9年级数学高效课时通73-75页疑难解答
2023高效课堂导学案九年级数学85页
2023高效课堂导学案九年级数学85页在2023年高效课堂导学案的第九年级数学教材中，第85页主要涉及了关于立体的一些基本概念和计算方法。
本文将围绕该页内容展开讨论，并提供一些例题来帮助学生更好地理解和掌握所学知识。
首先，第85页上介绍了一些关于立体的基本概念。
立体是指有三个维度（长度、宽度和高度）的物体。
常见的立体有球体、圆柱体、长方体等等。
在进行立体的计算时，经常会涉及到表面积和体积的计算。
其次，对于球体，第85页上给出了计算其表面积和体积的公式。
对于半径为r的球体，其表面积公式为4πr²，其中π取3.14或取近似值3.14159；体积公式为(4/3)πr³。
这些公式可以帮助我们计算不同大小的球体的表面积和体积。
再次，对于圆柱体和长方体，第85页并未给出具体的计算公式，但我们可以根据其形状特点来推导。
对于底面半径为r、高度为h的圆柱体，其表面积由两部分组成：底面积和侧面积。
底面积为πr²，侧面积为2πrh。
则圆柱体的表面积为2πr²+2πrh；对于圆柱体的体积，则为底面积乘以高度，即πr²h。
对于长方体，其表面积为长乘以宽的两倍加上长乘以高的两倍加上宽乘以高的两倍，即2(lw+lh+wh)；体积则为长乘以宽乘以高，即lwh。
最后，本文给出了一些例题来帮助学生更好地理解和应用所学知识。
例题1：一个长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm，求其表面积和体积。
解：根据长方体的表面积和体积公式，可以得出：表面积= 2(长×宽+长×高+宽×高) = 2(3×4 + 3×5 + 4×5) = 94(cm²)；体积=长×宽×高= 3×4×5 = 60(cm³)。
例题2：一个半径为6cm的球体，求其表面积和体积。
解：根据球体的表面积和体积公式，可以得出：表面积= 4πr² = 4×3.14×6² = 452.16(cm²)；体积= (4/3)πr³ = (4/3)×3.14×6³ = 904.32(cm³)。
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初中数学九年级上册高效课堂导学案全套精典汇编（全册练习及测试含答案）初中数学九年级上册高效课堂导学案全套精典汇编221 二次根式 1学习目标1了解二次根式的概念能判断一个式子是不是二次根式2掌握二次根式有意义的条件3全心投入全力以赴学习重点难点重点二次根式有意义的条件难点二次根式有意义的条件学习过程一温故知新1数3的平方根是算术平方根是2正数a的算术平方根为_______0的算术平方根为_______ 3解下列不等式并回忆解不等式的一般步骤2x-3 3x7二自主预习探究新知1式子表示什么意义2什么叫做二次根式如何判断一个式子是否为二次根式3式子的意义是什么如何确定一个二次根式有无意义尝试训练1试一试判断下列各式哪些是二次根式哪些不是为什么2若有意义则a的取值范围是三学以致用1 下列各式中二次根式有①②③④⑤A 2个B 3个C 4个D 5个4 当x__________时有意义1若有意义则a的值为___________．2若在实数范围内有意义则x为A正数B负数C非负数D非正数3在实数范围内因式分解x2 - 3 x2 - 2 x _____ x- _____4在式子中x的取值范围是_____5已知＝0则x-y＝ _____6已知y＝则 ______四反馈检测1 若则2 式子＋有意义的条件是A x≥0B x≤0且x≠－2C x≠－2D x≤03当x 时代数式有最小值其最小值是4在实数范围内因式分解1 24a-115 当x__________时有意义有意义的条件是______221二次根式 2学习目标1掌握二次根式的基本性质2能利用上述性质对二次根式进行化简3全力以赴做最好的自己学习重点难点重点二次根式的性质．难点综合运用性质进行化简和计算学习过程一温故知新1二次根式有意义则x2在实数范围内因式分解x2-6 x2 - 2 x ____ x-____二自主预习探究新知1式子表示什么意义如何用来化简二次根式2在化简过程中运用了哪些数学思想尝试训练计算当三学以致用1化简下列各式2下列各式正确的是A 2＝2B ＝－4C ＝2D ＝－x3化简下列各式12x＜-24化简下列各式12-5abc为三角形的三条边则____________6 把 2-x 的根号外的2-x适当变形后移入根号内得A BC D7实数ab在数轴上的位置如图所示那么化简｜a－b｜－的结果是A 2a－b B b C －b D －2a＋b8若二次根式有意义化简│x-4│-│7-x│四反馈检测1计算下列各式12 2322 42 以下各式中计算正确的是A －＝－6B －2＝－3C ＝±16D －2＝3化简4已知2＜x＜3化简222二次根式的乘除法二次根式的乘法一学习目标1掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质2熟练进行二次根式的乘法运算及化简二学习重点难点重点掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质难点正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简三学习过程一复习回顾1计算1× ______ _______2 × _______ _______3 × _______ _______2根据上题计算结果用或填空1×_____2×____3 ×__二提出问题1二次根式的乘法法则是什么如何归纳出这一法则的2如何二次根式的乘法法则进行计算3积的算术平方根有什么性质4如何运用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简三自主学习自学课本第56页积的算术平方根前的内容完成下面的题目1用计算器填空1×____ 2×____3×____ 4×____2由上题并结合知识回顾中的结论你发现了什么规律能用数学表达式表示发现的规律吗3二次根式的乘法法则是四合作交流1自学课本6页例1后依照例题进行计算1× 22×33· 4··2自学课本第67页内容完成下列问题1用式子表示积的算术平方根的性质2化简①②③④五展示反馈展示学习成果后请大家讨论对于×的运算中不必把它变成后再进行计算你有什么好办法六精讲点拨1当二次根式前面有系数时可类比单项式乘以单项式法则进行计算即系数之积作为积的系数被开方数之积为被开方数2化简二次根式达到的要求1被开方数进行因数或因式分解2分解后把能开尽方的开出来七拓展延伸1判断下列各式是否正确并说明理由1＝2 ab3 6×-24 ＝＝122不改变式子的值把根号外的非负因式适当变形后移入根号内1 -3 2八达标测试A组1选择题1等式成立的条件是A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-12下列各等式成立的是．A．4×2 8 B．5×4 20C．4×3 7 D．5×4 203二次根式的计算结果是A．2 B．-2 C．6 D．122化简1 23计算1 2B组1选择题1若则A．4 B．2 C．-2 D．1 2下列各式的计算中不正确的是A． -2×-4 8B．C．D．2计算16×-2 2二次根式的除法一学习目标1掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质2能熟练进行二次根式的除法运算及化简二学习重点难点重点掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质难点正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简三学习过程一复习回顾1写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质2计算 13×-4 23填空 1 ________ _________2 ________ ________3 ________ _________二提出问题1二次根式的除法法则是什么如何归纳出这一法则的2如何二次根式的除法法则进行计算3商的算术平方根有什么性质4如何运用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简三自主学习自学课本第7页第8页内容完成下面的题目1由知识回顾3题可得规律______ ______ _______2利用计算器计算填空1 _________2 _________3 ______规律______ _______ _____3根据大家的练习和解答我们可以得到二次根式的除法法则把这个法则反过来得到商的算术平方根性质四合作交流1 自学课本例3仿照例题完成下面的题目计算1 22自学课本例4仿照例题完成下面的题目化简1 2五精讲点拨1当二次根式前面有系数时类比单项式除以单项式法则进行计算即系数之商作为商的系数被开方数之商为被开方数2化简二次根式达到的要求1被开方数不含分母2分母中不含有二次根式六拓展延伸阅读下列运算过程数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作分母有理化利用上述方法化简 1 _________ ２ _________３ _____ ___ ４ ___ ___七达标测试A组1选择题1计算的结果是．A． B． C． D．2化简的结果是A．- B．- C．- D．-2计算1 23 4B组用两种方法计算1 2最简二次根式一学习目标1理解最简二次根式的概念2把二次根式化成最简二次根式．3熟练进行二次根式的乘除混合运算二学习重点难点重点最简二次根式的运用难点会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算三学习过程一复习回顾1化简1 22结合上题的计算结果回顾前两节中利用积商的算术平方根的性质化简二次根式达到的要求是什么二提出问题1什么是最简二次根式2如何判断一个二次根式是否是最简二次根式3如何进行二次根式的乘除混合运算三自主学习自学课本第9页内容完成下面的题目1满足于的二次根式称为最简二次根式2化简1 23 4四合作交流1计算2比较下列数的大小1与 23如图在Rt△ABC中∠C 90°AC 3cmBC 6cm求AB的长．五精讲点拨1化简二次根式的方法有多种比较常见的是运用积商的算术平方根的性质和分母有理化2判断是否为最简二次根式的两条标准1被开方数不含分母2被开方数中所有因数或因式的幂的指数都小于2．六拓展延伸观察下列各式通过分母有理化把不是最简二次根式的化成最简二次根式同理可得从计算结果中找出规律并利用这一规律计算的值．七达标测试A组1选择题1如果y 0是二次根式化为最简二次根式是．A．y 0 B．y 0 C．y 0 D．以上都不对2化简二次根式的结果是A B- C D-2填空1化简 _________．x≥02已知则的值等于__________3计算1 2B组1计算 a 0b 02若xy为实数且y 求的值223二次根式的加减法二次根式的加减法一学习目标1了解同类二次根式的定义2能熟练进行二次根式的加减运算二学习重点难点重点二次根式加减法的运算难点快速准确进行二次根式加减法的运算三学习过程一复习回顾1什么是同类项2如何进行整式的加减运算3计算12x-3x5x 2二提出问题1什么是同类二次根式2判断是否同类二次根式时应注意什么3如何进行二次根式的加减运算三自主学习自学课本第1011页内容完成下面的题目1试观察下列各组式子哪些是同类二次根式1 23 4从中你得到2自学课本例1例2后仿例计算1 22333-93通过计算归纳进行二次根式的加减法时应四合作交流展示反馈小组交流结果后再合作计算看谁做的又对又快限时6分钟1 23 4五精讲点拨1判断是否同类二次根式时一定要先化成最简二次根式后再判断2二次根式的加减分三个步骤①化成最简二次根式②找出同类二次根式③合并同类二次根式不是同类二次根式的不能合并六拓展延伸1如图所示面积为48cm2的正方形的四个角是面积为3cm2的小正方形现将这四个角剪掉制作一个无盖的长方体盒子求这个长方体的高和底面边长分别是多少2已知4x2y2-4x-6y10 0求y2-x2-5x的值．七达标测试A组1选择题1二次根式①②③④中与是同类二次根式的是．A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④2下列各组二次根式中是同类二次根式的是．A．与 B．与C．与 D．与2计算1 2B组1选择已知最简根式是同类二次根式则满足条件的 ab的值A．不存在 B．有一组C．有二组 D．多于二组2计算1 2二次根式的混合运算一学习目标熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算二学习重点难点重点熟练进行二次根式的混合运算难点混合运算的顺序乘法公式的综合运用三学习过程一复习回顾1填空1整式混合运算的顺序是2二次根式的乘除法法则是3二次根式的加减法法则是4写出已经学过的乘法公式①②2计算1·· 23二合作交流1探究计算1× 22自学课本11页例3后依照例题探究计算1 2三展示反馈计算限时8分钟1 23 4---四精讲点拨整式的运算法则和乘法公式中的字母意义非常广泛可以是单项式多项式也可以代表二次根式所以整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算五拓展延伸同学们我们以前学过完全平方公式你一定熟练掌握了吧现在我们又学习了二次根式那么所有的正数包括0都可以看作是一个数的平方如3 25 2下面我们观察反之∴∴ -1仿上例求12你会算吗3若则mn与ab的关系是什么并说明理由．六达标测试A组1计算1 23a 0b 042已知求的值B组1计算122母亲节到了为了表达对母亲的爱小明做了两幅大小不同的正方形卡片送给妈妈其中一个面积为8cm2另一个为18cm2他想如果再用金彩带把卡片的边镶上会更漂亮他现在有长为50cm的金彩带请你帮忙算一算他的金彩带够用吗《二次根式》复习一学习目标1了解二次根式的定义掌握二次根式有意义的条件和性质2熟练进行二次根式的乘除法运算3理解同类二次根式的定义熟练进行二次根式的加减法运算4了解最简二次根式的定义能运用相关性质进行化简二次根式二学习重点难点重点二次根式的计算和化简难点二次根式的混合运算正确依据相关性质化简二次根式三复习过程一自主复习自学课本第13页小结的内容记住相关知识完成练习1．若a＞0a的平方根可表示为___________a的算术平方根可表示________2．当a______时有意义当a______时没有意义3．4．5．二合作交流展示反馈1式子成立的条件是什么2计算 1 23． 1 2三精讲点拨在二次根式的计算化简及求值等问题中常运用以下几个式子12345四拓展延伸1用三种方法化简解第一种方法直接约分第二种方法分母有理化第三种方法二次根式的除法2已知mm为实数满足求6m-3n的值五达标测试A组1选择题1化简的结果是A 5B -5C 士5D 25 2代数式中x的取值范围是A BC D3下列各运算正确的是ABCD4如果是二次根式化为最简二次根式是A BC D．以上都不对5化简的结果是2计算．1 23 43已知求的值B组1选择1则A ab互为相反数B ab互为倒数C D a b2在下列各式中化简正确的是A BC D3把中根号外的移人根号内得2计算1 233归纳与猜想观察下列各式及其验证过程1 按上述两个等式及其验证过程的基本思路猜想的变化结果并进行验证．2 针对上述各式反映的规律写出n n为任意自然数且n≥2 表示的等式并进行验证．参考答案二次根式一五拓展延伸1 12 32 12六达标测试A组一填空题1 21x2 - 9 x2 -32 x3 x-32x2 - 3 x2 - 2 x x- 二选择题1D 2C 3DB组一选择题1 B 2A二填空题1 12 30二次根式二五展示反馈112x 2 212七拓展延伸1 2a2 D 3八达标测试A组 112 2 21B组 12x 2222二次根式的乘除法二次根式的乘法七拓展延伸11错2错3 错4错2 1 - 2八达标检测A组11 A 2 D 3 A21 231 2B组11 B 2 A21 2二次根式的除法六拓展延伸1 ２３４七达标测试A组11 A2C21 2 32 4B组1 2最简二次根式四合作交流113AB ．六拓展延伸2008．七达标测试A组11 C 2 B 2124 3 1 2 -B组1 2223二次根式的加减法二次根式的加减法四合作交流展示反馈1 23 4六拓展延伸1高底面边长 2七达标测试A组11 C 2D21 2B组1B 21 2二次根式的混合运算三展示反馈1 2五拓展延伸1 23六达标测试A组11 23 42624B组112 2够用《二次根式》复习一自主复习1． 2．3． 4． 25．二合作交流展示反馈1 2 1 23． 1 2四拓展延伸1 25五达标测试A组11A 2 B 3 B 4 C 5C2 1 23 43B组11 D 2C 3D21 2 3363 12第二十三章一元二次方程231 一元二次方程1课时学习目标1会根据具体问题列出一元二次方程体会方程的模型思想提高归纳分析的能力2理解一元二次方程的概念知道一元二次方程的一般形式会把一个一元二次方程化为一般形式会判断一元二次方程的二次项系数一次项系数和常数项重点由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念难点由实际问题列出一元二次方程准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项导学流程自学课本导图走进一元二次方程分析现设长方形绿地的宽为x米则长为米可列方程x 去括号得①你知道这是一个什么方程吗你能求出它的解吗想一想你以前学过什么方程它的特点是什么探究新知例1小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形再折合成一个无盖的长方体盒子如果要求长方体的底面积为81cm那么剪去的正方形的边长是多少设剪去的正方形的边长为xcm你能列出满足条件的方程吗你是如何建立方程模型的合作交流动手实验一下并与同桌交流你的做法和想法列出的方程是②自主学习做一做根据题意列出方程1一个正方形的面积的2倍等于50这个正方形的边长是多少2一个数比另一个数大3且这两个数之积为这个数求这个数3一块面积是150cm长方形铁片它的长比宽多5cm则铁片的长是多少观察上述三个方程以及①②两个方程的结构特征类比一元一次方程的定义自己试着归纳出一元二次方程的定义展示反馈挑战自我判断下列方程是否为一元二次方程我学会了1只含有个未知数并且未知数的最高次数是这样的方程叫做一元二次方程2一元二次方程的一般形式其中二次项是一次项是常数项二次项系数一次项系数例 2 将下列一元二次方程化为一般形式并分别指出它们的二次项一次项和常数项及它们的系数12巩固练习教材第19页练习归纳小结1本节课我们学习了哪些知识2学习过程中用了哪些数学方法3确定一元二次方程的项及系数时要注意什么达标测评A1判断下列方程是否是一元二次方程1 23 42将下列方程化为一元二次方程的一般形式并分别指出它们的二次项系数一次项系数和常数项13x2－x 2 27x－3 2x23 2x－1 －3x x－2 0 42x x－1 3 x＋5 －43判断下列方程后面所给出的数那些是方程的解1 ±1 ±22 ±2 ±4B1把方程化成一元二次方程的一般形式再写出它的二次项系数一次项系数及常数项2要使是一元二次方程则k _______3已知关于x的一元二次方程有一个解是0求m的值拓展提高1已知关于x的方程问1当k为何值时方程为一元二次方程2当k为何值时方程为一元一次方程2思考题你能给出一元三次方程的概念及一般形式吗232 一元二次方程的解法5课时第1课时学习目标1初步掌握用直接开平方法解一元二次方程会用直接开平方法解形如 a a≥0 或mxnx2＝4 2x2－1＝0解x ____ 解左边用平方差公式分解因式得x ____ ______________＝0必有 x－1＝0或______＝0得x1＝___x2＝_____精讲点拨1 这种方法叫做直接开平方法2 这种方法叫做因式分解法合作交流方程x2＝4能否用因式分解法来解要用因式分解法解首先应将它化成什么形式方程x2－1＝0能否用直接开平方法来解要用直接开平方法解首先应将它化成什么形式课堂练习反馈调控1试用两种方法解方程x2－900＝01 直接开平方法2 因式分解法2解下列方程1x2－2＝0 216x2－25＝0解1移项得x2＝2 2 移项得_________直接开平方得方程两边都除以16得______所以原方程的解是直接开平方得x＝___所以原方程的解是 x1＝___x2＝___3解下列方程13x2＋2x 0 2x2＝3x解1方程左边分解因式得_______________所以__________或____________原方程的解是x1＝______x2＝______2原方程即_____________ 0方程左边分解因式得____________＝0所以 __________或________________原方程的解是x1＝_____x2＝_________总结归纳以上解方程的方法是如何使二次方程转化为一次方程的用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的步骤分别是什么巩固提高解下列方程1x＋12－4＝0 2122－x2－9＝0分析两个方程都可以转化为 2＝a的形式从而用直接开平方法求解解1原方程可以变形为_____2＝____2原方程可以变形为________________________有________________________所以原方程的解是x1＝________x2＝_________课堂小结你今天学会了解怎样的一元二次方程步骤是什么它们之间有何联系与区别学生思考整理达标测评A 1解下列方程1x2＝169 245－x2＝0 312y2－25＝04x2－2x＝0 5t－2t 1 06xx＋1－5x＝07 x3x＋2－6 3x＋2 ＝0B 2小明在解方程x2＝3x时将方程两边同时除以x得x 3这样做法对吗为什么会少一个解拓展提高1解下列方程12x-3 0 2 -50x225 0教师引导学生用十字相乘法分解因式2构造一个以2为根的关于x 的一元二次方程第 2 课时学习目标1掌握用配方法解数字系数的一元二次方程2理解解方程中的程序化体会化归思想重点用配方法解数字系数的一元二次方程难点配方的过程导学流程自主学习自学教科书例4完成填空精讲点拨上面我们把方程x2－4x＋3＝0变形为 x－2 2＝1它的左边是一个含有未知数的________式右边是一个_______常数这样就能应用直接开平方的方法求解这种解一元二次方程的方法叫做配方法练一练配方填空1x2＋6x＋＝x＋ 22x2－8x＋＝x－ 23x2＋x＋＝x＋ 2从这些练习中你发现了什么特点1 ________________________________________________2 ________________________________________________合作交流用配方法解下列方程1x2－6x－7＝0 2x2＋3x＋1＝0解1移项得x2－6x＝____方程左边配方得x2－2·x·3＋__2＝7＋___即 ______2＝____所以 x－3＝____原方程的解是x1＝_____x2＝_____2移项得x2＋3x＝－1方程左边配方得x2＋3x＋ 2＝－1＋____即 _____________________所以 ___________________原方程的解是 x1＝______________x2＝___________总结规律用配方法解二次项系数是1的一元二次方程有哪些步骤深入探究用配方法解下列方程1 2这两道题与例5中的两道题有何区别请与同伴讨论如何解决这个问题请两名同学到黑板展示自己的做法课堂小结你今天学会了用怎样的方法解一元二次方程有哪些步骤学生思考后回答整理达标测评A用配方法解方程1x2＋8x－2＝0 2x2－5x－6＝0 32x2-x 644x2＋px＋q＝0 p2－4q≥054x2－6x＋＝4x－ 2＝2x－ 2拓展提高已知代数式x2-5x7先用配方法说明不论x取何值这个代数式的值总是正数再求出当x取何值时这个代数式的值最小最小值是多少第 3 课时学习目标1经历推导求根公式的过程加强推理技能训练进一步发展逻辑思维能力2会用公式法解简单系数的一元二次方程3进一步体验类比转化降次的数学思想方法重点用公式法解简单系数的一元二次方程难点推导求根公式的过程导学流程复习提问1用配方法解一元二次方程的步骤有哪些2用配方法解方程3x2-6x-8 03你能用配方法解下列方程吗请你和同桌讨论一下ax2＋bx＋c＝0 a≠0推导公式用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 a≠0因为a≠0方程两边都除以a得_____________________＝0移项得 x2＋x＝________配方得 x2＋x＋______＝______－即 ____________ 2＝___________因为 a≠0所以4 a2＞2－4 ac≥0时直接开平方得_____________________________所以 x＝_______________________即 x＝_________________________由以上研究的结果得到了一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝0的求根公式精讲点拨利用这个公式我们可以由一元二次方程中系数abc的值直接求得方程的解这种解方程的方法叫做公式法合作交流b2－4 ac为什么一定要强调它不小于0呢如果它小于0会出现什么情况呢展示反馈学生在合作交流后展示小组学习成果当b2－4ac＞0时方程有＿＿个＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根填相等或不相等当b2－4ac＝0时方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根x1＝x2＝＿＿＿＿＿＿＿＿当b2－4ac＜0时方程＿＿＿＿＿＿实数根巩固练习1做一做1 方程2x-3x1 0中a b c2 方程 2x-1 -4中a b c3 方程3x-2x4 0中则该一元二次方程实数根4 不解方程判断方程x-4x4 0的根的情况2应用公式法解下列方程1 2 x2＋x－6＝0 2 x2＋4x＝23 5x2－4x－12＝04 4x2＋4x＋10＝1－8x解 1 这里a＝___b＝___c＝______b2－4ac＝____________ ＝_________所以x＝＝_________＝____________即原方程的解是 x1＝_____x2＝_____2 将方程化为一般式得_________________＝0因为 b2－4ac＝_________所以 x＝_____________＝_______________原方程的解是 x1＝________x2＝_____3 因为 ___________________所以 x＝____________＝__________＝__________ 原方程的解是 x1＝________x2＝__________4 整理得_______________＝0因为 b2－4ac＝_________所以 x1＝x2＝________课堂小结1一元二次方程的求根公式是什么2用公式法解一元二次方程的步骤是什么达标测评A1应用公式法解方程1 x2－6x＋1＝02 2x2－x＝63 4x2－3x－1＝x－24 3x x－3 ＝2 x－1 x＋15x-2x5＝8 6x＋12＝2x＋1B2某农场要建一个矩形的养鸭场养鸭场的一边靠墙墙长25m另三边用篱笆围成篱笆长为40m1 养鸭场的面积能达到150m吗能达到200 m吗2 能达到250 m吗拓展提高m取什么值时关于x的方程2x2- m＋2 x＋2m－2＝0有两个相等的实数根第4课时一元二次方程根的判别式选学学习目标了解什么是一元二次方程根的判别式知道一元二次方程根的判别式的应用重点如何应用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况难点根的判别式的变式应用导学流程复习引入一元二次方程ax2＋bx＋c＝0a≠0只有当系数abc满足条件b2－4ac___0时才有实数根观察上式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况当b2－4ac＞0时方程有＿＿个＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根填相等或不相等②当b2－4ac＝0时方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根x1＝x2＝＿＿＿＿＿＿＿＿③当b2－4ac＜0时方程＿＿＿＿＿＿实数根精讲点拨这里的b2－4ac叫做一元二次方程的根的判别式通常用△来表示用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根如对方程x2－x＋1＝0可由b2－4ac＝＿＿＿＿＿0直接判断它＿＿＿＿实数根合作交流方程根的判别式应用1不解方程判断方程根的情况1x2＋2x－8＝0 23x2＝4x－13x3x－2－6x2＝0 4x2＋＋1 x＝05xx＋8＝16 6x＋2x－5＝12．说明不论m取何值关于x的方程x－1x－2＝m2总有两个不相等的实数根解把化为一般形式得＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿Δ＝b2－4ac＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿拓展提高应用判别式来确定方程中的待定系数1m取什么值时关于x的方程x2-2x＋m－2＝0有两个相等的实数根求出这时方程的根解因为Δ＝b2－4ac＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿因为方程有两个相等的实数根所以Δ＝b2－4ac＿＿＿0即＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿解得ｍ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿这时方程的根ｘ＝2m取什么值时关于x的方程x2- 2m＋2 x＋m2-2m－2＝0没有实数根课堂小结使用一元二次方程根的判别式应注意哪些事项列举一元二次方程根的判别式的用途达标测评A1方程x2-4x＋4＝0的根的情况是A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C有一个实数根 D没有实数根2下列关于x的一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是A．x2＋1＝0 B x2x-1＝0 C x22x＋3＝0 D 4x2-4x＋1＝03若关于x的方程x2-x＋k＝0没有实数根则Ak＜ Bk ＞ C k≤ D k≥4关于x的一元二次方程x2-2x＋2k＝0有实数根则k得范围是Ak＜ Bk ＞ C k≤ D k≥B5ｋ取什么值时关于x的方程4x2- ｋ＋2 x＋ｋ－１＝0有两个相等的实数根求出这时方程的根6说明不论ｋ取何值关于x的方程x2＋ 2ｋ＋１ x＋ｋ－１＝0总有两个不相等的实根第 5 课时习题课学习目标能结合具体问题选择合理的方法解一元二次方程培养探究问题的能力和解决问题的能力重点选择合理的方法解一元二次方程使运算简便难点理解四种解法的区别与联系复习提问1我们已经学习了几种解一元二次方程的方法2请说出每种解法各适合什么类型的一元二次方程精讲点拨观察方程特点寻找最佳解题方法一元二次方程解法的选择顺序一般为直接开平方法因式分解法公式法若没有特殊说明一般不采用配方法其中公式法是一把解一元二次方程的万能钥匙适用于任何一元二次方程因式分解法和直接开平方法是特殊方法在解符合某些特点的一元二次方程时非常简便。
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【 出题角度 2】 待定系数法确定二次函数解析式 下表所示:
题型典例❸ 已知 y 是关于 x 的二次函数,x 与 y 的对应值如
x 的值 y 的值 -1 2 0 3 1 6 2
t = 6,即小球从抛出至回落到地面所需要的时间是 6 s. 故选 A. 答案:A. 方法总结 确定自变量的值或函数值的方法: 由自变量确定相应 的函数值或由函数值确定相应自变量的取值时, 就是把已 知的量代入解析式, 将其转化为关于另一个变量的方程来 解决.
二次函数是刻画现实世界有效的数学模型,在实际问题中
分析它们之间的关 系 , 将 文 字 或 图 形 语 言 转 化 成 数 学 符 号 语言 ; 数量关系,建立二次函数关系式,注意将关系式整理为 y = ax2 + bx + c( a≠0) 的形式;
(1) y = 4 x +6;(2) y = 2 x2 -3;(3) s = 5 x3 +8 x2 -4; 思路导引:根据二次函数的定义进行判断. 方法总结
{
m = 3, n = 2.
30 t -5 t2 = 0,解得 t = 0 或 t = 6 . 当 t = 0 时, 小球没有抛出, 所以
思路导引:由题意得小球从抛出至回落到地面时, h = 0, 即
∴ 原函数的解析式为 y = x2 +5 x +1 或 y = -2 x2 +5 x +4 .
第二十六章 二次函数
九年级数学( 下) 人教版
(1) 求 y 关于 x 的二次函数解析式; (2) 补全表中空格处的数值.
以可以设出其解析式为 y = ax2 + bx + c ( a ≠0) , 然后把表格里给 出的三组对应值代入转化 为 解 关 于 a, b, c 的 三 元 一 次 方 程 组,从而确定二次函数解析式;(2) 把 x = 2 代入 (1) 中求出的 解析式中,可确定对应的 y 值. 所以 3 = c, 解:(1) 设二次函数解析式为 y = ax2 + bx + c( a≠0) , 2 = a - b + c, 6 = a + b + c, a = 1, c = 3,
数学《高效》九年级上册参考答案
数学 九年级上册答案与提示第一章 证明(二)1.1 你能证明它们吗（1） 当堂演练 1.C2.65°3.AD ⊥BC ，BD =CD ，三线合一.4.∵AB=AD ，∴∠1=∠3, ∵BD 平分∠ABC , ∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴AD ∥BC .5.（1）20°，（2）∠A =2∠BCD . 拓展延伸 2.36° 3.等边三角形，证△AFE ≌△BDF ≌△CED 即可得DE=EF=DF .1.1 你能证明它们吗（2） 当堂演练1. AC =BC2.C3.C4.30公里5.⑴△DBF ，△ECF ；⑵证BD=DF ，CE=EF 即可得. 拓展延伸2.43.（1）过点D 作DM ∥AE 交BC 于点M ，然后证△DMG ≌△ECG 即可得DG=GE ；（2）由△DMG ≌△ECG 得出MG=CG ，由△BDM ∽△BAC 得出BM=CM ，所以CG=0.25a .1.1 你能证明它们吗（3） 当堂演练1.等边2.2.53.74.105.△ADE 是等边三角形，证△ABD ≌△ACE 得出AD=AE ，∠CAE=∠BAD =60°. 拓展延伸3.⑴证△BCD ≌△ACE 即可得AE=BD ，△CFG 是等边三角形；⑵AE=BD ，△CFG 是等腰三角形. 1.2 直角三角形（1） 当堂演练1.4cm 或34cm2.如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，真，假.3.A4. C5.先求出AB =10，由21AC·BC =21AB·CD 得出CD =4.8.拓展延伸2.B3.连接AC ，证明∠ACD =90°，四边形ABCD 的面积是：21AB·BC +21AC·CD =3600平方米.1.2 直角三角形（2） 当堂演练1.AC=AD 或BC=BD 或∠CAB=∠DAB 或∠CBA=∠DBA ，任写一个即可2.33.A4. B5.先用HL 证明△ACD ≌△A'C' D'得出∠A=∠A'，再用ASA 证明△ABC ≌△A'B'C .' 拓展延伸2.在图②中，结论成立，方法一：连接CD ，证明△CDE ≌△BDF ，DEFS △+CEFS △=S ⊿BCD =21ABC S △；方法二：作DG ⊥AC 于G ，DH ⊥BC 于H ，证明△DGE ≌△DHF ，利用图①中的结论得出DEF S △+CEF S △=21ABC S △；在图③中，结论不成立，DEF S △-CEF S △=21ABC S △.1.3 线段的垂直平分线（1） 当堂演练1.A2.C3.7，60°4.△ADE 的周长=AD+DE+AE =BD+DE+EC =BC =12.5.⑴略；⑵连接AM ，∵∠BAM=∠B=∠C =30°，∴∠CAM =90°∴BM=AM =21CM .拓展延伸2.点E 在BC 的垂直平分线上，E 是AB 的中点；连接EC ，∵EA=EC , ∴∠A=∠ACE ，又∵∠A+∠B =90°,∠ACE+∠BCE =90°,∴ ∠B=∠BCE , ∴EC=EB=EA .3.连接MC , ∵MA=MC , ∴ ∠DMC=2∠A =45°，∴ DM=DC ,又∵∠DME=∠DCB , ∴Rt △DCB ≌Rt △DMF , ∴ DB=DF .1.3 线段的垂直平分线（2） 当堂演练1.C2.B3.无数个，垂直平分线4.∵AE=EC , ∴△ABE 的周长=AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC =7.5.⑴略，⑵∠BPC =∠A BP +∠ACP +∠BAC =2∠BAC= 140°. 拓展延伸2.⑴∵AD 平分∠BAC , ∴∠BAD=∠CAD , ∵CE ∥AD , ∴∠BAD=∠AEC , ∠CAD=∠ACE , ∴∠AEC=∠ACE , ∴AC=CE ；⑵∵AD 平分∠BAC ，CF ⊥AD ，易证CO=FO ，∴DC=DF ，∴∠CFD=∠DCF =10°，∴∠BDF =2∠CFD =20°. 1.4 角平分线（1） 当堂演练1.略2.D3.30°4.85.作PC ⊥OA 于C ，∠CEP=∠AOB =30°，则PC =21PE =3，所以PD =3.拓展延伸2.作DE ⊥AB 于E ，则DE=CD ，DE+BD=BC=AC ，易证AC=AE ，所以△BDE 的周长等于AB 的长.3.作DG ⊥AB 于G ，DH ⊥AC 于H ，先证∠DEG=∠DFH ,再证△DEG ≌△DFH ，所以DE ＝DF .4.（1）OE=OD ，（2）结论仍然成立，方法一：在CB 上截取CF=CA ，则△FCO ≌△ACO ，所以OF=OA ，∠DFO=∠CAO=∠EAO ，再证∠AEO=∠FDO ，所以△FDO ≌△AEO ；方法二：作OM ⊥BC 于M ，ON ⊥AB 于N ，证明△DOM ≌△EON .1.4 角平分线（2） 当堂演练1.三边垂直平分线，三条角平分线2.43.B4.25.连接AO ，作OE ⊥AC 于E ，OF ⊥AB 于F ，则OD=OE=OF ，所以△ABC 的面积=21AB·OF +21BC·OD +21AC·OE =21×1.5×16=12.拓展延伸2.AD+BC=AB ，作EF ⊥AB 于F ，连接BE ，则EF=DE=CE ，证明△BEF ≌△BEC ，所以BC=BF .3. ①在AB上截取AE=AC，连接PE，证明PC=PE.②作DE⊥BA交BA的延长线于E，作DF⊥BC于F，证明△ADE≌△CDF得出∠DAE=∠C.③AE和BC的延长线相交于F，证明AE=FE，AF=BD.④证明AE=AD，从而得出BE=CD，再证BE=DE，所以DE=DC.1.5回顾与思考（1）当堂演练1.B2.2，83.（1）可证△BAG≌△∠CAD，∴∠B＝∠C（2）可证Rt△ABE≌Rt△ACF，∴AE＝AF4.（1）AB≠AC. 用反证法，假设AB＝AC，则∠ABC＝∠ACB，与∠ABC≠∠ACB 矛盾，∴AB≠AC（2）5cm5.（1）可证∴△PEB≌△QFC，∴PE＝QF（2）可证△PDE ≌△QDF，∴ED＝FD，∴EF＝2DE，由（1）知，BE＝CF，∴BC＝EF，∴BC＝2DE.拓展延伸4.（1）先证△ADG是等边三角形，∴GE＝GD＋DE＝AD＋DB＝AB＝AC，再运用SAS公理证明△AGE≌△DAC（2）由（1）知AE＝CD，可证CD＝EF，∴AE＝EF，易证∠AEF＝∠ACB ＝60°，∴∠AFE＝60°5.（1）易证AO⊥BC，∠B＝∠C＝45°，∴∠B＝∠BAO＝∠CAO＝∠C＝45°，∴AO＝BO＝CO，易证∠AOF＝∠COG，∴△AOF≌△COG（2）先证△OAD是等边三角形，再证AO＝AE. ∵∠EAG＝180°－∠DAO－∠OAC＝75°，∴∠EGA＝180°－∠EAG－∠E＝75°，∴∠EAG＝∠EGA，∴GE＝AE，∴BC＝2AO＝2AE＝2GE，∴GE与BC之间的数量关系为：BC＝2GE.1.5回顾与思考（2）当堂演练1.C2.D3.（1）作图略（2）证△ABO≌△DCO，∴AO＝DO4.（1）证Rt△BCF≌Rt△DCE，∴CE＝CF，∴BE＝DF（2）由（1）知CE＝CF，又AC平分∠BCD，∴AC垂直平分EF，∴AC是线段EF的垂直平分线5.（1）证BC为AD的中垂线，∴AC＝CD．证∠ACE＝∠ABE，∴AC＝AB，∴AB＝CD（2）先证∠MPC＝∠CAD＝∠CDA，∴∠MPF＝∠CDM．再证∠CME ＝∠BME＝∠PMF，最后由三角形内角和知∠MCD＝∠F.拓展延伸3.（1）可证∠ABD＝∠BCE，∵∠EBC＝∠DAB＝90°，AB＝AC，∴△BAD≌△CBE，∴BE＝AD（2）∵E是AB的中点，∴EB＝EA，∴AE＝AD，又∠BAC＝∠DAC＝45°，由等腰三角形的性质，知AC是线段ED的垂直平分线（3）△BCD是等腰三角（CD＝BD）.理由如下：由（1）得：CE＝BD，由（2）得：CD＝CE，∴CD＝BD，∴△BCD是等腰三角形4.（1）易证△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD，可证△BDF≌△CDA，∴BF＝AC，又由BE平分∠ABC，BE⊥AC，可知△BEA≌△BEC，∴AE＝CE，∴BF＝2CE（2）CE＜BG. 证明：连接CG，∵BD＝CD，H是BC的中点，∴DH垂直平分BC，BG＝CG，在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，∴CE＜CG，∴CE＜BG.第二章一元二次方程2.1花边有多宽（1）当堂演练1.B2.D3.C4.(1)一般形式为x2-9=0,二次项系数、一次项系数、常数项分别为1,0,-9.(2) 一般形式为x2-6x+5 =0,二次项系数、一次项系数、常数项分别为1,-6,5.(3) 一般形式为2x2-x-12 =0,二次项系数、一次项系数、常数项分别为2,-1,-12.5.设井深为x m，据题意得方程（x-3）2+x2=4.拓展延伸3.分五种情况：（1）2a +b =2，a -b =2；（2）2a +b =2，a -b =1；（3）2a +b =2，a -b =0；（4）2a +b =0，a -b =2；（5）2a +b =1，a -b =2.解方程组可得a =34,b =32-;a =1,b =0; a =32,b =32; a =32,b =34-;a =1,b =-1.4. 把y 看成未知数,二次项系数为x +1, 把x 看成末知数,常数项为y 2+y . 2.1花边有多宽（2） 当堂演练1.42.53.D4.C5.设这正数为x ,据题意列方程 x 2-2x -1=0,先列表估算出整数部分为2,再列表估算十分位为4,则这个数为2.4. 拓展延伸 2.D 3.B 2.2配方法(1) 当堂演练1.(1)9,3 (2) 94,32(3) 42m ,2m 2.413.B4.D5.4和-2.拓展延伸2. 将原代数式x 2-4x +27配方为(x -2)2+23,由(x -2)2≥0,可得(x -2)2+23＞0.3.将原方程化为 （x +y ）2+2（x +y ）-15=0,再由配方法可得x +y=3或-5. 2.2配方法(2) 当堂演练1.B2.B3.1,234.55.(1)x =3213±- (2) x 1=2, x 2=-21拓展延伸3. x 1=b -a , x 2=-b -a .4.将原代数式3x 2-6x +5配方为3(x -1)2+2,由(x -1)2≥0,可得3(x -1)2+2≥2.5.将原方程化为 （ab +4）2+（a +b ）2=0,可得ab +4 =0或a +b =0,从而得a =2,b =-2或a =-2,b =2. 2.2配方法(3) 当堂演练1.A2.D3.644.55.10cm拓展延伸3.分析:观察图形可知长方形地砖宽的4倍为20 cm ,故长方形地砖宽为5cm ,而长方形地砖长与宽的和为20 cm, 故长方形地砖长为15cm ,从而得面积为75cm 2,故选A .4.(1)短边为21×[80-(100-2x )]=x -10,则y =50×4x (x -10)+60×[8000-4x (x -10)]=-40x 2+400x +480000,且20≤x ≤25.(2)据题意得-40x 2+400x +480000=469000,解得x =3105±(负值舍去).则x ≈22.32,故投资46.9万元能完成工程任务.2.3公式法 当堂演练1.C2.D3. a =2,b =-7,c =-1，b 2－4ac =574. (1) 72± (2)23-和32-5. 原方程可化为(x 2+y 2)2-(x 2+y 2)-6=0,令x 2+y 2=X ,得X 2-X -6=0,解得两根为3和-2,又因为x 2+y 2>0,故x 2+y 2=3. 拓展延伸3. 先由b 2－4ac =0可得ｍ=5,代回原方程得解为x 1=x 2=21.2.4因式分解法 当堂演练1.x 1=0，x 2=-62. x 1=-1，x 2=33.C4.D5.(1) x 1=-3，x 2=-1 (2) x 1=x 2=1 (3) x 1=8，x 2=54. 拓展延伸3. 由4x 2-9y 2=0可得x =y 23±,代入可得x y y x +=613±. 4. 原方程可化为(2x -a )2-b 2=0,从而得(2x -a +b ) (2x -a -b )=0,解得x 1=2b a +，x 2=2ba -.2.5为什么是0.618（1） 当堂演练1.C2.B3.244.65.设x 小时后军舰追上货船,由题意得1002+(25x )2=(50x )2,解得x =334(负值舍去),此时5x =33200,故军舰航行了33200海里后追上货船. 拓展延伸3. 设经过t 秒后, △PCQ 的面积等于12.6cm 2,则PC =14-t ,QC =2t -8,过Q 点作QM ⊥PC 于M ,由△MCQ ∽△BCA ,得AC CQ AB QM =,即10826-=t QM ,得QM =)4(56-t ,由题意得)4(56)14(21-⋅-t t =12.6,解得t =7,t =11,当t =11时,Q 点运动了22 cm >10+8, Q 点不在AC 上舍去,∴t =7.2.5为什么是0.618（2） 当堂演练1.B2.B3.C4.B5.设涨了x 元,由题意可得(50+x -40)(500-10x )=8000,解得x =10或30,故售价为60元或80元,应进货400个或200个. 拓展延伸3.设第一次批发价为x 元/条， 由题意得（x +0.5）(10+x 100)=150 ,解之得：x =2或2.5, 经检验,都是原方程的根,由于当 x =2.5时，第二次的批发价就是3元/条，而零售价为2.8元，所以x =2.5不合题意，舍去.故第一次的批发价为2元/条.第二次的批发价为2.5元/条,故第二次共批发手链5.21505.0150=+x =60(条),第二次的利润为1505.08.260518.26054-⨯⨯⨯+⨯⨯）（=1.2 (元)，故老板第二次售手链赚了1.2元 2.6回顾与思考 当堂演练1.B2.C3.D4.B5.设第二次成本降低的百分率为x ,可得1000(1-2x )(1-x )=720,解得x =0.1或1.4(舍去),故第二次成本降低的百分率为10%.拓展延伸3.设t 秒时,PQ =10cm ，过Q 作QH ⊥AB 于H ，则AP =3t ,CQ =2t ,PH =16-3t -2t =16-5t ,QH =AD =6,由勾股定理可得(16-5t )2+62=102,解得t =58或524,都合题意.故出发秒后,PQ =10cm .3.1 平行四边形的性质 (1)【当堂演练】1.A 2. D 3. 8 4.C5.⑴ ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，∴∠BAE =∠DCF . ∵BE //DF ，∴∠BEF =∠DFE ， ∴∠AEB =∠CFD . ∴△ABE ≌△CDF（AAS ）.（2）由△ABE ≌△CDF 得BE =DF . ∵BE //DF ，∴四边形BEDF 是平行四边形， ∴∠1=∠2 . 【拓展延伸】4.⑴证∠E=∠F ，⑵ 证DE=AD ，FB=AB ，则CE+CF=CD+AD+CB+AB ，即是ABCD 的周长.5.证明：⑴∵AD ∥BC ，AB =DC ， ∠B =60°，∴∠DCB =∠B =60°，∠DAC =∠ACB .又∵AD =DC ∴∠DAC =∠DCA ， ∴∠DCA =ACB =0602=30°，∴∠B +∠ACB =90°，∴∠BAC =90°， ∴AB ⊥AC .⑵过点A 作AE ⊥BC 于E ，∵∠B =60°，∴∠BAE =30°. 又∵AB =DC =6 ，∴BE =3. ∴AE==∵∠ACB =30°，AB ⊥AC ，∴BC =2AB =12.1()2ABCD S AD BC AE =+梯形1(612)2=+⋅= 3.1 平行四边形的性质(2)【当堂演练】1.B 2.B 3.C 4. ∵∠EAF ＝∠DAF ,∠CFB ＝∠ECF ＝∠ECB ,∵∠DAF =∠ECB , ∴∠EAF =∠CFB , ∴AE ∥CF , ∵AF ∥CE , ∴四边形AFCE 是平行四边形. 5. ⑴略，⑵由（1）可证AD =BC ，且AD ∥BC .【拓展延伸】 3.证明：∵点E 为Rt △ABC 的斜边中点，∴EC ＝EA ＝EB , ∴∠EAC ＝∠ECA ．∵AF ＝CE ，CE ＝EA ∴AF ＝AE ，∴∠AFE ＝∠AEF ．∵∠ACB ＝∠EDB ＝90° ∴FD ∥BC ∴∠AEF ＝∠EAC ∴∠EAC ＝∠ECA ＝∠AFE ＝∠AEF ．∴∠EAF ＝180°－∠AFE －∠AEF ＝180°－∠EAC －∠ECA ＝∠AEC ∴AF ∥CE 又∵AF ＝CE ∴四边形ACEF 是平行四边形.4.延长DE 交AB 于G ，证EG //BF . 又AD=BC ，则△ADE ≌△CBF ，∴DE=FB .又∵AE 是等腰△ADG 顶角的平分线，∴DE=EG=BF .∴EG BF ，四边形EFBG 是平行四边形，∴EF =BG ，∴AB －BC=AB－AD=AB －AG=BG=EF .3.1 平行四边形的性质(3)【当堂演练】1．C 2． D 3．50°, 6 4.易证ED 是△ABC 的中位线，∴AC =2DE ，又EF =2DE ，∴AC =EF ，∴四边形ACEF 是平行四边形，∴AF =CE ，又ED 是BC 的垂直平分线，∴CE =BE ，故AF =BE .5.连接BE ，证四边形ABEC 是平行四边形， ∴CF =BF ，利用中位线定理即可证明．【拓展延伸】3.取BC 的中点H ，连MH ,NH ，由三角形中位线性质可证MH =NH ，知∠NMH= ∠MNH ，由平行线的性质可证∠EGF=∠NMH ，∠EFG=∠MNH ，故∠EGF =∠EFG ，所以△EFG 是等腰三角形.4.连结AC ，取AC 的中点M .连结EM ,FM . 在△ABC 中，EM AB ，同理FMCD ，又AB=CD ，∴EM =FM ，∴∠MEF=∠MFE ，又∵EM ∥AB ，FM ∥CD ，∴∠H=∠MEF ，∠DGF=∠MFE ，∴∠AHF=∠FGD .3.2 特殊平行四边形(1)【当堂演练】1. D 2. B 3. 5cm 4.由题意知GE ＝AG ，DE ＝AD ＝1，∵AB ＝2，BC ＝1， ∴BD =5∴BE = 5-1．设AG 为x ，则G B ＝2-x ．在Rt △GEB 中，GB 2＝BE 2+GE 2 ，(2-x )2=(5-1)2+x 2．解得x ＝215-，因而AG 的长为215-.5.⑴∵AF ∥BC ，AFE DBE ∴∠=∠，∵点E 是AD 的中点，AE DE ∴=，又∵∠AEF =∠DEB ，AEF DEB ∴△≌△． AF DB ∴=，∵AF =DC ，DB DC ∴=,即D 是BC 的中点．⑵四边形ADCF 是矩形.证明: ∵AF ∥DC ,AF DC =，∴四边形ADCF 是平行四边形．∵AB=AC ,D 是BC 的中点，AD BC ∴⊥,即∠ADC=90°,∴四边形ADCF 是矩形．【拓展延伸】5.⑴CE 平分∠BAC ，∠BCE =∠ACE ，又MN ∥BC ，∴∠BCE =∠FEC ，∴∠ACE =∠FEC ，∴OE =OC ，同理OF =OC ，∴EO =FO . ⑵ 当O 是AC 的中点时，四边形AECF 是矩形，∵OE =OF ，OA =OC ，∴四边形AECF 是平行四边形，又OE =OC ，∴AC =EF ，∴平行四边形AECF 是矩形.6.⑴全等.∵AC ∥OB ，∴∠ADO =∠CAE ．∵CE = OB =AO ，∠CEA =∠AOD =90°, ∴△AOD ≌△CEA ．⑵过E 点作EF ⊥OD 于F ，则EF EDAO AD =．由⑴得：AD =AC =OB =10,CE =AO =6.在Rt △ACE 中，由勾股定理得AE =8. ∴ED =AD -AE =10-8=2，∴EF =65．同理FD =85．∴E （325，65）． ∵C （10，6），∴直线CE 的解析式为y =43x -223．3.2 特殊平行四边形(2)【当堂演练】1. C 2. B 3. 5 ,24 4.先证四边形AEDF 是平行四边形，再证AE =ED ，得四边形AEDF 是菱形，故AD ⊥EF . 5.⑴ ∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴∠AEB ＝∠AFD ＝90°． ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABE ＝∠ADF , AB =CD , ∴△ABE ∽△ADF .⑵∵△ABE ∽△ADF ，∴∠BAG ＝∠DAH ．∵AG ＝AH ，∴∠AGH ＝∠AHG ，从而∠AGB ＝∠AHD ，∴△ABG ≌△ADH ， ∴AD AB =．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴四边形ABCD 是菱形．【拓展延伸】4. ⑴连OE ，由ABCD 是平行四边形，DEBF 是菱形知，DO =BO ，DE =BE ，∴OE ⊥BD ，由折叠知，∠DAE=∠DOE=90°，∴四边形ABCD 是矩形.⑵由DEBF 是菱形及折叠知，∠ADE=∠EDB=∠BDF=30°，∴∠ACB=60°， ∴AB ：BC =.5.证明：⑴∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =．∵AE 是BC 边上的高，且CG 是由AE 沿BC 方向平移而成，∴CG AD ⊥． ∴90AEB CGD ∠=∠=°．∵AE CG =，∴Rt Rt ABE CDG △≌△．∴BE DG =．（2）当32BC AB =时，四边形ABFC 是菱形．∵AB GF ∥，AG BF ∥，∴四边形ABFG 是平行四边形．∵Rt ABE △中，60B ∠=°，∴30BAE ∠=°，∴12B E A B=．∵32BE CF BC AB==，，∴12EF AB =，∴AB BF =， ∴四边形ABFG 是菱形．3.2 特殊平行四边形(3)【当堂演练】1. D 2. A 3.16，32 4.证△ABK ≌△ADM5.（1）证明：在△A BC 中， AB =AC ，AD ⊥BC ．∴ ∠BAD =∠DAC ．∵ AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，∴ MAE CAE ∠=∠．∴ ∠DAE =∠DAC +∠CAE =⨯21180°=90°．又 ∵ AD ⊥BC ，CE ⊥AN ，∴ ADC CEA ∠=∠=90°， ∴ 四边形ADCE 为矩形．⑵例如，当AD=12BC 时，四边形ADCE 是正方形．证明：∵ AB=AC ，AD ⊥BC 于D ，∴ DC=12BC ， 又 AD=12BC ，∴ DC=AD ．由（1）四边形ADCE 为矩形，∴ 矩形ADCE 是正方形． 【拓展延伸】4.⑴ 证明：∵∠AEF =90o， ∴∠FEC +∠AEB =90o ．在Rt △ABE 中， ∠AEB +∠BAE =90o ，∴∠BAE =∠FEC .⑵ 证明：∵G ，E 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 的中点，∴AG=GB=BE=EC ，且∠AGE =180o－45o =135o ．又∵CF 是∠DCH 的平分线，∠ECF =90o +45o =135o ．在△AGE 和△ECF 中，∵AG =EC ,∠AGE =∠ECF =135°, ∠GAE =∠FEC , ∴△AGE ≌△ECF .（3）解：由△AGE ≌△ECF ，得AE=EF ．又∵∠AEF =90o，∴△AEF 是等腰直角三角形．由AB=a ，BE =21a ，知AE =25a ， ∴S △AEF =85a 2．5.⑴∵△ABE 是等边三角形，∴BA ＝BE ， ∠ABE ＝60°.∵∠MBN ＝60°，∴∠MBN －∠ABN ＝∠ABE －∠ABN.即∠BMA ＝∠NBE .又∵MB ＝NB ，∴△AMB ≌△ENB （SAS ）.⑵①当M 点落在BD 的中点时，AM ＋CM 的值最小. ②连接CE ，当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小. 理由如下：连接MN .由⑴知,△AMB ≌△ENB ，∴AM ＝EN .∵ ∠MBN ＝60°,MB ＝NB ，∴△BMN 是等边三角形∴BM ＝MN .∴AM ＋BM ＋CM ＝EN ＋MN ＋CM . 根据―两点之间线段最短‖，得EN ＋MN ＋CM ＝EC 最短. ∴当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，即等于EC 的长. ⑶过E 点作EF ⊥BC 交CB 的延长线于F ，∴∠EBF ＝90°－60°＝30°.设正方形的边长为x ，则BF ＝23x ，EF ＝2x .在Rt △EFC 中，∵EF 2＋FC 2＝EC 2，∴（2x ）2＋（23x ＋x ）2＝()213+.解得，x ＝2（舍去负值）∴正方形的边长为2.3.3 回顾与思考【当堂演练】1. A 2. C 3．C 4．证△ADF ≌△BEF ，∴DF =FE ．又DO =OB ，∴OF 为△BDE 的中位线，∴OF =12BE ．5.（1）略；（2）由中位线性质可求得FG =2，又EC =2，∴FG =EC ，又FG ∥EC ，∴四边形CEFG 是平行四边形，∴∠FEB =60°，又BE =AD =1，∴EF =2，∴EF =FG ，∴四边形CEFG 是菱形. 【拓展延伸】3.（1）结论：四边形HIKJ 是平行四边形，理由：证△FGI ≌△FEJ ，得GI =JE ，同理HG =EK ，∴HI =JK ，又HI ∥JK ，∴四边形HIK J 是平行四边形；（2）当F 是AE 的中点时，G 与A 重合，此时AF =2.5，当F 运动使J 与B 重合时，可设EF =x ，则AG =5-2x ，由△AGJ ∽△AEC ，可求得x =1， ∴AF =4，∴AF 长的取值范围是：2.5＜AF ≤4.第四章视图与投影4.1视图（1）当堂演练1.C2.A3.圆柱4.如图4.1-45.如图4.1-5.拓展延伸3.如图4.1—6；4.12个.4.1视图（2）当堂演练1.C2.B3.D4.（1）如图4.1—12（2）6 000cm35. 如图4.1—13.拓展延伸3. 如图4.1—14.4.2太阳光与影子当堂演练1.A2.平行3.6m4.1.5米5.（1）画图略（2）设木杆CD到墙的距离DO＝x，依据题意可列方程：(3－x):4＝x:8，解得，x＝2（米），答略.拓展延伸3.该几何体主视图的面积为10，左视图的面积为8，俯视图的面积为9，因此该几何体外露部分的面积之和为：10×2＋8×2＋9＝45（厘米2）4.（1）金字塔在太阳光下的影子如图中阴影部分所示（2）∵BC＝100，∴CO＝50，∴OE＝90＋50(米)，又∵此时高2米标杆的影长为5米，∴＝，即＝，∴PO＝36＋20≈64(米).4.3太阳光与影子（1）当堂训练1.C2.小强与路灯的距离比小明与路灯的距离近3.（1）画图略（2）AB＝6.4(米)4.如图4.3—4，图中两等腰三角形斜边所在直线的交点即是光源的位置5.如图4.3—5，点O为光源的位置.拓展延伸3.①③④. 如图4.3—6，当AB在A′B′位置时，影长最长，然后慢慢减小，当AB贴地时，最小影长为AB的长度，故①③④正确.4.如图4.3—7，设路灯的高AB＝x米，第一次测量点离灯柱的距离BD＝y米，则有BE＝(y＋1)米，BH＝1＋2＋4＋y＝(7＋y)米，因为BA∥CD∥FG，可知△HGF∽△HBA，△EDC∽△EBA，所以有FG:AB＝HG:HB，CD:AB＝ED:EB，即2:x＝2:(7＋y)①，2:x＝1:(y＋1)②，联立方程①②得，x＝12（米）.4.3太阳光与影子（2）当堂演练1.A2.B3.减小盲区4.（1）画图略（2）17米25.（1）画图略（2）16米.拓展延伸3.（1）存在盲区，如图4.3—15阴影部分所示，（2）建议沿小区四周巡视4.如图4.3—16阴影部分.4.4 回顾与思考当堂演练1.D2.B3.（1）略（2）10m4.（1）画图略（2）画图略，能看到大树的一部分；站到围墙影子的顶端不能看到大树，可画图说明（略）5.（1）底面为等腰直角三角形的直三棱柱，画图略（2）28＋20.拓展延伸3.（1）三视图如图4.4—10（2）选择乙，理由略4.（1）18米（2）3.6米（3）如图4.4—11，∵EF∥AD，∴NE:(NE＋AE)＝1.6:9.6，∴NE＝0.2AE. 同理ME＝0.2BE，∴MN＝ME＋NE＝0.2AB＝3.6（米），∴小华在AB之间走动时，它在两灯光下影长之和不变，是3.6米.第五章 反比例函数5.1 反比例函数 当堂演练1. ①②④是，①k =4, ②k =12-④k =1.2.2Sy x =(x ＞0) 3. ①③④⑥ 4.1 5.(1)18y x =(2) 367(3) 185 拓展延伸3．设y 1=k 1 (x + 3), y 2=22k x ,则y= k 1 (x + 3)- 22k x ，由题意则1222429k k k -=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得12518k k =-⎧⎨=-⎩，y = －5(x + 3)+ 218x ；当x =-1时，y =8.5.2 反比例函数的图象与性质（1） 当堂演练1. A2. A3. m ＜14.D5. (1) k =－8; (2)在第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大; (3)略; (4)点B 在这个函数的图象上点C 不在. 拓展延伸3．（1）m =-2（2）略（3）-8≤y ≤-24．（3，－13）或（－3，13）.5．2反比例函数的图象与性质（2） 当堂演练1． C 2. D 3．C 4.n ＞-3 5. y 2＞y 1 ＞y 3 拓展延伸5.(1) y =2x -(2)-2 (3) y = －x －16.(1) A （-1,0），B （0,1），D （1,0）(2)y =x +1,2y x =7.(1）2y x =,y =2x -3,（2）x ＞0,（3）0＜x ＜2或x ＜-12,（4）点P ′在一次函数y =kx +m 的图像上5．3 反比例函数的应用 当堂演练1.B2. D3.12y x =,填表略.4. 可证△DAE ∽△APB ,DA DE AP AB =,86y x =, 即48y x =(6＜x ≤10)5.（1）因为爆炸前浓度呈直线型增加，所以可设y 与x 的函数关系式为1y k x b =+,由图象知1yk x b =+过点（0，4）与（7，46）∴14746b k b =⎧⎨+=⎩. 解得164k b =⎧⎨=⎩,∴64y x =+(0≤x ≤7).因为爆炸后浓度成反比例下降，所以可设y 与x 的函数关系式为2k y x =.由图象知2ky x =过点（7,46）∴2467k =∴2322k =,∴322y x =( x ＞7). （2）当y =34时，6x +4=34，x =5 .撤离的最长时间为7-5=2(小时).撤离的最小速度为3÷2=1.5(km/h).(3)当y =4时，由322y x =得x=80.5，80.5-7=73.5(小时).∴矿工至少在爆炸后73.5小时能才下井.拓展延伸3.(1)y =4x ,（2）y 1=4a -, y 2=422aa -=-, 又a ＞0, 4a -＜2a -,所以y 1＜y 2. 4.（1）由题意知 k 2 = 1×6 = 6 , ∴反比例函数的解析式为 y = 6x .又B （a ，3）在y = 6x 的图象上，∴a = 2 ∴B （2,3）.∵ 直线y = k 1x + b 过A （1,6），B （2,3）两点， ∴116,2 3.k b k b +=⎧⎨+=⎩ ∴13,9.k b =-⎧⎨=⎩（2）x 的取值范围为1＜ x ＜ 2. （3）当S 梯形OBCD = 12时，PC = PE 设点P 的坐标为（m ，n ），∵BC ∥OD ，CE ⊥OD ，BO = CD ，B （2,3）. ∴C （m ，3），CE = 3，BC = m – 2，OD = m +2.∴当S 梯形OBCD = 2BC ODCE +⨯,即12 =2232m m -++⨯ ∴m = 4 .又mn = 6 ，∴n = 32.即PE = 12CE . ∴PC = PE.5.4 回顾与思考 当堂演练1.＞,一2. 63.(2,1)4.D5. （1）由图知k ＞0，a ＞0．∵ 点A （－1，2－k 2）在x ky =图象上，∴ 2－k 2 =－k ，即 k 2－k－2 =0，解得 k =2（k =-1舍去），得反比例函数为x y 2=．此时A （－1，－2），代人y = ax ，解得a = 2，∴ 正比例函数为y = 2x ．（2）过点B 作BF ⊥x 轴于F ．∵ A （－1，－2）与B 关于原点对称，∴ B （1，2），即OF = 1，BF =2，OB =5．由图易知 Rt △OBF ∽Rt △OCD ，∴ OB : OC = OF : OD ，而OD = OB ∕2=5∕2，∴ OC = 2.5．由 Rt △COE ∽Rt △ODE 得 5)5225()(22=⨯==∆∆OD OC S S ODE COE ，所以△COE 的面积是△ODE 面积的5倍．拓展延伸2.（1）y =4x .（2）设直线AB 的解析式为y =ax +b （a ＞0，b ＞0），则当x =1时，a +b =4即b =4－a .则4ax b x =+，得ax 2 +bx －4=0，即ax 2 +（4－a ）x －4=0，方法1：（x －1）（ax +4）= 0，解得x 1=1或x =－4a ，设直线AB 交y 轴于点C ，则C （0，b ），C (0,4-a )AOB AOC BOC S S S =+ =11415(4)1(4)222a a a -⨯+-⨯=，整理得a 2+15a －16=0，∴a =1或a =－16（舍去）b =4－1=3∴ 直线AB 的解析式为y =x +33.（1）m ＝4.（2）∵点B （a ，b ）在函数y ＝mx 的图像上，∴ab ＝4.又∵AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥y 轴于D 交AC 于M ，∴AC ⊥BD 于M ,∴M （1，b ），D （0，b ），C （1，0）∴BM AM ＝14a b --＝1a ab b --＝1b ， DM MC ＝1b 可证△BAM ∽△DCM ,∠BAC ＝∠DCM ，DC ∥AB（3）设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b∵AB ∥CD ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形或等腰梯形. 1 四边形ABCD 是平行四边形时，2 AC 与BD 互相平分，3 又∵AC ⊥BD ，4 ∴B （2，52）∴422k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得26k b =-⎧⎨=⎩∴AB 的表达式为：y ＝－2x ＋6.②当四边形ABCD 是等腰梯形时， BD =AC ，BD ⊥A Ｃ，∵AC ＝BD ＝4，∴B （4，1） ∴同理可求直线AB 的解析式为y ＝－x ＋5. 由上可知直线AB 为：y ＝－2x ＋6或 y ＝－x ＋5.第六章 频率与概率6. 1 频率与概率（1）当堂演练1.12;2.12 3. 0.85 4.150 5.14拓展延伸1. 不等于2. 不等于3. 增加试验次数4.12 5. C 6.5367. 6;3256. 1 频率与概率（2）当堂演练1. C2. 43.14 4.16 5.38拓展延伸1．（1）相等（2）不相等（3）相当于（2） 2. 13 3.16 4.19 5.126.127.58;5146. 1 频率与概率（3）当堂演练1. B2. B3. D4. 14 5.13拓展延伸1. 相同可能性相同―红1‖,―红2‖，―红1‖,―红2‖2. 12 3.23 4.156. 2 投针试验当堂演练1. 大;大.2.蓝.3.C4. D5. B拓展延伸1. 相同.2. 不同. 树状图和列表法,频率,概率. 3．略 4. 略6. 3 生日相同的概率（1）当堂演练1.12. 16 3.Ｄ 4.Ｄ 5.Ｂ拓展延伸1．大;大. 2.（1）14;（2）78.6. 3 生日相同的概率（2）当堂演练1. B2. D3.A.4. 13 5.（1）18（2）14（3）①③拓展延伸1. 模拟2. ⑴5%; ⑵5% ⑶7×1046. 4 池塘里有多少条鱼当堂演练1.310 2. 12 3.Ａ 4.Ｂ 5.21拓展延伸1．标记，标记，标记. 2.（1）5 54（2）都错. （3）14 3.（1）1500 （2）3159第六章回顾与思考当堂演练1.716;得到的积大于15，则甲获胜，否则乙获胜. 2.（1）1320;（2）110;（3）15拓展延伸1. (1) 可能性(2) 树状(3)列表(4) 很大，稳定,估计.2. （1）35（2）1745 3.（1）不公平（2）略课题学习猜想、证明与拓广(1)当堂演练1.=n ≥2,n 为整数）5.设已知矩形的长为a ，宽为b ,则其周长为2(a +b )，面积为ab ，设所求矩形的长为x, 则宽为（2a +2b -x ）.所以： x (2a +2b -x )=3ab .⊿=2(22)43a b ab +-⨯=22444a b ab +-，当22444a b ab +-≥0时存在，当22444a b ab +-<0时不存在.拓展延伸3. (1)命题n : 点(n , n 2) 是直线y = nx 与双曲线y =x n 3的一个交点(n 是正整数) (2)把 ⎩⎨⎧==2n y nx 代入y = nx ，左边= n 2，右边= n ·n = n 2，∵左边 =右边， ∴点(n ，n 2)在直线上. 同理可证：点(n ，n 2)在双曲线上，∴点(n ，n 2)是直线y = nx 与双曲线y = x n 3的一个交点，命题正确.4.图⑵成立，图⑶不成立，用面积法可证明h =h 1+h 2-h 3． 课题学习：猜想、证明与拓广(2) 当堂演练1.162.73.3,44. 不5．假设已知矩形的长为 a ，宽为 b,则其周长为2(a +b )，面积为ab ，那么所求矩形的周长为12(a +b )，面积为14ab .设所求矩形的长为x , 则宽为（14a +14b -x ）.所以x （14a +14b -x ）=14ab ,整理为24()0x a b x ab -++=, ⊿=2()44a b ab +-⨯=2214a b ab +-，当2214a b ab +-≥0时存在，当2214a b ab +-<0时不存在. 拓展延伸3.(1）设直线MN 为y =kx +b ,由图乙知,直线MN 经过（0,9）,（9,0）∴b =9,9k +b =0解得, k =－1,b =9,∴矩形B 的边长之间的函数关系式为：y =－x +9,（0<x <9）（2）由矩形A 的边长之间的函数关系式为92y x =，。
华东师大版九年级数学下高效课时通训练27.1综合提升训练(PDF版)
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九年级数学上册高效课堂(人教版)22
-如何引导学生从实际问题中找出二次函数关系，特别是涉及优化问题时。
-帮助学生理解二次函数图像与实际问题之间的联系，提高学生的数学建模能力。
-在小组合作中，如何提高学生的讨论效率，确保每个学生都能积极参与并从中受益。
（二）教学设想
为了突破教学重难点，我设想采用以下教学策略和方法：
1.创设情境，激发兴趣：
1.课后习题：请同学们完成课本22.3节的相关习题，特别是涉及到实际问题与二次函数结合的题目，旨在帮助学生巩固二次函数的基本概念和性质，并提高解决实际问题的能力。
2.拓展思考题：设计一道与生活实际相关的二次函数问题，要求学生独立思考并解决。例如：“某公司计划生产两种产品A和B，已知生产A产品需要2小时，生产B产品需要3小时，若每天工作时间为8小时，问如何安排生产计划才能使得总利润最大？”此类问题旨在培养学生的创新思维和解决问题的能力。
4.学会使用数形结合的方法，通过观察函数图像，进一步理解二次函数的性质及其在实际问题中的应用。
（二）过程与方法
在教学过程中，学生将通过以下方式培养其解决问题的能力：
1.通过小组讨论、合作探究的形式，引导学生从实际问题中发现二次函数的关系，提高学生的观察能力和抽象思维能力。
2.通过对实际问题的分析，培养学生将数学知识应用于解决现实问题的能力。
-结合学生的生活实际，设计具有趣味性和挑战性的问题情境，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
-通过问题驱动，引导学生主动探索，发现二次函数与实际问题的联系。
2.分步引导，梯度教学：
-将复杂问题分解为若干个小问题，引导学生逐步解决，降低学习难度。
-设计不同难度的练习题，使学生在解答过程中逐步提高自己的思维能力。
5.总结反馈，提高效果：
九年级数学上册高效课堂(人教版)23
-提问：这些图形有什么共同特点？它们是如何形成的？从而引出中心对称的概念。
2.自主探究，合作交流
-学生独立思考中心对称的定义，尝试用自己的语言描述。
-教师组织学生进行小组讨论，分享各自的理解，共同总结中心对称的定义。
-引导学生通过实际操作，探究中心对称的性质，如对称点、对称中心、对称图形的面积等。
3.深入讲解，突破难点
-教师结合具体实例，详细讲解寻找和判定中心对称的对称中心的方法。
-通过典型例题，引导学生掌握将中心对称知识应用于解决实际问题的一般步骤。
4.实践应用，巩固提高
-设计具有层次性的练习题，让学生在练习中巩固中心对称的知识。
1.学生对中心对称定义的理解：部分学生可能对中心对称的概念理解不深，教师应通过生动的实例和生活情境，帮助学生理解和掌握中心对称的定义。
2.学生在寻找对称中心和判定对称中心方面的困难：教师应引导学生通过观察、实践和思考，掌握对称中心的寻找和判定方法。
3.学生在运用中心对称解决实际问题时的困惑：教师应设计具有针对性和启发性的练习题，引导学生将中心对称知识应用于实际问题解决中，提高学生的应用能力。
-利用中心对称设计一幅美丽的图案，要求图案具有创意和审美价值。
-尝试解决以下问题：已知一个中心对称图形的对称中心和一部分图形，如何画出这个图形的另一半？
3.探究题：
-探究中心对称与其他几何变换（如轴对称、旋转等）之间的关系，并以小组为单位撰写探究报告。
作业要求：
1.作业应在课后及时完成，确保对课堂所学知识的巩固。
（五）总结归纳
1.组织学生回顾本节课所学内容，分享学习心得和收获。
九年级数学上册高效课堂(人教版)22
1.请同学们按时完成作业，保持字迹清晰，书写规范；
2.对于编写实际问题，可以与家长、同学讨论，共同分析，提高问题解决能力；
3.学习心得要真实反映学习过程，敢于提出自己的困惑，教师会及时给予解答；
4.预习下一节课内容时，注意把握重点，做好笔记。
二、学情分析
九年级学生在经过前两年的数学学习，已经掌握了函数的基本概念、一次函数及二次函数y=ax^2的性质。在此基础上，本节课将进一步探讨二次函数y=a(x-h)^2的图象和性质。学生具备了一定的观察、分析、归纳能力，但个别学生对顶点式及对称性的理解可能还不够深入。因此，在教学过程中，应注重引导学生从形象思维向抽象思维过渡，加强对性质的探究，提高学生的数学思维能力。此外，针对学生个体差异，教师要关注每个学生的学习需求，给予针对性的指导，使他们在原有基础上得到提高。
九年级数学上册高效课堂（人教版）22.1.3二次函数y=a(xh)^2的图象和性质（第2课时）教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解二次函数y=a(x-h)^2的标准形式，知道其中a、h对函数图象的影响；
2.能够通过观察函数图象，判断二次函数的开口方向、顶点位置及对称轴；
3.学会利用顶点式及对称性求二次函数的增减区间、最大（小）值；
2.各小组汇报讨论成果，教师点评并给予指导。
（四）课堂练习
1.教师布置一些具有代表性的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
"下面，请同学们完成这些练习题，检验一下你们对二次函数y=a(x-h)^2的性质掌握得如何。"
2.教师巡回指导，解答学生的疑问，针对学生的错误进行个别辅导。
（五）பைடு நூலகம்结归纳
1.教师引导学生回顾本节课所学的内容，总结二次函数y=a(x-h)^2的图象和性质。
九年级数学上册高效课堂(人教版)25.1.2概率优秀教学案例
3.关注小组合作的过程，及时给予指导和评价，激发学生的学习兴趣，提高学生的合作能力。
（四）反思与评价
1.引导学生对学习过程进行反思，让学生总结自己在学习概率知识过程中的优点和不足，提高学生的自我认知能力。
五、案例亮点
1.生活情境导入：通过抛硬币、抽签等生活情境导入新课，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究概率知识，提高学生的学习积极性。
2.小组合作学习：组织学生进行小组讨论，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的团队合作意识和沟通能力，提高学生的动手操作能力和思维能力。
3.问题导向：设计具有启发性和挑战性的问题，引导学生主动探究、独立思考，培养学生的批判性思维和创新意识，提高学生的解决问题的能力。
（二）问题导向
1.引导学生提出问题，激发学生的好奇心和求知欲，培养学生主动探究的学习习惯。
2.设计具有层次性、逻辑性的问题，引导学生由浅入深地理解概率知识，提高学生的思维能力。
3.鼓励学生勇于质疑、善于发现问题，培养学生的批判性思维和创新意识。
（三）小组合作
1.合理划分学习小组，培养学生良好的团队合作意识和沟通能力。
2.组织学生进行小组讨论，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的合作能力和批判性思维。
3.教师巡回指导，及时解答学生的问题，引导学生深入理解概率知识。
（四）总结归纳
1.让学生自主总结本节课所学概率知识，巩固学生的记忆。
2.教师进行归纳总结，强调概率知识在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
3.布置相关的课后练习，巩固学生对概率知识的掌握。
3.通过对概率知识的学习，使学生认识到数学在生活中的重要作用，培养学生的数学应用意识和实践能力。
九年级数学上册高效课堂(人教版)23
（3）加强课堂互动，鼓励学生提问、发表观点，培养学生的表达能力和思辨能力。
（4）运用信息技术，如动态课件、网络资源等，丰富教学手段，提高课堂效果。
4.教学评价：
（1）课堂表现：关注学生在课堂上的参与程度、提问和回答问题的情况，及时给予鼓励和指导。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：掌握关于原点对称点的坐标特点，能够在平面直角坐标系中准确找出对称点的坐标。
2.难点：理解对称的概念，并将对称性质应用于解决实际问题。
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用情境教学法，以生活中的对称现象导入新课，激发学生学习兴趣。
（2）运用直观演示法，通过动态课件或实物模型，让学生直观地感受对称点的坐标变化。
5.课堂练习：设计不同难度的练习题，巩固所学知识，提高学生灵活运用知识的能力。
6.总结反思：对本节课所学知识进行回顾，引导学生总结关于原点对称点的坐标性质。
7.课后作业：布置适量的课后作业，巩固课堂所学知识，提高学生自主学习能力。
8.教学评价：通过课堂表现、作业完成情况等方面，全面评价学生的学习效果，及时给予反馈和指导。
九年级数学上册高效课堂（人教版）23.2.3关于原点对称点的坐标教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解对称的概念，掌握平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特点。
2.能够在平面直角坐标系中判断一点关于原点是否对称，并准确找出对称点的坐标。
3.学会运用关于原点对称点的坐标性质解决实际问题，提高解决问题的能力。
例题：在平面直角坐标系中，若点E(a, b)和点F(-a, -b)关于原点对称，求证：点E和点F的斜率相等。
2023数学课时练九年级全一册
2023 数学课时练九年级全一册一、概述在当前社会中，数学作为一门重要的学科，其在学生教育中的作用不言而喻。
数学的学习不仅可以培养学生的逻辑思维能力和数学素养，还可以培养学生的分析问题和解决问题的能力。
对数学课程的完善和提高，不仅是教育事业的需要，更是培养学生综合素质的需要。
二、数学课程练习的重要性1. 提高学生的数学能力数学课程练习可以帮助学生通过大量的练习，掌握数学知识和技能，提高数学能力。
通过不断的练习，学生可以加深对数学知识的理解，提高解题的速度和准确性。
通过练习，学生还可以巩固数学知识，提高数学能力。
2. 培养学生的解决问题能力数学课程练习可以培养学生的解决问题能力。
通过练习，学生可以了解不同类型的数学问题，学会分析问题和解决问题的方法。
这样可以培养学生的逻辑思维能力和创新能力，提高解决问题的能力。
3. 增强学生的自信心通过不断的数学课程练习，学生可以提高数学成绩，增强自信心。
这样可以激发学生学习数学的兴趣，培养学生对数学的自信心，进而提高学习效果。
三、2023 数学课时练九年级全一册的重要性及意义1. 帮助学生全面复习2023 数学课时练九年级全一册可以帮助学生全面复习数学知识。
通过练习，学生可以回顾和复习九年级全一册的数学知识，弥补知识的漏洞，提高对知识的掌握。
2. 提升学生的应试能力2023 数学课时练九年级全一册中的不同题型和难度可以帮助学生提升应试能力。
通过练习，学生可以熟悉不同类型的数学题目，提高解题的速度和准确性，从而在考试中取得更好的成绩。
3. 培养学生的自主学习能力2023 数学课时练九年级全一册不仅是帮助学生复习知识和提升能力，更重要的是培养学生的自主学习能力。
通过练习，学生可以自主学习和解决问题，培养学生的自学能力，提高学生的学习主动性。
四、如何有效进行2023 数学课时练九年级全一册1. 合理安排练习时间学生在进行数学练习时，要合理安排练习时间。
每天花一定的时间进行数学练习，不仅可以保证学生有足够的时间进行练习，还可以避免因长时间集中精力而导致的疲劳。
【高效课时通】(2015年秋)北师大版数学九年级上册：第一章+特殊平行四边形+检测卷(PDF版)
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效课时通73-75页疑难解答
13、在△ABC中，AB＞BC＞AC，D是AC的中点，过点D作直线l截△ABC，使得的三角形与原三角形相似，这样的直线有（）
A．2条B．3条C．4条D．5条
考点：相似三角形的判定．
分析：根据相似三角形的判定，过点D作AB、AC的平行线与第三边相交可得三角形与原三角形相似，以D为顶点作与∠B相等的角，然后利用两角对应相等，也可以得到三角形与原三角形相似．
解：如图，DE∥AB交BC于点E，△DEC∽△ABC，
DF∥BC交AB于点F，△AFD∽△ABC，
作∠CDG=∠B，又∵∠C=∠C，∴△GDC∽△ABC，
作∠ADH=∠B，又∵∠A=∠A，∴△ADH∽△ABC，
∴共可以作4条．故选C．
点评：本题考查了相似三角形的判定，要注意分作平行线得到相似三角形与作角相等得到相似三角形两种情况作直线．
15、（2004•荆门）如图，AC⊥AB，BE⊥AB，AB=10，AC=2．用一块三角尺进行如下操作：将直角顶点P在线段AB上滑动，一直角边始终经过点C，另一直角边与BE相交于点D，若BD=8，则AP的长为2或8（答对一个给2分）．
考点：勾股定理；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．
分析：由题可知两个直角三角形相似，根据对应线段成比例，列方程即可解答．
解：∵AC⊥AB，BE⊥AB ∴∠A=∠B=90°∴∠APC+∠C=90°
∵∠CPD=90°∴∠APC+∠DPB=90°
∴∠DPB=∠C ∴△CAP∽△PBD
∴2：AP=（10-AP）：8，解得AP=2或8．
点评：本题主要考查了利用相似来求相关线段的长度．
22、（2010•福州）如图，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值；
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点C重合时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．。