江西师大附中高考数学三模试卷(文科)

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江西师大附中2020届高三三模考试文科数学试题(wd无答案)

江西师大附中2020届高三三模考试文科数学试题一、单选题(★★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 设复数，则的共轭复数为（）A．B．C．D．(★) 3. 的值为（）A．B．C．D．(★) 4. 已知向量，，则（）A．B．C．D．(★★★) 5. 已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，，则；④若，，则．其中所有正确命题的序号是（）A．①②B．②③C．②④D．①④(★★) 6. 若将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象的一个对称中心为（）A．B．C．D．(★★) 7. 已知数列的前项和，则“ ”是“ 是等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(★★★) 8. 函数的图象大致为（）A．B．C．D．(★★) 9. 在《周髀算经》中，把圆及其内接正方形称为圆方图，把正方形及其内切圆称为方圆图.圆方图和方圆图在我国古代的设计和建筑领域有着广泛的应用.山西应县木塔是我国现存最古老、最高大的纯木结构楼阁式建筑，它的正面图如下图所示.以该木塔底层的边作正方形，以点或点为圆心，以这个正方形的对角线为半径作圆，会发现塔的高度正好跟此对角线长度相等.以该木塔底层的边作正方形，会发现该正方形与其内切圆的一个切点正好位于塔身和塔顶的分界线上.经测量发现，木塔底层的边不少于47.5米，塔顶到点的距离不超过19.9米，则该木塔的高度可能是（参考数据：）（）A．66.1米B．67.3米C．68.5米D．69.0米(★★★) 10. 已知圆的圆心到直线的距离为，则圆与圆的位置关系是（）A．相交B．内切C．外切D．相离(★★★) 11. 设，已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．(★★★) 12. 如图，在棱长为的正方体中，点是棱的中点，，若过点，，的平面分别交棱、于点，，则线段的长度为（）A．B．C．D．二、填空题(★) 13. 若数列的前项和，则______________．(★★) 14. 已知过抛物线的焦点的直线交于，两点，若点的横坐标为，则点到的准线的距离为____________．(★) 15. 已知变量，满足，若的最小值为，则实数等于____________．(★★★) 16. 已知函数，其中为自然对数的底数.若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是__________________.三、解答题(★★★) 17. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，．（1）求的值；（2）若的面积为，求的最小值．(★★) 18. 2019年起，全国地级及以上城市全面启动生活垃圾分类工作，垃圾分类投放逐步成为居民的新时尚．为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了某市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“有害垃圾”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾300703080可回收垃圾302103030有害垃圾20206020其他垃圾10201060（1）分别估计厨余垃圾和有害垃圾投放正确的概率；（2）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“有害垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为，，，，其中，．当数据，，，的方差最大时，写出，，，的值（结论不要求证明），并求此时的值．(★★★) 19. 如图，在四棱台中，底面是菱形，平面平面，，．（1）求证：；（2）求四棱台的体积．(★★★) 20. 已知椭圆的离心率为，其上顶点为，左焦点为，原点到直线的距离等于．（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程．(★★★) 21. 已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．(★★★) 22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）设，若直线与曲线相交于，两点，求的值．(★★★) 23. 已知函数．（1）解关于的不等式；（2）若实数，满足，求的最小值．。

江西省师范大学附属中学2020届高三数学三模试题文

江西省师范大学附属中学2020届高三数学三模试题文一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．） 1.设集合2{|log (1)0}M x x =-<，集合{|2}N x x =≥-，则M N U =（） A.{|22}x x -≤<B.{|2}x x ≥-C.{|2}x x <D.{|12}x x ≤<2.已知复数z 满足2i z i ⋅=+，则z 的共轭复数是（） A.12i --B.12i -+C.12i -D.1+2i3.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布扇形图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论一定正确的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生 A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数不超过总人数的20%C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前少D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多4.已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，5632a a a +=+，则7S =（） A.2B.7C.14D.285.已知双曲线2221y x b-=的一个焦点到它的一条渐近线的距离为3，则该双曲线的离心率为（） A.3B.2C.3D.46.执行如图所示的程序框图，则输出n 的值是（） A.2B.4C.5D.67.若函数222,0()+,0x x x f x x ax x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩为奇函数，则实数a 的值为（）A.2B.2-C.1D.1-8.已知0.22x = ，2lg 5y =，752()5z =，则下列结论正确的是（）A.x y z <<B.y z x <<C.z y x <<D.z x y <<9. “对任意正整数n ，不等式lg (1)lg (1)an a n a a <+>都成立”的一个必要不充分条件是（） A.0a >B.1a >C.2a >D.3a >10.如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（） A.34π- B.332π-C.334π-D.33π-11.已知函数33,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，若函数()()g x f x a =-有3个零点，则实数a 的取值范围是（） A.[0,4)B.[0,2)C.(,4]-∞D.(,2]-∞12.数列{}n a 中的项按顺序可以排成右图的形式，第一行1项，排1a ；第二行2项，从左到右分别排23,a a ；第三行3项，……依此类推，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则满足2019n S >的最小正整数n 的值为（） A.20B.21C.26D.27二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知平面向量||1a =r ，||2b =r ，|2|23a b +=r r，则a r 在b r 方向上的射影为__________.14.若,x y 满足约束条件24020320x y x y x y --≤⎧⎪+-≤⎨⎪--≥⎩，则z x y =-+的最小值为_______.15.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，且2PF x ⊥轴，若直线1PF 的斜率为33，则该椭圆的离心率为__________. 16.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的半4 4,4×3 4,4×3,4×32 4,4×3,4×32,4×33 ……径为________.三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知sin tan1cos BC B=-.（Ⅰ）求证：ABC ∆为等腰三角形；（Ⅱ）若ABC ∆是钝角三角形，且面积为24a ，求2b ac的值.18．（本小题满分12分）如图，在多面体EFABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，EB ⊥平面ABCD ，//BE DF ，244CD BC AB ===，24BE DF ==. （Ⅰ）求证：AC EF ⊥；（Ⅱ）求三棱锥A -CDF 的体积．19．（本小题满分12分）为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2020年下半年该市100名农民工（其中技术工、非技术工各50名）的月工资，得到这100名农民工月工资的中位数为39百元（假设这100名农民工的月工资均在[25,55]（百元）内）且月工资收入在[45,50)（百元）内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求,m n 的值;（Ⅱ）已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19名，则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关A系？参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++．20．（本小题满分12分）2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点，A ,B 分别为椭圆C 的右顶点和上顶点，点P 在椭圆C 上且不与四个顶点重合. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线PA 与y 轴交于N ，直线PB 与x 轴交于M ，试探究||||AM BN ⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数2(ln )()x e a x x x f x x--=．（1）当a e =时，试求)(x f 的单调区间；（2）若)(x f 在)1,0(内有极值，试求a 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩(0r >，ϕ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点)6P π，曲线2C 的极坐标方程为2(2cos 2)6ρθ+=．（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）若1(,)6A πρα-，2(,)3B πρα+是曲线2C 上两点，求2211||||OA OB +的值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|1||2|f x x x m m =-+-∈R ,．（1）当3m =时，解不等式()2f x ≤；（2）若存在0x 满足001(3|)|x f x +-<，求实数m 的取值范围．江西师大附中2020届高三年级三模数学（文）答案1.B2.D3.A4. C5. B6D7. B8. B9. A10C11B 12. B13. 1214. 6-15.316..317．【解析】（1）因为A B C π++=，所以tan()tan A B C +=-. …………1分由sin tan()cos 1B A B B +=-，可得sin sin =tan cos 1cos B CC B C-=--， …………2分所以sin (cos 1)sin cos C B B C --=，变形得sin sin cos cos sin C B C B C =+，所以sin sin()C B C =+. ……………………………………………………4分在ABC ∆中，sin()sin B C A +=，所以sin sin C A =，由正弦定理得a c =，从而ABC ∆为等腰三角形.………………………………6分（2）由题意得2211sin sin 224a S ac B a B ===，得1sin 2B =.………………8分因为ABC ∆是钝角三角形且a c =，因此B 为钝角，56B π=，cos B =…………………………………………………………10分所以2222222cos 2(2b a c ac B a a =+-==+，则2222b b ac a== …………………………………………………………12分18．【解析】（1）因为EB ⊥平面ABCD ，所以EB AC ⊥， …………………1分因为AB BC ⊥，AB CD ∥，所以90ABC BCD ∠=∠=o，又因为244CD BC AB ===，所以12AB BC BC CD ==，因此有ABC BCD ∆∆:，则CAB DBC ∠=∠，因为90ABD DBC ∠+∠=o，所以90ABD CAB ∠+∠=o，所以AC BD ⊥. ………………………………………………………………4分又有EB BD B =∩，所以AC ⊥平面DBEF ，………………………………5分又因为EF ⊂平面DBEF ，所以AC EF ⊥.………………………………6分（2）1833A CDF F ADC ADC V V S DF --∆==⨯⨯= ………………………………12分19．【解析】（1）因为月工资收入在[45,50)（百元）内的人数为15人，所以月工资收入在[45,50)（百元）内的频率为0.15，…………………………1分由频率分布直方图得(0.02240.01)50.151m n +++⨯+=，化简得20.07m n +=………………………………………………………3分由中位数为39百元可得0.025252(3935)0.5m n ⨯+⨯+⨯-=，化简得540.2m n +=………………………………………………………5分解得0.02m =，0.025n =. …………………………………………6分（2）根据题意得到列联表：9分计算得22100(19193131) 5.7610.82850505050K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯，………………………11分所以不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关. ………………………………………………………12分20．【解析】（1）依题意得2c a =，222a b c =+，……………………1分又点2在椭圆上，222112a b+=，………………………………2分解得22a =，21b =. …………………………………………………4分故椭圆的标准方程为2214x y +=. ……………………………………5分（2）||||AM BN ⋅是定值.…………………………………………6分由于点P 不与四个顶点重合，所以直线PA 、PB 的斜率存在且不为0，设00(,)P x y ，(2,0)A ，(0,1)B ，则直线PA 的方程为00(2)2y y x x =--，N 点坐标为002(0,)2y x --，…………7分直线PB 的方程为0011y y x x -=+，M 点坐标为00(,0)1x y --.…………………8分因此00002|||||2||1|12x y AM BN y x ⋅=++-- 22200000000000000(22)44448(2)(1)21x y x y x y x y x y x y x y +-+++--==----+…………………………10分又因为点P 在椭圆上，所以220044x y +=，则000000004488||||422x y x y AM BN x y x y --+⋅==--+，所以||||AM BN ⋅是定值. ……………………………………………………12分21．【解析】（1）当a e =时，2(ln )()x e e x x x f x x--=，2()(1)()x e ex x f x x --'= ……………………………………………………2分对任意的(0,)x ∈+∞，0xe ex -≥恒成立，………………………………3分所以当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，因此()f x 的单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1).………………5分（2）若()f x 在(0,1)内有极值，则()f x '在(0,1)内有零点，由2()(1)()0x e ax x f x x --'==，得0xe ax -=，x e a x =，……………………6分设()x e g x x =，(0,1)x ∈，则(1)()0x e x g x x-'=<恒成立，所以()g x 单调递减，所以()g x 在(0,1)上的值域为(,)e +∞. ………………8分当a e >时，()0f x '=有解，设()x h x e ax =-，当(0,1)x ∈时，()0xh x e a '=-<，因此()h x 在(0,1)上单调递减，又因为(0)10h =>，(1)0h e a =-<，所以()h x 在(0,1)上有唯一解0x ，当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，当0(,1)x x ∈时，()0f x '>，因此当a e >时，()f x 在(0,1)内有唯一极值，…………………………10分当a e ≤时，()f x 在(0,1)上单调递增，不存在极值，综上所述，(,)a e ∈+∞.……………………………………………………12分22．【解析】（1）将1C 的参数方程化为普通方程222(2)x y r -+=，由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得1C 的极坐标方程为224cos 40r ρρθ-+-=，…………………………3分将点)6P π代入1C 中，得到2121240r -+-=，则24r =因此1C 的极坐标方程为4cos ρθ=. ……………………………………5分（2）将点1(,)6A πρα-，2(,)3B πρα+代入曲线2C 中，得到21[2cos(2)]63πρα+-=，222[2cos(2)]63πρα++=化简得22[2cos(2)]63πρα--=.……………………7分所以2222122cos(2)2cos(2)1111233||||63OA OB ππααρρ+-+--+=+==.……10分 23．【解析】（1）当3m =时， ()2f x ≤，当1x <时，令1322x x -+-≤，解得213x ≤<；当312x ≤≤时，令1322x x -+-≤，解得312x ≤≤；当32x ≥时，令1232x x -+-≤，解得322x ≤≤…………………………4分所以()2f x ≤的解集为2{|2}3x x ≤≤. ……………………………………5分（2）若存在0x 满足00|1|3()x f x -<-等价于|22||2|3x x m -+-<有解，…………………………………………6分因为|22||2||222||2|x x m x x m m -+-≥--+=-， ……………………8分所以令|2|3m -<即可，解得15m -<<.所以实数m 的取值范围是(1,5)-.………………………………………10分。

江西师大附中高三年级测试(三模)文科数学

江西师大附中高三年级测试（三模）文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}232,sin 0M x y x x N x x ==+-=>，则M N =（）A ．(]0,3B ．[)3,πC ．[)1,π-D ．[)1,0-2. 已知复数z 满足()()12z i i i -⋅+=-，则z z ⋅=（）A ． 1B ．12C ．22D ．2 3.设,a b 两条不同的直线，,αβ是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（）A ．若,a b a α⊥⊥，则//b αB ．若//,a ααβ⊥，则//a βC ．若//,//a a αβ，则//αβD ．若//,,a b a b αβ⊥⊥，则//αβ4.执行如图的程序框图，如果输入的,,a b k 分别为1,2,3，输出的158M =，那么判断框中应填入的条件为（）A ． n k <B ．n k ≥C ．1n k <+D ．1n k ≥+5.已知函数()()1ln 11x x x f x e e x--=+-+，若()1f a =，则()f a -=（）A ． 1B ．1- C. 3 D ．3-6.给出下列命题：①已知,a b R ∈，“1a >且1b >”是“1ab >”的充分条件；②已知平面向量,a b ，“1,1a b >>”是“1a b +>”的必要不充分条件；③已知,a b R ∈ ，“221a b +≥”是“1a b +≥”的充分不必要条件；④命题:p “0x R ∃∈，使001x e x ≥+且00ln 1x x ≤-”的否定为:p ⌝“0x R ∀∈，都有使1x e x <+且ln 1x x >-”，其中正确命题的个数是（）A ． 0B ．1 C. 2 D ．37.已知3sin 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，5,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin α=（） A ． 7210 B ． 210- C. 210± D ．210-或72108.已知,x y 满足约束条件1000x x y x y m -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，若1y x +的最大值为2，则m 的值为（） A ．4 B ．5 C. 8 D ．99.设函数()()ln 1,021,0x x x f x x -⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若从区间[],e e -上任取一个实数0x ，A 表示事件“()01f x ≤”，则()P A =（）A. 12B. 12eC. 12e e -D. 2e e-10. 经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x 与数学成绩y 进行数据收集如下：由样本中样本数据求得回归直线方程为y bx a =+，则点(),a b 与直线18100x y +=的位置关系是（）A ．18100a b +<B ．18100a b +>C. 18100a b += D ．18a b +与100的大小无法确定11.已知椭圆221:11615x y C +=的左焦点为F ，点P 为椭圆上一动点，过点P 向以F 为圆心，1为半径的圆作切线,PM PN ，其中切点为,M N ，则四边形PMFN 面积的最大值为（） A. 26 B. 14 C. 15 D. 512.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()1x f x x e =+，则对任意的m R ∈，函数()()()F x f f x m =-的零点个数至多有（）A. 3个B. 4个C. 6个D. 9个第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()log 22a y x m n =--+恒过定点()3,2，其中0a >且1a ≠，,m n 均为正数，则1112m n++的最小值是 .14.某多面体的三视图，如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 .15.已知抛物线28y x =的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于,A B 两点，且=2AF FB ，则=AF .16. ABC ∆为等腰直角三角形，2A π=，2AB =，M 是ABC ∆内的一点，且满足=2AMC π∠，则MB 的最小值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，10,1n a a >=，且满足21122n n n n n n n S a a a S a S ++-=-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和为n T ．40,50，第二组18. 某地十万余考生的成绩中，随机地抽取了一批考生的成绩，将其分成6组：第一组[)[)90,100，作出频率分布直方图，如图所示：50,60,，第六组[]CD（2）现从及格（60分及以上）的学生中，用分层抽样的方法抽取了70名学生（其中女生有34名），已知成绩“优异”（超过90分）的女生有1名，能否有95%的把握认为数学成绩优异与性别有关？19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，0=60BAD ∠，2PA PD AD ===，点M 在线段PC 上，且2PM MC =，N 为AD 中点.（1）求证：AD ⊥面PNB ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求三棱锥P NBM -的体积.20.双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的焦点分别为：()()1222,022,0F F -，,且双曲线C 经过点()42,27P ．（1）求双曲线C 的方程；（2）设O 为坐标原点，若点A 在双曲线C 上，点B 在直线2x =上，且=0OA OB ⋅，是点O 为圆心的定圆恒与直线AB 相切？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由.21. 已知函数()ln 21f x a x ax =-+.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）对任意的1x ≥，不等式()10x f x e -+≥恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，曲线1:C 12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线:l ()sin 2sin ραθα-=．其中α为直线l 的倾斜角（0α≠）（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 与x 轴的交点为M ，与曲线1C 的交点分别为,A B ，求MA MB ⋅的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()41f x x x a b=++-，其中,a b 为正实数．（1）若1a b ==，求不等式()6f x ≤的解集；（2）若()f x 的最小值为1，问是否存在正实数,a b ，使得不等式416a b +≤能成立？若存在，求出,a b 的值，若不存在，请说明理由．试卷答案一、选择题1-5:ACDCD 6-10:CBBAB 11、12：AB二、填空题 13. 43 14. 1003π 15. 6 16. 51- 三、解答题 17.解：（1）22210n n n n S a S a -+-=，()()2110n n n S a S ∴-+-=， 021n n n a S a >∴=-；当1n =时，11a =，当2n ≥时，1121n n S a --=-111222n n n n n n n a S S a a a a ---∴=-=-∴=，所以数列{}n a 是以1为首项的等比数列，其公比为2；所以()12*n n a n N -=∈.（2）01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯， 1221222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯， 1221212222212nn n n n T n n --∴=++++-⨯=-- ()121n n T n ∴=-+18.解：（1）根据题意，计算平均数为(450.01550.02650.03750.025850.01950.005)1067x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；（2）[)[)[)[]60,70,70,80,80,90,90,100四组学生的频率之比为：0.3:0.25:0.1:0.056:5:2:1=，按分层抽样应该从这四组中分别抽取35,25,10,5人，依题意，可以得到下列22⨯列联表：男生女生合计优异 4 15 一般（及格） 32 3365 36 34 70 ()()()()()()22270433321 1.76 3.8413634565n ad bc a b c d a c b d κ-⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯ 对照临界值表知，不能有95%的把握认为数学成绩优异与性别有关.19.解：（1）证明：如图，PA PD =，N 为AD 的中点， PN AD ∴⊥.底面ABCD 为菱形，060,BAD BN AD ∠=∴⊥，PN BN N =，AD ∴⊥平面PNB（2）平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PN AD ⊥ PN ⊥平面ABCD ， ,2PN NB PA PD AD ⊥===，3PN NB ∴==，点P 到平面ABCD 的距离为3.133322PNB S ∆∴=⨯⨯=， AD ⊥平面,//,PNB AD BC BC ∴⊥平面PNB2PM MC =，23132232323P NBM M PNB C PNB V V V ---∴===⨯⨯⨯=, ∴三棱锥P NBM -的体积为23. 20.（1）点()42,27P 在双曲线C 上．2232128b a -=①，228b a =-② ②代入①去分母整理得： 42683280a a -+⨯=，解得224,4a b ==∴所求双曲线C 的方程为22144x y -=；（2）设点,A B 的坐标分别为()()00,,2,x y t ，其中02x >或02x <-.当0y t ≠时，直线AB 的方程为()0022y ty t x x --=--，即()()0000220y t x x y tx y ---+-=，若存在以点O 为圆心的定圆与AB 相切，则点O 到直线AB 的距离必为定值. 设圆心O 到直线AB 的距离为d ，则()()00220022tx y d y t x -=-+- 00020,x y t y ≠∴=-，又22004x y -=， 2200002420002002222222228822y y y y d y y y y y ++∴===+++，此时直线AB 与圆224x y +=相切，当0y t =时，202t x =-，代入双曲线C 的方程并整理得：42280t t --=，解得：2t =±，此时直线:2AB y =±，也与圆224x y +=相切.综上得存在定圆224x y +=与直线AB 相切.21.解：（1）()()12a x f x x -'= 当0a >时，令()()1100,022f x x f x x ''>⇒<<<⇒>，所以此时()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭递减；当0a <时，令()()110,0022f x x f x x ''>⇒><⇒<<，所以此时()f x 在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递减；（2）令()()11ln 21x x g x f x e a x ax e --=+=-++， 1x ≥，()()112,2x x a a g x a e g x a e x x--'∴=-+∴=-+，令()()21122,x x a x e a h x a e h x x x ---'=-+=，令()21x x x e a ϕ-=-，显然()x ϕ在1x ≥时单调递增，()()11x a ϕϕ∴≥=-； ① 当1a ≤时，()()()()10,0,x h x h x ϕϕ'≥≥≥在[)1,+∞上递增，所以()()110h x h a ≥=-≥，则()0g x '≥，()g x ∴在[)1,+∞上递增， ()()1220g x g a ∴≥=-≥，此时符合题意；② 当1a >时，()10ϕ<，此时在[)1,+∞上存在0x ，使()x ϕ在()01,x 上值为负，此时()0h x '<，()h x 在()01,x 上递减，此时()()110h x h a <=-<， ()g x ∴在()01,x 上递减，()()1220g x g a ∴<=-<，此时不符合题意；综上：1a ≤22.解：（1）曲线1C 的普通方程为()2214x y -+=，直线l 的直角坐标方程为sin cos 2sin x y ααα-=；（2）直线l 与x 轴的交点为()2,0M ，直线l 的参数方程可设为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），将直线l 的参数方程代入圆1C 的方程()2214x y -+=，得22cos 30t t α+-=， 123MA MB t t ∴⋅=⋅=；解法2：相交弦定理23.解：（1）不等式()6f x ≤等价于()()4416x x x ≤-⎧⎪⎨-+--≤⎪⎩或()()41416x x x -<≤⎧⎪⎨+--≤⎪⎩或()()1416x x x >⎧⎪⎨++-≤⎪⎩ 解得：9322x -≤≤，所以不等式()6f x ≤的解集是93,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）在正实数8,2a b ==()41414141f x x x x x a b a b a b ab⎛⎫=++-≥+--=+=≥ ⎪⎝⎭ 164416ab a b ab ∴≥∴+≥≥上式等号成立的等价条件为当且仅当48a b ==，即8,2a b ==，所以存在8,2a b ==，使得不等式416a b +≥成立.。

江西师大附中2020届高三三模文科数学参考答案

江西师大附中2020届高三三模考试参考答案（文科数学）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C A A D D D C A B B D B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 17 14. 10 15. 3 16. 1(0,)2e三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）【解析】（1）由πsin 22sin cos()3a Bb A B =−得， π2sin sin cos 2sin sin cos()3A B B B A B =−，从而πcos cos()3B B =−， ……………………3分因为ABC ∆为锐角三角形，所以π(0,)2B ∈，ππ(,)363B π−∈−，所以π3B B =−，从而π6B =，所以3cos B =. ……………………6分（2）因为1sin 12ABC S ac B ∆==，所以4ac =， ……………………9分又222222cos 43243843b a c ac B a c ac =+−=+−≥−=−，当且仅当2a c ==时取等号. 所以b 的最小值为84362−=−. ……………………12分18．（12分）【解析】（1）估计“厨余垃圾”投放正确的概率为130030053007030804808P ===+++； ……………3分估计“有害垃圾”投放正确的概率为260601202060201202P ===+++. ……………………6分（2）当600,0a b c d ====时，数据a ，b ，c ，d 的方差2s 最大. ……………………9分因为2004a b c d x +++==，所以此时方差 222221[()()()()]4s a x b x c x d x =−+−+−+−221(6003200)1200004=+⨯=. ………………12分19．（12分）【解析】（1）在四棱台ABCD EFGH −中，延长,,,AE BF CG DH 可相交于一点S ，如图所示.取CD 的中点M ，连接SM 交GH 于点N ，连接FN .因为1CG GH HD ===，所以SD SC =，从而CD SM ⊥. ……………………3分因为底面ABCD 是菱形，2BD CD ==，所以BCD ∆为正三角形，所以CD BM ⊥.又因为M BM SM =I ，所以⊥CD 平面SBM .所以SB CD ⊥，即BF CD ⊥. ………………6分（2）因为平面CDHG ⊥平面ABCD ，所以由（1）可知，⊥SM 平面ABCD .因为1=GH ，2=CD ，CD GH //，所以21=SM SN . 又1=CG ，所以3122222=−=−=CM SC SM . ………………9分所以四棱台ABCD EFGH −的体积为SN S SM S V EFGH ABCD ⋅−⋅=3131 47231233132233122=⨯⨯⨯−⨯⨯⨯=. ………………12分20．（12分）【解析】（1）由已知，(0,)B b ，(,0)F c −，所以||BF a =，所以bc =，即c a ==，所以b =， ………………3分又222213b e a=−=，所以26a =. 所以椭圆C 的方程为22162y x +=. ………………5分（2）将1x =代入22162y x +=得，253y =，y =，此时2||||1)(113AM AN =−+=≠，因此，直线l 的斜率必定存在. ………………6分设直线l 的方程为1(1)y k x −=−，即1y kx k =+−，1122(,),(,)M x y N x y ，联立221,162y kx k y x =+−⎧⎪⎨+=⎪⎩得，222(31)6(1)3(1)60k x k k x k ++−+−−=，所以1226(1)31k k x x k −+=+，21223(1)631k x x k −−=+， ………………8分所以12||||1||1|AM AN x x =−− 222212122|3(1)66(1)31|(1)|()1|(1)31k k k k k x x x x k k −−−−++=+−++=+⋅+ 222(1)131k k +==+， ………………11分解得21k =，所以1k =±. 所以直线l 的方程为y x =或2y x =−+. ………………12分【注】利用参数方程解答也可，根据步骤相应给分.21．（12分）【解析】（1）由已知，()(1)2xf x x =+⋅，从而()2(1)2ln 22[(1)ln 21]x x x f x x x '=++⋅=++， ………………3分所以(0)1f =，(0)ln 21f '=+，所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为1(ln 21)y x −=+⋅，即(ln 21)1y x =++. ………………6分（2）当0x >时，()1(2ln 22f x a x x x x≥++++）可化为2(1)2(21)ln 22x x x x a x +≥++++，即2(1)2(21)ln 22x a x x x x ≤+−++−.令2()(1)2(21)ln 22,0x g x x x x x x =+−++−>，则依题设，只需min ()a g x ≤. ……………8分()2(1)2ln 2(22)ln 22x x g x x x '=++−+−(22)[(1)ln 21]x x =−++，因为(1)ln 210x ++>，所以当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>.从而()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ………………10分所以min ()(1)44ln 2224ln 2g x g ==−−=−，所以24ln 2a ≤−. 即实数a 的取值范围是(,24ln 2]−∞−. ………………12分（二）选考题：共10分。

2024江西师大附中高三年级下学期三模数学试卷及答案

江西师大附中2024届高考第三次模拟测试卷数学本卷满分：150分，考试时间：120分钟．注意事项：1．答题前、考生先在答题卡上用直径05毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．清认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．答选择题时、选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动、用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个逃项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z =1+2i1-i2025-3i ，则z =( )A.12-32i B.12+32i C.-12-32iD.-12+32i 2.(2x +3)4的展开式中，x 的系数为()A.96B.144C.180D.2163.若tan α=2，则sin2αcos2α-sin 2α的值为( )A.-47B.23C.49D.474.已知3个数据的平均数为3，方差为4，现再加入一个数据7，则这4个数据的方差为()A.6 B.8 C.10 D.125.已知钝角△ABC 的面积为3，AB =4，AC =2，则AB ·AC的值是()A.-6 B.-27 C.27或-27 D.-6或66.已知函数f x =A sin ωx +φ A >0,ω>0,φ <π 的部分图象如图所示，将f x 的图象向左平移π4个单位长度后得到函数g x 的图象，若g x 在区间0,t 上的值域为-3,2 ，则t 的取值范围为( )xy2π3-π122OA.5π12,2π3B.π4,5π6C.5π12,5π6D.5π12,π7.A 、B 是一个随机试验中的两个事件，且P (A )=35,P A B =25,P (A +B )=710,则下列错误的是()A.P (B )=12B.P (AB )=25C.P (A B )=35D.P B A =138.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1-c ,0 ,F 2c ,0 ，点P 在y 轴上，且△PF 1F 2的内心坐标为0,3c3，若线段PF 1上靠近点P 的三等分点Q 恰好在C 上，则C 的离心率为( )A.1+5 B.27-2 C.2+7 D.11+47二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知数列a n 满足a 1=1，a n +1=2a n +1，则()A.数列a n 是等比数列B.数列log 2(a n +1) 是等差数列C.数列a n 的前n 项和为2n +1-n -2D.a 20能被3整除10.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O 的半径为R ，A ，B ，C 为球面上三点，劣弧BC 的弧长记为a ，设O a 表示以O 为圆心，且过B ，C 的圆，同理，圆O b ，O c 的劣弧AC ，AB 的弧长分别记为b ，c ，曲面ABC (阴影部分)叫做曲面三角形，若a =b =c ，则称其为曲面等边三角形，线段OA ，OB ，OC 与曲面△ABC 围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面O -ABC .设∠BOC =α，∠AOC =β，∠AOB =γ，则下列结论正确的是( )A.若平面△ABC 是面积为34R 2的等边三角形，则a =b =c =R B.若a 2+b 2=c 2，则α2+β2=γ2C.若a =b =c =π3R ，则球面O -ABC 的体积V >212R3D.若平面△ABC 为直角三角形，且∠ACB =π2，则a 2+b 2=c 211.已知函数f x 及其导函数f x ，且g x =f x ，若∀x∈R,f x =f6-x,g4+x=g4-x，则( )A.f-2=f8 B.g-1+g3 =2C.2025i=1g(i)=0 D.f0 +f4 =2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数f x 是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f x =-x5-3x+a-1，则f-a的值为.13.2024年春耕期间，某农业局将甲、乙、丙等5位农业干部分配到3个村庄去指导农民春耕，要求每人只去一个村庄，且这三个村庄都有人去，甲和乙不去同一个村庄，甲和丙去同一个村庄，则不同的分配方法共有____种(用数字作答).14.已知函数f x =a x-log a x,a∈0,1∪1,+∞，若f x 在其定义域上没有零点，则a 的取值范围是___．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本题满分13分)已知函数f(x)=a(2x+a)-ln x．(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当a>0时，f(x)>9ln a．(参考数据：ln2≈0.693)16.(本题满分15分)某商场举办购物有奖活动，若购物金额超过100元，则可以抽奖一次，奖池中有8张数字卡片，其中两张卡片数字为1，两张卡片数字为2，两张卡片数字为3，两张卡片数字为4，每次抽奖者从中随机抽取两张卡片，取出两张卡片之后记下数字再一起放回奖池供下一位购物者抽取，如果抽到一张数字为1的卡片，则可获得10元的奖励，抽到两张数字为1的卡片，则可获得20元的奖励，抽到其他卡片没有奖.小华购物金额为120元，有一次抽奖机会。

江西师大附中高三数学第三次模拟考试试题文

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1．设集合{}{}{}1,2,3,4,1,2,3,2,3,4U M N ===，则()U M N =（） A ．{}1,2 B ．{}2,3 C ．{}2,4 D ．{}1,42．若复数Z 满足1Z i i =+（i 为虚数单位），则复数Z =（）A ．1i +B ．1i --C ．1i -D ．1i -+ 3．已知函数()y f x =的定义域为[0,4]，则函数()2ln(1)y f x x =+-的定义域为（）A ．[1,2]B ．(1,2]C ．[1,8]D ．(1,8]4．若曲线3y x ax =+在坐标原点处的切线方程是20x y -=，则实数a =（） A ．1 B ．1- C ．2D ．2- 5．设数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若62a =，530S =，则8S =( )A ．31B ．32C ．33D ．346．对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式： ①222213,3135,41357,=+=++=+++②333235,37911,413151719,=+=++=+++根据上述分解规律，若2313511,m p =++++的分解中最小的正整数是21，则m p +=（）A ．10B ．11C ．12D ．137．甲、乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩用茎叶图表示如右图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙,则下列叙述正确的是（） A ．x x >甲乙；乙比甲成绩稳定 B ．x x <甲乙; 乙比甲成绩稳定 C ．x x >甲乙；甲比乙成绩稳定D ．x x <甲乙; 甲比乙成绩稳定8．一个空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球的表面积为（） A ．4πB ．8πC ．43πD ．82π 9．设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，若双曲线的右支上存在一点P ，使120PF PF ⋅=，且12F PF ∆的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为（） A ．2B ．3C ．2D ．510．某公司去年一年内每天的利润()Q t (万元)与时间t (天)的关系如图所示,已知该公司在该年度中每天平均利润为35万元,令()C t (万元)表示时间段[0,]t 内该公司的平均利润,则()C t 的图像可能是（）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．对于x R ∈，不等式|23|3x x --≥的解集为 12．已知sin(3)2sin(),2ππθθ-=-+则tan 2θ=13．已知||2,||4,(),a b a b a ==+⊥则|2|a b -=14．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为15．已知圆22:240C x y x my +-+-=上的两点M 、N 关于直线20x y +=对称，直线:10()l tx y t t R +-+=∈与圆C 相交于A 、B 两点，则||AB 的最小值是(14题)三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）设ABC ∆是锐角三角形，,,a b c 分别是内角A 、B 、C 所对边长，并且22cos cos cos()cos()66B A B B ππ-=-+.（1）求角A ；（2）若12,27AB AC a ⋅==，且b c <，求边,b c .17．（本小题满分12分）设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是各项均为正数的等比数列，且1135531,19,9a b a b a b ==+=+=（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）若11,n n n n n n C a b S a a +=+⋅为数列{}n C 的前n 项和，求n S .18．（本小题满分12分）从集合{1,2,3,4,5}A =中任取三个元素构成三元有序数组123(,,)a a a ，规定123a a a <<（1）从所有三元有序数组中任选一个，求它的所有元素之和等于10的概率；（2）定义三元有序数组123(,,)a a a 的“项标距离”为31||ii d a i ==-∑，(其中121)nin i xx x x ==+++∑，从所有三元有序数组中任选一个，求它的“项标距离”d 为偶数的概率；19. （本小题满分12分）如图，ABCD 是边长为2的正方形，ED ⊥平面ABCD, ED =1, EF //BD 且2EF =BD . （1）求证：平面EAC ⊥平面BDEF ;（2）求几何体ABCDEF 的体积.20．（本小题满分13分）已知函数2()()()f x x x a a R =-∈，()ln g x x =.（1）若()f x 在1x =处取得极值，求()f x 的极大值；（2）若在区间[1,2]上()f x 的图像在()g x 图像的上方（没有公共点），求实数a 的取值范围. 21．（本小题满分14分）已知两点F 1(-1,0)及F 2(1,0),点P 在以F 1、F 2为焦点的椭圆C 上,且|PF 1|、|F 1F 2|、|PF 2|构成等差数列. （1）求椭圆C 的方程; （2）如图,动直线l :y =kx +m 与椭圆C 有且仅有一个公共点,点M,N 是直线l 上的两点,且F 1M⊥l, F 2N ⊥l .求四边形F 1MNF 2面积S 的最大值.江西师大附中2013届高三数学（文）第三次模拟考试参考答案二、填空题11.(,0][6,)-∞+∞ 12．4313．14．10 15．三、解答题16..（1）22cos cos cos()cos()66B A B B ππ-=-+221131sin sin )cos sin 2244B B B B B B =+-=- 222111cos cos sin 444A B B ∴=+=又ABC 是锐角三角形 1cos 2A ∴=，从而3A π= (2)12AB AC ⋅=cos 12cb A =，从而24bc =…………①又2222cos a b c bc A =+-222228()3()72b c bc b c bc b c ∴=+-=+-=+-从而10b c +=…………②又,b c <由①②得4,6b c ∴==17.（1）设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q则44332253121921814948a b d q d q a b d q d q ⎧⎧+=++=+=⎪⎪⇒⎨⎨+=++=+=⎪⎪⎩⎩，消去d 得422280q q --= 24,q ∴=又0,2q q >∴=，从而1d = 1,2n n n a n b -∴==（2）记01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⋅12121222(1)22n n n n T T n n -==⨯+⨯++-⋅+⋅两式相减得2112222(1)21n n n n T n n --=++++-⋅=-⋅-(1)21n n T n ∴=-+1111122334(1)n Q n n =++++⨯⨯⨯+11111111223341n n =-+-++++-+ 111n =-+ 21(1)21n n n n n S T Q n n +∴=+=-⋅++ 18.（1）从集合{}1,2,3,4,5A =中任取三个不同元素构成三元有序数组如下{}1,2,3 {}1,2,4 {}1,2,5 {}1,3,4 {}1,3,5 {}1,4,5 {}2,3,4 {}2,3,5 {}2,4,5 {}3,4,5所有元素之和等于10的三元有序数组有{}{}1,4,5,2,3,521105P ∴== （2）项标距离为0的三元有序数组：{}1,2,3 项标距离为2的三元有序数组：{}{}1,2,5,1,3,4 项标距离为4的三元有序数组：{}{}1,4,5,2,3,5 项标距离为6的三元有序数组：{}3,4,563105P ∴== 19.（1）∵ ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴ ED ⊥AC ．∵ ABCD 是正方形， ∴ BD ⊥AC ，∴ AC ⊥平面BDEF ．又AC ⊂平面EAC ，故平面EAC ⊥平面BDEF ．（2）连结FO ，∵ EF ， ∴ 四边形EFOD 是平行四边形．由ED ⊥平面ABCD 可得ED ⊥DO ， ∴ 四边形EFOD 是矩形． ∵ 平面EAC ⊥平面BDEF ．∴ 点F 到平面ACE 的距离等于就是Rt △EFO 斜边EO 上的高，且高h =EF FOOE ⋅=． ∴几何体ABCDEF 的体积E ACD F ACE F ABC V V V V ---=++三棱锥三棱锥三棱锥=111111221+221323232⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =2．20..（1）()3f x x ax=-，()2'3f x x a=-，由'(1)0,3f a=∴=从而2'()333(1)(1)f x x x x=-=+-()f x∴在(),1(1,1)(1,)-∞-↑-↓+∞⇑()f x∴极大值()12f=-=（2）由题意知()()f xg x>在区间[1,2]上恒成立，即()2lnx x a x-<从而2ln xa xx<-记()2ln xh x xx=-，3221ln21ln'()2x x xh x xx x--+=-=当[1,2]x∈时，3211,ln0x x-≥≥'()0h x∴>()h x∴在[1,2]单调递增，从而min()(1)1,1h x h a==∴<21. (1)依题意,设椭圆C的方程为22221x ya b+=.1122PF F F PF、、构成等差数列,∴1122224a PF PF F F=+==, 2a=.又1c=,23b∴=.∴椭圆C的方程为22143x y+=(2) 将直线l的方程y kx m=+代入椭圆C的方程223412x y+=中,得01248)34(222=-+++mkmxxk由直线l与椭圆C仅有一个公共点知,2222644(43)(412)0k m k m∆=-+-=, 化简得:2243m k=+设11d F M==,22d F M==,(法一)当0k≠时,设直线l的倾斜角为θ,则12tand d MNθ-=⨯,12d d MN k-∴=,22121212221()221m d d d d S d d k k k --=+==+m m m m 1814322+=+-=, 2243m k =+,∴当0k ≠时,3>m ,3343131=+>+m m ,32<S . 当0=k 时,四边形12F MNF 是矩形,S = 所以四边形12F MNF 面积S的最大值为(法二)222222212222()2(53)11m k k d d k k +++=+==++, 222122233311m k k d d k k -+====++. MN ∴===.四边形12F MNF 的面积121()2S MN d d =+)(11212d d k ++=,22221222122)1(1216)2(11++=+++=k k d d d d k S12)211(41622≤-+-=k 当且仅当0k =时,212,S S ==故max S =所以四边形12F MNF 的面积S的最大值为。

江西师大附中高三三模试卷数学文

A . 3B .-3 6.函数f (x)cosx .3 sin x, x2 2 A .,B .33C . -1D . -7— C .-,0 D .-,03 36A . 24B . 28C . 48D .72uur uuu r&过点P （2, 1）的直线与抛物线y 8x 交于A 、B 两点，且PA PB 0 ,则此直线的方程为（ )江西省师大附中2010届高三三模试卷数学（文）审题人：高三数学（文）组审核苑娜娜 2010.5C . 115D . 95A .①③B .①④C . ②③D .②④4.已知 cos tan5 0 且 tan，贝Usin ( )121255A .-B y 2cos xC .D .513135.把函数f （x ） x—的图象按向量a （2,1）平移后得到函数 g （x ）的图象，又g （x ）的反函数为g 1（x ），则 ①p 或q”为真命题; 那么下列结论中正确的是（②p 或q”为假命题; ③非p 或非q”为真命题; ④非p 或非q”为假命题. x 2命题人：高三数学（文）组 12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 1.已知全集U = R ,集合A= x yJ 1 l x 1|| , B= y y影部分表示的集合为（）A .B . [0, 1)C . [0, 2]D . (1,2]3 .如果命题p 且q”为真命题, 、选择题：本大题共要求的•lg x,x2•若a n 为等差数列,a 3 4忌 19，则数列 a .的前10项和为（则图示中阴)g 1(1)() 7.从5名学生中选出 ,0的减区间是（）3人参加数学、物理、化学三科竞赛，每人不同的参赛方案共有（）种.1科，若学生甲不能参加物理竞赛，则A . x 4y 20 B . 4x y 7 0 C . x 8y 60 D . 8x y 15 0值为( )A .3二、填空题：本大题共 4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上. 13 .某厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比为2:3: 4，现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，样本中 A 产品有10件，那么此样本容量 n __________________ . 14 .已知平面向量a 1,2 ,b 1,1 ,若a a b ，则实数的值为 ___________________________ .x y 015 .在平面直角坐标系中，不等式组 x y 4 0表示的平面区域为 M , M 的边界所围成图形的外接圆面 x a积是36 ，那么实数a 的值为 __________________ .16 .四面体 ABCD 中，有如下命题：①若 AC 丄BD , AB 丄CD 贝U AD 丄BC ;②若E 、F 、G 分别是 BC 、AB 、CD 的中点，则/ FEG 的大小等于异面直线 AC 与BD 所成角的大小；③若点 O 是四面体ABCD 外接球的球心，则O 在平面ABD 上的射影是△ ABD 的外心；④若四个面是全等的三角形，则四面体ABCD 是正四面体•其中正确命题的序号是 ________________________ (填上所有正确命题的序号) •9. 某外商到一开发区投资增加2万美元，每年销售蔬菜收入A . 5B . 610. 如右图，直角三角形 ABCO 表面上，若OC 与三角形 ( ) A . 59 25万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年支出各种经费6万美元，以后每年支出30万美元，则该外商经营( )年所获的平均利润最大•C . 7D . 8 的边 AC = 3, BC = 4,ACB 90°,ABC 所在平面成30°的角，则球O 的表 50C .型311.若n 为函数f(x)x 12的最小值, 则二项式 2(x 2 n-) x的展开式中的常数项是 A . 12 12.已知双曲线( ) B . 2x E ： 2 C . 2688 240 2y2 1(a0,b 0)的离心率为 5376e ，左、右两焦点分别为 F i 、F 2，焦距为2c ，抛物线a bC 以F 2为顶点，F 1为焦点，点P 为抛物线与双曲线右支上的一个交点，若a PF 2 c PR 11a 2,则e 的D . 2顶点在球面积为三、解答题：本大题共6小题，共74分•解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.17. （本小题12分）已知ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且tan A tan B ^_c . tan A tan B c（1）求角A;urn iur（2）若BA AC 6,求a的最小值.18. （本小题12分）2010年上海世博会园区共有A、B、C、D、E五个展区，5月1日开幕后，观众如潮，截止5月20日已有500多万人参观了世博会园区，统计结果表明：其中90%的人参观了A区，50%的人参观了B区，60%的人参观了C区，……•据此规律，现有甲、乙、丙、丁4人去世博会园区参观，且假设4人参观是相互独立的，试求：（1 ）这4人中恰有两人参观了A展区的概率；（2）这4人中恰有两人参观了A、B、C展区中的两个的概率（精确到0.0001）.（参考数据：462 2116 , 482 2304 , 522 2704 , 542 2916 ）19. （本小题12分）如右图，已知ABCD为正方形，AE 平面ABCD ,AD DF 2AE 2.（1）求证：平面BEF 平面BDF ;2）求点A到平面BEF的距离；3）求平面BEF与平面BCD所成的二面角的大小CB20. (本小题12分) 已知函数f(x) ax3 bx c为R上的奇函数，且当x=1 时，有极小值-1 ;函数1 3 3 3g(x) -x ^x t -(t R,t 0)(1)求函数f (x)的解析式；(2)若对于任意x [ —2, 2],恒有f (x) g(x)，求t的取值范围.21 .(本小题12分)椭圆C的中心在原点O,焦点在y轴上，焦点到相应准线的距离以及离心率均为—2，直线I与y轴2 交于点P(0,m)，又与椭圆C交于相异两点A、B且AP PB.(1)求椭圆方程；uun uun uur(2)若OA OB 4OP，求m的取值范围.22.(本小题14分) 已知函数f (x) x22x.(〔)数列｛a n｝满足:a1 1,a n 1 f (a n),求数列｛a n｝的通项公式；(2)已知数列｛b n｝满足b t 0,b n 1 f (b n)(n N*)，求数列｛b n｝的通项公式；(3)在(2)的条件下，设C n ^^」,数列｛C n｝的前n项和为3,若不等式S对所有的正整数n恒b n 1成立，求的取值范围•高三三模数学（文）答案一、选择题： DCBDA CCBAC DD 二、填空题：13.45; 14.5 ; 15.4;16.①③；三、解答题：本大题共 6小题，共74分•解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.”tan A tanB be si nAcosB sin BcosA sinB sinC 17•解:(1)tan A tanB c sin AcosB sin BcosA sinCsi nAcosB sin B cos A sin B si nCsin(A B) si nC 0 sin (A B) sinC2cosAs in Bsin BsinB 0 1 2 cosAA (0, ) A23(2)BA AC6bc cos60 6bc 122 ,2a b2c 2bccosA 2 ,2a b2c bc 3bc 36当且仅当b c2-3 时，a6minsin AcosB sin BcosA sinB sin(A B)18•解：（1）PC 2（存令20.0486486 10000答：这4人中恰有两人参观了 A 展区的概率为0.0486.（2）先求某个人参观了 A 、B 、C 展区中的两个的概率为:954956 156 4810 10 10 10 10 10 10 10 10 100 则这4人中恰有两人参观了 A 、B 、C 展区中的两个的概率为:P 2 248 2 48 25°新答：这4人中恰有两人参观了0.3738A 、B 、C 展区中的两个的概率约为 0.3738.19 •解：(1)连AC 交BD 于O,取BF 的中点G ,连EG1 1OG 〃一DF ,AE 〃一 DF OG//AE2 2四边形AOGE 是平行四边形 AO//EGDF AO 又AO BDAO 平面 BDF EG 平面 BDF EG 平面 BEF 平面 BEF 平面 BDFO 到平面BEF 的距离就是 A 到平面BEF 的距离DF 平面ABCD⑵由（1）知AO// EGAO//平面 BEFV6平面BEF 与平面BCD 所成的二面角的大小为 arccos ——320 .解：(1)由 f( x)f(x) c 01由f (1) 3a b 0a - 2f(1) a b1b2经检验在x=1时，f(x)有极小值—1,仃 \ 1 3 3• •• f (x) x x2 2(2)设 h(x)f (x) g(x) x 3 3x令 h (x) 3x 23 0得x 1 或x1•f (x ) ” 3x2 23 2t 亍则 h (x) 3x 3,，令 h (x) 3x 23 0得 1 x 1所以h(x)在区间［—2, — 1］及［1 , 2］上的增函数，在区间过O 作OH BF 于H 平面BEF 平面BDF OH 平面BEFOH OB BOH ~ BFDOHDF BF(3)设平面BEF 与平面BCD 所成的角为即点A 到平面BEF 的距离为COSS ABDSBEF［—1, 1］上的减函数,h(x)min minh(2),h(1) h(1) 2 t 3使对于任意X[-2, 2], 恒有f(x)g(x)，则h(1)23 t - t解得t 3或t 1t(,3) (0,1)21 •解：（1）设椭圆C的方程为 2 y22 X 2a b242 c,2■ 21( a b 0)ca b c c 2 a2a 1,bc ■ 2椭圆C的方程为y2 2x21- ... 分2(2 )由AP PB得0P0A(OB OP)即(1)OP OA OB 当0、A、B不共线时， 1 4, 3 , m 0设l与椭圆C交点为A（x i, yj B（X2, y2）kx m代入2x y2 1 得(k22)x2 2kmx则x1AP (2km)24(k22)( m21) 4(k2 2m2m2 1k23PB2) 2m22 km2朴2 k2 2X1 X2为3x2X1X22X23X22消去x2得3（x1x2 )2 4x1x2即4k 2m2 2m2k2 2 0 m2— , 4k2m242m2k2m2 4 时,k222 2m；14m22代入①得帶2m2m2 1当o、1 1丄或丄2 2A、B共线时，分.101，此时m 01综上所述m （ ^）1（丁）01222 •解：(I) f (x) 2x 2,a n 1 2a n 2 a. 1 2 2© 2) ｛a n 2｝为等比数列，a n n 12 (a1 2)2 n 1a n 3 2 2(n )由已知得b n 0 , 2b n 1 1 (b n 1),……吩lg(b n 1 1) 2lg( b n 1),•••又lg(b 1) lg(t 1) 0,所以｛ig( b n 1)｝的公比为2的等比数列,2“ 1(t 1)2 1(川) Q b k 1 b：2b k, b k b k 1 b kS n Qt S nb k 1b k 1C1 C2 0, tS1又不等式(b k 2)1b k 1Cn1,b kk 1,2,b2 b3) 1 1 1)b n b n 1 t (t 1)1 S n在n N上是增函数1 t 1(t 1)2 1 t2 2t,S n对所有的正整数n恒成立,t 1t2 2t一t 1故的取值范围是(，-------- ---- )t2 2t。

2020年江西师大附中高考数学三模试卷(文科) (解析版)

2020年江西师大附中高考数学三模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|−1≤x ≤1}，B ={x|x 2−2x ≤0}，则A ∩B =( )A. [0,1]B. [−1,2]C. [−1,0]D. (−∞,1]∪[2,+∞)2. 设复数z =2i1−i ，则z =( )A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i3. cos(−52π3)等于( )A. −√32B. −12C. 12D. √324. 已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1)，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |等于( )A. 1B. √2C. 2D. √55. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A. 若m ⊥n ，m//α，n//β，则α//βB. 若m ⊥n ，α∩β=m ，n ⊄α，则α⊥βC. 若m//n ，m ⊥α，n ⊥β，则α⊥βD. 若m//n ，n ⊥β，m ⊂α，则α⊥β6. 将函数y =sin(2x +π6)的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象的一个对称中心为( )A. (π12,0)B. (π4,0)C. (π3,0)D. (π2,0)7. 设等比数列{a n }的各项均为正数，其n 前项和为S n ，则“S 19+S 21>2S 20”是“数列{a n }是递增数列”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 函数f(x)=sin3x3x −3−x 的图象大致为( )A. B.C. D.9.我们熟悉的卡通形象“哆啦A梦”的长宽比为√2:1，在东方文化中常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用，已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台之间高度差为100米，则下面选项中与该塔的实际高度最接近的是()A. 400米B. 480米C. 520米D. 600米10.已知直线l：y=x+√2与圆A：x2+y2=r2(r>0)相切，则圆B：x2+y2−2x+4y−4=0与圆A的位置关系是()A. 外离B. 相切C. 相交D. 内含11.设直线x−3y+m=0(m≠0)与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A，B，若点P(m,0)满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是()A. √52B. 2 C. √72D. 312.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，棱长为1，E、F分别为C1D1与AB的中点，B1到平面A1FCE的距离为()A. √32B. √63C. √105D. √305二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 3−n 2，则a 10= ______ ．14. 已知过抛物线x 2=6y 焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且y A +y B =6，则|AB|=______． 15. 已知实数x ，y 满足{x −y ≤52x +y −1≥0x +2y −2≤0，则z =3x +y 的最小值为______．16. 已知函数f(x)={a ⋅e x ,x ≤0−lnx,x >0，其中e 为自然对数的底数，若关于x 的方程f(f(x))=0有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知asin2B =bsinA ．(1)求B ；(2)若b =3√2，△ABC 的面积为3√32，求△ABC 的周长．18. 考试评价规定：在测试中，客观题难度的计算公式为P i =Ri N ，其中P i 为第i 题的难度，R i 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：(1)根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；(2)从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，求这2名学生中至少有1人答对第5题的概率；(3)试题的预估难度和实测难度之间会有偏差．设P i′为第i题的实测难度，P i为第i题的预估难度．定义统计量S=1n[P1′−P1)2+(P2′−P2)2+⋯+(P n′−P n)2]，考试评价规定：若S<0.05，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试对难度的预估是否合理．19.四棱锥P−ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB//CD，AB⊥AD，AB=12CD=1，PA⊥平面ABCD，PA=AD=√3．(1)求证：PD⊥AB；(2)求四棱锥P−ABCD的体积．20.已知椭圆E：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且过点C(1,0)．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)若过点(−13,0)的任意直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，求证：恒有|AB|=2|CM|．21. 已知函数f(x)=x ⋅lnx ，g(x)=2mx −1(m ∈R)．(Ⅰ)求函数f(x)在x =1处的切线方程；(Ⅱ)若∀x ∈[1e ,e]，f(x)>g(x)恒成立，求实数m 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =−1+2cosφy =2sinφ(φ为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知点P 的直角坐标为(−2,0)，过P 的直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点．(1)若l 的斜率为2，求l 的极坐标方程和曲线C 的普通方程； (2)求PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．23.已知函数f(x)=|2x−1|．(1)解关于x的不等式f(2x)≤f(x+1)+1；(2)若实数a，b满足a+b=2，求f(a2)+f(b2)的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：B={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，则A∩B={x|0≤x≤1}=[0,1]，故选：A求出集合B，根据交集定义进行求解．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.答案：D解析：解：∵复数z=2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=i(1+i)=−1+i，∴z=−1−i，故选：D．复数z=2i1−i，利用两个复数代数形式的除法法则化简为a+bi，从而得到它的共轭复数．本题主要考查两个复数代数形式的混合运算，属于基础题．3.答案：B解析：解：cos(−52π3)=cos(−17π−π3)=cos(17π+π3)=cos(π+π3)=−cosπ3=−12．故选：B．利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4.答案：A。

【精准解析】江西师大附中2020届高三三模考试数学(文)试题

江西师大附中2020届高三三模考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合()(){}320A x x x =+-≥，{}2log B x y x ==，则A B =（）A. []1,4B. []1,2C. [)2,+∞D. [)1,+∞【答案】C 【解析】【分析】首先化简集合A ，B ，再求AB 即可.【详解】解：()(){}(][)320,32,A x x x =+-≥=-∞-⋃+∞[)22{|}{|log 0},og 1l B x y x x x ===≥=+∞，[)2,A B =+∞.故选：C【点睛】本题主要考查集合的交集运算，同时考查了函数的定义域求法，属于简单题. 2.设复数1i1i-=+z ，则z 的共轭复数为（） A. i B. i -C. 1i -D. 1i +【答案】A 【解析】【分析】先化成复数代数形式，再根据共轭复数定义选择.【详解】解：因为()()()211111i i z i i i i --===-++-，所以z i =，故选：A.【点睛】本题考查复数除法法则以及共轭复数定义，考查基本分析求解能力，属基础题. 3.2π3ππtancos 323⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值为（）A. 2-B. 1212【答案】A 【解析】【分析】利用诱导公式先进行化简，然后利用特殊角的三角函数值进行求解.【详解】2π3ππππtan cos tan sin 3233322⎛⎫+-=--==-⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题主要考查利用诱导公式求值，熟记特殊角的三角函数值是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.4.已知向量()2,1AB =-，()3,2AC =-，则CB =（）【答案】D 【解析】【分析】由已知可得(5,3)CB AB AC =-=-，从而可求出CB 的值. 【详解】解：因为向量()2,1AB =-，()3,2AC =-，所以(5,3)CB AB AC =-=-，所以25CB == 故选：D【点睛】此题考查平面向量的坐标运算，向量的模，向量的减法运算，属于基础题. 5.已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题： ①若m α⊥，//n α，则m n ⊥；②若//m n ，n ⊂α，则//m α； ③若//m α，βn//，//αβ，则//m n ；④若m β⊥，//m α，则αβ⊥．其中所有正确命题的序号是（） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①④【答案】D【解析】【分析】利用线面平行和线面垂直的性质可判断①的正误；利用线面的位置关系可判断②③的正误；利用线面平行的性质和面面垂直的判定定理可判断④的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题①，若//n α，过直线n 的平面β与α的交线a 满足//a n ，则a α⊂，m α⊥，m a ∴⊥，//a n ，则m n ⊥，命题①正确；对于命题②，若//m n ，n ⊂α，则//m α或m α⊂，命题②错误；对于命题③，若//m α，βn//，//αβ，则m 与n 平行、相交或异面，命题③错误；对于命题④，若//m α，过直线m 的平面γ与α的交线b 满足//b m ，且b α⊂，m β⊥，则b β⊥，αβ∴⊥，命题④正确.故选：D.【点睛】本题考查线面、面面位置关系有关命题的判断，考查推理能力，属于中等题. 6.若将函数πsin 213y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象的一个对称中心为（） A. π,04⎛⎫⎪⎝⎭B. π,14⎛⎫⎪⎝⎭C. π,03⎛⎫⎪⎝⎭D. π,13⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】由πsin 213y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后2sin 213y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求得对称中心即可.【详解】解：πsin 213y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后得到的函数为 π2sin 21sin 21633y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 令22()3x k k Z ππ-=∈，则()32k x k Z ππ=+∈.所以，所得图象的对称中心为,1()32k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭. 当0k =时，所得图象的一个对称中心为,13π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题主要考查正弦型函数的平移变换及对称中心，属于基础题.7.已知数列{}n a 的前n 项和12nn S m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则“1m =”是“{}n a 是等比数列”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】先令1n =，求出1a ，再由1n >时，根据1n n n a S S -=-，求出n a ，结合充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【详解】解：当1n =时，1112a S m ==-，当1n >时，11211212n n n n n n a S S --=-=-=-若1m =，则11212a m =-=-，221214a =-=-，2112a a =当1n >时，11112122n n n n a a ++⎛⎫=-⨯-= ⎪⎝⎭，数列{}n a 是等比数列；若数列{}n a 是等比数列，12121a m =-=-，12n n a =-， 1m =，所以，是充分必要条件．故选：C 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，熟记概念，以及数列的递推公式即可求解，属于常考题型. 8.函数2sin 22x xxy -=+的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】利用奇偶性排除C ，当0x π<<时利用基本不等式和三角函数的有界性可以得到()(0,1)f x ∈，从而排除BD ，进而得到答案.【详解】记2sin 22x x x y -=+为2sin ()22x x x f x -=+，()2sin 2sin ()()2222x x x xx xf x f x ----==-=-++， ∴()f x 是奇函数，排除C; 当0x π<<时，2sin ()sin (0,1)22222x x x xx f x x --=≤∈+⋅,故B 、D 错误，故选：A.【点睛】本题考查已知函数的解析式，判定图象，涉及函数的奇偶性，三角函数的性质，基本不等式，指数函数的性质，属小综合，难度一般.9.在《周髀算经》中，把圆及其内接正方形称为圆方图，把正方形及其内切圆称为方圆图.圆方图和方圆图在我国古代的设计和建筑领域有着广泛的应用.山西应县木塔是我国现存最古老、最高大的纯木结构楼阁式建筑，它的正面图如下图所示.以该木塔底层的边AB 作正方形，以点A 或点B 为圆心，以这个正方形的对角线为半径作圆，会发现塔的高度正好跟此对角线长度相等.以该木塔底层的边AB 作正方形，会发现该正方形与其内切圆的一个切点D 正好位于塔身和塔顶的分界线上.经测量发现，木塔底层的边AB 不少于47.5米，塔顶C 到点D 的距离不超过19.92 1.414≈）（）A. 66.1米B. 67.3米C. 68.5米D. 69.0米【答案】B 【解析】【分析】CD 212-，再根据木塔底层的边AB 不少于47.5米，即可求解. 【详解】解：设木塔的高度为h ，有图可知，2 1.41447.567.165h =≥⨯=（米），同时22CD h =，219.967.9181.414212112CD h ==≈---（米），即木塔的高度应在67.165米至67.918米之间，只有B 符合. 故选：B.【点睛】根据给定图形观察出待求线段与已知线段之间的比例关系是解答本题的关键，同时考查运算求解能力；属于基础题. 10.已知圆()22241:C x y a a +-=的圆心到直线20x y --=的距离为21C 与圆222:2440C x y x y +--+=的位置关系是（）A. 相交B. 内切C. 外切D. 相离【答案】B 【解析】【分析】根据圆1C 的方程求得圆心为()2,0a ，半径为2a ，利用点到直线的距离公式得到22a =，求得圆心距，根据圆与圆的位置关系进行判定.【详解】圆()22241:C x y a a +-=的圆心为()20a ，，半径为2a .圆心到直线20x y --=的距离为d ==22a =.∴圆()221:24C x y +-=的圆心为()0,2A ，半径为1r =2，圆222:2440C x y x y +--+=的标准方程为：()()22x 1y 21-+-=，圆心坐标为()1,2B ，半径21r =，圆心距121d r r ===-，∴两圆相内切，故选：B.【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的判定，涉及点到直线的距离公式，圆的一般方程和标准方程，属中档题.11.设R m ∈，已知直线()200x y m m --=≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点M ，N ，若点()2,0Q m 满足QM QN =，则该双曲线的离心率为（）C. 2D.2【答案】D 【解析】【分析】求得两条渐近线的方程为by x a=±，联立方程组求得,M N 的坐标，再由QM QN =，得到MN PQ ⊥,结合斜率公式，求得2223b a =，进而求得双曲线的离心率.【详解】由题意，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线的方程为b y x a =±，联立20x y m by x a --=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得(,)22am bm M a b a b --，同理可得(,)22am bmN a b a b-++，所以MN的中点坐标为22 22222(,)44a mb mPa b a b--，因点()2,0Q m满足QM QN=，则MN PQ⊥,可得2222220142224b ma ba mma b--=---，整理得2223b a=，又由222c a b=+，所以2222()3c a a-=，可得2225c a=，所以双曲线的离心率为10cea==.故选：D.【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，以及两直线的位置关系的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.12.如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D-中，点E是棱11A D的中点，113D F FC=，若过点A，E，F的平面分别交棱1CC、BC于点G，H，则线段GH的长度为（）A.343B.453C.973D.103【答案】B【解析】【分析】在DC的延长线上取点P，使2CP=，通过证明////EF KL AP确定出点H；直线EF与11B C 交于点M，连结MH，则MH和1CC的交点就是过点A，E，F的平面与棱1CC的交点G，然后根据三角形相似，进一步可求线段GH的长度.【详解】解：由113D F FC =知，113,1D F FC ==,取AD 的中点K ，在线段DC 上取点L ，使3LD =，则1LC = 由1KD ED ，所以四边形1KDD E 为平行四边形，1KE DD ，由1LD FD ，所以四边形1DD FL 为平行四边形，1FL DD ，所以FL KE ，所以四边形FLKE 为平行四边形，EF KL ，在DC 的延长线上取点P ，使2CP =，连结AP 则L 是线段DP 的中点，所以12KLAP ，所以//EF AP ，所以过点A ，E ，F 的平面与棱BC 的交点H 就是线段AP 与线段BC 的交点，设直线EF 与11B C 交于点M ，连结MH ，则MH 和1CC 的交点就是过点A ，E ，F 的平面与棱1CC 的交点G ，由1D EF 和1C MF △相似，易求123MC =，由PCH △和PDA 相似，易求43HC =，由1C GM △和CGH 相似，易求83GC =，所以2222844533GH HC GC ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B【点睛】考查几何体中不共线三点确定平面的方法以及求线段的长度的方法，中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若数列{}n a 的前n 项和2nn S n =+，则5a =______________．【答案】17【解析】【分析】由554a S S =-可求得结果.【详解】解：因为数列{}n a 的前n 项和2nn S n =+，所以54554(25)(24)17a S S =-=+-+=，故答案为：17【点睛】此题考查数列前n 项和n S 与通项n a 的关系，属于基础题.14.已知过抛物线2:8C x y =的焦点F 的直线l 交C 于A ，B 两点，若点A 的横坐标为2，则点B 到C 的准线的距离为____________．【答案】10 【解析】【分析】由已知求出点A ，F 的坐标，则可得直线l 的方程，再与抛物线方程联立成方程组，求出点B 的坐标，然后由抛物线的定义可求出点B 到C 的准线的距离. 【详解】解：由已知得(0,2)F ，准线方程为2y =- 因为点A 的横坐标为2，所以点A 的纵坐标为12，即1(2,)2A ，所以直线l 的斜率为1232024k，所以直线l 的方程为324y x =-+，由23248y x x y⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，得26160x x +-=，解得2x =或8x =-，所以点B 的纵坐标为8所以点B 到C 的准线的距离为8210+=，故答案为：10【点睛】此题考查抛物线的定义和性质，直线与抛物线的位置关系，属于基础题.15.已知变量x ，y 满足2303020x y x y x y m -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-+≤⎩，若2z x y =+的最小值为5，则实数m 等于____________．【答案】3 【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，由2z x y =+得122z y x =-+，它表示斜率为12-，纵截距为2z的直线系，再利用数形结合分析即得解.【详解】不等式组对应的可行域为如图所示的平面区域，由2z x y =+得122z y x =-+，它表示斜率为12-，纵截距为2z的直线系，当直线经过点A 时，直线的纵截距2z最小，z 最小.联立3020x y x y m +-=⎧⎨-+=⎩得(2,1)33m m A -+，所以2522,33m m=-++ 所以3m =. 故答案为：3【点睛】本题主要考查利用线性规划的最值求参数的值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.16.已知函数()()1,1ln ,1x x e x f x x x x⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，其中e 为自然对数的底数．若函数()()g x f x kx=-有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是__________________．【答案】10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】函数有三个零点，可以转化为两个函数有三个不同的交点问题，求导分析函数单调性，画出图像，观察求出实数k 的取值范围.【详解】()1当1x ≤时，()()10xf x x e =-≤，()()1x x x f x e x e xe '=+-=，当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减，当01x <≤时，()0f x '>，()f x 单调递增，()f x ∴在0x =时取得极小值也即最小值()01f =-；()2当1x >时，()ln 0xf x x=>， ()21ln xf x x -'=，当1x e <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，当x e >时，()0f x '<，()f x 单调递减，()f x ∴在x e =时取得极大值也即最大值()1f e e=；把函数()()g x f x kx =-有3个不同的零点转化为()f x kx =有三个不同的交点问题；当ln xy x=与y kx =相切时，两函数图形恰好有两个交点，设切点坐标为(),A m n ，则2ln1lnmnmn kmmkm⎧=⎪⎪=⎨⎪-⎪=⎩，整理得12m e=，12ke∴=，由图像观察得：12ke<<.故答案为：10,2e⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了已知函数的零点个数求参数问题，考查了函数与方程思想，转化思想.属于较难题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，πsin22sin cos3a Bb A B⎛⎫=-⎪⎝⎭．（1）求cos B的值；（2）若ABC的面积为1，求b的最小值．【答案】（1）3cos2B=；（262【解析】【分析】（1）根据正弦定理把边化角得到cos cos 3B B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用ABC 为锐角三角形得出6B π=，进而得出结论；（2）利用三角形的面积公式得到4ac =，再利用余弦定理和基本不等式得出结论.【详解】（1）由sin 22sin cos 3a B b A B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，得 2sin sin cos 2sin sin cos 3A B B B A B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π,0,,sin 0,sin 0,cos cos 23A B A B B B π⎛⎫⎛⎫∈≠≠∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为ABC 为锐角三角形，所以0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,363B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以3B B π=-，从而6B π=，所以cos 2B =．（2）因1sin 12ABC S ac B ==△，所以4ac =，又222222cos 28b a c ac B a c ac =+-=+-≥-=- 当且仅当2a c ==时取等号，所以b =【点睛】本题主要考查正余弦定理和基本不等式.属于中档题.18.2019年起，全国地级及以上城市全面启动生活垃圾分类工作，垃圾分类投放逐步成为居民的新时尚．为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了某市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：（1）分别估计厨余垃圾和有害垃圾投放正确的概率；（2）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“有害垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ，b ，c ，d ，其中0a >，800a b c d +++=．当数据a ，b ，c ，d 的方差2s 最大时，写出a ，b ，c ，d 的值（结论不要求证明），并求此时2s 的值．【答案】（1）5182，；（2）600a =，0b c d ===；2120000s =．【解析】【分析】（1）用厨余垃圾投放正确的数量比上厨余垃圾总量可得“厨余垃圾”投放正确的概率，同理可求出有害垃圾投放正确的概率；（2）当800a =，0b c d ===时，数据a ，b ，c ，d 的方差2s 最大，求出平均值根据方差计算公式求解即可.【详解】（1）估计“厨余垃圾”投放正确的概率为130030053007030804808P ===+++；估计“有害垃圾”投放正确的概率为260601202060201202P ===+++．（2）当800a =，0b c d ===时，数据a ，b ，c ，d 的方差2s 最大．因为2004a b c dx +++==，所以此时方差()()()()()222222211600320012000044s a x b x c x d x ⎡⎤=-+-+-+-=+⨯=⎣⎦．【点睛】本题考查频率估计概率、样本数据的方差，属于基础题.19.如图，在四棱台ABCD EFGH -中，底面ABCD 是菱形，平面CDHG ⊥平面ABCD ，1CG GH HD ===，2BD CD ==．（1）求证：CD BF ⊥；（2）求四棱台ABCD EFGH -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）74．【解析】【分析】（1）延长AE ，BF ，CG ，DH 可相交于一点S ，取CD 的中点M ，连接SM 交GH 于点N ，连接FN ．可证SM CD ⊥，BM CD ⊥，然后利用线面垂直的判定定理证明CD ⊥平面SBM ，进而根据线面垂直的定义得到CD BF ⊥；（2）由（1）的中间结论SM CD ⊥，利用面面垂直的性质定理得到SM ⊥平面ABCD ，进而计算得到所求体积.【详解】（1）在四棱台ABCD EFGH -中，延长AE ，BF ，CG ，DH 可相交于一点S ，如图所示．取CD 的中点M ，连接SM 交GH 于点N ，连接FN ．因为1CG GH HD ===，所以SC SD =，从而SM CD ⊥．因为底面ABCD 是菱形，2BD CD ==，所以BCD 为正三角形，所以BM CD ⊥．又因为SM BM M ⋂=，所以CD ⊥平面SBM ．所以CD SB ⊥，即CD BF ⊥．（2）因为平面CDHG ⊥平面ABCD ，所以由（1）可知，SM ⊥平面ABCD ．因为1GH =，2CD =，//GH CD ，所以12SN SM =．又1CG =．所以SM ==所以四棱台ABCD EFGH -的体积为1133ABC E D FGH V S SM S SN =⋅-⋅2211721323224=⨯⨯⨯⨯⨯=．【点睛】本题考查棱台的结构特征，线面垂直的判定与性质，面面垂直的性质，棱台的体积计算，属中档题.注意棱台的侧棱延长后交于同一点.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，其上顶点为B ，左焦点为F ，原点O 到直线BF ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点()1,1A 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，且1AM AN ⋅=，求直线l 的方程．【答案】（1）22162x y +=；（2）y x =或2y x =-+．【解析】【分析】（1）由题意可得bc =，而c e a ==，可求出b =222a b c =+求出26a =，从而可得到椭圆的标准方程；（2）先判断直线l 的斜率存在，然后设出直线l 的方程()11y k x -=-，与椭圆方程联立成方程组，消元后得到()()()22231613160k x k k x k ++-+--=，再用根与系数的关系，再结合1AM AN ⋅=列方程可求出k 的值，从而可得到直线方程. 【详解】（1）由已知，()0,B b ，(),0F c -，所以BF a =，所以bc =，即c a ==b =．又222213b e a =-=，所以26a =．所以椭圆C 的方程为22162x y +=．（2）将1x =代入22162x y +=得，253y =，y =，此时2111333AM AN ⎛⎫⎛=-+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，直线l 的斜率必定存在．设直线l 的方程为()11y k x -=-，即1y kx k =+-，()11,M x y ，()22,N x y ，联立221162y kx kx y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()()()22231613160k x k k x k ++-+--=，所以()1226131k k x x k -+=+，()212231631k x x k --=+，．所以1211AM AN =--()()()()()222212122316613111131k k k k k x x x x k k ----++=+-++=+⋅+()2221131k k +==+，．解得21k =，所以1k =±．所以直线l 的方程为y x =或2y x =-+．【点睛】此题考查了求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查了运算能力，属于中档题.21.已知函数()()12xf x x =+⋅．（1）求曲线()y f x =在0x =处的切线方程；（2）若关于x 的不等式()12ln 22f x a x x x x ⎛⎫≥++++ ⎪⎝⎭在区间()0,∞+上恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()ln 211y x =++；（2）(],24ln 2-∞-．【解析】【分析】（1）先求导数可得切线的斜率，结合切点坐标可求切线方程；（2）把目标不等式进行化简，分出参数，结合导数求解新函数的最小值，然后可得结果. 【详解】（1）由已知，()()12xf x x =+⋅，从而()()()212ln 221ln 21xxxf x x x '=++⋅=++⎡⎤⎣⎦，．所以()01f =，()0ln 21f '=+，所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为()1ln 21y x -=+⋅，即()ln 211y x =++．（2）当0x >时，()12ln 22f x a x x x x ⎛⎫≥++++ ⎪⎝⎭可化为()()21221ln 22x x x x a x +≥++++，即()()21221ln 22xa x x x x ≤+++--．令()()()21221ln 22xg x x x x x =+++--，0x >，则依题设，只需()min a g x ≤．()()()()()212ln 222ln 22221ln 21x x x g x x x x '=++-+-=-++⎡⎤⎣⎦，因为()1ln 210x ++>，所以当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>．从而()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()min 144ln 2224ln 2g x g ==--=-，所以24ln 2a ≤-，即实数a 的取值范围是(],24ln 2-∞-．【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数求解切线问题的关键是求解切线的斜率，恒成立问题一般利用分离参数进行求解，结合函数的最值可求参数范围，侧重考查数学抽象的核心素养.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为πcos 3ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设()0,2M ，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求MA MB +的值．【答案】（1）曲线C 的普通方程为228x y -=；直线l的直角坐标方程为0x +-=；（2）．【解析】【分析】（1）由曲线C 的参数方程消去t 即可得曲线C 的普通方程；由直线l的极坐标方程为πcos 3ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos ,sin x y ρθρθ==，即可得直线l 的直角坐标方程；（2）根据题意得直线l的标准参数方程为122x y λ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（λ为参数），把它代入曲线C 的直角坐标方程，利用直线l 的参数的几何意义解题即可.【详解】解：（1）由22x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得，2222228x y t t t t ⎛⎫⎛⎫-=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以曲线C 的普通方程为228x y -=．由cos 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得，1cos sin 2ρθρθ=，所以x +=l的直角坐标方程为0x +-=．（2）由（1）知，点()0,2M 在直线l 上，设l的标准参数方程为122x y λ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（λ为参数），A ，B 两点对应的参数分别为1λ，2λ，由直线参数方程的几何意义知：12,MA MB λλ==.将2122x y λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入228x y -=，得24240λλ--=，所以124λλ+=，1224λλ⋅=-，所以12λλ、一正一负. 从而1212MA MB λλλλ+=+=-===．【点睛】本题主要考查参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线参数方程的几何意义解题，属于中档题.23.已知函数()21f x x =-．（1）解关于x 的不等式()()211f x f x ≤++；（2）若实数a ，b 满足2a b +=，求()()22f a f b +的最小值．【答案】（1）13,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）2．【解析】【分析】（1）不等式转化为41211x x -≤++，利用绝对值内的式子的零点分区间求解，然后取并集即得；（2）先利用绝对值三角不等式得到()()()222222f af b a b +≥+-，再利用基本不等式的变形或者柯西不等式求得()2224a b +≥，即得所求最小值，注意验证取等号的条件. 【详解】（1）因为()21f x x =-，所以()241f x x =-，()121f x x +=+，所以()()211f x f x ≤++即41211x x -≤++，①当12x ≤-时，不等式可化为14211x x -++≤，解得12x ≥，此时不等式无解； ②当1124x -<<时，不等式可化为()14211x x --+≤，解得16x ≥-，此时1164x -≤<； ③当14x ≥时，不等式可化为()41211x x --+≤，解得32x ≤，此时1342x ≤≤；综上，不等式()()211f x f x ≤++的解集为13,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．（2）()()()222222212122f a f b a b a b +=-+-≥+-因为()()22224a b a b +≥+=，从而()22222a b +-≥，即()()222f a f b +≥，当且仅当1a b ==时取等号，所以()()22f af b +的最小值为2．【注】也可由柯西不等式得，()()()22222114a b a b ++≥+=，从而222a b +≥．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和利用绝对值不等式性质求最小值问题，涉及基本不等式求最值，也可以使用柯西不等式求解，属中等难度的题目.。

江西师大附中2020届高三三模考文科数学试卷

选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将答题卡交回监考老师．
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．已知集合 A {x | (x 3）(x 2) 0} ， B {x | y log 2 x} ，则 A B
2x y 3 0,
15.
已知变量 x ，y
满足
x
y 3 0,
若 z x 2 y 的最小值为 5 ，则实数 m 等于
．
x 2 y m 0.
16.
已知函数
f
(x)
(x 1)ex
ln x x
,
,
x x
1, 1.
其中 e 为自然对数的底数.
若函数 g(x)
f (x)
kx
有3
个不同的零点，则实数 k 的取值范围是
C2 : x2 y2 2x 4 y 4 0 的位置关系是
A. 相交
B．内切
C．外切
D．相离
11．设 m R ，已知直线 2x
ym
0(m
0) 与双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的两条渐近线
分别交于点 M ， N ，若点 Q(2m,0) 满足 | QM || QN |，则该双曲线的离心率为
A. 2
5
B.
2
C. 2
10
D.
2
12．如图，在棱长为4的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 E 是棱 A1D1 的中点，D1F 3FC1 ，若过点 A ，E ，F 的平面分别交棱 CC1 、BC

2019届江西师大附中高三第三次考前模拟密卷数学(文)试题

2019届江西师大附中高三第三次考前模拟密卷数学（文）试题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 在复平面上对应的点的坐标为(1,1)-，则z =（） A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+2．设集合2{|20}A x Z x x =∈--≤，集合{2,0,1}B =-，则A B =（）A ．{2,0,1}-B ． {1,0,1}-C ．{2,1,01}--，D ． {2,1,01,2}--，3．已知向量a ，b 满足||1a =，||7a b +=，||3a b -=，则||b =（）A ．1B ．2C ．3D ．44．在平面直角坐标系xOy 中，点1(2P 是单位圆O 上的点，且xOP α∠=，则sin2α=（） A ．12BC ．12-D．-5．根据如下的样本数据：得到的回归方程为ˆybx a =+，则直线30ax by +-=经过定点（） A ．(1,2)--B ．(1,2)-C ．(1,2)-D ．(1,2)6．在ABC ∆中，3A π=，a =4b =，则ABC ∆的面积等于（）A ．2B．C ．4D．7．设()f x 是定义在R 上的偶函数，则“(0)0f =”是“()f x 有且只有一个零点”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A ．83B ．163 C ．203D ．8 9．已知(1)f x +为定义在R 上的奇函数，且当1x ≥时，()ln f x x m =+，则实数m =（） A ．0B ．1-C ．1D ．e10．已知对任意实数m ，直线1:3232l x y m +=+和直线2:2323l x y m -=-分别与圆22:(1)()1C x y m -+-=相交于,A C 和,B D ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 11．函数,0()sin ,0ax x f x x x >⎧=⎨≤⎩的图象上存在不同的两点关于原点对称，则正数a 的取值范围为（）A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(0,2)D ．(0,2] 12．若对于任意12,(,)x x a ∈+∞，且12x x <，都有12212212x x x x x e x e ++<，则实数a 的最大值为（） A ．1- B ．1 C ．2-D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，已知BE 为圆O 的一条直径，,,,ABO CBO FEO DEO ∆∆∆∆均为等边三角形，则往圆O 内随机投掷一个点，该点落在阴影区域内的概率为____________．14．若变量,x y 满足约束条件22020y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =-的最大值为____________．15．已知棱长为a 的正方体的外接球表面积等于内切球体积的6倍，则实数a =________．16．已知P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，1F 是双曲线的左焦点，若1||||PF PQ +的最小值为3a ，则双曲线C 的离心率为________．三、解答题:本大题共6小题，共70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本题满分12分）已知{}n a 是公差0d ≠的等差数列，2a ，6a ，22a 成等比数列，4626a a +=；数列{}n b 是公比q 为正数的等比数列，且32b a =，56b a =．（I ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（II ）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．18．（本题满分12分）如图1，正方形ABCD的边长为E、F分别是DC和BC的中点，H是正方形的对角线AC与EF的交点，N是正方形两对角线的交点，现沿EF将CEF∆折起到PEF∆的位置，使得PH AH⊥，连结PA，PB，PD（如图2）．（Ⅰ）求证：BD⊥AP；（Ⅱ）求点A到平面PBD的距离．19．（本题满分12分）某品牌汽车4S店，对该品牌旗下的A型、B型、C型汽车进行维修保养，汽车4S店记录了100辆该品牌三种类型汽车的维修情况，整理得下表：10辆进行问卷回访．（I）求A型，B型，C型各车型汽车抽取的数目；（II）从抽取的A型和B型汽车中随机再选出2辆汽车进行电话回访，求这2辆汽车来自同一类型的概率；（III）维修结束后这100辆汽车的司机采用“100分制”打分的方式表示对4S店的满意度，按照大于等于80为优秀，小于80为合格，得到如下列联表：问能否在犯错误概率不超过0．01的前提下认为司机对4S店满意度与性别有关系？请说明原因．附表：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20．（本题满分12分）已知曲线C 上的任一点到点(0,1)F 的距离减去它到x 轴的距离的差都是1．（I ）求曲线C 的方程；（II ）设直线(0)y kx m m =+>与曲线C 交于A ，B 两点，若对于任意k R ∈都有0FA FB <，求m 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数()ln mx f x x=，曲线()y f x =在点22(,())e f e 处的切线与直线20x y +=垂直（其中e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）求()f x 的解析式及单调减区间；（Ⅱ）若函数2()()1kx g x f x x =--无零点，求k 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立平面直角坐标系，曲线2C 的极坐标方程是4cos ρθ=-．（I ）求曲线1C 和2C 交点的直角坐标；（II ）A 、B 两点分别在曲线1C 与2C 上，当AB 最大时，求OAB ∆的面积．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()(),4f x x g x x m ==--+．（I ）解关于x 的不等式()20g f x m ⎡⎤+->⎣⎦；（II ）若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图像的上方，求实数m 的取值范围．答案 1．A 2．D 3．B 4．B 5．D 6．B 7．D 8． B 9．A 10．B 11A 12．B 二、 13．1314． 215． 316．三、 17．解析：（Ⅰ）因为d ≠0的等差数列，2a ,6a ,22a 成等比数列26222a a a ∴=即()()()21115+21a d a d a d +=+即13d a = ①……………1分又由46a a +=26得12+826a d = ②……………………2分由①②解得1=13a d =， 32n a n ∴=-……………………3分324b a ∴== 即214b q =，5616b a ==又即4116b q =；24q ∴=………………5分又q 为正数2q ∴=，1b = 12n n b -∴=……………………6分（II ）由知()1322n n na b n -=-……………………7分()021*********n n T n -∴=⨯+⨯+⨯++-……………………8分 ()232124272322n n T n ∴=⨯+⨯+⨯++-……………………9分()()()()2161213232323221322352512n n n n n n T n n n --∴-=+⨯+⨯++⨯--=+--=--⨯--()3525n n T n ∴=-⨯+……………………12分18．（Ⅰ）证明： ∵E 、F 分别是CD 和BC 的中点，∴EF //BD . 又∵AC BD ⊥，∴AC EF ⊥，故折起后有PH EF ⊥.………2分又PHAH ⊥，所以PH ⊥平面ABFED ．又∵BD ⊂平面ABFED ，∴PH BD ⊥， …………………4分∵AHPH H =，,AH PH ⊂平面APH ，∴BD ⊥平面APH ，又AP ⊂平面APH ，∴BD ⊥AP …………………………6分（Ⅱ）解：∵正方形ABCD的边长为∴4AC BD ==，2,1AN NH PH ===，PE PF = ∴PBD ∆是等腰三角形，连结PN ，则PN BD ⊥，PN =∴PBD ∆的面积11422PBD S BD PN ∆=⋅=⨯=…………8分设三棱锥A BDP -的高为h ，则三棱锥A BDP -的体积为13A BDP PBD V S h -∆=⋅=由（Ⅰ）可知PH 是三棱锥P ABD -的高，∴三棱锥P ABD -的体积：1111141332323P ABD ABD V S PH AB AD PH -∆=⋅=⨯⋅⋅=⨯⨯= ……10分∵A BDP P ABD V V --=43=，解得h =. …………12分 19．解析：（I ）A 型，B 型，C 型汽车抽取的数目分别为20404010=210=410=4100100100⨯⨯⨯，，……2分（II ）设抽取的A 型2辆为12,a a ，抽取的B 型4辆为1234,,,b b b b ，随机选出2辆汽车的结果为12{,}a a ，11{,}a b ，12{,}a b ，13{,}a b ，14{,}a b ，21{,}a b ，22{,}a b ，23{,}a b ，24{,}a b ，12{}b b ,，13{}b b ,，14{}b b ,，23{}b b ,，24{}b b ,，34{}b b ,共15种. ……6分其中这两辆车来自同一类型的基本结果有12{,}a a ，12{}b b ,，13{}b b ,，14{}b b ,，23{}b b ,，24{}b b ,，34{}b b ,共7种，所以概率为715P =.……8分（II ）根据题意，22100(271038258.143135655248K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯）……11分8.1431 6.635>，∴能在犯错误概率不超过0.01的前提下认为司机对4S 店满意度与性别有关系. ……12分 20．解析：（I ）设曲线C 上的任一点为(,)P x y ||1y =，……………3分即24x y =为所求……………5分（II ）将y k x m =+，代入24x y =得2440x kx m --=.当0m >时，216160k m ∆=+>，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124x x k +=，124x x m =-.………………………………7分11(,1)FA x y =-，22(,1)FB x y -，12121212(1)(1)(1)(1)FA FB x x y y x x kx m kx m =+--=++-+-221212(1)(1)()(1)k x x k m x x m =++-++-2224(1)4(1)(1)m k k m m =-++-+-224(1)4k m m =-+--.………………………………9分∵对于任意k R ∈都有0FA FB <，∴224(1)40k m m -+--<对任意的k R ∈恒成立.则2(1)40m m --<，解得33m -<<+所以m 的取值范围是33m -<+分 21．解析：(Ⅰ) 2(ln 1)()(ln )m x f x x -'=，………………1分又由题意有：21()2f e '=21242m m ⇒=⇒=，故2()ln x f x x =. ……3分此时，22(ln 1)()(ln )x f x x -'=，由()001f x x '≤⇒<<或1x e <≤，所以函数()f x 的单调减区间为(0,1)和(1,]e .……………5分（说明：减区间写为(0,]e 的扣2分. ）(Ⅱ) 2()()1kx g x f x x =--2()()ln 1kx g x x x x ⇒=--，且定义域为(0,1)(1,)+∞，要函数()g x 无零点，即要2ln 1kxx x =-在(0,1)(1,)x ∈+∞内无解，亦即要2(1)ln 0x k x x--=在(0,1)(1,)x ∈+∞内无解.………6分构造函数22(1)2()ln ()x kx h x k x h x x x --'=-⇒=. ① 当0k ≤时，()0h x '<在(0,1)(1,)x ∈+∞内恒成立，所以函数()h x 在(0,1)内单调递减，()h x 在(1,)+∞内也单调递减.又(1)0h =，所以在(0,1)内无零点，在(1,)+∞内也无零点，故满足条件；………………8分②当0k >时， 222()2()()k x kx k h x h x x x--''=⇒= ⑴ 若02k <<，则函数()h x 在(0,1)内单调递减，在2(1,)k 内也单调递减，在2(,)k+∞内单调递增.又(1)0h =，所以在(0,1)内无零点；易知2()0h k <，而2222()20k k h e k k e =⋅-+>，故在2(,)k+∞内有一个零点，所以不满足条件；⑵若2k =，则函数()h x 在(0,1)内单调递减，在(1,)+∞内单调递增. 又(1)0h =，所以(0,1)(1,)x ∈+∞时，()0h x >恒成立，故无零点，满足条件； ……10分⑶若2k >，则函数()h x 在2(0,)k 内单调递减，在2(1)k ，内单调递增，在(1,)+∞内也单调递增. 又(1)0h =，所以在2(1)k，及(1,)+∞内均无零点. 又易知2()0h k<，而2()()2222k k k h e k k e e k -=⋅--+=--，又易证当2k > 时，()0kh e ->，所以函数()h x 在2(0,)k内有一零点，故不满足条件. …………11分综上可得：k 的取值范围为：0k ≤或2k =.………12分（说明：在(Ⅱ)的解答中，若分离变量2(1)ln x k x x -=，再讨论函数2(1)()ln x x x xϕ-=的单调性获得0k ≤给3分）22．解析：（1）由2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩得2cos 22sin x y θθ=⎧⎨-=⎩两式平方作和得：()2224x y +-=，即2240x y y +-=．①由24cos cos ρθρρθ=-⇒=，即224x y x +=-②②-①：0x y +=，代入曲线1C 的方程得交点为()0,0和()2,2- ………………5分（2）由平面几何知识可知，当A 、1C 、2C 、B 依次排列且共线时AB 最大，此时4AB =，O 到直线AB 所以，OAB ∆的面积为：()1422S =⨯=+分23．解析：（1）由()20g f x m +->⎡⎤⎣⎦得42x -<，∴242x -<-<，∴26x << 故不等式的解集为()()6,22,6-- ………………5分（2）∵函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方∴()()f x g x >恒成立，即4m x x <-+恒成立………………8分 ∵()444x x x x -+≥--=．∴m 的取值范围为(),4-∞．………………10分。

2021届江西师范大学附属中学高三三模考试数学文科试卷及答案(2021年5月)

∴回归直线方程为： y 0.2x ；………………………………………………………………….（6 分）
（2）设对 B 项目投资 x （1 x 6 ）百万元，则对 A 项目投资（ 7x ）百万
元．…………………………………………………………………………….（7 分）
理由如下：
若 ABC 同时满足①④，则在锐角 ABC 中， sin C 1 1 ，所以 0 C
32
6
又因为 A
，所以
AC
，所以 B
，这与 ABC 是锐角三角形矛盾，所以
3
3
2
2
ABC 不能同时满足①④，所以 ABC 同时满足②③……………………………….………..（4 分）
因为 c a ，所以 C A ，若满足④，则 A C ，则 B ，这与 ABC 是锐角三角
2
为定值，并求 AOB
面积的最大值.
23.（10 分）选修 4-5：不等式选讲
设函数 f x 2x 1 x 4 . （1）解不等式 f x 0 ；（2）若 f x 3 x 4 m 2 对一切实数 x 均成立，求 m 的取值范围.
高三数学（文）试卷 4 / 4
江西师大附中 2021 届高三三模考试卷
:
x 2cos y sin
（
是参数），
A
和
B
是
C
上的动点，且满足
OA
OB
（
O
是
坐标原点）.以 O 为极点、以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点 D 的极坐标为 (4, ) . 3
（1）求线段 AD 的中点 M 的轨迹 E 的普通方程；
（2）利用椭圆 C
的极坐标方程证明
1 OA 2

2021届江西师范大学附属中学高三三模考试数学(文)试题(解析版)

2021届江西师范大学附属中学高三三模考试数学（文）试题一、单选题1．定义：若复数z 与z '满足1zz '=，则称这两个复数互为倒数.已知复数()24z i i =--，则该复数的倒数为（） A ．123417i -+ B ．123417i -- C ．123417i + D ．123417i - 【答案】A【分析】利用复数的乘法化简复数z ，再利用复数的除法可求得结果. 【详解】()2428z i i i =--=--，所以，()()1141228214143417i z i i i i -'===-+---+-，故选：A.2．已知集合(){}2log 1A x y x ==+，203x B x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B =（） A ．{}0,1,2 B ．()1,3- C ．()2,3 D ．{}0,2,3【答案】B【分析】由对数函数定义域和分式不等式的求解可分别求得集合,A B ，由交集定义可得结果. 【详解】{}()101,A x x =+>=-+∞，()()[)2302,330x x B xx ⎧⎫⎧+-≤⎪⎪==-⎨⎨⎬-≠⎪⎪⎩⎩⎭，()1,3A B ∴=-.故选：B. 3．在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机地取一个数x ，则事件“1cos 2≥x ”发生的概率为（）A ．16 B ．13C ．12D ．23【答案】D【分析】根据余弦函数的图象与性质求出区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上满足“1cos 2x ≥”的x 的取值范围，再利用几何概型求对应的概率值．【详解】由题可得：1cos 2≥x 在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上满足的范围为：[,]33ππ-再根据几何概型的概率公式得：2333πππ+=，故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查了几何概型的概率计算问题，正确求解1cos 2x ≥在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上满足的范围是解题关键． 4．设()21,01,0x x f x x x -+≤⎧=⎨-->⎩，0.50.7a -=，0.5log 0.7b =，0.7log 5c =，则（）A ．()()()f a f b f c >>B ．()()()f b f a f c >>C ．()()()f c f a f b >>D ．()()()f c f b f a >>【答案】D【分析】画出分段函数的图像得到分段函数的单调性，再由对数的性质比较,,a b c 的大小，然后利用单调性得到答案.【详解】函数()21,01,0x x f x x x -+≤⎧=⎨-->⎩的图像如图，由图可知，函数为R 上的减函数. 又0.500.70.71a -=>=，0.50.50log 0.7log 0.51b <=<=，0.7log 50<，()()()f c f b f a ∴>>.故选：D【点睛】本题考查了分段函数的单调性、利用单调性比较函数值的大小、对数函数的性质，属于基础题.5．已知等比数列{a n }，满足log 2a 3+log 2a 10=1，且a 3a 6a 8a 11=16，则数列{a n }的公比为（） A ．4 B ．2C ．±2D ．±4【答案】B【分析】将已知条件转化为首项和公比的方程组，解方程组即可得到公比q ．【详解】解：依题意，()232102310log log log ?1a a a a +==，21131012a a a q ∴==①，又42436811116a a a a a q ==②，联立①②得24q =，又23210log log 1a a +=有意义，所以30a >，100a >，所以71030a q a =>，即0q >，所以2q ，故选：B ．【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的通项公式，考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．6．设α、β为两个不重合的平面，能使α//β成立的是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α内有无数个点到β的距离相等 D ．α、β垂直于同一平面【答案】B【分析】应用几何体特例，如立方体可排除相关选项；而由面面平行的判定可知B 正确【详解】应用立方体，如下图所示：选项A ：α内有无数条直线可平行于l ，即有无数条直线与β平行，但如上图α与β可相交于l ，故A 不一定能使α//β成立；选项B ：由面面平行的判定，可知B 正确选项C ：在α内有一条直线平行于l ，则在α内有无数个点到β的距离相等，但如上图α与β可相交于l ，故C 不一定能使α//β成立；选项D ：如图α⊥γ，β⊥γ，但α与β可相交于l ，故D 不一定能使α//β成立；故选：B【点睛】本题考查了面面平行的判定，应用特殊与一般的思想排除选项，属于简单题7．双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =，过右焦点F 作x轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A ，若OAF ∆的面积是O 为原点），则双曲线E 的实轴长是( )A ．4B ．C ．1D ．2【答案】D【分析】通过双曲线的渐近线方程求出离心率，结合三角形的面积转化求解a ，即可得到结果．【详解】解：因为双曲线E 的一条渐近线方程为2y x =，所以2ba=，c e a ===由OAF ∆的面积是21252b c a= 所以24b =，2b =，所以1a =，双曲线的实轴长为2，故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查了离心率的范围和直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于基础题． 8．已知函数()f x 的图象关于原点对称，且满足()0(3)1f x f x ++-=，且当)4(2x ∈，时，12()log (1)f x x m =--+，若(2021)1(1)2f f -=-，则m =（）A ．43B ．34C ．43-D ．34-【答案】C【分析】由()0(3)1f x f x ++-=和奇函数推出周期，根据周期和奇函数推出1(1)3f =，根据解析式求出(1)1f m =--，由113m --=解得结果即可.【详解】因为函数()f x 的图象关于原点对称，所以()f x 为奇函数，因为()()()133f x f x f x +=--=-，故函数()f x 的周期为4，则()()20211f f =；而()()11f f -=-，所以由(2021)1(1)2f f -=-可得1(1)3f =；而121(1)(3)log (31)3f f m =-=--=，解得43m =-. 故选：C .【点睛】本题考查了函数的奇偶性，考查了函数的周期性，属于基础题.9．数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛,0.618就是黄金分割比12m =的近似值,黄金分割比还可以表示成2sin18︒,则22cos 271=︒-. A ．4 B1C ．2D1【答案】C【分析】把2sin18m =︒代入22cos 271︒-中，然后结合同角三角函数基本关系式与倍角公式化简求值.【详解】解：由题可知2sin18m ︒== 所以24sin18m =︒.= 2sin182cos18cos54︒•︒=︒2sin 36cos54︒=︒2=.故选：C.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查同角三角函数基本关系式与倍角公式的应用，是基础题．10．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（） A ．2y x =± B ．3y x =±C ．2y x =±D ．y x =±【答案】B【分析】先利用对称得2AF OM ⊥，根据11F AO AOF ∠=∠可得1AF c =，由几何性质可得160AFO ∠=，即260MOF ∠=，从而解得渐近线方程. 【详解】如图所示：由对称性可得：M 为2AF 的中点，且2AF OM ⊥，所以12F A AF ⊥，因为11F AO AOF ∠=∠，所以11AF F O c ==，故而由几何性质可得160AFO ∠=，即260MOF ∠=，故渐近线方程为3y x =，故选B.【点睛】本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程，由题意得出260MOF ∠=是解题的关键，属于中档题.11．正三棱锥P －ABC 底面边长为2，M 为AB 的中点，且PM ⊥PC ，则三棱锥P －ABC 外接球的体积为（） A ．323πB ．6πC 6πD ．823π【答案】C【分析】首先根据PM ⊥PC 2，再找到外接球球心的位置，最后利用勾股定理求解即可.【详解】由图，设PA PB PC x ===，则21PM x =-3CM =，因为PM ⊥PC ，所以由勾股定理得222PM PC MC +=即2213x x -+=解得2x =，由对称性可知：三棱锥P －ABC 外接球的球心在三棱锥P －ABC 的高PD 上，假设为O 点，则OP OC R ==，因为2633PD ==, 所以6OD R =-，又由于点D 是三角形ABC 的外心，且三角形ABC 为等边三角形，所以2333CD CM ==, 在三角形ODC 中，由勾股定理得222CD OD OC +=,即222236R R ⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得62R =，所以三棱锥P －ABC 6π. 故选：C【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.12．已知()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<同时满足以下条件：①当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为2π；②()()33ππ+=-f x f x ；若()f x a =在[0,]π有2个不同实根m ，n ，且||3m n π-≥，则实数a 的取值范围为（） A ．[3,3]B ．[0,1)C ．3]D ．[1,1)-【答案】D【分析】根据条件结合正弦函数的图象和性质先求出()f x 的解析式，设5552,2666t x ππππ⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦，则转化为2sin t a =在55,266πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根12,t t ，作出2sin y t =在55,266t πππ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦的图象，由正弦函数的图像性质可得答案.【详解】函数()()2sin f x x ωϕ=+，()f x 的最大值为2，最小值为2-. 当()()124f x f x -=时，则()f x 分别在12,x x 取得最大值和最小值. 所以12x x -的最小值为1222ππω⨯=，∴2ω=，函数()()2sin 2f x x ϕ=+．由()()33ππ+=-f x f x ，则()f x 的图象关于直线3x π=对称，故有232k ππϕπ⨯+=+，即6k ϕπ=π-，k Z ∈．由0ϕπ<<，则56πϕ=，函数()52sin 26x x f π⎛⎫+⎝=⎪⎭． ()f x a =在[]0,π有2个不同实根m ，n ，且3m n π-≥，设5552,2666t x ππππ⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦，则2sin t a =在55,266πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦有2个不同实根12,t t 则12552,266t m t n ππ=+=+，由3m n π-≥，则1223t t π-≥作出2sin y t =在55,266t πππ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦的图象，如图.552sin2sin 22sin 21666πππππ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7112sin2sin 166ππ==-，且1172663πππ-=所以当11a -≤<时，直线y a =与2sin y t =的图象有两个交点即方程2sin t a =有两个不等实根12,t t ，且1223t t π-≥. 所以当11a -≤<时，()52sin 26a x x f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭=有两个不等实根m ，n ，且3m n π-≥所以11a -≤<，故选：D ．【点睛】思路点睛：该题考查的是有关三角函数的问题，解题思路如下：（1）由条件①确定ω的值；（2）由条件②和确定出函数图象的一条对称轴，结合条件0ϕπ<<求得ϕ的值；（3）得到函数的解析式之后利用换元法设5552,2666t x ππππ⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦，则2sin t a =在55,266πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦有2个不同实根12,t t ，利用2sin y t =的图像性质求得参数a 的取值范围.二、填空题13．设平面向量()1,2a =，()2,b y =-，若a b ⊥，则3a b +=__________.【答案】【分析】根据向量垂直关系求得1y =，利用2239a b a b +=+即可求得模长.【详解】由题：平面向量()1,2a =，()2,b y =-，若a b ⊥，所以0,220a b y ⋅=-+=，解得：1y =，2239545a b a b +=+=+=.故答案为：【点睛】此题考查根据向量垂直求参数，求向量的模长，关键在于熟练掌握向量的基本运算法则.14．已知数据129,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差为5，则数据12931,31,,31x x x ++⋅⋅⋅+的标准差为________．【答案】15【分析】由数据标准差可得方差，根据方差的性质可得新数据的方差，由此得到标准差. 【详解】数据129,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差为5，则其方差为25，12931,31,,31x x x ∴++⋅⋅⋅+的方差为259225⨯=15=.故答案为：15.15．已知圆C 的方程为()2211x y -+=，P 是椭圆22143x y +=上一点，过点P 作圆C的两条切线，切点分别为A 和B ，则PA PB ⋅的最小值是___________【答案】3【分析】利用相切后的对称性，设2APB θ∠=，表示出PA PB ⋅，根据式子的特点利用基本不等式求出最小值.【详解】设222,cos 2(2cos 1)APB PA PB PA PB PA θθθ∠=⋅=⋅=-222(21)PA PA PC=- ,令22=1PC x PA x =-，，可得23PA PB x x⋅=+-，(1,9]x ∈ ，223PA PB ∴⋅≥ ，当且仅当x 时取等号.故答案为：3【点睛】注意相切以后对称性，及二倍角的应用，观察式子特点，选择基本不等式求最小值.16．若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________．【答案】(]1,2【详解】试题分析：由于函数()()6,2{0,13log ,2a x x f x a a x x -+≤=>≠+>的值域是[)4,+∞，故当2x ≤时，满足()64f x x =-≥，当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，所以log 1a x ≥，所以log 2112a a ≥⇒<<，所以实数a 的取值范围12a <≤.【解析】对数函数的性质及函数的值域.【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当2x >时，由()4f x ≥，得log 1a x ≥，即log 21a ≥，即可求解实数a 的取值范围.三、解答题17．已知锐角ABC ，同时满足下列四个条件中的三个： ①3A π=②13a =③15c =④1sin 3C =（1）请指出这三个条件，并说明理由；（2）求ABC 的面积.【答案】（1）ABC 同时满足①，②，③，理由见解析.（2）【分析】（1）判断三角形的满足条件，推出结果即可.（2）利用余弦定理求出b ，利用面积公式求解ABC 的面积. 【详解】（1）ABC 同时满足①，②，③. 理由如下：若ABC 同时满足①，④，则在锐角ABC 中，11sin 32C =<，所以06C π<<又因为3A π=，所以32A C ππ<+<所以2B π>，这与ABC 是锐角三角形矛盾，所以ABC 不能同时满足①，④，所以ABC 同时满足②，③. 因为c a >所以C A >若满足④. 则6A C π<<，则2B π>，这与ABC 是锐角三角形矛盾.故ABC 不满足④. 故ABC 满足①，②，③.（2）因为2222cos a b c bc A =+-，所以222113152152b b =+-⨯⨯⨯.解得8b =或7b =.当7b =时，22271315cos 02713C +-=<⨯⨯所以C 为钝角，与题意不符合，所以8b =. 所以ABC 的面积1sin 3032S bc A ==. 【点睛】本题主要考查解三角形中余弦定理的应用及面积公式的应用，属于中档题目. 18．如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，24PC AB ==，PA AB ⊥，且PA 与BC 所成角60．（1）求证：PD ⊥平面ABCD ；（2）若,M N 分别是,PA PC 的中点，求三棱锥B CMN -的体积．【答案】（1）证明见解析；（23【分析】（1）由线面垂直的判定可证得AB ⊥平面PAD ，由此得到AB PD ⊥，即CD PD ⊥，在PAD △中，利用余弦定理可求得AP ，由长度关系可证得PD AD ⊥，由线面垂直的判定定理可证得结论；（2）根据长度关系可确定14B CMN A PBC V V --=，利用体积桥和三棱锥体积公式可求得P ABC V -，由此计算得到结果.【详解】（1）四边形ABCD 为正方形，AB AD ∴⊥，AB PA ⊥，PA AD A ⋂=，,PA AD ⊂平面PAD ，AB ∴⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，AB PD ∴⊥，又//AB CD ，CD PD ∴⊥，2223PD PC CD ∴=-=//AD BC ，PA 与BC 所成角60，60PAD ∴∠=，在PAD △中，2222cos60PD AP AD AP AD =+-⋅⋅，即21242AP AP =+-，解得：4AP =．222PA AD DP ∴=+，PD AD ∴⊥，又AB AD A ⋂=，,AB AD ⊂平面ABCD ，PD ∴⊥平面ABCD ．（2）N 为PC 中点，12BCNPBC SS ∴=，12B CMN M BCN M PBC V V V ---∴==， M 为PA 中点，:1:2MP AP ∴=，12M PBC A PBC V V --∴=，14B CMN A PBC V V --∴=.又111223323A PBC P ABC ABC V V S PD --==⋅=⨯⨯⨯⨯=，3B CMNV -∴=，即三棱锥B CMN -的体积为3. 【点睛】思路点睛：立体几何中的求解三棱锥体积问题通常采用两种思路来进行求解：（1）体积桥：将三棱锥进行等体积代换，转化为高易求的三棱锥体积的求解问题；（2）割补：将三棱锥切割为几个部分或者补足为某个易求体积的几何体来进行求解. 19．某公司对项目A 进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：（1）请用线性回归模型拟合y 与x 的关系；（2）该公司计划用7百万元对A ，B 两个项目进行投资．若公司对项目B 投资x （1≤x ≤6）百万元所获得的利润y 近似满足：0.490.160.491y x x =-++，求A ，B 两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大？附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，其回归直线方程ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ini ii ni x y nx yb xnx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-．【答案】（1）0.2y x ∧=；（2）对A ，B 项目分别投资4.5百万元，2.5百万元时，获得总利润最大．【分析】（1）根据获得的利润有如下统计数据表，分别求得213,0.6,55nii x y x====∑，进而求得ˆˆ,ba 的值，即可求得回归直线的方程；（2）设对B 项目投资x 百万元，则对A 项目投资（7x -）百万元，利用总利润的表达式，集合基本不等式，即可求解.【详解】（1）根据获得的利润有如下统计数据表，可得1234535x ++++==，0.30.30.50.90.10.65y ++++==，且2155n i i x ==∑ 所以1222111530.60.25553ni ii ni i x y nx yb x nx∧==--⨯⨯===-⨯-∑∑，则ˆˆ0.60.230ay bx =-=-⨯=，所以回归直线方程为：ˆ0.2yx =. （2）设对B 项目投资x （16x ≤≤）百万元，则对A 项目投资（7x -）百万元．所获总利润0.490.160.490.2(7)1y x x x =-++-+0.491.930.04(1)1x x ⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦1.93≤- 1.65=．当且仅当0.490.04(1)1x x +=+，即 2.5x =时取等号，所以对A ，B 项目分别投资4.5百万元，2.5百万元时，获得总利润最大． 20．已知函数2()(2)(3)x f x a x e x =+-+（,a R e ∈为自然对数的底数）（1）若()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为3x ＋y ＋7＝0，求a 的值；（2）讨论()f x 的单调性．【答案】（1）1a =；（2）答案见解析．【分析】（1）先由切线方程求出切点坐标，将切点坐标代入函数()f x 的方程即可.（2）求出()(3)(2)xf x x ae '=+-，则只需对2x ae -进行讨论，即分0a ≤，302e a <<，32a e =和32a e =进行分类讨论,即可.【详解】解：（1）切线370x y ++=经过点(0,7)-．0)7f ∴=-，即297a -=-，解得1a =．．（2）()(3)2(3)(3)(2)x xf x a x e x x ae '=+-+=+-．0a ≤时，20x ae -<，可得()f x 在(,3)-∞-上单调递增，在(3,)-+∞上单调递减．．0a >时，令20x ae -=，解得2ln x a=，令2ln3a=-，解得32a e =．． 302e a <<时，2ln3a >-，则函数()f x 在(,3)-∞-上单调递增，在2(3,ln )a-上单调递减，在2ln ,)a+∞（上单调递增．． 32a e =时，2()(3)0f x x '=+≥，函数()f x 在R 上单调递增．． 32a e >时，2ln3a <-，则函数()f x 在2,ln )a ∞（-上单调递增，在2(ln ,3)a-上单调递减，在3,)-+∞（上单调递增．．综上可得：当0a ≤时，()f x 在(,3)-∞-上单调递增，在(3,)-+∞上单调递减．当302e a <<时，函数()f x 在(,3)-∞-上单调递增，在2(3,ln )a-上单调递减，在2ln ,)a+∞（上单调递增．当32a e =时，函数()f x 在R 上单调递增．当32a e >时，函数()f x 在2,ln )a ∞（-上单调递增，在2(ln ,3)a-上单调递减，在3,)-+∞（上单调递增．【点睛】关键点睛：本题考查根据切线方程求参数含参数的单调性讨论，解答本题的关键是分0a ≤，302e a <<，32a e =和32a e =对2x ae -进行分类讨论，属于中档题.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 和2F ，过焦点2F 且垂直于x 轴的直线与椭圆C 相交所得的弦长为1，椭圆C 的离心率为32. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，若直线1F P 和2F P 与直线3y =分别交于G 和H 两点，设直线1F P 和2F P 的斜率分别为1k 和2k ，若线段GH 的长度小于103，求12k k ⋅的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）最大值13-. 【分析】（1）根据已知条件得出关于a 、b 的方程组，解出这两个量的值，由此可得出椭圆C 的标准方程；（2）设()()000,01P x y y <≤，利用三角形相似可得出GH 的表达式，结合已知条件可求得0x 的取值范围，再利用斜率公式可求得12k k ⋅的最大值.【详解】（1）由题意可得32c e a ==，即22222234c a b e a a -===，2a b ∴=，将x c =代入椭圆方程可得22221c y a b+=，则2222221y c b b a a =-=，得2b y a =±，由已知可得221b b a==，故2a =，所以，椭圆C 的标准方程为2214x y +=；（2）设()()000,01P x y y <≤，过点P 作直线MN x ⊥轴，分别交x 轴和直线3y =于M 、N 两点.易知12GPH F PF ~△△0323GH y y -=，由031GH y ⎫=-<⎪⎭0112y <≤，所以(0x ∈，202012222000111413343x y k k x x x -⎛⎫====- ⎪---⎝⎭，所以当00x =时，12k k 取得最大值13-.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 22．已知椭圆2cos :sin x C y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ是参数)，A 和B 是C 上的动点，且满足OA OB ⊥(O是坐标原点)，以O 为极点､以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点D 的极坐标为4,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）求线段AD 的中点M 的轨迹E 的普通方程；（2）利用椭圆C 的极坐标方程证明2211OAOB+为定值，并求AOB 面积的最大值.【答案】（1）()(22141x y +++=；（2）证明见解析，最大值为1. 【分析】（1）根据题意设点()2co (s ,,sin ,)M x y A αα，由M 为AD的中点，得到1cos 1sin 2x y αα=-+⎧⎪⎨=⎪⎩，消去参数，即可求得点M 的轨迹方程；（2）求得椭圆C的普通方程，得到其极坐标方程ρ=，设()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，化简得到221154OA OB +=，再结合1212AOB S ρρ=△，求得面积的最大值.【详解】（1）由题意，椭圆2cos :sin x C y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ是参数)，点D的直角坐标为(2,--，设点(,)M x y ，()2cos ,sin A αα因为M 为AD的中点，可得1cos 1sin 2x y αα=-+⎧⎪⎨=⎪⎩，消去参数，可得点M 的轨迹方程为()(22141:x E y +++=.（2）由椭圆2cos :sin x C y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ是参数)，可得椭圆C 的普通方程为2214xy +=，化为极坐标方程是2223sin 4ρρθ+=，变形得ρ=，因为OA OB ⊥，设()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以222212111154OA OB ρρ+=+=(定值)，则1212AOB S ρρ==△，当sin 20θ=时，S 取得最大值为1. 23．设函数()214f x x x =+--. （1）解不等式()0f x >；（2）若()342m x x f +->-对一切实数x 均成立，求实数m 的取值范围. 【答案】(1) 解集为{|1x x >或5x <-};(2) m 的取值范围为()7,11-. 【详解】分析：（1）分段讨论去绝对值求解不等式即可；（2）要使()342f x x m +->-成立，只需函数的最小值大于2m -即可，利用绝对值三角不等式可得2124x x ++-的最小值.详解：（1）当4x ≥时，()2145f x x x x =+-+=+，原不等式即为50x +>，解得5x x >-，∴4x ≥；当142x -≤<时， ()21433f x x x x =++-=-，原不等式即为330x ->，解得1x >，∴14x <<；当12x <-时， ()2145f x x x x =--+-=--，原不等式即为50x -->，解得5x <-，∴5x <-；综上，原不等式的解集为{1x x 或5x <-}.（2）()()34212421289f x x x x x x +-=++-≥+--=.当142x -≤≤时，等号成立. ∴()34f x x +-的最小值为9，要使()342f x x m +->-成立， ∴29m -<，解得711m -<<，∴m 的取值范围为()7,11-. 点睛：（1）含绝对值不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想. （2）不等式恒成立问题通常转化为求函数最值来处理.。

江西师范大学附属中学2023届高三三模考试数学(文)试题(含答案解析)

Z ，即
2π 3
2kπ,k
Z
，
因为 0
π
，所以
2π 3
，所以
f
x
sin
2x
2π 3
，
因为将 f x 的图像向右平移 π 个单位得到 g x 的图像，
3
答案第 2页，共 16页
所以
g
x
sin
2
x
2π 3
2π 3
sin
2
x，
对于 A，显然 g x 不是偶函数，则 g x 的图像不关于 y 轴对称，故 A 错误；
对于
B，
g
2π 3
sin
4π 3
0
，故
g
x
的图像不关于
2 3
π,
0
中心对称，故
B
错误；
对于
C，因为
x
0,
π 2
，则
2
x
0,
π
，所以
g
x
在
0,
3
个单位得到 g x 的图像，则下列关于 g x 的成立的是（）
A．图像关于 y 轴对称
C．在
0,
π 2
上单调递增
B．图像关于
2 3
π,
0
中心对称
D．在
π 6
,
π 3
上最小值为
3 2
6．已知某几何体的三视图如图，其俯视图是边长为 2 的正三角形，侧该几何体的体积
为（）
试卷第 1页，共 5页
于 G, H 两点，求证： PD PE 2 ． FG FH
23．已知函数 f x 2x 2 x a ． (1)当 a 1 时，求不等式 f x 5 的解集； (2)是否存在正数 a ，使得 f x 的图象与直线 y 6 所围成的四边形的面积等于 9 ，若存

江西师范大学附属中学2023届高三三模考试数学(文)试题

一、单选题二、多选题1.数列是等差数列，若，，则（）A．B ．9C ．10D ．202. 在棱长为3的正方体中，O 为AC 与BD 的交点，P 为上一点，且，则过A ，P ，O 三点的平面截正方体所得截面的周长为（）A．B．C．D．3. 地图涂色是一类经典的数学问题．如图，用4种不同的颜色涂所给图形中的4个区域，要求相邻区域的颜色不能相同，则不同的涂色方法有（）种．4132A ．84B ．72C ．48D ．244. 关于函数，有以下4个结论：①的最小正周期是；②的图象关于点中心对称；③的最小值为；④在区间内单调递增其中所有正确结论的序号是（）A ．①②③B ．①③C ．②④D ．②③④5. 已知向量，满足，，，则（）A．B．C．D．6. 已知双曲线：的顶点到渐近线的距离为，且其中一个焦点坐标为，则双曲线的方程为( )A．B．C．D．7. 设全集，，，则集合为（）A．B．C．D．8.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．江西师范大学附属中学2023届高三三模考试数学（文）试题江西师范大学附属中学2023届高三三模考试数学（文）试题三、填空题9.已知向量，则下列结论正确的是（）A ．当时，B ．当时，向量与向量的夹角为锐角C ．存在，使得D ．若，则10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆交于两点．下列椭圆的方程中，能使得为正三角形的是（）A．B．C．D．11. 已知函数，，则（）A ．与的定义域不同，与的值域只有1个公共元素B．在与的公共定义域内，的单调性与的单调性完全相反C．的极小值点恰好是的极大值点，的极大值点恰好是的极小值点D．函数既无最小值也无最大值，函数既有最小值也有最大值12.在四个正方体中，，，均为所在棱的中点，过点，，作正方体的截面，则在各个正方体中，直线与平面垂直的是（）A．B．C．D．13. 某班的全体学生参加消防安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是_______．14. 若双曲线C ：的左､右焦点分别为，，点是其右支上的动点，与其左支交于点.若存在，使得，则的离心率的最大值为___________.15.如图，、分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，若，，则双曲线的离心率是______.四、解答题16. 第十三届全国人大第二次会议于2019年3月5日在北京开幕．为广泛了解民意，某人大代表利用网站进行民意调查．数据调查显示，民生问题是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占．现从参与调查者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．(1)求；(2)现在要从年龄较小的第1组和第2组中用分层抽样的方法抽取5人，并再从这5人中随机抽取2人接受现场访谈，求这两人恰好属于不同组别的概率；(3)把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，问是否有的把握认为是否关注民生与年龄有关？附：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828，．17. 已知，设，，且，记．（Ⅰ）设，其中，试求的单调区间；（Ⅱ）试判断弦的斜率与的大小关系，并证明；（Ⅲ）证明：当时，．18. 如图，多面体ABCDEF是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥A-BCDE的所有棱长均为.(1)在棱DE上找一点G，使得面面AFG，并给出证明;(2)当时，求点F到面ADE的距离;(3)若，求直线DF与面ABC所成角的正弦值.19. 已知椭圆的顶点到直线的距离分别为．（1）求的标准方程；（2）设平行于的直线交于两点，若以为直径的圆恰过坐标原点，求直线的方程．20.在平面四边形中，已知，，，.(1)若，求；(2)求面积的最大值.21.如图所示的多面体中，是菱形，是矩形，平面，，．(1)求证：平面平面；(2)若二面角为直二面角，求直线与平面所成的角的正弦值．。

江西师大附中2023届高三三模考试文数答案

江西师大附中2023届高三三模考试数学（文）试卷答案一、选择题题号123456789101112答案DACCDCBCACAB二、填空题13.314.015.8716.317-8.如果把这些数列的第一项依次排列构成的数列记为{}n P ，则,2,,2,2,111223121--=-=-=-=n n n P P P P P P P )()(1121--++-+=n n n P P P P P P 12222112-=++++=-n n ，则203610)222(1021021=-+++=+++ P P P故选C.10.框图的目的是求最小值。

考察函数xy 4.0=与xy 5.0=的图像得5.04.04.04.04.05.0>>即b>a ，又5332log 8log 8log 2232===c 53510524.04.05.0>====a ，则a>c,故选C11.法一：由题意得b =2a,利用中线长公式(或余弦定理）：28542222222-=-+=a c b a CM ，且582>a ，显然BMC ∠为锐角，只要求BMC ∠cos 最小值422222285243852432cos a a a a MB CM BC MB CM BMC -=-=⋅-+=∠，令)850(12<<=t t a ，3225)165(85822+--=+-t t t ，当165=t 时，BMC ∠cos 最小53=，BMC ∠sin 最大为54。

法二：利用阿氏圆（或建系）点C 在一个圆上运动，半径为38，圆心到M 的距离为310,BMC ∠sin 最大值为5431038=÷。

故选A 。

12.即0)(ln 2ln ≥+-+-e x x a e x x 在x>0上恒成立，令1)0(ln ≥⇒>-=t x x x t ，即02≥+-e at e t在1≥t 上恒成立。

2020年江西师大附中高考数学三模试卷(文科)

2020年江西师大附中高考数学三模试卷（文科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|(x +3)(x −2)≥0}，B ={x|y =√log 2x}，则A ∩B =( )A. [1,4]B. [1,2]C. [2,+∞)D. [1,+∞) 2. 设复数z =1−i1+i ，则z 的共轭复数z 为( )A. 1B. −1C. −iD. i3. tan2π3+cos(3π2−π3)的值为( )A. −3√32B. −√32C. √3+12D. √3−124. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,2)，则|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A. √2 B. √10 C. √26 D. √34 5. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：①若m ⊥α，n//α，则m ⊥n ；②若m//n ，n ⊂α，则m//α；③若m//α，n//β，α//β，则m//n ；④若m ⊥β，m//α，则α⊥β．其中所有正确命题的序号是( )A. ①②B. ②③C. ②④D. ①④6. 若将函数y =sin(2x −π3)+1的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象的一个对称中心为( )A. (π4,0)B. (π4,1)C. (π3,0)D. (π3,1)7. 已知数列{a n }的前n 项和S n =(12)n −m ，则“m =1”是“{a n }是等比数列”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 函数y =2sinx2x +2−x 的图象大致为( )A.B.C.D.9. 在《周髀算经》中，把圆及其内接正方形称为圆方图，把正方形及其内切圆称为方圆图．圆方图和方圆图在我国古代的设计和建筑领域有着广泛的应用．山西应县木塔是我国现存最古老、最高大的纯木结构楼阁式建筑，它的正面图如图所示．以该木塔底层的边AB 作方形，会发现塔的高度正好跟此对角线长度相等．以塔底座的边作方形，作方圆图，会发现方圆的切点D 正好位于塔身和塔顶的分界．经测量发现，木塔底层的边AB 不少于47.5米，塔顶C 到点D 的距离不超过19.9米，则该木塔的高度可能是( )(参考数据：√2≈1.414) A. 66.1米 B. 67.3米 C. 68.5米 D. 69.0米 10. 已知圆C 1：x 2+(y −a 2)2=a 4的圆心到直线x −y −2=0的距离为2√2，则圆C 1与圆C 2：x 2+y 2−2x −4y +4=0的位置关系是( )A. 相交B. 内切C. 外切D. 相离11. 设m ∈R ，已知直线2x −y −m =0(m ≠0)与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线分别交于点M ，N ，若点Q(2m,0)满足|QM|=|QN|，则该双曲线的离心率为( )A. √2B. √52C. 2D. √10212. 如图，在棱长为4的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱A 1D 1的中点，D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若过点A ，E ，F 的平面分别交棱CC 1、BC 于点G ，H ，则线段GH 的长度为( )A. √343B. 4√53C. √973D. 103二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若数列{a n }的前n 项和S n =2n +n ，则a 5=______．14. 已知过抛物线C ：x 2=8y 的焦点F 的直线l 交C 于A ，B 两点，若点A 的横坐标为2，则点B 到C 的准线的距离为______．15. 已知变量x ，y 满足{2x −y +3≥0,x +y −3≥0,x −2y +m ≤0．若z =x +2y 的最小值为5，则实数m 等于______．16. 已知函数f(x)={(x −1)e x ,x ≤1,lnx x , x >1.其中e 为自然对数的底数．若函数g(x)=f(x)−kx 有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，asin2B =2bsinAcos(π3−B)．(1)求cos B 的值；(2)若△ABC 的面积为1，求b 的最小值．18. 2019年起，全国地级及以上城市全面启动生活垃圾分类工作，垃圾分类投放逐步成为居民的新时尚．为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了某市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：“厨余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“有害垃圾”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾300703080可回收垃圾302103030有害垃圾20206020其他垃圾10201060(2)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“有害垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，d，其中a>0，a+b+c+d=800.当数据a，b，c，d的方差s2最大时，写出a，b，c，d的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值．19.如图，在四棱台ABCD−EFGH中，底面ABCD是菱形，平面CDHG⊥平面ABCD，CG=GH=HD=1，BD=CD=2．(1)求证：CD⊥BF；(2)求四棱台ABCD−EFGH的体积．20.已知椭圆C： x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√63，其上顶点为B，左焦点为F，原点O到直线BF的距离等于2√33．(1)求椭圆C的方程；(2)若过点A(1,1)的直线x与椭圆C相交于M，N两点，且|AM|⋅|AN|=1，求直线l的方程．21. 已知函数f(x)=(x +1)⋅2x ．(1)求曲线y =f(x)在x =0处的切线方程； (2)若关于x 的不等式f(x)x≥(x +1x +2)ln2+ax +2在区间(0,+∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =t +2ty =t −2t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ−π3)=√3．(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设M(0,2)，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|MA|+|MB|的值．23. 已知函数f(x)=|2x −1|．(1)解关于x 的不等式f(2x)≤f(x +1)+1；(2)若实数a ，b 满足a +b =2，求f(a 2)+f(b 2)的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A ={x|(x +3)(x −2)≥0}={x|x ≤−3或x ≥2}， B ={x|y =√log 2x}={x|x ≥1}， ∴A ∩B ={x|x ≥2}=[2,+∞)．故选：C ．求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.【答案】D【解析】解：∵z =1−i1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i 2=−i ，∴z =i ．故选：D ．直接利用复数代数形式的除法运算化简z ，则z 可求．本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 3.【答案】A【解析】解：tan2π3+cos(3π2−π3)=−√3+(−√32) =−3√32．故选：A ．由已知利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 4.【答案】D【解析】解：向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,2)， CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,−3)．所以，|CB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√52+(−3)2=√34．故选：D ．利用向量的加减运算，求出CB⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，然后求解向量的模．本题考查向量的坐标运算，向量的模的求法，是基本知识的考查． 5.【答案】D【解析】解：由m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：对于①，若m ⊥α，n//α，则由线面垂直的性质和线面平行的性质得m ⊥n ，故①正确；对于②，若m//n ，n ⊂α，则m//α或m ⊂α，故②错误；对于③，若m//α，n//β，α//β，则m 与n 相交、平行或异面，故③错误；对于④，若m ⊥β，m//α，则由面面垂直的性质定理得α⊥β，故④正确．故选：D ．对于①，由线面垂直的性质和线面平行的性质得m ⊥n ；对于②，m//α或m ⊂α；对于③，m与n相交、平行或异面；对于④，由面面垂直的性质定理得α⊥β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．6.【答案】D【解析】解：将函数y=sin(2x−π3)+1的图象向右平移π6个单位长度后，可得y=sin(2x−2π3)+1的图象，令2x−2π3=kπ，k∈Z，求得x=kπ2+π3，可得所得图象的对称中心为(kπ2+π3,1)，故所得图象的一个对称中心为(π3,1)，故选：D．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：当n=1时，a1=S1=12−m，当n>1时，a n=S n−S n−1=12n −12n−1=−12n，若m=1，则a1=12−m=−12，a2=−122=−14，a2a1=12，当n>1时，a n+1a n =−12n+1×(−2n1)=12，数列{a n}是等比数列；若数列{a n}是等比数列，a1=−12=12−m，a n=−12n，m=1．所以是充分必要条件．故选：C．先令n=1，求出a1，再由n>1时，根据a n=S n−S n−1，求出a n，结合充分条件与必要条件的概念，即可得出结果．本题主要考查充分必要条件的判定，熟记概念，以及数列的递推公式即可求解，属于常考题型．8.【答案】A【解析】解：函数的定义域为R，f(−x)=2sin(−x)2−x+2x =−2sinx2x+2−x=−f(x)，则函数为奇函数，其图象关于原点对称，故可排除选项C；又当x∈(0,π)时，sinx>0，2x+2−x>0，故2sinx2x+2−x>0，可排除选项B；又2x+2−x≥2，2sinx≤2，不能同时取等，故2sinx2x+2−x<1，可排除选项D．故选：A．利用函数的奇偶性可排除选项C，利用函数的取值可排除选项B，利用不等式的性质可排除选项D，进而得出正确选项．本题考查利用函数解析式确定函数图象，考查数形结合思想及推理能力，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：设该木塔的高度为h ，则由图可知，ℎ=√2AB ≥47.5×1.414=67.165(米)．同时CD ℎ=√2−1√2， ∴ℎ=√2CD √2−1=1−√22≤19.91−1.4142≈67.9(米)．即木塔的高度h 约在67.165米至67.9米之间，结合选项，可得B ．故选：B ．由题意利用平面几何的性质求解木塔高度h 的范围，结合选项得答案．本题考查函数模型的选择与应用，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题． 10.【答案】B【解析】解：圆C 1：x 2+(y −a 2)2=a 4的圆心为C 1(0,a 2)，半径r 1=a 2，a ≠0，由圆C 1：x 2+(y −a 2)2=a 4的圆心到直线x −y −2=0的距离为2√2，可得2√2=2√2，解得a =±√2，可得圆C 1的圆心为(0,2)，半径为2，而圆C 2：x 2+y 2−2x −4y +4=0的圆心为(1,2)，半径为r 2=1，由|C 1C 2|=1=r 1−r 2=2−1，可得两圆的位置关系为内切．故选：B ．求得圆C 1的圆心和半径，由直线和圆的距离公式，可得a ，求得圆C 2的圆心和半径，计算|C 1C 2|，与两圆的半径之差比较可得结论．本题考查圆的方程和运用，以及两圆的位置关系的判断，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题． 11.【答案】A【解析】解：由{y =2x −m y =b ax，解得M(ma 2a−b ,mb2a−b )，由{y =2x −m y =−b ax，解得N(ma 2a+b ,−mb2a+b ). ∴MN 的中点坐标为P(2ma 2(2a−b)(2a+b),2mb 2(2a−b)(2a+b))， ∵点Q(2m,0)满足|QM|=|QN|， ∴k PQ ⋅k MN =−1，即2mb 2(2a−b)(2a+b)2ma 2(2a−b)(2a+b)−2m×2=−1，整理得：a 2=b 2，即a =b ，∴该双曲线为等轴双曲线，其离心率为√2．故选：A ．分别联立已知直线方程与双曲线的两条渐近线方程，求得M 与N 的坐标，利用中点坐标公式求出MN 的中点P 坐标，再由|QM|=|QN|，可得PQ ⊥MN ，由斜率之积等于−1列式求得a =b ，可得双曲线为等轴双曲线，即可求其离心率．本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题． 12.【答案】B【解析】解：如图，连接AE ，延长EF 、B 1C 1，相交于M ，∵点E 是棱A 1D 1的中点，D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为4， ∴D 1E =2，D 1F =3，C 1F =1，则C 1M =23．在平面AEM 中过A 作AH//EM ，交BC 于H ，则BH =2+23=83．可得CH =43，∴CG =2C 1G ，即CG =83． ∴HG =√(43)2+(83)2=√169+649=√809=4√53．故选：B ．由题意画出图形，找出平面AEF 与正方体的棱CC 1 与BC 的交点，利用三角形相似求得CG 与CH 的长度，再由勾股定理得答案．本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题． 13.【答案】17【解析】解：数列{a n }的前n 项和S n =2n +n ，则a 5=S 5−S 4=(25+5)−(24+4)=17，故答案为：17．由题意利用数列的前n 项和与第n 项的关系，由a 5=S 5−S 4，计算求得结果．本题主要考查数列的前n 项和与第n 项的关系，属于基础题． 14.【答案】10【解析】解：过抛物线C ：x 2=8y 的焦点F(0,2)的直线l 交C 于A ，B 两点，若点A 的横坐标为2，所以A(2,12)，所以直线l ：y −2=−34x ，即y =−34x +2，代入抛物线方程可得：x 2+6x −16=0，x A +x B =−6所以x B =−8，所以y B =8．点B 到C 的准线的距离为：10．故答案为：10．求出A 的坐标，得到直线l 的方程，然后求解B 的纵坐标，推出结果即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 15.【答案】3【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z =x +2y 得y =−12x +12z ，平移直线y =−12x +12z ，由图象可知当直线y =−12x +12z 经过点A 时，直线y =−12x +12z 的截距最小，此时z =x +2y 的最小值为5，由{x +2y =5x +y =3，解得A(1,2)同时A 在直线x −2y +m =0上， ∴m =3．故答案为：3．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z =x +2y 的最小值为5，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．16.【答案】(0,12e)【解析】解：令g(x)=(x−1)e x(x≤1)，则g′(x)=xe x，所以当x∈(−∞,0)时，g′(x)<0；当x∈(0,1)时，g′(x)>0，于是函数g(x)在区间(−∞,0)上单调递减，在区间(0,1)上单调递增，当x→−∞时，g(x)→0，g(0)=−1，g(1)=0．令ℎ(x)=lnxx (x≥1)，则ℎ′(x)=1−lnxx2，所以当x∈(1,e)时，ℎ′(x)>0；当x∈(e,+∞)时，ℎ′(x)<0，于是函数ℎ(x)在区间(1,e)上单调递增，在区间(e,+∞)上单调递减，ℎ(1)=0，ℎ(e)=1e，当x→+∞时，ℎ(x)→0．函数g(x)=f(x)−kx有3个不同的零点，等价于方程f(x)=kx有3个解，即函数f(x)的图象与直线y=kx有3个交点，作出函数f(x)与直线y=kx的图象，如下图所示当直线y=kx与函数ℎ(x)相切时，设切点坐标为(x0,lnx0x0)，根据导数的几何意义可得：k=lnx0x0−0x0−0=1−lnx0x02，解得：k=12e,x0=√e，要使得函数f(x)的图象与直线y=kx有3个交点，数形结合可知k的取值范围为(0,12e)．故答案为：(0,12e)．先把函数g(x)=f(x)−kx有3个不同的零点转化为函数f(x)的图象与直线y=kx有3个交点，利用导数求函数g(x)，ℎ(x)的单调性，再作出函数f(x)的图象与直线y=kx的图象，再数形结合分析临界位置即可得到答案．本题考查了数形结合的思想解决函数零点的问题，把函数零点转化为方程的根，再转化为两函数图象的交点是解题的关键，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵asin2B=2bsinAcos(π3−B)，∴2sinAsinBcosB=2sinBsinAcos(π3−B)，∵sinAsinB≠0，∴cosB =cos(π3−B)， ∴B =π3−B ，∴B =π6， ∴cosB =√32； (2)∵△ABC 的面积为1， ∴12acsinB =1，∴ac =4，由余弦定理可得b 2=a 2+c 2−2accosB ≥2ac −√3ac =8−4√3，当且仅当a =c =2时取等号，则b =√6−√2，故b 的最小值为√6−√2．【解析】(1)根据二倍角公式和正弦定理可得cosB =cos(π3−B)，即可求出cos B ，(2)根据三角形的面积公式可得ac =4，再根据余弦定理和基本不等式即可求出．本题考查正余弦定理的应用，三角形的面积公式的应用，注意正余弦定理以及三角形边角关系的应用，是基础题． 18.【答案】解：(1)根据题意，厨余垃圾共300+70+30+80=480吨，其中投放正确的有300吨，则厨余垃圾投放正确的概率P 1=300480=58，有害垃圾共20+20+60+20=120吨，其中投放正确的有60吨，则害垃圾投放正确的概率P 2=60120=12；(2)根据题意，厨余垃圾在四种垃圾箱的投放量分别为a ，b ，c ，d ，其中a >0，a +b +c +d =800，则其平均数x −=8004=200，则其方差S 2=14[(a −200)2+(b −200)2+(c −200)2+(d −200)2]，当a =600，b =c =d =0时，s 2最大，而x −=a+b+c+d4=200，此时s 2=14[(600−200)2+(0−200)2+(0−200)2+(0−200)2]=120000【解析】(1)结合题意，利用等可能事件的概率公式，即可分别求解； (2)结合已知数据及方差公式，即可判断求解．本题考查概率的估算，涉及方差的性质以及计算，属于中档题．19.【答案】解：(1)证明：取C 中点M ，GH 中点N ，连结BM ，MN ，FN ，∵底面ABCD 是菱形，平面CDHG ⊥平面ABCD ，CG =GH =HD =1，BD =CD =2． ∴△BDC 是等边三角形，∴BM ⊥CD ，MN ⊥CD ，四边形BMNF 是直角梯形，∵BM ∩MN =M ，∴CD ⊥平面BMNF ，∵BF ⊂平面BMNF ，∴CD ⊥BF ．(2)解：如图，把四棱台ABCD −EFGH 还原成四棱锥P −ABCD ， ∵在四棱台ABCD −EFGH 中，底面ABCD 是菱形，平面CDHG ⊥平面ABCD ，CG =GH =HD =1，BD =CD =2． ∴S 四边形ABCD =2S △BCD =2×12×2×2×sin60°=2√3，S 四边形EFGH =14S 四边形EFGH =14×2√3=√32，PN =MN =√32， ∴四棱台ABCD −EFGH 的体积：V ABCD−EFGH =V P−ABCD −V P−EFGH=13×S 四边形ABCD ×PM −13×S 四边形EFGH ×PN =13×2√3×√3−13×√32×√32=74．【解析】(1)取C 中点M ，GH 中点N ，连结BM ，MN ，FN ，推导出BM ⊥CD ，MN ⊥CD ，从而CD ⊥平面BMNF ，由此能证明CD ⊥BF ．(2)把四棱台ABCD −EFGH 还原成四棱锥P −ABCD ，四棱台ABCD −EFGH 的体积V ABCD−EFGH =V P−ABCD −V P−EFGH ，由此能求出结果．本题考查线线垂直的证明，考查四棱台的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由题意可得{ ca =√63bc =2√33a a 2=b 2+c 2，解得a 2=6，b 2=2，c 2=4，∴椭圆C 的方程x 26+y 22=1；(2)将x =1是代入x 26+y 22=1，可得y =±√153，此时|AM|⋅|AN|=(√153−1)(1+√153)=23≠1，因此直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y −1=k(x −1)，即y =kx +1−k ，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立{y =kx +1−k x 26+y 22=1，消y 整理可得(1+3k 2)x 2+6k(1−k)x +3(1−k)2−6=0，∴x 1+x 2=6k(k−1)1+3k 2，x 1x 2=3(1−k)2−61+3k 2，∴|AM|⋅|AN|=√1+k 2|x 1−1||⋅√1+k 2|x 1−1|=(1+k 2)|x 1x 2−(x 1+x 2)+1|=(1+k 2)⋅|3(1−k)2−6−6k(k−1)+3k 2+11+3k 2|=2(1+k 2)1+3k 2=1，解得k =±1，∴直线l 的方程为y =x 或y =−x +2．【解析】(1)由题意可得{ c a =√63bc =2√33a a 2=b 2+c 2，解得a 2=6，b 2=2，即可求出椭圆方程， (2)设直线l 的方程为y −1=k(x −1)，用韦达定理，可得|AM|⋅|AN|=2(1+k 2)1+3k 2=1，即可求出直线的斜率，可得直线方程．本题考查椭圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题． 21.【答案】解：(1)由已知f(x)=(x +1)2x ，从而f′(x)=2x +(x +1)2x ln2=2x [(x +1)ln2+1]， ∴f(0)=1，f′(0)=ln2+1，∴曲线y =f(x)在x =0处的切线方程为y −1=(ln2+1)x ，即y =(ln2+1)x +1； (2)当x >0时，f(x)x≥(x +1x+2)ln2+ax+2可化为：(x +1)2x ≥(x 2+2x +1)ln2+a +2x ，即a ≤(x +1)2x −(x 2+2x +1)ln2−2x ，令g(x)=(x +1)2x −(x 2+2x +1)ln2−2x ，(x >0)，则由题意只需a ≤g(x)min ，g′(x)=(2x −2)[(x +1)ln2+1]， ∵(x +1)ln2+1>0，∴当0<x <1时，g′(x)<0，当x >1时，g′(x)>0，从而g(x)在(0,1)递减，在(1,+∞)递增，故g(x)min =g(1)=2−4ln2，故a ≤2−4ln2，即实数a 的范围是(−∞,2−4ln2]．【解析】(1)求出函数的导数，计算f(0)，f′(0)，求出切线方程即可；(2)问题转化为a ≤(x +1)2x −(x 2+2x +1)ln2−2x ，令g(x)=(x +1)2x −(x 2+2x +1)ln2−2x ，(x >0)，则由题意只需a ≤g(x)min ，根据函数的单调性求出g(x)的最小值，求出a 的范围即可．本题考查了切线方程问题，考查函数恒成立，导数的应用以及转化思想，是一道常规题． 22.【答案】解：(1)曲线C 的参数方程为{x =t +2t①y =t −2t ②(t 为参数)，故①2−②2，整理得x 2−y 2=8，转换为直角坐标方程为x 28−y 28=1．直线l 的极坐标方程为ρcos(θ−π3)=√3.整理得：12ρcosθ+√32ρsinθ=√3，根据{x =ρcosθy =ρsinθ转换为直角坐标法方程为x +√3y −2√3=0．(2)直线x +√3y −2√3=0转换为参数方程为{x =−√32ty =2+12t (t 为参数)，代入x 28−y 28=1，得到t 2−4t −24=0，(t 1和t 2为A 、B 对应的参数)，所以t 1+t 2=4，t 1t 2=−24，所以：|MA|+|MB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=4√7【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 23.【答案】解：(1)|4x −1|≤|2x +1|+1⇔{4x −1≤2x +1+1,x ≥141−4x ≤2x +1+1,−12<x <141−4x ≤−2x −1+1,x ≤−12解得x ∈[−16,32]，故原不等式的解集为[−16,32].(2)f(a 2)+f(b 2)=|2a 2−1|+|2b 2−1|≥|2(a 2+b 2)−2|，由柯西不等式2(a 2+b 2)=(12+12)(a 2+b 2)≥(a +b)2=4．从而2(a 2+b 2)−2≥2，即f(a 2)+f(b 2)≥2，取等条件为a =b =1．故f(a 2)+f(b 2)的最小值为2．【解析】(1)去掉绝对值符号，转化求解不等式即可．(2)利用已知条件化简所求的表达式，通过柯西不等式求解即可．本题考查不等式的解法，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．。