的2015虹口初三数学二模卷(有答案)
2015虹口二模Word版 上海市虹口区2015届高三二模数学理试题 Word版含答案
2015虹口二模Word版上海市虹口区2015届高三二模数学理试题 Word版含答案虹口区2015年数学学科（理科）高考练卷时间120分钟，满分150分。
2015年4月21日。
一、填空题（本大题满分56分）1.计算：$\frac{1+i}{1+i^2}$ = $\frac{1+i}{1-1}$ = $-i$2.已知函数$f(x)$ = $\begin{cases}2x。
(x\leq 1) \\ x。
(x>1)\end{cases}$，则$f(f(-3))$ = $f(2)$ = 43.函数$f(x)$ = $ln(\frac{1}{x}+1)$，则$f^{-1}(x)$ = $\frac{1}{1+e^{-x}}$4.已知正实数$x,y$满足$x+3y=1$，则$\frac{13x}{xy}$的最小值为$\frac{13}{9}$5.已知复数$z$ = $3sin\theta+icos\theta$，且$z$ = 5，且当$\theta$为钝角时，$tan\theta$ = $-\frac{4}{3}$6.在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科学科，3门文科学科）中选择3门学科参加等级考试，XXX同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么XXX同学的选科方案有20种。
7.设数列$\{a_n\}$前$n$项的和为$S_n$，若$a_1$ = 4，且$a_{n+1}$ = $3S_n$，则$S_n$ = $\frac{4(3^n-1)}{2}$8.在极坐标系中，过点$(2,\frac{\pi}{4})$且与圆$\rho$ = $2cos\theta$相切的直线的方程为$y=x\sqrt{2}$9.若二项式$(x-\frac{3}{2})^6$展开式中含$x^2$项的系数为20，则$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2x(1+a+a^2+。
2015年初三二模数学题(含答案)
数 学 九 年 级 第 二 学 期 期 中 练 习一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1.中国国家图书馆是亚洲最大的图书馆，截止到今年初馆藏图书达3 119万册，其中古籍善本约有2 000 000册．2 000 000用科学记数法可以表示为A ．70.210⨯ B ．6210⨯ C ．52010⨯ D ．6102⨯2.若二次根式2x -有意义，则x 的取值范围是 A ． 0≤x B ．0≥x C ．2≤x D ． 2≥x 3．我国古代把一昼夜划分成十二个时段，每一个时段叫一个时辰，古时与今时的对应关系（部分）如下表所示．天文兴趣小组的小明等4位同学从今夜23:00至明晨7:00将进行接力观测，每人两小时，观测的先后顺序随机抽签确定，小明在子时观测的概率为古时子时丑时寅时卯时今时 23：00～1：00 1：00～3：00 3：00～5：00 5：00～7：00A ．13B ．14C．16 D ．1124.如图，小明将几块六边形纸片分别减掉了一部分（虚线部分），得到了一个新多边形．若新多边形的内角和为540°，则对应的是下列哪个图形A B C D5.如图，根据计算正方形ABCD 的面积，可以说明下列哪个等式成立A ．()2222a b a ab b +=++ B. ()2222a b a ab b -=-+C. ()()22a b a b a b +-=- D. ()2a ab a ab -=-6.甲和乙入选学校的定点投篮大赛，他们每天训练后投10个球测试，记录命中的个数，五天后将记录的数据绘制成折线统计图，如右图所示．则下列对甲、乙数据描述正确的是A ．甲的方差比乙的方差小B ．甲的方差比乙的方差大C ．甲的平均数比乙的平均数小D ．甲的平均数比乙的平均数大D CB A abab ab b a7.在学习“用直尺和圆规作一个角等于已知角”时，教科书介绍如下：对于“想一想”中的问题，下列回答正确的是：A ．根据“边边边”可知，△'''C O D ≌△COD ，所以∠'''A OB =∠AOB B ．根据“边角边”可知，△'''C OD ≌△COD ，所以∠'''A O B =∠AOB C ．根据“角边角”可知，△'''C O D ≌△COD ，所以∠'''A O B =∠AOB D ．根据“角角边”可知，△'''C O D ≌△COD ，所以∠'''A O B =∠AOB8.小明家端午节聚会，需要12个粽子.小明发现某商场正好推出粽子“买10赠1”的促销活动，即顾客每买够10个粽子就送1个粽子.已知粽子单价是5元/个，按此促销方法，小明至少应付钱A ．45元B ．50元C ．55元D ． 60元 9.如图，点A ，B 是棱长为1的正方体的两个顶点，将正方体按图中所示展开，则在展开图中A ，B 两点间的距离为A ．2B ．5C ．22D ．1010.如右图所示，点Q 表示蜜蜂，它从点P 出发，按照着箭头所示的方向沿P →A →B →P →C →D →P 的路径匀速飞行，此飞行路径是一个以直线l 为对称轴的轴对称图形，在直线l 上的点O 处（点O 与点P 不重合）利用仪器测量了∠POQ 的大小．设蜜蜂飞行时间为x ，∠POQ 的大小为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是A B C DDBACPQOABADACB二、填空题（本题共18分，每小题3分）11. 将函数y =x 2 −2x + 3写成()2y a x h k =-+的形式为 ． 12. 点A,B 是一个反比例函数图象上的两个不同点.已知点A （2,5），写出一个满足条件的B 点的坐标是 ．13. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BCD=100°，AC 平分∠BAD ，则∠BAC 的度数为 ．14．如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A 观测放置于B ，C 两处的标志物，数据显示点B 在点A 南偏东75°方向20米处，点C 在点A 南偏西15°方向20米处，则点B 与点C 的距离为 米．15. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠BAC =30°， BC =1，以B 为圆心，BA 为半径画弧交CB 的延长线与点D ，则AD 的长为 .16. 五子棋是一种两人对弈的棋类游戏，规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，白方后行，轮流弈子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，直到某一方首先在任一方向（横向、竖向或者是斜着的方向）上连成五子者为胜．如图，这一部分棋盘是两个五子棋爱好者的对弈图．观察棋盘，以点O 为原点，在棋盘上建立平面直角坐标系，将每个棋子看成一个点，若黑子A 的坐标为 （7，5），则白子B 的坐标为______________；为了不让白方获胜，此时黑方应该下在坐标为______________的位置处．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17.计算：13128tan 45+()3--+-+︒-． 18.解不等式2(1)13x x -≤+，并把它的解集在数轴上表示出来．19．如图，已知∠BAC =∠BCA ，∠BAE =∠BCD =90°，BE=BD ．求证：∠E =∠D ．20.已知2410x x --=，求代数式314x x x---的值． 21.列方程或方程组解应用题:小明坚持长跑健身．他从家匀速跑步到学校，通常需30分钟．某周日，小李与同学相约早上八点学校见，他七点半从家跑步出发，平均每分钟比平时快了40米，结果七点五十五分就到达了学校，求小明家到学校的距离．22．已知关于x 的方程24310x x a -+-=有两个实数根． （1）求实数a 的取值范围； （2）若a 为正整数，求方程的根．西东南北B CABOCDADACBEAOB四、解答题（本题共20分，每小题5分）23.已知，ABC △中，D 是BC 上的一点，且∠DAC=30°，过点D 作ED ⊥AD 交AC 于点E ，4AE =，2EC =.(1)求证：AD=CD ；(2)若tan B=3，求线段AB 的长．24. 小明和小腾大学毕业后准备自主创业，开一个小店卖腊汁肉夹馍．为了使产品更好地适合大众口味，他们决定进行一次抽样调查．在某商场门口将自己制作的肉夹馍免费送给36人品尝，并请每个人填写了一份调查问卷，以调查这种肉夹馍的咸淡程度是否适中．调查问卷如下所示：经过调查，他们得到了如下36个数据：B C B A D A C D B C B C D C D C E C C A B E A D E C B C B C E D E D D C（1）小明用表格整理了上面的调查数据，写出表格中m 和n 的值； （2）小腾根据调查数据画出了条形统计图，请你补全这个统计图；（3）根据所调查的数据，你认为他们做的腊汁肉夹馍味道适中吗？ ．（填“适中”或者“不适中”）调查问卷 年 月你觉得这种肉夹馍的口味 （单选） A. 太咸 B. 稍咸 C. 适中 D. 稍淡 E. 太淡BEACD25．如图，Rt △ABC 中，∠A =90°，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，点E 在⊙O 上， CE =CA ， AB ，CE 的延长线交于点F ． （1） 求证：CE 与⊙O 相切；（2） 若⊙O 的半径为3，EF =4，求BD 的长．26．阅读下面材料：小明研究了这样一个问题：求使得等式20(0)kx x k +-=>成立的x 的个数．小明发现，先将该等式转化为2kx x +=，再通过研究函数2y kx =+的图象与函数y x =的图象（如图）的交点，使问题得到解决．xyy = |x |–5–4–3–2–112345–5–4–3–2–112345oxy()–5–4–3–2–112345–5–4–3–2–112345o请回答：（1） 当k ＝1时，使得原等式成立的x 的个数为 _______； （2） 当0＜k ＜1时，使得原等式成立的x 的个数为_______； （3） 当k ＞1时，使得原等式成立的x 的个数为 _______． 参考小明思考问题的方法，解决问题：关于x 的不等式240 ()x a a x+-<＞0只有一个整数解，求a 的取值范围．DFB EAOC五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线224y mx m m x -++=与y 轴交于点A （0,3），与x 轴交于点B ，C （点B 在点C 左侧）.（1）求该抛物线的表达式及点B ，C 的坐标；（2）抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，若直线y kx b =+经过点D 和点 E (1,2)--，求直线DE 的表达式；（3）在（2）的条件下，已知点P （t ，0），过点P 作垂直于x 轴的直线交抛物线于点M ，交直线DE 于点N ，若点M 和点N 中至少有一个点在x 轴下方，直接写出t 的取值范围．28．如图1，在△ABC 中，AB =AC ，∠ABC =α，D 是BC 边上一点，以AD 为边作△ADE ，使AE =AD ， DAE ∠+BAC ∠=180°． （1）直接写出∠ADE 的度数（用含α的式子表示）； （2）以AB ，AE 为边作平行四边形ABFE ，①如图2，若点F 恰好落在DE 上，求证：BD =CD ； ②如图3，若点F 恰好落在BC 上，求证：BD =CF ．ECAB DFEBCADFEBCA D图1 图2 图3xy()–5–4–3–2–112345–5–4–3–2–112345o29. 如图1，在平面直角坐标系xOy 内，已知点(1,0)A -，(1,1)B -，(1,0)C ，(1,1)D ，记线段AB 为1T ，线段CD 为2T ，点P 是坐标系内一点.给出如下定义：若存在过点P 的直线l 与1T ，2T 都有公共点，则称点P 是12T T -联络点．例如，点P 1(0,)2是12T T -联络点．（1）以下各点中，__________________是12T T -联络点（填出所有正确的序号）；①(0,2)；②(4,2)-；③(3,2).xy–4–3–2–11234–3–2–1123B AC D Oxy–4–3–2–11234–3–2–1123B AC D O图1备用图（2）直接在图1中画出所有12T T -联络点所组成的区域，用阴影部分表示；（3）已知点M 在y 轴上，以M 为圆心，r 为半径画圆，⊙M 上只有一个点为12T T -联络点， ①若1r =，求点M 的纵坐标； ②求r 的取值范围．海淀区九年级第二学期期末练习数学试卷答案及评分参考2015．6一、 选择题（本题共30分，每小题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BDBCAAACBD二、填空题（本题共18分，每小题3分）题号1112 13 14 15 16 答案 2(1)2y x =-+（1,10）注:答案不唯一40º 20243π （5,1）； (1分)（3,7）或（7,3）(2分)答对1个给1分三、解答题（本题共30分，每小题5分）17.(本小题满分5分)解：原式2213=-+-……………………..……………………………………………………...4分24=-．……………………………………………………………………………………...5分18. (本小题满分5分) 解法一：去括号,得22133x x -+≤．…………………………………………………………………..1分 移项， 得22133x x -+≤．…………………………………………………………………..2分 合并，得 1533x -≤． ……………………………………………………………………3分系数化为1，得 5x -≥． …………………………………………………………...……4分不等式的解集在数轴上表示如下：-1-2-3-4-5-66543210． …………………………………………………………5分解法二：去分母，得 2233x x -+≤． …………………………………………………………………1分移项， 得 2332x x -+≤．……………………………………………………………………2分合并， 得 5x -≤． ………………………………………………………………..3分 系数化为1，得 5x -≥． …………………………………………………………………..4分不等式的解集在数轴上表示如下：-1-2-3-4-5-66543210． …………………………………………………………5分19．(本小题满分5分)ACE证明：在△ABC 中 ∵∠BAC =∠BCA ，∴AB =CB ． ……………………………………………1分 ∵∠BAE =∠BCD =90°， 在Rt △EAB 和Rt △DCB 中， ,,AB CB BE BD =⎧⎨=⎩∴Rt △EAB ≌Rt △DCB ． ……………………………………4分 ∴∠E =∠D ． …………………………………………5分20.(本小题满分5分) 解：原式()()()3444x x x x x x x --=---……………………………………………………………………….1分()2344x x x x x --+=-……………………………………………..………………………………2分22444x x x x-+=-．………………………………………………………………………………3分 ∵2410x x --=，∴241x x -=．………………………………………………………………………………………4分 ∴原式1451+==．………………………………………………………………………………..5分 21. (本小题满分5分)解：设小明家到学校的距离为x 米．……………………………………………………………………..1分由题意，得403025x x +=．………………………………………………………………………..3分解得 6000x =． ……………………………………………………………………..4分答：小明家到学校的距离为6000米． ………………………………………………………………….5分22. (本小题满分5分)解：（1）∵关于x 的方程24310x x a -+-=有两个实数根，∴2(4)4(31)0a ∆=---≥．……………………………………………………………………..1分 解得 53a ≤．……………………………………………………………………………………2分∴a 的取值范围为53a ≤．（2）∵53a ≤，且a 为正整数，∴1a =．…………………………………………………………………………………………3分∴方程24310x x a -+-=可化为2420x x -+=．∴此方程的根为1222,22x x =+=-．………………………………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）23. (本小题满分5分) （1）证明： ∵ED ⊥AD ，∴∠ADE =90°．在Rt △ADE 中，∠DAE=30°，AE =4， ∴60DEA =∠o，122DE AE ==．………………………………………………………………1分∵2EC =， ∴DE EC =． ∴EDC C =∠∠．又60,EDC C DEA +=∠=∠∠o Q∴30C DAE =∠=∠o．∴AD=DC ． ………………….…………………………………………………………………2分（2）解：过点A 作AF ⊥BC 于点F ，如图． ∴∠AFC =∠AFB =90°．∵AE =4，EC =2， ∴AC =6．在Rt △AFC 中，∠AFC =90°，∠C=30°， ∴132AF AC == …………………………………………………………………………3分 在Rt △AFB 中，∠AFB =90°，tan B=3， ∴1tan AFBF B==．……….………………………4分 ∴2210AB AF FB =+=．…………………5分24. (本小题满分5分)（1）8m =；5n =；……………………...2分 （2）……………………...4分（3）适中． ………………………………….5分 25．(本小题满分5分) 证明：连接OE ，OC ．AFBEACD在△OEC 与△OAC 中， ,,,OE OA OC OC CE CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△OEC ≌△OAC ．………………………………………………………………………………..1分 ∴∠OEC =∠OAC ．∵∠OAC =90°，∴∠OEC =90°． ∴OE ⊥CF 于E ．∴CF 与⊙O 相切．………………………………………………………………………………...2分（2）解：连接AD ．∵∠OEC =90°， ∴∠OEF =90°． ∵⊙O 的半径为3， ∴OE =OA=3．在Rt △OEF 中，∠OEF =90°，OE = 3，EF = 4，∴225OF OE EF =+=，………………………………………………………………………3分3tan 4OE F EF ==． 在Rt △F AC 中，∠F AC =90°，8AF AO OF =+=，∴tan 6AC AF F =⋅=．…………………………………………………………………………4分 ∵AB 为直径，∴AB =6=AC ，∠ADB =90°． ∴BD =2BC． 在Rt △ABC 中，∠BAC =90°， ∴2262BC AB AC =+=．∴BD =32．…………………………………………………………………………………….5分26. (本小题满分5分)解：（1）当k ＝1时，使得原等式成立的x 的个数为 1 ；…………………………………….………1分 （2）当0＜k ＜1时，使得原等式成立的x 的个数为 2 ；…………………………………………2分DF BEAOC（3）当k ＞1时，使得原等式成立的x 的个数为 1 ．…..…………………………………………3分 解决问题：将不等式240 ()x a a x +-<＞0转化为24()x a a x +<＞0， 研究函数2(0)y x a a =+>与函数4y x=的图象的交点. ∵函数4y x=的图象经过点A (1,4)，B (2,2)，函数2y x =的图象经过点C (1,1)，D (2,4)，若函数2(0)y x a a =+>经过点A (1,4)，则3a =， ……………………………………………………4分 结合图象可知，当03a <<时，关于x 的不等式24(0)x a a x+<>只有一个整数解．也就是当03a <<时，关于x 的不等式240 ()x a a x+-<＞0只有一个整数解. ……………………5分 五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27. (本小题满分7分)解：（1）∵抛物线224y mx m m x -++=与y 轴交于点A （0,3），∴43m +=． ∴1m =-．∴抛物线的表达式为232y x x =-++．…………………………………………………………………1分 ∵抛物线232y x x =-++与x 轴交于点B ，C ， ∴令0y =，即 2320x x +-=+． 解得 11x =-，23x =． 又∵点B 在点C 左侧，∴点B 的坐标为(1,0)-，点C 的坐标为(3,0)．…………………………………………………...……3分 （2）∵2223(1)4y x x x +=---++=，∴抛物线的对称轴为直线1x =． ∵抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，∴点D 的坐标为(1,0)．…………………………………………………………………………...………4分 ∵直线y kx b =+经过点D (1,0)和点E (1,2)--，∴0,2.k b k b +=⎧⎨-+=-⎩ xy ()()()()–5–4–3–2–112345–5–4–3–2–112345CD BA o解得1,1.k b =⎧⎨=-⎩∴直线DE 的表达式为1y x =-. ………………………………………………………………………5分 （3）1t <或3t > ……………………………………………………………………………………………7分 28．(本小题满分7分)（1）∠ADE =90α︒-．…………………………………………………………………………………….…1分 （2）①证明：∵四边形ABFE 是平行四边形， ∴AB ∥EF ．∴EDC ABC α∠=∠=． …………………………….……2分 由（1）知，∠ADE =90α︒-，∴90ADC ADE EDC ∠=∠+∠=︒． …………………...……3分 ∴AD ⊥BC ． ∵AB =AC ，∴BD =CD ．…………………………………………………………………..……………4分 ②证明：∵AB =AC ，∠ABC =α， ∴C B α∠=∠=．∵四边形ABFE 是平行四边形，∴AE ∥BF , AE =BF ．∴EAC C α∠=∠=．……………………………………………………………………………………………5分 由（1）知，2DAE α∠=，∴DAC α∠=．…………………………………………………………………………………………………6分 ∴DAC C ∠=∠． ∴AD =CD ． ∵AD =AE =BF ， ∴BF =CD ．∴BD =CF ．………………………………………………………………………………………………………7分 29. (本小题满分8分)（1） ②，③ 是12T T -联络点．…………………………………………………………………………2分 （2）所有12T T -联络点所组成的区域为图中阴影部分（含边界）．FEBC ADF EBCAD………………………………………………………………………4分（3）① ∵点M 在y 轴上，⊙M 上只有一个点为12T T -联络点，阴影部分关于y 轴对称，∴⊙M 与直线AC 相切于(0，0)， 或与直线BD 相切于(0，1)，如图所示． 又∵⊙M 的半径1r =，∴点M 的坐标为(0，1-)或(0，2)．………………6分经检验：此时⊙M 与直线AD ，BC 无交点，⊙M 上只有一个点为12T T -联络点，符合题意． ∴点M 的坐标为(0，1-)或(0，2)．∴点M 的纵坐标为1-或2． ② 阴影部分关于直线12y =对称，故不妨设点M 位于阴影部分下方． ∵点M 在y 轴上，⊙M 上只有一个点为12T T -联络点， 阴影部分关于y 轴对称，∴⊙M 与直线AC 相切于O (0，0)，且⊙M 与直线AD 相离． 作ME ⊥AD 于E ，设AD 与BC 的交点为F ， ∴MO = r ，ME > r ，F (0，12)．在Rt △AOF 中，∠AOF =90°，AO =1，12OF =， ∴2252AF AO OF =+=，25sin 5AO AFO AF ∠==． 在Rt △FEM 中，∠FEM =90°，FM = FO + OM = r +12，25sin sin 5EFM AFO ∠=∠=，∴5(21)sin 5r ME FM EFM +=⋅∠=． ∴5(21)5r r +>．又∵0r >， ∴052r <<+．……………………………………………………………………………………8分xy–4–3–2–11234–3–2–1123B AC D Oxy–4–3–2–11234–3–2–1123EF B A CD OM。
(答案)虹口区初三数学期末
虹口区2015学年第一学期初三数学学科期终教学质量监控测试题评分参考建议2016.1说明：1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；2．第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；3．第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数；4．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半；5．评分时，给分或扣分均以1分为基本单位．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1、B2、D3、A4、D5、C6、C二、填空题本大题共12题，每题4分，满分48分）7、728、562a b -+ 9、1x = 10、1 11、> 12、 11- 13、1:4 14、2 15、1207 16、2 17、 65 18三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=22()32+-⨯……………………………………………（8分）=1 ……………………………………………………………………………（2分）20．解：（1）设所求二次函数的解析式为：2(0)y ax bx c a =++≠，由题意得：3,423,0.c a b c a b c =-⎧⎪++=-⎨⎪-+=⎩………………………………………………………（3分）解得：1,2,3.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩…………………………………………………………………（2分）∴这个二次函数的解析式为223y x x =--………………………………………（1分）（2）∵新抛物线是由二次函数223y x x =--的图像平移所得∴a=1………………………………………………………………………………（2分） 又∵顶点坐标是（0，-3）∴23y x =-………………………………………………………………………（2分）21．解：过点D 作CB 的平行线，分别交EF 、GH 、AB 于点I 、J 、K ………………（1分） ∵DC ∥AB ∴KB =DC =6∴AK =6………………………………………………………………………………（1分）∵EF ∥AB ∴EI DE AK DA= ………………………………………………………（1分） ∵DE ∶EG ∶GA =3∶4∶5 ∴31124DE DA == ……………………………………………………………………（1分） ∴164EI = ∴32EI = …………………………………………………………（2分） 同理:7612GJ = ∴72GJ =………………………………………………………（2分） ∴315622EF =+=， ………………………………………………………………（1分） 719622GH =+=. ………………………………………………………………（1分）22．解：过点C 作CG ⊥AE ，垂足为点G ………………………………………………（1分）由题意得∠CEF=45°=∠CEG ，∠ACG=60°………………………………………（1分） 设CG=x ，在Rt △ACG 中， tan AG CG ACG =⋅∠= ……………………………………（1分） 在Rt △ECG 中， cot EG CG CEG x =⋅∠= ………………………………………（1分） ∵AG+EG=AE366x +=-……………………………………………………………………（2分）解得：15x = …………………………………………………………………（2分）又可求得：CF=EG=15-∴1569CD =+=……………………………………………………（1分）答：该旗杆CD 的高为（9）米．……………………………………………（1分）23．证明：（1）∵∠BAE=∠DAC ∴∠BAE+∠EAC =∠DAC+∠EAC即∠BAC=∠EAD …………………………………………………………………（2分）∵∠ABC=∠ABE +∠CBD ∠AED=∠ABE +∠BAE∵∠CBD=∠BAE∴∠ABC=∠AED …………………………………………………………………（2分） ∴△ABC ∽△AED …………………………………………………………………（1分） ∴AB BC AE DE= ∴ DE AB BC AE ⋅=⋅ …………………………………………（1分） （2）∵△ABC ∽△AED ∴AB AC AE AD = 即AB AE AC AD=…………………………………………………………（2分） ∵∠BAE=∠DAC ∴△ABE ∽△ACD ……………………………………………………………………（1分）∴∠AEB=∠ADC ……………………………………………………………………（2分） ∵∠AED +∠AEB =180°∴∠AED+∠ADC=180°……………………………………………………………（1分）24．解：（1）∵当0x =时，3y =，∴C （0,3）…………………………………………（1分）在Rt △COB 中，∵1tan 2CBA ∠= ∴12CO OB = ∴6OB = ∴点B （6，0）…………………………………………………………………………（1分） 把A （2，0）、B (6，0)分别代入23y ax bx =++，得： 得4230,36630.a b a b ++=⎧⎨++=⎩ …………………………………………………………………（1分） 解得：1;42.a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∴该抛物线表达式为21234y x x =-+………………………………………………（1分） （2）∵221123(4)144y x x x =-+=-- ∴顶点D （4，-1）………………………………………………………………………（2分） ∴628ABC ABD ACBD S S S ∆∆=+=+=四边形……………………………………………（2分）（3）点E 的坐标是（10,8）或（16,35） ………………………………………（2分，2分）25．解：（1）在□ABCD 中，AD =BC ， AD ∥BC ∴BE EF AG AF= ………………………………………………………………………（1分） ∵ x=1，即1AD EF AB AF == ∴ 1AD BE AB AG== ∴ AD=AB ，AG=BE …………………………………………………………………（1分）∵ E 为BC 的中点 ∴ 12BE BC = ∴12AG AB = 即1:2AG AB = …………………………………………………（2分） （2）∵ AD EF x AB AF== ∴ 不妨设AB=1，则AD=x ，2x BE = ……………………………………………（1分） ∵ AD ∥BC ∴ BE EF x AG AF== ∴ 12AG =，12DG x =- …………………………………………………………（1分） ∵ GH ∥AE ∴ ∠ DGH=∠DAE∵ AD ∥BC ∴ ∠ DAE =∠AEB∴ ∠DGH =∠AEB在□ABCD 中，∠D =∠ABE∴△GDH ∽△EBA ………………………………………………………………（1分）∴ 2()GDH EBA S DG S BE∆∆= ……………………………………………………………（1分）∴ 212()2x y x -= ∴ 22441x x y x -+=1()2x > ………………………（1分，1分） （3）① 当点H 在边DC 上时，∵ DH =3HC ∴ 34DH DC = ∴ 34DH AB = ∵△GDH ∽ △EBA ∴ 34DG DH BE AB == ∴13242x x -= 解得45x =…………………………………………………………（2分） ②当H 在DC 的延长线上时，∵ DH =3HC ∴ 32DH DC = ∴ 32DH AB = ∵△GDH ∽ △EBA ∴ 32DG DH BE AB == ∴13222x x -= 解得2x =…………………………………………………………（2分） 综上所述，可知x 的值为45或2.。
2015年上海各区中考数学二模压轴题24、25题图文解析
《2015年上海各区中考数学二模压轴题图文解析》目录2015年上海各区中考数学二模第24、25题例1 2015年宝山区嘉定区中考数学二模第24、25题图文解析/2例2 2015年奉贤区中考数学二模第24、25题图文解析/6例3 2015年虹口区中考数学二模第24、25题图文解析/10例4 2015年黄浦区中考数学二模第24、25题图文解析14例5 2015年金山区中考数学二模第24、25题图文解析/18例6 2015年静安区青浦区中考数学二模第24、25题图文解析/22例7 2015年闵行区中考数学二模第24、25题图文解析/26例8 2015年浦东新区中考数学二模第24、25题图文解析/30例9 2015年普陀区中考数学二模第24、25题图文解析34例10 2015年松江区中考数学二模第24、25题图文解析38例11 2015年徐汇区中考数学二模第24、25题图文解析42例12 2015年杨浦区中考数学二模第24、25题图文解析/46例13 2015年长宁区中考数学二模第24、25题图文解析/50例14 2015年崇明县中考数学二模第24、25题图文解析/54例15 2015年闸北区中考数学二模第24、25题图文解析/592015年上海各区中考数学二模第18题例1 2015年宝山区嘉定区中考数学二模第18题图文解析/63例2 2015年奉贤区中考数学二模第18题图文解析/64例3 2015年虹口区中考数学二模第18题图文解析/615例4 2015年黄浦区中考数学二模第18题图文解析/66例5 2015年金山区中考数学二模第18题图文解析/67例6 2015年静安区青浦区中考数学二模第18题图文解析/68例7 2015年闵行区中考数学二模第18题图文解析/69例8 2015年浦东新区中考数学二模第18题图文解析/70例9 2015年普陀区中考数学二模第18题图文解析/71例10 2015年松江区中考数学二模第18题图文解析/72例11 2015年徐汇区中考数学二模第18题图文解析/73例12 2015年杨浦区中考数学二模第18题图文解析/74例13 2015年长宁区中考数学二模第18题图文解析/75例14 2015年崇明县中考数学二模第18题图文解析/76例15 2015年闸北区中考数学二模第18题图文解析/77例 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，双曲线kyx=（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)．（1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15宝山嘉定24”，拖动点E在射线CB上运动，可以体验到，△ACE与△ACD相似，存在两种情况．思路点拨1．直线AD//BC，与坐标轴的夹角为45°．2．求△ABC的面积，一般用割补法．3．讨论△ACE与△ACD相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程．满分解答（1）将点A(2, m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2, 4)．将点A(2, 4)代入kyx=，得k＝8．（2）将点B(n, 2)，代入8yx=，得n＝4．所以点B的坐标为(4, 2)．设直线BC为y＝x＋b，代入点B(4, 2)，得b＝－2．所以点C的坐标为(0,－2)．由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,－2)，可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2，B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4．所以AB＝22，BC＝42，∠ABC＝90°．图22所以S△ABC＝12BA BC⋅＝122422⨯⨯＝8．（3）由A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,－2)，得AD＝22，AC＝210．由于∠DAC＋∠ACD＝45°，∠ACE＋∠ACD＝45°，所以∠DAC＝∠ACE．所以△ACE与△ACD相似，分两种情况：①如图3，当CE ADCA AC=时，CE＝AD＝22．此时△ACD≌△CAE，相似比为1．②如图4，当CE ACCA AD=时，21021022CE=．解得CE＝102．此时C、E两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E(10, 8)．图3 图4考点伸展第（2）题我们在计算△ABC的面积时，恰好△ABC是直角三角形．一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法．如图5，作△ABC的外接矩形HCNM，MN//y轴．由S矩形HCNM＝24，S△AHC＝6，S△AMB＝2，S△BCN＝8，得S△ABC＝8．图54例 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第25题在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，Rt △ABC 绕着点B 按顺时针方向旋转，使点C 落在斜边AB 上的点D ，设点A 旋转后与点E 重合，联结AE ．过点E 作直线EM 与射线CB 垂直，交点为M ．（1）若点M 与点B 重合（如图1），求cot ∠BAE 的值；（2）若点M 在边BC 上（如图2），设边长AC ＝x ，BM ＝y ，点M 与点B 不重合，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）若∠BAE ＝∠EBM ，求斜边AB 的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“15宝山嘉定25”，拖动点A 上下运动，可以体验到，△ABE 保持等腰三角形，∠BAE ＝∠EBM 按照点M 与点B 的位置关系存在两种情况． 思路点拨1．第（1）题的特殊性是∠DEB ＝∠CAB ＝∠EBD ，△EDB 是等腰直角三角形．2．第（1）题暗示了第（2）题中蕴含着三个等角，因此寻找相似三角形．3．第（3）题∠BAE ＝∠EBM 要分两种情况考虑，各有各的特殊性．满分解答（1）如图3，当点M 与点B 重合时，EB //AC ．所以∠CAB ＝∠EBD ．又因为旋转前后∠CAB ＝∠DEB ，所以∠EBD ＝∠DEB ．所以△EDB 和△ACB 是等腰直角三角形．已知BC ＝2，所以AC ＝2，AB ＝22． 在Rt △AED 中，ED ＝2，AD ＝222-，所以cot ∠BAE ＝AD ED＝2222-＝21-．图3 图4（2）在Rt △ABC 中，BC ＝2，AC ＝x ，所以AB ＝24x +． 如图4，设EM 与AB 交于点F ．由FM //AC ，得BM BF BC BA =，即224y BFx =+．所以BF ＝242y x +． 由于BD ＝BC ＝2，所以DF ＝2422y x +-． 由∠DEB ＝∠CAB ＝∠DFE ，∠EDB 是公共角，得△DEB ∽△DFE ．所以DE 2＝DF ·DB ，即2242(2)2y x x +=-．整理，得2244x y x -=+． 定义域是0＜x ＜2．（3）已知BA ＝BE ，所以∠BAE ＝∠BEA ．当∠BAE ＝∠EBM 时，∠BAE ＝∠BEA ＝∠EBM ．按照M 、B 的位置分两种情况： ①如图5，当M 在B 右侧时，由∠BEA ＝∠EBM ，得AE //CM ．此时∠BAE ＝∠ABC ．又已知∠ABC ＝∠EBD ，所以∠ABC ＝∠EBD ＝∠EBM ＝60°．在Rt △ABC 中，AB ＝2BC ＝4．②如图6，当M 在B 左侧时，在△BAE 中，∠BAE ＝∠BEA ＝2∠ABE ．所以∠ABE ＝36°，∠BAE ＝∠BEA ＝72°．延长EA 交BC 的延长线于G ，那么∠G ＝36°，AG ＝AB ，GE ＝GB ＝2CB ＝4． 由于点A 是GE 的黄金分割点，所以512AG GE -=．所以AB ＝AG ＝252-．图5 图6考点伸展第（3）题的第②种情况，我们直接应用了黄金分割数，也可以用相似比来解． 由∠BAE ＝∠BEA ＝∠MBE ，容易得到GB ＝GE ＝4，AG ＝AB ＝BE ．由△GBE ∽△BAE ，得到EB 2＝EA ·EG ．设AB ＝BE ＝m ．于是得到24(4)m m =-．整理，得m 2＋4m －16＝0．解得252m =．6例 2015年上海市奉贤区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋x 的对称轴为直线x ＝2，顶点为A ．（1）求抛物线的表达式及顶点A 的坐标；（2）点P 为抛物线对称轴上一点，联结OA 、OP ．①当OA ⊥OP 时，求OP 的长；②过点P 作OP 的垂线交对称轴右侧的抛物线于点B ，联结OB ，当∠OAP ＝∠OBP 时，求点B 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15奉贤24”，拖动点P 在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，△BNP ∽△PMO 保持不变，当∠OAP ＝∠OBP 时，△BOP ∽△AOH ． 思路点拨1．根据等角的余角相等，通过已知的等角寻找未知的等角．2．过直角顶点P 向坐标轴画垂线，可以构造相似的直角三角形，于是通过对应边成比例，可以列方程．满分解答（1）由抛物线的对称轴为122x a =-=，可得14a =-． 所以抛物线的表达式为2211(2)144y x x x =-+=--+． 顶点A 的坐标为(2, 1)．（2）①如图2，设AP 与x 轴交于点H ．由A (2, 1)，可得tan ∠OAH ＝2．当OA ⊥OP 时，∠POH ＝∠OAH ．所以tan ∠POH ＝PH OH＝2． 因此PH ＝2OH ＝4．所以OP ＝25． 图2②如图3，当∠OAP ＝∠OBP 时，tan ∠AOH ＝tan ∠BOP ．所以2PO HO PB HA==．如图4，过点P 作PM ⊥y 轴于M ，过点B 作x 轴的垂线交直线PM 于N ．由△OMP ∽△PNB ，得2OM MP PO PN NB BP===．所以OM ＝2PN ，MP ＝2NB ． 设21(,)4B x x x -+，P (2, n )，那么2(2)n x -=-，2122()4x x n =-+-． 将n ＝4－2x 代入2114x x n -+-=，整理，得x 2－12x ＋20＝0． 解得x ＝10，或x ＝2（B 与A 重合，舍去）．所以点B 的坐标为(10, －15)．图3 图4考点伸展如果应用四点共圆的知识，结合勾股定理，那么第（2）②题可以这样做：如图3，当∠OAP ＝∠OBP 时，A 、B 、P 、O 四点共圆．此时∠OAB ＝∠OPB ＝90°．所以OB 2＝OA 2＋AB 2．设21(,)4B x x x -+，那么22222211()5(2)(1)44x x x x x x ⎡⎤+-+=+-+-+-⎢⎥⎣⎦． 整理，得x 2－12x ＋20＝0．解得x ＝10，或x ＝2．所以B (10, －15)．例 2015年上海市奉贤区中考模拟第25题如图1，已知线段AB＝8，以A为圆心，5为半径作⊙A，点C在⊙A上，过点C作CD//AB 交⊙A于点D（点D在点C右侧），联结BC、AD．（1）若CD＝6，求四边形ABCD的面积；（2）设CD＝x，BC＝y，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（3）设BC的中点为M，AD的中点为N，线段MN交⊙A于点E，联结CE，当CD取何值时，CE//AD．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15奉贤25”，拖动点C在圆上运动，可以体验到，当CE//AD 时，四边形CEND是平行四边形，四边形CEAN是平行四边形，四边形CF AG是矩形．思路点拨1．已知△ABC的三边长分别为5，8，y，构造AB边上的高CK，那么CK为两个直角三角形的公共直角边，根据勾股定理列方程，可以得到y关于x的关系式．2．当CE//AD时，注意到CE与AN、DN的关系都是平行且相等．满分解答（1）如图2，过点A作AH⊥CD，垂足为H．在△ACD中，AC＝AD＝5，CD＝6，所以CH＝DH＝3．所以AH＝4．所以S梯形ABCD＝1()2CD AB AH+⨯＝1(68)42+⨯＝28．图2 图3（2）如图3，作CK⊥AB，垂足为K，那么四边形CKAH为矩形．在△ACD中，AC＝AD＝5，CH＝DH＝12 x．8在△ABC 中，BC ＝y ，AC ＝5，AK ＝12x ，BK ＝182x -． 由CK 2＝BC 2－BK 2＝AC 2－AK 2，得222211(8)5()22y x x --=-． 整理，得898y x =-．自变量x 的取值范围是0＜x ＜10．（3）如图4，已知MN 是梯形ABCD 的中位线，MN //CD ，当CE //AD 时，四边形CEND 是平行四边形，此时CE ＝DN ＝12AD ＝52． 由CE //NA ，CE ＝NA ，得四边形CEAN 是平行四边形．所以CN ＝EA ＝CA ＝5．作CG ⊥AN 于G ，那么AG ＝12AN ＝14AD ＝54．所以DG ＝515544-=． 在Rt △CAG 中，AG ＝54，CA ＝5，由勾股定理，得CG ＝5154． 在Rt △CDG 中，CG ＝5154，DG ＝154，由勾股定理，得CD ＝562．图4 图5考点伸展第（3）题还可以用相似比来解：如图5，设直线AE 与DC 的延长线交于点P ，与⊙A 交于点Q ，那么CE 是△P AD 的中位线，因此PC ＝CD ＝x ，PE ＝EA ＝AQ ＝5．由CE //DA ，得∠1＝∠3，∠2＝∠4．又因为∠1＝∠2，所以∠3＝∠4．于是可得∠Q ＝∠5＝∠6．由△PCE ∽△PQD ，得PC PQ PE PD =．所以1552x x =．解得562x = 由△PDA ∽△PQD ，得PD PQ PA PD =．所以215102x x =．解得562x =例 2015年上海市虹口区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c过A(－1,0)、B(3,0)、C(2, 3)三点，与y轴交于点D．（1）求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的对称轴；（2）分别联结AD、DC、CB，直线y＝4x＋m与线段DC交于点E，当此直线将四边形ABCD的面积平分时，求m的值；（3）设点F为该抛物线对称轴上一点，当以A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15虹口24”，拖动点P运动，可以体验到，经过梯形中位线的中点，并且与两底相交的直线平分梯形的面积．拖动点F在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，以A、B、C、F为顶点的梯形有3个．思路点拨1．已知抛物线与x轴的两个交点，设两点式比较简便．2．经过梯形中位线的中点，并且与两底相交的直线平分梯形的面积．3．过△ABC的3个顶点分别画对边的平行线，三条直线与抛物线的对称轴的3个交点，就是符合条件的点F．满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3,0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)．将点C(2, 3)代入，得3＝－3a．解得a＝－1．所以抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3.对称轴是直线x＝1．（2）如图2，由C(2, 3)、D(0, 3)，得CD//x轴．所以四边形ABCD是梯形．经过梯形中位线的中点，并且与两底相交的直线平分梯形的面积．梯形ABCD的中位线的中点为3(1,)2，将点3(1,)2代入y＝4x＋m，得m＝52．（3）符合条件的点F有3个，坐标分别为(1, 3)，(1,－2)，(1,－6)．10图2 图3考点伸展第（3）题这样解：过△ABC的3个顶点分别画对边的平行线，三条直线与抛物线的对称轴的3个交点，就是符合条件的点F．①如图3，当CF//AB时，点F的坐标是(1, 3)．②如图4，当BF//AC时，由tan∠CAM＝tan∠FBH，得CM FHAM BH=．所以332FH=．解得FH＝2．此时点F的坐标为(1,－2)．③如图5，当AF//CB时，由tan∠CBM＝tan∠F AH，得CM FHBM AH=．所以312FH=．解得FH＝6．此时点F的坐标为(1,－6)．图4 图512例 2015年上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13，CD //AB ，点E 为射线CD 上一动点（不与点C 重合），联结AE 交边BC 于F ，∠BAE 的平分线交BC 于点G ．（1）当CE ＝3时，求S △CEF ∶S △CAF 的值；（2）设CE ＝x ，AE ＝y ，当CG ＝2GB 时，求y 与x 之间的函数关系式；（3）当AC ＝5时，联结EG ，若△AEG 为直角三角形，求BG 的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“15虹口25”，拖动直角顶点C 运动，可以体验到，CG ＝2GB 保持不变，△ABC 的形状在改变，EA ＝EM 保持不变．点击屏幕左下角的按钮“第（3）题”，拖动E 在射线CD 上运动，可以体验到，△AEG 可以两次成为直角三角形． 思路点拨1．第（1）题中的△CEF 和△CAF 是同高三角形，面积比等于底边的比．2．第（2）题中的△ABC 是斜边为定值的形状不确定的直角三角形．3．第（3）题中的直角三角形AEG 分两种情况讨论．满分解答（1）如图2，由CE //AB ，得313EF CE AF BA ==． 由于△CEF 与△CAF 是同高三角形，所以S △CEF ∶S △CAF ＝3∶13．（2）如图3，延长AG 交射线CD 于M ． 图2由CM //AB ，得2CM CG AB BG==．所以CM ＝2AB ＝26． 由CM //AB ，得∠EMA ＝∠BAM ．又因为AM 平分∠BAE ，所以∠BAM ＝∠EAM ．所以∠EMA ＝∠EAM ．所以y ＝EA ＝EM ＝26－x ．图3 图4（3）在Rt△ABC中，AB＝13，AC＝5，所以BC＝12．①如图4，当∠AGE＝90°时，延长EG交AB于N，那么△AGE≌△AGN．所以G是EN的中点．所以G是BC的中点，BG＝6．②如图5，当∠AEG＝90°时，由△CAF∽△EGF，得FC FA FE FG=．由CE//AB，得FC FB FE FA=．所以FA FBFG FA=．又因为∠AFG＝∠BF A，所以△AFG∽△BF A．所以∠F AG＝∠B．所以∠GAB＝∠B．所以GA＝GB．作GH⊥AH，那么BH＝AH＝132．在Rt△GBH中，由cos∠B＝BHBG，得BG＝132÷1213＝16924．图5 图6考点伸展第（3）题的第②种情况，当∠AEG＝90°时的核心问题是说理GA＝GB．如果用四点共圆，那么很容易．如图6，由A、C、E、G四点共圆，直接得到∠2＝∠4．上海版教材不学习四点共圆，比较麻烦一点的思路还有：如图7，当∠AEG＝90°时，设AG的中点为P，那么PC和PE分别是Rt△ACG和Rt △AEG斜边上的中线，所以PC＝PE＝P A＝PG．所以∠1＝2∠2，∠3＝2∠5．如图8，在等腰△PCE中，∠CPE＝180°－2(∠4＋∠5)，又因为∠CPE＝180°－(∠1＋∠3)，所以∠1＋∠3＝2(∠4＋∠5)．所以∠1＝2∠4．所以∠2＝∠4＝∠B．所以∠GAB＝∠B．所以GA＝GB．图7 图814例 2015年上海市黄浦区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(a , 3)（其中a ＞4），射线OA 与反比例函数12y x =的图像交于点P ，点B 、C 分别在函数12y x =的图像上，且AB //x 轴，AC //y 轴．（1）当点P 的横坐标为6时，求直线AO 的表达式；（2）联结BO ，当AB ＝BO 时，求点A 的坐标；（3）联结BP 、CP ，试猜想ABP ACP S S △△的值是否随a 的变化而变化？如果不变，求出ABPACPS S △△的值；如果变化，请说明理由．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15黄浦24”，拖动点A 在点B 右侧运动，观察度量值，可以体验到，△ABP 与△ACP 的面积保持相等．事实上，四边形ABDC 是矩形，△ABP 与△ACP 是同底等高的两个三角形．思路点拨1．点B 是确定的，点C 、P 随点A 的改变而改变．2．已知a ＞4隐含了点A 在点B 的右侧这个条件．满分解答（1）如图1，当x ＝6时，12y x=＝2．所以点P 的坐标为(6, 2)． 由O (0, 0)、P (6, 2)，得直线AO 的解析式为13y x =． （2）如图2，因为AB //x 轴，A (a , 3)，所以点B 的纵坐标为3．又因为点B 在反比例函数12y x=的图像上，所以B (4, 3)．因此OB ＝5． 所以当AB ＝BO ＝5时，点A 的坐标为(9, 3)．（3）如图3，过点B 向x 轴作垂线交OA 于点D ，联结CD ．由于直线OA 的解析式为3y x a =，所以点D 的坐标为12(4)a，．由于AC //y 轴，所以点C 的坐标为12()a a ，． 所以CD //x 轴．因此四边形ABDC 是矩形． 所以点B 、C 到对角线AP 的距离相等．因此△ABP 与△ACP 是同底等高的两个三角形，它们的面积相等．所以ABP ACPS S △△＝1．图2 图3考点伸展第（3）题也可以这样说理：如图3，ABP ABD S S △△＝AP AD ，ACP ACD S S △△＝AP AD，而S △ABD ＝S △ACD ，所以ABP ACP S S △△＝1． 第（3）题还可以计算说理：如图4，作PM ⊥AB 于M ，作PN ⊥AC 于N ．设点P 的坐标为12()m m ，．将点P 12()m m，代入直线OA 的解析式3y x a=，可以得到24m a =． 于是，由A (a , 3)、B (4, 3)、C 12()a a ，、P 12()m m，，可得 S △ABP ＝12AB PM ⋅＝112(4)(3)2a m --＝3416(4)2a a m m--+＝2316(4)24m m m --+， S △ACP ＝12AC PN ⋅＝112(3)()2a m a --＝34(4)2m a m a--+＝2316(4)24m m m --+． 所以S △ABP ＝S △ACP ．而事实上，如图5，由于S 1＝S 2，所以S △ABO ＝S △ACO ．所以B 、C 到AO 的距离相等．于是△ABP 与△ACP 就是同底等高的三角形．图4 图5例 2015年上海市黄浦区中考模拟第25题如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，CD是斜边AB上的高，点E 为边AC上一点（点E不与点A、C重合），联结DE，作CF⊥DE，CF与边AB、线段DE 分别交于点F、G．（1）求线段CD、AD的长；（2）设CE＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结EF，当△EFG与△CDG相似时，求线段CE的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“15黄浦25”，拖动点E在AC边上运动，可以体验到，△EFG 与△CDG相似存在两种情况．一种情况是FC垂直平分DE，另一种情况是EF⊥AB．思路点拨1．图形中的垂直关系较多，因此互余的角较多，相等的角较多．把相等的角都标注出来，便于分析题意．2．求y关于x的函数关系式，设法构造相似三角形．3．△EFG与△CDG都是直角三角形，分两种情况讨论相似．按照对应的锐角相等，可以推出相似时的特殊的位置关系．满分解答（1）在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，所以AB＝4，AC＝23．在Rt△ACD中，∠A ＝30°，AC＝23，所以CD＝3，AD＝3．（2）如图2，∠CDE与∠BFC都是∠EDF的余角，所以∠CDE＝∠BFC．又因为∠DCE＝∠B＝60°，所以△CDE∽△BFD．所以CD BFCE BC=，即312yx+=．整理，得23xyx-=．定义域是32≤x＜23．图2（3）△EFG与△CDG都是直角三角形，分两种情况讨论相似：①如图3，当∠FEG＝∠DCG时，由于∠FDG＝∠DCG，所以∠FEG＝∠FDG．因此FE＝FD．所以FC垂直平分DE．此时CE＝CD＝3．16②如图4，当∠FEG＝∠CDG时，EF//CD．此时EF⊥AB．作EH⊥CD于H，那么四边形EFDH是矩形，DF＝HE．所以y＝32x．解2332xxx-=，得3393x-±=．此时3933CE-=．图3 图4考点伸展第（2）题也可以这样思考：如图5，过点E作EH⊥CD，垂足为H．在Rt△CEH中，∠CEH＝30°，CE＝x，所以CH＝12x，EH＝32x．如图6，由tan∠DEH＝tan∠DCF，得13(3)::322x x y-=．整理，得23xyx-=．图5 图6 图7 第（2）题还可以如图6这样，过点C作AB的平行线交DE的延长线于M．由tan∠M＝tan∠DCF，得CD DFCM DC=．所以CM＝23CDDF y=．由MC//AD，得CM CEAD AE=．所以323xCMx=-．由3323xy x=-，得23xyx-=．定义域的两个临界值，如图8，CE＝12CD＝32；如图9，CE＝CA＝23．图8 图9例 2015年上海市金山区中考模拟第24题已知抛物线y＝ax2＋bx－8（a≠0）经过A(－2,0)、B(4, 0)两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线y＝ax2＋bx－8（a≠0）的解析式，并求出顶点P的坐标；（2）求∠APB的正弦值；（3）直线y＝kx＋2 与y轴交于点N，与直线AC的交点为M，当△MNC与△AOC相似时，求点M的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15金山24”，拖动点M在AC上运动，可以体验到，△MNC 与△AOC相似存在两种情况．思路点拨1．用面积法求等腰三角形P AB的腰上的高，进而可以求顶角的正弦值．2．探求△MNC与△AOC相似，可以转化为探求直角三角形MNC．满分解答（1）因为抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A(－2,0)、B(4, 0)两点，设y＝a(x＋2)(x－4)＝ax2－2ax－8a．所以－8a＝－8．解得a＝1．所以y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9．所以顶点P的坐标为(1,－9)．（2）如图2，由A(－2,0)、B(4, 0)、P(1,－9)，得AB＝6，PB＝P A＝310．作PG⊥AB，AH⊥PB，垂足分别为G、H．由S△P AB＝1122AB PG PB AH⋅=⋅，得699105310AB PGAHPB⋅⨯===．在Rt△APH中，sin∠APB＝910331055AHPA=÷=．图2 （3）由y＝kx＋2，得点N的坐标为(0, 2)．由A(－2,0)、C(0, －8)，得直线AC的解析式为y＝－4x－8．因为△MNC与△AOC有公共的锐角∠ACO，所以分两种情况讨论相似：18①如图3，当∠MNC＝90°时，14NM OANC OC==．所以1105442NM NC===．此时点M的坐标为5(,2)2-．②如图4，当∠NMC＝90°时，过点M作x轴的垂线，过点N、C分别作y轴的垂线，构造直角三角形NEM和直角三角形MFC，那么△NEM∽△MFC．所以EN FM EM FC=．设点M的坐标为(x, －4x－8)，那么(48)(8)2(48)x xx x-----=----．解得4017x=-．此时点M的坐标为4024(,)1717-．图3 图4 图5考点伸展第（3）题也可以这样解：①如图3，当∠MNC＝90°时，MN//x轴，所以y M＝2．解方程－4x－8＝2，得52x=-．此时点M的坐标为5(,2)2-．②如图5，当∠NMC＝90°时，设直线NM交x轴于K，那么△NOK≌△AOC．所以OK＝OC＝8．所以直线NM的解析式为124y x=+．联立y＝－4x－8和124y x=+，解得4017x=-，2417y=．此时M4024(,)1717-．例 2015年上海市金山区中考模拟第25题如图1，已知在△ABC中，AB＝AC＝10，tan∠B＝43．（1）求BC的长；（2）点D、E 分别是AB、AC的中点，不重合的两动点M、N在边BC上（点M、N不与点B、C重合），且点N始终在点M的右边，联结DN、EM交于点O．设MN＝x，四边形ADOE的面积为y．①求y与x的函数关系式，并写出定义域；②当△OMN是等腰三角形且BM＝1时，求MN的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“15金山25”，拖动点N在MC上运动，可以体验到，等腰三角形OMN存在两种情况．思路点拨1．把四边形ADOE分割为△ADE和△DOE，△DOE与△NOM是相似的．2．分三种情况讨论等腰三角形OMN，其中NM＝NO是不存在的．满分解答（1）如图2，作AF⊥BC，垂足为F．在Rt△ABF中，AB＝10，tan∠B＝43，设BF＝3m，AF＝4m，那么AB＝5m．所以5m＝10．解得m＝2．所以BF＝6，AF＝8．因为AB＝AC，AF⊥BC，所以BC＝2BF＝12．图2（2）①如图3，S△ABC＝1112848 22BC AF⋅=⨯⨯=．因为DE是△ABC的中位线，所以DE＝12BC＝6，S△ADE＝14S△ABC＝12．过点O作BC的垂线，垂足为H，交DE于G，那么GH＝12AF＝4．由DE//BC，得DE GONM HO=，即64GOx GO=-．所以246GOx=+．因此S△DOE＝11247262266 DE GOx x⋅=⨯⨯=++．所以y＝S四边形ADOE＝S△ADE＋S△DOE＝7212144 1266xx x++=++．定义域是0＜x＜12．②如图4，作EQ⊥BC，垂足为Q．在Rt△ECQ中，EC＝5，所以EQ＝4，CQ＝3．20在Rt△EMQ中，MQ＝11－3＝8，EQ＝4，所以EM＝45．如图5，在Rt△DMP中，DP＝4，MP＝3－1＝2，所以DM＝25．图3 图4 图5 因为△OMN∽△OED，所以讨论等腰△OMN可以转化为讨论等腰△OED．（I）如图6，当OM＝ON时，OE＝OD．此时点O在ED的垂直平分线上．所以BN＝CM＝11．此时MN＝22－12＝10．．（II）如图7，当MO＝MN时，EO＝ED＝6．此时MN＝MO＝45x（III）如果NM＝NO，那么DO＝DE＝6．如图8，因为DM＝25＜6，所以以D为圆心，DE为半径的⊙D与线段ME只有一个交点E，因此不存在NM＝NO的情况．图6 图7 图8考点伸展我们把图8局部放大，如图9，⊙D与直线ME的两个交点为E、O，此时点O在EM的延长线上，点N与点B重合，在点M的左侧，NO＝NM．图922例 2015年上海市静安区青浦区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax ＋c 与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，它的对称轴与x 轴交于点C ，且∠OBC ＝∠OAB ，AC ＝3．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点D 在此抛物线上，DF ⊥OA ，垂足为F ，DF 与线段AB 相交于点G ，且32ADG AFG S S =△△，求点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15静安青浦24”，拖动点D 在抛物线上运动，观察度量值，可以体验到，DG 与GF 的比值可以等于1.5，此时点D 的横坐标为3．思路点拨1．抛物线的解析式中待定两个系数，需要代入A 、B 两点的坐标列方程组．2．△ADG 与△AFG 是同高三角形，面积比等于对应的底边的比．3．把DG ∶GF ＝3∶2转化为GF ∶DF ＝2∶5，运算就简便一些．满分解答（1）由y ＝ax 2－2ax ＋c ，得抛物线的对称轴是直线x ＝1．因为AC ＝3，所以点A 的坐标为(4,0)．如图2，由∠OBC ＝∠OAB ，∠BOC ＝∠AOB ，得△BOC ∽△AOB ．于是可得OB 2＝OC ·OA ＝4．所以OB ＝2，B (0, 2)．将A (4,0)、B (0, 2)分别代入y ＝ax 2－2ax ＋c ，得1680,2.a a c c -+=⎧⎨=⎩ 解得14a =-，c ＝2．所以抛物线的表达式是211242y x x =-++．图2 图3（2）如图3，因为△ADG 与△AFG 是同高三角形，所以32ADG AFG S DG S GF ==△△． 所以25GF DF =． 由A (4,0)、B (0, 2)，得直线AB 的解析式为122y x =-+． 设D 211(,2)42x x x -++，G 1(,2)2x x -+，那么21222115242x x x -+=-++ 解得x ＝3，或x ＝4（与A 重合，舍去）．所以点D 的坐标是5(3,)4． 考点伸展第（2）题凭直觉，△ADG 的面积总要比△AFG 的面积小，但是32ADG AFG S S =△△确实是有解的． 我们分析一下方程21222115242x x x -+=-++，等号左边是可以化简、约分的． 因为1(4)222125(2)(4)4x x x x --==+-+-，所以原分式方程总有一个增根x ＝4，另一个就是一元一次方程的根．24例 2015年上海市静安区青浦区中考模拟第25题 在⊙O 中，OC ⊥弦AB ，垂足为C ，点D 在⊙O 上．（1）如图1，已知OA ＝5，AB ＝6，如果OD //AB ，CD 与半径OB 相交于点E ，求DE 的长；（2）已知OA ＝5，AB ＝6（如图2），如果射线OD 与AB 的延长线相交于点F ，且 △OCD 是等腰三角形，求AF 的长；（3）如果OD //AB ，CD ⊥OB ，垂足为E ，求sin ∠ODC 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15静安青浦25”，拖动点C 运动，观察度量值，可以体验到，当CD ⊥OB 时，sin ∠ODC 的值就是黄金分割数啊．思路点拨1．反反复复的勾股定理和三角比的运算，要仔细哦．2．第（2）题等腰三角形OCD 只存在两种情况，因为OC ＜OD ．3．第（3）题中的所有直角三角形都是相似的．怎样简化错综复杂的线段间的关系呢？设⊙的半径为1，设sin ∠ODC ＝x ，然后把其他线段用x 表示出来．这个设法不多见哦． 满分解答（1）如图2，因为弦心距OC ⊥弦AB ，所以OC 平分AB ．在Rt △OAC 中，OA ＝5，AC ＝3，所以OC ＝4．在Rt △OCD 中，OC ＝4，OD ＝5，所以DC ＝224541+=．由OD//CB ，得53DE OD CE BC ==．所以554188DE DC ==．图2 图3 图4（2）因为OC ＜OD ，所以等腰三角形OCD 存在两种情况：①如图3，当DO ＝DC 时，作DH ⊥OC ，那么DH 是△OCF 的中位线．在Rt △ODH 中，OD ＝5，OH ＝2，所以DH ＝225221-=． 所以FC ＝2DH ＝221．此时AF ＝AC ＋FC ＝3221+．②如图4，当CO ＝CD 时，作CM ⊥OD ，那么CM 平分OD ．在Rt △OCM 中，OC ＝4，OM ＝12OD ＝52，所以CM ＝22539422⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 由tan ∠COF ＝CM FC OM OC=，得3954394225CM OC FC OM ⋅==⨯÷=． 此时AF ＝AC ＋FC ＝43935+． （3）设⊙O 的半径为1，设sin ∠ODC ＝x ．如果OD //AB ，CD ⊥OB ，那么∠COD ＝90°，∠ODC ＝∠BOC ．如图5，在Rt △ODE 中，由sin ∠ODC ＝OE OD＝x ，得OE ＝x ． 如图6，在Rt △OBC 中，由sin ∠BOC ＝BC OB＝x ，得BC ＝x ． 如图7，由OD //CB ，得OD OE BC BE =．所以11x x x =-． 整理，得x 2＋x －1＝0．解得152x -±=．所以sin ∠ODC ＝512-．图5 图6 图7考点伸展看到第（3）题的结果，不由得想起了黄金分割数，那么图形中的黄金分割点在哪里？ 如图7，因为51DE OE OE DC OB OD -===，所以点E 是线段OB 的黄金分割点，点E 也是线段CD 的黄金分割点．26例 2015年上海市闵行区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax －4与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为(－3,0)，点D 在线段AB 上，AD ＝AC ．（1）求这条抛物线的解析式，并求出抛物线的对称轴；（2）如果以DB 为半径的⊙D 与⊙C 外切，求⊙C 的半径；（3）设点M 在线段AB 上，点N 在线段BC 上，如果线段MN 被直线CD 垂直平分，求BN CN的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“15闵行24”，拖动点N 在BC 上运动，可以体验到，当DC 垂直平分MN 时，∠NDC ＝∠ADC ＝∠ACD ，此时DN //AC ．思路点拨1．准确描绘A 、B 、C 、D 的位置，把相等的角标注出来，利于寻找等量关系．2．第（3）题在图形中模拟比划MN 的位置，近似DC 垂直平分MN 时，把新产生的等角与前面存在的等角对比，思路就有了．满分解答（1）将点A (－3,0)代入y ＝ax 2－2ax －4，得15a －4＝0．解得415a =．所以抛物线的解析式为24841515y x x =--． 抛物线的对称轴为直线x ＝1． （2）由24844(3)(5)151515y x x x x =--=+-，得B (5, 0)，C (0,－4)． 由A (－3,0)、B (5, 0)、C (0,－4)，得 AB ＝8，AC ＝5．当AD ＝AC ＝5时，⊙D 的半径DB ＝3．由D (2, 0)、C (0,－4)，得DC ＝25因此当⊙D 与⊙C 外切时，⊙C 的半径为253（如图2所示）．（3）如图3，因为AD ＝AC ，所以∠ACD ＝∠ADC ．如果线段MN 被直线CD 垂直平分，那么∠ADC ＝∠NDC ．这时∠ACD＝∠NDC．所以DN//AC．于是35BN BDCN AD==．图2 图3考点伸展解第（3）题画示意图的时候，容易误入歧途，以为M就是点O．这是为什么呢？我们反过来计算：当DN//AC，35BNCN=时，38DNAC=，因此DM＝DN＝31588AC=．而DO＝2，你看M、O相距是多么的近啊．放大还原事实的真相，如图4所示．图4例 2015年上海市闵行区中考模拟第25题如图1，已知梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝5，AD＝4．M、N分别是边AD、BC 上的任意一点，联结AN、DN．点E、F分别在线段AN、DN上，且ME//DN，MF//AN，联结EF．（1）如图2，如果EF//BC，求EF的长；（2）如果四边形MENF的面积是△AND 面积的38，求AM的长；（3）如果BC＝10，试探求△ABN、△AND、△DNC能否两两相似？如果能，求AN的长；如果不能，请说明理由．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“15闵行25”，拖动点M在AD上运动，可以体验到，当EF//BC 时，EF是△AND的中位线．还可以体验到，当N是BC的中点时，△ABN、△AND和△DNC 是三个底角相等的等腰三角形．思路点拨1．由平行四边形MENF和平行四边形AEFM，可以得到E是AN的中点．2．第（2）题把四边形MENF与△AND的面积比，转化为△AEM与△MFD的和与△AND的面积比．再根据相似三角形的面积比等于对应边的比的平方列方程．3．第（3）题先探求两个三角形相似，再验证是否与第三个三角形相似．满分解答（1）如图3，由ME//DN，MF//AN，得四边形MENF是平行四边形．所以MF＝EN．如果EF//BC，那么四边形AEFM是平行四边形．所以MF＝AE．所以E是AN的中点．同理F是DN的中点．所以EF是△AND的中位线，此时EF＝12AD＝2．图3 图4 （2）如图4，设AM的长为x．28由ME //DF ，得224AEM AND S AM x S AD ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△． 由MF //AN ，得2244MFD AND S DM x S AD -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△． 所以22(4)16AEM MFD AND S S x x S ++-=△△△． 如果四边形MENF 的面积是△AND 面积的38，那么22(4)5=168x x +-． 整理，得x 2－4x ＋3＝0．解得x ＝1，或x ＝3．（3）如图5，在等腰梯形ABCD 中，保持AB ＝DC ，∠B ＝∠C ，∠1＝∠2，∠3＝∠4． 在△ABN 、△AND 、△DNC 中，保持不变的是∠B ＝∠C ．因此△ABN 与△DCN 相似时，存在两种可能：①如果=BA CD BN CN，那么BN ＝CN ．所以N 是BC 的中点． ②如果=BA CN BN CD ，那么510=5BN BN -．解得BN ＝5．所以N 也是BC 的中点． 当点N 是BC 的中点时，△ABN 与△DCN 是两个全等的等腰三角形．此时△AND 也是等腰三角形，∠1＝∠2＝∠4＝∠3．因此△ABN 、△AND 、△DNC 两两相似．由=AB AN AN AD ，得5=4AN AN ．所以=25AN ．图5考点伸展有一种传说叫做数学典型题．这道题目里的3个题目，都是典型图，都有典型结论． 如图3，联结三角形三边中点得到的三角形与原三角形相似，而且与其它三个小三角形全等．第（3）题可以推广为：如果等腰梯形ABCD 的下底BC 等于腰长的2倍，N 是下底BC 的中点，那么△ABN ∽△NCD ∽AND ．。
2015年上海市虹口区中考数学、语文、英语二模试卷及答案
2015年上海市虹口区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）计算（a2）3的结果是（）A．a5B．a6C．a8D．3a22．（4分）下列代数式中，+1的一个有理化因式是（）A．B．C．+1D．﹣13．（4分）不等式组的解集是（）A．x≥﹣B．x＜1C．﹣≤x＜1D．﹣＜x＜14．（4分）下列事件中，是确定事件的是（）A．上海明天会下雨B．将要过马路时恰好遇到红灯C．有人把石头孵成了小鸭D．冬天，盆里的水结成了冰5．（4分）下列正多边形中，中心角等于内角的是（）A．正三角形B．正四边形C．正六边形D．正八边形6．（4分）下列命题中，真命题是（）A．有两边和一角对应相等的两个三角形全等B．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等D．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）据报道，截止2015年3月，某市网民规模达5180000人．请将数据5180000用科学记数法表示为．8．（4分）分解因式：2x2﹣8x=．9．（4分）如果关于的方程x2+3x﹣a=0有两个相等的实数根，那么a=．10．（4分）方程的根是．11．（4分）函数y=的定义域是．12．（4分）在反比例函数y=的图象所在的每个象限中，如果函数值y随自变量的x 值增大而增大，那么常数k的取值范围是．13．（4分）为了了解某中学学生的上学方式，从该校全体学生900名中，随机抽查了60名学生，结果显示有15名学生“步行上学”．由此，估计该校全体学生中约有名学生“步行上学”．14．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，点G是Rt△ABC的重心，如果CG=6，那么斜边AB的长等于．15．（4分）如图，在△ABC中，点E、F分别在边AC、BC上，EF∥AB，CE=AE，若=，=，则=．16．（4分）如图，⊙A、⊙B的半径分别为1cm、2cm，圆心距AB为5cm．将⊙A由图示位置沿直线AB向右平移，当该圆与⊙B内切时，⊙A平移的距离是cm．17．（4分）定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的“特征数”．如：函数y=x2+3x﹣2的“特征数”是[1，3，﹣2]，函数y=﹣x+4的“特征数”是[0，﹣1，4]．如果将“特征数”是[2，0，4]的函数图象向下平移3个单位，得到一个新函数图象，那么这个新函数的解析式是．18．（4分）在RtABC中，∠C=90°，AC=BC=（如图），若将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，联结C′B，则C′B的长为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）先化简，再求值（﹣）÷，其中x=﹣3．20．（10分）解方程组：．21．（12分）如图，等腰△ABC内接于半径为5的⊙O，AB=AC，tan∠ABC=．求BC的长．22．（12分）某商店试销一种成本为10元的文具．经试销发现，每天销售件数y（件）是每件销售价格x（元）的一次函数，且当每件按15元的价格销售时，每天能卖出50件；当每件按20元的价格销售时，每天能卖出40件．（1）试求y关于x的函数解析式（不用写出定义域）；（2）如果每天要通过销售该种文具获得450元的利润，那么该种文具每件的销售价格应该定为多少元？（不考虑其他因素）23．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为DC延长线上一点，联结AE，交BC边于点F，联结BE．（1）求证：AB•AD=BF•ED；（2）若CD=CA，且∠DAE=90°，求证：四边形ABEC是菱形．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0）、B（3，0）．C（2，3）三点，且与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴；（2）分别联结AD、DC，CB，直线y=4x+m与线段DC交于点E，当此直线将四边形ABCD 的面积平分时，求m的值；（3）设点F为该抛物线对称轴上的一点，当以点A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标．25．（16分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°．AB=13，CD ∥AB ．点E 为射线CD 上一动点（不与点C 重合），联结AE ，交边BC 于点F ，∠BAE 的平分线交BC 于点G ．（1）当时CE=3，求S △CEF ：S △CAF 的值；（2）设CE=x ，AE=y ，当CG=2GB 时，求y 与x 之间的函数关系式；（3）当AC=5时，联结EG ，若△AEG 为直角三角形，求BG 的长．2015年上海市虹口区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）计算（a2）3的结果是（）A．a5B．a6C．a8D．3a2【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，计算后直接选取答案．【解答】解：（a2）3=a6．故选：B．【点评】本题考查了幂的乘方的性质，熟练掌握性质是解题的关键．2．（4分）下列代数式中，+1的一个有理化因式是（）A．B．C．+1D．﹣1【考点】分母有理化．【分析】根据有理化因式的定义进行求解即可．两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．【解答】解：∵由平方差公式，（）（）=x﹣1，∴的有理化因式是，故选D．【点评】本题主要考查了对有理化因式的理解，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．3．（4分）不等式组的解集是（）A．x≥﹣B．x＜1C．﹣≤x＜1D．﹣＜x＜1【考点】解一元一次不等式组．【分析】先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的方法得出解集．【解答】解：解不等式①的x≥﹣，解不等式②得x＜1，所以不等式的解集是﹣≤x＜1．故选：C．【点评】此题考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．4．（4分）下列事件中，是确定事件的是（）A．上海明天会下雨B．将要过马路时恰好遇到红灯C．有人把石头孵成了小鸭D．冬天，盆里的水结成了冰【考点】随机事件．【分析】利用确定事件包括必然事件和不可能事件．必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，进而判断得出即可．【解答】解：A，B，D都不一定发生，属于不确定事件．有人把石头孵成了小鸭，是不可能事件．故选：C．【点评】本题考查了随机事件，理解概念是解决这类基础题的主要方法．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5．（4分）下列正多边形中，中心角等于内角的是（）A．正三角形B．正四边形C．正六边形D．正八边形【考点】正多边形和圆．【分析】设正边形的边数是n，根据内角根据中心角等于内角，就可以得到一个关于n的方程，解方程就可以解得n的值【解答】解：设正边形的边数是n．根据题意得：180﹣=，解得：n=4．故选B．【点评】本题考查了正多边形和圆，考查正多边形的中心角和内角和的知识，正确利用n表示出正多边形的中心角和内角是关键．6．（4分）下列命题中，真命题是（）A．有两边和一角对应相等的两个三角形全等B．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等D．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等【考点】命题与定理；全等三角形的判定．【分析】根据三角形全等的判定方法对A、D进行判断；利用三角形高的位置不同可对B、C进行判断．【解答】解：A、有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以A选项错误；B、有两边和第三边上的高对应相等的两个锐三角形全等，所以B选项错误；C、有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐三角形全等，所以C选项错误；D、有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，所以D选项正确．故选D．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）据报道，截止2015年3月，某市网民规模达5180000人．请将数据5180000用科学记数法表示为 5.18×106．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将5180000用科学记数法表示为5.18×106．故答案为：5.18×106．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．8．（4分）分解因式：2x2﹣8x=2x（x﹣4）．【考点】因式分解-提公因式法．【分析】直接提取公因式2x，进而得出答案．【解答】解：原式=2x（x﹣4）．故答案为：2x（x﹣4）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．9．（4分）如果关于的方程x2+3x﹣a=0有两个相等的实数根，那么a=﹣．【考点】根的判别式．【分析】根据方程x2+3x﹣a=0有两个相等的实数根可得△=32﹣4（﹣a）=9+4a=0，求出a 的值即可．【解答】解：∵关于的方程x2+3x﹣a=0有两个相等的实数根，∴△=0，∴32﹣4（﹣a）=9+4a=0，∴a=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△=0⇔方程有两个相等的实数根，此题难度不大．10．（4分）方程的根是x=1．【考点】无理方程．【分析】把方程两边平方去根号后即可转化成整式方程，解方程即可求得x的值，然后进行检验即可．【解答】解：两边平方得：2﹣x=x2，整理得：x2+x﹣2=0，解得：x=1或﹣2．经检验：x=1是方程的解，x=﹣2不是方程的解．故答案是：x=1．【点评】在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法．11．（4分）函数y=的定义域是x≥﹣1．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x+1≥0，解得x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．12．（4分）在反比例函数y=的图象所在的每个象限中，如果函数值y随自变量的x值增大而增大，那么常数k的取值范围是k＜．【考点】反比例函数的性质．【分析】先根据函数y=的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵函数y=的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，∴2k﹣3＜0，解得k＜．故答案为：k＜．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．13．（4分）为了了解某中学学生的上学方式，从该校全体学生900名中，随机抽查了60名学生，结果显示有15名学生“步行上学”．由此，估计该校全体学生中约有225名学生“步行上学”．【考点】用样本估计总体．【分析】先通过样本计算“步行上学”的学生所占百分比，然后估计整体中“步行上学”的学生人数．【解答】解：∵从该校全体学生900名中，随机抽查了60名学生，结果显示有15名学生“步行上学”，∴“步行上学”的学生所占百分比为×100%=25%，∴估计该校全体学生中“步行上学”的人数为900×25%=225．故答案为225．【点评】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法．14．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，点G是Rt△ABC的重心，如果CG=6，那么斜边AB的长等于18．【考点】三角形的重心．【专题】计算题．【分析】CD为斜边上的中线，如图，根据重心的性质得到DG=CG=3，则CD=9，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到AB的长．【解答】解：CD为斜边上的中线，如图，∵点G是Rt△ABC的重心，∴CG：GD=2：1，∴DG=CG=×6=3，∴CD=3+6=9，∴AB=2CD=18．故答案为18．【点评】本题考查了三角形重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．15．（4分）如图，在△ABC中，点E、F分别在边AC、BC上，EF∥AB，CE=AE，若=，=，则=﹣．【考点】*平面向量．【分析】由=，=，利用三角形法则，即可求得，然后由EF∥AB，可证得△CEF∽△CAB，再利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【解答】解：∵=，=，∴=﹣=﹣，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴，∵CE=AE，∴==﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了平面向量的知识以及相似三角形的判定与性质．注意掌握三角形法则的应用．16．（4分）如图，⊙A、⊙B的半径分别为1cm、2cm，圆心距AB为5cm．将⊙A由图示位置沿直线AB向右平移，当该圆与⊙B内切时，⊙A平移的距离是4或6cm．【考点】圆与圆的位置关系；平移的性质．【分析】可根据圆心距与半径之间的数量关系判断⊙A与⊙B的位置关系．【解答】解：当内切时，圆心距为2﹣1=1，当点A在点B的左侧时，移动的距离为5﹣1=4cm；当点A在点B的右侧时，移动的距离为5+1=6cm；所以向右移动4或6cm时两圆内切，故答案为：4或6．【点评】考查了圆与圆的位置关系，解此题的关键是熟练掌握由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P；外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R﹣r＜P＜R+r；内切P=R﹣r；内含P＜R﹣r．17．（4分）定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的“特征数”．如：函数y=x2+3x﹣2的“特征数”是[1，3，﹣2]，函数y=﹣x+4的“特征数”是[0，﹣1，4]．如果将“特征数”是[2，0，4]的函数图象向下平移3个单位，得到一个新函数图象，那么这个新函数的解析式是y=2x2+1．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】新定义．【分析】根据“特征数”的定义得到：“特征数”是[2，0，4]的函数的解析式为：y=2x2+4，则该抛物线的顶点坐标是（0，4），根据平移规律得到新函数解析式．【解答】解：依题意得：“特征数”是[2，0，4]的函数解析式为：y=2x2+4，其顶点坐标是（0，4），向下平移3个单位后得到的顶点坐标是（0，1），所以新函数的解析式为：y=2x2+1．故答案是：y=2x2+1．【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．18．（4分）在RtABC中，∠C=90°，AC=BC=（如图），若将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，联结C′B，则C′B的长为﹣1．【考点】旋转的性质．【分析】连接BB′，根据旋转的性质可得AB=AB′，判断出△ABB′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AB=BB′，然后利用“边边边”证明△ABC′和△B′BC′全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABC′=∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，根据等边三角形的性质可得BD⊥AB′，利用勾股定理列式求出AB，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、C′D，然后根据BC′=BD﹣C′D计算即可得解．【解答】解：如图，连接BB′，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，∴AB=AB′，∠BAB′=60°，∴△ABB′是等边三角形，∴AB=BB′，在△ABC′和△B′BC′中，，∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），∴∠ABC′=∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，则BD⊥AB′，∵∠C=90°，AC=BC=，∴AB=2，∴BD=2×=，C′D=×2=1，∴BC′=BD﹣C′D=﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）先化简，再求值（﹣）÷，其中x=﹣3．【考点】分式的化简求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=[﹣]•（x﹣3）=•（x﹣3）=，当x=﹣3时，原式===2﹣．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．20．（10分）解方程组：．【考点】高次方程．【分析】把①化为x+3y=1和x+3y=﹣1，再把x+3y=1和x+3y=﹣1分别与x﹣y﹣3=0组成方程组，解出方程组得到答案．【解答】解：，由①得，（x+3y）2=1即x+3y=1，x+3y=﹣1，得到方程组，，分别解这两个方程组，得原方程组的解：，．【点评】本题考查的是二元二次方程组的解法，把二元二次方程通过因式分解化为两个二元一次方程，再把这两个二元一次方程分别与另一个方程组成二元一次方程组，解方程组即可．21．（12分）如图，等腰△ABC内接于半径为5的⊙O，AB=AC，tan∠ABC=．求BC的长．【考点】垂径定理；解直角三角形．【分析】连接AO，交BC于点E，连接BO，求出=，根据垂径定理得出OA⊥BC，BC=2BE，设AE=x，则BE=3x，OE=5﹣x，根据勾股定理得出方程（3x）2+（5﹣x）2=52，求出方程的解即可．【解答】解：连接AO，交BC于点E，连接BO，∵AB=AC，∴=，又∵OA是半径，∴OA⊥BC，BC=2BE，在Rt△ABE中，∵tan∠ABC=，∴=，设AE=x，则BE=3x，OE=5﹣x，在Rt△EO中，BE2+OE2=OB2，∴（3x）2+（5﹣x）2=52，解得：x1=0（舍去），x2=1，∴BE=3x=3，∴BC=2BE=6．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，解直角三角形，勾股定理的应用，解此题的关键是构造直角三角形，用了方程思想，难度适中．22．（12分）某商店试销一种成本为10元的文具．经试销发现，每天销售件数y（件）是每件销售价格x（元）的一次函数，且当每件按15元的价格销售时，每天能卖出50件；当每件按20元的价格销售时，每天能卖出40件．（1）试求y关于x的函数解析式（不用写出定义域）；（2）如果每天要通过销售该种文具获得450元的利润，那么该种文具每件的销售价格应该定为多少元？（不考虑其他因素）【考点】一元二次方程的应用；根据实际问题列一次函数关系式．【分析】（1）设出一次函数解析式y=kx+b，用待定系数法建立关于k和b的方程组，解之即可求出所求；（2）按照等量关系“每月获得的利润=（销售价格﹣进价）×销售件数”列出二次函数，并求得最值．【解答】解：（1）由题意，知：当x=15时，y=50；当x=20时，y=40，设所求一次函数解析式为y=kx+b，由题意得：，解得：∴所求的y关于x的函数解析式为y=﹣2x+80．（2）由题意，可得：（x﹣10）（﹣2x+80）=450解得：x=25答：该种文具每件的销售价格应该定为25元．【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．23．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为DC延长线上一点，联结AE，交BC边于点F，联结BE．（1）求证：AB•AD=BF•ED；（2）若CD=CA，且∠DAE=90°，求证：四边形ABEC是菱形．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形得到∠ABC=∠D，AB∥CD，∠BAF=∠DEA，推出△ABF∽△EDA，于是即可得到结论；（2）根据∠DAE=90°，得到∠AED+∠D=90°，∠EAC+∠DAC=90°，根据CD=CA，推出四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AB∥CD且AB=CD，证出四边形ABEC是平行四边形．由于CE=CA，推出四边形ABEC是菱形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D，AB∥CD，∴∠BAF=∠DEA，∴△ABF∽△EDA，∴=，∴AB•AD=BF•ED；（2）∵∠DAE=90°，∴∠AED+∠D=90°，∠EAC+∠DAC=90°，∵CD=CA，∴∠DAC=∠D，∴∠AED=EAC，∴CE=CA，∴CE=CD．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD且AB=CD，∴AB∥EC且AB=EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∵CE=CA，∴四边形ABEC是菱形．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定，熟记定理是解题的关键．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0）、B（3，0）．C（2，3）三点，且与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴；（2）分别联结AD、DC，CB，直线y=4x+m与线段DC交于点E，当此直线将四边形ABCD 的面积平分时，求m的值；（3）设点F为该抛物线对称轴上的一点，当以点A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0）、B（3，0）．C（2，3）三点，列方程组可求得．（2）由梯形的面积公式列方程即可求得m的值．（3）由以A、B、C、F为顶点的四边形是梯形，分类讨论当CF∥AB时，点F在线段CD 上，求得F（1，3），当AF∥BC时，直线BC的解析式为；y=﹣3x+9，直线AF的解析式为y=﹣3x﹣3，求得F（1，﹣6），当CA∥BF时，直线AC的解析式为；y=x+1，直线BF 的解析式为；y=x﹣3，求得F（1，﹣2）．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（2，3）三点，∴解得：，∴所求抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，其对称轴是直线x=1，（2）由题意，得：D（0，3），∵DC ∥AB ，AB=4，CD=3，∵直线y=4x+m 与线段DC 交于点E ，且将四边形ABCD 的面积平分，∴直线y=4x+m 与边AB 相交，设交点为点G ，∴点E 的纵坐标是3，点G 的纵坐标是0，∴可求得E （，3），G （﹣，0），由题意，得：S 四边形ABCD =2S 四边形AGED ，∴AB+CD=2（AG+DE ）∴4+2=2（﹣+1+），解得：m=﹣．（3）当CF ∥AB 时，点F 在线段CD 上，∴F （1，3），当AF ∥BC 时，直线BC 的解析式为；y=﹣3x+9，∴直线AF 的解析式为y=﹣3x ﹣3，当x=1时，y=﹣6，∴F （1，﹣6），当CA ∥BF 时，直线AC 的解析式为；y=x+1，∴直线BF 的解析式为；y=x ﹣3，∴当x=1时，y=﹣2，∴F （1，﹣2）；综上所述；点F 的坐标：（1，3），（1，﹣2），（1，﹣6）．【点评】此题考查了抛物线解析式的确定、梯形的判定、梯形的面积的求法重要知识点，（3）小题中，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．25．（16分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°．AB=13，CD ∥AB ．点E 为射线CD 上一动点（不与点C 重合），联结AE ，交边BC 于点F ，∠BAE 的平分线交BC 于点G ．（1）当时CE=3，求S △CEF ：S △CAF 的值；（2）设CE=x ，AE=y ，当CG=2GB 时，求y 与x 之间的函数关系式；（3）当AC=5时，联结EG ，若△AEG 为直角三角形，求BG 的长．【考点】相似形综合题．【分析】（1）过点C 作CH ⊥AE 于H ，根据等高的两个三角形面积之比等于底的比，求出EF ：AF 即可；（2）延长AG交射线CD于点K，根据相似三角形对应边成比例求出y与x之间的函数关系式；（3）分∠AGE=90°、∠AEG=90°两种情况进行解答，求出BG的长．【解答】解：（1）过点C作CH⊥AE于H，∴==，∵CD∥AB，∴，∵CE=3，AB=13，∴=，∴=．（2）延长AG交射线CD于点K，∵CD∥AB，∴∠EKA=∠KAB，∵AG平分∠BAE，∴∠EAK=∠KAB，∴∠EKA=∠EAK，∴AE=EK，∵CE=x，AE=y，∴CK=CE+EK=CE+AE=x+y，∵CD∥AB，∴=，∵CG=2GB，∴=2，∴，∴y=26﹣x．（3）由题意，得：BC=12，①当∠AGE=90°时，则AG=GK，∵CD∥AB，∴BG=BC=6．②当∠AEG=90°时，则△ACF∽△GEF，∴=，∠CFE=∠AFG，∴△ECF∽△GAF，∴∠ECF=∠FAG，又∵∠FAG=∠GAB，∠ECF=∠B，∴∠B=∠GAB，∴GA=GB，过点G作GN⊥AB于N，∴BN=AB=，∴BG=BN=．【点评】本题考查的是相似三角形的综合应用，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，本题可以提高学生综合运用知识的能力、逻辑思维能力．虹口区2015年语文学科中考练习题(满分150分，考试时间100分钟)考生注意：1、本试卷共28题。
虹口区2015学年度第二学期初三质量调研数学试卷
第5题图虹口区2015学年度第二学期初三质量调研数学试卷一．选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．计算3)2(-的结果是（ ）A ．6；B ．6-；C ．8；D ．8-； 2．下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ） A ．6； B ．12； C ．23； D ．18； 3．不等式042≤+x 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ． ；B ． ；C ． ；D ． ；4．李老师对某班学生“你最喜欢的体育项目是什么？”的问题进行了调查，每位同学都选择了其中的一项，现把所得的数据绘制成频数分布直方图（如图）．如图中的信息可知，该班学生最喜欢足球的频率是（ ）A ．12；B ．3.0；C ．4.0；D ．40；5．如图所示的尺规作图的痕迹表示的是（ ）A ．尺规作线段的垂直平分线；B ．尺规作一条线段等于已知线段；C ．尺规作一个角等于已知角；D ．尺规作角的平分线； 6．下列命题中，真命题是（ ）A ．四条边相等的四边形是正方形；B ．四个角相等的四边形是正方形；C ．对角线相等的平行四边形是正方形；D ．对角线相等的菱形是正方形； 二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．当1=a 时，3-a 的值为 ；某班学生最喜欢的体育项目的频数分布直方图第4题图第15题图 第18题图 8．方程x x =+32的根是 ；9．若关于x 的方程022=+-m x x 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ； 10．试写出一个二元二次方程，使该方程有一个解是⎩⎨⎧=-=21y x ，你写的这个方程是（写出一个符合条件的即可）；11．函数121-=x y 的定义域是 ； 12．若),23(1y A -．),52(2y B 是二次函数3)1(2+--=x y 图像上的两点，则1y2y （填“>”或“<”或“=”）；13．一个不透明纸箱中装有形状．大小．质地等完全相同的7个小球，分别标有数字1、2、3、4、5、6、7，从中任意摸出一个小球，这个小球上的数字是奇数的概率是 ； 14．已知某班学生理化实验操作测试成绩的统计结果如下表：则这些学生成绩的众数是 分；15．如图，在梯形ABCD ∆中，E ．F 分别为腰AD ．BC 的中点，若3=DC m ，5=EF m ，则向量=AB （结果用m 表示）；16．若两圆的半径分别为cm 1和cm 5，圆心距为cm 4，则这两圆的位置关系是 ； 17．设正n 边形的半径为R ，边心距为r ，如果我们将rR的值称为正n 边形的“接近度”，那么正六边形的“接近度”是 （结果保留根号）； 18．已知ABC ∆中，5==AC AB ，6=BC （如图所示），将ABC ∆沿射线BC 方向平移m 个单位得到DEF ∆，顶点A ．B ．C 分别与D ．E ．F 对应，若以点A ．D ．E 为顶点的三角形是等腰三角形，且AE 为腰，则m 的值是 ；三．解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）先化简，再求值：4216442+÷-+-x x x x ，其中8=x ；成绩（分）4 5 6 7 8 9 10 人数12269119第21题图20．（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）已知一个二次函数的图像经过)10(-，A ．)51(，B ．)31(--，C 三点． （1）求这个二次函数的解析式；（2）用配方法．．．把这个函数的解析式化为k m x a y ++=2)(的形式；21．（本题满分10分）如图，在∆ABC 中，CD 是边AB 上的中线，B ∠是锐角，且22sin =B ，21tan =A ，22=BC ，求边AB 的长和CDB ∠cos 的值；22．（本题满分10分）社区敬老院需要600个环保包装盒，原计划由初三（1）班全体同学制作完成。
2015年上海各区中考数学二模压轴题24、25题图文解析
《2015年上海各区中考数学二模压轴题图文解析》目录2015年上海各区中考数学二模第24、25题例1 2015年宝山区嘉定区中考数学二模第24、25题图文解析/2例2 2015年奉贤区中考数学二模第24、25题图文解析/6例3 2015年虹口区中考数学二模第24、25题图文解析/10例4 2015年黄浦区中考数学二模第24、25题图文解析14例5 2015年金山区中考数学二模第24、25题图文解析/18例6 2015年静安区青浦区中考数学二模第24、25题图文解析/22例7 2015年闵行区中考数学二模第24、25题图文解析/26例8 2015年浦东新区中考数学二模第24、25题图文解析/30例9 2015年普陀区中考数学二模第24、25题图文解析34例10 2015年松江区中考数学二模第24、25题图文解析38例11 2015年徐汇区中考数学二模第24、25题图文解析42例12 2015年杨浦区中考数学二模第24、25题图文解析/46例13 2015年长宁区中考数学二模第24、25题图文解析/50例14 2015年崇明县中考数学二模第24、25题图文解析/54例15 2015年闸北区中考数学二模第24、25题图文解析/592015年上海各区中考数学二模第18题例1 2015年宝山区嘉定区中考数学二模第18题图文解析/63例2 2015年奉贤区中考数学二模第18题图文解析/64例3 2015年虹口区中考数学二模第18题图文解析/615例4 2015年黄浦区中考数学二模第18题图文解析/66例5 2015年金山区中考数学二模第18题图文解析/67例6 2015年静安区青浦区中考数学二模第18题图文解析/68例7 2015年闵行区中考数学二模第18题图文解析/69例8 2015年浦东新区中考数学二模第18题图文解析/70例9 2015年普陀区中考数学二模第18题图文解析/71例10 2015年松江区中考数学二模第18题图文解析/72例11 2015年徐汇区中考数学二模第18题图文解析/73例12 2015年杨浦区中考数学二模第18题图文解析/74例13 2015年长宁区中考数学二模第18题图文解析/75例14 2015年崇明县中考数学二模第18题图文解析/76例15 2015年闸北区中考数学二模第18题图文解析/77例 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，双曲线kyx=（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)．（1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15宝山嘉定24”，拖动点E在射线CB上运动，可以体验到，△ACE与△ACD相似，存在两种情况．思路点拨1．直线AD//BC，与坐标轴的夹角为45°．2．求△ABC的面积，一般用割补法．3．讨论△ACE与△ACD相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程．满分解答（1）将点A(2, m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2, 4)．将点A(2, 4)代入kyx=，得k＝8．（2）将点B(n, 2)，代入8yx=，得n＝4．所以点B的坐标为(4, 2)．设直线BC为y＝x＋b，代入点B(4, 2)，得b＝－2．所以点C的坐标为(0,－2)．由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,－2)，可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2，B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4．所以AB＝22，BC＝42，∠ABC＝90°．图22所以S△ABC＝12BA BC⋅＝122422⨯⨯＝8．（3）由A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,－2)，得AD＝22，AC＝210．由于∠DAC＋∠ACD＝45°，∠ACE＋∠ACD＝45°，所以∠DAC＝∠ACE．所以△ACE与△ACD相似，分两种情况：①如图3，当CE ADCA AC=时，CE＝AD＝22．此时△ACD≌△CAE，相似比为1．②如图4，当CE ACCA AD=时，21021022CE=．解得CE＝102．此时C、E两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E(10, 8)．图3 图4考点伸展第（2）题我们在计算△ABC的面积时，恰好△ABC是直角三角形．一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法．如图5，作△ABC的外接矩形HCNM，MN//y轴．由S矩形HCNM＝24，S△AHC＝6，S△AMB＝2，S△BCN＝8，得S△ABC＝8．图54例 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第25题在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，Rt △ABC 绕着点B 按顺时针方向旋转，使点C 落在斜边AB 上的点D ，设点A 旋转后与点E 重合，联结AE ．过点E 作直线EM 与射线CB 垂直，交点为M ．（1）若点M 与点B 重合（如图1），求cot ∠BAE 的值；（2）若点M 在边BC 上（如图2），设边长AC ＝x ，BM ＝y ，点M 与点B 不重合，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）若∠BAE ＝∠EBM ，求斜边AB 的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“15宝山嘉定25”，拖动点A 上下运动，可以体验到，△ABE 保持等腰三角形，∠BAE ＝∠EBM 按照点M 与点B 的位置关系存在两种情况． 思路点拨1．第（1）题的特殊性是∠DEB ＝∠CAB ＝∠EBD ，△EDB 是等腰直角三角形．2．第（1）题暗示了第（2）题中蕴含着三个等角，因此寻找相似三角形．3．第（3）题∠BAE ＝∠EBM 要分两种情况考虑，各有各的特殊性．满分解答（1）如图3，当点M 与点B 重合时，EB //AC ．所以∠CAB ＝∠EBD ．又因为旋转前后∠CAB ＝∠DEB ，所以∠EBD ＝∠DEB ．所以△EDB 和△ACB 是等腰直角三角形．已知BC ＝2，所以AC ＝2，AB ＝22． 在Rt △AED 中，ED ＝2，AD ＝222-，所以cot ∠BAE ＝AD ED＝2222-＝21-．图3 图4（2）在Rt △ABC 中，BC ＝2，AC ＝x ，所以AB ＝24x +． 如图4，设EM 与AB 交于点F ．由FM //AC ，得BM BF BC BA =，即224y BFx =+．所以BF ＝242y x +． 由于BD ＝BC ＝2，所以DF ＝2422y x +-． 由∠DEB ＝∠CAB ＝∠DFE ，∠EDB 是公共角，得△DEB ∽△DFE ．所以DE 2＝DF ·DB ，即2242(2)2y x x +=-．整理，得2244x y x -=+． 定义域是0＜x ＜2．（3）已知BA ＝BE ，所以∠BAE ＝∠BEA ．当∠BAE ＝∠EBM 时，∠BAE ＝∠BEA ＝∠EBM ．按照M 、B 的位置分两种情况： ①如图5，当M 在B 右侧时，由∠BEA ＝∠EBM ，得AE //CM ．此时∠BAE ＝∠ABC ．又已知∠ABC ＝∠EBD ，所以∠ABC ＝∠EBD ＝∠EBM ＝60°．在Rt △ABC 中，AB ＝2BC ＝4．②如图6，当M 在B 左侧时，在△BAE 中，∠BAE ＝∠BEA ＝2∠ABE ．所以∠ABE ＝36°，∠BAE ＝∠BEA ＝72°．延长EA 交BC 的延长线于G ，那么∠G ＝36°，AG ＝AB ，GE ＝GB ＝2CB ＝4． 由于点A 是GE 的黄金分割点，所以512AG GE -=．所以AB ＝AG ＝252-．图5 图6考点伸展第（3）题的第②种情况，我们直接应用了黄金分割数，也可以用相似比来解． 由∠BAE ＝∠BEA ＝∠MBE ，容易得到GB ＝GE ＝4，AG ＝AB ＝BE ．由△GBE ∽△BAE ，得到EB 2＝EA ·EG ．设AB ＝BE ＝m ．于是得到24(4)m m =-．整理，得m 2＋4m －16＝0．解得252m =．6例 2015年上海市奉贤区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋x 的对称轴为直线x ＝2，顶点为A ．（1）求抛物线的表达式及顶点A 的坐标；（2）点P 为抛物线对称轴上一点，联结OA 、OP ．①当OA ⊥OP 时，求OP 的长；②过点P 作OP 的垂线交对称轴右侧的抛物线于点B ，联结OB ，当∠OAP ＝∠OBP 时，求点B 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15奉贤24”，拖动点P 在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，△BNP ∽△PMO 保持不变，当∠OAP ＝∠OBP 时，△BOP ∽△AOH ． 思路点拨1．根据等角的余角相等，通过已知的等角寻找未知的等角．2．过直角顶点P 向坐标轴画垂线，可以构造相似的直角三角形，于是通过对应边成比例，可以列方程．满分解答（1）由抛物线的对称轴为122x a =-=，可得14a =-． 所以抛物线的表达式为2211(2)144y x x x =-+=--+． 顶点A 的坐标为(2, 1)．（2）①如图2，设AP 与x 轴交于点H ．由A (2, 1)，可得tan ∠OAH ＝2．当OA ⊥OP 时，∠POH ＝∠OAH ．所以tan ∠POH ＝PH OH＝2． 因此PH ＝2OH ＝4．所以OP ＝25． 图2②如图3，当∠OAP ＝∠OBP 时，tan ∠AOH ＝tan ∠BOP ．所以2PO HO PB HA==．如图4，过点P 作PM ⊥y 轴于M ，过点B 作x 轴的垂线交直线PM 于N ．由△OMP ∽△PNB ，得2OM MP PO PN NB BP===．所以OM ＝2PN ，MP ＝2NB ． 设21(,)4B x x x -+，P (2, n )，那么2(2)n x -=-，2122()4x x n =-+-． 将n ＝4－2x 代入2114x x n -+-=，整理，得x 2－12x ＋20＝0． 解得x ＝10，或x ＝2（B 与A 重合，舍去）．所以点B 的坐标为(10, －15)．图3 图4考点伸展如果应用四点共圆的知识，结合勾股定理，那么第（2）②题可以这样做：如图3，当∠OAP ＝∠OBP 时，A 、B 、P 、O 四点共圆．此时∠OAB ＝∠OPB ＝90°．所以OB 2＝OA 2＋AB 2．设21(,)4B x x x -+，那么22222211()5(2)(1)44x x x x x x ⎡⎤+-+=+-+-+-⎢⎥⎣⎦． 整理，得x 2－12x ＋20＝0．解得x ＝10，或x ＝2．所以B (10, －15)．例 2015年上海市奉贤区中考模拟第25题如图1，已知线段AB＝8，以A为圆心，5为半径作⊙A，点C在⊙A上，过点C作CD//AB 交⊙A于点D（点D在点C右侧），联结BC、AD．（1）若CD＝6，求四边形ABCD的面积；（2）设CD＝x，BC＝y，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（3）设BC的中点为M，AD的中点为N，线段MN交⊙A于点E，联结CE，当CD取何值时，CE//AD．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15奉贤25”，拖动点C在圆上运动，可以体验到，当CE//AD 时，四边形CEND是平行四边形，四边形CEAN是平行四边形，四边形CF AG是矩形．思路点拨1．已知△ABC的三边长分别为5，8，y，构造AB边上的高CK，那么CK为两个直角三角形的公共直角边，根据勾股定理列方程，可以得到y关于x的关系式．2．当CE//AD时，注意到CE与AN、DN的关系都是平行且相等．满分解答（1）如图2，过点A作AH⊥CD，垂足为H．在△ACD中，AC＝AD＝5，CD＝6，所以CH＝DH＝3．所以AH＝4．所以S梯形ABCD＝1()2CD AB AH+⨯＝1(68)42+⨯＝28．图2 图3（2）如图3，作CK⊥AB，垂足为K，那么四边形CKAH为矩形．在△ACD中，AC＝AD＝5，CH＝DH＝12 x．8在△ABC 中，BC ＝y ，AC ＝5，AK ＝12x ，BK ＝182x -． 由CK 2＝BC 2－BK 2＝AC 2－AK 2，得222211(8)5()22y x x --=-． 整理，得898y x =-．自变量x 的取值范围是0＜x ＜10．（3）如图4，已知MN 是梯形ABCD 的中位线，MN //CD ，当CE //AD 时，四边形CEND 是平行四边形，此时CE ＝DN ＝12AD ＝52． 由CE //NA ，CE ＝NA ，得四边形CEAN 是平行四边形．所以CN ＝EA ＝CA ＝5．作CG ⊥AN 于G ，那么AG ＝12AN ＝14AD ＝54．所以DG ＝515544-=． 在Rt △CAG 中，AG ＝54，CA ＝5，由勾股定理，得CG ＝5154． 在Rt △CDG 中，CG ＝5154，DG ＝154，由勾股定理，得CD ＝562．图4 图5考点伸展第（3）题还可以用相似比来解：如图5，设直线AE 与DC 的延长线交于点P ，与⊙A 交于点Q ，那么CE 是△P AD 的中位线，因此PC ＝CD ＝x ，PE ＝EA ＝AQ ＝5．由CE //DA ，得∠1＝∠3，∠2＝∠4．又因为∠1＝∠2，所以∠3＝∠4．于是可得∠Q ＝∠5＝∠6．由△PCE ∽△PQD ，得PC PQ PE PD =．所以1552x x =．解得562x = 由△PDA ∽△PQD ，得PD PQ PA PD =．所以215102x x =．解得562x =例 2015年上海市虹口区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c过A(－1,0)、B(3,0)、C(2, 3)三点，与y轴交于点D．（1）求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的对称轴；（2）分别联结AD、DC、CB，直线y＝4x＋m与线段DC交于点E，当此直线将四边形ABCD的面积平分时，求m的值；（3）设点F为该抛物线对称轴上一点，当以A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15虹口24”，拖动点P运动，可以体验到，经过梯形中位线的中点，并且与两底相交的直线平分梯形的面积．拖动点F在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，以A、B、C、F为顶点的梯形有3个．思路点拨1．已知抛物线与x轴的两个交点，设两点式比较简便．2．经过梯形中位线的中点，并且与两底相交的直线平分梯形的面积．3．过△ABC的3个顶点分别画对边的平行线，三条直线与抛物线的对称轴的3个交点，就是符合条件的点F．满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3,0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)．将点C(2, 3)代入，得3＝－3a．解得a＝－1．所以抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3.对称轴是直线x＝1．（2）如图2，由C(2, 3)、D(0, 3)，得CD//x轴．所以四边形ABCD是梯形．经过梯形中位线的中点，并且与两底相交的直线平分梯形的面积．梯形ABCD的中位线的中点为3(1,)2，将点3(1,)2代入y＝4x＋m，得m＝52．（3）符合条件的点F有3个，坐标分别为(1, 3)，(1,－2)，(1,－6)．10图2 图3考点伸展第（3）题这样解：过△ABC的3个顶点分别画对边的平行线，三条直线与抛物线的对称轴的3个交点，就是符合条件的点F．①如图3，当CF//AB时，点F的坐标是(1, 3)．②如图4，当BF//AC时，由tan∠CAM＝tan∠FBH，得CM FHAM BH=．所以332FH=．解得FH＝2．此时点F的坐标为(1,－2)．③如图5，当AF//CB时，由tan∠CBM＝tan∠F AH，得CM FHBM AH=．所以312FH=．解得FH＝6．此时点F的坐标为(1,－6)．图4 图512例 2015年上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13，CD //AB ，点E 为射线CD 上一动点（不与点C 重合），联结AE 交边BC 于F ，∠BAE 的平分线交BC 于点G ．（1）当CE ＝3时，求S △CEF ∶S △CAF 的值；（2）设CE ＝x ，AE ＝y ，当CG ＝2GB 时，求y 与x 之间的函数关系式；（3）当AC ＝5时，联结EG ，若△AEG 为直角三角形，求BG 的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“15虹口25”，拖动直角顶点C 运动，可以体验到，CG ＝2GB 保持不变，△ABC 的形状在改变，EA ＝EM 保持不变．点击屏幕左下角的按钮“第（3）题”，拖动E 在射线CD 上运动，可以体验到，△AEG 可以两次成为直角三角形． 思路点拨1．第（1）题中的△CEF 和△CAF 是同高三角形，面积比等于底边的比．2．第（2）题中的△ABC 是斜边为定值的形状不确定的直角三角形．3．第（3）题中的直角三角形AEG 分两种情况讨论．满分解答（1）如图2，由CE //AB ，得313EF CE AF BA ==． 由于△CEF 与△CAF 是同高三角形，所以S △CEF ∶S △CAF ＝3∶13．（2）如图3，延长AG 交射线CD 于M ． 图2由CM //AB ，得2CM CG AB BG==．所以CM ＝2AB ＝26． 由CM //AB ，得∠EMA ＝∠BAM ．又因为AM 平分∠BAE ，所以∠BAM ＝∠EAM ．所以∠EMA ＝∠EAM ．所以y ＝EA ＝EM ＝26－x ．图3 图4（3）在Rt△ABC中，AB＝13，AC＝5，所以BC＝12．①如图4，当∠AGE＝90°时，延长EG交AB于N，那么△AGE≌△AGN．所以G是EN的中点．所以G是BC的中点，BG＝6．②如图5，当∠AEG＝90°时，由△CAF∽△EGF，得FC FA FE FG=．由CE//AB，得FC FB FE FA=．所以FA FBFG FA=．又因为∠AFG＝∠BF A，所以△AFG∽△BF A．所以∠F AG＝∠B．所以∠GAB＝∠B．所以GA＝GB．作GH⊥AH，那么BH＝AH＝132．在Rt△GBH中，由cos∠B＝BHBG，得BG＝132÷1213＝16924．图5 图6考点伸展第（3）题的第②种情况，当∠AEG＝90°时的核心问题是说理GA＝GB．如果用四点共圆，那么很容易．如图6，由A、C、E、G四点共圆，直接得到∠2＝∠4．上海版教材不学习四点共圆，比较麻烦一点的思路还有：如图7，当∠AEG＝90°时，设AG的中点为P，那么PC和PE分别是Rt△ACG和Rt △AEG斜边上的中线，所以PC＝PE＝P A＝PG．所以∠1＝2∠2，∠3＝2∠5．如图8，在等腰△PCE中，∠CPE＝180°－2(∠4＋∠5)，又因为∠CPE＝180°－(∠1＋∠3)，所以∠1＋∠3＝2(∠4＋∠5)．所以∠1＝2∠4．所以∠2＝∠4＝∠B．所以∠GAB＝∠B．所以GA＝GB．图7 图814例 2015年上海市黄浦区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(a , 3)（其中a ＞4），射线OA 与反比例函数12y x =的图像交于点P ，点B 、C 分别在函数12y x =的图像上，且AB //x 轴，AC //y 轴．（1）当点P 的横坐标为6时，求直线AO 的表达式；（2）联结BO ，当AB ＝BO 时，求点A 的坐标；（3）联结BP 、CP ，试猜想ABP ACP S S △△的值是否随a 的变化而变化？如果不变，求出ABPACPS S △△的值；如果变化，请说明理由．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15黄浦24”，拖动点A 在点B 右侧运动，观察度量值，可以体验到，△ABP 与△ACP 的面积保持相等．事实上，四边形ABDC 是矩形，△ABP 与△ACP 是同底等高的两个三角形．思路点拨1．点B 是确定的，点C 、P 随点A 的改变而改变．2．已知a ＞4隐含了点A 在点B 的右侧这个条件．满分解答（1）如图1，当x ＝6时，12y x=＝2．所以点P 的坐标为(6, 2)． 由O (0, 0)、P (6, 2)，得直线AO 的解析式为13y x =． （2）如图2，因为AB //x 轴，A (a , 3)，所以点B 的纵坐标为3．又因为点B 在反比例函数12y x=的图像上，所以B (4, 3)．因此OB ＝5． 所以当AB ＝BO ＝5时，点A 的坐标为(9, 3)．（3）如图3，过点B 向x 轴作垂线交OA 于点D ，联结CD ．由于直线OA 的解析式为3y x a =，所以点D 的坐标为12(4)a，．由于AC //y 轴，所以点C 的坐标为12()a a ，． 所以CD //x 轴．因此四边形ABDC 是矩形． 所以点B 、C 到对角线AP 的距离相等．因此△ABP 与△ACP 是同底等高的两个三角形，它们的面积相等．所以ABP ACPS S △△＝1．图2 图3考点伸展第（3）题也可以这样说理：如图3，ABP ABD S S △△＝AP AD ，ACP ACD S S △△＝AP AD，而S △ABD ＝S △ACD ，所以ABP ACP S S △△＝1． 第（3）题还可以计算说理：如图4，作PM ⊥AB 于M ，作PN ⊥AC 于N ．设点P 的坐标为12()m m ，．将点P 12()m m，代入直线OA 的解析式3y x a=，可以得到24m a =． 于是，由A (a , 3)、B (4, 3)、C 12()a a ，、P 12()m m，，可得 S △ABP ＝12AB PM ⋅＝112(4)(3)2a m --＝3416(4)2a a m m--+＝2316(4)24m m m --+， S △ACP ＝12AC PN ⋅＝112(3)()2a m a --＝34(4)2m a m a--+＝2316(4)24m m m --+． 所以S △ABP ＝S △ACP ．而事实上，如图5，由于S 1＝S 2，所以S △ABO ＝S △ACO ．所以B 、C 到AO 的距离相等．于是△ABP 与△ACP 就是同底等高的三角形．图4 图5例 2015年上海市黄浦区中考模拟第25题如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，CD是斜边AB上的高，点E 为边AC上一点（点E不与点A、C重合），联结DE，作CF⊥DE，CF与边AB、线段DE 分别交于点F、G．（1）求线段CD、AD的长；（2）设CE＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结EF，当△EFG与△CDG相似时，求线段CE的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“15黄浦25”，拖动点E在AC边上运动，可以体验到，△EFG 与△CDG相似存在两种情况．一种情况是FC垂直平分DE，另一种情况是EF⊥AB．思路点拨1．图形中的垂直关系较多，因此互余的角较多，相等的角较多．把相等的角都标注出来，便于分析题意．2．求y关于x的函数关系式，设法构造相似三角形．3．△EFG与△CDG都是直角三角形，分两种情况讨论相似．按照对应的锐角相等，可以推出相似时的特殊的位置关系．满分解答（1）在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，所以AB＝4，AC＝23．在Rt△ACD中，∠A ＝30°，AC＝23，所以CD＝3，AD＝3．（2）如图2，∠CDE与∠BFC都是∠EDF的余角，所以∠CDE＝∠BFC．又因为∠DCE＝∠B＝60°，所以△CDE∽△BFD．所以CD BFCE BC=，即312yx+=．整理，得23xyx-=．定义域是32≤x＜23．图2（3）△EFG与△CDG都是直角三角形，分两种情况讨论相似：①如图3，当∠FEG＝∠DCG时，由于∠FDG＝∠DCG，所以∠FEG＝∠FDG．因此FE＝FD．所以FC垂直平分DE．此时CE＝CD＝3．16②如图4，当∠FEG＝∠CDG时，EF//CD．此时EF⊥AB．作EH⊥CD于H，那么四边形EFDH是矩形，DF＝HE．所以y＝32x．解2332xxx-=，得3393x-±=．此时3933CE-=．图3 图4考点伸展第（2）题也可以这样思考：如图5，过点E作EH⊥CD，垂足为H．在Rt△CEH中，∠CEH＝30°，CE＝x，所以CH＝12x，EH＝32x．如图6，由tan∠DEH＝tan∠DCF，得13(3)::322x x y-=．整理，得23xyx-=．图5 图6 图7 第（2）题还可以如图6这样，过点C作AB的平行线交DE的延长线于M．由tan∠M＝tan∠DCF，得CD DFCM DC=．所以CM＝23CDDF y=．由MC//AD，得CM CEAD AE=．所以323xCMx=-．由3323xy x=-，得23xyx-=．定义域的两个临界值，如图8，CE＝12CD＝32；如图9，CE＝CA＝23．图8 图9例 2015年上海市金山区中考模拟第24题已知抛物线y＝ax2＋bx－8（a≠0）经过A(－2,0)、B(4, 0)两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线y＝ax2＋bx－8（a≠0）的解析式，并求出顶点P的坐标；（2）求∠APB的正弦值；（3）直线y＝kx＋2 与y轴交于点N，与直线AC的交点为M，当△MNC与△AOC相似时，求点M的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15金山24”，拖动点M在AC上运动，可以体验到，△MNC 与△AOC相似存在两种情况．思路点拨1．用面积法求等腰三角形P AB的腰上的高，进而可以求顶角的正弦值．2．探求△MNC与△AOC相似，可以转化为探求直角三角形MNC．满分解答（1）因为抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A(－2,0)、B(4, 0)两点，设y＝a(x＋2)(x－4)＝ax2－2ax－8a．所以－8a＝－8．解得a＝1．所以y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9．所以顶点P的坐标为(1,－9)．（2）如图2，由A(－2,0)、B(4, 0)、P(1,－9)，得AB＝6，PB＝P A＝310．作PG⊥AB，AH⊥PB，垂足分别为G、H．由S△P AB＝1122AB PG PB AH⋅=⋅，得699105310AB PGAHPB⋅⨯===．在Rt△APH中，sin∠APB＝910331055AHPA=÷=．图2 （3）由y＝kx＋2，得点N的坐标为(0, 2)．由A(－2,0)、C(0, －8)，得直线AC的解析式为y＝－4x－8．因为△MNC与△AOC有公共的锐角∠ACO，所以分两种情况讨论相似：18①如图3，当∠MNC＝90°时，14NM OANC OC==．所以1105442NM NC===．此时点M的坐标为5(,2)2-．②如图4，当∠NMC＝90°时，过点M作x轴的垂线，过点N、C分别作y轴的垂线，构造直角三角形NEM和直角三角形MFC，那么△NEM∽△MFC．所以EN FM EM FC=．设点M的坐标为(x, －4x－8)，那么(48)(8)2(48)x xx x-----=----．解得4017x=-．此时点M的坐标为4024(,)1717-．图3 图4 图5考点伸展第（3）题也可以这样解：①如图3，当∠MNC＝90°时，MN//x轴，所以y M＝2．解方程－4x－8＝2，得52x=-．此时点M的坐标为5(,2)2-．②如图5，当∠NMC＝90°时，设直线NM交x轴于K，那么△NOK≌△AOC．所以OK＝OC＝8．所以直线NM的解析式为124y x=+．联立y＝－4x－8和124y x=+，解得4017x=-，2417y=．此时M4024(,)1717-．例 2015年上海市金山区中考模拟第25题如图1，已知在△ABC中，AB＝AC＝10，tan∠B＝43．（1）求BC的长；（2）点D、E 分别是AB、AC的中点，不重合的两动点M、N在边BC上（点M、N不与点B、C重合），且点N始终在点M的右边，联结DN、EM交于点O．设MN＝x，四边形ADOE的面积为y．①求y与x的函数关系式，并写出定义域；②当△OMN是等腰三角形且BM＝1时，求MN的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“15金山25”，拖动点N在MC上运动，可以体验到，等腰三角形OMN存在两种情况．思路点拨1．把四边形ADOE分割为△ADE和△DOE，△DOE与△NOM是相似的．2．分三种情况讨论等腰三角形OMN，其中NM＝NO是不存在的．满分解答（1）如图2，作AF⊥BC，垂足为F．在Rt△ABF中，AB＝10，tan∠B＝43，设BF＝3m，AF＝4m，那么AB＝5m．所以5m＝10．解得m＝2．所以BF＝6，AF＝8．因为AB＝AC，AF⊥BC，所以BC＝2BF＝12．图2（2）①如图3，S△ABC＝1112848 22BC AF⋅=⨯⨯=．因为DE是△ABC的中位线，所以DE＝12BC＝6，S△ADE＝14S△ABC＝12．过点O作BC的垂线，垂足为H，交DE于G，那么GH＝12AF＝4．由DE//BC，得DE GONM HO=，即64GOx GO=-．所以246GOx=+．因此S△DOE＝11247262266 DE GOx x⋅=⨯⨯=++．所以y＝S四边形ADOE＝S△ADE＋S△DOE＝7212144 1266xx x++=++．定义域是0＜x＜12．②如图4，作EQ⊥BC，垂足为Q．在Rt△ECQ中，EC＝5，所以EQ＝4，CQ＝3．20在Rt△EMQ中，MQ＝11－3＝8，EQ＝4，所以EM＝45．如图5，在Rt△DMP中，DP＝4，MP＝3－1＝2，所以DM＝25．图3 图4 图5 因为△OMN∽△OED，所以讨论等腰△OMN可以转化为讨论等腰△OED．（I）如图6，当OM＝ON时，OE＝OD．此时点O在ED的垂直平分线上．所以BN＝CM＝11．此时MN＝22－12＝10．．（II）如图7，当MO＝MN时，EO＝ED＝6．此时MN＝MO＝45x（III）如果NM＝NO，那么DO＝DE＝6．如图8，因为DM＝25＜6，所以以D为圆心，DE为半径的⊙D与线段ME只有一个交点E，因此不存在NM＝NO的情况．图6 图7 图8考点伸展我们把图8局部放大，如图9，⊙D与直线ME的两个交点为E、O，此时点O在EM的延长线上，点N与点B重合，在点M的左侧，NO＝NM．图922例 2015年上海市静安区青浦区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax ＋c 与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，它的对称轴与x 轴交于点C ，且∠OBC ＝∠OAB ，AC ＝3．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点D 在此抛物线上，DF ⊥OA ，垂足为F ，DF 与线段AB 相交于点G ，且32ADG AFG S S =△△，求点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15静安青浦24”，拖动点D 在抛物线上运动，观察度量值，可以体验到，DG 与GF 的比值可以等于1.5，此时点D 的横坐标为3．思路点拨1．抛物线的解析式中待定两个系数，需要代入A 、B 两点的坐标列方程组．2．△ADG 与△AFG 是同高三角形，面积比等于对应的底边的比．3．把DG ∶GF ＝3∶2转化为GF ∶DF ＝2∶5，运算就简便一些．满分解答（1）由y ＝ax 2－2ax ＋c ，得抛物线的对称轴是直线x ＝1．因为AC ＝3，所以点A 的坐标为(4,0)．如图2，由∠OBC ＝∠OAB ，∠BOC ＝∠AOB ，得△BOC ∽△AOB ．于是可得OB 2＝OC ·OA ＝4．所以OB ＝2，B (0, 2)．将A (4,0)、B (0, 2)分别代入y ＝ax 2－2ax ＋c ，得1680,2.a a c c -+=⎧⎨=⎩ 解得14a =-，c ＝2．所以抛物线的表达式是211242y x x =-++．图2 图3（2）如图3，因为△ADG 与△AFG 是同高三角形，所以32ADG AFG S DG S GF ==△△． 所以25GF DF =． 由A (4,0)、B (0, 2)，得直线AB 的解析式为122y x =-+． 设D 211(,2)42x x x -++，G 1(,2)2x x -+，那么21222115242x x x -+=-++ 解得x ＝3，或x ＝4（与A 重合，舍去）．所以点D 的坐标是5(3,)4． 考点伸展第（2）题凭直觉，△ADG 的面积总要比△AFG 的面积小，但是32ADG AFG S S =△△确实是有解的． 我们分析一下方程21222115242x x x -+=-++，等号左边是可以化简、约分的． 因为1(4)222125(2)(4)4x x x x --==+-+-，所以原分式方程总有一个增根x ＝4，另一个就是一元一次方程的根．24例 2015年上海市静安区青浦区中考模拟第25题 在⊙O 中，OC ⊥弦AB ，垂足为C ，点D 在⊙O 上．（1）如图1，已知OA ＝5，AB ＝6，如果OD //AB ，CD 与半径OB 相交于点E ，求DE 的长；（2）已知OA ＝5，AB ＝6（如图2），如果射线OD 与AB 的延长线相交于点F ，且 △OCD 是等腰三角形，求AF 的长；（3）如果OD //AB ，CD ⊥OB ，垂足为E ，求sin ∠ODC 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15静安青浦25”，拖动点C 运动，观察度量值，可以体验到，当CD ⊥OB 时，sin ∠ODC 的值就是黄金分割数啊．思路点拨1．反反复复的勾股定理和三角比的运算，要仔细哦．2．第（2）题等腰三角形OCD 只存在两种情况，因为OC ＜OD ．3．第（3）题中的所有直角三角形都是相似的．怎样简化错综复杂的线段间的关系呢？设⊙的半径为1，设sin ∠ODC ＝x ，然后把其他线段用x 表示出来．这个设法不多见哦． 满分解答（1）如图2，因为弦心距OC ⊥弦AB ，所以OC 平分AB ．在Rt △OAC 中，OA ＝5，AC ＝3，所以OC ＝4．在Rt △OCD 中，OC ＝4，OD ＝5，所以DC ＝224541+=．由OD//CB ，得53DE OD CE BC ==．所以554188DE DC ==．图2 图3 图4（2）因为OC ＜OD ，所以等腰三角形OCD 存在两种情况：①如图3，当DO ＝DC 时，作DH ⊥OC ，那么DH 是△OCF 的中位线．在Rt △ODH 中，OD ＝5，OH ＝2，所以DH ＝225221-=． 所以FC ＝2DH ＝221．此时AF ＝AC ＋FC ＝3221+．②如图4，当CO ＝CD 时，作CM ⊥OD ，那么CM 平分OD ．在Rt △OCM 中，OC ＝4，OM ＝12OD ＝52，所以CM ＝22539422⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 由tan ∠COF ＝CM FC OM OC=，得3954394225CM OC FC OM ⋅==⨯÷=． 此时AF ＝AC ＋FC ＝43935+． （3）设⊙O 的半径为1，设sin ∠ODC ＝x ．如果OD //AB ，CD ⊥OB ，那么∠COD ＝90°，∠ODC ＝∠BOC ．如图5，在Rt △ODE 中，由sin ∠ODC ＝OE OD＝x ，得OE ＝x ． 如图6，在Rt △OBC 中，由sin ∠BOC ＝BC OB＝x ，得BC ＝x ． 如图7，由OD //CB ，得OD OE BC BE =．所以11x x x =-． 整理，得x 2＋x －1＝0．解得152x -±=．所以sin ∠ODC ＝512-．图5 图6 图7考点伸展看到第（3）题的结果，不由得想起了黄金分割数，那么图形中的黄金分割点在哪里？ 如图7，因为51DE OE OE DC OB OD -===，所以点E 是线段OB 的黄金分割点，点E 也是线段CD 的黄金分割点．26例 2015年上海市闵行区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax －4与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为(－3,0)，点D 在线段AB 上，AD ＝AC ．（1）求这条抛物线的解析式，并求出抛物线的对称轴；（2）如果以DB 为半径的⊙D 与⊙C 外切，求⊙C 的半径；（3）设点M 在线段AB 上，点N 在线段BC 上，如果线段MN 被直线CD 垂直平分，求BN CN的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“15闵行24”，拖动点N 在BC 上运动，可以体验到，当DC 垂直平分MN 时，∠NDC ＝∠ADC ＝∠ACD ，此时DN //AC ．思路点拨1．准确描绘A 、B 、C 、D 的位置，把相等的角标注出来，利于寻找等量关系．2．第（3）题在图形中模拟比划MN 的位置，近似DC 垂直平分MN 时，把新产生的等角与前面存在的等角对比，思路就有了．满分解答（1）将点A (－3,0)代入y ＝ax 2－2ax －4，得15a －4＝0．解得415a =．所以抛物线的解析式为24841515y x x =--． 抛物线的对称轴为直线x ＝1． （2）由24844(3)(5)151515y x x x x =--=+-，得B (5, 0)，C (0,－4)． 由A (－3,0)、B (5, 0)、C (0,－4)，得 AB ＝8，AC ＝5．当AD ＝AC ＝5时，⊙D 的半径DB ＝3．由D (2, 0)、C (0,－4)，得DC ＝25因此当⊙D 与⊙C 外切时，⊙C 的半径为253（如图2所示）．（3）如图3，因为AD ＝AC ，所以∠ACD ＝∠ADC ．如果线段MN 被直线CD 垂直平分，那么∠ADC ＝∠NDC ．这时∠ACD＝∠NDC．所以DN//AC．于是35BN BDCN AD==．图2 图3考点伸展解第（3）题画示意图的时候，容易误入歧途，以为M就是点O．这是为什么呢？我们反过来计算：当DN//AC，35BNCN=时，38DNAC=，因此DM＝DN＝31588AC=．而DO＝2，你看M、O相距是多么的近啊．放大还原事实的真相，如图4所示．图4例 2015年上海市闵行区中考模拟第25题如图1，已知梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝5，AD＝4．M、N分别是边AD、BC 上的任意一点，联结AN、DN．点E、F分别在线段AN、DN上，且ME//DN，MF//AN，联结EF．（1）如图2，如果EF//BC，求EF的长；（2）如果四边形MENF的面积是△AND 面积的38，求AM的长；（3）如果BC＝10，试探求△ABN、△AND、△DNC能否两两相似？如果能，求AN的长；如果不能，请说明理由．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“15闵行25”，拖动点M在AD上运动，可以体验到，当EF//BC 时，EF是△AND的中位线．还可以体验到，当N是BC的中点时，△ABN、△AND和△DNC 是三个底角相等的等腰三角形．思路点拨1．由平行四边形MENF和平行四边形AEFM，可以得到E是AN的中点．2．第（2）题把四边形MENF与△AND的面积比，转化为△AEM与△MFD的和与△AND的面积比．再根据相似三角形的面积比等于对应边的比的平方列方程．3．第（3）题先探求两个三角形相似，再验证是否与第三个三角形相似．满分解答（1）如图3，由ME//DN，MF//AN，得四边形MENF是平行四边形．所以MF＝EN．如果EF//BC，那么四边形AEFM是平行四边形．所以MF＝AE．所以E是AN的中点．同理F是DN的中点．所以EF是△AND的中位线，此时EF＝12AD＝2．图3 图4 （2）如图4，设AM的长为x．28由ME //DF ，得224AEM AND S AM x S AD ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△． 由MF //AN ，得2244MFD AND S DM x S AD -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△． 所以22(4)16AEM MFD AND S S x x S ++-=△△△． 如果四边形MENF 的面积是△AND 面积的38，那么22(4)5=168x x +-． 整理，得x 2－4x ＋3＝0．解得x ＝1，或x ＝3．（3）如图5，在等腰梯形ABCD 中，保持AB ＝DC ，∠B ＝∠C ，∠1＝∠2，∠3＝∠4． 在△ABN 、△AND 、△DNC 中，保持不变的是∠B ＝∠C ．因此△ABN 与△DCN 相似时，存在两种可能：①如果=BA CD BN CN，那么BN ＝CN ．所以N 是BC 的中点． ②如果=BA CN BN CD ，那么510=5BN BN -．解得BN ＝5．所以N 也是BC 的中点． 当点N 是BC 的中点时，△ABN 与△DCN 是两个全等的等腰三角形．此时△AND 也是等腰三角形，∠1＝∠2＝∠4＝∠3．因此△ABN 、△AND 、△DNC 两两相似．由=AB AN AN AD ，得5=4AN AN ．所以=25AN ．图5考点伸展有一种传说叫做数学典型题．这道题目里的3个题目，都是典型图，都有典型结论． 如图3，联结三角形三边中点得到的三角形与原三角形相似，而且与其它三个小三角形全等．第（3）题可以推广为：如果等腰梯形ABCD 的下底BC 等于腰长的2倍，N 是下底BC 的中点，那么△ABN ∽△NCD ∽AND ．。
上海中考各区二模数学试题及答案汇总
2014学年虹口区调研测试九年级数学。
（满分分，考试时间分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效;3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共题,每题分，满分分)．计算的结果是（）．；．；．; ．．．下列代数式中，的一个有理化因式是( )．; ．；．；．．．不等式组的解集是( ）．; ．；．；．．．下列事件中，是确定事件的是（ )．上海明天会下雨；．将要过马路时恰好遇到红灯；．有人把石头孵成了小鸭；．冬天,盆里的水结成了冰．．下列多边形中，中心角等于内角的是（）．正三角形；．正四边形; ．正六边形；．正八边形．．下列命题中,真命题是（）．有两边和一角对应相等的两个三角形全等；．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等；．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．二、填空题:（本大题共题，每题分，满分分）．据报道,截止年月某市网名规模达人。
请将数据用科学记数法表示为。
．分解因式：。
．如果关于的方程有两个相等的实数根,那么。
．方程的根是。
初三数学基础考试卷—1—初三数学基础考试卷—2—（第题图） （第题图） （第题图）（第题图）．函数的定义域是 。
．在反比例函数的图像所在的每个象限中,如果函数值随自变量的值的增大而增大，那么常数的取值范围是 。
．为了了解某中学学生的上学方式，从该校全体学生名中，随机抽查了名学生,结果显示有名学生“步行上学”.由此，估计该校全体学生中约有 名学生“步行上学"。
．在中，，点是的重心，如果，那么斜边的长等于 。
．如图，在中,点、分别在边、上，∥，，若，，则 。
．如图,、的半径分别为、,圆心距为.将由图示位置沿直线向右平移，当该圆与内切时，平移的距离是 .．定义为函数的“特征数".如:函数“特征数”是，函数“特征数"是.如果将“特征数”是的函数图像向下平移个单位，得到一个新函数图像,那么这个新函数的解析式是 。
虹口区中考二模数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列各数中，不是有理数的是（）A. 3.14B. √9C. -2D. √22. 若a=3，b=-2，则下列等式中不成立的是（）A. a+b=1B. a-b=5C. a×b=-6D. a÷b=-1.53. 已知函数f(x)=2x+1，若f(2)=7，则f(x)的图象是（）A.B.C.D.4. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴的对称点是（）A.（-2，3）B.（2，-3）C.（-2，-3）D.（2，3）5. 下列各式中，正确的是（）A. a²+b²=c²B. (a+b)²=a²+2ab+b²C. (a-b)²=a²-2ab+b²D. (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³6. 已知等差数列{an}的前三项分别为2，5，8，则该数列的通项公式为（）A. an=3n-1B. an=3n+1C. an=3nD. an=3n²7. 在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数为（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°8. 若a，b，c是△ABC的三边，且满足a²+b²=c²，则△ABC是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形9. 已知二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向上，且顶点坐标为（-1，2），则下列结论正确的是（）A. a>0，b<0，c>0B. a>0，b>0，c<0C. a<0，b<0，c>0D. a<0，b>0，c<010. 下列关于函数y=2x-1的描述正确的是（）A. 图象是一条斜率为2的直线B. 图象是一条斜率为-1的直线C. 图象是一条斜率为2的平行线D. 图象是一条斜率为-1的平行线二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）11. 若a=2，b=-3，则a²+b²的值为______。
上海市虹口区2015年中考一模(即期末)数学试题
2014学年度第一学期期终教学质量监控测试初三数学 试卷（满分150分，考试时间100分钟） 2015.1一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．] 1．在Rt △ABC 中，，AC=5，BC=13，那么的值是 A ． ； B ．； C ．； D ．． 2．二次函数（a 为常数）的图像如图所示，则的取值范围为 A ． ； B ．； C ．； D ．． 3．已知点，均在抛物线上，下列说法中，正确的是 A ．若，则； B ．若，则； C ．若，则； D ．若，则．4．如图，如果∠BAD =∠CAE ，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC ∽△ADE 的是 A ．∠B =∠D ； B ．∠C =∠AED ； C ．； D ．．5．A ．与是相等向量；B ．与是平行向量；C ．与方向相同，长度不同；D ．与方向相反，长度相同． 6．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，若， 则的值为 A ．； B ．； C ．； D ．．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置] 7．若，则 ▲ .8．抛物线与y 轴交点的坐标为 ▲ ．9．抛物线向左平移2个单位得到的抛物线表达式为 ▲ ． 10．若抛物线的对称轴是直线，则 ▲ . 11．请你写出一个．．b 的值，使得函数，在时，y 的值随着x 的值增大而增大，则b 可以是 ▲ .12．在以O 为坐标原点的直角坐标平面内有一点A （2，4），如果AO 与x 轴正半轴的夹角为，那么= ▲ ．13．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，它们依次交直线、于点A 、D 、F 和点B 、C 、E ，如果AD =6，DF =3，BC =5，那么BE = ▲ ．A B C E D 第4题图 AB C E D 第6题图O A D EGCED14．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ， BD=2AD ，设，，用向量、表示向量DE = ▲ ．15．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，点G 是△ABC 的重心，如果AC=， AG =2，那么AB= ▲ ．16．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，sin B =，BC =13，AD =12，则tan C 的值 ▲ ． 17．如图，如果△ABC 与△DEF 都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），那么的值为 ▲ ．18．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，联结DE ，F 为线段DE上一点，且∠AFE ＝∠B ．若AB ＝5，AD ＝8，AE ＝4，则AF 的长为 ▲ ．三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：． 20．（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）（1（2）用配方法求出该二次函数图像的顶点坐标和对称轴． 21．（本题满分10分）如图，在△ABC 中，点D 在边AC 上，AE 分别交线段BD 、边BC 于点F 、G ，∠1=∠2，． 求证：．C 第16题图 DB AC 第18题图A B FE C A B 第17题图 E DFG C A EF B 第23题图 22．（本题满分10分）如图，高压电线杆AB 垂直地面，测得电线杆AB 的底部A 到斜坡底C 的水平距离AC 长为15.2米，落在斜坡上的电线杆的影长CD 为5.2米，在D 点处测得电线杆顶B 的仰角为37°．已知斜坡CD 的坡比，求该电线杆AB 的高．（参考数据：sin37°=0.6）23．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）如图，在Rt △CAB 与Rt △CEF 中，∠ACB=∠FCE=90°，∠CAB=∠CFE ，AC 与EF 相交于点G ，BC =15，AC=20． （1）求证：∠CEF =∠CAF ； （2）若AE =7，求AF 的长．24．（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（1）小题满分5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 的坐标分别为（2，0）、（3，），二次函数的图像为．（1）向上平移抛物线，使平移后的抛物线经过点A ，求抛物线的表达式；（2）平移抛物线，使平移后的抛物线经过A 、B 两点，抛物线与y 轴交于点D ，求抛物线的表达式以及点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，记OD 中点为E ，点P 为抛物线对称轴上一点，当△ABP 与 △ADE 相似时，求点P 的坐标．第22题图25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分6分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，AB=CD ，AD =6，BC=24，，点P 在边BC 上，BP =8，点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，且∠EPF =∠B ．过点F 作FG ⊥PE 交线段PE 于点G ，设BE ＝x ，FG ＝y ． （1）求AB 的长；（2）当EP ⊥BC 时，求y 的值；（3）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围.参考答案：1——6：A B D C B D 7：－128：(0，3) 9：y ＝（x ＋2）2＋2 10：m=8 11： 1（答案不唯一） 1213、7.5 14、13（b －a ） 1516：3 17：2 18、1920：（1）y ＝－x 2－4x －1；（2），顶点坐标：（－2,3）；对称轴：x=－2 21：F P E C A B G第25题图D 备用图3证明：∵AF EF =DFBF∴AD ∥EB ，∠1=∠3又∵∠1=∠2∴∠2=∠3在△FBG 和△FEB 中∠2=∠3∠BFG=∠EFB △FBG ∽△FEB BF 2=FG∙EF第21题图21GFDABCE22：解：作DH ⊥AB ，CM ⊥HD ，垂足分别为H 、M 在Rt △CDM 中，CM:MD=1：2.4=10：24=5:12MD=5.2×1213=5210×1213=245=4.8CM=5.2×513=5210×513=2HM=AC=15.2HD=15.2+4.8=20在Rt △BHD 中设BH=0.6x ，BD=x ，HD=x 2－0.36x 2=0.8x=20x=25，BH=0.6×25=15AB=BH+HA=15+2=17答：电线杆AB 的高约为17米。
上海市虹口区年中考数学二模考试含答案
上海市虹口区年中考数学二模考试含答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：虹口区2017学年度第二学期期中教学质量监控测试初三数学 试卷（满分150分，考试时间100分钟）2017.4考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．]1．下列各数中，2的倒数是A ．2 ；B ．-2；C ．12；D . 12-.2．下列根式中，与18互为同类二次根式的是 A ．2； B ．3； C ．5； D ．6. 3．已知点111(,)P x y 、222(,)P x y 在双曲线3y x=上，下列说法中，正确的是 A ．若12x x >，则12y y >； B ．若12x x >，则12y y <；C ．若120x x >>，则12y y >；D ．若120x x >>，则12y y <.4．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的10名运动员的成绩如下表所示：成绩（米） 1.50 1.60 1.65 1.70 人数1234这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是A ．1.65，1.70；B ．1.65，1.65；C ．1.675，1.70；D ．1.625，1.70．5．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，如果AO : AC =2 : 5， 那么:AOD BOC S S 为 A ．4 : 25； B ．4 : 9； C ．2 : 5； D ．2 : 3． 6．下列命题中，真命题是A ．对角线互相平分的四边形是矩形；B ．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形；C ．对角线互相平分且相等的四边形是矩形；D ．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]A BCDO 第5① ②7．计算：3()a -= ▲ .8．不等式40x -+<的解集是 ▲ .9．如果一元二次方程240x x m ++=没有实数根，那么m 的取值范围是 ▲ ． 10．方程34x x +=的解为 ▲ ． 11．直线2y x =-+不经过第 ▲ 象限．12．如果将抛物线22y x =向右平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 ▲ ． 13. 一副52张的扑克牌（无大王、小王），从中任意取出一张牌，抽到K 的概率是 ▲ ． 14. 为了支援地震灾区同学，某校开展捐书活动，九（1）班同学积极参与．现将捐书数量绘制成频数分布直方图（如图所示），如果捐书数量在3.5～4.5组别的频率是0.3，那么捐书数量在4.5～5.5组别的人数是 ▲ ．15．边心距为4的正三角形的边长为 ▲ ．16．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD =2BD ，如果AB a =，AC b =，那么DE = ▲ （用a 、b 表示）．17．定义：如图，点P 、Q 把线段AB 分割成线段AP 、PQ 和BQ ，若以AP 、PQ 、BQ 为边的三角形是一个直角三角形，则称点P 、Q 是线段AB 的勾股分割点．已知点P 、Q 是线段AB 的勾股分割点，如果AP =4，PQ =6（PQ >BQ ），那么BQ = ▲ ． 18．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB ＝10，4sin 5B =，点 D 在斜边AB 上，把△ACD 沿直线CD 翻折，使得点A 落在同一平面内的A ′处，当A ′D 平行Rt △ABC 的直角边时，AD 的长为 ▲ .三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）先化简，再求值：22244()22x x x x x x ++÷---，其中5x =．20．（本题满分10分）解方程组：22430,221.x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩0 本数频数第142.53.54.55.56.5 4 8 12 A BP第17Q AC D E第16BA BC第18x yO70 120 第22题图E G第23CABDFHP21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，⊙A 、⊙B 、⊙C 两两外切，AB=10，BC=21，4sin 5B =． （1）求AC 的长；（2）求⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径．22．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）某市为鼓励市民节约用水，自来水公司按分段收费标准收费，下图反映的是每月水费 y （元）与用水量x （吨）之间的函数关系．（1）当用水量超过10吨时，求y 关于x 的函数解析式（不写定义域）；（2）按上述分段收费标准，小聪家三、四月份分别交水费38元和27元，问四月份比三月份节约用水多少吨？23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，在□ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC 、AF ⊥DC ，垂足分别为点E 、F ，AE 、AF 分别交BD 于点G 、H 且 AG=AH ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）延长AF 、BC 相交于点P ，求证：2BC DF BP =⋅．C第21ABE P第25CABD24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线214y x bx c =++经过点A （-2，0）和原点，点B 在抛物线上且1tan 2BAO ∠= ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点P ．（1）求抛物线的解析式，并直接写出点P 的坐标；（2）点C 为抛物线上一点，若四边形AOBC 为等腰梯形且AO ∥BC ，求点C 的坐标； （3）点D 在AB 上，若△ADP ∽△ABO ，求点D 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，在△ABC 中，AB=AC =5，cos B =45，点P 为边BC 上一动点，过点P 作射线PE 交射线BA 于点D ，∠BPD=∠BAC ．以点P 为圆心，PC 长为半径作⊙P 交射线PD 于点E ，联结CE ，设BD=x ，CE=y ．（1）当⊙P 与AB 相切时，求⊙P 的半径；（2）当点D 在BA 的延长线上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）如果⊙O 与⊙P 相交于点C 、E ，且⊙O 经过点B ，当OP=54时，求AD 的长．第24xA B yOP2017年虹口区中考数学模拟练习卷答案要点与评分标准说明：1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；2．第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；3．第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数；4．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半； 5．评分时，给分或扣分均以1分为基本单位．一、选择题：（本大题共6题，满分24分）1．C ； 2．A ； 3．D ； 4．A ； 5．B ； 6．C ．二、填空题：（本大题共12题，满分48分）7．3a -； 8．4x >； 9．4m >； 10．4x =； 11．三； 12．22(3)y x =-； 13．113； 14．16； 15．83； 16．2233a b -+； 17．25； 18．4或8．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=2244(2)x x xx x x ++-÷-………………………………………………………（3分） 22(2)(2)x x x x x +-=⋅-……………………………………………………………（2分）22x x +=- ………………………………………………………………………（2分）把5x =代入，原式=5294552+=+-……………………………………………（3分）20．由①得：()(3)0x y x y --=，∴ 0x y -=或30x y -= …………………………………………………………（2分） 将它们与方程②分别组成方程组，得：0,221;x y x y -=⎧⎨+=⎩30,221.x y x y -=⎧⎨+=⎩…………………………………………………（4分）分别解这两个方程组，得原方程组的解为117,7;x y =⎧⎨=⎩ 229,3.x y =⎧⎨=⎩． …………………………………………（4分）（代入消元法参照给分）21．解：（1）过点A 作AD ⊥BC ，垂足为点D∵4sin 5B =∴3cos 5B =………………………………………………（1分） 在Rt △ABD 中，3cos 1065BD AB B =⋅=⨯=……………………………（1分）4sin 1085AD AB B =⋅=⨯=………………………………（1分）∴CD =21-6=15在Rt △ACD 中，222281517AC AD CD =+=+= ……………………（2分）（2）设⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径长分别为x 、y 、z∵⊙A 、⊙B 、⊙C 两两外切∴AB=x+y ，BC=y+z ，AC=x+z ………………………………………………（2分）根据题意得10,21,17.x y y z x z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 解得3,7,14.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩…………………………………（3分）∴⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径长分别为3、7、14．22．解：（1）设函数解析式为y ＝kx ＋b （0k ≠）………………………………………（1分）由题意得：30107020k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得：410k b =⎧⎨=-⎩……………………（2分）∴y 与x 之间的函数解析式为410y x =-． ……………………………（1分）（2）把y =38代入410y x =-得38410x =- 解得x ＝12 ………………………………………………（2分）当0≤x ≤10时，设函数解析式为y ＝k ’x （0k ≠）由题意得3010'k = 解得k ’=3∴函数解析式为y ＝3x ………………………………………………………（2分）把y=27代入y ＝3x ，得27=3x 解得x =9…………………………………………………………（1分） ∴ 12-9=3答：四月份比三月份节约用水3吨． ……………………………………………（1分） 23．（1）证明：在□ABCD 中，∠ABC =∠ADC …………………………………………（1分）∵AE ⊥BC ，AF ⊥DC ∴∠BAE +∠ABC=90° ∠DAF+∠ADC =90°∴∠BAE =∠DAF …………………………………………………………………（1分） ∵AG=AH ∴∠AGH =∠AHG …………………………………………………（1分）∵∠AGH =∠BAE+∠ABG ∠AHG =∠DAF +∠ADH∴∠ABG=∠ADH …………………………………………………………………（1分）∴AB=AD …………………………………………………………………………（1分） 又∵四边形ABCD 是平行四边形∴四边形ABCD 是菱形…………………………………………………………（1分） （2）在□ABCD 中，AD ∥BC ，AB ∥CD …………………………………………（1分）∴DF AF DC AP = ，AF BC AP BP =………………………………………………………（2分） ∴DF BC DC BP=………………………………………………………………………（1分） ∵四边形ABCD 是菱形 ∴BC=DC ……………………………………………（1分） ∴DF BC BC BP= 即2BC DF BP =⋅ ……………………………………………（1分） 24．解：（1）把A （-2，0）、O （0，0）代入得012,0.b c c =-+⎧⎨=⎩ 解得1,20.b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩………………………………………（2分） ∴21142y x x =+……………………………………………………………（1分） P （-1，0） …………………………………………………………………（1分）（2）过点B 作BM ⊥x 轴，垂足为点M由1tan 2BAO ∠=可得12BM AM =设点B （2a -2，a ）……………………………………………………………（1分）把点B 代入，得211(22)(22)42a a a =-+-解得a =2或0（舍去）∴点B （2，2）………………………………………………………………（1分） ∵四边形AOBC 为等腰梯形，AO ∥BC把y=2代入21142y x x =+得211242x x=+解得x=-4或2（舍）……………………………（1分） ∵BO=22AC=22∴BO =AC ∴点C （-4，2）………………………………………………………………（1分） （3）∵△ADP ∽△ABO ∠BAO =∠DAP25AB =，AO ＝2 AP ＝1① AD AP AO AB=∴1225AD =∴55AD =……………………………………………（1分） 由1tan 2BAO ∠=得D （81,55-）………………………………………………（1分）②AD APAB AO =∴1225AD = ∴5AD =………………………………………………（1分） 由1tan 2BAO ∠=得D （0，1）………………………………………………（1分）综合①②，点D 的坐标为（81,55-）或（0，1）25．（1）过点A 作AM ⊥BC ，垂足为点M在Rt △ABM 中，cos 4BM AB B =⋅=∵AB=AC ∴BC=2BM=8………………………………………………………（1分） 过点P 作PN ⊥AB ，垂足为点N 设⊙P 的半径为r ，则BP =8-r在Rt △BPQ 中，3sin (8)5PN BP B r =⋅=-…………………………………（1分） ∵⊙P 与AB 相切 ∴PN=PC ∴3(8)5r r -= …………………………………………………………………（1分） 解得r =3……………………………………………………………………………（1分） （2）∵∠BPD=∠BAC ，∠B=∠B∴△BPD ∽△BAC∴BD BP BC BA= 即85x BP =∴58BP x = ∴588CP x =-…………………………………………………（1分）过点P 作PQ ⊥CE ，垂足为点Q ∵PE=PC ∴∠CPE =2∠CPQ可得∠B=∠D ∠CPE=∠B+∠D=2∠B∴∠CPQ=∠B ……………………………………………………………………（1分）在Rt △CPQ 中，35243sin (8)5858CQ CP CPQ x x =⋅∠=-=- ………………（1分） ∵PQ ⊥CE ∴CE=2CQ∴48354y x =-（6455x <<）…………………………………………（1分，1分） （3）根据题意可得圆心O 为EC 与BC 垂直平分线的交点，即直线AM 与PQ 的交点在Rt △OPM 中，cos 1PM OP OPM =⋅∠= …………………………………（1分）①点P 在线段MC 上时，415BP =+= ∴885x BP ==………………………………………………（1分）∴AD =3……………………………………………………………………………（1分） ②点P 在线段MB 上时413BP =-= ∴82455x BP ==……………………………………………（1分）∴AD=15…………………………………………………………………………（1分）综合①②可得3AD 或1 5。
虹口二模初三数学试卷答案
一、选择题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，那么f(2)的值为：A. -1B. 0C. 3D. 5答案：B解析：将x=2代入函数f(x)中，得到f(2) = 2^2 - 42 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1。
2. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于x轴的对称点B的坐标为：A. (2,-3)B. (-2,3)C. (2,3)D. (-2,-3)答案：A解析：点A关于x轴对称，意味着横坐标不变，纵坐标取相反数，所以B的坐标为(2,-3)。
3. 下列方程中，只有一个解的是：A. x + 2 = 0B. x^2 - 4 = 0C. x^2 + 2x + 1 = 0D. x^2 - 4x + 3 =答案：B解析：方程x^2 - 4 = 0可以分解为(x+2)(x-2)=0，所以x有两个解x=-2和x=2。
其他选项至少有两个解。
4. 一个等腰三角形的底边长为8cm，腰长为10cm，那么这个三角形的面积为：A. 40cm^2B. 48cm^2C. 50cm^2D. 64cm^2答案：B解析：作高AD，则AD垂直于BC，且BD=DC=4cm，所以三角形ABD和三角形ACD是两个等腰直角三角形。
由勾股定理得到AD=√(10^2-4^2)=√(100-16)=√84=2√21cm。
所以三角形ABC的面积为1/2BCAD=1/282√21=8√21cm^2≈48cm^2。
5. 已知函数f(x) = kx + b，若f(1) = 3，f(2) = 5，那么k和b的值为：A. k=1, b=2B. k=1, b=3C. k=2, b=1D. k=2, b=3答案：B解析：根据题意，列出方程组：k + b = 32k + b = 5解得k=1，b=2，所以答案为B。
二、填空题（每题5分，共20分）6. 若a+b=5，a-b=1，则a^2+b^2的值为______。
答案：26解析：将a+b=5和a-b=1相加，得到2a=6，所以a=3。
虹口初中二模数学试卷答案
一、选择题1. 下列数中，不是有理数的是（）A. -2B. 3/4C. √2D. 0答案：C解析：有理数包括整数、分数和小数，而√2是无理数，因此选项C不是有理数。
2. 下列图形中，面积最大的是（）A. 正方形B. 长方形C. 等腰三角形D. 等边三角形答案：A解析：由于题目未给出具体尺寸，我们假设所有图形的周长相同。
在相同周长下，正方形的面积最大，因为正方形的四条边相等，所以边长最大，面积也最大。
3. 下列方程中，无解的是（）A. 2x + 3 = 7B. 5x - 2 = 3x + 4C. 3x - 4 = 0D. 2x + 1 = 2x + 3答案：D解析：方程D中，2x + 1 = 2x + 3，两边同时减去2x，得到1 = 3，这是不可能的，因此方程无解。
4. 下列数列中，第10项是正数的是（）A. 1, 2, 3, 4, ...B. -1, -2, -3, -4, ...C. 1, -2, 3, -4, ...D. -1, 2, -3, 4, ...答案：C解析：数列C中，奇数项为正数，偶数项为负数，因此第10项（偶数项）为负数，不符合题意。
其他数列的第10项均为正数。
5. 下列函数中，是奇函数的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = |x|D. f(x) = x + 1答案：B解析：奇函数满足f(-x) = -f(x)，只有选项B中的函数f(x) = x^3满足这个条件。
二、填空题6. 已知a = 3，b = -2，则a^2 + b^2的值为______。
答案：13解析：a^2 + b^2 = 3^2 + (-2)^2 = 9 + 4 = 13。
7. 若x + y = 5，x - y = 1，则x^2 + y^2的值为______。
答案：26解析：x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = 5^2 - 2 1 2 = 25 - 4 = 21。
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2015年虹口中考数学练习卷（满分150分，考试时间100分钟）2015.4一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. 计算的结果是 ( )A．；B．；C．；D. .2. 下列代数式中，的一个有理化因式是 ( )A．；B．；C．；D. .3. 不等式组的解集是 ( )A．；B．；C．；D. .4.下列事件中，是确定事件的是( )A．上海明天会下雨；B．将要过马路时恰好遇到红灯；C．有人把石头孵成了小鸭；D. 冬天，盆里的水结成了冰.5．下列正多边形中，中心角等于内角的是 ( )A．正三角形；B．正四边形；C．正六边形；D.正八边形. 6．下列命题中，真命题是 ( )A.有两边和一角对应相等的两个三角形全等；B. 有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等；C. 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；D. 有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．据报道，截止2015年3月，某市网民规模达518 0000人．请将数据518 0000用科学记数法表示为．8．分解因式：= ．9. 如果关于的方程有两个相等的实数根，那么.10．方程的根是．11. 函数的定义域是．12．在反比例函数的图像所在的每个象限中，如果函数值随自变量的值增大而增大，那么常数的取值范围是．13.为了了解某中学学生的上学方式，从该校全体学生900名中，随机抽查了60名学生，结果显示有15名学生“步行上学”.由此，估计该校全体学生中约有___ 名学生“步行上学”．14. 在中，，点是的重心，如果，那么斜边的长等于．15．如图，在中，点、分别在边、上，∥，，若，，则．A AE ∙∙第21题图①②16. 如图，、的半径分别为1cm 、2cm ，圆心距为5cm ．将由图示位置沿直线向右平移，当该圆与内切时，平移的距离是 cm ．17．定义为函数的“特征数”．如：函数的“特征数”是，函数的“特征数”是.如果将“特征数”是的函数图像向下平移3个单位，得到一个新函数图像，那么这个新函数的解析式是 ．18. 在中，，（如图），若将绕点顺时针方向旋转到的位置，联结，则的长为 ．三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）先化简，再求值：，其中． 20．（本题满分10分） 解方程组：21．（本题满分10分）如图，等腰内接于半径为5的⊙O ，，.求BC 的长.22．（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5某商店试销一种成本为10元的文具.格x (元)的一次函数，且当每件按15元的价格销售时，每天能卖出元的价格销售时，每天能卖出40件．（1）试求y 关于x 的函数解析式（不用写出定义域）；（2）如果每天要通过销售该种文具获得450元的利润，那么该种文具每件的销售价格应该定为多少元？（不考虑其他因素）23．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）如图，四边形是平行四边形，点为延长线上一点，联结，交边于点，联结. （1）求证：；（2）若，且，求证：四边形是菱形.24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、、三点，且与y 轴交于点. （1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴；（2）分别联结、、，直线与线段交于点，当此直线将四边形的面积平分时，求的值； （3）设点为该抛物线对称轴上的一点，当以点、、、为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．第24题图AB C E F第23题图 DABCGFED第25题图25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）如图，在中，，，.点为射线上一动点（不与点重合），联结，交边于点，的平分线交于点． （1）当时，求的值；（2）设，，当时，求与之间的函数关系式； （3）当时，联结，若为直角三角形，求的长．2015年虹口中考数学练习卷参考答案2015.4一、选择题：（本大题共6题，满分24分）1．B ； 2．D ； 3．C ； 4．C ； 5．B ； 6．D ．二、填空题：（本大题共12题，满分48分）7．65.1810⨯；8．2(4)x x -；9．94-；10．1x =； 11．1x ≥-；12. 32k <；13．225；14．18；15．1133a b -；16．4或6；17．221y x =+；181． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=2(1)(3)[](3)(3)(3)(3)(3)x x x x x x x x +--⋅-+-+-=2223(3)(3)(3)x x x x x x -++⋅-+- =233x x ++当3x =-时，原式2==20．解：分别解这两个方程组，得原方程组的解：1112,21;2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩222,1.x y =⎧⎨=-⎩ 21．解：联结AO ，交BC 于点E ，联结BO ,∵AB =AC ，∴AB AC =又∵OA 是半径，∴OA ⊥BC ，2BC BE =在Rt ABE ∆中，∵1tan 3ABC ∠=，∴13AE BE =设AE x =，则3BE x =，5OE x =- 在Rt BEO ∆中，222BE OE OB +=， ∴222(3)(5)5x x +-= 解得：10x =（舍去），21x =∴33BE x ==， ∴26BC BE ==22.解：（1）由题意，知：当15x =时，50y =；当20x =时，40y =设所求一次函数解析式为y kx b =+.由题意得：5015,4020.k b k b =+⎧⎨=+⎩解得：2,80.k b =-⎧⎨=⎩∴所求的y 关于x 的函数解析式为280y x =-+．（2）由题意，可得：(10)(280)450x x --+=解得：1225x x ==答：该种文具每件的销售价格应该定为25元.23．证明：（1）法1：∵四边形ABCD 是平行四边形∴ABC D ∠=∠，AB ∥CD ， ∴BAF DEA ∠=∠,∴ABF ∆∽EDA ∆，∴AB BFED AD=， ∴AB AD BF ED ⋅=⋅法2：∵四边形ABCD 是平行四边形∴BC ∥AD ，AB ∥CD∴EC CF ED AD =，CF EC BF AB =即：EC ED CF AD =，EC ABCF BF =∴ED AB AD BF=∴AB AD BF ED ⋅=⋅ （2）∵90DAE ∠=∴90AED D ∠+∠=，90EAC DAC ∠+∠= ∵CD CA =，∴DAC D ∠=∠∴AED EAC ∠=∠∴CE CA =，∴CE CD =.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD 且AB CD =，∴AB ∥EC 且AB EC =， ∴四边形ABEC 是平行四边形. ∵CE CA =，∴四边形ABEC 是菱形.24.解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++过点(1,0)A -、(3,0)B 、(2,3)C 三点，∴0,930,42 3.a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得：1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴所求抛物线的表达式为223y x x =-++，其对称轴是直线1x =.（2）由题意，得：D （0，3），又可得：//DC AB ，4,2AB DC ==，∵直线4y x m =+与线段DC 交于点E ，且将四边形ABCD 的面积平分， ∴直线4y x m =+与边AB 相交，该交点记为点G ， ∴点E 的纵坐标是3，点G 的纵坐标是0，∴可求得3(,3)4m E -、(,0)4mG - 由题意，得：2ABCD AGED S S =四边形四边形，∴可得：2()AB CD AG ED +=+ ∴3422(1)44m m -+=-++ 解得：52m =-.（3）点F 的坐标为(1,2)-或(1,6)-或(1,3)25．解：（1）过点C 作CH AE ⊥于H ，∴1212CEF CAF EF CH S EF S AFAF CH ∆∆⋅==⋅ ∵//CD AB ，∴EF CEAF AB=∵3,13CE AB ==,∴313EF AF =∴313CEF CAF S S ∆∆= （2）延长AG 交射线CD 于点K ,∵//CD AB ，∴EKA KAB ∠=∠,∵AG 平分BAE ∠，∴EAK KAB ∠=∠, ∴EAK EKA ∠=∠，∴AE EK =∵CE x =，AE y =，∴CK CE EK CE AE x y =+=+=+，∵//CD AB ，∴CK CGAB GB =∵2CG GB =，∴2CK AB =，∴213x y+=，∴26y x =-.（3）由题意，得：12BC =，∵90EAG ∠<︒，∴当AEG ∆为直角三角形时，只有以下两种情况： ①当90AGE ∠=︒时，可证AG GK =，∵//CD AB ，∴162BG BC ==.②当90AEG ∠=︒时，可证：ACF ∆∽GEF ∆， ∴可证ECF ∆∽GAF ∆，∴ECF FAG ∠=∠ 又∵FAG GAB ∠=∠,ECF B ∠=∠， ∴B GAB ∠=∠，∴GA GB =过点G 作GN AB ⊥于N ，∴11322BN AB ==，∴131691224BG BN ==. 参考规范下载1、《建筑施工模板安全技术规范》JGJ162-20082、《建筑施工扣件式钢管脚手架安全技术规范》JGJ130-20113、《建筑结构荷载规范》GB50009-20124、《钢结构设计规范》GB50017-20035、《混凝土结构设计规范》GB 50010-20106、《混凝土结构工程施工规范》GB50666-20117、《建筑施工临时支撑结构技术规范》JGJ300-20138、建筑施工计算手册(第二版)基本知识模板支撑体系简图一。