第七章无穷级数

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高等数学无穷级数

第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义P264 ∑an=a1+a2+ +an+n=1∞an称为一般项或通项 Sn=u1+u2+ +un称为前n项部分和例1、1 =3+3+ +3+ =0.331010210n1+2+3+ +n+1-1+1-1+ +(-1)n-1+2、定义Sn=∑uKK=1nan=Sn+1-Sn如{Sn}收敛，则∑an收敛n=1∞3、几个重要极限等比级数（几何）∑aqn，当q<1 收敛，q≥1 发散；n=0∞P级数∑Pn=1∞1nP>1 收敛，P≤1 发散；∞1P=1当，∑ 又称调和级数。

n=1n4、级数性质 P266性质5是级数收敛的必要条件即∑an收敛→liman=0n=1n→∞∞例1、∑n=1∞n-11n-1 发散，∵ liman=lim=≠0 n→∞n→∞2n+122n+1 3n例2、∑ 发散，∵ lim=-1≠0 nnn→∞n-3n=1n-3∞3n例3、∑11 发散，但lim=0 n→∞nn=1n∞20正项级数判别法∑un∞n=1un≥0正项级数部分和数列{Sn}单调递增∴正项级数收敛部分和数列有上界1、比较判别法设Vn≥un，如∑Vn收敛，则∑un收敛n=1∞n=1∞∞∞ 如∑un发散，则∑Vn发散n=1n=1例、判别下列级数敛散性∞（1）∑n=114n+n2 （2）∑∞sin2n=1n2nπ 解（1）由于∞14n2+n≥14n2+n2=11⋅ 5n∵∑1发散，∴原级数发散 nn=1sin2（2）由于nπ∞1≤1，而∑收敛，∴原级数收敛 222n=1nnn比较判别法的极限形式如limun=A 则有n→∞Vn∞∞0<A<+∞时∑un，∑Vn，同时收敛，同时发散 n=1n=1A=0 如∑Vn 收敛，则∑un收敛n=1∞n=1∞∞∞A=+∞ 如∑un 收敛，则∑Vn收敛 n=1n=1判别下列级数敛散性例、∑lnn=1∞n+1 nlnn+1∞1=1 又∑发散，∴原级数发散 1n=1nn limn→∞1例、（1）∑ （2）∑(1-cos) nn=1n2+1+nn=1∞1∞ （3）∑lnn n=2n∞1解：（1）由limn→∞nn2+n+n=lim=1 21n→∞n+n+nn111-cos21（2）lim=lim= 1n→∞n→∞12n2n2∵ ∑∞12n=1n 收敛∴原级数收敛lnn1（3）∵ >nn∴∑例、P2712、比判别法∞(n≥3) ∵ ∑1 发散，nn=1∞lnn 发散 n=1n例7.7 7.8 设正项级数∑un的一般项满足n=1∞un+1lim=ρ n→∞un则当ρ<1时，级数收敛，ρ>1时发散，ρ=1不定3、根值法设∑un为正项级数，如limun=ρn=1∞n→∞则当ρ<1时，级数收敛，ρ>1时发散，ρ=1不定正项级数判别其敛散性的步骤：⎧≠0发散首先考察limun⎨ n→∞=0需进一步判别⎩①如un中含n!或n的乘积通常选用比值法；②如un是以n为指数幂的因子，通常用根值法，也可用比值法；③如un含形如nα（α可以不是整数）因子，通常用比较法；④利用级数性质判别其敛散性；⑤据定义判别级数敛散性，考察limSn是否存在，实际上考察{Sn}n→∞是否有上界。

第七章无穷级数

第七章无穷级数7.1数项级数敛散性的判别方法一基本概念定义1 级数收敛令121nn n kk s u u u u==+++=∑ ，若lim n n s s →∞=，则称级数1nn u∞=∑收敛，若不然，则称1nn u∞=∑发散；定义2 正项级数若1nn u∞=∑,0n u ≥，则称1nn u∞=∑为正项级数；定义3 交错级数若1(1)nnn u∞=-∑或11(1)n n n u ∞-=-∑,0n u ≥，则称1n n u ∞=∑为交错级数定义4 绝对收敛若1nn u∞=∑收敛，则称1nn u∞=∑为绝对收敛；（绝对收敛级数的本身也收敛）定义5 条件收敛若1nn u∞=∑发散，而1nn u∞=∑收敛，则称1nn u∞=∑为条件收敛．二基本结论定理1 （级数1nn u∞=∑的敛散性，其中n nn u u u '''=+）（1）若1n n u ∞='∑和1nn u ∞=''∑都收敛，则1nn u∞=∑收敛．（2）若1nn u ∞='∑和1nn u ∞=''∑一个收敛，另一个发散，则1nn u∞=∑一定发散．（3）若1nn u ∞='∑和1nn u ∞=''∑都发散，1nn u∞=∑敛散性不确定．（4）若1nn u ∞='∑和1nn u ∞=''∑都绝对收敛，则1nn u∞=∑绝对收敛．（5）1nn u ∞='∑和1n n u ∞=''∑一个绝对收敛，另一个条件收敛，则1nn u∞=∑条件收敛．（6）1nn u ∞='∑和1nn u ∞=''∑都是条件收敛，则1nn u∞=∑一定收敛，但其绝对收敛还是条件收敛不确定．定理2 两个重要级数的敛散性（1）等比级数敛散性等比级数1nn aq∞=∑的公比的绝对值小于1时，级数收敛，其和等于1减公比分之首项．（2）几何级数敛散性 p 级数11p n n ∞=∑，当1p >时，收敛；当1p ≤时，发散．三基本方法题型1．正项级数敛散性的判别方法：比较法，比值法，根植法。

高等数学第七章无穷级数

的敛散性. 证: 将级数的部分和为
n 1
un 的前 k 项去掉, 所得新级数
n

n uk l S k n S k
l 1
极限状况相同, 故新旧两级
数敛散性相同.
当级数收敛时, 其和的关系为 S S k .
类似可证前面加上有限项的情况 .
例1. 设级数
的第n次部分和判定级数的敛散性。若级数收敛，求它的和。解: u1 u2 un S n n 2n 1 的第n次部分和 u3 u4 un1 un2 S n 2 u1 u2
即
给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依定义：
次相加, 简记为 u n , 即
n 1

称上式为无穷级数，其中第 n 项 u n 叫做级数的通项, 级数的前 n 项和
称为级数的部分和. 收敛 ,
则称无穷级数
并称 S 为级数的和, 记作
则称无穷级数发散 .

1 1 1 n n p 1 1 1 p 1 p 1 (k 1) (n 1) k 1 k
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
n
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 N Z , 对一切 n N ,
S

n 1
un ,

n 1
vn

则级数 ( u n vn ) 也收敛, 其和为 S .
n 1
证: 令 S n
n
k 1
u k , n vk ,
k 1
n
n
则
n ( u k vk )

第七章-无穷级数

11
(1 ) ( ) L ( )
2 23
n n1
1
lim
n
Sn
lim(1
n
n
) 1
1
1 1 n1
故级数收敛,其和为1. (例2解法称为连锁相销法）
例3 讨论几何级数(等比级数)
aqn1 a aq aq2 L aqn1 L
n1
的敛散性.若收敛,则求出其和.u(n 参 aq见n1书P272例1）
其中的一种各项正负相间的特殊情形 ——交错级数,
它是一种常见而有实用价值的特殊级数.
(二) 交错级数的莱布尼兹判别法
设un>0，(n=1,2,…)，则称
(1)n1 un u1 u2 u3 u4 L
n1
为交错级数。例如
(1)n1 1
n1
n
等等。
（7.7)
对于交错级数，判定其敛散性，有如下使用方便的莱
a n n
a0 1
.
由上面的性质5，级数
un
发散。
n1
例2 若级数 un 收敛，则下列级数不收敛的是（ B ） 1
A. 2un 1
B. (un 2) 1
C. 2 un
1
D. un nk
分析与解：注意到已知
un
收敛，由性质2知
1
2un
是收敛的；
1
由性质3 知，C、D 所示级数也是收敛的；
n1
aun收敛到aS ;若级数 un 发散，则 aun
n1
n1
n1
也发散。
性质3. 将级数 un 的前面加上(或去掉)有限项， n1
级数的敛散性不变。（当然，收敛时，和一般要变）
性质4. 收敛级数加括号后得到的级数仍收敛，且和不变。

7考研数学大纲知识点解析(第七章无穷级数(数学一)和傅里叶级数(数学一))

，
使
，于是
．令
，当充分大时，有
因为
收敛，所以级数
绝对收敛．
【综合题】（04 年，数学一）设有方程
，其中为正整数．证明此方程存
在唯一正实根，并证明当
时，级数
收敛．
【证明】记
．当
时，
，
故
在
上单调增加．
由于
，根据连续函数的零点存在定理知方程
存在唯一正实根，且
．从而当
时，有
，
而正项级数
收敛，所以当
在其收敛域上可以逐项积分，即
，且积分后的幂级数的收敛半径与原级数的收敛半径相同．
【函数展开成幂级数】
设
在
点的邻域
存在任意阶导数，则称幂级数
为
在
点处的泰勒级数．
特别地，当
时，称幂级数
【泰勒级数收敛充要条件】设函数
敛于
的充要条件为
，为
的麦克劳林级数．
在
内存在任意阶导数，则其泰勒级数收
，
其中
．
【常见麦克劳林级数】
（A）发散．
（C）绝对收敛．【答案】（C）．
收敛，则级数（B）条件收敛．（D）收敛性与有关．
【解析】由于
，
又级数
与
均收敛，所以由级数的运算性质得级数
收敛，
由正项级数的比较判别法，得级数
绝对收敛．故选（C）．
【例题】（03 年，数学三）
设
，则下列命题正确的是．
（A）若
条件收敛，则
与
都收敛．
【解析】因
当
时，因级数
设
，所以收敛半径
．
及
发散，故收敛域为

7 无穷级数-1

∞
5.232323… 表示成两个整数之比. 例5: 把循环小数 5.232323 表示成两个整数之比. 解:
5.232323= 5 +
23 23 23 + + + 2 3 100 100 100 23 23 518 用例中的公式用例4中的公式 = 5 + 100 = 5 + = 1 99 99 1 100
+
vn )
∑(u
n=1
n→∞ ∞
n→∞
n
± vn ) = S ±W = ∑un ± ∑vn
n=1 n=1
∞
∞
性质2: 性质如果级数 ∑ un = S , 则级数
∑au
n=1
∞
n
= au1 + au2 ++ aun += aS
其中a 为任意常数. 其中为任意常数. 证: 设 Sn = u1 + u2 + u3 + … + un ,且 lim Sn = S 项部分和为T 又设级数 ∑ aun 的前 n 项部分和为 n ,则 Tn = au1 + au2 + … + aun = a (u1 + u2 + u3 + … + un ) = a Sn 因此 lim Tn = lim aSn = a lim Sn = aS 所以 ∑aun = aS = a∑un 没有极限, 也没有极限. 由Tn = a Sn 知, 若 Sn 没有极限则 Tn也没有极限.得到的常数后, 其敛散性不变. 级数每一项同乘以不为 0 的常数后其敛散性不变.
1. 定义给定一个数列{un},则表达式定义: u1 + u2 + u3 + … + un + … 称为无穷级数简称级数简称级数). 简记为 ∑ un , 称为无穷级数 (简称级数 . 称为级数的一般项. 第 n 项 un 称为级数的一般项. 项的和, 部分和, 级数的前 n 项的和称为级数的前 n 项部分和记为 Sn , 即:

第七章：无穷级数

第七章：无穷级数本章重点是判断数项级数的敛散性，幂级数与傅里叶级数的展开与求和． §7.1 数项级数本节重点是级数的性质，正项级数的几个判别法，交错级数的莱布尼兹判别法，任意项级数绝对收敛与条件收敛．● 常考知识点精讲一、数项级数的概念1．数项级数定义定义：设{}n u 是一个数列，则称表达式121nn n uu u u ∞==++++∑为一个数项级数，简称级数，其中第n 项n u 称为级数的通项或一般项，1nn kk S u==∑称为级数的前n 项部分和． 2．级数收敛的定义定义：若数项级数1nn u∞=∑的部分和数列{}n S 有极限，则称级数1nn u∞=∑收敛，极限值lim n n S →∞称为此级数的和．当lim n n S →∞不存在时，则称级数1nn u∞=∑发散．利用级数收敛的定义，易知当1q <时，几何级数1n n q ∞=∑收敛，和为11q-；当1q ≥，几何级数发散．[例1.1] 判断下列级数的敛散性⑴11(1)n n n ∞=+∑⑵1n ∞=∑解：⑴由于 1111223(1)n S n n =+++⋅⋅+111111(1)()()122311n n n =-+-++-=-++ 所以 1lim lim(1)11n n n S n→∞→∞=-=+，故级数11(1)n n n ∞=+∑收敛．⑵由于(11n S n =++++=所以lim n n S →∞=+∞，故级数1n ∞=∑发散．二、级数的基本性质及收敛的必要条件1．设11,n nn n u v∞∞==∑∑都收敛，和分别为,a b ，则1()nn n uv ∞=±∑必收敛，且1()n n n u v a b ∞=±=±∑；2．设k 为非零常数，则级数1nn u∞=∑与1nn ku∞=∑有相同的敛散性；3．改变级数的前有限项，不影响级数的敛散性； 4．级数收敛的必要条件：如果1nn u∞=∑收敛，则lim 0n n u →∞=；[例1.2] 判断下列级数的敛散性⑴111111210420210n n+++++++ ⑵1(21)(1)(2)n n n n n ∞=+++∑ 解：⑴由于112n n ∞=∑收敛，1110n n∞=∑发散，所以 111()210n n n ∞=+∑发散，由性质5的“注”可知级数111111210420210n n+++++++发散；⑵ 由于(21)lim20(1)(2)n n n n n →∞+=≠++，不满足级数收敛的必要条件，所以级数1(21)(1)(2)n n n n n ∞=+++∑发散．三、正项级数及其敛散性判别法各项为非负（0n u ≥）的级数1nn u∞=∑称为正项级数．1．正项级数收敛的基本定理定理：设{}n S 是正项级数1nn u∞=∑的部分和数列，则正项级数1nn u∞=∑收敛的充要条件是数列{}n S 有界．当1p >时，p 级数11pn n∞=∑收敛；当1p ≤时，p 级数发散．（1p =时的p 级数也叫调和级数）2．正项级数的比较判别法定理：（正项级数比较判别法的非极限形式）设11,n nn n u v∞∞==∑∑都是正项级数，并设0,()n n u v n N ≤≥，则⑴ 若1nn v∞=∑收敛，则1nn u∞=∑收敛；⑵ 若1nn u∞=∑发散，则1nn v∞=∑发散．定理：（正项级数比较判别法的极限形式）设11,n n n n u v ∞∞==∑∑都是正项级数，并设limnn nu v ρ→∞=或为+∞，则⑴ 当ρ为非零常数时，级数11,nnn n u v∞∞==∑∑有相同的敛散性；⑵ 当0ρ=时，若1nn v∞=∑收敛，则必有1nn u∞=∑收敛；⑶ 当ρ=+∞时，若1nn v∞=∑发散，则必有1nn u∞=∑发散．定理：设1n n u ∞=∑是正项级数，若1limn n nu u ρ+→∞=或为+∞，则级数1n n u ∞=∑有 ⑴ 当1ρ<时，收敛； ⑵ 当1ρ>或∞时，发散； ⑶ 当1ρ=时，敛散性不确定．1,2,)，则级数如果正项级数通项中含有阶乘，一般用比值判别法判定该级数的敛散4．正项级数的根值判别法将比值判别法中的1n nu u +，其它文字叙述、结论均不改动，即为根值判别法． 5．利用通项关于无穷小1n的阶判定正项级数的敛散性定理：设1n n u ∞=∑是正项级数，n u 为1()n n →∞的k 阶无穷小，则当1k >时，正项级数1nn u ∞=∑收敛；当1k ≤时，正项级数1nn u∞=∑发散．[例1.3] 判断下列级数的敛散性 ⑴1111n nn∞+=∑⑵213n n n ∞=∑ ⑶11(ln(1))n n n ∞=+∑ ⑷1n ∞=解：⑴ 由于111lim lim 11nnn nn+→∞==，而级数11n n ∞=∑发散，故原级数发散； ⑵ 由于2112(1)31lim lim133n n n n n nu n u n ++→∞→∞+=⨯=<，所以由比值判别法可得，原级数收敛；⑶ 由于1lim 01ln(1)n n n →∞==<+，所以由根值判别法可知，原级数收敛；⑷ 为1()n n →∞的32阶无穷小，所以原级数收敛．四、交错级数及其敛散性判别法1．交错级数定义定义：若级数的各项是正项与负项交错出现，即形如112341(1),(0)n n n n u u u u u u ∞-=-=-+-+>∑的级数，称为交错级数．2．交错级数的莱布尼兹判别法定理：若交错级数11(1),(0)n n n n u u ∞-=->∑满足条件⑴ 1(1,2,)n n u u n +≥=；⑵ lim 0n n u →∞=，则交错级数11(1),(0)n n n n u u ∞-=->∑收敛，其和1S u ≤其余项n S S -满足1n n S S u +-≤．五、任意项级数及其绝对收敛若级数1nn u∞=∑的各项为任意实数，则称它为任意项级数．1．条件收敛、绝对收敛若1nn u∞=∑收敛，则称1nn u∞=∑绝对收敛；若1nn u∞=∑发散但1nn u∞=∑收敛，则称1nn u∞=∑条件收敛．2．任意项级数的判别法定理：若级数1nn u∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛．即绝对收敛的级数一定收敛．[例1.4] 判断下列级数是否收敛？若收敛，指明是绝对收敛还是条件收敛 ⑴111(1)3n n n n ∞--=-∑ ⑵111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑ 解：⑴ 记11(1)3n n n nu --=- 因为 11131l i m l i m 133n n n n n nu n u n -+→∞→∞+=⨯=< 所以级数1nn u∞=∑收敛，故原级数收敛且为绝对收敛；⑵ 记11(1)ln(1)n n u n -=-+由于1n u n >，而11n n ∞=∑发散，所以级数1n n u ∞=∑发散又1nn u∞=∑是一交错级数，10()ln(1)n u n n =→→∞+，且1n n u u +>，由莱布尼兹定理知，原级数收敛，故原级数条件收敛．●● 常考题型及其解法与技巧一、概念、性质的理解[例7.1.1] 已知11(1)2n n n a ∞-=-=∑，2115n n a ∞-==∑，则级数1n n a ∞=∑的和等于__________.解：由于11(1)2n n n a ∞-=-=∑，所以根据级数的性质可得 21212()n n n a a ∞-==-∑从而21212211352[()]n n n n n n aa a a ∞∞--===-=--=∑∑因此21211()538n n n n n a aa ∞∞-===+=+=∑∑．[例7.1.2] 设10n u n≤≤，则下列级数中肯定收敛的是（A ）1nn u∞=∑；（B ）1(1)nnn u∞=-∑；（C）n ∞=；（D ）21(1)nnn u∞=-∑解：取11n u n =+，则10n u n ≤≤，此时（A ）1n n u ∞=∑与（C）n ∞=都发散；若取1(1)2n n u n +-=，则10n u n ≤≤，此时（B ）111(1)2nn n n u n∞∞==-=∑∑发散；由排除法可得应选（D ）．事实上，若10n u n ≤≤，则2210n u n≤≤，根据“比较判别法”得21nn u∞=∑收敛．从而21(1)nnn u∞=-∑收敛，故应选（D ）．[例7.1.3] 已知级数2121()n n n uu ∞-=+∑发散，则（A ）1nn u∞=∑一定收敛，（B ）1nn u∞=∑一定发散（C ）1nn u=∑不一定收敛（D ）lim 0n n u →∞≠解：假设1nn u∞=∑收敛，则根据级数敛散的性质，不改变各项的次序加括号后得到的新级数仍然收敛，即2121()n n n uu ∞-=+∑也收敛．这与已知矛盾，故1n n u ∞=∑一定发散．应选（B ）． [例7.1.4] 设正项级数1n n u ∞=∑的部分和为n S ，又1n nv S =，已知级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1nn u ∞=∑必（A ）收敛（B ）发散（C ）敛散性不定（D ）可能收敛也可能发散解：由于级数1n n v ∞=∑收敛，所以根据收敛的必要条件可得lim 0n n v →∞=，又1n nv S =，所以lim n n S →∞=∞，故级数1n n u ∞=∑发散，故应选（B ）．[例7.1.5] 设有命题（1）若1nn a∞=∑收敛，则21nn a∞=∑收敛；（2）若1n n a ∞=∑为正项级数，且11(1,2,)n n a n a +<=，则1n n a ∞=∑收敛；（3）若存在极限lim 0nn nu l v →∞=≠，且1n n v ∞=∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛；（4）若(1,2,3,)n n n w u v n <<=，又1n n v ∞=∑与1n n w ∞=∑都收敛，则1n n u ∞=∑收敛．则上述命题中正确的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4解：关于命题（1），令(1)n n a n -=，则1n n a ∞=∑收敛，但21112n n n a n ∞∞===∑∑发散，所以不正确；关于命题（2），令1n a n =，则1n n a ∞=∑为正项级数，且11(1,2,)n na n a +<=，但1n n a ∞=∑发散，所以不正确；关于命题（3），令1nnn n u v n ==则在极限lim 0n n nu l v →∞=≠，且1n n v ∞=∑收敛，但1nn u=∑发散，所以不正确；关于命题（4），因为(1,2,3,)n n n w u v n <<=，所以0n n n n u w v w <-<-，因为1n n v ∞=∑与1nn w∞=∑都收敛，所以由“比较判别法”知1()nn n uw ∞=-∑收敛，故1n n u ∞=∑收敛．故应选（A ）．二、正项级数敛散性的判定正项级数1nn u∞=∑判别敛散的思路：①首先考察lim n n u →∞（若不为零，则级数发散；若等于零，需进一步判定）；②根据一般项的特点选择相应的判别法判定．[例7.1.6] 判断下列级数的敛散性（1）21sin 2n n n π∞=∑ （2）1!2n n n n n ∞=∑ （3）221(1)2n n n n n n∞=+∑（4）312ln n n n∞=∑（5）1n ∞= （6）321n n∞= 解：（1）用比值法．221122(1)sin(1)122limlim12sin22n n n n nn n n n n ππππ++→∞→∞++⋅==<⋅，所以原级数收敛．（2）用比值法．11(1)!22(1)lim2lim 1!2(1)n n n n n n n nn n n n n en ++→∞→∞++==<+，所以原级数收敛．（3）用根值法．1(1)lim 122n n n n n e n →∞+==>，所以原级数发散．（4）用比较法．取541n v n =，因为14ln lim lim 0n n n n u n v n →∞→∞==，而5141n n∞=∑收敛，所以原级数收敛．（5）用比较法．取1n v n =，因为lim 1n n n nu v →∞==，而11n n ∞=∑发散，所以原级数发散．（6）由于3210n =≠，故由级数收敛的必要条件知原级数发散．[例7.1.7] 判断下列级数的敛散性（1）1(sin )n n n ππ∞=-∑ （2）111(ln(1))n n n ∞=-+∑ 分析：用比值判别法失效，用比较判别法不易找到用来作比较的级数，此时一般利用通项关于无穷小1n的阶判定正项级数的敛散性．解：（1）考查 sin lim 1()n k nn nππ→∞-换成连续变量x ，再用罗必达法则，2110001()sin()cos()2lim lim lim k k k x x x x x x x x kx kxπππππππ+++--→→→--== 取3k =，上述极限值为316π．所以原级数与311n n∞=∑同敛散，故原级数收敛．（2）考查 11ln(1)lim 1()n k nn n→∞-+ 换成连续变量x ，再用罗必达法则，1200011ln(1)11lim lim lim (1)k k k x x x x x x x kx kx x +++--→→→--++==+ 取2k =，上述极限值为12．所以原级数与211n n ∞=∑同敛散，故原级数收敛． [例7.1.8] 研究下列级数的敛散性（1）1!n n n a n n∞=∑（0a >是常数）；（2）1nn n αβ∞=∑，这里α为任意实数，β为非负实数．分析：此例中两个级数的通项都含有参数．一般说来，级数的敛散性与这些参数的取值有关．对这种情况通常由比值判别法进行讨论．解：（1）记!n n n a n u n=，由比值判别法可得111(1)!lim lim lim 1(1)!(1)n n n n n n n n n n u a n n a au n a n e n+++→∞→∞→∞+=⋅==++ 显然，当a e <时，级数收敛；当a e >时，级数发散；当a e =时，由于111(1)!11(1)!(1)n n n n n nn u e n n eu n e n n++++=⋅=>++，所以lim 0n n u →∞≠，故级数发散．（2）记n n u n αβ=，由比值判别法可得11(1)1l i m l i m l i m ()n n n n n n nu n n u n nαααββββ++→∞→∞→∞++==⋅= 显然，当01β≤<，α为任意实数时，级数收敛；当1β>时，α为任意实数时，级数发散；当1β=时，比值判别法失效．这时n u n α=，由p 级数的敛散性知，当1α<-时，级数收敛；当1α≥-时，级数发散．[例7.1.9] 判别下列级数的敛散性（1）1n ∞=∑ （2）11n n n e ∞+=∑⎰ 分析：此例两个级数的通项都是由积分给出的正项级数．如果能把积分求出来，再判定其敛散性，这样做固然可以，但一般工作量较大．常用的方法是利用积分的性质对积分进行估值．估值要适当：若放大则不等式右端应是某收敛的正项级数的通项；若缩小，则不等式左端应是某发散的正项级数的通项．解：（1）因为10x n <<<<132410()1n dx x n<<+⎰由于级数3211()n n∞=∑收敛，所以原级数收敛．（2）因为函数e在区间[,1]n n +上单减，所以110n n nne e e ++<<=⎰⎰由于22lim01n n e n→∞==，又因为级数211n n∞=∑收敛，所以原级数收敛．三、交错级数判定敛散判别交错级数1(1),(0)nnnn u u∞=->∑敛散性的方法：法一：利用莱布尼兹定理；法二：判定通项取绝对值所成的正项级数的敛散性，若收敛则原级数绝对收敛；法三：将通项拆成两项，若以此两项分别作通项的级数都收敛则原级数收敛；若一收敛另一发散，则原级数发散；法四：将级数并项，若并项后的级数发散，则原级数发散．[例7.1.10] 判定下列级数的敛散性（1）111(1)ln n n n n ∞-=--∑（2）nn ∞=（3）11111112223334-+-+-+⨯⨯⨯ （4）2011sin 46(1)2n n nn n ∞-=-∑ 解：（1）该级数是交错级数，显然1lim0ln n n n→∞=-．令1()ln f x x x =-，则211()0,(1)(ln )x f x x x x -+'=<≥-，所以1ln n n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭单调减少．由莱布尼兹判别法可知，原级数收敛．（2）不难得到数列⎧⎫不单调．而1(1)1n nn ==--，显然，级数211n n ∞=-∑发散；又级数2(1)nn ∞=-∑是交错级数，显然满足lim 01n n →∞=-，令2(),(1x f x x x =≥-，则2221()0(1)x f x x --'=<-，所以⎪⎪⎩⎭单调减少，由莱布尼兹判别法可得，级数2(1)nn ∞=-∑收敛．故由级数敛散的性质可得，原级数发散．（3）不难得到{}n u 不单调，但有1111111(1)()()122233341n n ∞=-+-+-+=⨯⨯⨯+∑即加括号后得到的新级数发散，利用级数的性质可知，原级数发散．（4）显然判定数列20sin 462n nn ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的单调性很麻烦．但 20sin 4622n nn n n ≤，而由比值判别法易得到级数12n n n ∞=∑收敛，所以级数201sin 462n n n n ∞=∑收敛．从而原级数收敛，且绝对收敛．四、判定任意项级数的敛散性对任意项级数1nn u∞=∑，主要研究它绝对收敛性和条件收敛性．解题的一般思路：①先看当n →∞时，级数的通项n u 是否趋向于零，若不趋于零，则级数发散；若趋于零，则②按正项级数敛散性的判别法，判定1nn u∞=∑是否收敛，若收敛，则级数1nn u∞=∑绝对收敛；若发散，则③若上述发散是由正项级数的比值判别法或根值判别法得到，则原级数发散；若是由比较判别法判定的，此时应利用交错级数莱布尼兹判别法或级数敛散的性质判定1nn u∞=∑是否收敛（若收敛则为条件收敛）．[例7.1.11] 讨论下列级数的敛散性，若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛，说明理由（1）21sin ,,n n n n αβπαβ∞=++∑为常数；（2）(1)1sin n n n x dx x ππ∞+=∑⎰；（3）111111111(0)12345678a a a a a a a a a a +-++-++-+≠++++++++．解：（1）2sinsin[()](1)sin()n n n n u n n n nαβββππαπαπ++==++=-+，由于当n 充分大时，sin()nβαπ+保持定号，所以级数从某项起以后为一交错级数．当α不是整数时，不论β取何值，总有lim lim sin()sin 0n n n u nβαπαπ→∞→∞=+=≠，故级数发散；当α是整数时，有(1)sin nn u n αβπ+=-，因而sin n u nβπ=，由于lim 1nn u nβπ→∞=所以利用比较判别法的极限形式可得，当0β≠时级数1nn u∞=∑发散，又因为sinn u nβπ=总是非增的趋于零，故由交错级数的“莱布尼兹判别法”知，级数1nn u∞=∑收敛，且为条件收敛；当0β=时，级数显然收敛，且绝对收敛．（2）由于(1)00sin (1)sin sin (1)n x n t n nnx t t dx dt dt x n tn t πππππππ=++-==-++⎰⎰⎰所以原级数为交错级数．先判定级数(1)011sin sin n nn n xt dx dt x n t ππππ∞∞+===+∑∑⎰⎰的敛散性由于当0x π<<时，sin sin sin t t t n n t n ππππ≤≤++，所以 02sin 2t dt n n t n πππππ≤≤++⎰由于级数12n n ππ∞=+∑发散，所以级数(1)011sin sin n n n n x t dx dt x n t ππππ∞∞+===+∑∑⎰⎰发散．因为原级数为交错级数，且满足莱布尼兹判别法的条件，因此级数为条件收敛．（3）这是任意项级数．考虑每三项加一括号所成的级数1111()333231n a n a n a n ∞=+-+-+-+-∑22196(1)21(33)(32)(31)n n n a a a a n a n a n ∞=+-+--=+-+-+-∑此级数的通项是n 的有理式，且分子的次数仅比分母的次数低一次，用比较判别法知它是发散的，由级数的基本性质可得，原级数发散．五、关于数项级数敛散性的证明题证明某个未给出通项具体表达式的级数收敛或发散这类题，一般用级数收敛的定义、比较判别法或级数的基本性质． [例7.1.12] 证明：如果级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑收敛，且(1,2,)n n n a c b n ≤≤=，则级数1nn c ∞=∑也收敛．证明：由n n n a c b ≤≤可得，0n n n n c a b a ≤-≤-；由级数收敛的基本性质可得1()nn n ba ∞=-∑收敛，故由正项级数的比较判别法可得1()n n n c a ∞=-∑收敛．又由于11[()]n nn n n n c ca a ∞∞===-+∑∑，所以级数1n n c ∞=∑收敛．[例7.1.13] 设11112,()2n n na a a a +==+(1,2,)n =，证明（Ⅰ）lim n n a →∞存在；（Ⅱ）级数11(1)nn n a a ∞=+-∑收敛．证明：（Ⅰ）由于111()2n n na a a +=+，所以根据均值不等式可得111()12n n n a a a +=+≥故数列{}n a 有下界．又因为21111()()22n n n n n n na a a a a a a +=+≤+=，所以{}n a 单调不增，从而由单调有界准则可知，lim n n a →∞存在．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，101n n a a +≤-，所以级数11(1)n n n aa ∞=+-∑是正项级数．又因为11111n n n n n n n a a aa a a a ++++--=≤-，而正项级数11()nn n aa ∞+=-∑的前n 项和11111()lim nn kk n n n k S aa a a a a ++→∞==-=-→-∑所以正项级数11()nn n aa ∞+=-∑是收敛的，由比较判别法知，原级数收敛．[例7.1.14] 设()f x 在点0x =的某一邻域内有连续二阶导数，且0()lim0x f x x→=，证明级数 11()n f n∞=∑绝对收敛．分析：已知条件中出现高阶导数，可考虑使用泰勒公式完成．证明：由于()f x 在点0x =连续，且0()lim0x f x x→=，所以可得(0)0,(0)0f f '==．将()f x 在点0x =展开成一阶泰勒公式，有 2211()(0)(0)()()2!2f x f f x f x f x ξξ'''''=++=．由于()f x ''在点0x =的某一邻域内连续，故存在0M >，使得在0x =的某小邻域内()f x M ''≤，从而211()2M f n n≤⋅（当n 充分大时）由比较判别法可知，级数11()n f n∞=∑绝对收敛． [例7.1.15] 若()f x 满足：⑴在区间[0,)+∞上单增；⑵lim ()x f x A →+∞=；⑶()f x ''存在，且()0f x ''≤．证明（Ⅰ）1[(1)()]n f n f n ∞=+-∑收敛；（Ⅱ）1()n f n ∞='∑收敛．证明：（Ⅰ）由于1[(1)()](1)(1)nn k S f k f k f n f ==+-=+-∑，所以lim lim (1)11n n n S f n A →∞→∞=+-=-，从而级数1[(1)()]n f n f n ∞=+-∑收敛．（Ⅱ）由于()f x ''存在，且()0f x ''≤，所以函数()f x '单调不增．又因为()f x 在区间[0,)+∞上单增，所以必有()0f x '≥，即级数1()n f n ∞='∑是正项级数．根据拉格朗日中值定理可得(1)()(),1n n f n f n f n n ξξ'+-=<<+，所以 (1)()()n f n f f n ξ'''+≤≤．由（Ⅰ）可知1()nn f ξ∞='∑收敛，所以根据正项级数的比较判别法知，级数1(1)n f n ∞='+∑收敛，再根据级数收敛的性质可得级数1()n f n ∞='∑收敛．六、其它[例7.1.16] 设正项数列{}n a 单调减少，且1(1)nnn a ∞=-∑发散，判定级数11()1nn na ∞=+∑的敛散性．解：正项数列{}n a 单调减少，由单调有界准则可得，lim n n a →∞存在，记为a （0a ≥）．因为级数1(1)nn n a ∞=-∑是交错级数，若lim 0n n a →∞=，由莱布尼兹判别法可知，该级数收敛．但题设该级数发散，所以必定有0a >，于是11lim 111n n n a a →∞==<++．由根值判别法知，级数11()1nn na ∞=+∑收敛．[例7.1.17] 讨论级数11111123421(2)xx xn n -+-++-+-在哪些x 处收敛？在哪些x处发散？解：⑴ 当1x =时，原级数为11111123456-+-+-+，这是交错级数，且满足“莱布尼兹判别法”的条件，故收敛；⑵ 当1x >时，2111111(1)(1)321223n x x x xS n n =+++-++++- 当n →∞时，111321n +++→+∞-，当n →∞时，1111(1)223x x x x n++++趋向定常数，故2lim n n S →∞发散，从而原级数发散；⑶ 当1x <时，211111111()()()2345(2)21n x x x S n n +=-------+ 由于1x <，所以上式中第一项以后的各项都为负的．考察级数111[](2)21x n n n ∞=-+∑，由于 111lim[]/1(2)21(2)x xn n n n →∞-=+，所以根据正项级数的“比较判别法”的极限形式知，级数111[](2)21x n n n ∞=-+∑发散．从而21lim n n S +→∞=-∞，即原级数发散．综上所述，当1x =时，级数收敛；当1x ≠时，级数发散． [例7.1.18] 已知111,cos n n a a a +==，判定级数1n n a ∞=∑的敛散性．分析：该级数的通项以递推公式给出，这给级数类型的判定以及通项n a 是否收敛于零带来困难．不妨先假设级数通项0()n a n →→∞，再看由递推公式两端取极限时能否导出矛盾．一旦产生矛盾，便可确定级数发散．解：若lim 0n n a →∞=，则1lim lim cos 1n n n n a a +→∞→∞==．这与假设矛盾．因此lim 0n n a →∞≠，原级数发散．[例7.1.19] 设a 为常数，1a ≠-，讨论级数111nn a∞=+∑的敛散性．解：由于存在na ，因此想到分1,1,1a a a <=>讨论．当1a <时，由于lim 0nn a →∞=，所以1lim101n n a →∞=≠+，级数发散；当1a =时，11n a +=12，所以11lim 012n n a →∞=≠+，级数发散；当1a >时，由于111111111lim lim lim 11111n n n n n n n n na a a a a a aa ---++--→∞→∞→∞+++===<+++，所以级数111n n a ∞=+∑收敛，故级数111nn a ∞=+∑收敛且绝对收敛． [例7.1.20] 已知11a =，对于1,2,n =，设曲线21y x =上点21(,)n na a 处的切线与x 轴交点的横坐标是1n a + （Ⅰ）求,2,3,n a n =；（Ⅱ）设n S 是以(,0)n a ，21(,)n n a a 和1(,0)n a +为顶点的三角形的面积，求级数1n n S ∞=∑的和解：（Ⅰ）曲线21y x =上点21(,)n na a 处的切线方程为 2312()n n nY X a a a -=-- 从而13(1,2,)2n n a a n +==，从而11133()()22n n n a a --== （Ⅱ）由题意11221111112()()222443n n n n n n n n a S a a a a a -+=⨯⨯-=⨯⨯== 所以11112113()2434413n n n n S ∞∞-====⨯=-∑∑．§7.2 幂级数本节重点是求幂级数的收敛域、求幂级数的和函数、将函数展开成幂级数．● 常考知识点精讲一、函数项级数的概念1．函数项级数的定义定义：设函数()(1,2,3)n u x n =都在D 上有定义，则称表达式121()()()nn u x u x u x ∞==++∑为定义在D 上的一个函数项级数，()n u x 称为通项，1()()n k k S x u x ∞==∑称为部分和函数．2．收敛域定义：设1()n n u x ∞=∑是定义在D 上的一个函数项级数，0xD ∈，若数项级数01()n n u x ∞=∑收敛，则称0x 是1()nn u x ∞=∑的一个收敛点．所有收敛点构成的集合称为级数的收敛域．3．和函数定义：设函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛域为I ，则任给x I ∈，存在唯一的实数()S x ，使得1()()n n S x u x ∞==∑成立．定义域为I 的函数()S x 称为级数1()n n u x ∞=∑的和函数．1．幂级数的定义定义：设{}(0,1,2,)n a n =是一实数列，则称形如00()n n n a x x ∞=-∑的函数项级数为0x 处的幂级数．00x =时的幂级数为0n n n a x ∞=∑．2．阿贝尔定理定理：对幂级数00()nn n a x x ∞=-∑有如下的结论： ⑴ 如果该幂级数在点1x 收敛，则对满足010x x x x -<-的一切的x 对应的级数()nnn a x x ∞=-∑都绝对收敛；⑵ 如果该幂级数在点2x 发散，则对满足020x x x x ->-的一切的x 对应的级数()nnn a x x ∞=-∑都发散．[例2.1] 若幂级数(2)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，问此级数在4x =处是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？解：由阿贝尔定理知，幂级数(2)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则对一切适合不等式2123x -<--=（即15x -<<）的x 该级数都绝对收敛．故所给级数在4x =处收敛且绝对收敛．三、幂级数收敛半径、收敛区间如果幂级数()nnn a x x ∞=-∑不是仅在0x x =处收敛，也不是在整个数轴上收敛，则必定存在一个正数R ，它具有下述性质： ⑴ 当0x x R -<时，0()nnn a x x ∞=-∑绝对收敛；⑵ 当0x x R ->时，()nnn a x x ∞=-∑发散．如果幂级数()n n n a x x ∞=-∑仅在0x x =处收敛，定义0R =；如果幂级数()nnn a x x ∞=-∑在(,)-∞+∞内收敛，则定义R =+∞．则称上述R 为幂级数()nnn a x x ∞=-∑的收敛半径．称开区间00(,)x R x R -+为幂级数()nnn a x x ∞=-∑的收敛区间．四、幂级数收敛半径的求法求幂级数()nnn a x x ∞=-∑的收敛半径R法一：⑴ 求极限11000()()lim ()n n nn n a x x x x a x x ρ++→∞--=-⑵ 令00()1x x x x m ρ-<⇒-<则收敛半径为R m =；法二：若n a 满足0n a ≠，则1limnn n a R a →∞+=；法三；⑴求极限0()n x x ρ-=⑵ 令00()1x x x x m ρ-<⇒-< 则收敛半径为R m =．[例2.2] 求下列幂级数的收敛域⑴12!n n n x n ∞=∑⑵1nn ∞= ⑶221212n nn n x ∞-=-∑ 解：⑴ 收敛半径1112(1)!lim lim 2!1n n n n n n a n R a n +→∞→∞++==⨯=+∞，所以收敛域为(,)-∞+∞；⑵收敛半径1lim1n n n n a R a →∞+=== 当51x -=-时，对应级数为1nn ∞=这是收敛的交错级数，当51x -=时，对应级数为1n ∞=P -级数，于是该幂级数收敛域为[4,6)；⑶ 由于22122212()lim 2(21)2nn n n n x n x x n x ρ+-→∞+=⨯=- 令()1x ρ<，可得x <R =当x =1212n n ∞=-∑，此级数发散，于是原幂级数的收敛域为(．五、幂级数的性质设幂级数()nnn a x x ∞=-∑收敛半径为1R ；()nnn b x x ∞=-∑收敛半径为2R ，则1．000()()()()nnnnnn n n n n a x x b x x ab x x ∞∞∞===-±-=±-∑∑∑，收敛半径12min(,)R R R ≥； 2．0001[()][()]()()nnnn nni n in n n i a x x b x x a bx x ∞∞∞-====-⋅-=-∑∑∑∑，收敛半径12min(,)R R R ≥； 3．幂级数00()nn n a x x ∞=-∑的和函数()S x 在其收敛域I 上连续； 4．幂级数在其收敛区间内可以逐项求导，且求导后所得到的幂级数的收敛半径仍为R ．即有11()[()][()]()nnn nnnn n n S x a x x a x x na x x ∞∞∞-==='''=-=-=-∑∑∑．5．幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，且积分后所得到的幂级数的收敛半径仍为R ．即有100001()[()][()]()1xxxnnn n n nx x x n n n S x d x a x x d x a x x d x a x xn ∞∞∞+====-=-=-+∑∑∑⎰⎰⎰[例2.3] 用逐项求导或逐项积分求下列幂级数在收敛区间内的和函数 ⑴11(11)n n nxx ∞-=-<<∑ ⑵411(11)41n n x x n +∞=-<<+∑解：⑴ 令11()(11)n n S x nxx ∞-==-<<∑，则111()()1xxn n n n x S x dx nxdx x x∞∞-=====-∑∑⎰⎰ 所以2211(),(11)(1)(1)x x S x x x x -+==-<<--；⑵ 令411()(11)41n n x S x x n +∞==-<<+∑，则4144411()()411n nn n x x S x x n x +∞∞==''===+-∑∑ 所以4422001111()(1)12121xx x S x dx dx x x x==-+⋅+⋅-+-⎰⎰ 111ln arctan 412x x x x +=+--，(11)x -<<．六、函数展开成幂级数1．函数展开成幂级数的定义定义：设函数()f x 在区间I 上有定义，0x I ∈，若存在幂级数()nnn a x x ∞=-∑，使得()(),nnn f x a x x x I ∞==-∀∈∑则称()f x 在区间I 上能展开成0x 处的幂级数． 2．展开形式的唯一性定理：若函数()f x 在区间I 上能展开成0x 处的幂级数 0()(),nnn f x a x x x I ∞==-∀∈∑则其展开式是唯一的，且()0()(0,1,2,)!n n f x a n n ==．七、泰勒级数与麦克劳林级数1．泰勒级数与麦克劳林级数的定义定义：如果()f x 在0x 的某一邻域内具有任意阶导数，则称幂级数()()00000000()()()()()()()!1!!n n n n n f x f x f x x x f x x x x x n n ∞='-=+-++-+∑为函数()f x 在0x 点的泰勒级数．当00x =时，称幂级数()()0(0)(0)(0)(0)!1!!n n n nn f f f x f x x n n ∞='=++++∑为函数()f x 的麦克劳林级数． 2．函数展开成泰勒级数的充要条件定理：函数()f x 在0x I ∈处的泰勒级数在I 上收敛到()f x 的充分必要条件是：()f x 在0x 处的泰勒公式()000()()()()!k nk n k f x f x x x R x k ==-+∑的余项()n R x 在I 上收敛到零，即对任意的x I ∈，都有lim ()0n n R x →∞=．八、函数展开成幂级数的方法1．直接法利用泰勒级数的定义及泰勒级数收敛的充要条件，将函数在某个区间上直接展开成指定点的泰勒级数的方法． 2．间接法通过一定的运算将函数转化为其它函数，进而利用新函数的幂级数展开将原来的函数展开成幂级数的方法．所用的运算主要是四则运算、（逐项）积分、（逐项）求导、变量代换．利用的幂级数展开式是下列一些常用函数的麦克劳林展开公式．幂级数常用的七个展开式0,(,)!nxn x e x n ∞==∈-∞+∞∑210sin (1),(,)(21)!n nn x x x n +∞==-∈-∞+∞+∑20cos (1),(,)(2)!nnn x x x n ∞==-∈-∞+∞∑1ln(1)(1),111n nn x x x n +∞=+=--<≤+∑2(1)(1)(2)(1)(1)1,(1,1)2!!n n x x x x x n αααααααα----++=+++++∈-1,(1,1)1n n x x x ∞==∈--∑1(1),(1,1)1n n n x x x ∞==-∈-+∑．●● 常考题型及其解法与技巧一、阿贝尔定理的应用[例7.2.1] 设幂级数nn n a x∞=∑的收敛半径为2，则幂级数1(3)nn n a x ∞=-∑在下列点处必收敛（A ）{}2,3,4,e （B ）12,1,0,e ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭（C ）{}1,5 （D ）{}1,2,3,4,5,e解：由于nn n a x∞=∑与1(3)nn n a x ∞=-∑有相同的收敛半径，所以当32x -<的时候对应的级数1(3)nn n a x ∞=-∑都绝对收敛，显然集合{}2,3,4,e 中的点都满足不等式32x -<，故选（A ）[例7.2.2] 如级数nn n a x∞=∑在2x =处收敛，问级数1()2nn n a x ∞=-∑在2x =-处敛散性怎样？解：由阿贝尔定理，对一切2x <的x 值，级数0nn n a x ∞=∑绝对收敛，从而级数01()2nnn a x ∞=-∑满足：对一切122x -<的x 值，级数01()2n n n a x ∞=-∑绝对收敛．现2x =-显然不满足122x -<，故级数01()2n n n a x ∞=-∑在2x =-处敛散性不确定．[例7.2.3] 设1(1)2nnn n a ∞=-∑收敛，则1n n a ∞=∑（A ）条件收敛（B ）绝对收敛（C ）发散（D ）不定解：考查幂级数1nn n a x∞=∑，由于1(1)2nnn n a ∞=-∑收敛，所以幂级数1n n n a x ∞=∑在2x =-点收敛，根据阿贝尔定理当2x <-时，对应的幂级数都绝对收敛，所以当1x =时，对应的幂级数绝对收敛，而此时对应级数为1nn a∞=∑．所以应选（B ）[例7.2.4] 设幂级数1(1)nn n a x ∞=+∑在3x =处条件收敛，则该幂级数的收敛半径为_______．解：由于1(1)nn n a x ∞=+∑在3x =处条件收敛，由阿贝尔定理得，当14x +<时级数1(1)nn n a x ∞=+∑绝对收敛．所以收敛半径4R ≥；假设4R >．由收敛半径的定义知1x R +<时，对应的级数都绝对收敛，所以级数在3x =处应绝对收敛，矛盾．所以4R ≤．因此收敛半径4R =．二、收敛半径、收敛区间、收敛域求幂级数收敛半径的方法我们在常考知识点中介绍过，如果幂级数中的幂次是按自然数顺序依次递增的，这时幂级数()nnn a x x ∞=-∑的收敛半径的计算公式1limnn n a R a →∞+=如果幂级数中的幂次不是按自然数顺序依次递增的（如缺少奇数次幂或缺偶次幂等），这时不能用上面的公式计算收敛半径，而必须使用正项级数的比值判别法或根值判别法（即常考知识点中介绍的法一与法三）求出幂级数的收敛半径．设幂级数()nnn a x x ∞=-∑的收敛半径为R ．为了求幂级数的收敛域还需判别在x =0x R -与0x x R =+处级数00()n n n a x x ∞=-∑的敛散性．[例7.2.5] 求下列幂级数的收敛半径和收敛域（1）1!()n n x e n n ∞=-∑ （2）2311n n n x n ∞=+∑ （3）2111(1)3(21)n n nn x n +∞-=-+∑ （4）21(21)n n x n n ∞=-∑ （5）14(1)1(1)[4(1)]!n n n xn -∞-=--∑ 解：（1）此级数x e -的幂次是按自然数顺序依次递增的，其收敛半径可直接按公式计算：11!(1)1lim lim lim(1)(1)!n n n n n n n n a n n R e a n n n +→∞→∞→∞++==⨯=+=+在2x e e e =+=处，级数成为1!()nn en n ∞=∑，由[例7.1.8]中的（1）可知该级数发散；在0x e e =-=处，级数成为1!()nn e n n∞=-∑，可判定发散．故原级数的收敛域为(0,2)e ．（2）此级数的收敛半径也可按公式计算：23321(1)1lim lim 11(1)n n n n a n n R a n n →∞→∞+++==⋅=++ 在1x =-处，级数成为231(1)1n n n n ∞=-+∑，这是交错级数，满足莱布尼兹定理的条件，故收敛；在1x =处，级数成为2311n n n ∞=+∑，由于23lim 111n n n n →∞⨯=+，而级数11n n ∞=∑发散，故级数2311n n n ∞=+∑发散．因此所给级数的收敛域为[1,1)-．（3）此级数缺少x 的偶次幂．故需利用比值判别法求收敛半径．2321121(1)3(21)1()lim 3(23)(1)3n n n n n n n x n x x n x ρ++-+→∞-+=⨯=+-令()1x ρ<可得，x <，故收敛半径为R =．在x =级数成为1(1)nn ∞=-∑，这是交错级数，满足莱布尼兹定理的条件，故收敛；在x =级数成为11(1)21n n n ∞-=-+∑，这是交错级数，满足莱布尼兹定理的条件，故收敛．因此所给级数的收敛域为[．（4）此级数缺少x 的奇次幂．故需利用比值判别法求收敛半径．2222(21)()lim (1)(21)n n n x n n x x n n xρ+→∞-=⋅=++ 令()1x ρ<可得，1x <，故收敛半径为1R =．在1x =-处，级数成为11(21)n n n ∞=-∑，该级数显然收敛；在1x =处，级数成为11(21)n n n ∞=-∑，该级数收敛．因此所给级数的收敛域为[1,1]-．（5）此级数中的x 的幂次不是按自然顺依次递增的．故需用比值判别法求收敛半径．4414(1)(1)[4(1)]!()lim 0(4)!(1)n n n n n x n x x n xρ--→∞--=⋅=⋅- 令()1x ρ<可得，(,)x ∈-∞+∞，故收敛半径为R =+∞．于是幂级数的收敛域为(,)-∞+∞．[例7.2.6] 求幂级数21()(,0)n n nn a b x a b nn ∞=+>∑的收敛域．解：设幂级数1n n n a x n ∞=∑，21n nn b x n∞=∑的收敛半径分别为12,R R ，则11R a =，21R b =．因此幂级数的收敛半径为1211min(,)min(,)R R R a b==．（1）若a b ≥，则1R a =．在1x a =-，级数为21111(1)(1)()n n n n n b n n a ∞∞==-+-∑∑收敛；在1x a =，级数为21111()nn n b n na ∞∞==+∑∑发散，从而收敛域为11[,)a a -．（2）若a b <，则1R b=．在1x b =-，级数为21111(1)()(1)n nn n n a n b n ∞∞==-+-∑∑收敛；在1x b =，级数为21111()n n n a n b n∞∞==+∑∑收敛；，从而收敛域为11[,]b b -．[例7.2.7] 已知幂级数(3)nn n a x ∞=-∑在0x =处收敛，在6x =处发散，求其收敛域．解：由于幂级数级数(3)nnn a x ∞=-∑在0x =处收敛，由阿贝尔定理可得，当3033x -<-=时，对应的幂级数绝对收敛，所以收敛半径3R ≥；假设收敛半径3R >，由收敛半径的定义可知，3x R -<时，对应的级数都绝对收敛，而633R -=<，所以级数(3)nn n a x ∞=-∑在6x =处绝对收敛，与已知矛盾．故3R ≤．综上可得，收敛半径3R =．又因为级数(3)nn n a x ∞=-∑在0x =处收敛，在6x =处发散，故收敛域为[0,6)．三、函数项级数求收敛域函数项级数1()n n u x ∞=∑求收敛域的基本方法：⑴ 用正项级数比值判别法（或根值判别法）求1()()lim()n n n u x x u x ρ+→∞=（或()n x ρ=；⑵解不等式()1x ρ<，求出1()n n u x ∞=∑的收敛区间(,)αβ；⑶ 判定级数1()nn u α∞=∑与1()nn u β∞=∑的敛散性．[例7.2.8] 求下列函数项级数的收敛域（1）221(1)nn x x ∞=+∑ （2）21(21)!!2()(2)!!1n n n x n x ∞=-+∑ 解：（1）222122(1)1()lim ,(0)(1)1n n n x x x x x x x ρ+→∞+=⨯=≠++令()1x ρ<，可得(,0)(0,)x ∈-∞+∞．而当0x =时，(0)0,1,2,,n u n ==，所以该级数也收敛．所以原级数的收敛域为(,)-∞+∞．（2）21222(21)!!2(2)!!1()lim ()(),(0)(22)!!1(21)!!21n nn x n x n x x x n x n x xρ+→∞++=⨯=≠++-+ 令()1x ρ<，可得221,(0)1xx x <≠+，即(,1)(1,0)(0,1)(1,)x ∈-∞--+∞．当0x =时，(0)0,1,2,,n u n ==，所以该级数也收敛；当1x =-时，对应的级数为1(21)!!(1)(2)!!nn n n ∞=--∑，它是交错级数，由莱布尼兹判别法知，该级数收敛；当1x =时，对应的级数为1(21)!!(2)!!n n n ∞=-∑，它是正项级数，由比较判别法知，该级数发散．故原级数的收敛域为(,1)(1,)-∞+∞．[例7.2.9] 求级数13(2)1()1n n nn x n x ∞=+--+∑的收敛域．解：令11x t x -=+，考察级数13(2)n n nn t n ∞=+-∑的收敛域由于1113(2)1()lim 33(2)n n n n n n n t n t t t nρ+++→∞+-+==+-，所以幂级数13(2)n n n n t n ∞=+-∑的收敛半径为13R = 当13t =时，对应幂级数为13(2)1()3n n nn n ∞=+-∑，由于3(2)11()()3n n n n n n+-→∞，所以级。

第七章无穷级数2010

n=1 ∞
叫做级数的一般项一般项, 称上式为无穷级数，称上式为无穷级数，无穷级数其中第 n 项 un 叫做级数的一般项级数的前 n 项和
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称为级数的部分和称为级数的部分和. 部分和为级数的和收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作
则称无穷级数
则称无穷级数发散则称无穷级数发散 .
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判别下列级数的敛散性: 例1. 判别下列级数的敛散性
解: (1)
2 4 n +1 3 Sn = ln + ln + ln +L+ ln 1 3 n 2
= (ln 2 − ln1) + (ln3 − ln 2) +L+ (ln(n +1) − ln n)
= ln(n +1) → ∞ ( n → ∞）
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两个重要级数：
1、等比级数
q <1 q ≥1
收敛， p > 1
2、p 级数
发散， p ≤ 1 发散。
特殊地，p=1时，调和级数
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调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 N ∈Z + , 对一切 n ≥ N ,
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∞ n−1 1
例如：∑(−1)
n=1
n
为条件收敛 .
为绝对收敛.
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定理5. 定理绝对收敛的级数一定收敛 . 证: （不要求）设收敛 ,

无穷级数课件(同济第五版)

n =1 ∞ ∞ ∞
0 < A < +∞ 时
∞
n =1
A=0
如 ∑ Vn
n =1 ∞
收敛，则 ∑ u n 收敛
n =1 ∞
A=+∞ 如 ∑ u n
n =1
收敛，则 ∑ Vn 收敛
n =1
判别下列级数敛散性
∞
例、 ∑ ln
n =1
n +1 n ln n +1 ∞ 1 n =1 又 ∑ 发散，∴原级数发散 1 n =1n n
1 1 n = lim 2n 2 = 1 1 n →∞ 1 2 2 2 n n
收敛 ∴原级数收敛
∵ ∑
∞
1
2
n =1 n
（3）∵
lnn 1 > n n lnn n =1 n
∞
(n ≥ 3)
∵ ∑
1 n =1 n
∞
发散，
∴∑
发散
例、P271
例 7.7
7.8
2、比判别法
设正项级数 ∑ u n 的一般项满足
收敛，又由比较判别法知原级数收敛
n n n =13
∞
n cos 2
（6） u n = ∴ 原级数收敛
nπ ∞ n 3 < n ，由此值法知 ∑ n 收敛 n n =1 4 4 4
3°交错级数的敛散性的判别法如 u n > 0 ，则称 ∑ (− 1)
n =1 ∞ n −1
u n = u 1 − u 2 + u 3 − u 4 + … 为交错级数。
第七章无穷级数
10 常数项级数概念及性质 1、定义 P264 ∑ a n = a1 + a 2 + L + a n + L

数学强化班(武忠祥)-高数第七章无穷级数

第七章无穷级数第一节常数项级数1．概念与性质（1）定义：∑∞=∞→=1lim n n n n S u（2）性质1）若∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 分别收敛于σ,s ，则)(1n n n v u ±∑∞=收敛于σ±s .2)改变级数前有限项不影响级数的敛散性. 3)收敛级数加括号仍收敛且和不变.4) ∑∞=1n n u 收敛0lim =∞→n n u2.判敛准则(1)正项级数(∑∞=1n n u ,0≥n u )基本定理：∑∞=1n n u 收敛⇔n S 上有界。

1)比较判别法：设n n v u ≤,则 ∑∞=1n n v 收敛⇒∑∞=1n n u 收敛.∑∞=1n n u 发散⇒∑∞=1n n v 发散.2)比较法极限形式：设∞→n lim)0(+∞≤≤=l l v u nn①若+∞<<l 0,则∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 同敛散.②若0=l ,则∑∞=1n n v 收敛⇒∑∞=1n n u 收敛,∑∞=1n n u 发散⇒∑∞=1n n v 发散.③若+∞=l ,则∑∞=1n n v 发散⇒∑∞=1n n u 发散,∑∞=1n n u 收敛⇒∑∞=1n n v 收敛.3)比值法:设ρ=+∞→nn n u u 1lim,则∑∞=1n n u ⎪⎩⎪⎨⎧=><,1,,1,,1,ρρρ不一定发散收敛 4)根值法: 设ρ=∞→n n n u lim ,则∑∞=1n n u ⎪⎩⎪⎨⎧=><,1,,1,,1,ρρρ不一定发散收敛 (2)交错级数(∑∞=->-110,)1(n n n n u u )莱不尼兹准则: 若：(1)n u 单调减; (2) 0lim =∞→n n u ,则∑∞=--11)1(n n n u 收敛.(3)任意项级数(∑∞=1n n u ,n u 为任意实数)1)绝对收敛与条件收敛概念 2)绝对收敛和条件收敛的基本结论①绝对收敛的级数一定收敛,即||1∑∞=n n u 收敛∑∞=⇒1n n u 收敛.②条件收敛收敛的级数的所有正项(或负项)构成的级数一定发散.即: ∑∞=1n n u 条件收敛∑∞=+⇒12||n n n u u 和∑∞=-12||n n n u u 发散.题型一正项级数敛散性的判定例7.1判定下列级数的敛散性.1) );0(11>⎪⎭⎫⎝⎛+∑∞=a n na nn 2) )0(!1>∑∞=a nn a n n n3) ;)cos1(1∑∞=-n n π4) ;)11ln()1(1∑∞=+-+n p n n n解 1）a n nau n n n n =+=∞→∞→1limlim ，则（1）当10<<a 时，原级数收敛；（2）当1>a 时，原级数发散；（3）当1=a 时，01)1(lim lim ≠=+=∞→∞→en n u n n n n ，原级数发散。

第七章无穷级数

故所给级数也收敛且其和小于 2
1 1 2 n n n
22
（二）正项级数的比较判别法
例4 判定级数
n 1
1 3n 2 n 1
的敛散性
解：因
1 3n 2 n

1 ( n 1,2,), 3 n 2 n 2 2n
1 级数发散， n 1 2n
故级数
这表明级数 aun 收敛且和为 aS
n1
n n
n n
11
第二节

无穷级数的基本性质
1 2 例1. 判定级数 ( n n ) 的敛散性． 5 n 1 3
1 2 解：因级数 n 和级数 n 都收敛， n 1 3 n 1 5 1 2 故级数 ( n n ) 收敛． 5 n 1 3

无穷级数的概念
1 1 1 1 1 例2. 判定级数 1 2 2 3 3 4 n( n 1) n 1 n( n 1)
的敛散性．若级数收敛，求此级数的和．
解：
所以这级数收敛它的和是1
7
第一节

无穷级数的概念
n1 2 3 4 n1 ln ln ln 例3. 判定级数 ln n 1 2 3 n n 1
无穷级数的基本性质
Sn、Wn、Tn 则
n
lim Tn lim [(u1 v1) (u2 v2) (un vn )]
lim[(u1 u2 un ) (v1 v2 vn )]
n
n
lim (Sn Wn ) S W
3
的敛散性
1 3n 2 n 1 1 3 n

71无穷级数的概念与性质

前n项和
sn
1 2 3
n
n(n 1) 2
而
lim
n
sn
n(n 1)
lim
n 2
所以, 级数发散.
8
常数项级数的概念
例讨论等比级数(几何级数)
(重要)
aqn a aq aq2 aqn (a 0) 的收敛性.
n0
解如果q 1 时
sn
a aq aq2
a aqn
aqn1
23
n
ln
2
3 2
4 3
n n
1
ln(1
n)
由
lim
n
Sn
lim ln(n
n
1)
22
常数项级数的概念
例判别下列级数的敛散性
1
n3 2n 5
n1(2n 1)(2n 1)(2n 3)
2
3nn
n1(1
n)n
3
n1
1 3n
lnn 3 3n
常用于判别级数发散.
解题思路
级数收敛的必要条件
u1+u2+ …+un+…为常数项级数,又无穷级数,简称级数.
un u1 u2 u3 un
n1
(1)
如
3 10
3 100
3 10n
;
通项
1 1 1 1 (1)n1 1 ;
234
n
1 1 1 1 (1)n1 .
均为(常)数项级数.
4
常数项级数的概念
调和级数
1 1 1 23
1 n
有 lim n
un
0
但级数是否收敛?
21

第七章：无穷级数

第七章：无穷级数本章重点是判断数项级数的敛散性，幂级数与傅里叶级数的展开与求和． §7.1 数项级数本节重点是级数的性质，正项级数的几个判别法，交错级数的莱布尼兹判别法，任意项级数绝对收敛与条件收敛．● 常考知识点精讲一、数项级数的概念1．数项级数定义定义：设是一个数列，则称表达式{}n u 121n n n u u u u ∞==++++∑ 为一个数项级数，简称级数，其中第项称为级数的通项或一般项，称为级n n u 1n n k k S u ==∑数的前项部分和．n 2．级数收敛的定义定义：若数项级数的部分和数列有极限，则称级数收敛，极限值1n n u ∞=∑{}n S 1n n u ∞=∑称为此级数的和．当不存在时，则称级数发散．lim n n S →∞lim n n S →∞1n n u ∞=∑ 利用级数收敛的定义，易知当时，几何级数收敛，和为；当，1q <1n n q ∞=∑11q-1q ≥几何级数发散．[例1.1] 判断下列级数的敛散性⑴ ⑵11(1)n n n ∞=+∑1n ∞=∑解：⑴由于 1111223(1)n S n n =+++⋅⋅+ 111111(1)()()122311n n n =-+-++-=-++ 所以，故级数收敛．1lim lim(111n n n S n →∞→∞=-=+11(1)nn n ∞=+∑ ⑵由于1n S =+++=-所以，故级数发散．lim n n S →∞=+∞1n ∞=∑二、级数的基本性质及收敛的必要条件1．设都收敛，和分别为，则必收敛，且；11,n n n n u v ∞∞==∑∑,a b 1()n n n u v ∞=±∑1()n n n u v a b ∞=±=±∑2．设为非零常数，则级数与有相同的敛散性；k 1n n u ∞=∑1n n ku ∞=∑3．改变级数的前有限项，不影响级数的敛散性；4．级数收敛的必要条件：如果收敛，则；1n n u ∞=∑lim 0n n u →∞=[例1.2] 判断下列级数的敛散性⑴ ⑵ 111111*********n n +++++++ 1(21)(1)(2)n n n n n ∞=+++∑解：⑴由于收敛，发散，所以发散，112n n ∞=∑1110n n ∞=∑111()210n n n ∞=+∑由性质5的“注”可知级数发散；111111*********n n +++++++ ⑵ 由于，不满足级数收敛的必要条件，所以级数(21)lim 20(1)(2)n n n n n →∞+=≠++发散．1(21)(1)(2)n n n n n ∞=+++∑三、正项级数及其敛散性判别法各项为非负（）的级数称为正项级数．0n u ≥1n n u ∞=∑1．正项级数收敛的基本定理定理：设是正项级数的部分和数列，则正项级数收敛的充要条件是数列{}n S 1n n u ∞=∑1n n u ∞=∑有界．{}n S 当时，级数收敛；当时，级数发散．（时的级数也叫1p >p 11p n n ∞=∑1p ≤p 1p =p 调和级数）2．正项级数的比较判别法定理：（正项级数比较判别法的非极限形式）设都是正项级数，并设，则11,n n n n u v ∞∞==∑∑0,()n n u v n N ≤≥⑴ 若收敛，则收敛；1n n v ∞=∑1n n u ∞=∑⑵ 若发散，则发散．1n n u ∞=∑1n n v ∞=∑定理：（正项级数比较判别法的极限形式）设都是正项级数，并设或为，则11,n n n n u v ∞∞==∑∑lim n n n u v ρ→∞=+∞⑴ 当为非零常数时，级数有相同的敛散性；ρ11,n n n n u v ∞∞==∑∑⑵ 当时，若收敛，则必有收敛；0ρ=1n n v ∞=∑1n n u ∞=∑⑶ 当时，若发散，则必有发散．ρ=+∞1n n v ∞=∑1n n u ∞=∑定理：设是正项级数，若或为，则级数有1n n u ∞=∑1lim n n n u u ρ+→∞=+∞1n n u ∞=∑⑴ 当时，收敛；1ρ<⑵ 当或时，发散；1ρ>∞⑶ 当时，敛散性不确定．1ρ=4．正项级数的根值判别法将比值判别法中的，其它文字叙述、结论均不改动，即为根值判别法．1n n u u +5．利用通项关于无穷小的阶判定正项级数的敛散性1n 定理：设是正项级数，为的阶无穷小，则当时，正项级数1n n u ∞=∑n u 1()n n →∞k 1k >收敛；当时，正项级数发散．1n n u ∞=∑1k ≤1n n u ∞=∑[例1.3] 判断下列级数的敛散性 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷1111n n n ∞+=∑213n n n ∞=∑11(ln(1))n n n ∞=+∑1n ∞=解：⑴ 由于，而级数发散，故原级数发散；111lim 11nn n n n +→∞==11nn ∞=∑⑵ 由于，所以由比值判别法可得，原级数收敛；2112(1)31lim lim 133n n n n n n u n u n ++→∞→∞+=⨯=<⑶ 由于，所以由根值判别法可知，原级数收1lim 01ln(1)n n n →∞==<+敛；⑷ 为的阶无穷小，所以原级数收敛．1()n n →∞32四、交错级数及其敛散性判别法1．交错级数定义定义：若级数的各项是正项与负项交错出现，即形如112341(1),(0)n n n n u u u u u u ∞-=-=-+-+>∑ 的级数，称为交错级数．2．交错级数的莱布尼兹判别法定理：若交错级数满足条件11(1),(0)n n n n u u ∞-=->∑⑴ ； 1(1,2,)n n u u n +≥= ⑵ ，lim 0n n u →∞=则交错级数收敛，其和其余项满足．11(1),(0)n n n n u u ∞-=->∑1S u ≤n S S -1n n S S u +-≤五、任意项级数及其绝对收敛若级数的各项为任意实数，则称它为任意项级数．1nn u ∞=∑1．条件收敛、绝对收敛若收敛，则称绝对收敛；若发散但收敛，则称条件收1nn u ∞=∑1n n u ∞=∑1n n u ∞=∑1n n u ∞=∑1n n u ∞=∑定理：若级数收敛，则级数收敛．即绝对收敛的级数一定收敛．1n n u ∞=∑1n n u ∞=∑[例1.4] 判断下列级数是否收敛？若收敛，指明是绝对收敛还是条件收敛 ⑴ ⑵111(1)3n n n n ∞--=-∑111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑解：⑴ 记11(1)3n n n n u --=-因为 11131lim lim 133n n n n n n u n u n -+→∞→∞+=⨯=<所以级数收敛，故原级数收敛且为绝对收敛；1n n u ∞=∑ ⑵ 记11(1)ln(1)n n u n -=-+术管架等多项方式，为解决高中语文电及系统启动方案；对整套启动过程中来避免不必要高中资料试卷突然停机由于，而发散，所以级数发散1n u n >11n n ∞=∑1n n u ∞=∑ 又是一交错级数，，且，由莱布尼兹定1n n u ∞=∑10()ln(1)n u n n =→→∞+1n n u u +>理知，原级数收敛，故原级数条件收敛．●● 常考题型及其解法与技巧一、概念、性质的理解[例7.1.1] 已知，，则级数的和等于__________.11(1)2n n n a ∞-=-=∑2115n n a ∞-==∑1n n a ∞=∑解：由于，所以根据级数的性质可得 11(1)2n n n a ∞-=-=∑21212()n n n a a ∞-==-∑从而21212211352[()]n n n n n n a a a a ∞∞--===-=--=∑∑因此．21211()538n n n n n a a a ∞∞-===+=+=∑∑[例7.1.2] 设，则下列级数中肯定收敛的是10n u n ≤≤（A ）；（B ）；（C）；（D ） 1n n u ∞=∑1(1)n n n u ∞=-∑1n ∞=21(1)n n n u ∞=-∑解：取，则，此时（A ）与（C ）都发散；11n u n =+10n u n ≤≤1n n u ∞=∑1n ∞=若取，则，此时（B ）发散；1(1)2n n u n +-=10n u n ≤≤111(1)2n n n n u n ∞∞==-=∑∑由排除法可得应选（D ）．事实上，若，则，根据“比较判别法”得收敛．从而10n u n ≤≤2210n u n ≤≤21n n u ∞=∑收敛，故应选（D ）．21(1)n n n u ∞=-∑[例7.1.3] 已知级数发散，则2121()n n n u u ∞-=+∑（A ）一定收敛，（B ）一定发散1n n u ∞=∑1n n u ∞=∑（C ）不一定收敛（D ）1n n u ∞=∑lim 0n n u →∞≠解：假设收敛，则根据级数敛散的性质，不改变各项的次序加括号后得到的新级数1n n u ∞=∑仍然收敛，即也收敛．这与已知矛盾，故一定发散．应选（B ）．2121()n n n u u ∞-=+∑1n n u ∞=∑[例7.1.4] 设正项级数的部分和为，又，已知级数收敛，则级数1n n u ∞=∑n S 1n n v S =1n n v ∞=∑必1n n u∞=∑（A ）收敛（B ）发散（C ）敛散性不定（D ）可能收敛也可能发散解：由于级数收敛，所以根据收敛的必要条件可得，又，所以1n n v ∞=∑lim 0n n v →∞=1n nv S =，故级数发散，故应选（B ）．lim n n S →∞=∞1n n u ∞=∑[例7.1.5] 设有命题（1）若收敛，则收敛；1n n a ∞=∑21n n a ∞=∑（2）若为正项级数，且，则收敛；1n n a ∞=∑11(1,2,)n n a n a +<= 1n n a ∞=∑（3）若存在极限，且收敛，则收敛；lim 0n n n u l v →∞=≠1n n v ∞=∑1n n u ∞=∑（4）若，又与都收敛，则收敛．(1,2,3,)n n n w u v n <<= 1n n v ∞=∑1n n w ∞=∑1n n u ∞=∑则上述命题中正确的个数为（A ）（B ）（C ）（D ）1234解：关于命题（1），令，则收敛，但发散，所以不正确；(1)nn a n -=1n n a ∞=∑21112n n n a n ∞∞===∑∑关于命题（2），令，则为正项级数，且，但发1n a n =1n n a ∞=∑11(1,2,)n n a n a +<= 1n n a ∞=∑散，所以不正确；关于命题（3），令，且1n n u v n ==lim 0n n nu l v →∞=≠收敛，但发散，所以不正确；1n n v∞=∑1n n u ∞=∑关于命题（4），因为，所以，因为(1,2,3,)n n n w u v n <<= 0n n n n u w v w <-<-与都收敛，所以由“比较判别法”知收敛，故收敛．故应1n n v ∞=∑1n n w ∞=∑1()n n n u w ∞=-∑1n n u ∞=∑选（A ）．二、正项级数敛散性的判定正项级数判别敛散的思路：①首先考察（若不为零，则级数发散；若等1n n u ∞=∑lim n n u →∞（1）（2）（3）21sin 2n n n π∞=∑1!2n n n n n ∞=∑221(1)2n n n n n n ∞=+∑ （4）（5）（6）312ln n n n ∞=∑1n ∞=1n ∞=解：（1）用比值法．，221122(1)sin (1)122lim lim 12sin 22n n n n n n n n n n ππππ++→∞→∞++⋅==<⋅所以原级数收敛．（2）用比值法．决吊顶层配置不规范高中资，对电气设备进行空载与带指机组在进行继电保护高中，11(1)!22(1)lim 2lim 1!2(1)n n n n n n n n n n n n n e n ++→∞→∞++==<+所以原级数收敛．（3）用根值法．，1(1)lim 122n n n n n e n →∞+==>所以原级数发散．（4）用比较法．取，因为，而收敛，541n v n =14ln lim lim 0n n n n u n v n →∞→∞==5141n n ∞=∑所以原级数收敛．（5）用比较法．取，因为，而发散，1n v n =lim 1n n nn u v →∞==11n n ∞=∑所以原级数发散．（6）由于，故由级数收敛的必要条件知原级数发散．10n=≠（1）（2）1(sin )n n n ππ∞=-∑111(ln(1n nn ∞=-+∑分析：用比值判别法失效，用比较判别法不易找到用来作比较的级数，此时一般利用通项关于无穷小的阶判定正项级数的敛散性．1n 解：（1）考查 sin lim 1()n kn n n ππ→∞-换成连续变量，再用罗必达法则，x 料试卷布置情况与有关高2110001()sin()cos()2lim lim lim k k k x x x x x x x x kx kx πππππππ+++--→→→--==取，上述极限值为．3k =316π所以原级数与同敛散，故原级数收敛．311n n ∞=∑（2）考查 11ln(1)lim 1()n k n n n →∞-+换成连续变量，再用罗必达法则，x 1200011ln(1)11lim lim lim (1)k k k x x x x x x x kx kx x +++--→→→--++==+取，上述极限值为．2k =12所以原级数与同敛散，故原级数收敛．211n n ∞=∑[例7.1.8] 研究下列级数的敛散性（1）（是常数）；（2），这里为任意实数，为非负实1!n n n a n n ∞=∑0a >1n n n αβ∞=∑αβ数．分析：此例中两个级数的通项都含有参数．一般说来，级数的敛散性与这些参数的取值有关．对这种情况通常由比值判别法进行讨论．解：（1）记，由比值判别法可得!n n n a n u n = 111(1)!lim lim lim 1(1)!(1)n n n n n n n n n n u a n n a a u n a n e n +++→∞→∞→∞+=⋅==++显然，当时，级数收敛；当时，级数发散；a e <a e >当时，由于，所以，故级数发散．a e =111(1)!11(1)!(1)n n n n n n n u e n n e u n e n n ++++=⋅=>++lim 0n n u →∞≠（2）记，由比值判别法可得n n u n αβ=缆敷设完毕，要进行检查和检测处试验报告与相关技术资料，并且了卷切除从而采用高中资料试卷主要11(1)1lim lim lim(n n n n n n n u n n u n n αααββββ++→∞→∞→∞++==⋅=显然，当，为任意实数时，级数收敛；当时，为任意实数时，级数发01β≤<α1β>α散；当时，比值判别法失效．这时，由级数的敛散性知，当时，1β=n u n α=p 1α<-级数收敛；当时，级数发散．1α≥-[例7.1.9] 判别下列级数的敛散性（1）（2）1n ∞=∑11n n n e ∞+=∑⎰分析：此例两个级数的通项都是由积分给出的正项级数．如果能把积分求出来，再判定其敛散性，这样做固然可以，但一般工作量较大．常用的方法是利用积分的性质对积分进行估值．估值要适当：若放大则不等式右端应是某收敛的正项级数的通项；若缩小，则不等式左端应是某发散的正项级数的通项．解：（1）因为10x n <<<< 3210(n <<由于级数收敛，所以原级数收敛．3211(n n ∞=∑（2）因为函数在区间上单减，所以e[,1]n n + 110n n n n ee e ++<<=⎰⎰由于，又因为级数收敛，所以原级数收敛．0n n ==211n n ∞=∑三、交错级数判定敛散判别交错级数敛散性的方法：1(1),(0)n nn n u u ∞=->∑法一：利用莱布尼兹定理；法二：判定通项取绝对值所成的正项级数的敛散性，若收敛则原级数绝对收敛；法三：将通项拆成两项，若以此两项分别作通项的级数都收敛则原级数收敛；若一收敛另一发散，则原级数发散；法四：将级数并项，若并项后的级数发散，则原级数发散．[例7.1.10] 判定下列级数的敛散性（1）（2）111(1)ln n n n n ∞-=--∑2n ∞=（3）（4）11111112223334-+-+-+⨯⨯⨯ 2011sin 46(1)2n n nn n ∞-=-∑解：（1）该级数是交错级数，显然．1lim 0ln n n n →∞=-令，则，所以单调减少．1()ln f x x x =-211()0,(1)(ln )x f x x x x -+'=<≥-1ln n n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭由莱布尼兹判别法可知，原级数收敛．（2）不难得到数列不单调．而，1(1)1n n ==-+-显然，级数发散；211n n ∞=-∑又级数是交错级数，显然满足，2(1)n n ∞=-∑0n =令，则，所以单调减少，由莱布尼2(),(1x f x x x =≥-2221()0(1)x f x x --'=<-兹判别法可得，级数收敛．2(1)n n ∞=-∑ 故由级数敛散的性质可得，原级数发散．（3）不难得到不单调，但有{}n u 1111111(1()()122233341n n ∞=-+-+-+=⨯⨯⨯+∑ 即加括号后得到的新级数发散，利用级数的性质可知，原级数发散．（4）显然判定数列的单调性很麻烦．20sin 462n n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 但，而由比值判别法易得到级数收敛，所以级数20sin 4622n n n n n ≤12n n n ∞=∑，而且可保障各类管路习资料试卷调控试验；对设备体配置时，需要在最大限度收敛．201sin 462n n n n ∞=∑ 从而原级数收敛，且绝对收敛．四、判定任意项级数的敛散性对任意项级数，主要研究它绝对收敛性和条件收敛性．解题的一般思路：①先看1n n u ∞=∑当时，级数的通项是否趋向于零，若不趋于零，则级数发散；若趋于零，则②n →∞n u 按正项级数敛散性的判别法，判定是否收敛，若收敛，则级数绝对收敛；若1n n u ∞=∑1n n u ∞=∑发散，则③若上述发散是由正项级数的比值判别法或根值判别法得到，则原级数发散；若是由比较判别法判定的，此时应利用交错级数莱布尼兹判别法或级数敛散的性质判定是否收敛（若收敛则为条件收敛）．1nn u ∞=∑[例7.1.11] 讨论下列级数的敛散性，若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛，说明理由（1）为常数；（2）；21sin ,,n n n n αβπαβ∞=++∑(1)1sin n n n x dx x ππ∞+=∑⎰（3）．111111111(0)12345678a a a a a a a a a a +-++-++-+≠++++++++ 解：（1），由于当2sin sin[()](1)sin()n n n n u n n n n αβββππαπαπ++==++=-+充分大时，保持定号，所以级数从某项起以后为一交错级数．n sin(n βαπ+当不是整数时，不论取何值，总有，αβlim lim sin()sin 0n n n u n βαπαπ→∞→∞=+=≠故级数发散；当是整数时，有，因而，由于α(1)sin n n u n αβπ+=-sinn u n βπ=lim 1n n u n βπ→∞=所以利用比较判别法的极限形式可得，当时级数发散，又因为0β≠1n n u ∞=∑总是非增的趋于零，故由交错级数的“莱布尼兹判别法”知，级数收sin n u n βπ=1n n u ∞=∑敛，且为条件收敛；当时，级数显然收敛，且绝对收敛．0β=弯曲半径标高等，要求技中资料试卷调试方案，编尤其要避免错误高中资料试（2）由于(1)00sin (1)sin sin (1)n x n t n n n x t t dx dt dt x n t n t πππππππ=++-==-++⎰⎰⎰所以原级数为交错级数．先判定级数的敛散性(1)011sin sin n n n n x t dx dt x n t ππππ∞∞+===+∑∑⎰⎰由于当时，，所以 0x π<<sin sin sin t t t n n t n ππππ≤≤++02sin 2t dt n n t n πππππ≤≤++⎰由于级数发散，所以级数发散．12n n ππ∞=+∑(1)011sin sin n n n n x t dx dt x n t ππππ∞∞+===+∑∑⎰⎰ 因为原级数为交错级数，且满足莱布尼兹判别法的条件，因此级数为条件收敛．（3）这是任意项级数．考虑每三项加一括号所成的级数 1111(333231n a n a n a n ∞=+-+-+-+-∑ 22196(1)21(33)(32)(31)n n n a a a a n a n a n ∞=+-+--=+-+-+-∑此级数的通项是的有理式，且分子的次数仅比分母的次数低一次，用比较判别法知它是n 发散的，由级数的基本性质可得，原级数发散．五、关于数项级数敛散性的证明题证明某个未给出通项具体表达式的级数收敛或发散这类题，一般用级数收敛的定义、比较判别法或级数的基本性质．[例7.1.12] 证明：如果级数与收敛，且，则级数1n n a ∞=∑1n n b ∞=∑(1,2,)n n n a c b n ≤≤= 也收敛．1n n c ∞=∑证明：由可得，；n n n a c b ≤≤0n n n n c a b a ≤-≤-由级数收敛的基本性质可得收敛，故由正项级数的比较判别法可得1()n n n b a ∞=-∑收敛．1()nn n c a ∞=-∑又由于，所以级数收敛．11[()]n nn n n n c c a a ∞∞===-+∑∑1n n c ∞=∑[例7.1.13] 设，证明11112,()2n n n a a a a +==+(1,2,)n = 线缆敷设原则：在分线盒处料试卷技术指导。

《数学分析》第七章无穷级数

n →∞
D 上点点收敛于函数 f ( x) ，记为
lim f n ( x) = f ( x), x ∈ D.
n →∞
或
f n ( x) → f ( x)
(n → ∞), x ∈ D.
n →∞
② 函数列极限的 ε − N 定义： lim f n ( x) = f ( x), x ∈ D ⇔ 对每一固定的 x ∈ D ，
∑b
n
收敛，则
∑a b
n n
也收敛.
（4）(狄利克雷判别法) 若数列 {a n } 单调递减，且 lim a n = 0 ，又级数
n →∞
∑b
n
的部分和
数列有界，则
∑a b
n n
收敛.
（二）函数列与函数项级数
1.函数列及其一致收敛性（1）函数列的收敛域及极限函数 ① 设有一定义于同一数集 E 上的函数列 { f n ( x )} ，若对 x0 ∈ E ，数列 { f n ( x0 )} 收敛，则称 x0 为函数列 { f n ( x )} 的收敛点，若数列 { f n ( x0 )} 发散，则称 x0 为函数列 { f n ( x )} 的发散点，函数列 { f n ( x )} 的所有收敛点的集合称为它的收敛域. 若 ∀x ∈ D ⊂ E ，数列 { f n ( x )} 收敛，设 lim f n ( x) = f ( x) ，则称 f ( x) 为函数列 { f n ( x )} 的极限函数或称函数列 { f n ( x )} 在
（2）函数项级数一致收敛的定义设 {S n ( x )}是函数项级数
∑u
n
( x) 的部分和数列，若 {S n ( x )}在 D 上一致收敛于函数

高等数学无穷级数

高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义P264 ∑an=a1+a2+ +an+n=1∞an称为一般项或通项 Sn=u1+u2+ +un称为前n项部分和例1、1 =3+3+ +3+ =0.331010210n1+2+3+ +n+1-1+1-1+ +(-1)n-1+2、定义Sn=∑uKK=1nan=Sn+1-Sn如{Sn}收敛，则∑an收敛n=1∞3、几个重要极限等比级数（几何）∑aqn，当q<1 收敛，q≥1 发散；n=0∞P级数∑Pn=1∞1nP>1 收敛，P≤1 发散；∞1P=1当，∑ 又称调和级数。

n=1n4、级数性质 P266性质5是级数收敛的必要条件即∑an收敛→liman=0n=1n→∞∞例1、∑n=1∞n-11n-1 发散，∵ liman=lim=≠0 n→∞n→∞2n+122n+1 3n例2、∑ 发散，∵ lim=-1≠0 nnn→∞n-3n=1n-3∞3n例3、∑11 发散，但lim=0 n→∞nn=1n∞20正项级数判别法∑un∞n=1un≥0正项级数部分和数列{Sn}单调递增∴正项级数收敛部分和数列有上界1、比较判别法设Vn≥un，如∑Vn收敛，则∑un收敛n=1∞n=1∞∞∞ 如∑un发散，则∑Vn发散n=1n=1例、判别下列级数敛散性∞（1）∑n=114n+n2 （2）∑∞sin2n=1n2nπ 解（1）由于∞14n2+n≥14n2+n2=11? 5n∵∑1发散，∴原级数发散 nn=1sin2（2）由于nπ∞1≤1，而∑收敛，∴原级数收敛 222n=1nnn比较判别法的极限形式如limun=A 则有n→∞Vn∞∞0<a</aA=0 如∑Vn 收敛，则∑un收敛n=1∞n=1∞∞∞A=+∞ 如∑un 收敛，则∑Vn收敛 n=1n=1判别下列级数敛散性例、∑lnn=1∞n+1 nlnn+1∞1=1 又∑发散，∴原级数发散 1n=1nn limn→∞1例、（1）∑ （2）∑(1-cos) nn=1n2+1+nn=1∞1∞ （3）∑lnn n=2n∞1解：（1）由limn→∞nn2+n+n=lim=1 21n→∞n+n+nn111-cos21（2）lim=lim= 1n→∞n→∞12n2n2∵ ∑∞12n=1n 收敛∴原级数收敛lnn1（3）∵ >nn∴∑例、P2712、比判别法∞(n≥3) ∵ ∑1 发散，nn=1∞lnn 发散n=1n例7.7 7.8 设正项级数∑un的一般项满足n=1∞un+1lim=ρ n→∞un则当ρ<1时，级数收敛，ρ>1时发散，ρ=1不定3、根值法设∑un为正项级数，如limun=ρn=1∞n→∞则当ρ<1时，级数收敛，ρ>1时发散，ρ=1不定正项级数判别其敛散性的步骤：≠0发散首先考察limun? n→∞=0需进一步判别?①如un中含n!或n的乘积通常选用比值法；②如un是以n为指数幂的因子，通常用根值法，也可用比值法；③如un含形如nα（α可以不是整数）因子，通常用比较法；④利用级数性质判别其敛散性；⑤据定义判别级数敛散性，考察limSn是否存在，实际上考察{Sn}n→∞是否有上界。

无穷级数

lim un = 0
n =1 ∞
证设
∑ u 的部分和是S
n =1 n
n →∞
∞
n →∞
n
= u1 + u2 + + un 且收敛于S
n →∞
lim Sn 1 = s 且 lim Sn = s
由 un = S n S n 1 有 lim un = lim( S n S n 1 ) = 0
n →∞ n →∞
∞ a 1 例: 级数 ∑ n 与∑ n 都是收敛的. n =1 2 n =1 2 ∞
定理3 定理3 在级数中增加或去掉有限项,级数的敛散性不变. 证因在级数中增加或去掉有限项, 总可通过在该级数前增加或去掉有限项来实现, 故只须证在级数前增加或去掉有限项而其敛散性不变. 设在级数 u1 + u2 + + um + um +1 + + um + n + 中去掉前m项, 则得级数 um +1 + um + 2 + + um + n +
(1)
(2)
10
令级数(1)的部分和为 Sm = u1 + u2 + + um 级数(2)的部分和为于是
Tn = S m + n S m
n →∞ n →∞
Tn = um +1 + um + 2 + + um + n
若(1)收敛于S, 则 lim Tn = lim( Sm + n Sm ) = S Sm 故(2)也收敛. 若(1)发散, 则 limTn 不存在, 故(2)也发散. lim T

第七章 无穷级数

高等数学无穷级数

第七章 无穷级数

高等数学第七章 无穷级数

第七章-无穷级数

7考研数学大纲知识点解析(第七章无穷级数(数学一)和傅里叶级数(数学一))

7 无穷级数-1

第七章：无穷级数

第七章 无穷级数2010

无穷级数课件(同济第五版)

数学强化班(武忠祥)-高数第七章 无穷级数

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71无穷级数的概念与性质

第七章：无穷级数

《数学分析》第七章 无穷级数

高等数学无穷级数

无穷级数

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