课本_多项式函数及其图形
高中数学课本目录
必修1第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质实习作业小结复习参考题第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用实习作业小结复习参考题必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质小结复习参考题第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式小结复习参考题第四章圆与方程4．1 圆的方程4．2 直线、圆的位置关系4．3 空间直角坐标系小结复习参考题必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2．3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3．1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3．2 古典概型3．3 几何概型阅读与思考概率与密码必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例小结复习参考题第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换小结复习参考题必修5第一章解三角形1．1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1．2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1．3 实习作业第二章数列2．1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列阅读与思考估计根号下2的值2．2 等差数列2．3 等差数列的前n项和2．4 等比数列2．5 等比数列前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3．1 不等关系与不等式3．2 一元二次不等式及其解法3．3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3．4 基本不等式选修1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题及其关系1．2 充分条件与必要条件1．3 简单的逻辑联结词1．4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用第三章导数及其应用3．1 变化率与导数3．2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3．3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3．4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分选修1－2第一章统计案例1．1 回归分析的基本思想及其初步应用1．2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎证明阅读与思考科学发现中的推理2．2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3．1 数系的扩充和复数的概念3．2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4．1 流程图4．2 结构图信息技术应用用Word2002绘制流程图选修3－4第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Ｓn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积思考题第二讲对称与群的故事一带饰和面饰思考题二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论。
第一讲-高等代数选讲之多项式理论
4、一元多项式环 所有系数在数域P中的一元多项式全体称为数域P 上的一元多项式环，记为 P x ，称P为 P x 的系数域。 5、一元多项式环的有关结论 多项式的加、减、乘运算对P x 封闭，且多项式的 加法、乘法均满足交换律与结合律，乘法对加法满足分 配率，乘法还满足消去律。 6、注意零多项式和零次多项式的区别。 零次多项式：不为零的常数 零多项式：常数零
练习：
当a, b, c取何值时，多项式 f x 与g x 相等？
2
其中f x x 5, g ( x) ax 2 bx 1 cx 2 x 2
P4 例1.2.2 1.2.3
例3设 f ( x)是非零实系数多项式， k 是一个 k f ( f ( x ) f ( x) ，则 f ( x) 为零次 正整数，且 k f ( x ) x 多项式或者 。
其中 c 为任意常数。 （10）多项式 f x 与cf x 有相同的因式与倍式； （11）两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大 而改变。 5、综合除法 设以 g x x a 除 f x an xn an1xn1 a1x a0 , 所得的商 q x bn1xn1 b1x b0 ，及余式 r x c0 , 则 比较 f x q x g x r x 两端同次幂的系数得 bn1 an , bn2 an1 abn1,, b0 a1 ab1, c0 a0 ab0
一元多项式的内容十分丰富，重点是整除与因式分 解的理论，最基本的结论是带余除法定理、最大公因式 存在定理、因式分解唯一性定理。在学习的过程中，如 能把握这两个重点和三大基本定理，就能够整体把握一 元多项式的理论。 对于多元多项式，则要理解 n 元多项式、对称多项 式等有关概念，掌握对称多项式表成初等对称多项式的 多项式的方法。
数学习作_多项式函数的图形与多项式不等式
2-4多项式函数的图形与多项式不等式一、多项式函数及其图形1.常数函数及一次函数的图形都是直线。
2.二次函数的图形都是拋物线。
3.高次（三次或三次以上）函数的图形都是连续曲线。
二、二次不等式1.设α＜β，则二次不等式，(1)（x－α）（x－β）＞0 的解为x＞β或x＜α。
(2)（x－α）（x－β）＜0 的解为α＜x＜β。
2.若二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的判别式D＝b2－4ac＜0，则：(1) a＞0 ⇔f（x）之值恒为正。
(2) a＜0 ⇔f（x）之值恒为负。
三、高次多项式不等式以不等式（x－1）（x－2）4（x－5）3（x－8）＞0 为例：（Step1）x＝﹨1，2，5，8（Step2）因为（x－2）4＞0，删除此因式，得不等式（x－1）（x－5）3（x－8）＞0；再者（x－5）3与（x－5）有相同正负，故不等式可进一步化简成（x－1）（x－5）（x－8）＞0（Step3）将数线区分成（－∞﹐1），（1﹐5），（5﹐8），（8﹐∞）讨论（x－1）（x－5）（x－8）的正负值，可求得解为1＜x＜5 或x＞8，且x＝﹨2四、简易分式不等式若P（x）、Q（x）为多项式，则分式不等式()()P xQ x≥0 的解与Q（x）＝﹨0且P（x）Q（x）≥0 的解相同。
例如：()()()211x xx+－－≥0 的解与（x＋1）（x－2）（x－1）≥0，（x－1）＝﹨0 的解相同，所以，解同为－1≤x＜1 或x≥2。
基础题1.解下列不等式：(1) x2＋5x－6＜0。
（4 分）(2) x2－2x－1≥0。
（4 分）解(1) x2＋5x－6＜0 ⇨（x－1）（x＋6）＜0 ⇨－6＜x＜1(2) x2－2x－1＝0 之两根为＝1故x2－2x－1≥0 ⇨（x－（1）（x－（1））≥0故x≤1或x≥12.试解下列不等式：(1) x2－6x＋9＞0。
（3 分）(2) 4x 2＋4x ＋1 ≤ 0。
（3 分）(3) －x 2＋2x －5＞0。
《高中数学必修一——多项式函数课件》
1
多项式函数相加
多项式函数相加是将相同的项合并求和，
多项式函数相减
2
保留不同的项。
多项式函数相减是将减数中的各项改变
符号，再与被减数相加。
3
多项式函数相乘
多项式函数相乘是根据乘法分配律，将 各项展开相乘，再将同类项合并。
一次函数、二次函数的特征及 图像
本节课件主要介绍一次函数、二次函数的特征和图像表示。包括基本概念、 特征、图像表示等相关内容。
应用实例
通过实际应用为多项式函数提供求解实例，并帮助 学生深入理解及应用多项式函数。
求解技巧
通过对某些特殊问题的求解，对学生学会和掌握多 项式函数的求解技巧具有良好的指导作用。
零点定理
一个 n 次多项式的零点个数不超过 n；一个 n 次非 零多项式至少有一个复数零点。
复数解
当我们无法通过有理数和整数的四则运算来求一个 代数式的零点时，我们希望能够引入一个新的“数”， 称为“虚数”或“复数”，使得每一个多项式都有根。
虚数
多项式函数的值域和单调性
本节课件主要介绍多项式函数的值域和单调性等相关内容。让学生了解函数并掌握如何分析函数的性质。
提公因子法
将待分解多项式中可提出的公因式提取出来。
配方法
多项式函数的乘式分配。
加减法
按照要求拆开因式，再根据公因式或公式进行加 减。
因式定理
将含有整系数和整数根的整式，向系数所组成的 区间进行分解的定理。
多项式函数的零点定理和复数解
本节课件主要介绍多项式函数的零点定理和复数解。以及如何使用虚数解求解多项式函数的零点的方法。
1
零点
零点即函数值为零的点，也就是函数与 x 轴的交点。
高代第一章
一个公因式。 最大公因式: 设 d（x）如果它同时满足 d（x）是 f（x） ，g（x）的因式，f，g，的公因式是 d 的因式，那它就是 f 与 g 的最大公因式。 最大公因式的求法:如果有等式 f（x）=q（x）g（x）+r（x）成立，那么 f，g 和 g，r 有相同的公因式。即 g，r 的最大公因 式同样是 f，g 的最大公因式。其中辗转相除法参考课本 p15. 最大公因式的表示：对于一元多项式环中两个多项式 f（x） ，g（x） ，在环中存在一个最大公 因式 d（x） ，即有环中多项式 u（x） ，v（x）使 d（x）=u（x）f（x）+v（x）g（x）.(3) （f（x） ，g（x） ）表示首项系数是 1 的最大公因式。 互素：P[x]中两个多项式 f（x） ，g（x）称为互素（也成为互质）的，如果（f（x） ，g（x） ） =1 互素的判定：两多项式互素的充要条件是，存在 p[x]中的多项式 u（x） ，v（x） ，使 u（x）f（x）+v（x）g（x）=1 互素应用一：如果 f，g 互素，且 f 整除 g（x）h（x） ，那么 f 整除 h。 互素应用二：如果 f1 整除 g，f2 整除 g，且 f1，f2 互素，那么 f1f2 整除 g。 不可约多项式：数域 P 上次数≥1 的多项式，p（x）称为 P 上的不可约多项式，如果它不 能 ． 表示成数域 P 上两个次数比 p（x）的次数低的多项式的乘积。 不可约多项式性质：如果 p（x）是一个不可约多项式，那么对于任意两个多项式 f（x） ，g （x） ，由 p（x）整除 f，g 的乘积一定推出 p 整除 f 或者 p 整除 g。 因式分解及唯一性定理:数域 P 上的每一个次数≥1 的多项式 f（x）都可以唯一地分解成数 域 P 上一些不可约多项式的乘积，所谓的唯一性是说，如果有两个分解式 f（x）=p1（x）p2（x）…ps（x）=q1（x）q2（x）…qt（x）, 那么必有 s=t，并且适当排列因式的次序后有 Pi（x）=ciqi（x）,i=1,2,…,s, 其中 ci（i=1,2…s）是一些非零常数。 标准分解式：在多项式 f（x）的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使 它们成为首项系数为 1 的不可约多项式，再把相同的不可约因式合并，于是 f（x）的分解式 成为 f（x）=cp1r1（x）p2r2（x）…psrs（x）, 其中 c 是 f（x）的首项系数，p1（x） ，p2（x）…ps（x）是不同的首项系数为 1 的不可约多项 式，而 r1,r2,…,rs 是正整数，这种分解式称为标准分解式。 重因式：不可约多项式 p（x）称为多项式 f（x）的 k 重因式，如果 pk（x）整除 f（x） ，而 k+1 p （x）不整除 f（x） 。 如果 k=0，那么 p（x）根本就不是 f（x）的因式；如果 k=1，那么 p（x）称为 f（x）的单因 式，如果 k＞1，那么 p（x）称为 f（x）的重因式。 微商：也称导数。 重因式性质：如果不可约多项式 p（x）是 f（x）的 k 重因式（k≥1） ，那么它是微商 f ’（x） 的 k-1 重因式。 性质推论 1：如果不可约多项式 p（x）是 f（x）的 k 重因式（k≥1） ，那么 p（x）是 f（x） ， （k） (k-1) f ’（x）,…,f （x）的因式，但不是 f （x）的因式。 性质推论 2：不可约多项式 p（x）是 f（x）的重因式的充分必要条件为 p（x）是 f（x）与 f ’ （x）的公因式。 性质推论 3：多项式 f（x）没有重因式的充分必要条件是 f（x）与 f ’（x）互素。
多项式函数的最值与应用
多项式函数的最值与应用多项式函数是基础数学中一种重要的函数类型。
在实际应用中，多项式函数的最值问题常常是我们需要解决的。
本文将介绍多项式函数的最值计算方法以及其在实际应用中的几个典型例子。
一、多项式函数的最值计算方法多项式函数的最值指的是函数在定义域范围内的最大值和最小值。
为了求解多项式函数的最值，我们可以采用以下方法：1. 导数法通过对多项式函数求导，然后解方程求导数为零的点，可以得到函数的极值点。
进一步比较这些极值点以及函数的端点的函数值，即可确定最大值和最小值。
2. 完全平方式对于二次多项式函数，可以通过将其转化为完全平方式，即将函数转化为完全平方的形式，然后根据完全平方公式求解。
这种方法适用于求解二次多项式函数的最值。
3. 等价变形法对于特定形式的多项式函数，我们可以通过进行等价变形，将其转化为更易求解的形式。
例如，可以通过换元、配方等方法将函数转化为最简形式，然后进行求解。
二、多项式函数的最值应用举例1. 面积最大问题在建筑设计中，常常需要考虑如何通过给定的材料最大限度地利用空间。
假设给定一定长度的钢材，需要制作出一个封闭的矩形门框。
我们可以建立一个多项式函数来描述矩形的面积，并通过求解这个函数的最值来确定最大的门框面积。
2. 商品成本最小问题在市场经济中，企业追求利润最大化的同时，也要考虑成本的控制。
假设某公司生产某种商品的总成本可以表示为多项式函数，我们可以通过求解该函数的最小值，来确定最佳生产规模和成本控制策略。
3. 投资收益最大问题在投资决策中，如何最大化收益是一个重要的问题。
假设某个投资项目的收益可以表示为多项式函数，我们可以通过求解该函数的最大值，来确定最合理的投资方案和预期收益。
三、多项式函数最值计算的注意事项在求解多项式函数的最值过程中，需要注意以下几点：1. 注意定义域在计算过程中，需要明确多项式函数的定义域范围，确保所求解的极值在定义域内。
2. 考虑特殊情况某些情况下，求解多项式函数的最值可能存在特殊情况。
必修3数学§74
2
f ( x) ax bx cx d
3 2
f ( x) ax 4 bx3 cx 2 dx f
我省的大压轴题，每年都是以三次函数来说事 2013年的全国Ⅰ卷的小压轴题，是四次函数
一、泰勒定理简介
复杂函数 泰勒定理
多项式函数
泰勒中值定理
后算:由内到外逐层算
v2 22 5 3.5 113.5
v3 113.5 5 2.6 564.9
v4 564.9 5 1.7 2826.2
v5 2826.2 5 0.8 14130.2
所以，当x = 5时，多项式的值等于14130.2
秦九韶算法的人工系数表法
（2）程序框图：
开始
输入n,an,x
V=an
i=n-1 i=i-1
v=vx+ai
i>=0? N 输出v
输入ai
Y
结束
（3）程序：
INPUT “n=”；n INPUT “an=“;a INPUT “x=“;x v=a i=n-1
WHILE i>=0
PRINT “i=“;i INPUT “ai=“;a
引例.求f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值
直接法
f(5)= 5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ = 3125＋625＋125＋25＋5＋１ = 3906 累乘法 f(5)= 5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ =3125 □ ＋625 □ ＋125 □＋25 □＋5＋１ = 3906
引例.求f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值 秦九韶算法 f(5)= 5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
简单多项式函数及其图形
x ··· －1 0 1 2 ··· a f (x) ··· 2 0 2 8 ··· 2a2 g(x) 2x2 1
x ··· －1 0 1 2 ··· a g(x) ··· 2－1 0－1 2－1 8－1 ··· 2a2 1 所以，g( x) 2x2 1的图形可由 f ( x) 2x2向下平移 1
在函数的概念中， (1) x 称为此函数的自变量，y 称为应变数。自变数 x
所有可能值的全体称为这个函数的定义域。 (2) 给定 x = a，代入函数后得到 f (a) 称为函数在 x = a
的函数值。 所有函数值的全体称为这个函数的值域。
函数 p.50 ~ p.52
对于函数 y = f (x) 而言，若将 x 当作横坐标，y 当 作纵坐标，将所有的点 ( x , f (x)) 描绘在坐标平面 上，就得到函数 y = f (x) 的图形，如下图。
a0
a0
二次函数 p.58 ~ p.69
二次函数 f ( x) ax2的图形： 二次函数 f ( x) ax2，a 0 的图形为拋物线，图形的 顶点坐标为 ( 0 , 0 )，且以 y 轴为对称轴。 (3) 若 a 愈大，图形开口愈小。
5 p.60
试利用 f ( x) 2x2的图形画出下列二次函数图形： (1) g( x) 2x2 1。
二次函数 f ( x) ax2 bx c (a 0) 的图形有以下特性：
(1)
顶点在
b 2a
, 4ac b2 4a
，对称轴为
x
b 2a
。
(2) 当 a 0 时，图形开口向上。当 a 0 时，图形开口向
下。
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3-2 多项式函数及其图形 137生活周遭事物的关系，经常是函数关系。
例如：人们在 等速运行电扶梯上所移动的距离 (y 米) 与站立时间 (x 秒)， 就是函数 y ＝kx ，k 为电扶梯每秒移动的速度。
本节中， 将介绍数学上基本的函数－多项式函数及其图形的 重要性质。
1 函 数我们会探究生活中的许多事物所 隐藏的对应关系，便于进行判断和预 测。
例如，据报载，台北捷运最长的电 扶梯在忠孝复兴站，已知运行速度为 每秒 0.5 米，每分钟平均运送约 90 位旅客。
为疏运旅客，拟加快运行速 度，当速度提升到每秒 0.65 米，北 捷预估调整后运输量可增加 30％，试问：这个预估是否合理？设时间 x 秒可运送旅客 y 人，依题意可知，电扶梯宽度固定，只需考虑电扶梯每米可站立的人数为900.560⨯＝3 (人)，故加速后可运送人数y ＝3×0.65×x ＝1.95x ，因此，每分钟可运送旅客 1.95×60＝117，则运量增加1179090-×100％＝30％，故北捷的预估是合理的。
由上可知，时间 x 秒与人数 y 的数学式可表为 y ＝1.95x 。
当 x 值给定时，恰有一个 y 值与之对应，我们称这种对应关系为 y 是 x 的函数。
-2 多项式函数及其图形此电扶梯长度有39.44米，高度有 19.72 米，约六层楼高。
137138 第3章 多项式函数上述例子时间与人数的函数，可记作 f (x )＝1.95x ，当 x ＝20 时，对应的函数值为 f (20)＝1.95×20＝39 (人)。
进一步，在坐标平面上，满足 y ＝f (x ) 之所有点 (x , y ) 聚集而成的图形，就称为函数 f (x ) 的图形。
函数图形让我们对函数的变化趋势有具象的掌握，有助于我们了解该函数的对应关系。
例如：观察图5可知，不论变量 x 如何变化，函数值 f (x ) 恒为 1，正是国中时所学过的常数函数。
函数图形也需满足函数的对应关系：每一个 x 只对应到一个 f (x ) 的值。
例如，圆的图形就不是函数图形，如图 6 所示。
＝1x图 5 图 63-2多项式函数及其图形139第2 章所讨论的直线方程式ax＋by＋c＝0 (ab≠0)，可将y放在等号左边，化简成y＝mx＋k (m≠0)，正是国中所学的一次函数，可表为函数f (x)＝mx＋k。
不过，并非任意方程式均可转换成函数关系，例如，圆方程式x2＋y2＝1，化简得y2＝1－x2。
当x＝0 代入，得y＝±1，故两变量间没有函数关系。
已知x的n次多项式f (x)，当x＝x0 时，多项式的值f (x0 ) 也随之唯一确定，这种由多项式导出的函数关系，就称f为x的多项式函数(或n次多项式函数或n次函数)。
其中，最基本的例子正是国中时所学的一次函数和二次函数。
2 一次函数及其图形一次函数一次函数的定义如下：一次函数设a≠0，形如f (x)＝ax＋b的函数称为x的一次函数。
国中时已知道，一次函数f (x)＝ax＋b ( a≠0 )的图形正是直角坐标平面上，所有满足直线方程式y＝ax＋b的点所构成的图形，即斜率为a，且y截距为b的直线。
随堂练习在坐标平面上描绘一次函数f (x)＝－2x＋4的图形。
y截距b，即直线与y轴交于(0, b)。
Oyx140 第3章 多项式函数下面来看一次函数的应用。
■解 (1) 斜率为 m ＝161112--＝53，故 y －1＝53 (x －2)，得 y ＝53x －73，因此，f (x )＝53x －73。
(2) 设 C 点坐标为 (x ，f (x ))，如右图，依题意知AC ：CB ＝1：2，由数在线分点公式，x ＝1112212⨯+⨯+＝5f (5)＝53×5－73＝6，故 C 点坐标为 (5, 6)。
其实，不求出一次函数 f (x )，只要知道 f (2)，f (11)，就能计算 f (5) 的值。
由斜率的定义可知：(5)(2)52f f --＝(11)(5)115f f --，得 f (5)＝1(11)2(2)12f f ⨯+⨯+＝116213⨯+⨯＝6，因此，利用分点公式就能求出。
11))3-2多项式函数及其图形141■解f (x)，g (x)，h (x) 的图形为斜率2，且分别交y轴于(0, 0)，(0, 2)，(0, －4)的三平行直线，图形如右。
由图形知，f (x) 的图形沿y轴方向往上平移2 单位，得到g (x) 的图形；f (x) 的图形沿y轴方向往下平移4 单位，得到h (x) 的图形。
进一步观察函数，g (x)＝f (x)＋2，h (x)＝f (x)－4，即h (x) ＝f (x)－4向下平移←——————4單位f (x)向上平移——————→2單位g (x) ＝f (x)＋2。
事实上，一次函数f (x)＝ax＋b的图形，就是将直线y＝ax沿y轴方向平移|b| 单位而得(b＞0，往上移；b＜0，往下移)。
不过，这三个函数的关系还有另一种看法，如下图所示，观察x轴的交点可知：g (x)向左平移←——————1單位f (x)向右平移——————→2單位h (x)且观察函数会发现：g (x)＝2x＋2＝2 (x＋1)＝f (x＋1)，h (x)＝2x－4＝2 (x－2)＝f (x－2)。
2142第3章多项式函数事实上，一次函数图形y＝f (x) 沿x轴方向平移|h| 单位，所得的函数图形为y＝f (x－h)(h＞0，往右移；h＜0，往左移)。
综上讨论，一次函数f (x)＝ax＋b (a≠0) 的图形经过水平方向或铅直方向的适当平移后，总会与y＝ax (a≠0) 的图形叠合。
3 二次函数及其图形二次函数定义如下：国中时曾介绍y＝a (x－h)2＋k (a≠0) 的二次函数图形，以下从f (x)＝ax2 的图形谈起。
3-2多项式函数及其图形143一般而言，对于f (x)＝ax2 的图形特征，有以下几点：由上知，二次函数f (x)＝ax2 的图形是对称于y轴的抛物线，这样的对称特性在函数上有什么意义呢？如下图所示，当函数图形对称y轴时，点(x, f (x)) 与(－x, f (－x )) 都在图形上，且在相同的水平线上，即函数f (x)满足f (－x )＝f (x) 的特性。
(－x ,f(2(－x ,f(a＞0a＜0144 第3章 多项式函数h (x )＝2 (x －3)2－2＝g (x )－2。
事实上，满足 f (－x )＝f (x ) 的函数图形，就是以 y 轴为对称轴的线对称图形。
接下来，复习形如 y ＝a ( x －h )2＋k (称为标准式) 的图形性质。
■解 如右图， f (x )，g (x )，h (x ) 的图形为三个开口 向上且大小相同的抛物线。
而 g (x )，h (x ) 图形的对称轴为 x －3＝0顶点分别为 (3, 0) 与 (3, －2)。
由顶点可知，f (x ) 的图形沿 x 轴方向 向右平移 3 个单位，得 g (x ) 的图形；g (x ) 的图形沿 y 轴方向向下平移 2 个单位得 h (x ) 的图形。
由例题 3 可知，三个函数图形具有以下关系： ↓下移2个单位事实上，二次函数 g (x )＝ax 2 的图形经由适当的平移 (观察顶点即知)，会与 f (x )＝a ( x －h )2＋k 的图形完全叠合，即 y ＝ax 2 y ＝a (x －h )2＋k ( 开口相同 )g (x )＝2 (x －3)2＝f (x －3) 顶点 (h , k )， 对称轴为x －h ＝0。
22f (－3)x －3)－2右移3單位———————→平移———————→3-2多项式函数及其图形145同时，由一次与二次函数图形的讨论，可知函数图形的平移和函数表示的关系。
事实上，这结果对任意函数f (x) 均成立：h＞0 h＜0y＝f (x－h) 的图形y＝f (x) 的图形沿x轴方向向右平移|h| 单位y＝f (x) 的图形沿x轴方向向左平移|h| 单位y＝f (x)＋h的图形y＝f (x) 的图形沿y轴方向向上平移|h| 单位y＝f (x) 的图形沿y轴方向向下平移|h| 单位随堂练习在空格中填入正确的函数：f (x)＝3x2的图形向左平移1單位——————————→g (x)＝的图形。
f (x)＝3x2的图形向上平移3單位——————————→h (x)＝的图形。
那么，二次函数若为f (x)＝ax2＋bx＋c (称为一般式) 时，如何绘出图形呢？由上述讨论可知：只要将二次函数的一般式f (x)＝ax2＋bx＋c化成标准式f (x)＝a (x－h)2＋k即可，方法类似国中学过的方程式配方法，下面以函数f (x)＝2x2＋4x＋5 为例：f (x)＝2x2＋4x＋5＝2 (x2＋2．1．x＋12－12)＋5＝2 (x2＋2．1．x＋12 )＋5－2×12＝2 (x＋1)2＋3，因此，f (x)＝2x2＋4x＋5＝2 (x＋1)2＋3。
仿照上法，f (x)＝ax2＋bx＋c化成标准式的过程如下：f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)＝a (x2＋bax)＋c＝a〔x2＋bax＋(2ba)2〕－a．(2ba)2＋c＝a ( x－2b a-)2＋2 44ac ba-＝a (x－h)2＋k，其中h＝2b a-，k＝244ac ba-。
想一想：x2＋2kx＋＝( x＋)2。
146 第3章 多项式函数学会如何将二次函数的一般式配方成标准式，就能描绘任意二次函数的图形 并掌握其图形性质。
■解 利用配方法， 将函数化成标准式：f (x )＝－3x 2＋6x ＋1＝－3 (x 2－2x ＋12－12)＋1 ＝－3 (x －1)2＋3＋1 ＝－3 (x －1)2＋4， 因此，f (x )＝－3x 2＋6x ＋1 ＝－3 (x －1)2＋4， f (x ) 的图形为 y ＝－3x 2的图形向右平移1单位，向上平移 4 单位而得，故顶点坐标 (1, 4)，对称轴 x －1＝0。
因此，化成标准式 f (x )＝a (x －h )2＋k 利于我们掌握二次函数图形的开口方向、顶点坐标和对称轴。
综合上面讨论，对于二次函数的图形特征有以下结论：知道二次函数图形的特征后，可用来解决二次函数最大值、最小值的问题。
■解 由于 f (x ) ＝2x 2－4x ＋1＝2 (x －1)2＋(－1)， 故图形是开口向上的抛物线， 顶点 V (1, －1) 为图形的最低点， 故 x ＝1 时，f (x ) 有最小值－1。
由图形知没有最高点，故 f (x ) 没有最大值。
一般而言，当自变数 x 值没有限制时，二次函数的最大值或最小值会发生在顶点的函数值。