沪科版9直线和圆的位置关系3切线长定理

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沪科版数学九年级下册24.4 直线与圆的三种位置关系、切线的性质定理教案与反思

24.4 直线与圆的位置关系东宫白庶子,南寺远禅师。

——白居易《远师》枫岭头学校张海泉第1课时直线与圆的三种位置关系、切线的性质定理1．了解并掌握直线与圆的不同位置关系时的有关概念；2．能够运用直线与圆的位置关系解决实际问题(重点、难点)．一、情境导入你看过日出吗，如图是海上日出的一组图片，如果把海平面看做一条直线，太阳看做一个圆，在日出过程中，二者会出现几种位置关系呢？二、合作探究探究点：直线与圆的位关系【类型一】根据点到直线的距离判断直线与圆的位置关系已知⊙O的半径为5，点P在直线l上，且OP＝5，直线l与⊙O的位置关系是( )A．相切 B．相交C．相离 D．相切或相交解析：分两种情况讨论：(1)OP⊥直线l，则圆心到直线l的距离为5，此时直线l与⊙O相切；(2)若OP与直线l不垂直，则圆心到直线的距离小于5，此时直线l与⊙O相交．所以本题选D.[方法总结：判断直线与圆的位置关系，主要看该圆心到直线的距离，所以要判断直线与圆的位置关系，我们先确定圆心到直线的距离．【类型二】由直线和圆的位置关系确定圆心到直线的距离已知圆的半径等于5，直线l与圆没有交点，则圆心到直线l的距离d 的取值范围是________．解析：因为直线l与圆没有交点，所以直线l与圆相离，所以圆心到直线的距离大于圆的半径，即d＞5.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型三】直线与圆的位置关系与一元二次方程的综合已知⊙O的半径为R，点O到直线m的距离为d，R、d是方程x2－2x ＋a＝0的两根，当直线m与⊙O相切时，求a的值．解析：由直线m与⊙O相切可得出d＝R，即方程x2－2x＋a＝0有两个相等的根，由Δ＝0即可求出a的值．解：∵直线m与⊙O相切，∴d＝R.即方程x2－2x＋a＝有两个相等的根，∴Δ＝4－4a＝0，∴a＝1.方法总结：由直线与圆的位置关系可知：当直线与圆相切时，d＝R.再结合一元二次方程根的判别式的知识，列出关于未知数的方程，即可得解．【类型四】坐标系内直线与圆的位置关系的应用如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点．若点M的坐标是(－4，－2)，则点N的坐标为( ) A．(－1，－2 B．(1，2)C．(－1.5，－2) D．(1.5，－2)解析：过点A作AQ⊥MN于点Q，连接AN，设半径为r，由垂径定理有MQ＝NQ，所以AQ＝2，AN＝r，NQ＝4－r，利用勾股定理得r2＝4＋(4－r)2，解得r ＝2.5，可以求出NQ＝1.5，所以N点坐标为(－1，－2)．故选A.方法总结：在圆中如果有弦要求线的长度，通常要将经过圆心的半径画出，利用垂径定理和勾股定理解决问题．【类型五】直线与圆的位置关系中的移动问题如图，∠ABC ＝80°，O 为射线BC 上一点，以点O 为圆心，12OB 长为半径作⊙O ，要使射线BA 与⊙O 相切，应将射线A 绕点B 按顺时针方向转( ) A ．40°或80° B ．50°或100°C ．50°或110°D ．60°或120°解析：如图，①当BA ′与⊙O 相切，且BA ′位于BC 上方时，设切点为P ，连接OP ，则∠OPB ＝90°；Rt △OPB 中，OB ＝2OP ，∴∠A ′BO ＝30°，∴∠ABA ′＝50°；②当A ′与⊙O 相切，且BA ′位于BC 下方时同①，可求得∠A ′BO ＝30°，此时∠ABA ′＝80°＋30°＝110°.故旋转角α的度数为50°或110°，故选C.方法总结：此题主要考查的是切线的性质，以及解直角三角形的应用，需注意切线的位置有两种情况，不要漏解．当BA ′与⊙O 相切时，可连接圆心与切点，通过构建的直角三角形，求出∠A ′BO 的度数，然后再根据BA ′的不同位置分类讨论．三、板书设计直线与圆的位置关系(1)相交：直线与圆有两个交点，直线l 与⊙O 相交d <r ；(2)相切：直线与圆只有一个交点，直线l 与⊙O 相切d ＝r ；(3)相离：直线与圆没有公共点，直线l 与⊙O 相离d >r .[教学过程中，强调学生从实际生活中感受、体会直线与圆的几种位置关系，并会用数学语言来描述归纳，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提升学生独立思考问题的能力.【素材积累】1、一个房产经纪人死后和上帝的对话一个房产经纪人死后，和上帝喝茶。

沪科版数学九年级下册第1课时直线与圆的三种位置关系、切线的性质定理课件

交点
直线与圆相离
直线与圆相切
直线与圆相交
判断直线和圆的位置关系
已知，直线与圆的位置关系有 3 种，分别是相离、相切、相交 .
怎么判断直线和圆的位置关系呢？
方法一：
从直线与圆公共点的个数可以判断出直线与圆的位置关系.
还可以怎么判断直线和圆的位置关系？
如图，设⊙O的半径为r，圆心O到直
1.已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是( C ) A.相离 B.相切 C.相交 D.无法判断
2.直线l与半径为r的⊙O相离，且点O到直线l的距
离为6，则r的取值范围是( A )
A.r＜6B.r=6 CFra bibliotekr＞6 D.r≥6
直线与圆的位置关系
相离
大致图象
交点个数
24.4 直线与圆的位置关系
第1课时直线与圆的三种位置关系、切线的性质定理
沪科版九年级下册
情景：如图，在太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？我们把太阳看作一个圆，地平线看作一条直线，由此你能得出直线和圆的位置关系吗？
问题：直线和圆有几种位置关系？怎样判断直线和圆的位置关系？
线l的距离为d.则d你与能⊙根据Od的与半r的径大小r的关系大确小有什
么关系?
定直线与圆的位置关系吗?
r
r
r
d .O
d .O
d .O
相离
d>r
相切
d=r
相交
d<r
方法二：
设⊙O的半径为r，圆心到直
线的距离为d.则
点在圆内 d﹤r
l3
点在圆上 d＝r l2
点在圆外 d > r

直线和圆的位置关系(3)切线长定理

B A D
●
O C
我们可以证明圆外切四边形的一个重要性质: 我们可以证明圆外切四边形的一个重要性质: 圆外切四边形的一个重要性质
若已知圆的四条切线呢？若已知圆的四条切线呢？
D
想一想
圆的外切四边形具有什么性质？具有什么性质？
圆的外切四边形的两组对边的和相等。两组对边的和相等。
例：等腰梯形各边都与相切， ⊙O相切， ⊙O的直径为相切的直径为 6cm，等腰梯形的腰等于， 8cm，则梯形的面积为， _____。。 8 6 8
达标检测
2、填空：已知⊙O的半径为填空：已知⊙ cm，和圆心O的距离为6cm， 3cm，点P和圆心O的距离为6cm，经过点P 的两条切线，经过点P有⊙ O的两条切线，则切线长为______cm。 ______cm 则切线长为______cm。这两条 P 切线的夹角为_____ 60 _____度切线的夹角为_____度。 3、已知：如图，P为⊙ O外一点，已知：如图，外一点， PA、的切线， PA、PB 为⊙ O 的切线，A和B是切 BC是直径求证：点，BC是直径求证：AC∥OP 证明：连结AB 证明：连结AB ∵PA、PB分别切分别切⊙ ∵PA、PB分别切⊙O于A、B ∴PA=PB ∠OPA=∠OPB ∴OP⊥AB BC为又∵BC为⊙O的直径 ∴AC⊥AB ∴AC∥OP A P B O A O B
∴ AF、BD、CE的长分别是4cm、cm、cm。 9 5
读一读P 读一读 119 10
四边形与圆四边形与圆的位置关系
• 如果四边形的四条边都与一个圆如果四边形的四条边内切圆. 相切,这圆叫做四边形的内切圆相切,这圆叫做四边形的内切圆. 这个四边形叫做圆的外切四边形外切四边形. 这个四边形叫做圆的外切四边形.

九年级数学下册24.4直线与圆的位置关系(第2课时)切线长定理学案沪科版

24.4 直线与圆的位置关系第2课时切线长定理学前温故1．直线与圆有三种位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有｛相交⇔两个交点⇔d<r相切⇔一个交点⇔d＝r，相离⇔没有交点⇔d〉r2．切线的判定与性质判定：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．新课早知1．从圆外一点能够作圆的两条切线,且这一点到切点间的线段长叫做切线长．2．从圆外一点能够作圆的两条切线,两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角．切线长定理的运用【例题】已知：如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A和B是切点，AC∥OP。

求证：BC是⊙O的直径．分析：确定BC是直径的方法有:(1）BC过圆心；(2）弧BC所对的圆周角为90°；(3)圆内接三角形为直角三角形，BC所对的角为直角．本题证明△ABC为直角三角形，即∠BAC＝90°。

证明：如图，连接AB.∵PA、PB分别切⊙O于A、B,∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO。

∴OP⊥AB。

∵AC∥OP,∴AC⊥AB.∴∠BAC＝90°.∴BC是⊙O的直径．点拨：过圆外一点有两条切线，通常作连接两切点的辅助线．1．如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA,PB，切点分别为A,B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是（)．A．4 B．8 C．4错误!D．8错误!答案：B2．如图，PA,PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠BAC＝25°，则∠P ＝________度．答案：503．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C。

写出图中互相垂直的线段有____⊥____；____⊥____；____⊥____(写出三对线段)．答案:OA PA OB PB PC AB4．如图,从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，若PA＝8 cm，C是AB上的一个动点(点C与A、B两点不重合)，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E,则△PED的周长是__________．解析：由切线长定理得DA＝DC,EC＝EB，PA＝PB，△PED的周长等于PA＋PB＝16 cm.答案：16 cm5．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，C是⊙O上一点，若∠APB＝40°，求∠ACB的度数．解：连接AO、BO。

直线和圆的位置关系3切线长

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，• 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．
A E F
O
B
D
C
4．解决问题，加深理解
△ABC 的内切圆 ⊙O 与 BC，CA，AB 分别相切于点 D，E，F，且 AB=9，BC=14， CA=13．求 AF，BD，CE 的长．
A F
切线是直线切线长是线段，可度量，
2．探究新知，挖掘内涵
如何验证我们的猜想是否正确呢
？
只用猜想或测量的方法不能说明结论是否正确，同学们能不能运用逻辑推理的方法证明结论？
切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
挖一挖
定理的条件是什么？结论分别是什么？切线长定理有什么作用？
A O
●
P
●
ห้องสมุดไป่ตู้
B
（4）∠OPA与∠OPB 有什么关系？ A O
●
P
●
B
总一总
从圆外一点可以引圆的两条切线，这点到切点之间的线段相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
切线长
我们把PA或PB的长，即经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，• 叫做这点到圆的切线长．
A
●
P
切线长与切线
一、判断
练习
）
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等 . 二、填空 (1)如图PA、PB切圆于A、B两点， APB 50 连结PO，则 APO 25 度. A O P
B
三.已知：如图PA、PB是⊙

直线和圆的位置关系、切线的判定与性质、三角形的内切圆,切线长...

直线和圆的位置关系、切线的判定与性质、三角形的内切圆, 切线长定理及弦切角知识要点：重点、难点：这一部分内容可以根据知识的性质分为两部分。

第一部分：和圆有关的线段、角、弧的等量关系。

其中这一部分包括：垂径定理及其推论，弧、弦、弦心距、圆心角之间的对应关系这两类性质。

事实上，它们都可以由圆的对称性得出。

从圆的轴对称性可推出垂径定理及其推论；从圆的中心对称性可以推出弦、弦心距、弧、圆心角四个量间的对应关系。

另外，这部分内容还包括圆周角定理和弦切角定理，要注意在这两个定理的证明中都用到了分类讨论的思想。

第二部分：和圆有关线段的比例关系。

其中切线可以与其它许多典型图形组合，形成复杂图形，在做题过程中，要灵活运用切线的有关知识。

另外很重要的一部分是切割线定理及其推论和相交弦定理及其推论。

这些都可以归结为交于一点的两直线与圆相交或相发，若设此交点为P，其中一直线与圆的交点为A、B，另一直线与圆的两交点为C、D，无论P点在什么位置，均会有PA·PB=PC·PD。

结合这些定理来看，当P在圆内时，即相交弦定理，当P在圆外时，一直线与圆相切，另一条直线与圆相交，即为切割线定理；两直线均与圆相切，即为切线长定理；两直线均与圆相交，即为切割线定理推论。

如图1—5所示。

相交弦定理相交弦定理推论切线长定理 PA PB PC PD ··=()PA PB PC PD 22=· PA PB PC PDPA PC··=∴=切割线定理切割线定理推论 PA PB PC PD ··=PA PB PC PD ··=PA PC PD 2=·基础知识(1)知识内容及要求直线和圆的位置关系是从运动的观点研究的, 相切是位置中的一种特殊情况, 切线的判定和性质定理是研究相切问题的重点, 三角形的内切圆是两个基本图形的组合, 切线长定理是切线的数量的研究, 弦切角又是圆中十分重要的角。

直线与圆的位置关系之切线长定理

OA是⊙O的半径几何应用: OA⊥L于A
.O
L A
L是⊙O的切线.
直线与圆的位置关系之切线长定理
练习1：已知：AB是弦，AD是切线，判断∠DAC与圆周∠ABC之间的关系并证明.
BE
C
AD
直线与圆线
A
上，这一点
和切点之间
的线段的长
叫做这点到
O·
课前训练
1、已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B 为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C.
（1）写出图中所有的垂直关系；
（2）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径
OA的长.
A
E O CD
P
B
直线与圆的位置关系之切线长定理
3rew
演讲完毕，谢谢听讲!
回顾反思 1.切线长定理
·A
O·
·P
B
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
直线与圆的位置关系之切线长定理
回顾反思 2.三角形的内切圆、内心、内心的性质
D
E
F
直线与圆的位置关系之切线长定理
知识拓展拓展一：直角三角形的外接圆与内切圆
b
c
a 1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在斜__边__中__点____，半径为_斜__边__的__一__半__. 2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在三_角__形__内__部___，半径r=___________.
B
C
变式：△ABC中,∠ A=40°，点O是△ABC的内心，求∠ BOC的度数。
直线与圆的位置关系之切线长定理
知识拓展
2、△ABC的内切圆半径为 r , △ABC的周长为 l , 求△ABC的面积。（提示：设内心为O，连接OA、 OB、OC。）

直线与圆的位置关系第3课时切线长定理课件沪科版数学九年级下册2

注意：切线是直线，不可度量；切线长是切线上一点与切点之间的线段的长，可以度量.
探究
如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别为A、B.在半透明的纸
上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，由于直线PO是圆的一条对
称轴，两半圆重合.图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？
A
O
P
B
如图，连结OA和OB.
∴OP=5 3cm.
即铁环的半径为 5 3cm
O
Q
C
思考
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论？请给出
证明.
A
结论：OP垂直平分AB.
证明：∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点
O. M
P
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB
B
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线
∴OP垂直平分AB.
例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径．
分析：欲求半径，取圆的圆心为O，连OA，OP，由切线性质知△OPA为直角三角形，从而在
例1 如图，点Р为⊙O外一点，过点Р作直线与⊙O相切.
作法： A
1. 连接OP.
2. 以OP为直径作圆，设此圆交⊙O于点A，B. O.
P
3. 连接PA，PB.
B
则直线PA，PB即为所作.
归纳
过圆外一点能够作圆的两条切线. 切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
如图，PA，PB为⊙O的两条切线，点A、B为切点. 线段PA、PB 的长就是点P到⊙O的切线长.

直线与圆的位置关系第3课时切线长定理课件沪科版数学九年级下册

学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
1.切线长的概念经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 2.切线长定理过圆外一点做圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
3.切线长定理的基本图形如图，PA，PB是⊙O 的两条切线，A，B是切点，连接OP交⊙O 于D，E 两点，交AB于点C.
(1)相等的线段：PA=PB，AC=BC，OA=OB
A
57
3
的角：∠1=∠2=∠5=∠6，∠3=∠4=∠7=∠8
(3)垂直关系：PA⊥OA，PB⊥OB，AB⊥OP
(4)全等三角形：△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP
(5)相似三角形：△ACP∽△OCA∽△OAP∽△BCP∽△OCB∽△OBP
2
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
1.下列说法正确的是( D ) A.切线长就是切线的长度 B.切线的长度就是切线长 C.圆外一点到圆上一点之间的线段长叫做切线长 D.过圆外一点作圆的切线,这点到切点之间的线段长叫做切线长 2.已知☉O的半径是5 cm,圆外一点P到圆心O的距离是13 cm,则点P到☉O的切线长是 12 cm.
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
7.如图,已知AB为☉O的直径,AD,BD是☉O的弦,BC是☉O的切线,切点为
B,OC∥AD,BA,CD的延长线相交于点E.
(1)求证:DC是☉O的切线; (2)若AE=1,ED=3,求☉O的半径.

沪科版（2012）初中数学九年级下册 24.4.3直线和圆的位置关系-切线长定理教案

24.4 直线和圆的位置关系（2）切线长定理教学设计一、教学目标（一）、知识与技能：1．理解切线长的概念；2．掌握切线长定理，并能解决一些简单问题；3．知道圆外切四边形的性质。

（二）、过程与方法：1.通过操作、观察两条切线长，发展学生的合情推理能力和演绎推理能力。

2.学生经历知识的形成与运用过程，培养学生的数学语言概括、表达能力。

3.学生探索切线长定理过程中，学会用数形结合思想解决问题。

通过运用切线长定理解题，提高学生运用知识和技能解决问题的能力。

（三）．情感、态度与价值观培养学生主动参与探索知识来源，获得数学知识的良好学习习惯，从而提高学生学习数学的积极性。

二、重点、难点：1．重点：切线长定理的理解；2．难点：定理的应用。

三、教学方法：问题及引导发现模式四、教具及器材：圆规、三角板；自制课件五、、教学过程（一）复习巩固：（放投影，提问）提出问题：1．如图，PA与⊙O相切于点A，则PA与OA有什么位置关系？2．切线的判定定理内容是什么？（二）讲授新知提出问题：（用课件出示问题）问题1：经过⊙O 内一点Ｐ能作圆的切线吗？经过圆上一点呢？能作圆的几条切线？问题2：从圆外一点P 引圆的两条切线。

如图引导学生指出切线长的概念，教师板书：切线长定理切线长：从圆外一点引圆的切线，这一点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长。

问题3：从圆外一点可引圆的两条切线上切线长有何关系？（让学生猜想，回答问题）PAOPA B· O它们的切线长相等。

（教师引导学生分析证明猜想）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B试证明：PA＝PB证明：连结OA、OP、OB∵ PA、PB与⊙O相切于点A、B∴ PA⊥OA、PB⊥OB∴∠OAP＝∠OBP又∵ OA＝OB，OP＝OP∴ Rt△AOP≌Rt△BOP∴ PA＝PB大家由全等三角形的性质还能得到哪些结论？（∠OPA＝∠OPB等）问题4：分析问题2的结论及证明，想想我们能得到什么命题？教师引导学生从条件、结论入手总结“切线长定理”，并板书：切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

2021春沪科版九年级数学下册第24章 24.4.3 切线长定理

2．切线长定理：过圆外一点作圆的____两____条切线，两条切线长__相__等____，圆心与这一点的连线__平__分____两条切线的夹角．
1．如图，从⊙O 外一点 P 引两条切线 PA，PB，切点分别为 A，
B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦 AB 的长是( B )
A．4
B．8
C．4 3 D．8 3
(1)求 BC 的长；
解：过点 D 作 DF⊥BC 于点 F. ∵∠OAD＝∠OBC＝90°，
∴四边形 ABFD 是矩形，∴DF＝AB＝10，BF＝AD＝2， ∵DE 与⊙O 相切，∴DE＝AD＝2，CE＝BC. 设 BC＝x，则 CF＝BC－BF＝x－2，DC＝DE＋CE＝2＋x，在 Rt△DCF 中，DC2＝CF2＋DF2，即(2＋x)2＝(x－2)2＋102，解得 x＝12.5，即 BC＝12.5.
(2)连接 AE，并延长交 BC 的延长线于点 G，求 EG 的长．解：∵∠OAD＝∠OBC＝90°，∴AD∥BC，∴△ADE∽△GCE， ∴AD∶CG＝DE∶CE，AE∶EG＝AD∶CG. ∵AD＝DE＝2，∴CG＝CE＝BC＝12.5， ∴BG＝BC＋CG＝25，∴AE∶EG＝4∶25，在 Rt△ABG 中，AG＝ AB2＋BG2＝5 29. ∴EG＝2259AG＝12529 29.
(2)如图②，过点 B 作 BD⊥AC 于点 E，交⊙O 于点 D，若 BD＝ MA，求∠AMB 的大小．
解：如图，连接 AD，AB. ∵AC 为直径，MA 与⊙O 相切，∴MA⊥AC. 又∵BD⊥AC，∴BD∥MA. 又 BD＝MA，∴四边形 MADB 是平行四边形．
∵MA，MB 分别切⊙O 于点 A，B，∴MA＝MB. ∴四边形 MADB 是菱形．∴AD＝BD.

九年级上册数学24.2 点和圆、直线和圆的位置关系第3课时切线长定理

第3课时切线长定理1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．一、情境导入新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究探究点一：切线长定理【类型一】利用切线长定理求三角形的周长如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF的周长是________．解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB ，因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PEF 的周长PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EC )＋(CF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4.【类型二】利用切线长定理求角的大小如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA的度数是________度．解析：如图所示，连接OA 、OB .∵PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB ＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO －∠AOB －∠OBP ＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA ≌△POB ，∴∠OPA ＝12∠APB ＝20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO 平分∠APB .【类型三】切线长定理的实际应用为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA ＝5cm ，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．解：过O 作OQ ⊥AB 于Q ，设铁环的圆心为O ，连接OP 、OA .∵AP 、AQ 为⊙O 的切线，∴AO 为∠PAQ 的平分线，即∠PAO ＝∠QAO .又∠BAC ＝60°，∠PAO ＋∠QAO ＋∠BAC ＝180°，∴∠PAO ＝∠QAO ＝60°.在Rt △OPA 中，PA ＝5，∠POA ＝30°，∴OP ＝55(cm)，即铁环的半径为55cm.探究点二：三角形的内切圆【类型一】求三角形的内切圆的半径如图，⊙O 是边长为2的等边△ABC 的内切圆，则⊙O 的半径为________．解析：如图，连接OD .由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OCD ＝30°，OD ⊥BC ，所以CD ＝12BC ，OC＝2OD .又由BC ＝2，则CD ＝1.在Rt △OCD 中，根据勾股定理得OD 2＋CD 2＝OC 2，所以OD 2＋12＝(2OD )2，所以OD ＝33.即⊙O 的半径为33. 方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等．【类型二】求三角形的周长如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE ︵(不包括端点D 、E )上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N .若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( )A ．r B.32r C ．2r D.52r解析：连接OD ，OE ，∵⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC .又∵MD ，MP 都是⊙O 的切线，且D 、P 是切点，∴MD ＝MP ，同理可得NP ＝NE ，∴C Rt △MBN ＝MB ＋BN ＋NM ＝MB ＋BN ＋NP ＋PM ＝MB ＋MD ＋BN ＋NE ＝BD ＋BE ＝2r ，故选C.三、板书设计教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题．明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.。

沪科版九年级下册数学：第24章圆 244 直线与圆的位置关系切线长定理

∵ DP+DC=PD+DA=PA=5cm, 易证EB=EC, DC=DA,PA=PB.
EP+CE=PE+EB=PB=5cm, ∴ △PDE周长为10cm.
通过这节课的学习，你有什么收获或体会？
∴AB= AC2＋BC2＝ 102 + 242 = 26
∵ ⊙O 分别与 AB，BC，CA
相切于点 D，E，F，
∴ OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，BE =BD，AF =AD， CE =CF.
又∵ ∠C = 90° ， ∴ 四边形OECF 为正方形.
∴EC = FC = r. BE = 24- r，AF = 10 - r.
A
由BD+CD=14得
9-x+13-x=14
x=4,则AF=4，BD=5，CE=9
B
x
F . I
yD
E
z
C
如图，四边形 ABCD 的四条边都与 ⊙O 相切，图中的线段之间有哪些等量关系？与同伴进行交流．
证明：由切线长定理得
C
N
AL=AP，LB=MB，NC=MC，
D
DN=DP,
M
∴AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN, P
1.切线判定定理 2.切线性质
做一做
如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？
A
O.
P
B 思考：已画出切线PA,PB，A,B为切点，则∠OAP=90°, 连接OP，可知A,B 除了在⊙O上，还在怎样的圆上?
A
OO ·
P
B
如图：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点。思考：由切线长定理可以还得出哪些3;CD，补充：圆的外切四边形的两组对边