【最新】九年级数学下册第六章第五节相似三角形的性质专题讲义pdf无答案新版苏科版0830386
九年级数学下册 第6章 图形的相似 6.5 相似三角形的性质教学课件 (新版)苏科版
AF⊥BC，AG⊥DE，垂足分别为F、G．若AD＝3，AB
＝5.求：
AG AF
的值.
A
E G D
∟
B
FC
5．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝36 cm，BC＝ 60cm，延长两腰BA，CD交于点O，OF⊥BC交AD于E， EF＝32cm，求OF的长．
O
A
ED
B
FC
想一想： 如图：△ABC是一块锐角三角形的余料，边长BC＝
冲一冲： 如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，点M、N、 P分别是△DEF各边的中点. （1）△DEF与△ABC相似吗？ △MNP与△ABC相似 吗？相似比分别是多少？为什么？ （2） △DEF、△MNP的周长、面积与△ABC的周长 和面积有什么关系？
如图继续下去呢？
练一练： 1．两个相似三角形的相似比为2:3，它们的对应边之 比为 ，周长之比为_____，面积之比为＿＿＿． 2．若两个三角形的面积之比为16:9，则它们的周长之 比为＿＿＿＿． 3．两个相似多边形的面积之比为1:4，周长之差为6，
2.如果两个相似多边形的面积比为1∶5，那么它们的
相似比为
.
试一试： A
△ABC∽△A'B'C'
B
┓ D
C
AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'
A′
的高，设相似比为k,
┓
则 BC
B'C '
k
那么 AD A'D'
?k
B′
D′ C′
结论：相似三角形对应高的比等于相似比．
冲一冲：
A
问题一：
苏科版九年级数学下册 第六章 相似三角形的综合讲义 专题讲义(word版无答案)
相似的综合题型考点1 动态几何中的相似三角形例1 如图，在钝角△ABC 中，AB=6 cm，AC=12 cm，动点D 从点A 出发到点B 止．动点E 从点C 出发到点A 止．点D 运动的速度为1 cm／s，点E 运动的速度为2 cm／s．如果两点同时运动，那么以点A、D、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时．运动的时间是（）A．3 s 或4．8 s B．3 s C．4．5 s D．4．5 s 或4．8 s例2 如图：OA=12，OB=6，点P 从点O 开始沿O A 边向A 匀速移动，点Q 从点B 开始，开始沿BO 边向点O 匀速移动，它们的速度都是每秒1 个单位，如果P、Q 同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么⑴设△POQ 的面积为y，求y 与t 的函数关系式；⑵t 为何值时，以P、Q、O 三点为顶点的三角形与△AOB 相似？例3 如图，已知矩形ABCD 的边长AB＝3cm，BC＝6cm．某一时刻，动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm／s 的速度向B 点匀速运动：同时，动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm ／s 的速度向A 点匀速运动，问：是否存在时刻t，使以A，M，N 为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．例 4 如图,已知，在△ABC 中,BA=BC=20 ㎝，AC=30 ㎝,点 P 从 A 点出发,沿 AB 以 4 ㎝/s 的速 度向点 B 运动；同时点 Q 从 C 点出发,沿 CA 以 3 ㎝/s 的速度向 A 点运动,设运动时间为 x ， （1）当 x 为何值时,PQ ∥BC ； （2）当 S △BCQ ∶S △ABC=1∶3 时,求 S △BPQ ∶S △ABC 的值.(6 分)C例 5 如图 1，在△ABC 中，已知 AB ＝AC ＝5．BC ＝6，且△ABC ≌△DEF ．将△DEF 与△ABC 重 合在一起，△ABC 不动，DEF 运动，并满足：点 F 在边 BC 上沿 B 到 C 的方向运动，且 DE 始 终经过点 A ，EF 与 AC 交于 M 点． (1)求证：△ABE ∽△ECM ；(2)探究：在△DEF 运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，若能，求出 BE 的长； 若不能，请说明理由；例 6 已知在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点 Q 是线段 AC 上的一个动点，过点 Q 作 AC 的垂线交线段 AB （如图 1）或线段 AB 的延长线（如图 2）于点 P ． （1）当点 P 在线段 AB 上时，求证：△APQ ∽△ABC ； （2）当△PQB 为等腰三角形时，求 AP 的长．例 7 在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB<AC ，M 是 BC 边的中点，MN ⊥BC 交 AC 于点 N ，动点 P 在线段 BA 上以每秒的速度由点 B 向点 A 运动．同时，动点 Q 在线段 AC 上由点 N 向点 C运动，且始终保持 MQ ⊥MP ．一个点到终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为 t 秒(t>0)． (1)△PBM 与△QNM 相似吗？请说明理由；(2)若∠ABC ＝60°，AB ＝4 cm ．①求动点 Q 的运动速度；②设△APQ 的面积为 s(cm 2)，求 S 与 t 的函数关系式．（不必写出 t 的取值范围） (3)探求 BP 2、PQ 2、CQ 2三者之间的数量关系，请说明理由．例8 如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，D，E，F 分别是AC，AB，BC 的中点．点P 从点D 出发沿折线DE－EF－FC－CD 以每秒7 个单位长的速度匀速运动；点Q 从点B 出发沿BA 方向以每秒4 个单位长的速度匀速运动，过点Q 作射线QK⊥AB，交折线BC－CA 于点G．点P，Q 同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P，Q 运动的时间是t 秒(t>0)．(1)D，F 两点间的距离是▲；(2)射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出t 的值．若不能，说明理由；(3)当点P 运动到折线EF－FC 上，且点P 又恰好落在射线QK 上时，求t 的值；(4)连结PG，当PG∥AB 时，请直接写出t 的值．例9 已知：如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠DCB = 90°，E 是AD 的中点，点P 是BC 边上的动点（不与点B 重合），EP 与BD 相交于点O.（1）当P 点在BC 边上运动时，求证：△BOP∽△DOE；（2）设（1）中的相似比为k ，若AD︰BC = 2︰3. 请探究：当k为下列三种情况时，四边形ABPE 是什么四边形？①当k = 1 时，是；②当k = 2 时，是；③当k = 3 时，是. 并．证．明．k = 2 时的结论.D例10 如图，点O 为矩形ABCD 的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G 分别从A、B、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E 的运动速度为1cm/s，点F 的运动速度为3cm/s，点G 的运动速度为1.5cm/s，当点F 到达点C（即点F 与点C 重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF 关于直线EF 的对称图形是△EB′F．设点E、F、G 运动的时间为t（单位：s）．（1）当t=（）s 时，四边形EBFB′为正方形；（2）若以点E、B、F 为顶点的三角形与以点F，C，G 为顶点的三角形相似，求t 的值；（3）是否存在实数t，使得点B′与点O 重合？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．练习1. 如图，Rt△ABC 中，∠A=30°，BC=10cm，点Q 在线段BC 上从B 向C 运动，点P 在线段BA 上从B 向A 运动．Q、P 两点同时出发，运动的速度相同，当点Q 到达点C 时，两点都停止运动．作PM⊥PQ 交CA 于点M，过点P 分别作BC、CA 的垂线，垂足分别为E、F．（1）求证：△PQE∽△PMF；（2）当点P、Q 运动时，请猜想线段PM 与MA的大小有怎样的关系？并证明你的猜想；2.如图，在直角梯形ABCD 中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=8cm．BC=4cm，CD=5cm．动点P 从点B 开始沿折线BC﹣CD﹣DA 以1cm/s 的速度运动到点A．设点P 运动的时间为t （s），△PAB 面积为S（cm2）．（1）当t=2 时，求S 的值；（2）当点P 在边DA 上运动时，求S 关于t 的函数表达式；（3）当S=12 时，求t 的值．3.如图，R t△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5 cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q从点C 出发，在CB 边上以每秒4 cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接P Q(1) 若△BP Q与△ABC 相似，求t的值(2) 连接A Q、CP，若A Q⊥CP，求t的值(3) 试证明：P Q的中点在△ABC 的一条中位线上考点2 翻折中的相似三角形例1 已知矩形纸片ABCD 中，AB＝4，BC＝6．(1)如图1，点E 是BC 边上的一点，BE＝2，AE、BD 交于点F．①求AF：FE 的值；②求△BEF 的面积；(2)如图2，将矩形纸片沿MN 折叠，使点B 与边CD 的中点重合，点A、B 的对应点为A1、B1，A1B1 与DN 交于点G，求△MCB1 和△B1DG 的周长之比．例2 如图2，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，翻折∠C，使点C 落在斜边AB 上某一点D 处，拆痕为EF(点E、F 分别在边AC、BC 上)．(1)若△CEF 与△ABC 相似，①当AC＝BC＝2 时，AD 的长为；②当AC＝3，BC＝4 时，AD 的长为；(2)当点D 是AB 的中点时，△CEF 与△ABC 相似吗？请说明理由．例3 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝MABN 的面积是A．B．C．D．考点3 旋转中的相似三角形例1 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，OA＝3，OC＝4，P 为直线AB 上一动点，将直线OP 绕点P 逆时针方向旋转90°交直线BC 于点Q；(1)当点P 在线段AB 上运动（不与A，B 重合）时，求证：OA·BQ＝AP·BP；(2)在(1)成立的条件下，设点P 的横坐标为m，线段CQ 的长度为l，写出，关于m 的函数解析式；(3)直线AB 上是否存在点P，使△POQ 为等腰三角形，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．例2 如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC．AO⊥BC 于点O，F 是线段AO 上的点（与A、O 不重合），∠EAF＝90°，AE＝AF，连结FE，FC，BF．(1)求证：BE＝BF；(2)如图，若将△AEF 绕点A 旋转，使边AF 在∠BAC 的内部，延长CF 交AB 于点G，交BE 于点K．①求证：△AGC∽△KGB；②当△BEF 为等腰直角三角形时，请直接写出AB：BF 的值．例3 如图，Rt△AB'C'是由Rt△ABC 绕点A 顺时针旋转得到的，连接CC'交斜边于点E，CC'的延长线交BB'于点F．(1)试说明：△ACE∽△FBE；(2)设∠ABC＝α，∠CAC'＝β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE 与△FBE 是全等三角形，并说明理由．考点4 相似三角形与函数的关系例1 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－44 与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，3点P 从点O 出发沿OA 以每秒1 个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AO 返回；点Q 从A 出发沿AB 以每秒1 个单位长的速度向点B 匀速运动，当点P、Q 运动时，DE 保持垂直平分PQ，且交PQ 于点D，交折线QB－BO－OP 于点E．点P、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止，设点P、Q 运动的时间为t 秒(t>0)．(1)点Q 的坐标是(▲，▲)（用含t 的代数式表示）；(2)当点E 在BO 上时，四边形QBED 能否为直角梯形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由；(3)当t 为何值时，直线DE 经过点O．例2 在直角梯形OABC 中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝OA、OC 边所在直线为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求点B 的坐标；（2）已知D、E 分别为线段OC、OB 上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE 交x 轴于点F．求直线DE 的解析式；（3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．例3 探究与应用：在学习几何时，我们可以通过分离和构造基本图形，将几何“模块”化．例如在相似三角形中，K 字形是非常重要的基本图形，可以建立如下的“模块”（如图①）：(1)请就图①证明上述“模块”的合理性；(2)请直．接．利．用．上述“模块”的结论解决下面两个问题：①如图②，已知点A(－2，1)，点B 在直线y＝－2x＋3 上运动，若∠AOB＝90°，求此时点B 的坐标；②如图③，过点A(－2，1)作x 轴与y 轴的平行线，交直线y＝－2x＋3 于点C、D，求点A 关于直线CD 的对称点E 的坐标．九年级下册 相似三角形的专题讲义 11 例 4 如图①，将直角梯形 OABC 放在平面直角坐标系中，已知 OA ＝5，OC ＝4，BC ∥OA ，BC＝3，点 E 在 OA 上，且 OE ＝1，连结 OB 、BE ． (1)求证：∠OBC ＝∠ABE;(2)如图②，过点 B 作 BD ⊥x 轴于 D ，点 P 在直线 BD 上运动，连结 PC 、P 、PA 和 CE ． ①当△PCE 的周长最短时，求点 P 的坐标；②如果点 P 在 x 轴上方，且满足 S △CEP ：S △ABP ＝2：1，求 DP 的长．如图 1，P 为△ABC 内一点，连接 PA 、PB 、PC ，在△PAB 、△PBC 和△PAC 中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称 P 为△ABC 的自相似点．(1)如图 2，已知 Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是 AB 上的中线，过点 B 作 BE ⊥CD ， 垂足为 E ，试说明 E 是△ABC 的自相似点．(2)如图 3，在△ABC 中，∠A<∠B<∠C ．若△ABC 的三个内角平分线的交点 P 是该三 角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．。
6.5 相似三角形的性质-苏科版数学九年级下册精品讲义
第6章 图形的相似6.5相似三角形的性质知识点01 相似三角形的性质1. 相似三角形周长的比等于相似比（1） ∽，则由比例性质可得：。
（2）相似多边形周长的比等于相似比.【即学即练1】在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的6cm 变成了2cm ，则缩印出的三角形的周长是原图中三角形周长的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比计算，得到答案．【详解】解：∵三角形的一条边由原图中的6cm 变成了2cm ，∴原三角形与缩印出的三角形是相似比为3：1，∴原三角形与缩印出的三角形的周长比为3：1，∴缩印出的三角形的周长是原图中三角形周长的，故选：A．2. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则，分别作出与的高和，则【微点拨】相似多边形面积的比等于相似比的平方.【即学即练2】在中，AD平分交边BC于点D，点E在线段AD上，若，则与的面积比为( )A．16：45B．1：9C．2：9D．1：3【答案】C【分析】根据等高三角形的面积比等于底边的长度比，得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得到的面积比，即可得到答案；【详解】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAD，∵∠ABE=∠C，∴，∵，∴，，，∴．故选C ；知识点02 相似三角形中对应线段的比1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的对应线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.【微点拨】要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.【即学即练3】如下图所示，在△ABC 中，点D 在线段AC 上，且△ABC ∽△ADB ，则下列结论一定正确的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解．【详解】解：∵△ABC ∽△ADB ，∴，∴AB 2=AC •AD ．故选：A ．考法01利用三角形性质求解能力拓展【典例1】如图所示，D为AB边上一点，AD：DB＝3：4，交BC于点E，则S△BDE：S△AEC等于（）A．16：21B．3：7C．4：7D．4：3【答案】A【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及平行线分线段成比例，不难求得．【详解】解：∵，∴，且，∴，，∴，∵，与的高相等，∴，∴．故选：A．考法02 证明三角形的对应线段成比例【典例2】如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用平行线的性质可得内错角相等，即可得出和，在根据相似三角形的性质及等量代换即可得出答案．【详解】解：，，，，，，由，，，，，故选：C ．题组A 基础过关练1．如图，在中，是斜边上的高，若，，则的长为（ ）A ．8B ．10C ．9D ．12【答案】C【分析】在与中，利用两角对应相等的两个三角形相似，对应边对应成比例，即可求解．【详解】解：如图所示，∵，，分层提分∴，，∴，，∴，∴，即，且，，∴，故选：．2．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列比例式中不能得到DE BC的是（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似逐项进行判断即可得到结论．【详解】解：如图，解：A．∵，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC，∴DE BC；故选项不符合题意；B．当时，△ADE与△ABC不一定相似，∴∠ADE不一定等于∠B，∴不能得到DE BC，故选项符合题意；C．∵，∴，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC，∴DE BC；故选项不符合题意；D．∵，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC，∴DE BC；故选项不符合题意；故选：B．3．如图，已知△ABE∽△CDE，AD、BC相交于点E，△ABE与△CDE的周长之比是，若AE＝2、BE＝1，则BC的长为（ ）A．3B．4C．5D．6【答案】D【分析】根据相似三角形的性质可得AE：CE＝2：5，从而得到CE＝5，即可求解．【详解】解：∵△ABE∽△CDE，△ABE与△CDE的周长之比是，∴AE：CE＝2：5，∵AE＝2，∴CE＝5，∵BE＝1，∴BC＝BE+EC＝1+5＝6，故选：D．4．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且，AD=1，BD=2，DE=2那么BC的值为（）A．2B．4C．6D．8【答案】C【分析】证明利用对应边对应成比例即可求出．【详解】解：∵∴∴∴∴故选C．5．如果两个相似三角形对应边的比是3∶4，那么它们的对应周长的比是（）A．3∶4B．C．9∶16D．3∶7【答案】A【分析】直接利用相似三角形的性质得出答案．【详解】解：∵两个相似三角形对应边的比为3：4，∴它们的周长比是：3：4．故选：A．6．已知，，，则的周长之比为____．【答案】4∶3【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得解．【详解】解：∵，，，∴；故答案为：4∶3．7．如图，光源P在水平横杆AB的上方，照射横杆AB得到它在平地上的影子为CD（点P、A、C在一条直线上，点P、B、D在一条直线上），不难发现AB//CD．已知AB＝1.5m，CD＝4.5m，点P到横杆AB的距离是1m，则点P到地面的距离等于______m．【答案】3【分析】作PF⊥CD于点F ，利用AB∥CD，推导△PAB∽△PCD，再利用相似三角形对应高之比是相似比求解即可．【详解】解：如图，过点P作PF⊥CD于点F，交AB于点E，∵AB∥CD，∴△PAB∽△PCD，PE⊥AB，∵△PAB∽△PCD，∴，（相似三角形对应高之比是相似比）即：，解得PF＝3．故答案为：3．8．如图，△ABC∽△CAD，∠ACB=∠D=90°，_____．【答案】AB•DC【分析】根据相似三角形的性质解答即可．【详解】解：∵∠ACB=∠D=90°，且△ABC∽△CAD，∴，即=AB•DC，故答案为：AB•DC．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，求FC的长．【答案】2.4【分析】根据已知可证明△ABE~∆FCB，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【详解】解：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠CBF，∵∠A=90°，∠CFB=90°，∴△ABE∽△FCB∴，∵BC=3，E是AD的中点，∴AE=1.5 ，∴BE=2.5，∴，∴FC=2.4．10．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，且AD:AB=AE:AC=2:3．(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若DE=4，求BC的长．【答案】(1)见解析；(2)BC=6．【分析】（1）直接根据相似三角形的判定方法判定即可；（2）利用相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）证明：∵∠A=∠A，AD:AB=AE:EC=2:3，即，∴△ADE∽△ABC；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴，，∴BC=6．题组B 能力提升练1．下列命题中，是真命题的是（ ）A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形B．小明爬山时发现上山比下山的盲区小C．若点P是线段AB的黄金分割点，则D．相似三角形的周长比等于相似比的平方【答案】A【分析】根据菱形的判定方法、黄金分割的定义、相似三角形的性质进行判断即可．【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，是真命题，故A正确；B、爬山时上山比下山的盲区大，原命题是假命题，故B错误；C、若点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP时，则，原命题错误，故C错误；D、相似三角形的周长比等于相似比，原命题错误，故D错误．故选：A．2．如图，O是△ABC的重心，AN，CM相交于点O，那么△MON与△BMN的面积的比是（）A．1：2B．2：3C．1：3D．1：4【答案】C【分析】利用三角形重心的性质得到MO：MC＝1：3和点N是BC的中点，从而得到△MON和△MNC的面积比、△BMN和△CMN的面积比，然后综合两个面积比求得结果．【详解】解：∵点O是△ABC的重心，∴MO：MC＝1：3，点N是BC的中点，∴，∴，故选：C．3．若，且与的面积比是，则与对应角平分线之比为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方求出相似比，再根据相似三角形的性质即可得到答案．【详解】解：∵，且与的面积比是，∴与的相似比是，∴与对应角平分线之比为，故选：B．4．如图，在ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若ADE的面积为，则四边形DBCE的面积为（ ）A．B．1C．D．2【答案】C【分析】先根据三角形的中位线定理证明，则△ADE∽△ABC，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积，即可由求出四边形DBCE的面积．【详解】解：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴，AE＝CE＝AB，∴，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∴，故选：C．5．如图，在Rt ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．以BC上点O为圆心作⊙O分别与AB、AC相切E、C 两点，与BC的另一交点为D，则线段BD的长为________【答案】1【分析】连接OE，OE⊥AB，OE=OC，AC⊥OC，△BEO∽△BCA，故，故可得OC的长，即可得出BD的长．【详解】解：如图，连接OE，∵AB是⊙O的切线，∴OE⊥AB，OE=OC，∵AC⊥OC，∴BEO∽BCA，∴，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5，∴，∴，∴OE=，∴OC=，∴BD=BC-2×OC=4-2×．故答案为：1．6．如图，点G是的中线上一点，且，作，垂足为点E，若，则点A到的距离为______________．【答案】【分析】过点作，则的长即为到的距离，证明，根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：如图，过点作，则的长即为到的距离，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，，故答案为：．7．如图，已知AB CD，AD与BC相交于点P，，若AP＝6，则PD的长是_____．【答案】10【分析】证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【详解】解：∵AB CD，∴，∴，即，解得：PD＝10，故答案为：10．8．如图，在中，，，点从点出发，沿着边向点以的速度运动，点从点出发，沿着边向点以的速度运动．如果与同时出发，那么经过______秒和相似．【答案】4或【分析】分两种情况讨论，由相似三角形对应边成比例列方程求解即可．【详解】解：设经过x秒，△PQC和△ABC相似，∴CP=8-x（cm），CQ=2x（cm），当△PCQ∽△ACB，则，∴，∴x=4，当△PCQ∽△BCA，则，∴，∴x=，综上所述：经过4或秒，△PQC和△ABC相似．故答案为：4或．9．如图，四边形中，，且，E、F分别是、的中点，与交于点M．(1)求证：；(2)若，求BM．【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）根据已知条件可得四边形是平行四边形，从而得到，即可求证；（2）根据相似三角形的对应边成比例求出相似比，即可求得线段的长．【详解】（1）证明：，E是的中点，，，四边形是平行四边形，，，，；（2）解：，F是的中点，，，，，又，．10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，CB＝5，D是BC边上一点，且DB＝1，点E是AC边上的一个点，且AE，过点E作交AD于点F．(1)求EF的长．(2)求证：△DEF∽△ABD．【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）利用，证明△AEF∽△ACD，根据对应边对应成比例进行计算即可；（2）利用勾股定理求出AD，利用，求出AF，利用求出DF，从而得出，在利用外角的性质，得到，即可得证．【详解】（1）解：∵CB＝5，DB＝1，∴，∵，∴，∵，∴△AEF∽△ACD，∴，即：，∴；（2）证明：∵∠C＝90°，AC＝3，CD＝4，∴，∵∴△AEF∽△ACD，∴，即：，∴，∴，∵，∴，∵，又∵，∴，∴△DEF∽△ABD题组C 培优拔尖练1．如图，在梯形中，，，对角线与相交于点O，把、、、的面积分别记作，那么下列结论中，不正确（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由，推出，推出，利用等高模型以及相似三角形的性质解决问题即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，，∴选项A，B，D正确，选项C错误，故选：C．2．如图，中，，，为边上一动点，将绕点逆时针旋转得到，使得点的对应点与，在同一直线上，若，则的长为（）A．3B．4C．6D．9【答案】B【分析】由旋转和平行线的性质易证，从而易证，即得出，代入数据即可求出BD的长．【详解】∵，∴．由旋转的性质可知，∴．又∵，∴，∴，即，∴．故选B．3．如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，BC＝12，AH＝8，D、E分别为AB、AC上的点，G、F是BC上的两点，四边形DEFG是正方形，正方形的边长DE为（ ）A．4.8B．4C．6.4D．6【答案】A【分析】利用相似三角形对应高的比也等于相似比，可以求出x,注意所画图形是正方形，用同一未知数表示未知边，即可求出．【详解】解：设△ABC的高AH交DE于点M，正方形的边长为x.由正方形DEFG得，DE∥FG，即DE∥BC，∵AH⊥BC，∴AM⊥DE．由DE∥BC得△ADE∽△ABC，∴，把BC=12，AH=8，DE=x,AM=8-x代入上式得：，解得：x=4.8．答：正方形的边长是4.8．故选：A．4．如图，在中，D，C，E三点在一条直线上，，，，则的长为（）A．1.5B．1.6C．1.7D．1.8【答案】B【分析】设对角线AC与BD交于点O，过点O作于M，利用平行四边形性质得BO=DO，得MC=MD，然后利用相似三角形的判定与性质得出CF的长．【详解】解：设对角线AC与BD交于点O，在中，，，过点O作于M（如图），，，，，．故选B．5．如图Rt AOB∽DOC，∠AOB＝∠COD＝90°，M为OA的中点，OA＝6，OB＝8，直线AD，CB交于P 点，连接MP，AOB保持不动，将COD绕O点旋转，则MP的最大值是_____．【答案】9【分析】根据相似三角形的判定定理证明COB∽DOA，得到∠OBC=∠OAD，得到O、B、P、A共圆，求出MS和PS，根据三角形三边关系解答即可．【详解】解：取AB的中点S，连接MS、PS，则PM≤MS+PS，∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，∴AB=10，∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠COB=∠DOA，∵AOB∽DOC，∴，∴COB∽DOA，∴∠OBC=∠OAD，∴O、B、P、A共圆，∴∠APB=∠AOB=90°，又S是AB的中点，∴PS=AB=5，∵M为OA的中点，S是AB的中点，∴MS=OB=4，∴MP的最大值是4+5=9，故答案为：9．6．如图，为等边边上的高，，为高上任意一点，则的最小值为_____．【答案】【分析】连接，交于点，此时最小，过点作于点，证明，然后求得，在中，勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示：连接，交于点，此时最小，过点作于点，∵为等边边上的高，∴点与点关于对称，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，解得：，∴，∴，∴在中，∴的最小值为：．故答案为：．7．如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的是______．（填写正确结论的序号）【答案】①③④【分析】利用折叠性质得∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，则可得到∠EBG=∠ABC，于是可对①进行判断；在Rt ABF中利用勾股定理计算出AF=8，则DF=AD-AF=2，设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=4，利用勾股定理得到，解得x=3，所以AG=3，GF=5，于是可对④进行判断；接着证明ABF∽DFE，利用相似比得到，而=2，所以，所以DEF与ABG不相似，于是可对②进行判断；分别计算和可对③进行判断．【详解】解：∵BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，∴∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，∴∠EBG=∠EBF+∠FBG=∠CBF+∠ABF=∠ABC=45°，所以①正确；在Rt ABF中，AF==8，∴DF=AD-AF=10-8=2，设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=10-6=4，在Rt GFH中，∵，∴，解得x=3，∴GF=5，∴AG+DF=FG=5，所以④正确；∵BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，∴∠BFE=∠C=90°，∴∠EFD+∠AFB=90°，而∠AFB+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠EFD，∴ABF∽DFE，∴，∴，而，∴，∴DEF与ABG不相似；所以②错误．∵=×6×3=9，=×3×4=6，∴．所以③正确．故答案为：①③④．8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC上，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则＝________．【答案】9：25【分析】先由DE：EC=3：2，得DE：DC=3：5，再根据平行四边形ABCD，得AB CD，AB=CD，所以，△DEF∽△BAF，然后根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方求解．【详解】解：∵DE：EC=3：2，∴DE：DC=3：5，∵平行四边形ABCD，∴AB CD，AB=CD，∴，△DEF∽△BAF，∴，故答案为：9∶25．9．如图，在△ABC中，过点A作，交∠ACB的平分线于点D，点E是BC上，连接DE，交AB于点F，．(1)求证：四边形ACED是菱形；(2)当，时，直接写出的值．【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）根据可得，即可证明四边形是平行四边形，然后根据平行线的性质以及角平分线得出，则可根据邻边相等的平行四边形为菱形；（2）根据菱形的性质可得，从而求出的长，然后根据可得，根据相似三角形对应边成比例可得结论．【详解】（1）证明：，，即，，四边形是平行四边形，，，平分，，，，四边形是菱形；（2）四边形是菱形；，，，，，．10．如图，在中，点D、E分别在边AB、AC上，BE、CD交于点O，．(1)如果，求AC的长；(2)如果△ADE的面积为1，求的面积．【答案】(1)18；(2)2【分析】（1）首先证明，利用相似三角形的性质解决问题即可．（2）证明，利用等高模型即可解决问题．【详解】（1）解：∵，∴＝，∵，∴，∴，∴，∴＝，，∴＝，∵，∴．（2）∵＝，∴，∴．11．如图，在正方形中，点M是边上的一点（不与B、C重合），点N在边的延长线上．且满足连接、，与边交于点E．(1)求证：；(2)求证：．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）根据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明，根据全等三角形的性质即可证明；（2）证明，根据相似三角形的性质即可证明．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴，，又∵，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴，∵，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．12．如图，在Rt ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E是AB上一点，以AE为直径的⊙O过点D，且交AC于点F．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若CD=6，AC=8，求AE．【答案】(1)见解析；(2)12.5【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；（2）求出AD，连接DE，证DCA∽EDA，得出比例式，代入数值求解即可．【详解】（1）证明：连接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠ODA=∠CAD，∴OD AC，∵∠C=90°，∴∠ODC=90°，∴OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O切线；（2）解：在Rt ADC中，AC=8，CD=6，由勾股定理得：AD=10．连接DE，∵AE为直径，∴∠EDA=∠C=90°，∵∠CAD=∠EAD，∴DCA∽EDA，∴，∴，AE=12.5．13．矩形中，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在延长线上（图1）(1)若，求的度数与的长度；(2)如图2将向右平移得，两直角边与拒形相交于点E、F；当平移的距离是多少时，能使与相似，（先填空，再完成解答）解：设平移的距离为x，则______________________（用含x的代数式表示）【答案】(1)37°，4(2)，，或x=3.4【分析】（1）根据矩形的性质得出AD=BC=6，BC AD，∠B=90°，求出∠CAD=∠BCA=53°，则37°即可解答；由勾股定理求出=AC=10，进而求得；（2）设平移的距离为x，则，然后再解直角三角形表示出，进而表示出，同理表示出，然后根据相似三角形的性质列方程求解即可；【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=6，BC AD，∠B=90°，∴∠CAD=∠BCA=53°，∴∠BAC=90°-∠BCA=90°-53°=37°，∵将绕点A逆时针旋转得到∴37°在Rt△CBA中，AB=8，BC=6，由勾股定理得：=AC=10∴．（2）解：设平移的距离为x，则，∵∴，解得：∴同理：∵与相似∴或∴或，解得或x=3.4∴当或x=3.4时，与相似．14．【问题呈现】（1）如图1，和都是等边三角形，连接BD、CE．求证：BD=CE．【类比探究】（2）如图2，和都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，连接BD、CE，则___________．【拓展提升】（3）如图3，和都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，∠DAE=∠BAC=30°，连接BD、CE．①求的值；②延长交于点G．交于点F．求．【答案】（1）见解析；（2）；（3）①；②30°【分析】（1）证明BAD CAE，从而得出结论；（2）证明BAD∽CAE，进而得出结果；（3）①利用含30度的直角三角形的性质以及勾股定理得到，再证明BAD∽CAE，进而得出结果；②由BAD∽CAE，得出∠ACE=∠ABD，进而得出∠BGC=∠BAC．【详解】（1）证明：∵ABC和ADE都是等边三角形，∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAE∠BAE=∠BAC∠BAE，∴∠BAD=∠CAE，∴BAD CAE（SAS），∴BD=CE；（2）解：∵ABC和ADE都是等腰直角三角形，∴，∠DAE=∠BAC=45°，∴∠DAE∠BAE=∠BAC∠BAE，∴∠BAD=∠CAE，∴BAD∽CAE，∴；故答案为：；（3）解：①∵∠ABC=∠ADE=90°，∠DAE=∠BAC=30°，∴AE=2DE，AC=2BC，由勾股定理得AD=DE，AB=BC，∴，同理BAD∽CAE，∴；②∵BAD∽CAE，∴∠ACE=∠ABD，∵∠AFC=∠BFG，∴∠BGC=∠BAC=30°．。
6、5 相似三角形的性质 -苏科版数学九年级下册
1 2
∵△ ABC ∽△ A′B′C′，∴
即 ∴
SS△△1AA2′'BB'′CC'′==(641)22=×9944=，136
，
×6×4=12. SS△△AA'BBC'C'=(BB'CC')2
，
即△ A′B′C′ 的面积为 16 .
3
感悟新知
新知二 相似三角形对应线段的性质
1. 定理 相似三角形对应线段的比等于相似比. 2. 符号语言 (1)相似三角形对应高的比等于相似比(k). 如图6.5-3 所示，如果
平方”求解.
一题多解:
例 2 也 可 以 用 另 一 种 方 法 求 解 ， 如 ： 过 点 A′ 作
A′D′⊥B′C′于D′，利用相似三角形的性质先求出△A′B′C′
中B′C′边上的高A′D′的长，再利用S△A′B′C′=
1 2
B′C′·A′ D′
求面积.
感悟新知
解：S△ ABC=
1 2
BC·AD=
∴
x3 x－8=2
,解得x=24.
∴ 3x-2x=8，∴ x=8， ∴较大的三角形的周长 为3x=24.
感悟新知
例2 [模拟·宿迁] 如图6.5-2，△ABC ∽△ A′B′C′，BC=6， B′C′=4，AD⊥BC于D，AD=4，求△ A′B′C′ 的面积.
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解题秘方：利用“相似三角形面积的比等于相似比的
△ ABC ∽△ A′B′C′，AD，A′D′ 分别为对应边BC，B′C′ 上 的高，则 AA'DD'=AA'BB' =k.
感悟新知
(2)相似三角形对应边上中线的比等于相似比(k). 如图6.5-4
九年级数学下册第六章第四节探索三角形相似的的条件专题讲义(pdf,无答案)苏科版教案
相似三角形10.4探索三角形相似的条件知识点1相似三角形的判定方法1两角对应相等，两三角形相似知识点2相似三角形的判定方法2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似知识点3相似三角形的判定方法3三边对应成比例，两三角形相似知识点4相似三角形的判定方法4平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似。
考点1相似三角形的判定方法1例1已知，如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E．(1)△ADE∽△FDB吗?为什么?(2)你能推出结论CD2=DE·DF吗?请试一试．例2如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.(1)求证：△ADF∽△DEC(2)若AB＝6，AD＝12，AE＝5，求AF的长.例3如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD(1)试说明：△ABC∽△DCA(2)若AC＝6，BC＝9，求AD的长．BACDEF例4如图，在同一平面内将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠AFG＝90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）(1)求证：△ABE∽△DCA．(2)若BD＝12，求CE．练习1.如图，正方形AEFG的顶点E在正方形ABCD的边CD上，AD的延长线交EF于H点．(1)证明：△AED∽△EHD．(2)若E为CD的中点，正方形ABCD的边长为4，求DH的长．2.如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在AC上，且∠EAD＝∠ADE．(1)求证：△DCE∽△BCA：(2)已知3，AC＝4，求DE长．3.如图，在□ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE．F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．(1)试说明：△ABF∽△EAD；(2)若AB＝4，BE＝3，AD＝3，求BF的长．4.如图，已知D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，若∠A=350，∠C=850，∠ADE=600，(1)请说明：△ADE∽△ABC(2)若AD=4，AE=3，BE=5，求AC长。
苏科版九年级下册数学第6章 与判定三角形相似有关的应用及三角形的重心
【点拨】①∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ ADE
∽△ACB，故①符合题意； ②DE∥BC，则△ ADE∽△ABC，故②不符合题意； ③AADC＝AAEB，且夹角∠A＝∠A，能确定△ ADE∽△ACB， 故③符合题意；
④由 AD·BC＝DE·AC 可得AADC＝DBCE，此时不确定 ∠ADE＝∠ACB，故不能确定△ ADE∽△ACB，故④ 不符合题意，故选 B.
∴AE＝BE＝12AB＝32.
②当∠CDE＝90°时，如图②， ∵△ADE、△BEC、△EDC 两两相似， ∴∠CEB＝∠CED＝∠AED＝60°. ∴∠BCE＝∠DCE＝∠ADE＝30°. ∵∠A＝∠B＝90°， ∴BE＝ED＝2AE. ∵AB＝3，∴AE＝1.
综上，AE 的值为32或 1.
11 【2020·上海】已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分 别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长 线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H. (1)求证：△BEC∽△BCH；
【2020秋·苏州市月考】已知，在△ABC中，G是三角形的 3 重心，AG＝5，GC＝12，AC＝13，则BG＝__1_3_____.
【点拨】如图，延长 BG 交 AC 于 H. ∵AG2＋GC2＝52＋122＝169，AC2＝132＝169， ∴AG2＋GC2＝AC2.∴∠AGC＝90°. ∵G 是三角形的重心，∴H 是 AC 的中点． 在 Rt△AGC 中，H 是 AC 的中点，∴GH＝12AC＝6.5. ∵G 是三角形的重心，∴BG＝2GH＝13.
9 如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝5，P为 CD边上ห้องสมุดไป่ตู้动点，当DP＝__1_或__4_或__2_.5_时，△ADP 与△BCP相似．
相似三角形的性质定理(3种题型)-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)
相似三角形的性质定理（3种题型）【知识梳理】一、相似三角形性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 二、相似三角形性质定理2相似三角形周长的比等于相似比． 三、相似三角形性质定理3相似三角形的面积的比等于相似比的平方．【考点剖析】题型一：相似三角形性质定理1例1.已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，1132AB A B =，BE 、B 1E 1分别是它们的对应中线，且6BE =．求B 1E 1的长． 【答案】4．【解析】解：111ABC A B C ∆∆∽，BE 、11B E 分别是对应中线，1111AB BEA B E B ∴=即11362E B =，114E B =【总结】本题考查相似三角形对应中线的比等于相似比．例2.已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，12AC =，119A C =,1A ∠的平分线A 1D 1的长为6，求A ∠的平分线的长． 【答案】8．【解析】解：111ABC A B C ∆∆∽，AD 、11A D 分别是A ∠、1A ∠的平分线，1111AC AD A C A D ∴=即1296AD =，8AD ∴=即A ∠的平分线的长为8．【总结】本题考查相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 例3.求证：相似三角形对应高的比等于相似比．【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是BC 、11B C 的高．求证：11ADkA D =．证明：111ABC A B C ∆∆∽，1B B ∴∠=∠，11ABkA B =；又AD 、11A D 分别是BC 、11B C 的高，11190BDA B D A ∴∠=∠=，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADk A B A D ∴==．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质． 例4.求证：相似三角形对应中线的比等于相似比．【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是边BC 、11B C 的 中线．求证： 11ADk A D =．证明：111ABC A B C ∆∆∽，1B B ∴∠=∠，1111AB CBkA B C B ==；又AD 、11A D 分别是边BC 、11B C 的中线，12BD BC ∴=，111112B D B C =，∴11DB k D B =，1111AB BD A B B D ∴=，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADkA B A D ∴==．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的运用．例5.求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比．【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是BAC ∠、111B A C ∠ 的角平分线．求证：11ADk A D =．证明：111ABC A B C ∆∆∽，1B B ∴∠=∠，111BAC B A C ∠=∠，11ABkA B =；又AD 、11A D 分别是BAC ∠、111B A C ∠的角平分线，11111111,22BAD BAC B A D B A C ∴∠=∠∠=∠，111BAD B A D ∴∠=∠，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADk A B A D ∴==．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质．例 6.如图，ABC ∆和111A B C ∆中，AD 和BE 是ABC ∆的高，11A D 和11B E 是111A B C ∆的高，且1C C ∠=∠，1111AD ABA D AB =． 求证：1111AD BEA DB E =【解析】AB C D EA 1E 1D 1 C 1B 1证明：1111AB ADA B A D =，又111ADB A D B ∠=∠，111ABD A B D ∴∆∆∽，111ABD A B D ∴∠=∠，又1C C ∠=∠，111ABC A B C ∴∆∆∽，又BE 、11B E 分别是ABC ∆、111A B C ∆的高，1111BE AB E B A B ∴=，1111BE ADE B A D ∴=．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用．例7.如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，BAD C ∠=∠，BE 是ABC ∆的角平分线，交AD 于点F ，1BD =，3CD =，求BF ：BE ．【解析】解：BE 是ABC ∆的角平分线，∴ABF EBC ∠=∠，又BAD C ∠=∠，ABF CBE ∴∆∆∽，AB BFCB BE ∴=，又BAD C ∠=∠，ABD ABC ∠=∠BAD BCA ∴∆∆∽，AB BD BC BA ∴=，14AB AB ∴=，2AB ∴=，12AB BC ∴=，1:2BF BE ∴=．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用．例8.如图，在ABC ∆中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB 、AC 边上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交于点K ．若32AH cm =，48BC cm =，矩形DEFG 的周长为76cm ，求矩形DEFG 的面积．【答案】2360cm ．AB C DEFABC D EFGH K【解析】解：设DG xcm =，()38FG x cm=−矩形DEFG ，//90GF BC GDB ∴∠=，，GF AGBC AB ∴=,又AH 是高，90AHB ∴∠=，GDB AHB ∴∠=∠//DG AH ∴,DG BG AH AB ∴=，1DG GFAH BC ∴+=,3813248x x −∴+=，20x ∴=，∴20DG cm =，18FG cm =，2360DEFG S cm ∴=矩形． 【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的周长面积等知识．例9.如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH 是ABC ∆的高，BC = 60厘米，AH = 40厘米，求正方形DEFG 的边长．【答案】24．【解析】设正方形EFGD 的边长为x ，//DG BC ，DG AD APBC AB AH ∴==．406040x x −∴=，24x ∴=，∴正方形EFGD 的边长为24．【总结】本题考查三角形内接正方形的相关知识，主要还是通过比例相等来列式建立关系． 例10.在锐角∆ABC 中，矩形DEFG 的顶点D 在AB 边上，顶点E 、F 在BC 边上，顶点G 在AC 边上，如果矩形DEFG 的长为6，宽为4，设底边BC 上的高为x ，∆ABC 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式．ABCDEF GH P【答案】23(4)4x y x x =>−．【解析】解：如图， 矩形DEFG ，//90GD BC DEC ∴∠=，，GD AD BC AB ∴=．又 AH 是高，90AHC ∴∠=． DEC AHC ∴∠=∠， //DE AH ∴，DE BDAH AB ∴=， 1DG DEBC AH ∴+=， 641BC x ∴+=，64xBC x ∴=−，又12ABC S y BC AH ∆==，∴()2344x y x x =>−．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．题型二：相似三角形性质定理2例11.若ABC ∆∽DEF ∆，ABC ∆与DEF ∆的相似比为1:2，则ABC ∆与DEF ∆的周长比为( )（A ）1:4 （B ）1:2 （C ）2:1 （D ）1:2【答案】B【总结】相似三角形的周长比等于相似比．例12.已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，它们的周长分别为48和60，且12AB =，1125B C =，求BC 和A 1B 1的长．【答案】112015BC A B ==，．【解析】解：111ABC A B C ∆∆∽，1111111ABC A B C C AB CBC A B C B ∆∆∴==；又111484605ABC A B C C C ∆∆==，∴1120,15BC A B ==．【总结】本题考查相似三角形的性质．例13.如果两个相似三角形的最长边分别为35厘米和14厘米，它们的周长相差60厘米，那么大三角形的周长是．【答案】100cm ．【解析】两三角形的相似比为5:2，则周长比为5:2，设大三角形周长为5acm ，小三 角形周长为2acm ，则5260a a −=，所以20a =，所以大三角形的周长为100cm ． 【总结】相似三角形的周长比等于相似比．例14.如图，在ABC ∆中，12AB =，10AC =，9BC =，AD 是BC 边上的高．将ABC ∆沿EF 折叠，使点A 与点D 重合，则DEF ∆的周长为．【答案】312．【解析】由折叠得EF 垂直平分AD ，AD 是BC 上的高，ABCD EF//EF BC ∴，AEF ABC ∴∆∆∽，12AEF ABC C C ∆∆∴=，9101231ABC C ∆=++=，312AEF C ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质和判定．例15.如图，梯形ABCD 的周长为16厘米，上底3CD =厘米，下底7AB =厘米，分别延长AD 和BC 交于点P ，求PCD ∆的周长．【答案】152cm ．【解析】解：梯形ABCD ，//CD AB ∴，AEF ABC ∴∆∆∽，37PDC PAB C CD C AB ∆∆∴==，即327PDC PDC ABCD C C C CD ∆∆=+−梯形， 31667PDC PDC C C ∆∆∴=+−，152PDC C cm ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质和判定．例16.如图，在ABC ∆中，=90C ∠︒，5AB =，3BC =，点P 在AC 上（与点A 、C 不重合），点Q 在BC 上，PQ //AB ．当PQC ∆的周长与四边形P ABQ 的周长相等时，求CP 的长．【答案】247．【解析】解：CPQ PABQC C ∆=四边形，ABCD PABCPQCP CQ PQ BQ PQ AP AB ∴++=+++， CP CQ BC CQ AC CP AB ∴+=−+−+， 5AB =，3BC =，90C ∠=，4AC ∴=，345CP CQ CQ CP ∴+=−+−+，6CP CQ ∴+=，//PQ AB ，CP CQCA CB ∴=，∴643CP CP −=，247CP =． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线性质，主要考查了学生的推理能力．题型三：相似三角形性质定理3例17.（1）如果把一个三角形的三边的长扩大为原来的100倍，那么这个三角形的面积扩大为原来的倍；（2）如果一个三角形保持形状不变但面积扩大为原来的100倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的倍．【答案】（1）10000；（2）10．【总结】相似三角形的面积比等于相似比的平方．例16.两个相似三角形的面积分别为5cm 2和16cm 2，则它们的对应角的平分线的比为（ ）（A ）25:256（B ）5:16（C ）5:4（D ）以上都不对．【答案】C【解析】相似三角形对应角平分线的比等于相似比，对应面积的比等于相似比的平方． 【总结】本题考查相似三角形的性质．例18.如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 和AC 上，DE //BC ，6DE =，9BC =，16ADE S ∆=．求ABC S ∆的值．【答案】36．ABCD E【解析】解：//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽，226499ADE ABC S DE S BC ∆∆⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，36ADE S ∆∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．例19.如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，若B ACD ∠=∠，4AD cm =，6AC cm =，28ACD S cm ∆=，求ABC ∆的面积．【答案】218cm ．【解析】解：B ACD ∠=∠，A A ∠=∠，ACD ABC ∴∆∆∽，222439ACD ABC S AD S AC ∆∆⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又28ACD S cm ∆=，218ABC S cm ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．例20.如图，在ABC ∆中，点D 、E 在AB 、AC 上，DE //BC ，ADE ∆和四边形BCED 的面积相等，求AD :BD 的值．【答案】21+．ABCDABCD E【解析】解：//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽，2ADE ABC S AD S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，ADE BCEDS S ∆=四边形，12ADE ABC S S ∆∆∴=，12AD AB ∴=，12121AD DB ∴==+−．【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．例21.如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，BE AC ⊥，D 、E 分别为垂足．若60C ∠=︒，1CDE S ∆=，求四边形DEAB 的面积．【答案】3． 【解析】解：AD BC BE AC ⊥⊥，，90CDA BEC ∴∠=∠=．90CDA BEC ∴∠=∠=，CBE CAD ∴∆∆∽，CD CACE CB ∴=．90CDA BEC ∴∠=∠=，CBE CAD ∴∆∆∽，CD CACE CB ∴=，DCE ACB ∴∆∆∽，2DCE ACB S CD S CA ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又60C ∠=， 30CBE CAD ∴∠=∠=，12CD CA =，14DCE ACB S S ∆∆∴=，13DCE BDEA S S ∆∴=四边形，1CDE S ∆=，3DEAB S ∴=四边形．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质等知识．例22.如图，Rt ABC ∆中，点D 是BC 延长线上一点，直线EF //BD 交AB 于点E ， 交AC 于点G ，交AD 于点F ，若13AEG EBCG S S ∆=四边形，求CFAD的值．A B CDEF【答案】21．【解析】解：//EF BD ，AEG AEC ∴∆∆∽，AE AFAB AD ∴=，2AEG ABC S AE S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，13AEG EBCGS S ∆=四边形，14AEG ABC S S ∆∆∴=，12AE AF AB AD ∴==，Rt ABC ∆，90ACD ACB ∴∠=∠=，CF ∴是中线，12CF AD ∴=,12CF AD ∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质，直角三角形的性质，三角形一边的平行线等知识．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）两个相似三角形的对应角平分线的比为1:4，则它们的周长比为（ ） A ．1:4 B ．1:2C ．1:16D ．以上答案都不对【答案】A【分析】两个相似三角形的对应边的比，对应角平分线的比，对应中线的比，对应高线的比，周长的比都等于相似比．【详解】两个相似三角形的对应角平分线的比为1:4，∴两个相似三角形的相似比为1:4， ∴周长的比为1:4．ABCDEFG故选A ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟记相似三角形的性质并灵活运用．在ABC 的边，ABC 的面积是A ．4B ．8【答案】A【分析】过点A 作AH BC ⊥于H ，交GF 于M ，如图，先利用三角形面积公式计算出8AH =，设正方形DEFG 的边长为x ，则,,8GF x MH x AM x ===−，再证明AGF ABC ∽，则根据相似三角形的性质得方程，然后解关于x 的方程即可．【详解】解：如图，过点A 作AH BC ⊥于H ，交GF 于M ，∵ABC 的面积是32，8BC =， ∴2132BC AH ⋅=，∴8AH =，设正方形DEFG 的边长为x ，则,,8GF x MH x AM x ===−， ∵GF BC ∥，∴AGF ABC ∽， ∴GF AMBC AH = ， 888x x −∴= ，解得∶4x =，即这个正方形的边长是4． 故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，添加合适的辅助线是解题的关键． 3．（2022秋·上海嘉定·九年级校考期中）已知两个相似三角形的相似比为49：，那么它们的面积比为（ ） A ．23： B ．818：C ．49：D ．1681：【答案】D【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得到答案．【详解】解：两个相似三角形的相似比为49：， ∴它们的面积比1618：故选D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． 九年级统考期中）已知ABC 的三边长分别为，DEF 的一边长，如果这两个三角形相似，那么DEF 的另两边长可能是（【答案】B【分析】根据三边对应成比例的三角形相似，即可求得．注意DEF 中为5cm 边长的对应边可能是6cm 或7.5cm 或9cm ，所以有三种情况．【详解】解：设DEF 的另两边为cm,cm x y ， 若DEF 中为5cm 边长的对应边为6cm ， 则：567.59x y==，解得：254x =，152y =； 若DEF 中为5cm 边长的对应边为7.5cm ，则：57.569x y ==，解得：4x =，6y =；若DEF 中为5cm 边长的对应边为9cm ， 则：5967.5x y ==，解得：103x =，256y =； 结合选项可得B 选项可选． 故选：B ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定：三边对应成比例的三角形相似．解此题的关键要注意DEF 中为5cm 边长的对应边不确定，答案不唯一，要仔细分析，小心别漏解．九年级上海市华东模范中学校考期中）如图，在ABC 中，:ADEABCSS为（A ．3:5 【答案】C【分析】根据DE BC ∥可知ADEABC ，由:3:2AD DB =可知:3:5AD AB =,即相似比为3:5,再利用面积比是相似比的平方，即可判断求解． 【详解】解：∵DE BC ∥， ∴ADEABC ，∵:3:2AD DB =， ∴:3:5AD AB =，2239525ADE ABCSAD SAB ⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．用到的知识为：平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似，相似三角形对应边的比相等，都等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方．DEF 的最短边长为，那么DEF 的周长等于（126【答案】D【分析】由相似三角形的性质：周长的比等于相似比，求出相似比即可求得结果． 【详解】ABC DEF ∽，∴相似比为3193k ==，13ABC DEFC C∴=，33(356)42DEFABCCC ∴==⨯++=；故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是关键．是ABC 的重心，四边形与ABC 面积的比值是（【答案】B【分析】连接DE ，根据三角形中位线定理以及中线的性质可得1,2DE BC DE BC =∥，12ABDABCS S =，12BDEABDSS =，从而得到ADE ACB △△∽，进而得到221112,34AED ABCSD E E D S B G C G BD CE ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==，继而得到13DEGBDESS =，14ADEABCSS =，可得1116212DEGABCABCSS S =⨯=，再由ADEDEGAEGD S SS=+四边形，即可．【详解】解：如图，连接DE ，∵点G 是ABC 的重心，∴点D ，E 分别为,AC AB 的中点，∴1,2DE BC DE BC =∥，12ABDABCS S =，12BDEABDSS =，∴ADE ACB △△∽， ∴12DG EG DE BG CG BC ===， ∴221112,34AED ABCSD E E D S B G C G BD CE ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==， ∴13DEGBDES S =，14ADE ABCSS =，∴111326DEGABDABDS S S =⨯=， ∴1116212DEG ABCABCSS S =⨯=，∴1114123ADEDEGABCABCABCAEGD S SS S S S =+=+=四边形，即四边形AEGD 与ABC 面积的比值是13．故选：B【点睛】本题主要考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握三角形的重心，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理是解题的关键． 二、填空题8．（2022秋·上海长宁·九年级校考期中）已知ABC 与DEF 相似，且ABC 与DEF 的面积比为1:4，若DEF 的周长为16，那么ABC 的周长等于________．【答案】8【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方先求出ABC 与DEF 的相似比，然后根据相似三角形的周长的比等于相似比解答即可．【详解】解：∵相似三角形ABC 与DEF 面积的比为1:4， ∴它们的相似比为1:2，∴ABC 与DEF 的周长比为1:2， ∵DEF 的周长为16， ∴ABC 的周长等于8， 故答案为：8．【点睛】本题主要考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比的性质，熟记性质是解题的关键．9．（2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）已知ABC ∽111A B C △，顶点A 、B 、C 分别与1A 、1B 、1C 对应，AB ：113A B =：4，BE 、11B E 分别是它们的对应角平分线，则BE ：11B E =______． 【答案】3：4【分析】根据相似三角形对应角平分线的比都等于相似比解答即可． 【详解】解：ABC ∽111A B C △，BE ∴：11B E AB =：113A B =：4，故答案为：3：4．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．10．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）如图，DE BC ∥，:2:3AE EC =，则:OE OB =________．【答案】2:5【分析】根据:2:3AE EC =可求出:2:5AE AC =，再根据三角形相似的性质即可求解． 【详解】解：∵:2:3AE EC =，∴25AE AC =，∵DE BC ∥，∴25DE AE BC AC ==，且DEO CBO △∽△， ∴25OE DE OB CB ==， 故答案为：2:5．【点睛】本题主要考查比例的性质，相似三角形的性质，理解平行线的性质，相似三角形的性质是解题的关键．11．（2022秋·上海松江·九年级校考期中）已知ABC 和DEF 相似，对应边AB 与DE 之比为3:4，如果DEF 的周长为24，那么ABC 的周长是___________．【答案】18【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比得:3:4ABCDEFCC=，又因为DEF 的周长是24，再建立方程即可．【详解】解：∵ABC 和DEF 相似，对应边AB 与DE 之比为3:4， ∴:3:4ABCDEFCC=，∵DEF 的周长是24， ∴:243:4ABCC=∴ABC 的周长是18， 故答案为：18．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的周长之比等于相似比． 12．（2023·上海长宁·统考一模）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，正方形EFGH 的边FG 在ABC 的边AB 上，顶点E 、H 分别在边AC 、BC 上，如果其面积为24，那么AF BG ⋅的值为______．【答案】24【分析】通过证明Rt Rt AFE HGB ∽，则AF BG EF HG ⨯=⨯，即可得到答案． 【详解】90C ∠=︒，正方形EFGH 的四个顶点在三角形的边上， 90A B ∴∠+∠=， 90B BHG ∠+∠=，Rt Rt AFE HGB ∴∽， =24AF BG EF HG ∴⨯=⨯．故答案为24．【点睛】本题主要涉及三角形相似的判定和相似三角形的性质应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．，如果ABC 三边长分别是DEF 的两边长为【分析】根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．【详解】解：∵ABC DEF △△∽，∵ABC ，2，2，DEF 的两边长为1x∴21x ==，解得：x所以DEF ．．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求出相似比是解题关键．14．（2022秋·上海宝山·九年级统考期中）已知111ABC A B C :△△，顶点A 、B 、C 分别与1A 、1B 、1C 对应，11:3:5AB A B =，E 、1E 分别是边AC 、11AC 的中点，如果1BE =，那么11B E 的长为________． 【答案】53/213【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比列比例式求解即可．【详解】解答：解：∵11111:35ABC A B C AB A B =∽，:，∴对应中线BE 、11B E 的比值为35:，∴11135B E =::， ∴1153B E =． 故答案为：53．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应中线的比等于相似比． 15．（2022秋·上海杨浦·九年级统考期中）如果两个相似三角形的面积比为3:4，那么它们对应高之比为__________．2 【分析】根据相似三角形的性质，两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，因为两个相似三角形的面积比为3:42；再结合两个相似三角形对应高的比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：两个相似三角形的面积比为3:4，∴2，∴2，2．【点睛】本题考查相似三角形的性质应用，熟练掌握形式三角形面积比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比等于相似比是解决问题的关键． 16．（2023·上海·一模）如果ABC ∽DEF ，且ABC 的三边长分别为3、4、5， DEF 的最短边长为6，那么DEF 的周长等于________．【答案】24【分析】先设DEF 的周长等于c ，再根据相似三角形周长的比等于相似比即可求出c 的值．【详解】解；设DEF 的周长等于l ，∵ABC ∽DEF ，ABC 的三边长分别为3、4、5，DEF 的最短边长为6， ∴33546c ++=，解得24c = ．故答案为：24．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比． 17．（2023·上海黄浦·统考一模）已知ABC 的三边长分别为2、3、4，DEF 与ABC 相似，且DEF 周长为54，那么DEF 的最短边的长是______．【答案】12 【分析】先计算出ABC 的周长，进而得出相似比为16∶，进而得出答案． 【详解】解：∵ABC 的三边长分别为2、3、4，∴ABC 的周长为：9∵DEF 与ABC 相似，且DEF 周长为54，∴ABC 与DEF 的周长比为95416=∶∶， ∴ABC 与DEF 的相似比为16∶， 设DEF 的最短边的长是x ，则：216x =∶∶，解得∶12x =．故答案为∶12．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．18．（2023·上海宝山·一模）已知一个三角形的三边之比为2:3:4，与它相似的另一个三角形ABC 的最小边长为4厘米，那么三角形ABC 的周长为 _____厘米．【答案】18【分析】相似三角形的对应边的比相等，因而与已知三角形相似的三角形的三边的比也是2:3:4，即可求得三角形的三边，从而求得周长．【详解】解：所求三角形的三边的比是2:3:4，设最短边是2x 厘米，则24=x ，解得2x =，因而另外两边的长是36x =厘米，48x =厘米．则三角形的周长是68418++=（厘米）．故答案为：18．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边的比相等，由此得到所求三角形的三边的比也是2:3:4，是解题关键． 19．（2022·上海·九年级专题练习）两个相似三角形的面积之比是 9:25， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为_________厘米．【答案】3【分析】把面积之比转换成相似比，在通过比例求出高 【详解】∵两个三角形面积比为9:25∴两个三角形相似比为3:5设：另一三角形对应边上的高为x∴355x =，解得x=3 故答案为：3【点睛】本题考查相似比和面积比的应用，掌握他们的区别是本题关键． 20．（2023·上海徐汇·统考一模）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，正方形DEFG 内接于ABC ，点G 、F 分别在边AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长是______．【答案】【分析】过点C 作C M A B ⊥于点M ，交GF 于点N ，首先由勾股定理得出AB 的长，由面积法即可求出CM 的长，可证得CGF CAB ∽，再根据相似三角形的性质，即可得出答案．【详解】解：如图：过点C 作C M A B ⊥于点M ，交GF 于点N ，Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，AB ∴，1122ABC S AC BC AB CM =⋅=⋅△，∴AC BC CM AB ⋅∴===， ∵正方形DEFG 内接于ABC ，GF EF MN ∴==，GF AB ∥，CGF CAB ∴△∽△，CN GF CM AB ∴=，EF −=，解得：EF =，故答案为：．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 21．（2023·上海虹口·校联考二模）如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边BC AC 、上，ABE C ∠=∠，DE AB ∥，如果6AB =，9AC =，那么:BDE CDE S S △△的值是______．【答案】4:5【分析】根据已知证明ABE ACB ∽，得出4AE =，进而得出5EC =，根据DE AB ∥，根据平行线分线段成比例，得出45AE BD EC DC ==，即可求解． 【详解】解：∵BAE CAB ∠=∠，ABE C ∠=∠，∴ABE ACB ∽，∵6AB =，9AC =，∴AB AE AC AB =∴24AB AE AC ==，∴945EC AC AE =−=−=，∵DE AB ∥，∴45AE BD EC DC == ∴:BDE CDE S S △△=::4:5BD DC AE EC ==，故答案为：4:5．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．22．（2023·上海·一模）如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美梯形”．如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于2，下底等于4，那么它的周长为______．【答案】8+8【分析】根据 “优美梯形”的定义，得到ABD BDC ∽△△，从而得到90CBD BAD ∠=∠=︒，AD AB BD BC BD CD ==，推出2BD AB CD =⋅，算出BD =再根据勾股定理，得到AD 、BC 的长，即可得到该直角梯形的周长．【详解】解：根据题意，作图如下，ABCD 为直角梯形，90BAD ADC ∴∠=∠=︒，90ABD ADB ∴∠+∠=︒，90ADB BDC ∠+∠=︒，ABD BDC ∴∠=∠，直角梯形ABCD 是“优美梯形”，ABD BDC ∴∽，90CBD BAD ∴∠=∠=︒，AD AB BD BC BD CD ==，2BD AB CD ∴=⋅，2AB =，4CD =，BD ∴，在Rt ABD 中，2AD ，在Rt BCD △中，BC =∴该梯形的周长2428AB BC CD DA =+++=++=+故答案为：8+【点睛】本题考查了直角梯形的性质，相似三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 23．（2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AC 与BD 相交于点O ，如果2ABC ACD S S =，那么COD S △：ABC S =______．【答案】1：3/13【分析】首先根据2ABC ACD S S =，可得AD ：1BC =：2；然后根据AOD ∴∽COB ，可得AO ：OC OD =：OB AD =：1BC =：2，进而可得AOD S：1BOC S =：4，AOD S ：1AOB S =：2，AOD S ：1OCD S =△：2，设AOD S k =，分别表达OCD S 和ABC S 进而可得结论．【详解】解：在梯形ABCD 中，//AD BC ，2ABC ACD S S =，AD ∴：1BC =：2；//AD BC ，AOD ∴∽COB ，AO ∴：OC OD =：OB AD =：1BC =：2，AOD S∴：1BOC S =：4，AOD S ：1AOB S =：2，AOD S ：1OCD S =△：2， 设AOD S k=，则4BOC S k =，2AOB OCD S S k ==， 6ABC AOB BOCS S S k ∴=+=， COD S ∴：2ABC S k =：61k =：3．故答案为：1：3．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质的应用，以及梯形的特征和应用，要熟练掌握．三、解答题24．（上海·九年级校考阶段练习）如图，已知梯形ABCD ，AB ∥DC ，△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6，AB ＝7，求CD 的长．【答案】143【详解】试题分析：由题意易得△COD ∽△AOB ，由此可得：CD DO AB BO =；由△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6，可得：23DO BO =，再结合AB=7即可求得CD 的长.试题解析：∵AB ∥DC ，∴△COD ∽△AOB ， ∴CD DO AB BO =，∵△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6， ∴23DO BO =， ∴23CD DO AB BO ==， 又∵AB ＝7， ∴273CD =， ∴CD ＝143.【答案】20平方厘米【分析】根据两个相似三角形的面积比等于对应边的比的平方，结合面积和即可求解．【详解】解：设两个三角形的面积分别为x ，y ，则有22365x y x y ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+=⎩，解得2045x y =⎧⎨=⎩；答：较小三角形面积为20平方厘米．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于对应边的比的平方．26．（2020秋·上海宝山·九年级统考阶段练习）如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，已知ABC ∆的边15BC =，高10AH =，求：正方形DEFG 的边长和面积．【答案】6，36【分析】由正方形的性质可得DG //BC ，不难证明ADG △∽ABC ，即DG AM BC AH =，设正方形的边长为x ，分别表示出对应边的长度并代入DG AM BC AH =求解，即可得出正方形的边长，即可得出正方形的面积． 【详解】设正方形的边长为x ，正方形DEFH ，AH ⊥BC ，∴DG=GF=MH=x ，DG //BC ，∴ADG=B ∠∠，AM=10－x ，在ADG △与ABC 中，ADG=BAC BAC B ∠=∠⎧⎨∠∠⎩，∴ADG △∽ABC ，∴DG AM BC AH =，∴101510x x −=， 解得：x=6，S=6×6=36．答：正方形的边长为6，面积为36．【点睛】本题主要考查正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，设正方形的边长为x ，根据相似比等于高之比列方程求解是解题关键．27．（上海·九年级阶段练习）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．【答案】48mm【分析】设正方形EF=EG=ID=x，根据正方形的性质，得到EF∥BC，△AEF∽△ABC，列出比例式EF AIBC AD=，代入计算即可．【详解】∵四边形EFHG是正方形，AD是高，∴ EF∥BC，四边形EGDI是矩形，∴ EG=ID，设正方形EF=EG=ID=x，∴△AEF∽△ABC，∴EF AI BC AD=，∵ BC＝120mm，高AD＝80mm，∴80 12080x x−=，解得x=48，故正方形的边长为48mm．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的性质是解题的关键．。
相似三角形的性质-苏科版九年级数学下册课件
cm，则△A′B′C′的周长为（ B ）
A.18 cm C. 15 cm
4
B.20 cm D. 80 cm
3
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
目录
类似三角形面积的比等于类似比的平方 问题5 我们已经知道类似三角形对应的高等于类似比，那么类似三 角形的面积比等于多少？
A′ A
3
12
即点A到DE、BC的距离分别为7.5、12. 5.
A
E G
FC
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类似三角形对应线段的比等于类似比
练一练： 若△ABC∽△DEF，类似比为3∶2，则对应角平分线的比
为（ A ）
A.3∶2
B.3∶5
C.9∶4
D.4∶9
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类似三角形对应线段的比： 类似三角形对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线）
的比等于类似比.
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类似三角形对应线段的比等于类似比
例1 如图，AF是△ABC的高，点D、E分别在AB、AC上，且DE//BC，
DE交AF于点G.设DE=6，BC= 10，GF=5，求点A到DE、BC的距离.
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第6章 图形的类似
6.5 类似三角形的性质
知识要点
目录
1 2 3
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
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CONTENTS
1
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
试一试：根据所学知识，按要求完成下列内容.
新苏科版九年级数学下册《6章图形的相似6.5相似三角形的性质》教案_18
Байду номын сангаас
1．探索相似三角形的性质，会运用相似三角形的性质解决有关的问
教学目标
题．
2．理解相似三角形及相似多边形的周长比、面积比与相似比之间的关系。
教学重点
理解相似三角形的性质，能运用相似三角形的性质解决有关的问题．
教学难点
能根据已知条件，构建数学模型，有条理的说理．
教学过程（教师）
4
推理猜测 根据刚才的探究，你有什么猜想？ 1．相似三角形周长的比等于相似比． 2．相似三角形面积的比等于相似比的平方． 怎样验证我们的猜想？
思考验证 A′
A
B
C B′
C′
如果△ ABC∽△ A′B′C′，相似比为 k，
AB
那么， AB
BC BC
CA CA
k，
于是
AB kA' B' ， BC kB' C ' ， CA kC' A' ，
师生互 动，培养学 生归纳、总 结和有条理 的 表达 能 力．
铺垫．
（“ SAS”）
（ 4） 三边成比例的两个三角形相似（“ SSS”）
探索发现
观察、思考，运用三
通过特
如图所示， Rt ? ABC与 Rt? DEF， 那么 ? ABC与? DEF 角形相似的判定方法得出
相似吗？
△ DEF 与△ ABC 相似，并 运用对应边的关系得出△
殊问题的研 究，发现两 个相似三角
学生活动
设计思路
旧知回顾
积极思考，学生举手
引导学
相似三角形的条件：
抢答。
生回忆相似
（ 1）平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 所
相似三角形的性质-九年级数学下册教学课件(人教版)
27.2.2 相似三角形的性质
归纳： 由此我们可以得到：
相似三角形对应高的比等于相似比. 类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分 线的比也等于相似比. 一般地，我们有： 相似三角形对应线段的比等于相似比.
面积为
1 2
2
12
5 3
5.
A
D
B
CE
F
27.2.2 相似三角形的性质
例3 如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知
△ABC
的面积为100
cm2，且
AE AC
AD AB
3 5
，
求四边形 BCDE 的面积.
解：∵ ∠BAC = ∠DAE，且 AE AD 3， AC AB 5
∴ △ADE ∽△ABC.
∠A＝∠D，AP，DQ 是中线，若 AP＝2，
则 DQ的值为
( C)
A．2 B．4 C．1
1
D. 2
3. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个
小三角形与原三角形的周长比等于_1__: _2__，面积
比等于__1__:_4.
27.2.2 相似三角形的性质
4. 两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和 18 cm， 若较大三角形的周长是 42 cm，面积是 12 cm2，则
27.2.2 相似三角形的性质
相似三角形的性质
27.2.2 相似三角形的性质
学习目标
1. 理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似 比，并运用其解决问题. (重点、难点)
2. 理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并 运用其解决问题. (重点)
【最新】苏科版九年级数学下册第六章《相似三角形的性质(1)》公开课课件.ppt
•
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2021/1/122021/1/122021/1/122021/1/12
谢谢观看
倍 速 课 时 学 练
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/1/122021/1/122021/1/121/12/2021 1:32:28 PM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/1/122021/1/122021/1/12Jan-2112-Jan-21 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/1/122021/1/122021/1/12Tuesday, January 12, 2021 • 13、志不立，天下无可成之事。2021/1/122021/1/122021/1/122021/1/121/12/2021
类似的，得到：定理：相似多边形的面积比等于相似比的平方.
例题教学
例1 如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF， ∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周 长和面积．
A
解：在△ABC和△DEF中，
D
∵ AB＝2DE，AC＝2DF,
∴ DE DF 1 .
AB AC 2
2.两个相似三角形的一组对应边长分别 为3cm和5cm，且较小三角形的周长为 15cm，那么较大三角形的周长为 _________cm.
3. 在 ABCD 中，点E在边BC上， BE∶EC=1∶2，连接AE，交BD于点 F，则△BFE的面积与△DFA的面积 之比为________.
A F
BE
D C
例3 如图，△ABC∽△A'B'C'，他们的周长
九年级数学下册第六章第三节相似图形专题讲义pdf无答案新版苏科版
A 相似三角形10.3相似图形知识点1：相似图形的概念形状相同的图形是相似图形。
注意：01形状相同的两个图形是指两个图形的形状一模一样。
02形状相同的图形不受位置与大小的约束。
知识点2相似三角形的概念各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形在ABC ∆和'''C B A ∆中，''',,C C B B A A ∠=∠∠=∠∠=∠;k A C CAC B BC B A AB ===''''''，ABC ∆和'''C B A ∆相似，记作ABC ∆∽'''C B A ∆，读作ABC ∆相似于'''C B A ∆。
其中k 叫做它们的相似比。
注意：01对应性02顺序性03找对应元素的方法与全等三角形的一样。
04当相似比1=k 时，相似三角形变成全等三角形。
即全等三角形是相似三角形的特殊情形。
知识点3相似多边形的概念如果两个边数相同的多边形对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形相似。
考点1相似三角形例1两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别是060,40，那么另一个三角形的最大角为例2已知△ABC1ABC 与△A'B'C'相似，那么△A'B'C'的第三边长应该是（）B．22例3如图，已知ABC ∆∽ADE ∆，,75,20,18,300=∠===BAC cm BC cm BD cm AB 040=∠ABC ,求（1）的度数；和AED ADE ∠∠ECDA FB（2）DE 的长。
练习1.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，AE 交BD 于F ，若BEF ∆∽DAF ∆，（1）求相似比；（2）4=BF ,求BD 的长。
2.如图，ΔABC 与ΔADB 中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm，AB=4cm，如果图中的两个直角三角形相似，求AD 的长。
2019年秋苏科初中数学九年级下册《6.5 相似三角形的性质》PPT课件 (2)(精品).ppt
I DH
C 12
小试牛刀
1、如图，在矩形FGHN中，点F、G在边 BC上，点N、H分别在边AB、AC上，且 AD⊥BC，•垂足为D，AD交NH于点E， AD=8cm，BC=24cm，NF：NH=1：2，求 此矩形的面积．
13
小试牛刀
2、一块直角三角形木块的面积为 1.5m2，直角边AB长1.5m，想要把它加工 成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲、 乙两人的加工方法分别如图①、图②所 示．你能用所学的知识说明谁的加工方法 更符合要求吗？（加工损耗忽略不计）
9
2、如图，圆桌正上方的灯泡(看作一个点) 发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴 影．已知桌面的直径为1．2 m，桌面距 离地面1 m．若灯泡距离地面3 m，则地 面上阴影部分的面积为( ) A．0．36m2 B．0．81m2 C．2m2 D．3．24m2
10
例2.如图：△ABC是一块锐角三角形的余料，边 长
3
由此可以得出结论： 相似三角形对应高的比等于相似比． 同样可以得到相似三角形对应中线的比等 于相似比,对应角平分线的比等于相似比.
4
练一练: 1、如果两个三角形相似，相 似比为3：5，则对应角的角 平分线的比等于 3：5 。
5
练一练:
2、相似三角形对应边的比值为0.4，那
么相似比 2：5 ，对应角的角平分 线之比为2：5，周长的比为 2：5 ， 面积的比为 4：25 。
' 应高之比等于相似比，得
A'
OC ＝ AB
O'C' A'B'
阅读材料，提取信息， 然后将实际问题抽象
即： 30＝ 32 20 A'B'
为数学问题解决哦！ 解得：A'B'＝18.75(cm)
2019年秋苏科初中数学九年级下册《6.5 相似三角形的性质》PPT课件 (1).ppt
(2)与(1)的相似比＝____， (2)与(1)的面积比＝____;周长比＝ (3)与(1)的相似比＝_ __， (3)与(1)的面积比＝ ___;周长比＝
如果△ABC∽△A′B′C′,那么△ABC
与△A′B′C′的周长的比等于相似比吗?
A
A′
B
C B′
C′
设△ABC∽△A′B′C′, 相似比是k,
A
D
GF
B
CE
因为
AB = AC = BC = k A'B' A'C ' B'C '
所以 AB = kA' B' AC = kA'C ' BC = kB'C '
所以
A
AB + ' B '+
AC A'C
+ '+
BC B'C
'
=
kA' B '+ kA'C '+ kB 'C '=k
A' B '+ A'C '+ B 'C '
S2
F
G
M B
S3 N
S4 C
如图在 ABCD中，AE:AB=1:2 (1)△AEF与△CDF的周长之比_1__:2___
(2)若△AEF的面积为8，则△CDF的面积 _3__2__
D
C
j F
A
E
B
四边形 ABCD是 ，点E是BC的延长线上 的一点，而且CE：BC=1：3，若△DGF的面积 为9，试求：（1）△ABG的面积（2）△ADG 与△BGE的周长比和面积比
【最新】苏科版九年级数学下册第六章《 相似三角形的性质(1)》公开课课件.ppt
此时：
（1）△MNP与△ABC相似吗？为什么？
（2）这两个三角形的相似比是多少？
（3）这两个三角形的周长、面积有什么关系？
6.5 相似三角形的性质（1）
根据刚才的探究，你有什么猜想？ 相似三角形周长的比等于相似比. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.
怎样验证这样的猜想呢？
6.5 相似三角形的性质（1）
6.5 相似三角形的性质（1）
1．两个相似三角形的相似比为2:3，它们的
对应边之比为
，周长之比为_____，
面积之比为＿＿＿＿．
2．若两个三角形面积之比为16:9，则它们
的周长之比为＿＿＿＿．
3．两个相似多边形的面积之比为1:4，周长 之差为6，则这两个相似多边形的周长分别 为＿＿＿＿．
6.5 相似三角形的性质（1）
18m．现在的问题是：被削去的部分面积有多大？它的
A 周长是多少？
30m
D
E
18m
B
C
6.5 相似三角形的性质（1）
全等三角形与相似三角形性质比较．
全等三角形 对应边相等 对应角相等 周长相等 面积相等
相似三角形 对应边的比等于相似比 对应角相等 周长的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方
谢 谢!
A′ A
B
C B′
C′
如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k．
那么 于是
＝＝ ＝
＝ ＝
＝
AB BC CA k ， AB BC CA
A B k A B , B C k B C , C A k C A ，
＋ ＋
＝
＋＋ ＋＋
所以 A BB CC A k A B k B C k C A k ． A B B C C A A B B C C A
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10.5相似三角形的性质
知识点1相似三角形的性质
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比等于相似比
（2）相似三角形周长的比等于相似比
（3）相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比等于相似比
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方
知识点2相似多边形的性质
（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比等于相似比
（2）相似多边形周长的比等于相似比
（3）相似多边形面积的比等于相似比的平方
考点1相似三角形的性质
例1如图,已知，在△ABC 中,BA=BC=20㎝，AC=30㎝,点P 从A 点出发,沿AB 以4㎝/s 的速度向点B 运动；同时点Q 从C 点出发,沿CA 以3㎝/s 的速度向A 点运动,设运动时间为x，
（1）当x 为何值时,PQ∥BC；
（2）当S△BCQ∶S△ABC=1∶3时,求S△BPQ∶S△ABC 的值.
例2在ABC ∆中，18,12,9===BC AC AB ,D 为AC 上一点，4=AD ，在AB 上取一点E ，得到ADE ∆,若这两个三角形相似，则它们的周长之比是多少？
例3已知：△ABC∽△A'B'C'，AB＝5，A'B'＝2，△ABC 的面积为10，那么△A'B'C'的面积
为_____________．B
P
A C
Q
例4如图，在等腰△ABC 中，点D、E 分别是两腰AC、BC 上的点，连接AE、BD 相交于点O，∠1=∠2．
（1）求证：OD=OE；
（2）求证：四边形ABED 是等腰梯形；
（3）若AB=3DE，△DCE 的面积为2，求四边形ABED 的面积．
例5如图，△ABC 是一张锐角三角形的硬纸片．AD 是边BC 上的高，BC=40cm，AD=30cm．从这张硬纸片剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH．使它的一边EF 在BC 上，顶点G，H 分别在AC，AB 上．AD 与HG 的交点为M．（1）求证：AM HG AD BC
=；（2）求这个矩形EFGH 的周长．
练习
1.两个相似多边形的面积之比为9：25，且这两个多边形的周长之和为160cm ，则其中较大
多边形的周长为_________cm ．
2.如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，
2AD DB
=，若S △ABC 的面积为9，则四边形DBCE 的面积为_________．
3.两个相似三角形的对应边分别是cm 15和cm 23，它们的周长相差cm 40，则这两个三角形的周长分别是______________
4.△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件EFGH，使正方形的一边HG 在BC 上，其余两个顶点分别在AB、AC 上，这个正方形零件的边长是什么？
5.如图，△ABC 的面积为63，D 是BC 上的一点，且BD：BC＝2：3，DE∥AC 交AB 于点E，延长DE 到F，使FE：ED＝2：1．连结CF 交AB 点于G．
(1)求△BDE 的面积；(2)求EF 的值；(3)求△ACG 的面积．。