课本_多项式函数及其图形
3-2 多项式函数及其图形 137
生活周遭事物的关系，经常是函数关系。例如：人们在 等速运行电扶梯上所移动的距离 (y 米) 与站立时间 (x 秒)， 就是函数 y ＝kx ，k 为电扶梯每秒移动的速度。本节中， 将介绍数学上基本的函数－多项式函数及其图形的 重要性质。
1 函 数
我们会探究生活中的许多事物所 隐藏的对应关系，便于进行判断和预 测。例如，据报载，台北捷运最长的电 扶梯在忠孝复兴站，已知运行速度为 每秒 0.5 米，每分钟平均运送约 90 位旅客。为疏运旅客，拟加快运行速 度，当速度提升到每秒 0.65 米，北 捷预估调整后运输量可增加 30％，
试问：这个预估是否合理？
设时间 x 秒可运送旅客 y 人，依题意可知，电扶梯宽度固定，只需考虑
电扶梯每米可站立的人数为90
0.560
?＝3 (人)，故加速后可运送人数
y ＝3×0.65×x ＝1.95x ，
因此，每分钟可运送旅客 1.95×60＝117，则运量增加11790
90
-×100％＝30％，
故北捷的预估是合理的。
由上可知，时间 x 秒与人数 y 的数学式可表为 y ＝1.95x 。当 x 值给定时，恰有一个 y 值与之对应，我们称这种对应关系为 y 是 x 的函数。
-2 多项式函数及其图形
此电扶梯长度有39.44米，高度有 19.72 米，约六层楼高。
137
138 第3章 多项式函数
上述例子时间与人数的函数，可记作 f (x )＝1.95x ，当 x ＝20 时，对应的函数值为 f (20)＝1.95×20＝39 (人)。
进一步，在坐标平面上，满足 y ＝f (x ) 之所有点 (x , y ) 聚集而成的图形，就称为函数 f (x ) 的图形。函数图形让我们对函数的变化趋势有具象的掌握，有助于我们了解该函数的对应关系。例如：观察图5可知，不论变量 x 如何变化，函数值 f (x ) 恒为 1，正是国中时所学过的常数函数。
函数图形也需满足函数的对应关系：每一个 x 只对应到一个 f (x ) 的值。例如，圆的图形就不是函数图形，如图 6 所示。
＝1
x
图 5 图 6
3-2多项式函数及其图形139
第2 章所讨论的直线方程式ax＋by＋c＝0 (ab≠0)，可将y放在等号左边，化简成y＝mx＋k (m≠0)，正是国中所学的一次函数，可表为函数f (x)＝mx＋
k。不过，并非任意方程式均可转换成函数关系，例如，圆方程式x2＋y2＝1，化简得y2＝1－x2。当x＝0 代入，得y＝±1，故两变量间没有函数关系。
已知x的n次多项式f (x)，当x＝x0 时，多项式的值f (x0 ) 也随之唯一确定，这种由多项式导出的函数关系，就称f为x的多项式函数(或n次多项式
函数或n次函数)。其中，最基本的例子正是国中时所学的一次函数和二次函数。
2 一次函数及其图形
一次函数
一次函数的定义如下：
一次函数
设a≠0，形如f (x)＝ax＋b的函数称为x的一次函数。
国中时已知道，一次函数f (x)＝ax＋b ( a≠0 )
的图形正是直角坐标平面上，所有满足直线方程式
y＝ax＋b的点所构成的图形，即斜率为a，且y截
距为b的直线。
随堂练习在坐标平面上描绘一次函数f (x)＝－2x＋4
的图形。
y截距b，即直线与
y轴交于(0, b)。
O
y
x
140 第3章 多项式函数
下面来看一次函数的应用。
■解 (1) 斜率为 m ＝161112--＝5
3，
故 y －1＝53 (x －2)，得 y ＝53x －7
3，
因此，f (x )＝53x －7
3
。
(2) 设 C 点坐标为 (
x ，f (x ))，
如右图，依题意知AC ：CB ＝1：2，
由数在线分点公式，x ＝11122
12
?+?+＝5f (5)＝53×5－7
3
＝6，故 C 点坐标为 (5, 6)。
其实，不求出一次函数 f (x )，只要知道 f (2)，f (11)，就能计算 f (5) 的值。由斜率的定义可知：
(5)(2)52f f --＝(11)(5)115f f --，得 f (5)＝1(11)2(2)12f f ?+?+＝11621
3?+?＝6，
因此，利用分点公式就能求出。
11))
3-2多项式函数及其图形141
■
解f (x)，g (x)，h (x) 的图形为斜率2，
且分别交y轴于(0, 0)，(0, 2)，(0, －4)
的三平行直线，图形如右。
由图形知，
f (x) 的图形沿y轴方向往上平移2 单位，
得到g (x) 的图形；
f (x) 的图形沿y轴方向往下平移4 单位，
得到h (x) 的图形。
进一步观察函数，g (x)＝f (x)＋2，h (x)＝f (x)－4，即
h (x) ＝f (x)－4
向下平移
←——————
4單位
f (x)
向上平移
——————→
2單位
g (x) ＝f (x)＋2。
事实上，一次函数f (x)＝ax＋b的图形，就是将直线y＝ax沿y轴方向平移|b| 单位而得(b＞0，往上移；b＜0，往下移)。
不过，这三个函数的关系还有另一种看法，如下图所示，观察x轴的交点可知：
g (x)
向左平移
←——————
1單位
f (x)
向右平移
——————→
2單位
h (x)
且观察函数会发现：
g (x)＝2x＋2＝2 (x＋1)＝f (x＋1)，
h (x)＝2x－4＝2 (x－
2)＝f (x－2)。2
142第3章多项式函数
事实上，一次函数图形y＝f (x) 沿x轴方向平移|h| 单位，所得的函数图形为y＝f (x－h)(h＞0，往右移；h＜0，往左移)。
综上讨论，一次函数f (x)＝ax＋b (a≠0) 的图形经过水平方向或铅直方向的适当平移后，总会与y＝ax (a≠0) 的图形叠合。
3 二次函数及其图形
二次函数定义如下：
国中时曾介绍y＝a (x－h)2＋k (a≠0) 的二次函数图形，以下从f (x)＝ax2 的图形谈起。
3-2多项式函数及其图形143
一般而言，对于f (x)＝ax2 的图形特征，有以下几点：
由上知，二次函数f (x)＝ax2 的图形是对称于y轴的抛物线，这样的对称特性在函数上有什么意义呢？如下图所示，当函数图形对称y轴时，点(x, f (x)) 与(－x, f (－x )) 都在图形上，且在相同的水平线上，即函数f (x)满足
f (－x )＝f (x) 的特性。
(－x ,f(
2
(－x ,f(
a＞0a＜0
144 第3章 多项式函数
h (x )＝2 (x －3)2－2＝g (x )－2。
事实上，满足 f (－x )＝f (x ) 的函数图形，就是以 y 轴为对称轴的线对称图形。
接下来，复习形如 y ＝a ( x －h )2＋k (称为标准式) 的图形性质。
■
解 如右图， f (x )，g (x )，h (x ) 的图形为三个开口 向上且大小相同的抛物线。
而 g (x )，h (x ) 图形的对称轴为 x －3＝0
顶点分别为 (3, 0) 与 (3, －2)。 由顶点可知，f (x ) 的图形沿 x 轴方向 向右平移 3 个单位，得 g (x ) 的图形；
g (x ) 的图形沿 y 轴方向向下平移 2 个单位得 h (x ) 的图形。
由例题 3 可知，三个函数图形具有以下关系： ↓下移2个单位
事实上，二次函数 g (x )＝ax 2 的图形经由适当的平移 (观察顶点即知)，会与 f (x )＝a ( x －h )2＋k 的图形完全叠合，即 y ＝ax 2 y ＝a (x －h )2＋k ( 开口相同 )
g (x )＝2 (x －3)2＝f (x －3) 顶点 (h , k )， 对称轴为x －h ＝0。
2
2
f (－3)
x －3)－2
右移3單位
———————→
平移
———————→
3-2多项式函数及其图形145
同时，由一次与二次函数图形的讨论，可知函数图形的平移和函数表示的关系。事实上，这结果对任意函数f (x) 均成立：
h＞0 h＜0
y＝f (x－h) 的图形y＝f (x) 的图形沿x轴方向
向右平移|h| 单位
y＝f (x) 的图形沿x轴方向
向左平移|h| 单位
y＝f (x)＋h的图形y＝f (x) 的图形沿y轴方向
向上平移|h| 单位
y＝f (x) 的图形沿y轴方向
向下平移|h| 单位
随堂练习
在空格中填入正确的函数：
f (x)＝3x2的图形
向左平移1單位
——————————→g (x)＝的图形。
f (x)＝3x2的图形
向上平移3單位
——————————→h (x)＝的图形。
那么，二次函数若为f (x)＝ax2＋bx＋c (称为一般式) 时，如何绘出图形呢？
由上述讨论可知：只要将二次函数的一般式f (x)＝ax2＋bx＋c化成标准式f (x)＝a (x－h)2＋k即可，方法类似国中学过的方程式配方法，下面以函数f (x)＝2x2＋4x＋5 为例：
f (x)＝2x2＋4x＋5
＝2 (x2＋2．1．x＋12－12)＋5
＝2 (x2＋2．1．x＋12 )＋5－2×12
＝2 (x＋1)2＋3，
因此，f (x)＝2x2＋4x＋5＝2 (x＋1)2＋3。
仿照上法，f (x)＝ax2＋bx＋c化成标准式的过程如下：
f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)
＝a (x2＋b
a
x)＋c＝a〔x2＋
b
a
x＋(
2
b
a
)2〕－a．(
2
b
a
)2＋c
＝a ( x－
2b a
-
)2＋
2 4
4
ac b
a
-
＝a (x－h)2＋k，其中h＝
2b a
-
，k＝
2
4
4
ac b
a
-
。
想一想：
x2＋2kx＋
＝( x＋)2。
146 第3章 多项式函数
学会如何将二次函数的一般式配方成标准式，就能描绘任意二次函数的图形 并掌握其图形性质。
■
解 利用配方法， 将函数化成标准式：
f (x )＝－3x 2＋6x ＋1
＝－3 (x 2
－2x ＋12
－12
)＋1 ＝－3 (x －1)2＋3＋1 ＝－3 (x －1)2＋4， 因此，f (x )＝－3x 2＋6x ＋1 ＝－3 (x －1)2
＋4， f (x ) 的图形为 y ＝－3x 2
的图形向右平移1单位，向上平移 4 单位而得，
故顶点坐标 (1, 4)，对称轴 x －1＝0。
因此，化成标准式 f (x )＝a (x －h )2＋k 利于我们掌握二次函数图形的开口方向、顶点坐标和对称轴。
3-2 多项式函数及其图形 147
综合上面讨论，对于二次函数的图形特征有以下结论：
知道二次函数图形的特征后，可用来解决二次函数最大值、最小值的问题。
■
解 由于 f (x ) ＝2x 2－4x ＋1＝2 (x －1)2＋(－1)， 故图形是开口向上的抛物线， 顶点 V (1, －1) 为图形的最低点， 故 x ＝1 时，f (x ) 有最小值－1。
由图形知没有最高点，故 f (x ) 没有最大值。
148 第3章 多项式函数
一般而言，当自变数 x 值没有限制时，二次函数的最大值或最小值会发生在顶点的函数值。不过，在实际应用上，x 的范围常有限制，在条件限制下，如何求函数的最大值与最小值呢？先来看下面的例子。
■
解 f (x )＝－x 2＋2x ＋6＝－(x －1)2＋7， 故 f (x ) 的图形是开口向下， 且顶点为 V (1, 7) 的抛物线。 (1) －1 ≤ x ≤ 2，
由图形可知 (蓝色部分)，
最大值为 f (1)＝7，最小值为 f (－1 )＝3。 (2) 2 ≤ x ≤ 3，
由图形可知 (红色部分)，
最大值为 f (2)＝6，最小值为 f (3)＝3。
由圖形的最高點和最低點
之y 坐標，判斷最大值和最小值。
3-2 多项式函数及其图形 149
日常生活中有许多问题与二次函数的最大值或最小值有关。
■
解 如上图， 设菜圃的一边长为 x 米，另一边长为
1
2
〔66－x －(x －2)〕＝34－x ， 故2340x x ≥??-?，＞，
得2
34x x ≥???，＜，因此 x 的范围为 2 ≤ x ＜34。
令菜圃面积为 f (x ) 平方米，则
f (x )＝(34－x ) x ＝－x 2＋34x ＝－(x －17)2＋289，2 ≤ x ＜34。
当 x ＝17时，f (17)＝289 是最大值，此时 34－x ＝17，故所围菜圃为边长 17 米的正方形时，所得面积最大，面积为 289 平方公分。
x
8
0－2数学名言
代数是搞清楚世界上数量关系的智力工具。 －爱因斯坦
150 第3章 多项式函数
4 三次函数及其图形
三次函数及其图形
三次函数定义如下：
如何描绘三次函数的图形？我们将仿照前面的讨论，由三次函数 f (x )＝ax 3 的基本图形看起，再利用水平方向和铅直方向平移处理一般式。 不妨从 f (x )＝x 3 的函数图形开始，如何绘制 呢？先尝试计算 x ＝－2,－1,0,1,2 的函数值，并 在坐标平面上描点观察。如下表所示：
虽然取点的数量不足以看出图形的概略形状， 但配合表格和图形，我们仍可看出两个结果： (1) f (－2)＜f (－1)＜f (0)＜f (1)＜f (2)； (2) f (－2)＝－f (2)，f (－1)＝－f (1)。
结果(1)似乎表示：随着 x 值变大，函数值 f (x ) 会跟着变大的关系；结果(2)则说明函数值 f (x ) 与 f (－x )，两者具有 f (－x )＝－f (x ) 的关系。这 两个关系是函数 f (x )＝x 3
的性质吗？对应到图 形，表示着什么样的图形特征呢？
为了找寻上述问题的答案，不妨再添加一些点予以描绘观察，请大家先完成下面随堂练习的问题。
()
( 2 ,
3-2 多项式函数及其图形 151
性质一：递增性
性质二：对称性
透过上述随堂练习可知，再添加一些点，下面结果依然成立： (1) f (－2)＜f (－1.75)＜…＜f (0)＜…＜f (1.75)＜f (2)；
(2) f (－2)＝－f (2)，f (－1.75)＝－f (1.75)，…，f (－0.5)＝－f (0.5)。 因此，上文所述的关系仍成立。事实上，这两 个关系对函数 f (x )＝x 3
来说，是对所有的 x 值 都会成立的性质。那么，这两个函数性质会对 应到什么样的函数图形特征？以下接着说明。
随着 x 值变大，函数值 f (x ) 会跟着变大。当我 们将点 (x ，f (x )) 描在坐标平面上时，这些点会 由左下往右上分布，则称这些点所组成的函数 图形具有递增性。
函数值 f (－x )＝－f (x )，所以 f (－x )＋f (x )＝0。 由于这两点
(x , f (x )) 和 (－x , f (－x )) 都在函 数图形上，将两点连线后，会发现原点 (0，0) 是线段的中点，代表着这些点所组成的函数 图形具有对称性。事实上，对于实数 x ，满足
f (－x )＝－f (x ) 性质的函数图形，是以原点为对称中心的点对称图形。
)
))(( 1.25 ,( 1.5 ,f ( 1.75 ,f ( 2 ,
152第3章多项式函数
利用f (x)＝x3图形的递增性和对称性，就能将这些描出的点用平滑曲线(上图虚线) 由左下往右上连接起来。大家不妨拿起笔将虚线连接起来，一起完成函数f (x)＝x3的概略图形。
接下来，下面随堂练习，可以帮助了解y＝x3和y＝ax3图形的关系。
对于y＝ax3 的函数图形，可以得到下面的结论：
由前述知道，函数y＝ax3 (a≠0) 和y＝px (p≠0) 的图形都是以原点为对称中心。那么，三次函数y＝ax3＋px (ap≠0) 的图形，是否仍以原点为对称中心？让我们继续看下去。
3-2多项式函数及其图形153
三次函数f (x)＝ax3＋px的图形
对于f (x)＝ax3＋px (ap≠0) 的函数图形，依a，p的正负分成四种情形，各自挑选一例，用电脑软件，可画出下列图形：
观察这四个图形，会发现f (x)＝ax3＋px的图形与y＝ax3 不同，图形不是单纯的上升或下降，中间可能会出现凹凸的转折。而且
f (－x)＝a (－x)3＋p (－x)＝－(ax3＋px)＝－f (x)，
故f (x)＝ax3＋px的图形仍是以原点为对称中心的点对称图形。
154 第3章 多项式函数
可得结论如下：
那么，一般情形的三次函数 y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，也会是点对称图形吗？若是，与 y ＝ax 3＋px 的图形有什么关系呢？
三次函数的简化形式
早在 15，16 世纪时，数学家在研究三次方程式求解的问题，就发现了 ax 3＋
bx 2＋cx ＋d ＝0 经过适当的处理就能消去二次项，化简成 ax 3＋px ＋q ＝0，那么，如何消去二次项？先看下列例题，再继续讨论。
■
解 f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3＝a (x －h )3＋p (x －h )＋k ＝ax 3＋(－3ah ) x 2＋(3ah 2＋p ) x ＋(－ah 3－ph ＋k )，
可得2
3136393a ah ah p ah ph k ?????
??＝
，－＝－，＋＝，－－＋＝，因此， a ＝1，h ＝2，p ＝－3，k ＝5。
3-2 多项式函数及其图形 155
由例题 8 知，选定适当 h 值，f (x ) 化成 x －h 的多项式时能消去 (x －h )2项。 一般而言，
f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ＝a (x －h )3＋p (x －h )＋k
＝ax 3＋(－3ah ) x 2＋(3ah 2＋p ) x ＋(－ah 3－ph ＋k )，
由于－3ah ＝b ，故 h ＝－3b
a ，进一步可知23()ah p c k f h ???＋＝，＝，故 p ＝c －3ah 2，
k ＝f (h )。上述结果亦可直接以 x －h 为除式，用综合除法求出 p 和 k 。
对于三次函数的变形，结论如下：
三次函数 f (
x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图形
承上述，f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 可变形成 f (x )＝a (x －h )3＋p (x －h )＋k ，则 f 的函数图形就可由函数 y ＝ax 3＋px 的图形经由水平方向和铅直方向适当平移得到。
156 第3章 多项式函数
■
解 (1) 比较系数可知 a ＝1，取 h ＝－3b a ＝－3
3
＝1， f (x )＝x 3－3x 2＋2x ＋1＝(x －1)3＋p (x －1)＋k ，
故 k ＝f (1)＝1，比较常数项：1＝－1－p ＋1，得 p ＝－1， 故序组 ( h , a , p , k )＝( 1, 1,－1, 1)。 (2) 由(1)知，
y ＝(x －1)3－(x －1)＋1， 由于 y ＝x 3－x
向右平移1單位 ←——————————→ 向上平移1單位
f (x )＝(x －1)3－(x －1)＋1， 原本的对称中心 (0, 0) 平移 到 (1, 1)
，故 f (x ) 图形的对称 中心为 (1, 1)。
由上知，当三次函数 f (x ) 变形成 f (x )＝a (x －h )3＋p (x －h )＋k ，表示 f
(x ) 的图形可由函数 g (x )＝ax 3＋px 的图形平移得到。此时，g (x ) 图形的对称中心 (0, 0) 会平移到 f (x ) 图形的对称中心 (h , k )。因此，所有三次函数的图形都是有对称中心的点对称图形。
3
x－1)＋1