM S S S OM x x ∆∆∆=+=-=12x x -===解之可得：1k =±，所以直线AB 的方程为：2y x =±+21.如图：多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，二面角A CD F --为60°，//DE CF ，CD DE ⊥，2AD =，3DE DC ==，6CF =．（1） 求证：//BF 平面ADE ；（2）G 线段CF 上一点，若锐二面角B EG D --的正弦值为，求CG.【解】（1）证明：四边形ABCD 为矩形，//AD BC ∴，AD ⊄面BCF ，BC ⊂面BCF ，//AD ∴平面BCF ，//DE CF ，DE ⊄面BCF ， CF ⊂面BCF ，//DE ∴面BCF ，AD DE D ⋂=，,AD DE ⊂面ADE ，∴面//ADE 面BCF ， BF ⊂面BCF ，//BF ∴面ADE（2）解：由题意知：AD CD ⊥，DE CD ⊥，ADE ∴∠即为二面角–A CD F -的平面角，60ADE ∴∠=︒，CD面ADE ，在平面ADE 上过D 作DP DE ⊥，CD DP ∴⊥，DC ∴，DE ，DP 两两垂直，故以D 为原点，DC ，DE ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示直角坐标系设()16CG t t =≤≤()3,,0G t ∴，(B ，()0,3,0EDP ⊥面EGD ，面EGD 法向量()0,0,1m =设面BEG 法向量为(),,n x y z =，(3,2,BE ∴=-，()3,3,0EG t =-00n BE n EG ⎧⋅=⎨⋅=⎩得()320330x y x t y ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩ 令3y =-得，()3,n t =--1|cos|4m n∴<⋅>===24484270t t-+=，解之可得：132t=，2922t=922CG=（舍）32CG∴=，22.已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>，离心率为12，点D在椭圆C上，且12DF F△的周长为6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设椭圆C的左右焦点分别为1F，2F，左右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且12//F M F N，记直线AM，BN的斜率分别为1k，2k.若12320k k+=，求直线1F M的方程.【解】（1）依题意可知：12cea==，2a c∴=12DF F△的周长1212226DF DF F F a c=++=+=33a c c∴+==，1c∴=，2a=，b==∴椭圆C的标准方程为22143x y+=（2）延长MF，交椭圆C于点P又由12//F M F N，故12//F P F N，且1F，2F关于原点对称∴点P，N关于原点对称()11,0F-，()2,0A-，()2,0B设直线1F M的方程为：1x my=-，()11,M x y，()22,P x y()22,N x y∴--2213412x my x y =-⎧⎨+=⎩消去x 得()2234690m y my +--=122634m y y m +=+，122934y y m -=+1111121AM y y k k x my ∴===++，2222222221BN y y y k k x x my -====--++1212123232011y y k k my my +=+=++12122533my y y y y ∴++=，222734m y m -∴=+，12226333434m my y m m =-=++ 2222233279134343424m m y m m m m --∴=⋅=⇒=+++M 在x 轴上方，10y ∴>，0m ∴>，12m ∴=直线1F M的方程为：1x y =-，即0y -+=。