二次函数的a b c

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二次函数系数a、b、c与图像的关系

二次函数系数a、b、c与图象的关系知识归纳：1.a的作用：决定开口方向和开口大小2.a与b的作用：左同右异（对称轴的位置）3.c的作用：与y轴交点的位置。

4.b2-4ac的作用：与x轴交点的个数。

5.几个特殊点：顶点，与x轴交点，与y轴交点，（1，a+b+c), (-1,a-b+c) （2，4a+2b+c), （-2，4a-2b+c)。

针对训练：1.判断下列各图中的a、b、c及△的符号。

(1)a___0； b___0； c___0；△__0.(2)a___0； b___0； c___0；△__0.(3)a___0； b___0； c___0；△__0.(4)a___0； b___0； c___0；△__0.(5)a___0； b___0； c___0；△__0.2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，用（＞，＜，=）填空：a___0； b___0； c___0； a+b+c__0； a-b+c__0.3.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图1所示，则下列关于a 、b 、c 间的关系判断正确的是（）A.ab<0B.bc<0C.a+b+c>0D.a －b+c<04.二次函数y=ax 2+bx+c 图象如图，则点 A （b 2-4ac ，-ba ）在第象限．5．已知 a ＜0，b ＞0，c ＞0，那么抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，判断下列各式的符号：(1)a ； (2)b ； (3)c ； (4)a+b+c ； (5)a-b+c ；(6)b 2-4ac ；(7)4ac-b 2； (8)2a+b ； (9)2a-b7.练习：填空（1）函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的函数值恒为正的条件：，恒为负的条件： .（2）已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象在x 轴的下方，则方程ax 2+bx+c=0的解得情况为：.3题图 4题图 6题图（3）二次函数y=ax 2+bx+c 中，ac ＜0，则抛物线与x 轴有交点。

二次函数与a,b,c的关系

a 、b 、c及代数式由抛物线的决定具体说明a由抛物线的开口方向决定开口向上⇔a>0开口向下⇔a<o b由对称轴x=－b2a 的位置决定对称轴在y 轴左侧⇔a 、b 同号对称轴在y 轴右侧⇔a 、b 异号对称轴就是y 轴⇔b=0c由抛物线与y 轴交点(0,c) 的位置决定与y 轴交点在正半轴上⇔c>o与y 轴交点在负半轴上⇔c<0 抛物线过原点⇔c=0 b 2-4ac 由抛物线与x 轴交点个数决定与x 轴有2个交点⇔∆>o 与x 轴有1个交点⇔∆=o 与x 轴没有交点⇔∆<o 2a-b －b2a 与-1比较 2a+b －b 2a 与1比较 a+b+c 令x=1,瞧纵坐标 a-b+c令x=-1,瞧纵坐标 4a+2b+c 令x=2,瞧纵坐标 4a-2b+c令x=-2,瞧纵坐标几种特殊情况:x=1时,y=a + b + c ;x= -1时,y=a - b + c .当x = 1时,① 若y > 0,则a + b + c >0;② 若y < 时0,则a + b + c < 0 当x = -1时,① 若y > 0,则a - b + c >0;② 若y < 0,则a - b + c < 0.扩:x=2, y=4a + 2b + c ;x= -2, y=4a -2b + c ; x=3, y=9a +3 b + c ;x= -3, y=9a -3b + c 。

反之,给我们相应的二次函数图象,我们可以得到其系数a,b,c 以及它们组合成的一些关系结构(例如对称轴; 判别式……等等)的符号4.(2017四川省广安市)如图所示,抛物线c bx ax y ++=2的顶点为B (﹣1,3),与x 轴的交点A 在点(﹣3,0)与(﹣2,0)之间,以下结论:①042=-ac b ;②a +b +c ＞0;③2a ﹣b =0;④c ﹣a =3 其中正确的有( )A.1B.2C.3D.45.(2017四川省眉山市)若一次函数y =(a +1)x +a 的图象过第一、三、四象限,则二次函数2y ax ax =-( ) A.有最大值4a B.有最大值﹣4a C.有最小值4a D.有最小值﹣4a 1、 (2017贵州遵义第11题)如图,抛物线y =ax 2+bx +c 经过点(﹣1,0),对称轴l 如图所示,则下列结论:①abc ＞0;②a ﹣b +c =0;③2a +c ＜0;④a +b ＜0,其中所有正确的结论就是( )A.①③B.②③C.②④D.②③④9、 (2017黑龙江齐齐哈尔第10题)如图,抛物线2y ax bx c =++(0a ≠)的对称轴为直线2x =-,与x 轴的一个交点在(3,0)-与(4,0)-之间,其部分图象如图所示,则下列结论:①40a b -=;②0c <;③30a c -+>;④242a b at bt ->+(t 为实数);⑤点19(,)2y -,25(,)2y -,31(,)2y -就是该抛物线上的点,则123y y y <<,正确的个数有( )A.4个B.3个C.2个D.1个6.(2017四川省绵阳市)将二次函数2x y =的图象先向下平移1个单位,再向右平移3个单位,得到的图象与一次函数y =2x +b 的图象有公共点,则实数b 的取值范围就是( )A.b ＞8B.b ＞﹣8C.b ≥8D.b ≥﹣82.(2017四川省南充市)二次函数2y ax bx c =++(a 、b 、c 就是常数,且a ≠0)的图象如图所示,下列结论错误的就是( )A.4ac ＜b 2B.abc ＜0C.b +c ＞3aD.a ＜b23、 (2017浙江金华第6题)对于二次函数()212y x =--+就是图象与性质,下列说法正确的就是( ) A.对称轴就是直线1x =,最小值就是2 B.对称轴就是直线1x =,最大值就是2 C 、对称轴就是直线1x =-,最小值就是2 D.对称轴就是直线1x =-,最大值就是226、 (2017新疆乌鲁木齐第15题)如图,抛物线2y ax bx c =++过点()1,0-,且对称轴为直线1x =,有下列结论:①0abc <;②1030a b c ++>;③抛物线经过点()14,y 与点()23,y -,则12y y >;④无论,,a b c 取何值,抛物线都经过同一个点,0c a ⎛⎫-⎪⎝⎭;⑤20am bm a ++≥,其中所有正确的结论就是 .15、(2017贵州黔东南州第9题)如图,抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的对称轴为直线x =﹣1,给出下列结论: ①b 2=4ac ;②abc ＞0;③a ＞c ;④4a ﹣2b +c ＞0,其中正确的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个16、(2017山东烟台第11题)二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示,对称轴就是直线1=x ,下列结论: ①0<ab ;②ac b 42>;③0<++c b a ;④03<+c a 、其中正确的就是( )A.①④B.②④ C 、 ①②③ D.①②③④17、(2017四川泸州第8题)下列曲线中不能表示y 与x 的函数的就是( )A. B. C. D.16、 (2017山东日照第12题)已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的对称轴为直线x =2,与x 轴的一个交点坐标为(4,0),其部分图象如图所示,下列结论: ①抛物线过原点; ②4a +b +c =0; ③a ﹣b +c ＜0;④抛物线的顶点坐标为(2,b ); ⑤当x ＜2时,y 随x 增大而增大. 其中结论正确的就是( )A.①②③B.③④⑤C.①②④D.①④⑤12、(2017江苏盐城第6题)如图,将函数y =12(x －2)2+1的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点A (1,m ),B (4,n )平移后的对应点分别为点A '、B '.若曲线段AB 扫过的面积为9(图中的阴影部分),则新图象的函数表达式就是( ) A.y ＝12 (x −2)2−2 B.y ＝12 (x −2)2+7 C.y ＝12 (x −2)2−5 D.y ＝12(x −2)2+4 7、(2017广西贵港第10题)将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度后,得到的抛物线解析式就是 ( )A.()211y x =-+ B.()211y x =++ C 、()2211y x =-+ D.()2211y x =++8、(2017贵州安顺第10题)二次函数y =ax 2+bx +c (≠0)的图象如图,给出下列四个结论:①4ac ﹣b 2＜0;②3b +2c＜0;③4a +c ＜2b ;④m (am +b )+b ＜a (m ≠1),其中结论正确的个数就是( )A.1B.2C.3D.44、(2017浙江宁波第10题)抛物线22y x x m(m就是常数)的顶点在( )22A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限1.(2016·山东省滨州市·3分)抛物线y=2x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数就是()A.0B.1C.2D.32.(2016·山东省滨州市·3分)在平面直角坐标系中,把一条抛物线先向上平移3个单位长度,然后绕原点选择180°得到抛物线y=x2+5x+6,则原抛物线的解析式就是()A.y=﹣(x﹣)2﹣B.y=﹣(x+)2﹣C.y=﹣(x﹣)2﹣D.y=﹣(x+)2+【点评】本题考查的就是二次函数的图象与几何变换,熟知二次函数的图象旋转及平移的法则就是解答此题的关键.3.(2016广西南宁3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与正比例函数y=x的图象如图所示,则方程ax2+(b﹣)x+c=0(a≠0)的两根之与()A.大于0B.等于0C.小于0D.不能确定4.(2016贵州毕节3分)一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能就是()A. B. C. D.5、(2016·福建龙岩·4分)已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则|a﹣b+c|+|2a+b|=()A.a+bB.a﹣2bC.a﹣bD.3a10.(2016贵州毕节3分)一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能就是()A. B. C. D.【11、(2016·浙江省绍兴市·4分)抛物线y=x2+bx+c(其中b,c就是常数)过点A(2,6),且抛物线的对称轴与线段y=0(1≤x≤3)有交点,则c的值不可能就是()A.4B.6C.8D.1012、(2016·湖北随州·3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:(1)4a+b=0;(2)9a+c＞3b;(3)8a+7b+2c＞0;(4)若点A(﹣3,y1)、点B(﹣,y2)、点C(,y3)在该函数图象上,则y1＜y3＜y2;(5)若方程a(x+1)(x﹣5)=﹣3的两根为x1与x2,且x1＜x2,则x1＜﹣1＜5＜x2.其中正确的结论有()A.2个B.3个C.4个D.5个13、(2016·四川南充)抛物线y=x2+2x+3的对称轴就是()A.直线x=1B.直线x=﹣1C.直线x=﹣2D.直线x=214.(2016·四川泸州)已知二次函数y=ax2﹣bx﹣2(a≠0)的图象的顶点在第四象限,且过点(﹣1,0),当a ﹣b为整数时,ab的值为()A.或1B.或1C.或D.或15.(2016·四川攀枝花)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1与3,则下列结论正确的就是()A.2a﹣b=0B.a+b+c＞0C.3a﹣c=0D.当a=时,△ABD就是等腰直角三角形16、(2016·黑龙江齐齐哈尔·3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论:①4ac＜b2;②方程ax2+bx+c=0的两个根就是x1=﹣1,x2=3;③3a+c＞0④当y＞0时,x的取值范围就是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时,y随x增大而增大其中结论正确的个数就是()A.4个B.3个C.2个D.1个17.(2016·湖北黄石·3分)以x为自变量的二次函数y=x2﹣2(b﹣2)x+b2﹣1的图象不经过第三象限,则实数b的取值范围就是()A.b≥B.b≥1或b≤﹣1C.b≥2D.1≤b≤218.(2016·湖北荆门·3分)若二次函数y=x2+mx的对称轴就是x=3,则关于x的方程x2+mx=7的解为()A.x1=0,x2=6B.x1=1,x2=7C.x1=1,x2=﹣7D.x1=﹣1,x2=719、(2016·青海西宁·3分)如图,在△ABC中,∠B=90°,tan∠C=,AB=6cm.动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.若P,Q两点分别从A,B两点同时出发,在运动过程中,△PBQ的最大面积就是()A.18cm2B.12cm2C.9cm2D.3cm221、(2016·四川眉山·3分)若抛物线y=x2﹣2x+3不动,将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位,再沿铅直方向向上平移三个单位,则原抛物线图象的解析式应变为()A.y=(x﹣2)2+3B.y=(x﹣2)2+5C.y=x2﹣1D.y=x2+44.(2016·四川南充)已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点(1,1),双曲线y=经过点(a,bc),给出下列结论:①bc＞0;②b+c＞0;③b,c就是关于x的一元二次方程x2+(a﹣1)x+=0的两个实数根;④a﹣b﹣c≥3.其中正确结论就是(填写序号)5.(2016·四川泸州)若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,则+的值为7、(2016·湖北荆州·3分)若函数y=(a﹣1)x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点,则a的值为8、(2016·辽宁丹东·10分)某片果园有果树80棵,现准备多种一些果树提高果园产量,但就是如果多种树,那么树之间的距离与每棵树所受光照就会减少,单棵树的产量随之降低.若该果园每棵果树产果y(千克),增种果树x(棵),它们之间的函数关系如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)在投入成本最低的情况下,增种果树多少棵时,果园可以收获果实6750千克？(3)当增种果树多少棵时,果园的总产量w(千克)最大？最大产量就是多少？12.(2016·四川内江)(12分)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边周长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图14所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x 米. (1)若苗圃园的面积为72平方米,求x ;(2)若平行于墙的一边长不小于8米,这个苗圃园的面积有最大值与最小值不？如果有,求出最大值与最小值;如果没有,请说明理由;(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时,直接写出x 的取值范围.16、(2016·黑龙江龙东·6分)如图,二次函数y =(x +2)2+m 的图象与y 轴交于点C ,点B 在抛物线上,且与点C 关于抛物线的对称轴对称,已知一次函数y =kx +b 的图象经过该二次函数图象上的点A (﹣1,0)及点B. (1)求二次函数与一次函数的解析式;(2)根据图象,写出满足(x +2)2+m ≥kx +b 的x 的取值范围.21、(2016·内蒙古包头)一幅长20cm 、宽12cm 的图案,如图,其中有一横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为3:2.设竖彩条的宽度为xcm ,图案中三条彩条所占面积为ycm 2. (1)求y 与x 之间的函数关系式;(2)若图案中三条彩条所占面积就是图案面积的,求横、竖彩条的宽度.24、 (2016·山东潍坊)旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用,假定每辆观光车一天内最多只能出租一次,且每辆车的日租金x (元)就是5的倍数.发现每天的营运规律如下:当x 不超过100元时,观光车能全部租出;当x 超过100元时,每辆车的日租金每增加5元,租出去的观光车就会减少1辆.已知所有观光车每天的管理费就是1100元. (1)优惠活动期间,为使观光车全部租出且每天的净收入为正,则每辆车的日租金至少应为多少元？(注:净收入=租车收入﹣管理费)(2)当每辆车的日租金为多少元时,每天的净收入最多？18m 苗圃园图14。

二次函数的图像与字母a、b、c的关系

课次教学方案教学过程：一、知识要点二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号确实定：〔1〕a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，那么a ＞0；否那么a ＜0．〔2〕b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．〔3〕c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，那么c ＞0；否那么c ＜0．〔4〕b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0；1个交点，b 2-4ac=0；没有交点，b 2-4ac ＜0．〔5〕当x=1时，可确定a+b+c 的符号，当x=-1时，可确定a-b+c 的符号．〔6〕由对称轴公式x=，可确定2a+b 的符号．二、根底练习1、抛物线y=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕在平面直角坐标系中的位置如下图，那么以下结论中，正确的选项是〔 D 〕 A 、a ＞0 B 、b ＜0 C 、c ＜0 D 、a+b+c ＞02、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=-1，给出以下结果①b 2＞4ac ； ②abc ＞0；③2a+b=0； ④a+b+c ＞0；⑤a-b+c ＜0，那么正确的结论是〔 D 〕 A 、①②③④ B 、②④⑤ C 、②③④ D 、①④⑤任课教师学科版本年段辅导类型上课时间学生签名数学北师大初三课题二次函数y=a 2x +bx+c 系数符号确实定方法课次教学目标掌握二次函数中字母 a 、b 、c 三者与图象之间的关系。

教学策略教学重点、难点：利用图形的性质与特殊性来确定字母a 、b 、c 三者之间的关系。

3、如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为〔21，1〕，以下结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac-b 2=4a ；④a+b+c ＜0．其中正确结论的个数是〔 C 〕1\2\3 A 、1 B 、2 C 、3 D 、44、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，对称轴为直线x=1，那么以下结论正确的选项是〔B 〕 A 、ac ＞0 B 、方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=-1，x 2=3 C 、2a-b=0 D 、当x ＞0时，y 随x 的增大而减小5、二次函数y=ax 2+bx+c 〔a ，b ，c 为常数，a ≠0〕的图象如下图，有以下结论： ①abc ＞0，②2b -4ac ＜0，③a-b+c ＞0，④4a-2b+c ＜0，其中正确结论的个数是〔A4 〕 A 、1 B 、2 C 、3 D 、46、〔如下图的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：〔1〕b 2-4ac ＞0；〔2〕c ＞1；〔3〕2a-b ＜0；〔4〕a+b+c ＜0．你认为其中错误的有〔D2〕 A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、1个7、抛物线y=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕的图象如下图，那么以下说法正确的选项是〔C 〕 A 、b 2-4ac ＜0 B 、abc ＜0 C 、 -a2b＜-1 D 、a-b+c ＜08、二次函数y=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕的图象如下图，现有以下结论：①b 2-4ac ＞0 ②a ＞0 ③b ＞0 ④c ＞0 ⑤9a+3b+c ＜0，那么其中结论正确的个数是〔B 〕1/2/5 A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个9、二次函数y=ax 2的图象开口向上，那么直线y=ax-1经过的象限是〔D 〕 A 、第一、二、三象限 B 、第二、三、四象限 C 、第一、二、四象限 D 、第一、三、四象限10、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，那么以下结论正确的选项是〔D 〕A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＞0B 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＜0C 、a ＜0，b ＞0，c ＜0，b 2-4ac ＞0D 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，b 2-4ac ＞011、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，那么以下判断不正确的选项是〔B 〕 A 、ac ＜0 B 、a-b+c ＞0C 、b=-4aD 、关于x 的方程a 2x +bx+c=0的根是x 1=-1，x 2=512、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，那么a ，b ，c 满足〔A 〕A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，2b -4ac ＞0 B 、a ＜0，b ＜0，c ＜0，2b -4ac ＞0 C 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，2b -4ac ＜0 D 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，2b -4ac ＞013、二次函数y=2ax +bx+c 〔a ≠0〕的图象如下图，有以下4个结论，其中正确的结论是〔B 〕 A 、abc ＞0 B 、b ＞a+c C 、2a-b=0 D 、2b -4ac ＜014、二次函数y=2ax +bx+c 〔a ≠0〕的图象如下图，那么以下结论： ①ac ＞0；②a-b+c ＜0；③当x ＜0时，y ＜0；④方程2ax +bx+c=0〔a ≠0〕有两个大于-1的实数根．其中错误的结论有〔C 〕 A 、②③ B 、②④ C 、①③ D 、①④15、如下图为二次函数y=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕的图象，在以下选项中错误的选项是〔C 〕 A 、ac ＜0 B 、x ＞1时，y 随x 的增大而增大 C 、a+b+c ＞0 D 、方程ax 2+bx+c=0的根是1x =-1，2x =316、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，以下结论错误的选项是〔B 〕 A 、ab ＜0 B 、ac ＜0C 、当x ＜2时，函数值随x 增大而增大；当x ＞2时，函数值随x 增大而减小D 、二次函数y=2ax +bx+c 的图象与x 轴交点的横坐标就是方程2ax +bx+c=0的根17、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，那么以下结论正确的选项是〔D 〕 A 、a ＞0 B 、c ＜0 C 、b 2-4ac ＜0 D 、a+b+c ＞018、二次函数y=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕的图象如下图，以下结论①a ，b 异号；②当x=1和x=3时，函数值相等； ③4a+b=0；④当y=4时，x 的取值只能为0，结论正确的个数有〔 C 〕个．1/2/3 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4三、能力练习c bx ax y ++=2的图象如图 l －2－2所示，那么a 、b 、c 满足〔〕 A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0D ．a ＞0，b ＜0，c ＞02.二次函数c bx ax y ++=2(a≠0〕且a ＜0，a －b+c ＞0，那么一定有〔〕A ．b 2－4ac ＞0B ．b 2－4ac ＝0C ．b 2－4ac ＜0D ．b 2－4ac≤03.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1－2－10，那么点〔b ，c a〕在〔〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．假设二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，那么ac_____0〔“＜〞“＞〞或“=〞〕第4题图5．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图 1－2－14所示，那么以下关于a 、b 、c 间的关系判断正确的选项是〔〕 A ．ab ＜0 B 、bc ＜0 C ．a+b ＋c ＞0 D ．a －b 十c ＜0四、知识小结：例题．抛物线c bx ax y ++=2过三点〔－1，－1〕、〔0，－2〕、〔1，l 〕．〔1〕求抛物线所对应的二次函数的表达式；〔2〕写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；〔3〕这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？五、中考真题回忆：〔09佛山〕19．〔1〕请在坐标系中画出二次函数22y x x =-+的大致图象；〔2〕在同一个坐标系中画出22y x x =-+的图象向上平移两个单位后的图象；〔3〕直接写出平移后的图象的解析式. 注：图中小正方形网格的边长为1.〔1〕画图〔略〕注：根本反映图形的特征〔如顶点、对称性、变化趋势、平滑〕给2分，满足其中的两至三项给1分，满足一项以下给0分；〔2〕画图、写解析式〔略〕注：画图总分值2分，同〔1〕的标准；写解析式2分〔无过程不扣分〕．〔11·佛山〕21.如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过A 〔－1，－1〕、B 〔0，2〕、C 〔1，3〕；〔1〕求二次函数的解析式；〔2〕画出二次函数的图像；【答案】解：〔1〕根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝－1c ＝2a ＋b ＋c ＝3………………2分解得a ＝－1，b ＝2，c ＝2………………4分所以二次函数的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋2………………5分〔2〕二次函数的图象如图………………8分给分要点：顶点、对称、光滑〔各1分〕〔12佛山〕xyO第19题图xyoABC1xyoABC122.(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数c bx ax y ++=2的解析式； ①y 随x 变化的局部数值规律如下表：②有序数对()0,1-、()4,1、()0,3满足c bx ax y ++=2； ③函数c bx ax y ++=2的图象的一局部〔如图〕． (2)直接写出二次函数c bx ax y ++=2的三个性质．解析：〔1〕方法一：由可得：C=3，0=+-c b a ，4=++c b a ，所以1-=a ，2=b ，C=3，所以二次函数解析式为：322++-=x x y方法二：由②可得：0=+-c b a ，4=++c b a ，039=++c b a ，解之得：1-=a ，2=b ，C=3，所以二次函数解析式为：322++-=x x y 方法三：由③可得：C=3，0=+-c b a ，12=-ab，解之得：1-=a ，2=b ，C=3，所以二次函数解析式为：322++-=x x y 〔三种选其一即可〕〔2〕1、对称轴为1=x ， 2、开口向下 3、与x 轴有2个交点 4、交 y 轴正半轴考察知识：待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质及图像〔2021•佛山〕24．如图①，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A 〔0，3〕，B 〔3，0〕，C 〔4，3〕．x -1 0 1 2 3 y343〔1〕求抛物线的函数表达式；〔2〕求抛物线的顶点坐标和对称轴；〔3〕把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S〔图②中阴影局部〕．分析：〔1〕把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解即可；〔2〕把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；〔3〕根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影局部的面积等于平行四边形的面积，列式进展计算即可得解．解：〔1〕∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A〔0，3〕，B〔3，0〕，C〔4，3〕，∴，解得，所以抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3；〔2〕∵y=x2﹣4x+3=〔x﹣2〕2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为〔2，﹣1〕，对称轴为直线x=2；〔3〕如图，∵抛物线的顶点坐标为〔2，﹣1〕，∴PP′=1，阴影局部的面积等于平行四边形A′APP′的面积，平行四边形A′APP′的面积=1×2=2，∴阴影局部的面积=2．点评：此题考察了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，〔3〕根据平移的性质，把阴影局部的面积转化为平行四边形的面积是解题的关键．【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评和关注，我们将会做得更好】。

二次函数与a,b,c的关系

C.小于０
D.不能确定
4.(201６贵州毕节 3 分)一次函数 y=ａｘ+b(a≠0)与二次函数 y=ax2+bx＋c(ａ≠0)在同一平面直角坐标系中得图象可能就
是( )
A。
Ｂ. Ｃ.
D。
5.(2016·福建龙岩·4 分)已知抛物线 y＝ax2+bx＋ｃ得图象如图所示,则|ａ﹣b+c|+|2a+b|＝( )
(填写序号)‫ﻩ‬
５。 (201６·四川泸州 )若二次函数 y=2x 2﹣ 4x ﹣ 1 得图象与 x 轴交于 A(x1,0)、 B(x 2,0)两点 ,则 +得值为７。(2016·湖北荆州·３分)若函数 y=(a﹣1)ｘ2﹣4x+2a 得图象与 x 轴有且只有一个交点,则 a 得值为
A。0‫ﻩ‬
B.1
C.2‫ﻩ‬
Ｄ、3
2.(2016·山东省滨州市·3 分)在平面直角坐标系中,把一条抛物线先向上平移３个单位长度,然后绕原点选择 180°得到
抛物线 y=ｘ２+5x+6,则原抛物线得解析式就是( )
A.ｙ=﹣(x﹣)2﹣‫ ﻩ‬B。y=﹣(x＋)2﹣
Ｃ、y=﹣(x﹣)2﹣‫ ﻩ‬D、y=﹣(x+)2+
３b+2ｃ＜0;③４a＋ｃ〈２b;④m(aｍ+b)＋ｂ<ａ(ｍ≠１),其中结论正确得个数就是( )
A.1 B、2 C.３ D、4
4。(2０17 浙江宁波第 10 题)抛物线(就是常数)得顶点在(
)
A、第一象限‫ﻩ ﻩ‬
B。第二象限‫ ﻩ ﻩ ﻩ‬Ｃ.第三象限‫ ﻩ ﻩ‬D、第四象限
1、(20１6·山东省滨州市·３分)抛物线 y＝2x2﹣2ｘ+1 与坐标轴得交点个数就是( )

二次函数与abc的关系总结

二次函数与abc的关系总结在数学的世界里，二次函数是一个非常重要的概念。

它的形式通常为 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0）。

而这三个常数a、b、c 对于二次函数的性质和图像有着至关重要的影响。

接下来，咱们就详细聊聊二次函数与 a、b、c 之间的关系。

首先，咱们来看看系数 a 。

a 的正负决定了二次函数抛物线的开口方向。

如果 a 大于 0 ，抛物线开口向上；要是 a 小于 0 ，抛物线开口向下。

这就好比一个人决定往上走还是往下走，a 就是那个决定方向的关键因素。

而且，a 的绝对值大小还影响着抛物线开口的宽窄程度。

绝对值越大，开口越窄；绝对值越小，开口越宽。

想象一下，就像一个大口瓶子和一个小口瓶子，口子的大小就由 a 的绝对值来决定。

接下来聊聊系数 b 。

b 与 a 一起影响着抛物线的对称轴位置。

对称轴的公式是 x ＝ b ／（2a) 。

这意味着 b 的值会影响对称轴在 x 轴上的位置。

当 a 和 b 同号时，对称轴在 y 轴左侧；当 a 和 b 异号时，对称轴在y 轴右侧。

比如说，a 是正数，b 也是正数，那么对称轴就在y 轴左边；要是 a 是正数，b 是负数，对称轴就跑到 y 轴右边去了。

再来说说系数 c 。

c 表示抛物线与 y 轴的交点纵坐标。

当 x ＝ 0 时，y ＝ c 。

所以，抛物线与 y 轴的交点就是（0, c) 。

如果 c 大于 0 ，交点在 y 轴正半轴；c 小于 0 ，交点在 y 轴负半轴；c 等于 0 ，抛物线就过原点。

举个例子来说，如果有一个二次函数 y ＝ 2x²＋ 3x 1 ，这里 a ＝ 2 大于 0 ，所以抛物线开口向上；b ＝ 3 ，a ＝ 2 都大于 0 ，所以对称轴在 y 轴左侧；c ＝－1 小于 0 ，抛物线与 y 轴交点在负半轴。

咱们再深入一点，当 b² 4ac 这个式子的值大于 0 时，二次函数有两个不同的实数根；等于0 时，有一个实数根；小于0 时，没有实数根。

二次函数中的abc的含义

二次函数中的abc的含义在二次函数中，abc分别代表着三个不同的参数，即二次项系数（a）、一次项系数（b）和常数项（c）。

这些参数用来描述函数图像的特征，并决定了二次函数的形状，位置和方向。

接下来，我们将详细解释每个参数的含义，并讨论它们对函数图像的影响。

1.二次项系数（a）：二次项系数（a）表示二次函数中二次项的系数。

当a>0时，二次函数的图像开口向上，形状类似于一个U形；当a<0时，二次函数的图像开口向下，形状类似于一个倒U形。

系数a的绝对值越大，图像的开口越窄，曲线越陡峭，而绝对值小的a则代表着开口较宽的曲线。

2.一次项系数（b）：一次项系数（b）表示二次函数中一次项的系数。

一次项决定了二次函数的图像与y轴的交点位置。

当b>0时，二次函数与y轴的交点在y轴上方；当b<0时，二次函数与y轴的交点在y轴下方。

系数b的绝对值越大，图像与y轴之间的距离越远，而绝对值小的b则代表着图像与y轴之间的距离越近。

3.常数项（c）：常数项（c）表示二次函数中的常数。

常数项决定了二次函数与y 轴的截距，即图像与y轴的交点位置。

常数项c的值决定了图像在y 轴上的上下平移。

当c>0时，图像向上平移；当c<0时，图像向下平移。

增加常数项的绝对值将把图像向下移动，而减小常数项的绝对值将使图像向上移动。

综上所述，二次函数中的abcd分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。

a决定了图像的形状，b决定了图像与y轴之间的距离和交点的位置，c决定了图像在y轴上的上下平移。

这些参数共同作用，决定了二次函数的图像特征，帮助我们分析和理解二次函数在数学和实际问题中的应用。

二次函数与a b c的关系

几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c；x= -1时，y=a - b + c．当x = 1时，①若y > 0，则a + b + c >0；②若y < 时0，则a + b + c < 0当x = -1时，①若y > 0，则a - b + c >0；②若y < 0，则a - b + c < 0．扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。

反之，给我们相应的二次函数图象，我们可以得到其系数a,b,c以及它们组合成的一些关系结构（例如对称轴−b2a ; 判别式b 2−4ac ; y =a +b +c……等等）的符号 4．（2017四川省广安市）如图所示，抛物线c bx ax y ++=2的顶点为B （﹣1，3），与x 轴的交点A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①042=-ac b ；②a +b +c ＞0；③2a ﹣b =0；④c ﹣a =3其中正确的有（）A ．1B ．2C ．3D ．45．（2017四川省眉山市）若一次函数y =（a +1）x +a 的图象过第一、三、四象限，则二次函数2y ax ax =-（）A ．有最大值4aB ．有最大值﹣4aC ．有最小值4aD ．有最小值﹣4a1. （2017贵州遵义第11题）如图，抛物线y =ax 2+bx +c 经过点（﹣1，0），对称轴l 如图所示，则下列结论：①abc ＞0；②a ﹣b +c =0；③2a +c ＜0；④a +b ＜0，其中所有正确的结论是（）A ．①③B ．②③C ．②④D ．②③④9. （2017黑龙江齐齐哈尔第10题）如图，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）的对称轴为直线2x =-，与x 轴的一个交点在(3,0)-和(4,0)-之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①40a b -=；②0c <；③30a c -+>；④242a b at bt ->+（t 为实数）；⑤点19(,)2y -，25(,)2y -，31(,)2y -是该抛物线上的点，则123y y y <<，正确的个数有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．（2017四川省绵阳市）将二次函数2x y =的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y =2x +b 的图象有公共点，则实数b 的取值范围是（）A ．b ＞8B ．b ＞﹣8C ．b ≥8D ．b ≥﹣82．（2017四川省南充市）二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，且a ≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（）A ．4ac ＜b 2B ．abc ＜0C ．b +c ＞3aD ．a ＜b23. (2017浙江金华第6题)对于二次函数()212y x =--+是图象与性质，下列说法正确的是（）A ．对称轴是直线1x =，最小值是2B ．对称轴是直线1x =，最大值是2C . 对称轴是直线1x =-，最小值是2D ．对称轴是直线1x =-，最大值是226. （2017新疆乌鲁木齐第15题）如图，抛物线2y ax bx c =++过点()1,0-，且对称轴为直线1x =，有下列结论：①0abc <；②1030a b c ++>；③抛物线经过点()14,y 与点()23,y -，则12y y >；④无论,,a b c 取何值，抛物线都经过同一个点,0c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；⑤20am bm a ++≥，其中所有正确的结论是．15.（2017贵州黔东南州第9题）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =﹣1，给出下列结论：①b 2=4ac ；②abc ＞0；③a ＞c ；④4a ﹣2b +c ＞0，其中正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 16.（2017山东烟台第11题）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，对称轴是直线1=x ，下列结论：①0<ab ；②ac b 42>；③0<++c b a ；④03<+c a .其中正确的是（）A ．①④ B．②④ C. ①②③ D ．①②③④17.（2017四川泸州第8题）下列曲线中不能表示y 与x 的函数的是（）A ．B ．C ．D ． 16. (2017山东日照第12题)已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =2，与x 轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a +b +c =0；③a﹣b+c＜0；④抛物线的顶点坐标为（2，b）；⑤当x＜2时，y随x增大而增大．其中结论正确的是（）A．①②③B．③④⑤C．①②④D．①④⑤12.（2017江苏盐城第6题）如图，将函数y=12（x－2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）A．y＝12(x?2)2?2 B．y＝12(x?2)2+7 C．y＝12(x?2)2?5 D．y＝12(x?2)2+47.（2017广西贵港第10题）将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）A．()211y x=-+ B．()211y x=++C.()2211y x=-+ D．()2211y x=++8.（2017贵州安顺第10题）二次函数y=ax2+bx+c（≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③4a+c＜2b；④m（am+b）+b＜a（m≠1），其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44.（2017浙江宁波第10题）抛物线22y x x m(m是常数)的顶点在( )22A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限1．（2016·山东省滨州市·3分）抛物线y=2x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．32．（2016·山东省滨州市·3分）在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点选择180°得到抛物线y=x2+5x+6，则原抛物线的解析式是（）A．y=﹣（x﹣）2﹣B．y=﹣（x+）2﹣ C．y=﹣（x﹣）2﹣D．y=﹣（x+）2+【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键．3．（2016广西南宁3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（）A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定4．（2016贵州毕节3分）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C．D．5.（2016·福建龙岩·4分）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则|a﹣b+c|+|2a+b|=（）A．a+b B．a﹣2b C．a﹣b D．3a 10．（2016贵州毕节3分）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C．D．【11. （2016·浙江省绍兴市·4分）抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A （2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（）A．4 B．6 C．8 D．1012. （2016·湖北随州·3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个13.（2016·四川南充）抛物线y=x2+2x+3的对称轴是（）A．直线x=1 B．直线x=﹣1 C．直线x=﹣2 D．直线x=2 14．（2016·四川泸州）已知二次函数y=ax2﹣bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a﹣b为整数时，ab的值为（）A．或1 B．或1 C．或D．或15．（2016·四川攀枝花）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（）A．2a﹣b=0B．a+b+c＞0C．3a﹣c=0D．当a=时，△ABD是等腰直角三角形16.（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个17．（2016·湖北黄石·3分）以x为自变量的二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（）A．b≥B．b≥1或b≤﹣1 C．b≥2D．1≤b≤218．（2016·湖北荆门·3分）若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（）A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=719.（2016·青海西宁·3分）如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C=，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（）A．18cm2 B．12cm2 C．9cm2 D．3cm221. （2016·四川眉山·3分）若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（）A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+44．（2016·四川南充）已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点（1，1），双曲线y=经过点（a，bc），给出下列结论：①bc＞0；②b+c＞0；③b，c是关于x的一元二次方程x2+（a﹣1）x+=0的两个实数根；④a﹣b﹣c≥3．其中正确结论是（填写序号）5．（2016·四川泸州）若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，则+的值为7.（2016·湖北荆州·3分）若函数y=（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为8. （2016·辽宁丹东·10分）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？12．（2016·四川内江）(12分)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图14所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．(1)若苗圃园的面积为72平方米，求x；(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．16.（2016·黑龙江龙东·6分）如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．21.（2016·内蒙古包头）一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．24. （2016·山东潍坊）旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费）（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？。

初中数学精品试题：二次函数与系数a,b,c的关系

专题02 二次函数与系数a 、b 、c 的关系【知识梳理】知识梳理一、二次函数2y ax bx c =++中a 、b 、c 的基本认知b 2-4ac =0知识梳理二、关于a 、b 、c 代数式的取值问题．a 、b 、m知识梳理三、图像共存问题．（一般分为以下三类）（1）通过给出的系数系数信息，判断图像共存（2）通过给出的图像判断系数，再判断图像共存（3）不给出任何系数信息，通过题意判断【例题精讲】例1．函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax+a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．例2．已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（）A．B．C．D．例3．函数y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象与一次函数y＝mx+n的图象可能是（）A．B．C．D．例4．反比例函数y＝与y＝﹣kx+1（k≠0）在同一坐标系的图象可能为（）A．B．C．D．例5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y ＝cx﹣与反比例函数y＝在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．例6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（，0）和（m，y），对称轴为直线x＝﹣1，下列5个结论：其中正确的结论为．（注：只填写正确结论的序号）①abc＞0；②a+2b+4c＝0；③2a﹣b＞0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b），例7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，经过点（0，1）有以下结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞0；③abc＞0；④4a﹣2b+c＞0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是．例8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（不包括这两个点），下列结论：①当﹣1＜x＜3时，y＞0；②﹣1＜a＜﹣．③当m≠1时，a+b＞m（am+b）；④b2﹣4ac＝15a2．其中正确的结论的序号．例9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣4，x2＝1；④当y＞0时，﹣4＜x＜2，其中正确的结论有．例10．已知二次函数y＝（m﹣2）x2+2mx+m﹣3的图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0）．则下列说法正确的有：．（填序号）①该二次函数的图象一定过定点（﹣1，﹣5）；②若该函数图象开口向下，则m的取值范围为：＜m＜2；③当m＞2，且1≤x≤2时，y的最大值为4m﹣5；④当m＞2，且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1、x2满足﹣3＜x1＜2，﹣1＜x2＜0时，m的取值范围为：＜m＜11．【专项训练】1．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（）A．B．C．D．2．抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝ax+c（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．3．一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．4．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx+2b与y＝﹣ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．6．如图，一次函数y1＝﹣x与二次函数y2＝ax2+bx+c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象可能为（）A．B．C．D．7．函数y＝ax2+bx与y＝ax+b在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2﹣bx与y＝bx+a的图象可能是（）A．B．C．D．9．如图，关于x的二次函数y＝x2﹣x+m的图象交x轴的正半轴于A，B两点，交y轴的正半轴于C点，如果x＝a时，y＜0，那么关于x的一次函数y＝（a﹣1）x+m的图象可能是（）A．B．C．D．10．在同一平面直角坐标系中，函数y＝6ax+b与y＝ax2﹣bx的图象可能是（）A．B．C．D．11．已知函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，．则函数y＝cx2﹣bx+a的图象可能是下图中的（）A．B．C．D．12．若b＞0时，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象如下列四图之一所示，根据图象分析，则a 的值等于（）A．﹣1B．1C．D．13．已知函数y1＝mx2+n，y2＝nx+m（mn≠0），则两个函数在同一坐标系中的图象可能为（）A．B．C．D．14．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（）A．B．C．D．15．函数y＝k（x﹣k）与y＝kx2，y＝（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（）A．B．C．D．16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y ＝cx+与反比例函数y＝在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．17．反比例函数的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣4x+k2的图象大致是（）A．B．C．D．18．若ab＞0，则一次函数y＝ax﹣b与反比例函数y＝在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．19．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则﹣次函数y＝﹣bx﹣4ac+b2与反比例函数y＝在同一坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．20．下列图中，反比例函数y＝（a≠0）与二次函数y＝ax2+ax（a≠0）的大致图象在同一坐标系中是（）A．B．C．D．21．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b＝0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0，其中错误结论的序号是．第21题图第22题图22．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a＞1；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，另一个根为﹣．其中正确结论的序号是．23．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0）．顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①ab＞0且c＜0；②4a﹣2b+c＞0；③8a+c＞0；④c＝3a﹣3b；⑤直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2+x1x2＝﹣5．其中结论正确是．24．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＜0；②5a﹣b+c＜0；③方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝﹣5，x2＝1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有．25．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①ab c＞0；②2a+b＜0；③a﹣b+c＜0；④a+c＞0；其中正确的说法有（写出正确说法的序号）．26．如图为二次函数y＝ax2+bx+c图象，直线y＝t（t＞0）与抛物线交于A，B两点，A，B两点横坐标分别为m，n．根据函数图象信息有下列结论：①abc＞0；②若对于t＞0的任意值都有m＜﹣1，则a≥1；③m+n＝1；④m＜﹣1；⑤当t为定值时，若a变大，则线段AB变长．其中，正确的结论有．（写出所有正确结论的番号）27．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a+c＝0；③ac+b+1＝0；④2+c 是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，其中正确的有个．28．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③，3a+c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；⑤4a+2b≥am2﹣bm（m为任意实数）．其中正确的结论有．（填序号）29．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②a+b+c＜0；③4a+b＝0；④若点（1，y1）和（3，y2）在该图象上，则y1＝y2，其中正确的结论是（填序号）．30．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣，0），对称轴为直线x＝1，下列5个结论：①abc＜0；②a﹣2b+4c＝0；③2a+b＞0；④2c﹣3b＜0；⑤a+b≤m（am+b）．其中正确的结论为．（注：只填写正确结论的序号）。

二次函数中的abc的含义

二次函数中的abc的含义
二次函数是数学中的一种函数形式，其一般表达式为：y=ax^2 +bx+c。

在这个表达式中，a、b、c分别表示二次函数的系数，它们分别代表不同的含义。

首先，a代表二次函数的开口方向和开口大小。

当a大于零时，二次函数的开口向上，形状呈现一个U形；当a小于零时，二次函数的开口向下，形状呈现一个倒置的U形。

而a的绝对值越大，开口越大，曲线越陡。

其次，b代表二次函数的平移与图像的水平位置相关。

当b大于零时，二次函数图像向左平移；当b小于零时，二次函数图像向右平移。

b的绝对值越大，平移的距离越远。

最后，c表示二次函数的图像与y轴的交点，也称为二次函数的截距。

当c大于零时，二次函数图像在y轴上方与其交点；当c小于零时，二次函数图像在y轴下方与其交点。

c的绝对值越大，交点与y轴的距离越远。

综上所述，a、b、c分别代表二次函数的开口方向和大小、平移水平位置以及图像与y轴的交点。

通过调整这三个系数，我们可以改变二次函数的形状、位置和截距，从而满足不同的需求和条件。

二次函数在数学和物理学中具有广泛的应用。

例如，在物理学中，二次函数可以描述自由落体运动的高度、抛物线的轨迹等；在经济学中，二次函数可以用于建模成本、收益和利润等；在工程学中，二次函数可以描述抛物线的弧线、光学等。

总的来说，二次函数中的a、b、c分别代表开口方向和大小、平移位置以及图像与y轴的交点。

通过调整这些系数，我们可以灵活地控制二次函数的形状、位置和截距，以适应不同的数学和实际问题。

二次函数a、b、c与图像的关系

二二次函数系数 a、b、c 与图像的关系
一一、首首先就 y=ax +bx+c（a≠0）中的 a，b，c 对图像的作用用归纳如下：
1 a 的作用用：决定开口口方方向：a > 0 开口口向上；a < 0 开口口向下；
决定张口口的大大小小：∣ a∣ 越大大，抛物线的张口口越小小．
2 b 的作用用：b 和 a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关．
3.（2015•泸州）已知二二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a≠0）的图象如图所示，有下
列列结论：①abc＜0，②b2- 4ac＞0，③a-b+c=0，④a+b+c＞0，其中正确结论的个数是（）
A、1 B、2
C、3 D、4
4.（2015•仙游县二二模）已知二二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：y ①② NhomakorabeaO
x
③④ 例例 3 已知二二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图，其对称轴 x=-1，给出下列列结果 ①b2＞4ac ；②abc ＞0；③2a+b=0；④a+b+ c＞0；⑤4a-2b+c＜0，则正确的结论是（） A、①②③④ B、②④⑤ C、②③④ D、①④⑤
2
练习
1. （2015•重庆）已知抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）在平面面直⻆角坐标系中的
4 a,b,c 共同决定判别式的符号进而而决定图象与 x 轴的交点与 x 轴两个交点与 x 轴一一个交点与 x 轴没有交点
5 几几种特殊情况：x=1 时，y=a + b + c ； x= -1 时，y=a - b + c ．

二次函数中a,b,c个代表什么

⼆次函数中a,b,c个代表什么a,b,c分别是⼆次项系数，⼀次向系数和常数项。

1、a代表⼆次函数开⼝⽅向和开⼝⼤⼩，（1）a⼤于0是开⼝向上，⼩于0时开⼝向下。

（2）a的绝对值越⼤，其开⼝越⼩。

2、a和b代表⼆次函数的对称轴。

初中阶段所学的抛物线，不是开⼝向上就是开⼝向下。

所以它的对称轴x=-b/2a不是y轴（x=0）就是和y轴平⾏的直线x=m,∵x=-b/2a1、 ab>0, x=-b/2a < 0 ，即 m > 0时，对称轴在y轴的左侧，2、 ab=0, x=-b/2a = 0 ，即 m = 0时，对称轴就是y轴3 ab<0, x=-b/2a > 0，即m > 0时，对称轴在y轴的右侧a和b同号时，对称轴在y轴左侧，a和b异号时，对称轴在y轴右侧，b == 0 时，对称轴恰好是y轴。

⼝诀：同左异右零（o）中间3、c代表⼆次函数图像与y轴焦点的纵坐标（0，c） c ＞０，抛物线与y轴正半轴相交 c ＝　０，抛物线与y轴负半轴相交 c　＜　０，抛物线过原点（0，0）4、abc同时决定△，即函数图像是否与x轴有焦点和焦点的个数△ > 0 ,函数图像与x轴有焦点和焦点的个数为 2△ = 0 ,函数图像与x轴有焦点和焦点的个数为 1△ < 0 ,函数图像与x轴⽆焦点和焦点的个数为 0因为：抛物线的顶点位置为分为：在x轴的上⽅、x轴的下⽅、和x轴上不管顶点（-b/2a ， 4ac-b2 / 4a ）位置在哪，顶点的横坐标-b/2a 为全体实数,顶点的纵坐标4ac-b2 / 4a为正、负或0 。

当 a > 0 时，（1）顶点位置为在x轴的上⽅，抛物线与x轴⽆焦点（相离）∴ 4ac-b2 / 4a > 0∵ a > 0， 4ac-b2 / 4a > 0∴ 4ac -- b2 >0即 b2-4ac < 0 ,所以当b2-4ac < 0时，抛物线与x轴⽆焦点。

判定二次函数中的a,b,c

二次函数：图象位置与a ，b ，c ，△的符号（1）a 决定抛物线的开口方向：⇔>0a ；⇔<0a ．（2）C 决定抛物线与y 轴交点的位置， 0>c ⇔抛物线交y 轴于；0<c ⇔抛物线交y 轴于； 0=c ⇔ ．（3）ab 决定抛物线对称轴的位置，当b a ,同号时⇔对称轴在y 轴；0=b ⇔对称轴为；b a ,异号⇔对称轴在y 轴，简称为．（4）b 2-4ac 决定抛物线与x 轴交点的个数,当042>-ac b 时，抛物线与x 轴有交点；当042=-ac b 时，抛物线与x 轴有交点；当042<-ac b 时，抛物线与x 轴有交点．一、通过抛物线的位置判断a ，b ，c ，△的符号．例1．根据二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，判断a 、b 、c 、b 2-4ac 的符号（1）a ＋b ＋c_______0（2）a －b ＋c_______0（3）2a －b _______0（4）4a ＋2b＋c_______0二、通过a ，b ，c ，△的符号判断抛物线的位置：例1．若0,0,0<><c b a ，则抛物线y=ax 2+bx+c 的大致图象为（）例2．若a ＞0，b ＞0，c ＞0，△＞0，那么抛物线y=ax 2+bx+c 经过象限．例3.已知二次函数y=ax 2+bx+c 且a ＜0，a-b+c ＞0；则一定有b 2-4ac 0例4．如果函数y=kx+b 的图象在第一、二、三象限内，那么函数y=kx 2+bx-1的大致图象是（）x x xx1．若抛物线y=ax 2+bx+c 开口向上，则直线3+=ax y 经过象限．2．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,则下列条件不正确的是( )A 、0,0,0<><c b aB 、042<-ac bC 、0<++c b aD 、0>+-c b a 3．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，则点⎪⎭⎫ ⎝⎛-+b ac ac b b a ,42A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限4．二次函数y=ax 2+bx+c与一次函数c ax y +=( )5．二次函数y=ax 2+bx+c ()0≠a 的图象，如图，下列结论①0<c ②0>b ③024>++c b a ④()22b c a <+其中正确的有（） A 、1个 B 、2个C 、3个D 、4个6．已知函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，关于系数cb a ,,有下列不等式①0<a ②0<b ③0>c ④02<+b a ⑤0>++c b a 其中正确个数为．7．已知直线y=ax 2+bx+c 不经过第一象限，则抛物线2y ax bx =+一定经过（）A ．第一、二、四象限B ．第一、二、三象限C ．第一、二象限D ．第三、四象限8. 如图所示的抛物线是二次函数y ＝ax 2-3x ＋a 2-1的图象，那么a 的值是__．9. 若抛物线y ＝x 2－bx ＋9的顶点在x 轴上，则b 的值为______若抛物线y ＝x 2－bx ＋9的顶点在y 轴上，则b 的值为______10．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0；②a ＋b ＋c=2；21>a ③；④b ＜1．其中正确的结论是( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④11.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象开口向上，图象经过点（-1,2）和（1,0），且与y 轴负半轴交于一点，给出以下结论①abc ＜0；②2a ＋b ＞0；③a ＋c ＝1；④a ＞1．其中正确的结论是( )A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个12. 二次函数y ＝ax 2 －2x －1与x 轴有交点，则k 的取值范围________。

二次函数的图像与字母a、b、c的关系

课次教学计划教学过程：一、知识要点二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0．（2）b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．（3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0．（4）b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0；1个交点，b 2-4ac=0；没有交点，b 2-4ac ＜0．（5）当x=1时，可确定a+b+c 的符号，当x=-1时，可确定a-b+c 的符号．（6）由对称轴公式x=，可确定2a+b 的符号．二、基础练习1、已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ D ） A 、a ＞0 B 、b ＜0 C 、c ＜0 D 、a+b+c ＞02、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b 2＞4ac ； ②abc ＞0；③2a+b=0； ④a+b+c ＞0；⑤a-b+c ＜0，则正确的结论是（ D ） A 、①②③④ B 、②④⑤ C 、②③④ D 、①④⑤3、如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（21，1），下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac-b 2=4a ；④a+b+c ＜0．其中正确结论的个数是（ C ）1\2\3A 、1B 、2C 、3D 、4任课教师学科版本年段辅导类型上课时间学生签名数学北师大初三课题二次函数y=a 2x +bx+c 系数符号的确定方法课次教学目标掌握二次函数中字母 a 、b 、c 三者与图象之间的关系。

教学策略教学重点、难点：利用图形的性质与特殊性来确定字母a 、b 、c 三者之间的关系。

4、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（B ）A 、ac ＞0B 、方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=-1，x 2=3 C 、2a-b=0 D 、当x ＞0时，y 随x 的增大而减小5、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）的图象如图所示，有下列结论： ①abc ＞0，②2b -4ac ＜0，③a-b+c ＞0，④4a-2b+c ＜0，其中正确结论的个数是（A4 ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、46、（如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b 2-4ac ＞0；（2）c ＞1；（3）2a-b ＜0；（4）a+b+c ＜0．你认为其中错误的有（D2） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、1个7、抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是（C ） A 、b 2-4ac ＜0 B 、abc ＜0 C 、 -a2b＜-1 D 、a-b+c ＜08、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b 2-4ac ＞0 ②a ＞0 ③b ＞0 ④c ＞0 ⑤9a+3b+c ＜0，则其中结论正确的个数是（B ）1/2/5 A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个9、已知二次函数y=ax 2的图象开口向上，则直线y=ax-1经过的象限是（D ） A 、第一、二、三象限 B 、第二、三、四象限 C 、第一、二、四象限 D 、第一、三、四象限10、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（D ）A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＞0B 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＜0C 、a ＜0，b ＞0，c ＜0，b 2-4ac ＞0D 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，b 2-4ac ＞011、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（B ） A 、ac ＜0 B 、a-b+c ＞0C 、b=-4aD 、关于x 的方程a 2x +bx+c=0的根是x 1=-1，x 2=512、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a ，b ，c 满足（A ）A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，2b -4ac ＞0 B 、a ＜0，b ＜0，c ＜0，2b -4ac ＞0C 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，2b -4ac ＜0D 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，2b -4ac ＞013、已知二次函数y=2ax +bx+c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论，其中正确的结论是（B ） A 、abc ＞0 B 、b ＞a+c C 、2a-b=0 D 、2b -4ac ＜014、已知二次函数y=2ax +bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论： ①ac ＞0；②a-b+c ＜0；③当x ＜0时，y ＜0；④方程2ax +bx+c=0（a ≠0）有两个大于-1的实数根．其中错误的结论有（C ） A 、②③ B 、②④ C 、①③ D 、①④15、如图所示为二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象，在下列选项中错误的是（C ） A 、ac ＜0 B 、x ＞1时，y 随x 的增大而增大C 、a+b+c ＞0D 、方程ax 2+bx+c=0的根是1x =-1，2x =316、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论错误的是（B ） A 、ab ＜0 B 、ac ＜0C 、当x ＜2时，函数值随x 增大而增大；当x ＞2时，函数值随x 增大而减小D 、二次函数y=2ax +bx+c 的图象与x 轴交点的横坐标就是方程2ax +bx+c=0的根17、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（D ）A 、a ＞0B 、c ＜0C 、b 2-4ac ＜0 D 、a+b+c ＞018、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论①a ，b 异号；②当x=1和x=3时，函数值相等； ③4a+b=0；④当y=4时，x 的取值只能为0，结论正确的个数有（ C ）个．1/2/3A 、1B 、2C 、3D 、4三、能力练习1.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图 l －2－2所示，则a 、b 、c 满足（） A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0D ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 2.已知二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0）且a ＜0，a －b+c ＞0，则一定有（）A ．b 2－4ac ＞0B ．b 2－4ac ＝0C ．b 2－4ac ＜0D ．b 2－4ac ≤03.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1－2－10，则点（b ，ca）在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则ac_____0（“＜”“＞”或“=”）第4题图 5．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图 1－2－14所示，则下列关于a 、b 、c 间的关系判断正确的是（） A ．ab ＜0 B 、bc ＜0 C ．a+b ＋c ＞0 D ．a －b 十c ＜0四、知识小结：函数二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，图像 a>0a<0y0 xy0 x性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=ab2-，顶点坐标是（a b 2-，ab ac 442-）；（3）在对称轴的左侧，即当x<a b2-时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>ab2-时，y 随x 的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=ab2-时，y 有最小值，（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=ab2-，顶点坐标是（a b 2-，ab ac 442-）；（3）在对称轴的左侧，即当x<ab2-时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>ab2-时，y 随x的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=ab2-时，y 有最大值，例题．已知抛物线c bx ax y ++=2过三点（－1，－1）、（0，－2）、（1，l ）．（1）求抛物线所对应的二次函数的表达式；（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？五、中考真题回顾：（09佛山）19．（1）请在坐标系中画出二次函数22y x x =-+的大致图象；（2）在同一个坐标系中画出22y x x =-+的图象向上平移两个单位后的图象；（3）直接写出平移后的图象的解析式.注：图中小正方形网格的边长为1.（1）画图（略）注：基本反映图形的特征（如顶点、对称性、变化趋势、平滑）给2分，满足其中的两至三项给1分，满足一项以下给0分；（2）画图、写解析式（略）注：画图满分2分，同（1）的标准；写解析式2分（无过程不扣分）．（11·佛山）21.如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过A （－1，－1）、B （0，2）、C （1，3）；（1）求二次函数的解析式；（2）画出二次函数的图像；【答案】解：（1）根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝－1c ＝2a ＋b ＋c ＝3 ………………2分解得a ＝－1，b ＝2，c ＝2………………4分ab ac y 442-=最小值ab ac y 442-=最大值xy O第19题图xyoABC1所以二次函数的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋2………………5分（2）二次函数的图象如图………………8分给分要点：顶点、对称、光滑（各1分）（12佛山）22.(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数c bx ax y ++=2的解析式； ①y 随x 变化的部分数值规律如下表：②有序数对()0,1-、()4,1、()0,3满足c bx ax y ++=2； ③已知函数c bx ax y ++=2的图象的一部分（如图）． (2)直接写出二次函数c bx ax y ++=2的三个性质．解析：（1）方法一：由可得：C=3，0=+-c b a ，4=++c b a ，所以1-=a ，2=b ，C=3，所以二次函数解析式为：322++-=x x y方法二：由②可得：0=+-c b a ，4=++c b a ，039=++c b a ，解之得：1-=a ，2=b ，C=3，所以二次函数解析式为：322++-=x x y 方法三：由③可得：C=3，0=+-c b a ，12=-ab，解之得：1-=a ，2=b ，C=3，所以二次函数解析式为：322++-=x x y （三种选其一即可）（2）1、对称轴为1=x ， 2、开口向下 3、与x 轴有2个交点x -1 0 1 2 3 y343xyoABC14、交y轴正半轴考察知识：待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质及图像（2013•佛山）24．如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．分析：（1）把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解即可；（2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；（3）根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解．解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），∴，解得，所以抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2；（3）如图，∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），∴PP′=1，阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积，平行四边形A′APP′的面积=1×2=2，∴阴影部分的面积=2．点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，（3）根据平移的性质，把阴影部分的面积转化为平行四边形的面积是解题的关键．。

二次函数系数a、b、c与图像的关系

二次函数系数a 、b 、c 与图像得关系一、首先就y=ax 2+bx+c （a ≠0）中得a ，b ，c 对图像得作用归纳如下：1 a 得作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下；决定张口得大小：∣a ∣越大，抛物线得张口越小．2 b 得作用：b 与a 与抛物线图像得对称轴、顶点横坐标有关．b 与a 同号，说明02<-ab ，则对称轴在y 轴得左边；b 与a 异号，说明，则对称轴在y 轴得右边；特别得，b = 0，对称轴为y 轴．3 c 得作用：c 决定了抛物线与y 轴得交点纵坐标．抛物线与y 轴得交点（0，c ） c > 0 抛物线与y 轴得交点在y 轴得正半轴；c < 0 抛物线与y 轴得交点在y 轴得负半轴；特别得，c = 0，抛物线过原点．4 a,b,c 共同决定判别式得符号进而决定图象与x 轴得交点与x 轴两个交点与x 轴一个交点与x 轴没有交点5 几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ；x= -1时，y=a - b + c ．当x = 1时，① 若y > 0，则a + b + c >0；② 若y < 时0，则a + b + c < 0 当x = -1时，① 若y > 0，则a - b + c >0；② 若y < 0，则a - b + c < 0．扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a-3b + c 。

反之，给我们相应得二次函数图象，我们可以得到其系数a,b,c 以及它们组合成得一些关系结构（例如对称轴; 判别式……等等）得符号二、经典例题讲解例1 已知二次函数()02≠++=a c b a χχγ得图像如图，则a 、b 、c 满足（） A ．a < 0，b < 0，c > 0 ；B ．a < 0，b < 0，c < 0 ；C ． a < 0，b > 0，c > 0 ；D ．a > 0，b < 0，c > 0 ；例2（2015①2χγa =②2χγb =③2χγc =④2χγd =，则a ， b ， c ， d 得大小关系就是．A ．a > b > c > dB ．a > b > d > cC ．b > a > c > dD ．b > a > d > c 例3已知二次函数y=ax 2+bx+c 得图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b 2＞4ac ；②abc ＞0；③2a+b=0；④a+b+c ＞0；⑤4a-2b+c ＜0，则正确得结论就是（）A 、①②③④B 、②④⑤C 、②③④D 、①④⑤练习1、（2015•重庆）已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中得位置如图所示，则下列结论中，正确得就是（）A 、a ＞0B 、b ＜0C 、c ＜0D 、a+b+c ＞0y x O xy O ① ②④③ yx O2、（2015•文山州）已知二次函数y=ax2+bx+c得图象如图所示，则a，b，c满足（）A、a＜0，b＜0，c＞0，b2- 4ac＞0B、a＜0，b＜0，c＜0，b2- 4ac＞0C、a＜0，b＞0，c＞0，b2- 4ac＞0D、a＞0，b＜0，c＞0，b2- 4ac＞03、（2015•泸州）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）得图象如图所示，有下列结论：①abc＜0，②b2- 4ac＞0，③a-b+c=0，④a+b+c＞0，其中正确结论得个数就是（）A、1B、2C、3D、44、（2015•仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）得图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．\其中所有正确结论得序号就是（）A．③④B．②③C．①④D．①②③5、（2011•雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c得图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确得结论就是（）A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤6、（2015•黔南州）如图所示为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）得图象，在下列选项中错误得就是（）A、ac＜0B、x＞1时，y随x得增大而增大C、a+b+c＞0D、方程ax2+bx+c=0得根就是=-1，=3能力提升1.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）得图象如下图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②a-b+c＞0；③2a+b=0；④b2- 4ac＞0；⑤a+b+c＞m（am+b）+c（m＞1得实数），其中正确得结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2.（2014•玉林一模）如图就是二次函数y=ax2+bx+c图象得一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．其中正确结论得个数就是（）A．1个B．2个C．3个D．4个3.（2015•天津）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）得图象如图所示，有下列结论：①b2- 4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0其中，正确结论得个数就是（）A、1B、2C、3D、44、如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）得图象经过点（-1，2），且与x轴交点得横坐标为x1、x2，其中-2＜x1＜-1，0＜x2＜1，下列结论：①abc＞0；②4a-2b+c＜0；③2a-b ＞0；④b2+8a＞4ac，正确得结论就是。

二次函数中点坐标公式

二次函数中点坐标公式二次函数是一种具有二次项的代数表达式，其一般形式为：f(x) = ax² + bx + c其中，a、b、c为实数，并且a≠0。

二次函数在平面直角坐标系上呈现出一条弧线，也称为抛物线。

本文将详细解释二次函数中的点坐标公式，包括顶点、零点和判别式等内容。

首先要了解的是二次函数的顶点，顶点一般用(x₀,y₀)表示，其x坐标为：x₀=-b/(2a)y坐标则可通过将x₀代入函数中得到：y₀=f(x₀)=a(x₀)²+b(x₀)+c由此可见，顶点的坐标可以通过函数的系数a、b和c来计算。

顶点是二次函数的最高或最低点，也是对称轴的交点。

其次是二次函数的零点，也叫根或x轴交点。

零点是函数与x轴的交点，即二次函数在x轴上的解。

令函数等于零，可以得到二次方程：ax² + bx + c = 0为了求解这个二次方程，可以使用求根公式，即：x₁,₂ = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)在根的公式中，判别式起着重要的作用。

判别式是二次方程的系数a、b和c所构成的表达式，用Δ表示，即：Δ = b² - 4ac通过判别式可以判断二次方程的两个根的情况：1.如果Δ>0，则方程有两个不同的实根。

2.如果Δ=0，则方程有两个相等的实根。

3.如果Δ<0，则方程没有实根，只有复数解。

当然，还有一些特殊情况：4.如果Δ=0，且a=0，则方程退化为一次方程。

5.如果a=0，且b≠0，则方程退化为一条直线。

6.如果a=0，且b=0，则方程成为一个常数函数。

除了顶点和零点，二次函数还有一些其它的重要点。

例如，对称轴是一个与抛物线中心对称的直线，其方程可由顶点坐标得到：x=x₀关于顶点的对称点位于抛物线上，具有相同的y坐标，但x坐标相对于对称轴对称。

此外，可以通过确定二次函数的开口方向来进一步解释它的点坐标。

若二次函数的系数a大于0，则开口向上，即抛物线的顶点是最低点；若a小于0，则开口向下，即抛物线的顶点是最高点。

二次函数系数a、b、c与图像的关系

二次函数系数a 、b 、c 与图像的关系一、首先就y=ax 2+bx+c （a≠0）中的a ，b ，c 对图像的作用归纳如下：1 a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下；决定张口的大小：∣a ∣越大，抛物线的张口越小．2 b 的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关．b 与a 同号，说明02<-ab ，则对称轴在y 轴的左边；b 与a 异号，说明，则对称轴在y 轴的右边；特别的，b = 0，对称轴为y 轴．3 c 的作用：c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标．抛物线与y 轴的交点（0，c ） c > 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴；c < 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴；特别的，c = 0，抛物线过原点．4 a,b,c 共同决定判别式的符号进而决定图象与x 轴的交点与x 轴两个交点与x 轴一个交点与x 轴没有交点5 几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ；x= -1时，y=a - b + c ．当x = 1时，① 若y > 0，则a + b + c >0；② 若y < 时0，则a + b + c < 0 当x = -1时，① 若y > 0，则a - b + c >0；② 若y < 0，则a - b + c < 0．扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a-3b + c 。

反之，给我们相应的二次函数图象，我们可以得到其系数a,b,c 以及它们组合成的一些关系结构（例如对称轴; 判别式……等等）的符号二、经典例题讲解例1 已知二次函数()02≠++=a c b a χχγ的图像如图，则a 、b 、c 满足（） A ．a < 0，b < 0，c > 0 ；B ．a < 0，b < 0，c < 0 ；C ． a < 0，b > 0，c > 0 ；D ．a > 0，b < 0，c > 0 ；例2（2015呼和浩特）如图，四个二次函数的图像中分别对应的是： ①2χγa =②2χγb =③2χγc =④2χγd =，则a ， b ， c ， d 的大小关系是．A ．a > b > c > dB ．a > b > d > cC ．b > a > c > dD ．b > a > d > c例3已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b 2＞4ac ；②abc ＞0；③2a+b=0；④a+b+c ＞0；⑤4a-2b+c ＜0，则正确的结论是（） A 、①②③④ B 、②④⑤ C 、②③④ D 、①④⑤y xO x y O ① ② ④ ③练习1. （2015•重庆）已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A 、a ＞0B 、b ＜0C 、c ＜0D 、a+b+c ＞02.（2015•文山州）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a ，b ，c 满足（）A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，b 2- 4ac ＞0B 、a ＜0，b ＜0，c ＜0，b 2- 4ac ＞0C 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，b 2- 4ac ＞0D 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，b 2- 4ac ＞03.（2015•泸州）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＜0，②b 2- 4ac ＞0，③a-b+c=0，④a+b+c ＞0，其中正确结论的个数是（）A 、1B 、2C 、3D 、44.（2015•仙游县二模）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，给出以下结论： ①a+b+c＜0； ②a﹣b+c ＜0； ③b+2a＜0； ④abc＞0．\其中所有正确结论的序号是（）A ． ③④B ． ②③C ． ①④D ． ①②③yx O5.（2011•雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（）A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤6.（2015•黔南州）如图所示为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，在下列选项中错误的是（）A、ac＜0B、x＞1时，y随x的增大而增大C、a+b+c＞0D、方程ax2+bx+c=0的根是=-1，=3能力提升1.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如下图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②a-b+c＞0；③2a+b=0；④b2- 4ac＞0；⑤a+b+c＞m（am+b）+c（m＞1的实数），其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2.（2014•玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个3.（2015•天津）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b2- 4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0其中，正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、44. 如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），且与x轴交点的横坐标为x 1、x2，其中-2＜x1＜-1，0＜x2＜1，下列结论：①abc＞0；②4a-2b+c＜0；③2a-b＞0；④b2+8a＞4ac，正确的结论是。