高中数学第三章概率概念汇总模拟方法概率的应用知识素材北师大版必修3
必修3第三章-概率-知识点总结和强化练习：
高中数学必修3 第三章 概率 知识点总结及强化训练一、 知识点总结3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念：（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A出现的次数nA 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例fn(A)=n n A为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。
（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比值n n A，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。
我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；（3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件；（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)2、概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A 发生且事件B 不发生；（2）事件A 不发生且事件B 发生；（3）事件A 与事件B 同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A 发生B 不发生；（2）事件B 发生事件A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
高中数学北师大版必修三课件：第3章 4 §3 模拟方法——概率的应用
(1)与长度有关的几何概型概率的求法 ①与长度有关的几何概型问题的计算公式 如果试验的结果构成的区域的集合度量可用长度表示，则其概 率的计算公式为： 构成事件A的区域长度 P(A)＝ . 试验的全部结果所构成的区域长度
②与长度有关的几何概型问题的三个解题步骤 a．找到几何区域 D，这时区域 D 可能是一条线段或几条线段 或曲线段，并计算区域 D 的长度． b．找到事件 A 发生时对应的区域 d，确定 d 的边界点是问题的 关键． c．利用几何概型概率公式求概率．
古典概型
3.几何概型的问题解决的关键是构造出事件对应的几何图形， 利用几何图形的几何度量来求随机事件的概率．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)几何概型中基本事件有无限个，而古典概型中基本事件有有 限个．( )
(2)几何概型中每个基本事件出现的可能性不相等，而古典概型 中每个基本事件出现的可能性相等．( ) )
(2)与角度有关的几何概型概率的求法 ①如果试验的所有结果构成的区域的几何度量可用角度表示， 则其概率的计算公式为 构成事件A的区域角度 P(A)＝ . 试验的全部结果构成的区域角度 ②解决此类问题的关键是事件 A 在区域角度内是均匀的，进而 判定事件的发生是等可能的．
1. (1)两根电线杆相距 100 m，若电线遭受雷击， 且雷击点距电线杆距离为 10 m 之内时，电线杆上的输电设备 将受损，则遭受雷击时输电设备受损的概率为( A．0.1 C．0.05 B．0.2 D．0.5 )
则称这种模型为几何概型．
空间中 或________ 直线上 的有限区域，相 几何概型中的 G 也可以是________ 体积 之比或________ 长度 之比．即几何概型概率的 应的概率是________
北师大版高中数学必修3《三章 概率 3 模拟方法——概率的应用 模拟方法——概率的应用》培优课课件_3
• 我们已经学习了两种方法： • 一、计算随机事件发生做试验或者用计算
机模拟实验等方法得到事件发生的频率， 以此来近似估计概率。 • 二、用古典概型的公式来计算事件发生的 概率。
问题1：
取一根长度为60cm的绳子，拉直后 在任意位置剪断，那么剪得两段的长度 都不小于20cm的概率是多少？
能否用古典概型的公式来求解?
问题2:图中有两个转盘.甲乙两人玩转
盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获 胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲 获胜的概率是多少?
对于一个随机试验，将每个基本事件理 解为从某个特定的几何区域内随机地取一点， 该区域中每一点被取到是等可能的；
而一个随机事件的发生则理解为恰好取 到上述区域内的某个指定区域中的点.
这里的区域可以是长度，面积，体积等。 用这种方法处理随机试验，称为几何概率模 型。
甲获胜的概率与B所在扇形区域的圆弧长度有关,而与B所在区 域的位置无关.因为转转盘时,指针指向圆弧上哪一点都是等可 能的.不管这些区域是相邻,还是不相邻,甲获胜的概率是不变 的.
因此：把转盘的圆周的长度设为1，
1 则以转盘（1）为游戏工具时 P("甲获胜") 2 1
在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
二.例题讲解
例1.某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听 电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.
解:设A事件为“等待的时间不多于10 分钟”. 所求的事件A恰好是打开收音机时的 时刻位于[50,60]时间段内。
因此由几何概型的概率公式得
P(A) 60 50 1 , 60 6
对于复杂的实际问题,解题的关键是要建 立模型,找出随机事件与所有基本事件相对应 的几何区域,把问题转化为几何概率问题,利用 几何概率公式求解.
高中数学 第三章 概率 3 模拟方法——概率的应用教案 北师大版必修3-北师大版高一必修3数学教案
§3 模拟方法——概率的应用整体设计教学分析这部分是新增加的内容.介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要,但是对几何概型的要求仅限于初步体会几何概型的意义,所以教科书中选的例题都是比较简单的.随机模拟部分是本节的重点内容.几何概型是另一类等可能概型,它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个,利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子,概率为1的事件不是必然事件的例子.本节的教学需要一些实物模型为教具,教学中应当注意让学生实际动手操作,以使学生相信模拟结果的真实性,然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验,得到模拟的结果.在这个过程中,要让学生体会结果的随机性与规律性,体会随着试验次数的增加,结果的精度会越来越高.几何概型也是一种概率模型,它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个.它的特点是在一个区域内均匀分布,所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关,只与该区域的大小有关.如果随机事件所在区域是一个单点,由于单点的长度、面积、体积均为0,则它出现的概率为0,但它不是不可能事件;如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点,则它出现的概率为1,但它不是必然事件.三维目标1.通过师生共同探究,体会数学知识的形成,正确理解几何概型的概念；掌握几何概型的概率公式： P(A)=)(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度构成事件A ,学会应用数学知识来解决问题,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力.2.本节课的主要特点是随机试验多,学习时养成勤学严谨的学习习惯,会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型,会进行简单的几何概率计算,培养学生从有限向无限探究的意识.重点难点教学重点：理解几何概型的定义、特点,会用公式计算几何概率.教学难点：等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.复习古典概型的两个基本特点：(1)所有的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件发生都是等可能的.那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢?为此我们学习几何概型.思路2.图1中有两个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?图1为解决这个问题,我们学习几何概型.思路 3.在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个.这就是我们要学习的几何概型.推进新课新知探究提出问题(1)随意抛掷一枚均匀硬币两次,求两次出现相同面的概率？(2)试验1.取一根长度为3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断.问剪得两段的长都不小于1 m 的概率有多大？试验 2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色,金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭,假设射箭能射中靶面内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少？(3)问题(1)(2)中的基本事件有什么特点?两事件的本质区别是什么?(4)什么是几何概型?它有什么特点?(5)如何计算几何概型的概率?有什么样的公式?(6)古典概型和几何概型有什么区别和联系?活动：学生根据问题思考讨论,回顾古典概型的特点,把问题转化为学过的知识解决,教师引导学生比较概括.讨论结果：(1)硬币落地后会出现四种结果：分别记作(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反).每种结果出现的概率相等,P(正,正)=P(正,反)=P(反,正)=P(反,反)=41.两次出现相同面的概率为41+41=21. (2)经分析,第一个试验,从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为 3 m 的绳子上的任意一点.第二个试验中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122 cm 的大圆内的任意一点.在这两个问题中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的“等可能性”,但是显然不能用古典概型的方法求解.考虑第一个问题,如图2,记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A 发生.由于中间一段的长度等于绳长的31, 图2于是事件A 发生的概率为P(A)=31. 第二个问题,如图3,记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在面积为41×π×1222 cm 2的大圆内,而当中靶点落在面积为41×π×12.22 cm 2的黄心内时,事件B 发生,于是事件B 发生的概率P(B)=22122412.1241⨯⨯⨯⨯ππ=0.01.(3)硬币落地后会出现四种结果(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反)是等可能的,绳子从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点,也是等可能的,射中靶面内任何一点都是等可能的,但是硬币落地后只出现四种结果,是有限的,而剪断绳子的点和射中靶面的点是无限的,即一个基本事件是有限的,而另一个基本事件是无限的.(4)几何概型.对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型(geometric models of probability),简称几何概型.几何概型的基本特点：a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；b.每个基本事件出现的可能性相等.(5)几何概型的概率公式： P(A)=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A . (6)古典概型和几何概型的联系是每个基本事件的发生都是等可能的;区别是古典概型的基本事件是有限的,而几何概型的基本事件是无限的,另外两种概型的概率计算公式的含义也不同.应用示例思路1例1 判断下列试验中事件发生的概率是古典概型,还是几何概型.(1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4点”的概率;(2)如图4所示,有一个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率.图4活动：学生紧紧抓住古典概型与几何概型的区别与联系,然后判断.解：(1)抛掷两颗骰子,出现的可能结果有6×6=36种,且它们都是等可能的,因此属于古典概型;(2)游戏中指针指向B 区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分”,概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型.点评：本题考查的是几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性,而几何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关.例2 某人午休醒来,发觉表停了,他打开收音机想听电台整点报时,求他等待的时间短于10分钟的概率.活动：学生分析,教师引导,假设他在0—60之间的任一时刻,打开收音机是等可能的,但0—60之间有无数个时刻,不能用古典概型的公式来计算随机事件发生的概率,因为他在0—60之间的任一时刻打开收音机是等可能的,所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件,所以可用几何概型的概率计算公式计算.解：记“等待的时间小于10分钟”为事件A,打开收音机的时刻位于［50,60］时间段内则事件A 发生.由几何概型的求概率公式得P(A)=6160)5060(=-，即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为61. 打开收音机的时刻X 是随机的,可以是0—60之间的任何时刻,且是等可能的.我们称X 服从［0,60］上的均匀分布,X 称为［0,60］上的均匀随机数.变式训练某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站,求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率(假定车到来后每人都能上).解：可以认为人在任一时刻到站是等可能的.设上一班车离站时刻为a,则某人到站的一切可能时刻为Ω=(a,a+5),记A g ={等车时间少于3分钟},则他到站的时刻只能为g=(a+2,a+5)中的任一时刻,故P(A g )=53=Ω的长度的长度g . 点评：通过实例初步体会几何概型的意义.思路2例 1 某人欲从某车站乘车出差,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求此人等车时间不多于20分钟的概率.活动：假设他在0—60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.解：设A={等待的时间不多于20分钟},我们所关心的事件A 恰好是到站等车的时刻位于［40,60］这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)=60)4060(-=31. 即此人等车时间不多于20分钟的概率为31. 点评：在本例中,到站等车的时刻X 是随机的,可以是0到60之间的任何一刻,并且是等可能的,我们称X 服从［0,60］上的均匀分布,X 为［0,60］上的均匀随机数.变式训练在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少？分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作构成事件的区域面积,由几何概型公式可以求得概率.解：记“钻到油层面”为事件A,则P(A)=0.004.答：钻到油层面的概率是0.004.例2 小明家的晚报在下午5：30—6：30之间任何一个时间随机地被送到,小明一家人在下午6：00—7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐,则晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？活动：学生读题,设法利用几何概型公式求得概率.解：建立平面直角坐标系,如图5中x=6,x=7,y=5.5,y=6.5围成一个正方形区域G.设晚餐在x(6≤x≤7)时开始,晚报在y(5.5≤y≤6.5)时被送到,这个结果与平面上的点(x,y)对应.于是试验的所有可能结果就与G 中的所有点一一对应.图5由题意知,每一个试验结果出现的可能性是相同的,因此,试验属于几何概型.晚报在晚餐开始之前被送到,当且仅当y<x,因此图5中的阴影区域g 就表示“晚报在晚餐开始之前被送到”.容易求得g 的面积为87,G 的面积为1.由几何概型的概率公式,“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率为P(A)=87=的面积的面积G g . 变式训练在1升高产小麦种子中混入了一种带麦锈病的种子,从中随机取出10毫升,则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的,取得的10毫升种子可视作构成事件的区域,1升种子可视作试验的所有结果构成的区域,可用“体积比”公式计算其概率. 解：取出10毫升种子,其中“含有病种子”这一事件记为A,则P(A)=0.01.答：取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是0.01.知能训练1.已知地铁列车每10 min 一班,在车站停1 min,求乘客到达站台立即乘上车的概率. 答案：由几何概型知,所求事件A 的概率为P(A)=111. 2.两根相距6 m 的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于2 m 的概率.答案：记“灯与两端距离都大于2 m”为事件A,则P(A)=62=31. 3.在500 mL 的水中有一个草履虫,现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察,则发现草履虫的概率是( )A.0.5B.0.4C.0.004D.不能确定 答案：C提示：由于取水样的随机性,所求事件A ：“在取出2 mL 的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比5002=0.004. 4.平面上画了一些彼此相距2a 的平行线,把一枚半径r<a 的硬币任意掷在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.图6答案：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A,为了确定硬币的位置,由硬币中心O 向靠得最近的平行线引垂线OM,垂足为M,如图6所示,这样线段OM 长度(记作OM)的取值范围就是［0,a ］,只有当r ＜OM≤a 时硬币不与平行线相碰,所以所求事件A 的概率就是P(A)=ar a a a r -=的长度的长度],0[],(. 拓展提升1.约会问题两人相约8点到9点在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时就可离去,试求这两人能会面的概率.解：因为两人谁也没有讲好确切的时间,故样本点由两个数(甲、乙两人各自到达的时刻)组成.以8点钟作为计算时间的起点,设甲、乙各在第x 分钟和第y 分钟到达,则样本空间为Ω：{(x,y)|0≤x≤60,0≤y≤60},画成图为一正方形.以x,y 分别表示两人的到达时刻,则两人能会面的充要条件为|x-y|≤20.图7这是一个几何概型问题,可能的结果全体是边长为60的正方形里的点,能会面的点的区域用阴影标出(如图7).所求概率为P=95604060222=-=的面积的面积G g . 2.〔蒲丰(Buffon)投针问题〕平面上画很多平行线,间距为a.向此平面投掷长为l(l<a)的针,求此针与任一平行线相交的概率.解：以针的任一位置为样本点,它可以由两个数决定：针的中点与最接近的平行线之间的距离x,针与平行线的交角φ(见图8).样本空间为Ω：{(φ,x)|0≤φ≤π,0≤x≤2a }为一矩形.针与平行线相交的充要条件是g ：x≤21sinφ(见图9). 所求概率是P=ππϕϕπa l a d l g 22sin )2(0=••=Ω⎰的面积的面积. 图8 图9注：因为概率P 可以用多次重复试验的频率来近似,由此可以得到π的近似值.方法是重复投针N 次(或一次投针若干枚,总计N 枚),统计与平行线相交的次数n,则P≈N n .又因a 与l 都可精确测量,故从N n a l ≈π2,可解得π≈anlN 2.历史上有不少人做过这个试验.做得最好的一位投掷了3 408次,算得π≈3.141 592 9,其精确度已经达到小数点后第六位.设计一个随机试验,通过大量重复试验得到某种结果,以确定我们感兴趣的某个量,由此而发展的蒙特卡洛(Monte-Carlo)方法为这种计算提供了一种途径.课堂小结几何概型是区别于古典概型的又一概率模型,使用几何概型的概率计算公式时,一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例.作业习题3—3 A 组1、2.设计感想本节课首先对古典概型进行了复习,使学生掌握古典概型的适用条件,巩固了古典概型的概率计算公式,接着设计了多个试验,从课题的引入,到问题的提出都非常有针对性,引人入胜,接着从新的问题中引出几何概型这一不同于古典概型的又一概率模型,并通过探究,归纳出几何概型的概率计算公式,同时比较了古典概型和几何概型的区别和联系,通过思路1和思路2两种不同的例题类型和层次,加深理解和运用,由于它们与实际生活联系密切,所以要反复练习,达到为我们的工作与生活服务,然而这部分内容在高考中是新内容,因此同学们要高度重视,全面把握,争取获得好成绩.。
高中数学第三章概率3模拟方法——概率的应用教案北师大版必修3讲义
§3 模拟方法——概率的应用整体设计教学分析这部分是新增加的内容.介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要,但是对几何概型的要求仅限于初步体会几何概型的意义,所以教科书中选的例题都是比较简单的.随机模拟部分是本节的重点内容.几何概型是另一类等可能概型,它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个,利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子,概率为1的事件不是必然事件的例子.本节的教学需要一些实物模型为教具,教学中应当注意让学生实际动手操作,以使学生相信模拟结果的真实性,然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验,得到模拟的结果.在这个过程中,要让学生体会结果的随机性与规律性,体会随着试验次数的增加,结果的精度会越来越高.几何概型也是一种概率模型,它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个.它的特点是在一个区域内均匀分布,所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关,只与该区域的大小有关.如果随机事件所在区域是一个单点,由于单点的长度、面积、体积均为0,则它出现的概率为0,但它不是不可能事件;如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点,则它出现的概率为1,但它不是必然事件.三维目标1.通过师生共同探究,体会数学知识的形成,正确理解几何概型的概念；掌握几何概型的概率公式： P(A)=)(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度构成事件A ,学会应用数学知识来解决问题,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力.2.本节课的主要特点是随机试验多,学习时养成勤学严谨的学习习惯,会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型,会进行简单的几何概率计算,培养学生从有限向无限探究的意识.重点难点教学重点：理解几何概型的定义、特点,会用公式计算几何概率.教学难点：等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.复习古典概型的两个基本特点：(1)所有的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件发生都是等可能的.那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢?为此我们学习几何概型.思路2.图1中有两个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?图1为解决这个问题,我们学习几何概型.思路 3.在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个.这就是我们要学习的几何概型.推进新课新知探究提出问题(1)随意抛掷一枚均匀硬币两次,求两次出现相同面的概率？(2)试验1.取一根长度为3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断.问剪得两段的长都不小于1 m 的概率有多大？试验 2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色,金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭,假设射箭能射中靶面内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少？(3)问题(1)(2)中的基本事件有什么特点?两事件的本质区别是什么?(4)什么是几何概型?它有什么特点?(5)如何计算几何概型的概率?有什么样的公式?(6)古典概型和几何概型有什么区别和联系?活动：学生根据问题思考讨论,回顾古典概型的特点,把问题转化为学过的知识解决,教师引导学生比较概括.讨论结果：(1)硬币落地后会出现四种结果：分别记作(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反).每种结果出现的概率相等,P(正,正)=P(正,反)=P(反,正)=P(反,反)=41.两次出现相同面的概率为41+41=21. (2)经分析,第一个试验,从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为 3 m 的绳子上的任意一点.第二个试验中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122 cm 的大圆内的任意一点.在这两个问题中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的“等可能性”,但是显然不能用古典概型的方法求解.考虑第一个问题,如图2,记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A 发生.由于中间一段的长度等于绳长的31,图2于是事件A 发生的概率为P(A)=31. 第二个问题,如图3,记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在面积为41×π×1222 cm 2的大圆内,而当中靶点落在面积为41×π×12.22 cm 2的黄心内时,事件B 发生,于是事件B 发生的概率P(B)=22122412.1241⨯⨯⨯⨯ππ=0.01.图3(3)硬币落地后会出现四种结果(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反)是等可能的,绳子从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点,也是等可能的,射中靶面内任何一点都是等可能的,但是硬币落地后只出现四种结果,是有限的,而剪断绳子的点和射中靶面的点是无限的,即一个基本事件是有限的,而另一个基本事件是无限的.(4)几何概型.对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型(geometric models of probability),简称几何概型.几何概型的基本特点：a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；b.每个基本事件出现的可能性相等.(5)几何概型的概率公式： P(A)=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A . (6)古典概型和几何概型的联系是每个基本事件的发生都是等可能的;区别是古典概型的基本事件是有限的,而几何概型的基本事件是无限的,另外两种概型的概率计算公式的含义也不同.应用示例思路1例1 判断下列试验中事件发生的概率是古典概型,还是几何概型.(1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4点”的概率;(2)如图4所示,有一个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率.图4活动：学生紧紧抓住古典概型与几何概型的区别与联系,然后判断.解：(1)抛掷两颗骰子,出现的可能结果有6×6=36种,且它们都是等可能的,因此属于古典概型;(2)游戏中指针指向B 区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分”,概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型.点评：本题考查的是几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性,而几何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关.例2 某人午休醒来,发觉表停了,他打开收音机想听电台整点报时,求他等待的时间短于10分钟的概率.活动：学生分析,教师引导,假设他在0—60之间的任一时刻,打开收音机是等可能的,但0—60之间有无数个时刻,不能用古典概型的公式来计算随机事件发生的概率,因为他在0—60之间的任一时刻打开收音机是等可能的,所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件,所以可用几何概型的概率计算公式计算.图5解：记“等待的时间小于10分钟”为事件A,打开收音机的时刻位于［50,60］时间段内则事件A 发生.由几何概型的求概率公式得P(A)=6160)5060(=-，即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为61. 打开收音机的时刻X 是随机的,可以是0—60之间的任何时刻,且是等可能的.我们称X 服从［0,60］上的均匀分布,X 称为［0,60］上的均匀随机数.变式训练某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站,求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率(假定车到来后每人都能上).解：可以认为人在任一时刻到站是等可能的.设上一班车离站时刻为a,则某人到站的一切可能时刻为Ω=(a,a+5),记A g ={等车时间少于3分钟},则他到站的时刻只能为g=(a+2,a+5)中的任一时刻,故P(A g )=53=Ω的长度的长度g . 点评：通过实例初步体会几何概型的意义.思路2例 1 某人欲从某车站乘车出差,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求此人等车时间不多于20分钟的概率.活动：假设他在0—60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.解：设A={等待的时间不多于20分钟},我们所关心的事件A 恰好是到站等车的时刻位于［40,60］这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)=60)4060(-=31. 即此人等车时间不多于20分钟的概率为31. 点评：在本例中,到站等车的时刻X 是随机的,可以是0到60之间的任何一刻,并且是等可能的,我们称X 服从［0,60］上的均匀分布,X 为［0,60］上的均匀随机数.变式训练在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少？分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作构成事件的区域面积,由几何概型公式可以求得概率.解：记“钻到油层面”为事件A,则P(A)=0.004.答：钻到油层面的概率是0.004.例2 小明家的晚报在下午5：30—6：30之间任何一个时间随机地被送到,小明一家人在下午6：00—7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐,则晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？活动：学生读题,设法利用几何概型公式求得概率.解：建立平面直角坐标系,如图5中x=6,x=7,y=5.5,y=6.5围成一个正方形区域G.设晚餐在x(6≤x≤7)时开始,晚报在y(5.5≤y≤6.5)时被送到,这个结果与平面上的点(x,y)对应.于是试验的所有可能结果就与G 中的所有点一一对应.图5由题意知,每一个试验结果出现的可能性是相同的,因此,试验属于几何概型.晚报在晚餐开始之前被送到,当且仅当y<x,因此图5中的阴影区域g 就表示“晚报在晚餐开始之前被送到”.容易求得g 的面积为87,G 的面积为1.由几何概型的概率公式,“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率为P(A)=87=的面积的面积G g . 变式训练在1升高产小麦种子中混入了一种带麦锈病的种子,从中随机取出10毫升,则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的,取得的10毫升种子可视作构成事件的区域,1升种子可视作试验的所有结果构成的区域,可用“体积比”公式计算其概率. 解：取出10毫升种子,其中“含有病种子”这一事件记为A,则P(A)=0.01.答：取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是0.01.知能训练1.已知地铁列车每10 min 一班,在车站停1 min,求乘客到达站台立即乘上车的概率. 答案：由几何概型知,所求事件A 的概率为P(A)=111. 2.两根相距6 m 的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于2 m 的概率.答案：记“灯与两端距离都大于2 m”为事件A,则P(A)=62=31. 3.在500 mL 的水中有一个草履虫,现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察,则发现草履虫的概率是( )A.0.5B.0.4C.0.004D.不能确定 答案：C提示：由于取水样的随机性,所求事件A ：“在取出2 mL 的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比5002=0.004. 4.平面上画了一些彼此相距2a 的平行线,把一枚半径r<a 的硬币任意掷在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.图6答案：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A,为了确定硬币的位置,由硬币中心O 向靠得最近的平行线引垂线OM,垂足为M,如图6所示,这样线段OM 长度(记作OM)的取值范围就是［0,a ］,只有当r ＜OM≤a 时硬币不与平行线相碰,所以所求事件A 的概率就是P(A)=ar a a a r -=的长度的长度],0[],(. 拓展提升1.约会问题两人相约8点到9点在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时就可离去,试求这两人能会面的概率.解：因为两人谁也没有讲好确切的时间,故样本点由两个数(甲、乙两人各自到达的时刻)组成.以8点钟作为计算时间的起点,设甲、乙各在第x 分钟和第y 分钟到达,则样本空间为Ω：{(x,y)|0≤x≤60,0≤y≤60},画成图为一正方形.以x,y 分别表示两人的到达时刻,则两人能会面的充要条件为|x-y|≤20.图7这是一个几何概型问题,可能的结果全体是边长为60的正方形里的点,能会面的点的区域用阴影标出(如图7).所求概率为P=95604060222=-=的面积的面积G g . 2.〔蒲丰(Buffon)投针问题〕平面上画很多平行线,间距为a.向此平面投掷长为l(l<a)的针,求此针与任一平行线相交的概率.解：以针的任一位置为样本点,它可以由两个数决定：针的中点与最接近的平行线之间的距离x,针与平行线的交角φ(见图8).样本空间为Ω：{(φ,x)|0≤φ≤π,0≤x≤2a }为一矩形.针与平行线相交的充要条件是g ：x≤21sin φ(见图9). 所求概率是P=ππϕϕπa l a d l g 22sin )2(0=∙∙=Ω⎰的面积的面积.图8 图9注：因为概率P 可以用多次重复试验的频率来近似,由此可以得到π的近似值.方法是重复投针N 次(或一次投针若干枚,总计N 枚),统计与平行线相交的次数n,则P≈N n .又因a 与l 都可精确测量,故从N n a l ≈π2,可解得π≈anlN 2.历史上有不少人做过这个试验.做得最好的一位投掷了3 408次,算得π≈3.141 592 9,其精确度已经达到小数点后第六位.设计一个随机试验,通过大量重复试验得到某种结果,以确定我们感兴趣的某个量,由此而发展的蒙特卡洛(Monte-Carlo)方法为这种计算提供了一种途径.课堂小结几何概型是区别于古典概型的又一概率模型,使用几何概型的概率计算公式时,一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例.作业习题3—3 A 组1、2.设计感想本节课首先对古典概型进行了复习,使学生掌握古典概型的适用条件,巩固了古典概型的概率计算公式,接着设计了多个试验,从课题的引入,到问题的提出都非常有针对性,引人入胜,接着从新的问题中引出几何概型这一不同于古典概型的又一概率模型,并通过探究,归纳出几何概型的概率计算公式,同时比较了古典概型和几何概型的区别和联系,通过思路1和思路2两种不同的例题类型和层次,加深理解和运用,由于它们与实际生活联系密切,所以要反复练习,达到为我们的工作与生活服务,然而这部分内容在高考中是新内容,因此同学们要高度重视,全面把握,争取获得好成绩.。
高一数学北师大版必修三 第3章 3 模拟方法——概率的应用课件
(2)利用几何概型，可以解释“概率为零的事件不一定是不可
能事件，概率为1的事件不一定是必然事件”．
题型一
与长度有关的几何概型
【例1】 如图A，B两盏路灯之间的距离是 30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C、
D，问A与C，B与D之间的距离都不小于10米的概率是多
少？ [思路探索] 在A、B之间每一位置安装路灯C、D都是一个
件的概率，关键在于能否将问题几何化；也可根据实际问题 的具体情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基 础上，将试验的每一结果一一对应于该坐标系中的点，使得 全体结果构成一个可度量区域．
从概率的几何定义可知，在几何概型中，“等可能”一词应理
解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅 与该区域的度量成正比，而与该区域的位置与形状无关．
求出基本事件所 求出所求事件 利用公式 [思路探索] → → 占的区域面积 的区域面积 求得概率
解
整个正方形木板的面积即基本事件所占的区域总面积
D＝16×16＝256(cm2)， 设“投中大圆内”为事件A， “投中小圆与中圆形成的圆环”为事件B， “投中大圆之外”为事件C，则 事件A所占区域面积为dA＝π×62＝36π(cm2)，
①无限性：在一次试验中，基本事件的个数必须是无数 个； ②等可能性：在每次试验中，每一个基本事件发生的可能 性是均等的．
(3)古典概型与几何概型的主要区别与联系：它们都是比
较特殊的概率模型，其共同的特点是试验中的基本事件发
2． 几何概型概率计算公式的应用 (1)对于一个具体问题能否应用几何概型的概率公式计算事
事件B所占区域面积为
dB＝π×42－π×22＝16π－4π＝12π(cm2)，
北师大版高中数学必修3第三章概率第三节3.1模拟方法---概率的应用教学课件共34张PPT含素材 (2份打包)
（1）通过做大量的重复试验，用随机事件发生的频率来估计概率； （2）用古典概型的知识来计算概率．
Ⅱ.古典概型
（1）有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； （2）等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．
P(
A)
事件A包含的基本事件个数 试验的基本事件总数
学习探究
P( A)
d的测度 D的测度
概念生成
GENERATE CONCEPTS
随机模拟的基本方法
（1）直接实验法：如向木板上抛小球，向正方形中抛豆子， 使用转盘模拟试验过程等；
（2）随机数表法：随机数表是由数字0，1，2，…，9组成的，并且 每个数字在表中的各个位置出现的机会都是一样的；
（3）利用计算机或计算器产生随机数模拟试验：用计算机软件产生 随机数，如用Excel软件产生的随机数．
实际应用
THE PRACTICAL APPLICATION
无限性
等可能性
例1 下列概率问题中哪些属于几何概型？ （1）从一批产品中抽取30件进行检查,有5件次品，
求正品的概率。 否 （2）箭靶的直径为1m，靶心的直径为12cm，任意
向靶射箭，射中靶心的概率为多少？ 是
实际应用
THE PRACTICAL APPLICATION
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课堂实验
CLASSROOM EXPERIMENT
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通过抛豆实验估计圆周率π
抛豆实验
1、实验目的
随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入
圆内的概率，并计算π的近似值；
2、实验步骤
（1）随机向正方形内丢豆子；
（2）统计圆内豆子的数量k，豆子总数n,
高中数学第三章概率3.3模拟方法_概率的应用学案含解析北师大版必修3
3 模拟方法——概率的应用考纲定位重难突破1.初步体会模拟方法在概率方面的应用.2.理解几何概型的定义及其特点，会用公式计算简单的几何概型问题.3.了解古典概型与几何概型的区别与联系.重点：几何概型的特点及概念.难点：应用几何概型的概率公式求概率.授课提示：对应学生用书第48页[自主梳理]1．几何概型(1)向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关．即P(点M落在G1)＝G1的面积G的面积，则称这种模型为几何概型．(2)几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．2．几何概型概率的计算几何概型的概率公式在几何概型中，事件的概率的计算公式如下：P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）[双基自测]1．几何概型与古典概型的区别是()A．几何概型的基本事件是等可能的B．几何概型的基本事件的个数是有限的C．几何概型的基本事件的个数是无限的D．几何概型的基本事件不是等可能的解析：由几何概型和古典概型各自的特点对比可得答案C.答案：C2．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，向游戏盘上投掷一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()解析：四个选项中小明中奖的概率分别为38，14，13，13，故应选A中的游戏盘．答案：A3．在区间[－1，3]上随机取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为12，则实数m的值为() A．0B．1C．2 D．3解析：区间[－1，3]的区间长度为4.不等式|x|≤m的解集为[－m，m]，区间长度为2m，由2m4＝12，得m＝1.答案：B授课提示：对应学生用书第49页探究一 与长度、角度有关的几何概型[典例1] 某汽车站每隔15分钟就有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间大于10分钟的概率．[解析] 设上辆车于时刻T 1到达，而下一辆车于时刻T 2到达，线段T 1T 2的长度为15，设T 是线段T 1T 2上的点，且T 1T ＝5，T 2T ＝10，如图．记等车事件大于10分钟为事件A ，则当乘客到达车站的时刻t 落在线段T 1T 上时，事件A 发生，区域T 1T 2的长度为15，区域T 1T 的长度为5.所以P (A )＝T 1T 的长度T 1T 2的长度＝515＝13.(1)与长度有关的几何概型概率的求法 ①与长度有关的几何概型问题的计算公式如果试验的结果构成的区域的集合度量可用长度表示，则其概率的计算公式为： P (A )＝构成事件A 的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.②与长度有关的几何概型问题的三个解题步骤a ．找到几何区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，并计算区域D 的长度．b ．找到事件A 发生时对应的区域d ，确定d 的边界点是问题的关键．c ．利用几何概型概率公式求概率． (2)与角度有关的几何概型概率的求法①如果试验的所有结果构成的区域的几何度量可用角度表示，则其概率的计算公式为 P (A )＝构成事件A 的区域角度试验的全部结果构成的区域角度.②解决此类问题的关键是事件A 在区域角度内是均匀的，进而判定事件的发生是等可能的．1.如图，有一圆盘，其中阴影部分的圆心角为75°，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，且投到任何位置都有等可能的．那么他投中阴影部分的概率为________．解析：圆盘对应的圆心角为360°，阴影部分对应的圆心角为75°，故投中阴影部分的概率P ＝75°360°＝524.答案：524探究二 与面积有关的几何概型[典例2] 一只受伤的丹顶鹤在如图所示(直角梯形)的草原上飞过，其中AD ＝2，DC ＝2，BC ＝1.它可随机落在该草原上任何一处，若落在扇形沼泽区域ADE 以外，丹顶鹤能生还，求该丹顶鹤生还的概率． [解析] 过点D 作DF ⊥AB 于点F ，如图所示．在Rt △AFD 中，因为AD＝2，DF ＝BC ＝1，所以AF ＝1，∠A ＝π4，所以梯形ABCD 的面积S 1＝12×(2＋2＋1)×1＝52.扇形DAE 的面积S 2＝π×(2)2×π42π＝π4.根据几何概型的概率计算公式，得丹顶鹤生还的概率P ＝S 1－S 2S 1＝52－π452＝1－π10.在研究射击、射箭、投中、射门等实际问题时，常借助于区域的面积来计算概率的值．此时，只需分清各自区域特征，分别计算其面积，以公式P (A )＝构成事件A 的区域面积试验的全部结果构成的区域面积计算事件的概率即可．2.一个圆及其内接正三角形如图所示，某人随机地向该圆内扎针，则针扎到阴影区域的概率为( )A.312πB.334πC.34D.3π解析：设正三角形的边长为a ，圆的半径为R ，则R ＝33a ，所以正三角形的面积为34a 2，圆的面积S ＝πR 2＝13πa 2.由几何概型的概率计算公式，得针扎到阴影区域的概率P ＝34a 213πa 2＝334π，故选B.答案：B探究三 与体积有关的几何概型[典例3] 正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，在正方体内随机取一点M .求点M 落在三棱锥B ′－A ′BC 内的概率．[解析] 记“点M 落在三棱锥B ′－A ′BC 内”为事件E .因为棱长为a 的正方体的体积V ＝a 3， 由正方体的性质可知V B ′－A ′BC ＝13S B ′BC ·A ′B ′＝16a 3.故P (E )＝V B ′－A ′BC V ＝16a 3a 3＝16.如果试验的结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的总的体积及事件A所分布的体积．其概率的计算公式为P(A)＝构成事件A的区域体积试验的全部结果构成的区域体积.3．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取一点M，求使四棱锥M-ABCD 的体积不超过16(事件A)的概率．解析：设M到平面ABCD的距离为h，则V M-ABCD＝13S底面ABCD·h≤16.又S底面ABCD＝1，所以只要h≤12即可．所有满足h≤12的点组成以正方形ABCD为底面，12为高的长方体，其体积为12，又正方体的体积为1，所以使四棱锥M-ABCD的体积不超过16(事件A)的概率为P(A)＝121＝12.古典概型与几何概型的综合问题[典例](本题满分12分)已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)．(1)当x，y∈Z时，求点P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率；(2)当x，y∈R时，求点P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．[规范解答](1)由|x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z，得基本事件总数n＝25，满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的点P的坐标有(0，2)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，共有6个，故所求概率P1＝625.…………………………………………………6分(2)如图所示，由|x|≤2，|y|≤2，x，y∈R，则构成该事件的总区域是边长为4的正方形，其面积为16，其中满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的点构成所求事件的区域如图所示的阴影部分，其面积为14×π×22＝π，故所求概率P2＝π16.………………12分[规范与警示] 1.本题正确区分(1)(2)两问题是古典概型还是几何概型是解决本题的难点，也是易错点．2．在问题(1)中，由于|x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z，故其基本事件的个数是有限的，且是等可能的，显然属于古典概型；正确求解基本事件总数及点P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4，基本事件个数是求解本题的关键．3．在问题(2)中，由于|x|≤2，|y|≤2，x，y∈R，基本事件的个数是无限的，且是等可能的，故其属于几何概型，正确将其转化为面积之比是解决本题的关键．[随堂训练] 对应学生用书第50页1．已知集合M ＝{x |－2≤x ≤6}，N ＝{x |0≤2－x ≤1}，在集合M 中任取一个元素x ，则x ∈M ∩N 的概率是( ) A.19 B.18 C.14 D.38解析：因为N ＝{x |0≤2－x ≤1}＝{x |1≤x ≤2}，又M ＝{x |－2≤x ≤6}，所以M ∩N ＝{x |1≤x ≤2}，所以所求的概率为2－16＋2＝18.答案：B2.任意画一个正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第二个正方形，依次类推，这样一共画了3个正方形，如图所示．若向图形中随机投一点，则所投点落在第三个正方形内的概率是________．解析：利用几何概型，其测度为面积．设大正方形的边长为1，面积为1，∵第三个正方形的边长为12，所以面积为12×12＝14，∴所投点落在第三个正方形内的概率为14.答案：143．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？ (1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．解析：在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型． (1)P ＝红灯亮的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25.(2)P ＝黄灯亮的时间全部时间＝575＝115.(3)P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35.。
高中数学第3章概率§3模拟方法概率的应用课件北师大版必修3
(2)如图所示，△ABC 中，AB＝3，AC＝4，BC＝ 5，则△ABC 的周长为 3＋4＋5＝12.某时刻该蚂蚁 距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 的概率 P＝ DBEC＋＋FCGA＋＋MABN＝3＋122＋1＝12.]
如果试验的全部结果所构成的区域的几何度量能转化为实际意 义上的线段长度，这种模型称为长度型的几何概型.可按下列公式来 计算其概率：
TT2 的长等于 3，记等车时间不超过 3 min 为事件 A，事件 A(候车时 间不超过 3 min)发生即当点落在线段 TT2 上，记 D＝T1T2＝5，d＝TT2
＝3，所以 P(A)＝Dd ＝35.
即候车时间不超过 3 min 的概率为35.
17
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一 下眼睛，
3．(1)如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正
方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对
称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的
概率是( )
1
π
A.4
B.8
C.12
D.π4
(2)如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为(1,0)，且点 C 与 x＋1，x≥0
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不 好哦~
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法二 容易判断这是一个几何概型问题，如图所示．
记 A 为“候车时间不超过 3 min”，以 x 表示乘客来到车站的时 间，那么每一个试验结果可以表示为 x，假定乘客到车站后第一辆汽 车来到的时刻为 t，依据题意，乘客必在(t－5，t]内来到车站，故 D ＝{x|t－5＜x≤t}，欲使乘客候车时间不超过 3 min 必须满足 t－ 3≤x≤t，所以 d＝{x|t－3≤x≤t}，
最新北师大版高中数学必修三第三章概率 模拟方法——概率的应用
§3 模拟方法——概率的应用 学 习目标 1.了解随机数的意义，能运用随机模拟方法估计概率． 2.了解几何概型的意义．导思什么是几何概型，它与古典概型有何异同？1．几何概型的概念向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，则称这种模型为几何概型． 几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．几何概型有什么特点？提示：几何概型有两个特点：①无限性．在一次试验中，可能出现的结果有无限个，即无限个不同的基本事件．②等可能性．每个基本事件发生的可能性(概率)是均等的．2．几何概型的概率计算公式P (点M 落在G 1)＝1G G 的面积（长度或体积）的面积（长度或体积）几何概型的概率计算公式中G 与G 1的度量是否必须一致？提示：G 与G 1的度量必须一致，或者都是长度，或者都是面积，或者都是体积．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关．( × )提示：几何概型的概率计算与构成事件的区域形状、位置无关．(2) 事件B “从区间[－10，10]上任意取出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率”是几何概型．( × )提示：因为区间[－10，10]上的整数只有21个，是有限的．(3)几何概型中每个基本事件出现的可能性不相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性相等．( × )提示： 几何概型和古典概型的每个基本事件出现的可能性都相等．2．下列概率模型中，几何概型的个数为( )①从区间[－10，10]上任取一个数，求取到的数在[0，1]内的概率；②从区间[－10，10]上任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；③向一个边长为4 cm 的正方形内投一点，求点离中心不超过1 cm 的概率．A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】选D.①②中的概率模型是几何概型，因为区间[－10，10]上有无数个数，且每个数被取到的机会相等；③中的概率模型是几何概型，因为在边长为4 cm 的正方形内有无数个点，且该区域内的任何一个点被投到的可能性相同．3．(2021·全国乙卷)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 随机取1个数，则取到的数小于13 的概率为( )A ．34B ．23C ．13D ．16【命题意图】本题主要考查与长度有关的几何概型，考查考生利用数形结合思想解题的能力．【解析】选B.由题意可知，本题是几何概型，测度为长度，记A 为“取到的数小于13 ”，则P (A )＝13－012－0＝23 .类型一 与长度(或角度等一维度量)有关的几何概型(数学建模) 【典例】1.某公共汽车站每隔5 min 有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻都是等可能的，乘客候车时间不超过3 min 的概率是________.2．已知方程x 2＋3x ＋p 4 ＋1＝0，若p 在[0，10]中随机取值，则方程有实数根的概率为________．【思路导引】1.结合汽车停留时间与乘客到达车站的时刻，应用几何概型计算．【思路导引】2．首先计算使方程x 2＋3x ＋p 4 ＋1＝0有实数根的实数p 的取值范围，应用几何概型计算概率．【解析】1.方法一：设上一辆车于时刻T 1到达，而下一辆车于时刻T 2到达，线段T 1T 2的长度为5，记T 是线段T 1T 2上的点，且TT 2的长等于3，记候车时间不超过3 min 为事件A ，事件A (候车时间不超过3 min)发生即当点落在线段TT 2上，记D ＝T 1T 2＝5，d ＝TT 2＝3，所以P (A )＝d D ＝35 .即候车时间不超过3 min 的概率为35 .方法二：容易判断这是一个几何概型问题，如图所示．记A 为“候车时间不超过3 min”，以x 表示乘客来到车站的时间，那么每一个试验结果可以表示为x ，假定乘客到车站后第一辆汽车来到的时刻为t ，依据题意，乘客必在(t －5，t ]内来到车站，故D ＝{x |t －5＜x ≤t }，欲使乘客候车时间不超过3 min 必须满足t －3≤x ≤t ，所以d ＝{x |t －3≤x ≤t }，所以P (A )＝d D ＝35 .答案：352．因为总的基本事件是[0，10]内的全部实数，所以基本事件总数为无限个，符合几何概型的条件，事件对应的测度为区间的长度，总的基本事件对应区间[0，10]，长度为10，而事件“方程有实数根”应满足Δ≥0，即9－4×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4＋1 ≥0，得p ≤5，所以对应区间[0，5]，长度为5，所以所求概率为510 ＝12 .答案：121．与长度有关的几何概型的计算公式如果试验的结果构成的区域的集合度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：P (A )＝构成事件A 的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度 .2．与长度有关的几何概型解题三步骤(1)找到区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，并计算区域D 的长度．(2)找到事件A 发生时对应的区域d ，确定d 的边界点是问题的关键．(3)利用几何概型概率公式求概率．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( )A ．112B ．38C ．116D ．56【解析】选C.由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P ＝580 ＝116 .类型二 与面积有关的几何概型(数学建模)角度 1计算事件的概率【典例】有下列四个游戏盘，将它们水平放稳后，向上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )【思路导引】结合图形，分别计算获奖概率，应选择获奖概率较大的游戏盘．【解析】选A.A 中奖概率为38 ，B 中奖概率为14 ，C 中奖概率为13 ，D 中奖概率为13 .可见游戏盘A 获奖概率最大．角度2 随机模拟的应用【典例】从区间[0，1]内随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A ．4n mB ．2n mC ．4m nD ．2m n【思路导引】一方面，运用几何概型表示出事件的概率；另一方面，用试验中事件发生的频率接近概率，两式相等即可求解．【解析】选C.易知⎩⎪⎨⎪⎧0≤x n ≤1，0≤y n ≤1在平面直角坐标系中表示的平面区域为正方形及其内部，设该正方形的面积为S ，由x 2n ＋y 2n <1构成的图形的面积为S ′，则S ′S ＝14π1 ≈m n ，所以π≈4m n .与面积有关的几何概型的概率求法(1)与面积有关的几何概型的概率公式：P (A )＝构成事件A 的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积 . (2)解与面积有关的几何概型问题应注意：①根据题意确认所求问题的基本事件是否与面积有关；②找出或构造随机事件对应的几何图形，并能求出有关图形的面积；③在研究射击、射箭、射门、投掷等问题时，常转化为几何概型，利用面积计算来求其概率．1．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为( )A ．16B ．13C ．23D ．45【解析】选C.设|AC |＝x ，则|BC |＝12－x ，所以x (12－x )＞20，解得2＜x ＜10，故所求概率P ＝10－212 ＝23 .2.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴含了极致的数学美和丰富的传统文化信息．现有一幅剪纸的设计图，其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边．若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为( )A ．3π32B ．（3－22）π2C ．（2－2）π4D ．π8 【解析】选B.如图所示，设正方形的边长为1，其中的4个过正方形的中心，且内切正方形的两邻边的小圆的半径为r ，O 1，O 2，O 3，O 4为所在圆圆心，连接AC ，BD 交于点O ，作O 2E ⊥AB 于点E ，则BE ＝O 2E ＝O 2O ＝r ，所以BO 2＝2 r .因为BO 2＋O 2O ＝BO ＝12 BD ＝22 ，所以2 r ＋r ＝22 ，所以r ＝2－22 . 所以黑色部分的面积S ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－22 2＝3－222 π，正方形的面积为1， 所以在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为3－222 π.3．在正方形ABCD 内任取一点P ，则使∠APB ＞90°的概率是( )A ．π8B．π4C．π3D．π6【解析】选A.如图，由题意知点P落在以AB为直径的半圆内时∠APB＞90°，设正方形边长为2，则S正方形＝4，S半圆＝π2，所以所求概率P＝π24＝π8.4.我国古代数学家赵爽给出了勾股定理的绝妙证明，如图是赵爽的弦图，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红(朱)色、黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实，化简得勾2＋股2＝弦2，设其中勾股比为1∶3，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为()A．866 B．500 C．300 D．134【解析】选D.因为勾股比为1∶3，不妨设勾为1，则股为3，大正方形的边长为2，小正方形的边长为3－1.设落在黄色图形内的图钉数为n，则有n1 000＝（3－1）24，解得n≈134.【补偿训练】采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率，先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示击中目标，4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为________．【解析】根据数据得该运动员射击4次至少击中3次的数据分别为7527，9857，8636，6947，4698，8045，9597，7424，所以估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为820 ＝0.4.答案：0.4类型三 与体积有关的几何概型(数学建模)【典例】1.有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________.2．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若小蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求小蜜蜂“安全飞行”的概率．【思路导引】1.求出圆柱的体积和圆柱内到O 点的距离小于或等于1的半球的体积，再应用几何概型概率公式计算．【思路导引】2．正确理解“安全飞行”对应的空间体积，应用几何概型概率公式计算．【解析】1.先求点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12 ×43π×13＝23 π.则点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率为23π2π ＝13 ，故点P 到点O的距离大于1的概率为1－13 ＝23 .答案：23【解析】2．棱长为3的正方体的体积为3×3×3＝27，而小蜜蜂若要“安全飞行”，则需控制在以原正方体中心为中心的棱长为1的小正方体内部，故小蜜蜂“安全飞行”区域的体积为1×1×1＝1.根据几何概型的概率公式，可得小蜜蜂“安全飞行”的概率为127 .解与体积有关的几何概型的概率问题如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的体积及事件A 所占的体积．其概率的计算公式为：P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积 .1．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A ．π12B ．1－π12C ．π6D ．1－π6【解析】选B.点P 到点O 的距离大于1的点位于以O 为球心，以1为半径的半球外．记“点P 到点O 的距离大于1”为事件M ，则所求概率P (M )＝23－12×4π3×1323＝1－π12 .2．在半径为2的球O 内任取一点M ，则|OM |>1的概率为( )A ．78B ．56C ．34D ．12【解析】选A.问题相当于在以O 为球心，1为半径的球外，且在以O 为球心，2为半径的球内任取一点，所以P ＝43π×23－43π×1343π×23 ＝78 . 3．已知正三棱锥S -ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P -ABC <12V S -ABC 的概率是______． 【解析】由V P -ABC <12 V S -ABC 知，P 点在三棱锥S -ABC 的中截面A 0B 0C 0的下方，P＝1－VS -A 0B 0C 0V S -ABC＝1－18 ＝78 . 答案：78。
北师大版高中数学必修3《三章 概率 3 模拟方法——概率的应用 模拟方法——概率的应用》培优课课件_24
问题3: 有一杯1升的水，其中漂浮有1个微生物， 用一个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含 有这个微生物的概率.
试验：取一个矩形，在面积为四分之一的部分画上阴 影，随机地向矩形中撒一把芝麻（以100粒为例），假 设每一粒芝麻落在正方形内的每一个位置的可能性大小 相等.统计落在阴影A内的芝麻数与落在矩形内的总芝麻 数，观察它们有怎样的比例关系？
区域D的面积(长度或体积)
注:利用这个定理
D
可以求出不规则图
30～6：30的任何一个时间 随机地被送到，小明一家人在下午6：00～7：00的任 何一个时间随机地开始晚餐. （1）你认为晚报在晚餐开始之前被送到和在晚餐开始 之后被送到哪一种可能性更大？ （2）晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少?
§3 模拟方法——概率的应用
复习回顾：
有哪些方法可以计算事件发生的概率？
（1）通过试验方法得到事件发生的频率,来估计 概率.(一种近似估计,需通过大量重复试验) （2）用古典概型的公式来计算概率.(仅适用于基 本事件为有限个的情况)
问题1：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内 为黑色、白色、蓝色、红色，靶心为黄色,靶面直径为 122 cm，靶心直径为12.2 cm，运动员在70 m外射击． 假设射箭都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能 的，那么射中黄心的概率有多大？ （1）试验中的基本事件是什么？
（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？
（3）符合古典概型的特点吗？
问题2:取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位 置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1 m的概率 有多大？
3m （1）试验中的基本事件是什么？
（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？
（3）符合古典概型的特点吗？
高中数学 第三章 概率 概念汇总模拟方法概率的应用知识素材 北师大版必修3
模拟方法——概率的应用1. 几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；2. 几何概型的概率公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A . 3. 几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．4.几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例；精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂； 幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
北师大版高中数学必修三模拟方法---概率的应用(27张PPT)
分析:由于区域A的面积是正方形面的1／4,
因此大约有1／4的芝麻(25个)落在阴影部分
A
A内.
下面我将通过计算机做模拟实验,来验证分析的结果是否正确.
典型例题
例2. 求解“引入新课”中的问题。 解:设“飞船在主着陆场内着陆”为事件A,
P(A)
=
1202 2002
=
9. 25
与面积成比例
P(A)=
构成事件A的区域面积 试验的所有可能出现的结果所构成的区域面积
典型例题 例3 . 有一杯1升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯 水中取出0.1升，求小杯水中含有这个细菌的概率. 分析：细菌在这升水中的分布可以看作是随
问题提出 2.下图是卧室和书房地板的示意图，图中所有方砖除颜 色外完全相同，甲壳虫 分别在卧室和书房中自由地 飞来飞去，并随意停留在某块方砖上，问在哪个房间里， 甲壳虫停留在黑砖上的概率大？
卧室
书房
提升总结
事实上，甲壳虫停留在黑砖上的概率与黑砖的总 面积有关.
问题提出
3.用大小两个玻璃盆分别去捞鱼缸中红白相间的金鱼， 哪个捞到金鱼的概率大？
如何计算飞船在主着陆场内着陆的概率？
构成事(件2A)的区每域长个度(结面积果或体的积) 发生的可能性大小相等．
事实上,甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的圆弧的长度有关,而与字母B所在区域的位置无关.
正确理解几何概型的概念；
用线段MN表示30cm的绳子，E、F为MN的两个三等分点.
∵EF= 10cm,∴P如(A)=果每个基本事件发生的概率只与构成该事件区域的
北师大版高中数学必修3《三章 概率 3 模拟方法——概率的应用 模拟方法——概率的应用》培优课课件_4
一、复习引入 1、古典概型的两个基本特征是什么？ 2、如何计算古典概型的概率？
所有的基本事件 每个基本事件的发生 每个基本事件的概率 概率的计算
古典概型
有限个 等可能 1/m n/m
二、创设情景，引入新课
[情境一]
1撕纸条试验 取一根长度为30cm的纸条，拉直后在任意位置撕成两段。 那么撕得两段的长度都不小于10cm的概率有多大？
设“射中黄心”为事件A
P( A)
A对应区域的面积 试验全部结果构成区域 的面积
1 100
[情境三]
分析：小虫子在水中的分布可以看作是随机的，总的基本事 件个数可以用500ml水来刻画，事件A包含的基本事件个数可 以用取得2ml水来刻画。即用区域体积刻画基本事件。 解：取出2ml中“含有这个小虫子”这一事件记为A，则：
例3 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早
上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲 离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间, 问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A) 的概率是多少?
父亲离家时间
y=x
8: 00
7 : 00
6.5 7.5
报纸送到时间
解:设送报人到达的时间为x，父亲离开家的时间为时间y。 (x,y)可以看成平面上的点，实验的全部结果构成的区 域为 {(x, y) | 6.5 x 7.5,7 y 8} ，
10cm
结果： P 10 1 30 3
P
A
构成事件A的区域长度 全部结果所构成的区域长度
[情境二]
下面是运动会射箭比赛的靶面，靶面直径为 122cm,靶心直径为12.2cm.现一人随机射箭 ， 假设每箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可 能的, 请问射中黄心的概率是多少?
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1 模拟方法——概率的应用
1. 几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；
2. 几何概型的概率公式：
P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体
构成事件A .
3. 几何概型的特点：
1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；
2）每个基本事件出现的可能性相等．
4.几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例；。