2004_math_1_note
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=
1 = 1 ,得 x0 = 1 , x0
,且 f(1)=0, 则 f(x)=
1 (ln x) 2 2
.
【分析】 先求出 f ′( x) 的表达式,再积分即可。 【详解】 令 e = t ,则 x = ln t ,于是有
x
积分得
ln t ln x , 即 f ′( x) = . t x ln x 1 1 故所求函数为 f(x)= f ( x) = ∫ dx = (ln x) 2 + C . 利用初始条件 f(1)=0, 得 C=0, (ln x) 2 . x 2 2 f ′(t ) =
而 3 A − 6 E = 27 ,故所求行列式为 B =
1 . 9
2
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*
【评 注 】 先化简再计算是此类问题求解的特点,而题设含有伴随矩阵 A ,一般均应先利用公式
A* A = AA* = A E 进行化简。
完全类似例题见《数学最后冲刺》P107 例 2,P118 例 9 (6)设随机变量 X 服从参数为 λ 的指数分布,则 P{ X >
1 y
1 1 1
t
t
t
x
t
于是, F ′(t ) = f (t )(t − 1) ,从而有 F ′(2) = f (2) ,故应选(B). 【评注】 在应用变限的积分对变量 x 求导时,应注意被积函数中不能含有变量 x:
[∫
b( x)
a( x)
f (t )dt ]′ = f [b( x)]b′( x) − f [a( x)]a ′( x)
完全类似的例题见《数学复习指南》P171 例 6.19, 《数学题型集粹与练习题集》P342 第六题., 《考研数 学大串讲》P75 例 12.
2 1 0 * * * (5)设矩阵 A = 1 2 0 ,矩阵 B 满足 ABA = 2 BA + E ,其中 A 为 A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵, 0 0 1
完全类似的例题见《数学复习指南》P213 例 8.13.
4
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(10)设 f(x)为连续函数, F (t ) = (A) 2f(2). (B) f(2).
∫ dy ∫
1
t
t
y
f ( x)dx ,则 F ′(2) 等于
则B =
1 9
.
*
【分析】 可先用公式 A A = A E 进行化简 【详解】 已知等式两边同时右乘 A,得
ABA* A = 2 BA* A + A , 而 A = 3 ,于是有
3 AB = 6 B + A , 即
再两边取行列式,有
(3 A − 6 E ) B = A ,
3A − 6E B = A = 3 ,
又取 a n =
1 n n
,则级数
∑a
n =1
n
收敛,但 lim n a n = ∞ ,排除(C), 故应选(B).
2
n→∞
【评注】 本题也可用比较判别法的极限形式,
lim na n = lim
n→∞
∞ ∞ an 1 = λ ≠ 0 ,而级数 ∑ 发散,因此级数 ∑ a n 也发散,故应选(B). n →∞ 1 n =1 n n =1 n
+
∫
x
0
cos t 2 dt , β = ∫ tan t dt , γ = ∫ sin t 3 dt ,使排在后面的是前一个
0 0
x2
x
的高阶无穷小,则正确的排列次序是 (A)
α, β ,γ .
(B)
α , γ , β . (C) β , α , γ .
(D)
β , γ ,α .
[
B
]
【分析】 先两两进行比较,再排出次序即可.
(A)
0 1 0 1 0 0 . 1 0 1
0 1 0 (B) 1 0 1 . (C) 0 0 1
0 1 0 1 0 0 . 0 1 1
(D)
0 1 1 1 0 0 . 0 0 1
2 2
x = 2 cos θ , y = 2 sin θ ,
于是
θ :0 →
π
2
.
∫ xdy − 2 ydx = ∫
L
π
2 0
[ 2 cos θ ⋅ 2 cos θ + 2 2 sin θ ⋅ 2 sin θ ]dθ
=π +
∫
π
2 0
2 sin 2 θ dθ =
3π . 2
【评注】 本题也可添加直线段,使之成为封闭曲线,然后用格林公式计算,而在添加的线段上用参数法 化为定积分计算即可. 完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P143 例 10.11, 《考研数学大串讲》P122 例 5、例 7 .
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(4)欧拉方程
x2
c c d2y dy + 4 x + 2 y = 0( x > 0) 的通解为 y = 1 + 2 . 2 x x2 dx dx
t
【分析】 欧拉方程的求解有固定方法,作变量代换 x = e 化为常系数线性齐次微分方程即可。 【详解】 令 x = e ,则
f ′(0) = lim
x →0
f ( x) − f (0) > 0, x
根据保号性,知存在 δ > 0 ,当 x ∈ (−δ ,0) U (0, δ ) 时,有
f ( x) − f (0) >0 x
即当 x ∈ (−δ ,0) 时,f(x)<f(0); 而当 x ∈ (0, δ ) 时,有 f(x)>f(0). 故应选(C). 【评注】 题设函数一点可导,一般均应联想到用导数的定义进行讨论。 完全类似例题见《数学一临考演习》P28 第 10 题.
【评注】 本题属基础题型,已知导函数求原函数一般用不定积分。 完全类似的例题见《数学复习指南》P89 第 8 题, P90 第 11 题.
(3)设 L 为正向圆周 x + y = 2 在第一象限中的部分,则曲线积分
2 2
∫
L
xdy − 2 ydx 的值为
3 π . 2
【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示,相应曲线积分可化为定积分。 【详解】 正向圆周 x + y = 2 在第一象限中的部分,可表示为
t
dy dy dt dy 1 dy , = ⋅ = e −t = dx dt dx dt x dt
d2y 1 dy 1 d 2 y dt 1 d 2 y dy = − + ⋅ = − ], [ dx 2 x 2 dt x dt 2 dx x 2 dt 2 dt
代入原方程,整理得
d2y dy + 3 + 2y = 0, 2 dt dt
3
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(C)
对 任 意 的 x ∈ (0, δ ) 有
f(x)>f(0)
.
(D)
对 任 意 的 x ∈ (−δ ,0) 有
f(x)>f(0)
.
[ C ] 【分析】 函数 f(x)只在一点的导数大于零,一般不能推导出单调性,因此可排除(A),(B)选项,再利用导 数的定义及极限的保号性进行分析即可。 【详解】 由导数的定义,知
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2004 年数学一试题分析、详解和评注
一、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分. 把答案填在题中横线上) (1)曲线 y=lnx 上与直线 x + y = 1 垂直的切线方程为
y = x −1.
DX } =
1 . e
【分析】 已知连续型随机变量 X 的分布,求其满足一定条件的概率,转化为定积分计算即可。 【详解】 由题设,知 DX =
1
λ2
,于是
+∞ 1 P{ X > DX } = P{ X > } = ∫Fra Baidu bibliotek λe −λx dx
λ
λ
=−e
− λx
+∞ 1
λ
1 = . e
【评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征,而不应在考试时再去推算。 完全类似例题见《数学一临考演习》P35 第 5 题. 二、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把 所选项前的字母填在题后的括号内) (7)把 x → 0 时的无穷小量 α =
x →0
1
0
tan t dt
2 x 2 x tan x
x 1 lim = ∞ ,可见 γ 是比 β 低阶的无穷小量,故应选(B). + 4 x →0 x 2
n
【评注】 本题是无穷小量的比较问题,也可先将 α , β , γ 分别与 x 进行比较,再确定相互的高低次序. 完全类似例题见《数学一临考演习》P28 第 9 题. (8)设函数 f(x)连续,且 f ′(0) > 0, 则存在 δ > 0 ,使得 (A) f(x)在(0, δ ) 内单调增加. (B)f(x)在 (−δ ,0) 内单调减少.
[ D ] 【分析】 本题考查初等矩阵的的概念与性质,对 A 作两次初等列变换,相当于右乘两个相应的初等矩阵, 而 Q 即为此两个初等矩阵的乘积。 【详解】由题设,有
0 1 0 1 0 0 A1 0 0 = B , B 0 1 1 = C , 0 0 1 0 0 1
【评注】 本题也可先设切点为 ( x0 , ln x0 ) ,曲线 y=lnx 过此切点的导数为 y ′ 由此可知所求切线方程为 y − 0 = 1 ⋅ ( x − 1) , 即 y = x − 1 . 本题比较简单,类似例题在一般教科书上均可找到. (2)已知 f ′(e ) = xe
x −x
x = x0
【详解】
x →0
lim +
β = lim α x →0
+
∫ ∫
0
+
x2 x
tan t dt cos t 2 dt
x
2
= lim +
x →0
tan x ⋅ 2 x = 0 ,可排除(C),(D)选项, cos x 2
3
0
又
x →0
lim +
γ = lim β x →0
=
∫ ∫
0 x
sin t dt
3
sin x 2 ⋅ = lim +
(D) 0. [ B ]
(C) –f(2).
【分析】 先求导,再代入 t=2 求 F ′(2) 即可。关键是求导前应先交换积分次序,使得被积函数中不含有变 量 t. 【详解】 交换积分次序,得
F (t ) = ∫ dy ∫ f ( x)dx = ∫ [ ∫ f ( x)dy ]dx = ∫ f ( x)( x − 1)dx
2 n→∞
(D)
若级数
∑a
n
发散, 则存在非零常数 λ ,使得 lim na n = λ .
n→∞
[ B
]
【分析】 对于敛散性的判定问题,若不便直接推证,往往可用反例通过排除法找到正确选项. 【详解】 取 a n =
∞ ∞ 1 1 ,则 lim na n =0,但 ∑ a n = ∑ 发散,排除(A),(D); n → ∞ n ln n n =1 n =1 n ln n ∞
∞
(9)设
∑a
n =1
n →∞
n
为正项级数,下列结论中正确的是
∞
(A)
若 lim na n =0,则级数
∑a
n =1
n
收敛.
∞
(B) 若存在非零常数 λ ,使得 lim na n = λ ,则级数
n→∞ ∞
∑a
n =1
n
发散.
(C)
若级数
∑a
n =1
∞ n =1
n
收敛,则 lim n a n = 0 .
【分析】 本题为基础题型,相当于已知切线的斜率为 1,由曲线 y=lnx 的导数为 1 可确定切点的坐标。 【详解】 由 y ′ = (ln x)′ =
1 = 1 ,得 x=1, 可见切点为 (1,0) ,于是所求的切线方程为 x
y − 0 = 1 ⋅ ( x − 1) , 即 y = x − 1 .
解此方程,得通解为
y = c1e −t + c 2 e − 2t =
c1 c 2 + . x x2
t
【评注】 本题属基础题型,也可直接套用公式,令 x = e ,则欧拉方程
ax 2
d2y dy + bx + cy = f ( x) , 2 dx dx
可化为
a[
d 2 y dy dy − ] + b + cy = f (e t ). 2 dt dt dt
否则,应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量 x 换到积分号外或积分线上。 完全类似例题见《数学最后冲刺》P184 例 12,先交换积分次序再求导. (11)设 A 是 3 阶方阵,将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B,再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C, 则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为