解三角形之：正弦定理和余弦定理
解三角形正弦定理余弦定理三角形面积公式
解三角形正弦定理余弦定理三角形面积公式三角形是平面几何中的一个基本图形，研究三角形的性质与定理在数学中具有重要地位。
本文将介绍三角形中的三个重要定理，正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式。
一、正弦定理：正弦定理是研究三角形中角度和边长之间关系的重要定理。
给定一个三角形，设其三个内角分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c。
那么，正弦定理可以表述为：sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c其中，sin(A)表示A角的正弦值，a表示边a的长度。
正弦定理可以从三角形的面积公式推导得出。
二、余弦定理：余弦定理是研究三角形中角度和边长之间关系的另一个重要定理。
给定一个三角形，设其三个内角分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c。
那么，余弦定理可以表述为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)其中，cos(C)表示C角的余弦值，c表示边c的长度。
余弦定理可以用来求解三角形的边长或角度，进而计算三角形的面积。
三、三角形的面积公式：给定一个三角形，设其底边长度为b，对应的高为h。
那么，三角形的面积可以通过以下公式来计算：S=1/2*b*h其中，S表示三角形的面积。
在计算三角形的面积时，还可以使用海伦公式。
海伦公式可以通过三角形的三边长来计算三角形的面积，其公式如下：S=√(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))其中，p表示三角形的半周长，计算公式为：p=(a+b+c)/2在使用海伦公式计算三角形面积时，需确保三条边长满足三角不等式，即任意两边之和大于第三边的长度。
总结：通过正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，可以解决三角形相关的问题。
正弦定理和余弦定理给出了通过角度和边长计算三角形的方法，而三角形的面积公式提供了计算三角形面积的途径。
这些定理在三角形等应用中具有重要的价值，对于解题和扩展应用都非常有帮助。
三角函数与解三角形：正弦定理和余弦定理
正弦定理和余弦定理【考点梳理】1．正弦定理和余弦定理(1)S＝12a·h a(h a表示边a上的高)；(2)S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．【考点突破】考点一、利用正、余弦定理解三角形【例1】在△ABC中，∠BAC＝3π4，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．[解析] 设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos∠BAC＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a＝310.又由正弦定理得sin B＝b sin∠BACa＝3310＝1010，由题设知0＜B＜π4，所以cos B＝1－sin 2B＝1－110＝31010.在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，故由正弦定理得AD＝AB·sin Bsin(π－2B)＝6sin B2sin B cos B＝3cos B＝10.【类题通法】1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的．2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．【对点训练】1．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(b－c)(sin B ＋sin C)＝(a－3c)sin A，则角B的大小为()A．30°B．45°C．60°D．120°[答案]A[解析] 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C 及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A 得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝3ac .又∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴cos B ＝32，∴B ＝30°.2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.[答案] 2113[解析] 在△ABC 中，∵cos A ＝45，cos C ＝513，∴sin A ＝35，sin C ＝1213，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A ＝1×636535＝2113.考点二、判断三角形的形状【例2】(1)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，满足a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形(2)设角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则“A ＋B ＜C ”是“△ABC 是钝角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] (1)D (2)A[解析] (1)因为a cos A ＝b cos B ，由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D.(2)由A ＋B ＋C ＝π，A ＋B ＜C ，可得C ＞π2，故三角形ABC 为钝角三角形，反之不成立．故选A. 【类题通法】1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能． 【对点训练】1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形[答案] B[解析] 法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π＜A －B ＜π，所以A ＝B .法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b .2．在△ABC 中，c ＝3，b ＝1，∠B ＝π6，则△ABC 的形状为( )A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形[答案] D[解析]根据余弦定理有1＝a2＋3－3a，解得a＝1或a＝2，当a＝1时，三角形ABC为等腰三角形，当a＝2时，三角形ABC为直角三角形，故选D．考点三、与三角形面积有关的问题【例3】已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin A sinC.(1)若a＝b，求cos B；(2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积．[解析] (1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.由余弦定理可得cos B＝a2＋c2－b22ac＝14.(2)由(1)知b2＝2ac.因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，故a2＋c2＝2ac，进而可得c＝a＝ 2.所以△ABC的面积为12×2×2＝1.【类题通法】三角形面积公式的应用方法：(1)对于面积公式S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．【对点训练】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(a cos B＋b cos A)＝c.(1)求C；(2)若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长．[解析] (1)由已知及正弦定理得2cos C(sin A cos B＋sin B cos A)＝sin C，即2cos C sin(A＋B)＝sin C，故2sin C cos C＝sin C.可得cos C＝12，所以C＝π3.(2)由已知得12ab sin C＝332.又C＝π3，所以ab＝6.由已知及余弦定理得a2＋b2－2ab cos C＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋7.。
(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形正余弦定理及三角形面积公式．教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.知识点清单一. 正弦定理：1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即a b c2R( 其中R 是三角形外接圆的半径）sin A sinB sinC2. 变形：1)a b c a b csin sin sinC sin sin sinC 2）化边为角：a:b:c sin A:sin B:sinC；a sin A;b sin B a sin Ab sinBc sinC c sin C3）化边为角：a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2RsinC4）化角为边：sin A a;sin B b ; sin A asin B b sinC c sinC c5）化角为边：sin A a sinB b,sinC c2R2R2R3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ，解法：由A+B+C=18o0 ，求角A,由正弦定理 a sinA; b sinB; b sin B c sin C a sin A; 求出 b 与cc sinC ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理 a sin A求出角B,由A+B+C=18o0 求出角C，再使用正 b sin B 弦定理 a sin A求出c边c sinC4. △ABC中，已知锐角A，边b，则① a bsin A 时，B 无解；② a bsin A 或 a b 时， B 有一个解；③ bsinA a b 时， B 有两个解。
如：①已知 A 60 ,a 2,b 2 3,求 B （有一个解 ）②已知 A 60 ,b 2,a 2 3,求 B （有两个解 ） 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
三角形中的正弦定理与余弦定理
三角形中的正弦定理与余弦定理正文：三角形中的正弦定理与余弦定理三角形是几何学中最基本的图形之一，它包含了很多重要的定理和公式。
在三角形的研究中，正弦定理和余弦定理是两个非常重要且常用的公式。
它们可以帮助我们计算三角形的各种属性，如边长、角度等。
本文将详细介绍这两个定理的含义、推导过程，并给出实际应用的一些例子。
一、正弦定理正弦定理是指在一个三角形中，三条边与三个对应的正弦值之间存在一定的关系。
设三角形的三条边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则正弦定理可以表达为：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，sinA、sinB、sinC分别为三个角的正弦值。
这个定理实际上是在说明了三角形的三个边的长度与对应的角度之间存在一定的比例关系。
如果我们已知了三角形的一个角度和两个对应的边长，就可以利用正弦定理来计算第三个边的长度。
例如，已知三角形ABC中，角A的度数为30°，边AB的长度为3，边AC的长度为4，我们可以利用正弦定理求解边BC的长度。
根据正弦定理，我们有：BC/sinA = AC/sinC代入已知条件，得到：BC/sin30° = 4/sinC进一步计算可得：BC = 4*sin30°/sinC ≈ 4*0.5/sinC = 2/sinC通过这个简单的计算过程，我们可以求解出BC的长度。
正弦定理在实际应用中非常有用，可以帮助我们解决各种与三角形边长相关的问题。
二、余弦定理余弦定理是指在一个三角形中，三条边与一个对应的角度之间存在一定的关系。
设三角形的三条边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则余弦定理可以表示为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC这个定理实际上是在说明了三角形的三个边的长度与对应的角度之间存在一定的关系。
利用余弦定理，我们可以计算三角形的一个边长，当已知该边的两个对应角度和另一边的长度时。
例如，已知三角形ABC中，边AB的长度为3，边AC的长度为4，角C的度数为60°，我们可以利用余弦定理来计算边BC的长度。
三角形的角度求解
三角形的角度求解三角形是几何学中的基本形状之一，由三条边和三个角组成。
在解决三角形相关问题时，经常需要求解三角形的角度。
本文将介绍三种常见的方法来求解三角形的角度：正弦定理、余弦定理和正切定理。
1. 正弦定理（Sine Rule）正弦定理是一种常用的三角形角度求解方法，适用于任意三角形，其表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c 分别为三角形的边长，A、B、C 分别为与相应边相对的角度。
2. 余弦定理（Cosine Rule）余弦定理也是常见的三角形角度求解方法，可以用于不等边三角形，其表达式为：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC其中，c 为三角形的斜边，a、b 为与此斜边相关的两条边，C 为斜边相对的角度。
3. 正切定理（Tangent Rule）正切定理适用于直角三角形，其表达式为：tanA = a/b, tanB = b/a其中，a、b 分别为直角三角形的两条边，A、B 分别为与相应边相对的角度。
这些定理可以帮助我们在已知三角形边长或角度时求解未知角度。
下面通过具体例子演示这些定理的使用方法。
例1：已知三角形的两条边长 a = 5cm，b = 7cm，以及它们夹角的正弦值 sinC = 0.8，求解三角形的角度。
解：根据正弦定理，我们可以得到：a/sinA = b/sinB = c/sinC5/sinA = 7/sinB = c/0.8根据已知信息可得：sinA = 5/7sinB，c = 0.8c由此可得：sinA = 5/7(0.8)通过反正弦函数，我们可以求得角度 A 的值。
例2：已知三角形的两条边长 a = 3cm，b = 4cm，以及夹角 C = 60°，求解第三边 c 和角度 A、B。
解：根据余弦定理，我们可以得到：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosCc^2 = 3^2 + 4^2 - 2(3)(4)cos60°根据已知信息可得：c^2 = 9 + 16 - 24cos60°通过开方运算，我们可以求得第三边 c 的长度。
初中数学知识归纳三角形的正弦定理与余弦定理
初中数学知识归纳三角形的正弦定理与余弦定理三角形的正弦定理与余弦定理是初中数学中重要且常用的知识点。
它们是解决三角形相关问题的基本工具，能够帮助我们计算三角形的各个边长和角度。
本文将对三角形的正弦定理与余弦定理进行归纳和解释，以帮助同学们更好地理解和应用这两个定理。
1. 三角形的正弦定理三角形的正弦定理是指在任意三角形ABC中，三边的长度a、b、c 与它们对应的角A、B、C之间有一个重要的关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
其中，a、b、c分别表示三边的长度，A、B、C表示对应的角的度数或弧度。
简单来说，正弦定理表明三角形的每条边的长度与其对应的角的正弦值成比例。
这个关系可以通过以下示例来理解：【示例1】已知一个三角形的两边长度分别为5cm和8cm，夹角为60°，求第三边的长度。
解：根据正弦定理，设第三边长度为c，则有5/sin60° = c/sin(180°-60°-60°)，化简得c = 5*sin120° / sin60° ≈ 8.66cm。
【示例2】已知一个三角形的两边长度分别为7cm和9cm，夹角为45°，求第三边的长度。
解：根据正弦定理，设第三边长度为c，则有9/sin45° = c/sin(180°-45°-45°)，化简得c = 9*sin135° / sin45° ≈ 14.14cm。
从这两个示例可以看出，正弦定理可以帮助我们在已知两边和夹角的情况下求解三角形中的第三边长度。
2. 三角形的余弦定理三角形的余弦定理是指在任意三角形ABC中，三边的长度a、b、c 与它们对应的角A、B、C之间有一个重要的关系：c^2 = a^2 + b^2 -2ab*cosC。
其中，a、b、c分别表示三边的长度，A、B、C表示对应的角的度数或弧度。
三角形的正弦定理和余弦定理
三角形的正弦定理和余弦定理三角形是几何学中最基本的图形之一，研究三角形的性质和定理对于解决各种实际问题非常重要。
本文将重点介绍三角形的正弦定理和余弦定理，它们是解决三角形相关问题的重要工具。
一、正弦定理正弦定理是指在任意三角形ABC中，三条边的长度与其对应的角度之间存在一定的关系。
具体表达式如下：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中a、b、c分别表示三角形的三条边的长度，A、B、C分别表示三角形的三个内角。
该定理说明了三角形的边长与角度之间的关系。
正弦定理的应用非常广泛。
例如，在实际测量中，我们可以利用正弦定理求解无法直接测量的距离或高度。
在几何推导中，正弦定理也是解决三角形相关问题的重要工具。
二、余弦定理余弦定理是指在任意三角形ABC中，三条边的长度与其对应的角度之间存在一定的关系。
具体表达式如下：a² = b² + c² - 2bc*cosAb² = a² + c² - 2ac*cosBc² = a² + b² - 2ab*cosC其中a、b、c分别表示三角形的三条边的长度，A、B、C分别表示三角形的三个内角，cosA、cosB、cosC分别表示三角形的三个内角的余弦值。
该定理说明了三角形的边长与角度之间的关系。
余弦定理的应用也非常广泛。
例如，在实际测量中，我们可以利用余弦定理求解无法直接测量的边长或角度。
在物理学、工程学等领域，余弦定理也被广泛应用于计算力学、力的合成等问题。
在实际应用中，正弦定理和余弦定理常常结合使用。
通过这两个定理，我们可以解决涉及三角形边长、角度等多个未知量的问题，并得到准确的解答。
总结：三角形的正弦定理和余弦定理是解决三角形相关问题的重要工具。
正弦定理描述了三角形的边长与角度之间的关系，而余弦定理则描述了三角形的边长与角度之间的关系。
通过运用这两个定理，我们可以解决实际问题中的多种三角形计算和推导。
(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.正余弦定理及三角形面积公式．教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.知识点清单一.正弦定理：1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 R Cc B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin CA c a = 3）化边为角：C R cB R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===4）化角为边：;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin ca C A = 5）化角为边： Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ，解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin CB c b = ;sin sin CA c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理BA b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理CA c a sin sin =求出c 边4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解；③b a A b <<sin 时，B 有两个解。
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三角之：正弦定理，余弦定理 2011-7-23
一．基础知识 （1）正弦定理：
C
c B
b A
a sin sin sin =
=
(2)余弦定理： cos 2222ab c b a -+= A
B ac c a b cos 2222-+=
C ab b a c cos 2222-+= 注意：正弦定理和余弦定理都是“知三求一”,但应注意区别：正弦定理是“知两角一边可以求一边”或“知两边一角可以求一角”； 余弦定理是“知三边可以求一角”或“知两边一角可以求一边”。
正弦定理推论:（1）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC (2)
C R
c B R
b A R
a sin 2,
sin 2,
sin 2===
(3) a :b :c=sinA:sinB:sinC
(4)C B A c b a C B A sin sin sin >>⇔>>⇔>> 余弦定理推论：ab
c
b a C ac
b
c a B bc
a
c b A 2cos ,2cos ,2cos 2
222
222
2
2
-+=
-+=
-+=
（2）三角形面积公式：,sin 2
1C ab S ABC =∆,sin 2
1A bc S ABC =∆B ca S ABC sin 2
1=
∆
二.基础题型
题型一：解三角形（在各种情况下能熟练解三角形,只需说明做法即可） 例1: 解此三角形中，o
o C B a ABC 75,60,8===∆（已知两角一边）
例2：解此三角形
中，o
o C A c 75,45,3ABC ===∆（已知两角一边）
例3：解此三角形
中，o
B c a AB
C 150,3,1==
=∆（已知一角两边）
例4：解此三角形
中，0
45,1,2===
∆B c b ABC （已知一角两边）
例5：解此三角形
中，o
B b a AB
C 45,2,3===
∆（已知一角两边）
例6：解此三角形中，,30,2,34o C c b ABC ===∆（已知一角两边）
例7：ABC ∆中，若8:7:5::=c b a ，解此三角形
小结：（1）三角形中必须已知三个条件时（其中必须有边和角），才可解三角形。
（2） 三角形的已知条件是：两边及一角时先由余弦定理求第三边，然后由余弦定
理推论求另外两个角。
（重点）
（3） 已知条件是：SSS,SAS,ASA,AAS,时，三角形只有一解；已知条件是：SSA 时，
三角形的解可能是一解，两解，无解。
判断方法：先求第三边，看结果有几个正值；几个正值对应几个解。
题型二：判断三角形的形状（正，余弦定理变形公式的应用） 例1：判断三角形的形状。
中，,9,6,7AB C ===∆c b a （锐角三角形还是钝角
三角形）
例2：判断三角形的形状。
中，,cos cos AB C B b A a =∆
例3：，判断三角形的形状。
中，
SinC SinA CosB 2A B C =∆
例4：判断三角形的形状。
中，,tan tan 2
2
A b
B a AB
C =∆
题型三：根据条件，求指定的角或边。
例1：.,4,222b CosASinC SinB b c a ABC 求：中，==-∆
例2：。
求角中，B ,2c
a b CosC
CosB ABC +-=
∆
例3：()。
求：角中，B ,2AB C bCosC CosB c a =-∆
例4：ABC ∆中，已知222c bc b a ++= ，求：角A 。
（已知条件为：三边的二次关系，考虑哪一个定理）
小结：
（1） 利用正弦定理，余弦定理的推论进行边，角的相互转化，将等式中的量统一。
（统一为边或角）
（2） 注意：利用三角形内角和定理进行角的转化。
如：C=-0
180
(A+B)。
所以，C B A C B A cos )cos(,sin )sin(-=+=+
（3） 注意：余弦定理的推论的逆用可以求角。
如：等式中全是边也可以求角。
题型四：面积公式的应用
1.三角形ABC 中，====∆a S b A ABC ,3,1,600
2.三角形ABC 中，=-+=
∆C c
b a S ABC ,4
2
2
2。