概率论与数理统计期末考试范围 (1)
概率论与数理统计》期末考试试题及解答
概率论与数理统计》期末考试试题及解答1.设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)+P(B)=0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为0.3.解：由题意可得：P(AB+AB)=0.3，即0.3=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5-2P(AB)，所以P(AB)=0.1，P(A∪B)=P(AB)=1-P(AB)=0.9.2.设随机变量X服从泊松分布，且P(X≤1)=4P(X=2)，则P(X=3)=1/e6.解答：由P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=e^(-λ)+λe^(-λ)=5λe^(-λ/2)得e^(-λ/2)=0.4，即λ=ln2，所以P(X=2)=e^(-λ)λ^2/2!=1/6，又因为P(X≤1)=4P(X=2)，所以P(X=0)+P(X=1)=4P(X=2)，即e^(-λ)+λe^(-λ)=4λe^(-λ)，解得λ=ln2，故P(X=3)=e^(-λ)λ^3/3!=1/e6.3.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y=X在区间(0,4)内的概率密度为f_Y(y)=1/2，0<y<4；其它为0.解答：设Y的分布函数为F_Y(y)，X的分布函数为F_X(x)，密度为f_X(x)，则F_Y(y)=P(Y≤y)=P(X≤y)=F_X(y)-F_X(0)。
因为X~U(0,2)，所以F_X(0)=0，F_X(y)=y/2，故F_Y(y)=y/2，所以f_Y(y)=F_Y'(y)=1/2，0<y<4；其它为0.4.设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，P(X>1)=e^(-λ)，则λ=2，P{min(X,Y)≤1}=1-e^(-λ)。
解答：因为P(X>1)=1-P(X≤1)=e^(-λ)，所以λ=ln2.因为X,Y相互独立且均服从参数为λ的指数分布，所以P{min(X,Y)≤1}=1-P{min(X,Y)>1}=1-P(X>1)P(Y>1)=1-e^(-λ)。
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设A、B为两个事件，且P(A) = 0.5，P(B) = 0.6，则P(A∪B)等于（）A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.7参考答案：D2. 设随机变量X的分布函数为F(x)，若F(x)是严格单调增加的，则X的数学期望（）A. 存在且大于0B. 存在且小于0C. 存在且等于0D. 不存在参考答案：A3. 设X～N(0,1)，以下哪个结论是正确的（）A. P(X<0) = 0.5B. P(X>0) = 0.5C. P(X=0) = 0.5D. P(X≠0) = 0.5参考答案：A4. 在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，则连续n次试验成功的概率为（）A. p^nB. (1-p)^nC. npD. n(1-p)参考答案：A5. 设随机变量X～B(n,p)，则X的二阶矩E(X^2)等于（）A. np(1-p)B. npC. np^2D. n^2p^2参考答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设随机变量X～N(μ,σ^2)，则X的数学期望E(X) = _______。
参考答案：μ2. 若随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则X+Y的概率密度函数f(x) = _______。
参考答案：f(x) = (1/√(2πσ^2))exp(-x^2/(2σ^2))3. 设随机变量X、Y相互独立，且X～B(n,p)，Y～B(m,p)，则X+Y～_______。
参考答案：B(n+m,p)4. 设随机变量X、Y的协方差Cov(X,Y) = 0，则X、Y的相关系数ρ = _______。
参考答案：ρ = 05. 设随机变量X～χ^2(n)，则X的期望E(X) = _______，方差Var(X) = _______。
参考答案：E(X) = n，Var(X) = 2n三、计算题（每题10分，共40分）1. 设随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，求X+Y的概率密度函数f(x)。
08-09概率论期末考试试卷A (1)
《概率论与数理统计》期末考试试卷（A1）2、下列叙述中正确的是( A ). (A) ()1X EX D DX -= (B) ~(0,1)X EXN DX- (C) 22)(EX EX = (D) 22()EX DX EX =-3、设θ是总体X 中的参数，称),(θθ为θ的置信度a -1的置信区间，下面说话正确的是（ D ）.(A) 以),(θθ估计θ的范围，不正确的概率是a -1 (B) θ 以概率a -1落入),(θθ (C) θ以概率a 落在),(θθ之外 (D) ),(θθ以概率a -1包含θ4、设(,)0,(,)(,)~(,)0,g x y x y GX Y f x y ≠∈⎧=⎨⎩其它,D 为一平面区域,记G,D 的面积分别为,G D S S ,则{(,)}(B )P x y D ∈=.(A)GD S S (B) ⎰⎰Ddxdy y x f ),( (C) (,)G g x y dxdy ⎰⎰ (D) G G D S S5、设总体分布为),(2σμN ,若μ未知,则要检验20:100H σ≥,应采用统计量( B ).(A)nS X /μ- (B)100)(21∑=-ni iX X(C)100)(21∑=-ni iXμ (D)22)1(σS n -6、有三类箱子,箱中装有黑、白两种颜色的小球,各类箱子中黑球、白球数目之比为,2:3,2:1,1:4已知这三类箱子数目之比为1:3:2，现随机取一个箱子，再从中随机取出一个球，则取到白球的概率为（ A ）.(A)157 (B)4519 (C)135(D)3019 7、设随机变量X 的概率密度函数为(),()(),()f x f x f x F x =-是X 的分布函数,则对任意实数a 有( B ). (A) ⎰-=-adx x f a F 0)(1)((B) ∑⎰-=-adx x f a F 0)(21)((C) )()(a F a F =- (D) 1)(2)(-=-a F a F题目 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分一．填空题：（本大题共7小题，每小题3分，共21分）1. 已知样本1621,,,X X X 取自正态分布总体(3,1)N ，X 为样本均值，已知{}0.5P X λ<=，则=λ 3 。
概率论与数理统计 - 期末考试(知识梳理)——上海商学院
复习第一章：1、事件的关系及运算：会把事件转化为符号表达式2、概率性质：会用这几个性质计算事件的概率3、古典概率：摸球问题和球入盒问题4、条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯概率：5、独立性：定义在独立条件下的加法公式和乘法公式1是否独立与并问事件和求BA),ABP(B)P(A0.8,)AB(,6.0(B),5.0(A)⋃===PPP？2、某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的30％，25％，45％，又这三条流水线的次品率分别为0.05，0.04，0.02。
现从出厂的产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？3、经过普查，了解到人群患有某种癌症的概率为0.5%，某病人因患有类似的病症前去求医，医生让他做某项生化试验。
经临床多次试验，患有该病的患者试验阳性率为95%，而非该病患者的试验阳性率仅为10%。
现该病人化验结果呈阳性，问该病人患癌症的概率。
4、某商店有100台相同型号的冰箱待售，其中60台是甲厂生产的，25台是乙厂生产的，15台是丙厂生产的，已知这三个厂生产的冰箱质量不同，它们的不合格率依次为0.1、0.4、0.2，现有一位顾客从这批冰箱中随机地取了一台，试求：（1）该顾客取到一台不合格冰箱的概率；（2）顾客开箱测试后发现冰箱不合格，试问这台冰箱来自甲厂的概率是多大？5、对于事件A，B,下列命题正确的是A. 若A，B互不相容，则A与B也互不相容。
B. 若A，B相容，那么A与B也相容。
C. 若A，B互不相容，且概率都大于零，则A，B也相互独立。
D. 若A，B相互独立，那么A与B也相互独立。
第二章内容：1、离散型随机变量：分布律的求法和性质、常见离散型随机变量的分布律（0-1分布、二项分布、泊松分布）；2、连续型随机变量：概率密度函数的性质、常见（均匀分布、指数分布、正态分3、分布函数：分布律----分布函数概率密度函数-----分布函数4、随机变量函数的概率分布（公式法）1、设随机便量X在（1，6）上服从均匀分布，求方程12=++χχX有实根的概率。
概率论和数理统计期末考试题库
数理统计练习一、填空题1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=0.5，P (B)=0.6，P (B |A)=0.8，则P (A+B)=__ 0.7 __。
2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率32。
3、设随机变量X 服从[0，2]上均匀分布，则=2)]([)(X E X D 1/3 。
4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松（Poisson ）分布，且已知)]2)(1[(--X X E ＝1，则=λ___1____。
5、一次试验的成功率为p ，进行100次独立重复试验，当=p 1/2_____时 ，成功次数的方差的值最大，最大值为 25 。
6、（X ，Y ）服从二维正态分布),,,,(222121ρσσμμN ，则X 的边缘分布为 ),(211σμN 。
7、已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,23),(2y x xy y x f ，则E (X )=34。
8、随机变量X 的数学期望μ=EX ，方差2σ=DX ，k 、b 为常数，则有)(b kX E += ,k b μ+；)(b kX D +=22k σ。
9、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X 与Y 相互独立。
设Z ＝2X －Y ＋5，则Z ～ N(-2, 25) 。
10、θθθ是常数21ˆ ,ˆ的两个 无偏 估计量，若)ˆ()ˆ(21θθD D <，则称1ˆθ比2ˆθ有效。
1、设A 、B 为随机事件，且P (A )=0.4, P (B )=0.3, P (A ∪B )=0.6，则P (B A )=_0.3__。
2、设X ~B (2,p )，Y ~B (3,p )，且P {X ≥ 1}=95，则P {Y ≥ 1}=2719。
3、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E (Y )=4 。
4、设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。
概率论与数理统计考试范围
概率论与数理统计考试范围
1．随机事件的表示；
2．运用事件的关系、性质计算事件的概率；
3．古典概型；
4．全概率公式、条件概率与贝叶斯公式；（计算题）
5．事件的独立性；
6．离散型随机变量的分布律与分布函数及性质；（计算题）
7．三个常见离散型随机变量；
8．连续型随机变量的概率密度与分布函数及性质；（计算题）
9．三个常见的连续型随机变量；特别是正态分布的性质及计算；
10．二维离散型随机变量的分布律和边缘概率分布；（计算题）
11．随机变量的期望与方差；六个常见分布的期望与方差；期望与方差的性质；12．随机变量函数的期望与方差；
13．统计量；正态总体所构造的三大分布（卡方，T分布与F分布）；
14．矩估计与极大似然估计；
15．无偏估计与有效估计；
题型
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
二、填空题（每空格3分，共30分）
三、计算题（每小题10分，共50分）。
概率论与数理统计期末考试复习资料
（1）排 列组合 公式
Pmn
m! (m n)!
C
n m
m! n!(m n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。
加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
（2）加 法和乘 法原理
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方 法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步
率。分布函数F(x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。
分布函数具有如下性质：
1° 0 F(x) 1, x ；
2° F(x) 是单调不减的函数，即x1 x2 时，有 F(x1) F(x2) ；
3° F() lim F(x) 0， F() lim F(x) 1；
设F(x) 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f (x) ，对任意 实数x ，有
F (x) x f (x)dx ，
则称 X 为连续型随机变量。f (x) 称为 X 的概率密度函数或密度函 数，简称概率密度。 密度函数具有下面 4 个性质： 1° f (x) 0 。
2° f (x)dx 1。
X
| x1, x2,, xk, 。
P( X xk) p1, p2,, pk,
显然分布律应满足下列条件：
（1） pk 0 ，k 1,2,， （2） pk 1。 k 1
（2）连 续型随 机变量 的分布 密度
概率论与数理统计期末考试题及答案
模拟试题填空题(每空3分，共45 分)1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B| A) = 0.85,则P(A| B)=P( A U B)=12、设事件A与B独立，A与B都不发生的概率为—,A发生且B不发生的概率与 B9发生且A不发生的概率相等，则A发生的概率为：_______________________ ;3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率:;没有任何人的生日在同一个月份的概率I Ae x, X c 04、已知随机变量X的密度函数为：W(x) = {1/ 4, 0 < X V 2，则常数A=0, x>2分布函数F(x)= ，概率P{—0.5<X <1}=5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若P{X>1} =5/ 9，贝U p =若X与丫独立，则Z=max(X,Y)的分布律:6、设X ~ B(200,0.01), Y - P(4),且X 与丫相互独立，则D(2X-3Y)=COV(2X-3Y , X)=7、设X1,X2,III,X5是总体X ~ N(0,1)的简单随机样本，则当k = 时,丫"⑶；8、设总体X~U(0,巧日：>0为未知参数，X i,X2,lil,X n为其样本, -1nX =—S X i为n i 二样本均值，则日的矩估计量为:9、设样本X i,X2，川，X9来自正态总体N(a,1.44)，计算得样本观察值X = 10，求参数a的置信度为95%的置信区间:计算题(35分)1、(12分)设连续型随机变量X的密度函数为:「1求：1) P{|2X —1|<2} ; 2) Y =X 2的密度函数 S(y) ； 3) E(2X-1);2、（12分）设随机变量（X,Y ）的密度函数为3、（ 11分）设总体X 的概率密度函数为:X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。
概率论与数理统计期末试卷及答案(最新1)
概率论与数理统计期末试卷一、填空（每小题 分，共 分）１．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉。
２ 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于 ”，则表示♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉。
３．已知互斥的两个事件满足，则♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉。
４．设为两个随机事件，，，则♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉。
５．设是三个随机事件，，，、，则至少发生一个的概率为♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉。
二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。
每小题 分，共 分） 从装有 只红球， 只白球的袋中任取两球，记“取到 只白球”，则（ ）。
☎✌✆ 取到 只红球 ☎ ✆ 取到 只白球☎ ✆ 没有取到白球 ☎ ✆ 至少取到 只红球．对掷一枚硬币的试验 “出现正面”称为（ ）。
☎✌✆ 随机事件 ☎ ✆ 必然事件☎ ✆ 不可能事件 ☎ ✆ 样本空间 设✌、 为随机事件，则（ ）。
☎✌✆ ✌ ☎ ✆☎ ✆ ✌ ☎ ✆ φ 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（ ）。
☎✌✆ 与互斥 ☎ ✆ 与不互斥☎ ✆ ☎ ✆ 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（ ）。
☎✌✆ ☎ ✆☎ ✆ ☎ ✆ 设相互独立，则（ ）。
☎✌✆ ☎ ✆☎ ✆ ☎ ✆设是三个随机事件，且有，则（ ）。
☎✌✆ ☎ ✆ ☎ ✆ ☎ ✆ 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为☐，则在成功 次之前已经失败 次的概率为（ ）。
☎✌✆ ☐ ☎ ☐✆ ☎ ✆ ☐ ☎ ☐✆☎ ✆ ☐ ☎ ☐✆ ☎ ✆ ☐ ☎ ☐✆ 设✌、 为两随机事件，且，则下列式子正确的是（ ）。
☎✌✆ ☎ ✆☎ ✆☎ ✆ 设事件✌与 同时发生时，事件 一定发生，则（ ）。
☎✌✆ ☎✌ ✆ ☎ ✆ ☎ ✆ ☎✌✆ ☎ ✆ ☎ ✆ ≤ ☎ ✆ ☎✌✆ ☎ ✆ ☎ ✆ ≥ ☎ ✆ ☎✌✆ ☎ ✆ ≤ ☎ ✆三、计算与应用题（每小题 分，共 分） 袋中装有 个白球， 个黑球。
2020年大学必修课概率论与数理统计期末考试卷及答案(完整版)
2020年大学必修课概率论与数理统计期末考试卷及答案（完整版）一、单选题1、设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H 0成立时，样本值（x 1,x 2, …，x n ）落入W 的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为__________。
(A) 0.1 (B) 0.15 (C) 0.2 (D) 0.25【答案】B2、对于事件A ，B ，下列命题正确的是（A ）若A ，B 互不相容，则A 与B 也互不相容。
（B ）若A ，B 相容，那么A 与B 也相容。
（C ）若A ，B 互不相容，且概率都大于零，则A ，B 也相互独立。
（D ）若A ，B 相互独立，那么A 与B 也相互独立。
【答案】D3、在一次假设检验中，下列说法正确的是______(A)既可能犯第一类错误也可能犯第二类错误(B)如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误(C)增大样本容量，则犯两类错误的概率都不变(D)如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误【答案】A4、若X ～()t n 那么2χ～A ）(1,)F nB ）(,1)F nC ）2()n χD ）()t n【答案】A5、在一个确定的假设检验中，与判断结果相关的因素有（A ）样本值与样本容量 （B ）显著性水平α （C ）检验统计量 （D ）A,B,C 同时成立【答案】D6、若X ～()t n 那么2χ～A ）(1,)F nB ）(,1)F nC ）2()n χD ）()t n【答案】A7、下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是A ）21()1F x x =+B ） x x F arctan 121)(π+=C ）=)(x F 1(1),020,0x e x x -⎧->⎪⎨⎪≤⎩D ） ()()x F x f t dt -∞=⎰，其中()1f t dt +∞-∞=⎰【答案】B8、袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。
大学《概率论与数理统计》期末考试试卷含答案
大学《概率论与数理统计》期末考试试卷含答案一、填空题(每空 3 分，共 30分)在显著性检验中，若要使犯两类错误的概率同时变小，则只有增加 样本容量 .设随机变量具有数学期望与方差，则有切比雪夫不等式 .设为连续型随机变量,为实常数，则概率= 0 . 设的分布律为，,若绝对收敛(为正整数),则=.某学生的书桌上放着7本书，其中有3本概率书,现随机取2本书,则取到的全是概率书的概率为. 设服从参数为的分布,则=. 设，则数学期望= 7 .为二维随机变量, 概率密度为, 与的协方差的积分表达式为 .设为总体中抽取的样本的均值,则＝ . (计算结果用标准正态分布的分布函数表X ()E X μ=2()D X σ={}2P X μσ-≥≤14X a {}P X a =X ,{}1,2,k k P X x p k ===2Y X =1n k k k x p ∞=∑n()E Y 21k k k x p ∞=∑17X λpoisson (2)E X 2λ(2,3)YN 2()E Y (,)X Y (,)f x y X Y (,)Cov X Y (())(())(,)d d x E x y E y f x y x y +∞+∞-∞-∞--⎰⎰X N （3，4）14,,X X {}15P X ≤≤2(2)1Φ-()x Φ示)10. 随机变量,为总体的一个样本，,则常数=.A 卷第1页共4页 概率论试题(45分) 1、(8分)题略解：用，分别表示三人译出该份密码,所求概率为 （2分）由概率公式 （4分）（2分） 2、(8分) 设随机变量，求数学期望与方差.解：(1) = （3分） (2) （3分） （2分）(8分) 某种电器元件的寿命服从均值为的指数分布,现随机地取16只，它们的寿命相互独立，记，用中心极限定理计算的近似值(计算结果用标准正态分布的分布函数表示).2(0,)XN σn X X X ,,,21 X221()(1)ni i Y k X χ==∑k 21n σA B C 、、P A B C （）P A B C P ABC P A P B P C （）=1-（）=1-（）（）（）1-1-1-p q r =1-（）（）（）()1,()2,()3,()4,0.5XY E X D X E Y D Y ρ=====()E X Y +(23)D X Y -()E X Y +E X E Y （）+（）=1+3=4(23)4()9()12ov(,)D X Y D X D Y C X Y -=+-8361244XYρ=+-=-100h i T 161ii T T ==∑{1920}P T ≥()x Φ解： （3分） （5分）(4分)(10分)设随机变量具有概率密度,.(1)求的概率密度； (2) 求概率.解: (1) （1分）A 卷第2页共4页（2分）（2分）概率密度函数 （2分）(2) . （3分） (11分) 设随机变量具有概率分布如下,且.i i ET D T E T D T 2（）=100，（）=100，（）=1600，（）=160000{1920}0.8}1P T P ≥=≥≈-Φ（0.8）X 11()0x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩，，其它21Y X =+Y ()Y f y 312P Y ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭12Y Y y F y y F y≤>时（）=0,时（）=1212,{}{1}()d Y y F yP Y y P X y f x x <≤≤=+≤=（）=02d 1x y ==-2()=Y Y y f y F y≤⎧'⎨⎩1,1<（）=0，其它3102Y YP Y F F ⎧⎫-<<=-=⎨⎬⎩⎭311（）-（-1）=222(,)X Y {}110P X Y X +===(1)求常数； (2)求与的协方差,并问与是否独立?解: (1) （2分）由（2分） 可得 （1分）(2), , （3分） （2分） 由可知与不独立 （1分） 三、数理统计试题(25分)1、(8分) 题略. A 卷第3页共4页 证明:,相互独立（4分） ,（4分）,p q X Y (,)Cov X Y X Y 1111134123p q p q ++++=+=，即{}{}{}{}{}101011010033P X Y X P Y X p P X Y X P X P X p +====+========+，，1p q ==EX 1（）=2E Y 1（）=-3E XY 1（）=-6,-CovX Y E XY E X E Y （）=（）（）（）=0..ij i j P P P ≠X Y 222(1)(0,1),(1)X n S N n χσ--22(1)X n S σ-2(1)X t n -(1)X t n -(10分) 题略解：似然函数 （4分）由 可得为的最大似然估计 (2分)由可知为的无偏估计量，为的有偏估计量 (4分) 、(7分) 题略 解： （2分）检验统计量，拒绝域 （2分）而 （1分）因而拒绝域，即不认为总体的均值仍为4.55 （2分）A 卷第4页共4页2221()(,)2n i i x L μμσσ=⎧⎫-=-⎨⎬⎩⎭∑2221()ln ln(2)ln() 222ni i x n n L μπσσ=-=---∑2222411()ln ln 0,022n ni i i i x x L L nμμμσσσσ==--∂∂===-+=∂∂∑∑221111ˆˆ,()n n i i i i x x n n μσμ====-∑∑2,μσ221ˆˆ(),()n nE E μμσσ-==11ˆn i i x n μ==∑μ2211ˆ()ni i x n σμ==-∑2σ01: 4.55: 4.55H H μμ=≠x z =0.025 1.96z z ≥=0.185 1.960.036z ==>0H。
概率论与数理统计期末考试试卷答案
概率论与数理统计期末考试试卷答案《概率论与数理统计》试卷一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ,B 为二事件，则AU B =A 、AB B 、ABC 、ABD 、AJB 2、设A ， B, C 表示三个事件，则 ABC 表示A 、 A ，B, C 中有一个发生B 、 A ，B,C 中恰有两个发生C 、 A ，B, C 中不多于一个发生D 、A ，B ，C 都不发生3、 A B 为两事件，若 P(A U B)=0.8 , P(A) =0.2 , P(B) =0.4，贝U成立A 、P(AB)=0.32B 、P(AB) =0.2C 、P(B —A)=0.4D 、P(B A)= 4、设A , B 为任二事件，则A 、P(A-B) =P(A)-P(B)B 、P(AUB)=P(A) P(B)C 、P(AB)二P(A)P(B)D 、P(A)二 P(AB) P(AB) 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是A 、A 与B 独立 B 、A 与 B 独立C 、P(AB)二 P(A)P(B)D 6、设离散型随机变量 X 的分布列为A 、0B 、0.3C 、0.8D 、1「ex 47、设离散型随机变量 X 的密度函数为f (X )= 10,A 、-B 、-C 、4D 、554X0 1 2P 0.3 0.5 0.2其分布函数为F(x)，贝U F(3)=8、设X ?N(0,1)，密度函数 (x)二，^U ;：(x)的最大值是A 、0B 、1C 1 ■-2■:9、设随机变量X 可取无穷多个值0,1,2, -,其概率分布为 P (k ；3)二-e^,^011121|l| k!，则下式成立的是0.48定互斥x其它它,1］，则常数c=1A 、EX = DX =3B 、EX = DX 二一3 11 C 、EX =3, DX D 、EX , DX =933设X 服从二项分布B(n,p),则有A 、E(2X_1)=2np B 、D(2X1)=4np(1_p) 1 C 、E(2X 1)=4np1D 、D(2X_1)=4np(1 _ p)独立随机变量 X , Y ，若X ?N(1,4) , 丫?N(3,16)，下式中不成立的是 A 、E X Y =4 B 、E XY =3 C 、D X -Y =12 D 、E Y 2 =161 1A 、0B 、1C 、D 、44设X ?N(0,1),又常数c 满足 P ：X _c .； = P 〈X :心,则c 等于 1A 、1C 、D 、-12已知 EX - -1, DX =3 ,则 E 3 X 2 -2=A 、9B 、6C 、30D 、36当X 服从() 分布时，EX 二DX 。
概率论与数理统计(II)期末考试样卷1(答案)
命题人或命题小组负责人签名： 教研室（系）主任签名： 分院（部）领导签名：第 页 （共 4页）概率论与数理统计（II ）期末考试样卷1参考答案注意：所有数据结果保留小数点后两位，本试卷可能用的数据如下：0.9750.930.920.9750.950.950.975(1.71)0.96,(1.14)0.87, 1.96,(8) 1.8,(9) 1.8,(9) 2.262(1)0.84,(15) 1.753,(2,12) 3.89,(12) 2.1788,(2.67)0.996U t t t t F t Φ=Φ=====Φ====Φ=一、填空题( 每小题3分，共24分)1．设某厂生产的灯泡的使用寿命 (单位:小时)2~(1000,)X N σ，抽取一容量为9的样本，得到940,100x s ==,则(940)P x <= 0.07 .2．某食品厂生产听装饮料，现从生产线上随机抽取5听饮料，称得其净重（单位：克）为351 347 355 344 351 则其经验分布函数5()F x = 1525450 344344347 347351 351355 1 355x x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩ . 3. 设16,,X X 为总体~(0,1)X N 的一个样本，且cY 服从2χ分布，这里，()()22123456Y X X X X X X =+++++, 则 c =4．设161,,x x 是来自(8,4)N 的样本，则(16)(10)P x >= 161(0.84)- .5．设1,,n X X 为来自(,1)(0)U θθ>的一个样本，11,nini X X ==∑则未知参数θ的矩估计量是21X - . 6．设1,,n X X 为来自2(,)N μσ的一个样本，()1211n i i i c X X -+=-∑为2σ的无偏估计，则常数c = 12(1)n - .7．已知某种材料的抗压强度2~(,),X N μσ现随机地抽取10个试件进行抗压试验，测得样本均值457.5,x =标准差35.217,s =则μ的95%的置信区间为 [432.31,482.69] .8．设1,,n X X 为来自2(,)N μσ的一个样本，2211111,()n ni i n n i i X X S X X -====-∑∑，其中参数2,μσ未知，要检验假设00:H μμ=应用 t 检验法，检验的统计量是X 二、单项选择题（每小题2分，共8分）1. 设()n F x 是经验分布函数，基于来自总体X 的样本，而()F x 是总体X 的分布函数，则下列命题错误的为，对于每个给定的x ，()n F x （ A ）。
概率论与数理统计期末复习题(1)
期末复习题一、填空题1. 设A,B 为随机事件，已知P(A)=0.7,P(B)=0.5,P(A-B)=0.3,则P （B-A ）= 。
2．设有20个零件，其中16个是一等品，4个是二等品，今从中任取3个，则至少有一个是一等品的概率是 .3.设()4 ,3~N X ，且c 满足()()c X P c X P ≤=>，则=c 。
4. 设随机变量X 服从二项分布，即===n p EX p n B X 则且,7/1,3),,(~ .5. 设总体X 服从正态分布)9,2(N ，921,X X X 是来自总体的样本，∑==9191i i X X 则=≥)2(X P 。
6. 设B A ,是随机事件，满足===)(,)(),()(B P p A P B A P AB P 则 .7. B A ,事件，则=⋃B A AB 。
8. 设随机变量Y X ,相互独立，且)16,1(~),5,1(~N Y N X ，12--=Y X Z 则的相关系数为与Z Y9.随机变量=≤≤-=Φ=Φ}62{,9772.0)2(,8413.0)1(),4,2(~X P N X 则 . 10. 设随机变量X 服从二项分布，即===n p EX p n B X 则且,5/1,3),,(~ . 11. B A ,事件，则=⋃B A AB 。
12. 连续型随机变量X 的概率密度为()⎩⎨⎧≤>=-00,0,3x x e x f x λ则=λ ．13. 盒中有12只晶体管，其中有10只正品，2只次品．现从盒中任取３只，设３只中所含次品数为X ，则()==1X P ．14. 已知二维随机变量221212(,)~(,;,;)X Y N μμσσρ，且X 与Y 相互独立，则ρ=______ .15. 设随机变量X 服从二项分布),(p n B ,则=+)83(X D . .二、选择题1. 设离散型随机变量X 的分布列为其分布函数为F(x),则F(3)= .A. 0B. 0.3C. 1D. 0.8 2. 设随机变量X 的概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=其它,021,210,x x x x x f则X 落在区间()2.1 ,4.0内的概率为（ ）．(A) 0.64;(B) 0.6; (C) 0.5; (D) 0.42．3. 矩估计是( )A. 点估计B. 极大似然估计C. 区间估计D. 无偏估计 4. 甲乙两人下棋，每局甲胜的概率为0.4，乙胜的概率为0.6，。
概率论与数理统计 期末复习1
概率论与数理统计 期末复习（一）第二章 随机变量及其分布一、了解离散性随机变量及其概率分布：特征：可列无穷多 二、熟练掌握三种常用离散性随机变量的分布律(0-1)分布 、 二项分布、 泊松分布(泊松定理的应用) (知道：期望方差)【例1-1】某种型号器件的寿命X(以小时计)具有概率密度()⎪⎩⎪⎨⎧>=，其他00100,10002x x x f现有一大批此种器件(设备损坏与否相互独立)，任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率.【例1-2】设顾客在某银行窗口等待服务的时间X(min)服从指数分布，其概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧>=-，其他00,515/x ex f x X 某顾客在窗口等待服务，若超过10min ，他就离开，他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而从窗口离开的次数，写出Y 的分布律，并求出{}1≥Y P .【例1-3】设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4人维护，每人维护20台；其二是由3人共同维护80台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.【例2-1】一电话总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布，求某一分钟内呼唤次数大于2的概率.【例2-2】保险公司在一天内承保了5000张相同年龄，为期一年的寿险保单，每人一份.在合同有效期内若投保人死亡，则公司需赔付3万元. 设在一年内，该年龄段的死亡率为0.0015，且各个投保人是否死亡相互独立. 求该公司对于这批投保人的赔付金额总数不超过30万元的概率.三、熟练掌握连续型随机变量分布函数的概念，以及概率密度和随机变量分布函数的关系要点: {}x X P x F ≤=)(；⎰=∞-xdt t f x F )()(，若)(x F 在x 点连续，则有)()('x f x F =； 概率密度的性质：⎰=≥∞∞-1)(,0)(dx x f x f 满足这两个条件的函数才可以认为是概率密度；四、熟练掌握三种连续型随机变量的分布 均匀分布、指数分布、正态分布(知道：概率密度、分布函数、期望方差) 【例3-1】设随机变量X 的分布函数为：⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=e x e x x x x F X ,11,ln 1,0)((1) 求{}{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<≤<<252,30,2X P X P X P ;(2) 求概率密度)(x f X .【例3-2】设随机变量X 的概率密度为：()⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤=其他，，,021210x x x x x f求X 的分布函数.【例3-3】设()()x g x f ,都是概率密度函数，求证：()()()()10,1≤≤-+=αααx g x f x h 是一个概率密度函数.【例4-1】设K 在(0,5)服从均匀分布，求关于x 的方程：02442=+++K Kx x有实数根的概率.【例4-2】（记住正态分布引理） 设随机变量()22,3~N X :(1) 求{}52≤<X P ;(2) 试确定常数c,使得{}{}c X P c X P ≤=>;(3) 试确定常数d 的最小值，使得{}9.0≥>d X P .【例4-3】设顾客在某银行窗口等待服务的时间X(min)服从指数分布，其概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧>=-，其他00,515/x ex f x X 某顾客在窗口等待服务，若超过10min ，他就离开，他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而从窗口离开的次数，写出Y 的分布律，并求出{}1≥Y P .五、求随机变量的函数分布的两种方法： (1)直接法:{}{})]'())[(?()())(?()()(111y g y g x f y f y g x F y x g P y Y P y F X Y X Y ---=⇒=≤=≤=(2)定理法：P52 定理直接套公式(套公式要注意在x 的定义域上)(x g y =必须是严格单调！)【例5-1】设)1,0(~N X (1) 求X e Y =的概率密度；(2) 求122+=X Y 的概率密度； (3) 求X Y =的概率密度.【例5-2】设随机变量X 的概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧>=-，其他00,x e x f x 求2X Y =的概率密度.【练习】1. 某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试估计他至少击中2次的概率.2. 设()λπ~X ，且{}{}21===X P X P ，求{}4=X P .3. 设()λπ~X ，其分布律为{},...2,1,0,!===-k k e k X P kλλ，试确定k 的值，使得{}k X P =最大.4. 设()p n b X ,~，其分布律为{}10.,...,2,1,0,)1(<<=-==-p n k p p C k X P k n kk n ，试确定k 的值，使得{}k X P =最大.5. 设连续型随机变量X 的分布函数为： ()()+∞<<∞-+=x x B A x F arctan(1) 求B A ,的值；(2) 求X 的概率密度()x f .6. 设连续型随机变量X 的概率密度为：()⎩⎨⎧<<+=其他,010,x b ax x f且8521=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>X P ,(1) 求b a ,的值；(2) 求⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<2141x P ;(3) 求随机变量X 的分布函数()x F .7. 对某地区考生抽样调查的结果表明,考生的数学成绩（百分制）近似服从()2,72σN ，其中σ未知，已知96分以上的考生占总数的2.3%.试求考生的数学成绩介于60分与84分之间的概率.8. 设321,,X X X 是随机变量，且()()()232213,5~,2,0~,1,0~N X N X N X ,{}22≤≤-=x P P j ，（j=1,2,3）,则（ ）（13-8）(A) 321P P P >> (B) 312P P P >> (C) 213P P P >> (D) 231P P P >>9. （13-14）设随机变量Y 服从参数为1的指数分布，a 为常数且大于零，则{}a Y a Y P >+≤1的值为.10. （11-8）设()()x F x F 21，为2个分布函数，其相对应的概率密度为()()x f x f 21,，其都是连续函数，则下列选项中必为概率密度的是（ ）(A) ()()x f x f 21 (B) ()()x F x f 122 (C) ()()x F x f 21 (D) ()()()()x F x f x F x f 1221+11. （10-8）设()x f 1为标准正态分布的概率密度，()x f 2为[-1,3]上均匀分布的概率密度，若()()())0,0(0,0,21>>⎩⎨⎧>≤=b a x x bf x x af x f 为概率密度，则b a ,应该满足( )(A) 432=+b a (B) 423=+b a (C) 1=+b a (D) 2=+b a12. （06-14）设随机变量X 服从正态分布()2111,σμN ,随机变量Y 服从正态分布()2222,σμN ，且{}{}1121<-><-μμY P X P ,则下列结论成立的是（ ）(A) 21σσ< (B) 21σσ> (C) 21μμ< (D) 21μμ>13. （02-21）设随机变量X 的概率密度为： ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,00,2cos 21πx x x f 对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于3π的次数，求2Y 的数学期望.14. 设随机变量),(~σμN X ,求证：随机变量)0,(≠+=a b a b aX Y 为常数，也服从正态分布 ()2','~σμN Y ，并指出2','σμ的值.15. 设随机变量X 在区间()10，服从均匀分布. (1) 求X e Y =的概率密度；(2) 求X Y ln 2-=的概率密度.。
概率论与数理统计期末复习资料
概率统计、概率论与数理统计、随机数学课程期末复习资料注：以下是考试的参考内容,不作为实际考试范围,考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解”的内容一般不考;1、能很好地掌握写样本空间与事件方法,会事件关系的运算,了解概率的古典定义2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式4、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质;5、理解随机变量的概念,能熟练写出0—1分布、二项分布、泊松分布的分布律;6、理解分布函数的概念及性质,理解连续型随机变量的概率密度及性质;7、掌握指数分布参数λ、均匀分布、正态分布,特别是正态分布概率计算8、会求一维随机变量函数分布的一般方法,求一维随机变量的分布律或概率密度;9、会求分布中的待定参数;10、会求边缘分布函数、边缘分布律、条件分布律、边缘密度函数、条件密度函数,会判别随机变量的独立性;11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算;12、理解二维随机变量的概念,理解二维随机变量的联合分布函数及其性质,理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质,理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质,并会用它们计算有关事件的概率;13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法;14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差;会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差;15、较熟练地求协方差与相关系数.16、了解矩与协方差矩阵概念;会用独立正态随机变量线性组合性质解题;17、了解大数定理结论,会用中心极限定理解题;18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念,掌握样本均值与样本方差及样本矩概念,掌握χ2分布及性质、t分布、F分布及其分位点概念;19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数;20、掌握极大似然估计法,无偏性与有效性的判断方法;21、会求单正态总体均值与方差的置信区间;会求双正态总体均值与方差的置信区间;23、明确假设检验的基本步骤,会U检验法、t检验、2χ检验法、F检验法解题;24、掌握正态总体均值与方差的检验法;概率论部分必须要掌握的内容以及题型1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法;2．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质;3．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式;4．一维、二维离散型随机变量的分布律,连续型随机变量的密度函数性质的运用;分布中待定参数的确定,分布律、密度函数与分布函数的关系,联合分布与边缘分布、条件分布的关系,求数学期望、方差、协方差、相关系数,求函数的分布律、密度函数及期望和方差;5．会用中心极限定理解题;6．熟记0-1分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差,指数分布参数λ、均匀分布、正态分布的密度函数、期望和方差;数理统计部分必须要掌握的内容以及题型1．统计量的判断;2．计算样本均值与样本方差及样本矩;3．熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理;4．会求未知参数的矩估计、极大似然估计; 5．掌握无偏性与有效性的判断方法; 6．会求正态总体均值与方差的置信区间;7．理解假设检验的基本思想和原理,明确正态总体均值与方差的假设检验的基本步骤;概率论部分必须要掌握的内容以及题型1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法; 古典概型例子 摸球模型例1：袋中有a 个白球,ｂ个黑球,从中接连任意取出mm ≤a +ｂ个球,且每次取出的球不再放回去,求第m 次取出的球是白球的概率; 例2：袋中有a 个白球,ｂ个黑球,c 个红球,从中任意取出ｍm ≤a +ｂ个球,求取出的m 个球中有k 1≤a 个白球、k 2≤b 个黑球、k 3≤c 个红球k 1＋k 2＋k 3=m 的概率. 占位模型例：n 个质点在N 个格子中的分布问题.设有n 个不同质点,每个质点都以概率1/N 落入N 个格子N ≥n 的任一个之中,求下列事件的概率：1 A ={指定n 个格子中各有一个质点}；2 B ={任意n 个格子中各有一个质点}；3 C ={指定的一个格子中恰有mm ≤n 个质点}. 抽数模型例：在0～9十个整数中任取四个,能排成一个四位偶数的概率是多少2．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质;如对于事件A ,B ,A 或B ,已知P A ,PB ,P AB ,P A B ,P A |B ,PB |A 以及换为A 或B 之中的几个,求另外几个; 例1：事件A 与B 相互独立,且P A =,PB =,求：P AB ,P A －B ,P A B例2：若P A =,PB =,P AB =,求： P A －B ,P A B ,)|(B A P ,)|(B A P ,)|(B A P 3．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式;若已知导致事件A 发生或者是能与事件A 同时发生的几个互斥的事件B i ,i =1,2,…,n ,…的概率PB i ,以及B i 发生的条件下事件A 发生的条件概率P A |B i ,求事件A 发生的概率P A 以及A 发生的条件下事件B i 发生的条件概率PB i | A ;例：玻璃杯成箱出售,每箱20只;假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为、和,某顾客欲购买一箱玻璃杯,在购买时,售货员随意取一箱,而顾客随机地察看4只,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回;试求：1顾客买下该箱的概率；2在顾客买下的该箱中,没有残次品的概率;4．一维、二维离散型随机变量的分布律,连续型随机变量的密度函数性质的运用;分布中待定参数的确定,分布律、密度函数与分布函数的关系,联合分布与边缘分布、条件分布的关系,求数学期望、方差、协方差、相关系数,求函数的分布律、密度函数及期望和方差;1已知一维离散型随机变量X 的分布律PX =x i =p i ,i =1,2,…,n ,… 确定参数 求概率Pa <X <b 求分布函数Fx 求期望EX ,方差DX求函数Y =gX 的分布律及期望EgX 例：随机变量X 的分布律为.确定参数k求概率P 0<X <3,}31{<<X P 求分布函数Fx 求期望EX ,方差DX求函数2)3(-=X Y 的分布律及期望2)3(-X E2已知一维连续型随机变量X 的密度函数fx确定参数求概率Pa <X <b 求分布函数Fx 求期望EX ,方差DX求函数Y =gX 的密度函数及期望EgX例：已知随机变量X 的概率密度为()⎩⎨⎧<<=其他202x kx x f ,确定参数k求概率}31{<<X P 求分布函数Fx 求期望EX ,方差DX求函数X Y =的密度及期望)(X E3已知二维离散型随机变量X ,Y 的联合分布律PX =x i ,Y =y j =p ij ,i =1,2,…,m ,…；j =1,2,…,n ,… 确定参数求概率P {X ,Y ∈G }求边缘分布律PX =x i =p i.,i =1,2,…,m ,…；PY =y j =, j =1,2,…,n ,… 求条件分布律PX =x i |Y =y j ,i =1,2,…,m ,…和PY =y j |X =x i , j =1,2,…,n ,… 求期望EX ,EY ,方差DX ,DY求协方差 cov X ,Y ,相关系数XY ρ,判断是否不相关 求函数Z =gX , Y 的分布律及期望EgX , Y 例求概率PX <Y 求边缘分布律PX =k k =0,1,2 和PY =k k =0,1,2,3求条件分布律PX =k |Y =2 k =0,1,2和PY =k |X =1 k =0,1,2,3 求期望EX ,EY ,方差DX ,DY求协方差 cov X ,Y ,相关系数XY ρ,判断是否不相关 求Z =X +Y ,W =max{X ,Y },V =min{X ,Y }的分布律4已知二维连续型随机变量X 的联合密度函数fx , y 确定参数求概率P {X ,Y ∈G }求边缘密度)(x f X ,)(y f Y ,判断Y X ,是否相互独立 求条件密度)|(|y x f Y X ,)|(|x y f X Y求期望EX ,EY ,方差DX ,DY求协方差 cov X ,Y ,相关系数XY ρ,判断是否不相关 求函数Z =gX , Y 的密度函数及期望EgX , Y例：已知二维随机变量X ,Y 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其它,01,),(22y x y cx y x f ,确定常数c 的值；求概率PX <Y求边缘密度)(x f X ,)(y f Y ,判断Y X ,是否相互独立求条件密度)|(|y x f Y X ,)|(|x y f X Y求期望EX ,EY ,方差DX ,DY求协方差 cov X ,Y ,相关系数XY ρ,判断是否不相关 5．会用中心极限定理解题;例1：每次射击中,命中目标的炮弹数的均值为2,方差为25.1,求在100次射击中有180到220发炮弹命中目标的概率．例2：设从大批发芽率为的种子中随意抽取1000粒,试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率;6．熟记0-1分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差,指数分布参数λ、均匀分布、正态分布的密度函数、期望和方差;数理统计部分必须要掌握的内容以及题型 1．统计量的判断;对于来自总体X 的样本n X X X ,,,21 ,由样本构成的各种函数是否是统计量; 2．计算样本均值与样本方差及样本矩;3．熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理; 4．会求未知参数的矩估计、极大似然估计;例：设总体X 的概率密度为()()⎩⎨⎧<<+=其它,010,1x x x f θθ,n X X ,,1 是来自总体X 的一个样本,求未知参数θ的矩估计量与极大似然估计量.5．掌握无偏性与有效性的判断方法;对于来自总体X 的样本n X X X ,,,21 ,判断估计量是否无偏,比较哪个更有效; 例：设321,,X X X 是来自总体X 的一个样本,下列统计量是不是总体均值的无偏估计3212110351X X X ++；)(31321X X X ++；321X X X -+；)(2121X X +；3211214331X X X ++求出方差,比较哪个更有效;6．会求正态总体均值与方差的置信区间;对于正态总体,由样本结合给出条件,导出参数的置信区间;7．理解假设检验的基本思想和原理,明确正态总体均值与方差的假设检验的基本步骤; 对于单、双正态总体根据给定条件,确定使用什么检验方法,明确基本步骤;例：设),(~2σu N X ,u 和2σ未知,X 1,…,X n 为样本,x 1,…,x n 为样本观察值;1试写出检验u 与给定常数u 0有无显著差异的步骤；2试写出检验2σ与给定常数20σ比较是否显著偏大的步骤;1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法; 古典概型例子 摸球模型例1：袋中有a 个白球,ｂ个黑球,从中接连任意取出mm ≤a +ｂ个球,且每次取出的球不再放回去,求第m 次取出的球是白球的概率;分析：本例的样本点就是从a +ｂ中有次序地取出m 个球的不同取法；第m 次取出的球是白球意味着：第ｍ次是从a 个白球中取出一球,再在a +ｂ-1个球中取出m-1个球; 解：设B ＝｛第m 次取出的球是白球｝样本空间的样本点总数： mb a A n +=事件B 包含的样本点： 111--+=m b a a AC r ,则 b a a A aA n r B P mba mb a +===+--+11)( 注：本例实质上也是抽签问题,结论说明按上述规则抽签,每人抽中白球的机会相等,同抽签次序无关;例2：袋中有4个白球,5个黑球,6个红球,从中任意取出9个球,求取出的9个球中有1 个白球、3个黑球、5个红球的概率.解：设B ＝｛取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球｝样本空间的样本点总数： 915C n ==5005事件B 包含的样本点： 563514C C C r ==240,则 PB =120/1001=占位模型例：n 个质点在N 个格子中的分布问题.设有n 个不同质点,每个质点都以概率1/N 落入N 个格子N ≥n 的任一个之中,求下列事件的概率：1 A ={指定n 个格子中各有一个质点}；2 B ={任意n 个格子中各有一个质点}；3 C ={指定的一个格子中恰有mm ≤n 个质点}. 解：样本点为n 个质点在N 个格子中的任一种分布,每个质点都有N 种不同分布,即n 个质点共有N n 种分布;故样本点总数为：N n1在n 个格子中放有n 个质点,且每格有一个质点,共有n 种不同放法；因此,事件A 包含的样本点数：n,则n Nn A P !)(=2先在N 个格子中任意指定n 个格子,共有nN C 种不同的方法；在n 个格子中放n 个质点,且每格一个质点,共有n 种不同方法；因此,事件B 包含的样本点数： n Nn NA C n =!,则n n NNA B P =)(3在指定的一个格子中放mm ≤n 个质点共有mn C 种不同方法；余下n-m 个质点任意放在余下的N-1个格子中,共有mn N --)1(种不同方法.因此,事件C 包含的样本点数：m n C mn N --)1(, 则mn m m n nm n m n N N N C NN C C P ---=-=)1()1()1()( 抽数模型例：在0～9十个整数中任取四个,能排成一个四位偶数的概率是多少解：考虑次序.基本事件总数为：410A =5040,设B ={能排成一个四位偶数} ;若允许千位数为0,此时千位数可在0、2、4、6、8这五个数字中任选其一,共有5种选法；其余三位数则在余下的九个数字中任选,有39A 种选法；从而共有539A =2520个;其中,千位数为0的“四位偶数”有多少个 此时个位数只能在2、4、6、8这四个数字中任选其一,有4种选法；十位数与百位数在余下的八个数字中任选两个,有28A种选法；从而共有428A=224个; 因此410283945)(A A A B P -==2296/5040= 2．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质; 例1：事件A 与B 相互独立,且P A =,PB =,求：P AB ,P A －B ,P A B 解：P AB = P APB =,P A －B = P A －P AB =,P A B = P A ＋PB －P AB =例2：若P A =,PB =,P AB =,求： P A －B ,P A B ,)|(B A P ,)|(B A P ,)|(B A P 解：P A －B =,P A B =,)|(B A P =)()(B P AB P =3/7,)|(B A P =)()()()()(B P AB P B P B P B A P -==4/7,)|(B A P =)(1)()()(B P B A P B P B A P -= =2/33．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式;例：玻璃杯成箱出售,每箱20只;假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为、和,某顾客欲购买一箱玻璃杯,在购买时,售货员随意取一箱,而顾客随机地察看4只,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回;试求：1顾客买下该箱的概率；2在顾客买下的该箱中,没有残次品的概率;解：设事件A 表示“顾客买下该箱”,i B 表示“箱中恰好有i 件次品”,2,1,0=i ;则8.0)(0=B P ,1.0)(1=B P ,1.0)(2=B P ,1)|(0=B A P ,54)|(4204191==C C B A P ,1912)|(4204182==C C B A P ;由全概率公式得 ∑==⨯+⨯+⨯==294.019121.0541.018.0)|()()(i i i B A P B P A P ； 由贝叶斯公式 85.094.018.0)()|()()|(000=⨯==A PB A P B P A B P ; 4．1例：随机变量X 的分布律为.确定参数k求概率P 0<X <3,P 1<X <3 求分布函数Fx 求期望EX ,方差DX求函数2)3(-=X Y 的分布律及期望2)3(-X E 解：由1=∑iip,有 k ＋2 k ＋3 k ＋4 k =1 得 k =P 0<X <3= PX =1＋PX =2=,P 1<X <3= PX =2=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=41436.0323.0211.010)(x x x x x x F∑=ii i p x X E )(=3,∑=i i p x X E 22)(=10,DX =22))(()(X E X E -=12)3(-X E =12例：已知随机变量X 的概率密度为()⎩⎨⎧<<=其他202x kx x f ,确定参数k 求概率P 1<X <3 求分布函数Fx 求期望EX ,方差DX 求函数X Y =的密度函数及期望)(X E 解：由⎰+∞∞-dx x f )(=1,有⎰+∞∞-dx x f )(=k dx kx 38202=⎰=1,得 k =3/8P 1<X <3=⎰31)(dx x f =⎰21283dx x =7/8. ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=2120800)(3x x x x x F⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(=⎰2383dx x =3/2,⎰+∞∞-=dx x f x X E )()(22=⎰20483dx x =12/5DX =22))(()(X E X E -=3/20⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他02043)(5y y y f)(X E =⎰+∞∞-dx x f x )(=⎰202583dx x =726 3例求概率PX <Y 求边缘分布律PX =k k =0,1,2 和PY =k k =0,1,2,3求条件分布律PX =k |Y =2 k =0,1,2和PY =k |X=1 k =0,1,2,3 求期望EX ,EY ,方差DX ,DY求协方差 cov X ,Y ,相关系数XY ρ,判断是否不相关 求Z =X +Y ,W =max{X ,Y },V =min{X ,Y }的分布律 解：PX <Y =, PX =Y =YXY =iij ji p x X E )(=,=iij ji p x X E )(=,DX =))(()(X E X E -=∑∑=i ij j j p y Y E )(=2,∑∑=i ij jj p y Y E 22)(=5,DY =22))(()(Y E Y E -=1∑∑=iij jj i p y x XY E )(=,cov X ,Y =)()()(Y E X E XY E -=XY ρ=)()(),cov(Y D X D Y X = 相关V =min{X ,Y }4例：已知二维随机变量X ,Y 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其它,01,),(22y x y cx y x f ,确定常数c 的值；求概率PX <Y求边缘密度)(x f X ,)(y f Y ,判断Y X ,是否相互独立 求条件密度)|(|y x f Y X ,)|(|x y f X Y求期望EX ,EY ,方差DX ,DY求协方差 cov X ,Y ,相关系数XY ρ,判断是否不相关 解：由⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ),(=1,有⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ),(=⎰⎰-11212ydy x c dx x=1,得 c =21/4PX <Y =⎰⎰-12421ydx x dy y y = ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--==⎰其它011)1(821421)(42122x x x ydy x x f x X ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==⎰-其它1027421)(252y y ydx x y f yy Y X 与Y 不独立⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-==-其它023)(),()|(232|yx y y x y f y x f y x f YY X⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-==其它0118)(),()|(24|y x x y x f y x f x y f X X Y⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f x X E ),()(=⎰⎰-11312421ydy x dx x =0⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f x X E ),()(22=⎰⎰-11412421ydy x dx x =7/15DX =22))(()(X E X E -=7/15⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f y Y E ),()(=⎰⎰-112212421dy y x dx x =7/9⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f y Y E ),()(22=⎰⎰-113212421dy y x dx x =7/11DY =22))(()(Y E Y E -=28/891⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f xy XY E ),()(=⎰⎰-112312421dy y x dx x =0cov X ,Y =0, XY ρ=0,X 与Y 不相关5．会用中心极限定理解题;例1：每次射击中,命中目标的炮弹数的均值为2,方差为25.1,求在100次射击中有180到220发炮弹命中目标的概率． 解：例2：设从大批发芽率为的种子中随意抽取1000粒,试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率; 解：设这批种子发芽数为X ,则)9.0,1000(~B X ,由中心极限定理得所求概率为}880{≥X P 9826.0)108.2()108.2(1)90900880(1=Φ=-Φ-=-Φ-=;数理统计部分必须要掌握的内容以及题型 1．统计量的判断;2．计算样本均值与样本方差及样本矩;3．熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理; 4．会求未知参数的矩估计、极大似然估计;例：设总体X 的概率密度为()()⎩⎨⎧<<+=其它,010,1x x x f θθ,n X X ,,1 是来自总体X 的一个样本,求未知参数θ的矩估计量与极大似然估计量.5．掌握无偏性与有效性的判断方法;例：设321,,X X X 是来自总体X 的一个样本,下列统计量是不是总体均值的无偏估计3212110351X X X ++；)(31321X X X ++；321X X X -+；)(2121X X +；3211214331X X X ++求出方差,比较哪个更有效;6．会求正态总体均值与方差的置信区间;7．理解假设检验的基本思想和原理,明确正态总体均值与方差的假设检验的基本步骤;例：设),(~2σu N X ,u 和2σ未知,X 1,…,X n 为样本,x 1,…,x n 为样本观察值;1试写出检验u 与给定常数u 0有无显著差异的步骤；2试写出检验2σ与给定常数20σ比较是否显著偏大的步骤; 解: 1 1.提出假设 u u H u u H ≠=:,:12.选取统计量nS u X t /)(0-=3.对给定的显著性水平α,查表得)1(2-n t α4.计算 ns u x t /)(0-=5.判断 若),1(2->n t t α拒绝; H 反之,接受. H21.提出假设2021202:,:σσσσ>≤H H2.选取统计量2022)1(σχS n -=3.对给定的显著性水平α,查表得)1(2-n αχ4.计算.)1(2022σχs n -=5.判断 若),1(22-<n αχχ拒绝; H 反之,接受. H。
概率论与数理统计第一章期末复习
概率论与数理统计第一章期末复习(一)随机事件1.随机现象定义1在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象．定义2只有一个结果的现象称为确定性现象．2.样本空间定义3一个试验如果满足下述条件：(1)试验可以在相同的情形下重复进行；(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．就称这样的试验是一个随机试验，记作E．定义4随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记作Ω．样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点，记作ω．3.随机事件定义5随机试验的某些样本点的集合称为随机事件，简称事件，常用大写英文字母A，B，C，…表示．定义6由样本空间Ω中的单个元素组成的子集称为基本事件．而样本空间Ω的最大子集(即Ω本身)称为必然事件，样本空间Ω的最小子集(即空集∅)称为不可能事件．4.事件的关系与运算下面的讨论总是假设在同一个样本空间Ω中进行．1)包含关系⊂如果属于A的样本点必属于B，则称A包含于B或称B包含A，记作A B ⊃．用概率的语言说：事件A发生必然导致事件B发生．或B A对任一事件A，必有∅Ω⊂A．⊂2)相等关系如果属于A的样本点必属于B，且属于B的样本点必属于A，即BA⊂且=．AB⊂，则称事件A与B相等，记作A B3)互不相容(互斥)如果A 与B 没有相同的样本点，则称A 与B 互不相容(互斥)．即事件A 与事件B 不可能同时发生．4)两事件的和事件“事件A 与B 中至少有一个发生”，这样的一个事件称作事件A 与B 的和(或并)，记作B A ．5)两事件的积事件“事件A 与B 同时发生”，这样的一个事件称作事件A 与B 的积(或交)，记作B A (或AB )．6)两事件的差事件“事件A 发生而B 不发生”，这样的事件称为事件A 对B 的差，记作A B -．7)对立事件或逆事件若=AB ∅且Ω=B A ，则称A 与B 为对立事件或互为逆事件，事件A 的对立事件记作A ．【例1】设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，则(1)事件{A 发生且B 与C 至少有一个发生}可表示为：)(C B A ；(2)事件{A 与B 发生而C 不发生}可表示为：C AB ；(3)事件{A 、B 、C 中至少有两个发生}可表示为：BC AC AB ；(4)事件{A 、B 、C 中至多有两个发生}可表示为：ABC ；(5)事件{A 、B 、C 中不多于一个发生}可表示为：AB BC AC ；(6)事件{A 、B 、C 中恰有一个发生}可表示为：ABC ABC ABC ．【例2】关系()成立，则事件A 与B 为对立事件．A ．=AB ∅B ．Ω=B AC ．=AB ∅，Ω=B AD ．=AB ∅，Ω≠B A 【解析】由对立事件的概念可知选项C 正确．【例3】甲、乙两人谈判，设事件A ，B 分别表示甲、乙无诚意，则B A 表示()A ．两人都无诚意B ．两人都有诚意C ．两人至少有一人无诚意D ．两人至少有一人有诚意【解析】由题可知A 与B 分别表示甲、乙有诚意，则B A 表示甲、乙两人至少有一人有诚意，故选项D 正确．5.事件的运算性质(1)交换律：A B B A =，BA AB =；(2)结合律：C B A C B A )()(=，)()(BC A C AB =；(3)分配律：()()()A B C AB AC = ，()()()A B C A C B C = ；(4)对偶律：B A B A = ，B A AB =．一些有用的等式：A A A = ，A Ω=Ω ，A A ∅= AA A =，A A Ω=，A ∅=∅A B A AB AB -=-=，A B A B A =【例4】化简下列各式：(1)))((B A B A ；(2)))((C B B A ；(3)))((B A B A B A ．【解】(1) A B B A B A B A ==)())((ØA =；(2)AC B C A B C B B A ==)())((；(3)))(())((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(．(二)随机事件的概率1.概率的公理化定义定义1设E 是随机试验，Ω是它的样本空间．对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为)(A P ，称为事件A 的概率，如果集合函数)(⋅P 满足下列条件：(1)非负性0)(≥A P ，对Ω∈A ；(2)规范性()1P Ω=；(3)可列可加性若=j i A A ∅，j i ≠， ,2,1,=j i ，有∑+∞=+∞==11)()(i i i i A P A P ．2.概率的性质性质1不可能事件的概率为0，即()0P ∅=．性质2概率具有有限可加性，即若=j i A A ∅(n j i ≤<≤1)，则∑===ni i n i i A P A P 11)()( ．性质3对任一随机事件A ，有()1()P A P A =-．性质4若A B ⊂，则)()()(B P A P B A P -=-．推论若A B ⊂，则)()(B P A P ≥．性质5对任意的两个事件A ，B ，有)()()(AB P A P B A P -=-．性质6对任意的两个事件A ，B ，有()()()()P A B P A P B P AB =+- ．对任意三个事件A ，B ，C ，有)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++= ．推论对任意的两个事件A ，B ，有)()()(B P A P B A P +≤ ．【例1】设A 与B 互不相容，且0)(>A P ，0)(>B P ，则下列结论正确的是()A ．A 与B 为对立事件B ．A 与B 互不相容C ．)()()(B P A P B A P -=-D ．)()(A P B A P =-【解析】因为A 与B 互不相容，所以AB =∅，0)(=AB P ，故选项A ：互不相容不一定对立，故选项A 错误；选项B ：互不相容不一定对立，故B A 不一定等于Ω，所以B A B A =不一定等于∅，即A 与B 不一定互不相容，故选项B 错误；选项C ：)()()()(A P AB P A P B A P =-=-，故选项C 错误，进而选项D 正确．【例2】已知B A ⊂，3.0)(=A P ，5.0)(=B P ，求(A P ，)(AB P ，)(B A P 和)(B A P ．【解】(1)7.0)(1)(=-=A P A P ；(2)∵B A ⊂，∴A AB =，则3.0)()(==A P AB P ；(3)2.0)()()()(=-=-=AB P B P A B P B A P ；(4))(1()(B A P B A P B A P -==5.0)]()()([1=-+-=AB P B P A P ．【注】事件的概率的计算常常需要结合对偶律，应用性质3．【例3】已知事件A ，B ，B A 的概率分别是0.4，0.3，0.6，求(B A P ．【解】)()()()(AB P B P A P B A P -+= )(3.04.06.0AB P -+=所以1.0)(=AB P ，则3.0)()()((=-=-=AB P A P B A P B A P ．【例4】已知41)()()(===C P B P A P ，0)(=AB P ，161)()(==BC P AC P ．求：(1)A ，B ，C 中至少发生一个的概率；(2)A ，B ，C 都不发生的概率．【解】(1)因为0)(=AB P ，且AB ABC ⊂，所以由概率的单调性知0)(=ABC P ；再由加法公式，得A ，B ，C 中至少发生一个的概率为)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++= 8516243=-=．(2)因为{A ，B ，C 都不发生}的对立事件为{A ，B ，C 中至少发生一个}，所以A ，B ，C 都不发生的概率为83851(=-=C B A P ．3.古典概型定义2若随机试验E 具有下述特征：(1)样本空间的元素(即样本点)只有有限个，不妨设为n 个，并记它们为12,,,n ωωω ．(2)每个样本点出现的可能性相等(等可能性)，即有12()()()n P P P ωωω=== ．则称这种等可能性的概率模型为古典概型．对任意一个随机事件Ω∈A ，有nk A A P =Ω=中所有样本点的个数所含有样本点的个数事件)(．【例5】袋中有大小相同的4个白球，3个黑球，从中任取3个至少有2个白球的概率为．【解析】袋中共有7个球，从中任取3个，共有37C 中取法，即样本空间Ω中共有37C 个样本点．取出的3个球中至少有2个白球，分为2个白球1个黑球和3个白球两种情况．当取出的3个球中有2个白球1个黑球时，共有1324C C 中取法；当取出的3个球中有3个白球时，共有0334C C 中取法．记=A {从中任取3个至少有2个白球}，则事件A 中共有03341324C C C C +个样本点．因此3522)(3703341324=+=C C C C C A P ．(三)条件概率1.条件概率定义1设A 与B 是样本空间Ω中的两个事件，若0)(>B P ，则称)()()(B P AB P B A P =为“在事件B 发生条件下事件A 发生的条件概率”，简称条件概率．【例1】已知31)()(==B P A P ，61)(=B A P ，求(B A P ．【解】∵61)()()(==B P AB P B A P ，∴181)(=AB P ，)(1)()()()(B P B A P B P B A P B A P -== )(1)]()()([1B P AB P B P A P --+-=127=．【注】条件概率的计算通常与概率的性质结合使用．【技巧】在计算过程中，只要有概率的性质可以用，就一直用概率的性质计算，直到没有概率的性质可用时，对得到的式子进行化简整理，代入已知数据计算．2.乘法公式定理1(乘法公式)(1)若0)(>B P ，则)()()(B A P B P AB P =．(2)若0)(121>-n A A A P ，则)()()()()(12121312121-=n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P ．【例2】一批零件共100个，次品率为10%，每次从其中任取一个零件，取出的零件不再放回，求第三次才取得合格品的概率．【解】设=i A {第i 次取得合格品}，3,2,1=i ．由题意知，所求概率为)(321A A A P ，易知10010)(1=A P ，999)(12=A A P ，9890)(213=A A A P ．由此得)()()()(213121321A A A P A A P A P A A A P =0083.0989099910010≈⋅⋅=．3.全概率公式定义2设Ω为试验E 的样本空间，1B ，2B ，…，n B 为E 的一组事件．如果=j i B B ∅，j i ≠，n j i ,,2,1, =且Ω=n B B B 21，则称1B ，2B ，…，n B 为样本空间Ω的一个划分．定理2(全概率公式)设1B ，2B ，…，n B 为样本空间Ω的一个划分，若0)(>i B P ，n i ,,2,1 =，则对任一事件A 有)()()(1i ni i B A P B P A P ∑==．4.贝叶斯公式定理3(贝叶斯公式)设1B ，2B ，…，n B 为样本空间Ω的一个划分，若0)(>A P ，0)(>i B P ，n i ,,2,1 =，则∑==n i j j i i i B A P B P B A P B P A B P 1)()()()()(，n i ,,2,1 =．【例3】一批同型号的零件由编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的三台机器共同生产，各台机器生产的零件占这批零件的比例分别为35%、40%和25%，各台机器生产的零件的次品率分别为3%、2%和1%．(1)求该批零件的次品率；(2)现从该批零件中抽到一颗次品，试问这颗零件由Ⅰ号机器生产的概率是多少？【解】设=A {零件是次品}，=1B {零件由Ⅰ号机器生产}，=2B {零件由Ⅱ号机器生产}，=3B {零件由Ⅲ号机器生产}，则由题设知35.0)(1=B P ，4.0)(2=B P ，25.0)(3=B P ，03.0)(1=B A P ，02.0)(2=B A P ，01.0)(3=B A P ．(1)题目要求的是)(A P ，由全概率公式，得∑==31)()()(i i i B A P B P A P 021.0=．(2)题目要求的是)(1A B P ，由贝叶斯公式，得21)|()()|()()(31111==∑=i i i B A P B P B A P B P A B P ．【例4】有甲、乙、丙三厂同时生产某种产品．甲、乙、丙三厂的产量之比为1：1：3，次品率分别为4%，3%，2%．(1)若从一批产品中随机抽出一件，求这件产品为次品的概率．(2)若产品的售后部门接到一名顾客投诉，说其购买的产品为次品，请问哪个厂最该为此事负责，为什么？【解】设=A {产品为次品}，=1B {产品由甲厂生产}，=2B {产品由乙厂生产}，=3B {产品由丙厂生产}，则由题设知，2.0)(1=B P ，2.0)(2=B P ，6.0)(3=B P ，04.0)(1=B A P ，03.0)(2=B A P ，02.0)(3=B A P ．(1)题目要求的是)(A P ，由全概率公式，得∑==31)()()(i i i B A P B P A P 026.0=．(2)由贝叶斯公式，得134)|()()|()()(31111==∑=i i i B A P B P B A P B P A B P ，133)|()()|()()(31222==∑=i i i B A P B P B A P B P A B P ，136)|()()|()()(31333==∑=i i i B A P B P B A P B P A B P ．所以在产品为次品的情况下，产品来自丙厂的可能性最大，丙厂最该负责．【注】全概率公式与贝叶斯公式通常一起考试．(四)独立性1.两个事件的独立性定义1若)()()(B P A P AB P =成立，则称事件A 与事件B 相互独立，简称A 与B 独立．否则称A 与B 不独立或相依．定理1若事件A 与B 独立，则A 与B 独立；A 与B 独立；A 与B 独立．【例1】甲、乙两人彼此独立的向同一个目标射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.8，求目标被击中的概率．【解】设=A {甲击中目标}，=B {乙击中目标}，则=B A {目标被击中}．则)()()()(AB P B P A P B A P -+= )()()()(B P A P B P A P -+=98.0=．【例2】若事件A 与B 相互独立，8.0)(=A P ，6.0)(=B P ，求：)(B A P 和)|(B A A P ．【解】∵A 与B 相互独立，∴)()()()(AB P B P A P B A P -+= )()()()(B P A P B P A P -+=92.0=．)())(()|(B A P B A A P B A A P =)()()()()(B A P B P A P B A P B A P ==13.0=．【例3】设)()(B A P B A P =，证明：A 与B 相互独立．【证】因为)()(B A P B A P =，所以有)(1)()()(1)()()()()(B P AB P A P B P B A P B P B A P B P AB P --=--==，即有)]()()[()](1)[(AB P A P B P B P AB P -=-，整理得)()()(B P A P AB P =，所以A 与B 相互独立．2.多个事件的相互独立性定义2设A ，B ，C 是三个事件，若有⎪⎩⎪⎨⎧===)()()()()()()()()(C P B P BC P C P A P AC P B P A P AB P (1)第11页共11页则称A ，B ，C 两两独立．若还有)()()()(C P B P A P ABC P =，(2)则称A ，B ，C 相互独立．注意：只有(1)式与(2)式同时成立，事件A ，B ，C 才相互独立．(1)式成立不能保证(2)式成立；反过来，(2)式成立也不能保证(1)式成立．定义3设有n 个事件1A ，2A ，…，n A ，对任意的n k j i ≤<<<≤ 1，若以下等式均成立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()()()()()()()()()(2121n n k j i k j i j i j i A P A P A P A A A P A P A P A P A A A P A P A P A A P 则称此n 个事件1A ，2A ，…，n A 相互独立．定理2如果n (2≥n )个事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，则其中任何m (n m ≤≤1)个事件换成相应的对立事件，形成的n 个新的事件仍相互独立．【例4】三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为51，31，41，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？【解】设A ，B ，C 分别表示三人独立译出密码，则51)(=A P ，31)(=B P ，41)(=C P ，且A ，B ，C 相互独立，有方法1：)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++= )()()()()()()()()()()()(C P B P A P C P B P C P A P B P A P C P B P A P +---++=6.0=．方法2：)(1)(C B A P C B A P -=(1C B A P -=()()(1C P B P A P -=53411)(311)(511(1=----=．。
概率论与数理统计期末考试试卷答案
概率论与数理统计期末考试试卷答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列事件中，不可能事件是（）A. 抛掷一枚硬币，正面朝上B. 抛掷一枚硬币，正面和反面同时朝上C. 抛掷一枚骰子，出现7点D. 抛掷一枚骰子，出现1点答案：C2. 设A、B为两个事件，若P(A-B)=0，则下列选项正确的是（）A. P(A) = P(B)B. P(A) ≤ P(B)C. P(A) ≥ P(B)D. P(A) = 0答案：B3. 设随机变量X服从二项分布B(n, p)，则下列结论正确的是（）A. 当n增加时，X的期望值增加B. 当p增加时，X的期望值增加C. 当n增加时，X的方差增加D. 当p增加时，X的方差减少答案：B4. 设X～N(μ, σ^2)，下列选项中错误的是（）A. X的期望值E(X) = μB. X的方差D(X) = σ^2C. X的概率密度函数关于X = μ对称D. 当σ增大时，X的概率密度函数的峰值减小答案：D5. 在假设检验中，显著性水平α表示（）A. 原假设为真的情况下，接受原假设的概率B. 原假设为假的情况下，接受原假设的概率C. 原假设为真的情况下，拒绝原假设的概率D. 原假设为假的情况下，拒绝原假设的概率答案：C二、填空题（每题5分，共25分）6. 设A、B为两个事件，P(A) = 0.5，P(B) = 0.6，P(A∩B) = 0.3，则P(A-B) = _______。
答案：0.27. 设随机变量X服从泊松分布，已知P(X=1) = 0.2，P(X=2) = 0.3，则λ = _______。
答案：1.58. 设随机变量X～N(μ, σ^2)，若P(X<10) = 0.2，P(X<15) = 0.8，则μ = _______。
答案：12.59. 在假设检验中，若原假设H0为μ=10，备择假设H1为μ≠10，显著性水平α=0.05，则接受原假设的临界值是_______。
答案：9.5或10.510. 设X、Y为两个随机变量，若X与Y相互独立，则下列选项正确的是（）A. E(XY) = E(X)E(Y)B. D(X+Y) = D(X) + D(Y)C. D(XY) = D(X)D(Y)D. 上述选项都正确答案：D三、解答题（每题25分，共100分）11. 设某班有50名学生，其中有20名男生，30名女生。
概率论与数理统计期末考试题型
概率论与数理统计总共八道大题，题型如下：1.掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式（1）已知,5.0)(,4.0)(,3.0)(===B A P B P A P 求：P(AB); P(A U B);)|(B A B P U .（2）事件A 与B 相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，求：P(AB)，P(A －B)，P(A U B)解：P(AB)= P(A)P(B)=0.3，P(A －B)= P(A)－P(AB)=0.2，P(A U B)= P(A)＋P(B)－P(AB)=0.8（3）若P(A)=0.4，P(B)=0.7，P(AB)=0.3，求： P(A －B)，P(A U B)，)|(B A P ，)|(B A P ，)|(B A P解：P(A －B)=0.1，P(A B)=0.8，)|(B A P =)()(B P AB P =3/7，)|(B A P =)()()()()(B P AB P B P B P B A P -==4/7，)|(B A P =)(1)()()(B P B A P B P B A P -=U =2/3 2.古典概型，（1）今有甲乙两盒乒乓球，各装10只，已知甲盒中有7只新的，乙盒中有6只新的，现从甲乙两盒中各取一只。
试求：1、取到两只都是新球的概率；2、取到2只都是旧球的概率；3、取到2球是一新一旧的概率。
（2）书12页例1.63.能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。
（1）设某仓库有一批产品，已知其中15%、80%、5%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为0.02, 0.01, 0.03. 求 ①现从这批产品中任取一件，求取到次品的概率？②若从这批产品中取出一件产品，发现是次品，问这件产品由哪个厂家生产的可能性最大？ （2） 4.一维连续已知X 的概率密度为⎩⎨⎧<<+=其它010)21()(x x A x f ,求: (1)常数A ; (2)}22.0{<<X P ; (3)分布函数F (x ); (4)数学期望E (X ); (5)方差D (X )5．二维离散设随机变量(X ,Y )的联合分布律为YX1 2 0 0.2 0.2 0.1 10.10.10.3(1)求边缘分布律P (X =k ) k =0,1 和P (Y =k ) k =0,1,2(2)求条件分布律P (X =k |Y =2) k =0,1和P (Y =k |X =1) k =0,1,2(3)求期望E (X )，E (Y ) (4)求方差D (X )，D (Y ) (5)求协方差 cov(X ,Y )6.会用中心极限定理解题（1）某计算机系统有120个终端, 每个终端有5%时间在使用, 若各个终端使用与否是相互独立的, 试求有10个或更多终端在使用的概率.Φ(1.67)=0.9525, Φ(1.68)=0.9535（2）每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为2，方差为25.1，求在100次射击中有180到220发炮弹命中目标的概率．7.统计量的判断，掌握无偏性与有效性的判断方法（1）设321,,X X X 是总体),(~2σμN X 的一个样本，其中μ,0>σ未知，则以下的函数： 1. 321X X X ++； 2. μ33+X ； 3. 1X ； 4. 22X μ； 5.321ii Xσ=∑； 6. }max{i X ； 7. 3X +σ 中哪些为统计量？为什么？（2）设321,,X X X 是来自总体X 的一个样本，且,,2σμ==DX EX 则在估计量32112110351ˆX X X ++=μ；32121254131ˆX X X ++=μ； 32131214331ˆX X X ++=μ；3214313131ˆX X X ++=μ中，指出μ的无偏估计量，求出其中方差最小的估计量.（3）设321,,X X X 是来自总体X 的一个样本，下列统计量是不是总体均值的无偏估计，并求出方差，比较哪个更有效。