第3章习题答案

π j ( − 20π z ) 2
ey
V/m
试求： （1）电磁波的传播方向？ （2）电磁波的相速 v p 、波长 λ 、频率 f 分别是多少？
1
（3）磁场强度 H = ? （4）沿传播方向单位面积流过的平均功率是多少？ 解： （1） 电磁波沿 z 方向传播。 （2）自由空间电磁波的相速 v p = c = 3 × 10 m/s
－
） 不超过 3.8×10 2W/m2。
－
解：把微波炉泄漏的电磁辐射近似看作是正弦均匀平面电磁波，它携带的平均电磁功率密度 为
Sav =
η0
Ee2
=
1 = 2.65 × 10− 3 W/m 2 377
可见，该微波炉的泄漏电场对人体的健康是安全的。
3-5 在自由空间中，有一波长为 12cm 的均匀平面波，当该波进入到某无损耗媒质时，其波长 变为 8cm， 且此时 E = 31.41V / m ，H = 0.125A / m 。 求平面波的频率以及无损耗媒质的 ε r 和 μr 。
με =
2πf c
ε r = 2π (rad/m)
v p = c / ε r = 1.5 × 10 8 (m/s)
λ=
2π = 1 ( m) k
η＝120π
（2）∵ S av =
μr = 60 π (Ω) εr
1 2
−2
1 2 Em = 2η
μ0 ε 0ε r
2 Em = 0.265 × 10− 6
π E ( z , t ) = Em cos(ωt − kz + ϕ ± )e x + Em cos(ωt − kz + ϕ )e y 2
则坡印廷矢量瞬时值
S = E×H = E×
ez × E
η
=
E⋅E
η
ez −
E ⋅ ez
η
E
π⎞ ⎛ 2 2 Em cos 2 ⎜ ωt − kz + ϕ ± ⎟ + Em cos 2 (ωt − kz + ϕ ) 2⎠ ⎝ = ez
解： （1） δ =
− jβ z
e jθ + e − jθ e jθ − e − jθ ex + e y )e − jβ z 2 2j
＝
E1 jθ E (e e x − je jθe y )e − jβ z + 1 (e− jθe x + je − jθe y )e− jβ z 2 2
＝ E 右圆＋E 左圆
3-9 证明任意一圆极化波的坡印廷矢量瞬时值是个常数。 证明：设沿 z 方向传播的圆极化波为
E 1 = E m e − jβ1 z ( e x − j e y )
另一个是左旋圆极化
E 2 = E m e − jβ 2 z ( e x + j e y )
式中 β 2 > β 1 ，试求： （1） z = 0 处合成电场的方向和极化形式。 （2） z = l 处合成电成的方向和极化形式。 解： （1） Ε ＝
∴ E m = 1.00 × 10 (V/m)
E (0, 0) = Em sin
π = 8.66 × 10−3 (V/m) 3
（3） 往右移 Δz = v p Δt = 15 m （4） 在 O 点左边 15 m 处
3-2 一个在自由空间传播的均匀平面波，电场强度的复振幅是
E = 10 − 4 e − j 20π z e x + 10 − 4 e
2
解： f =
c
λ0
=
3 × 108 = 2.5 ×109 Hz 0.12
因为 λ = λ 0 /
μ r ε r ，所以 μ r ε r = (12 / 8) 2 = 9 / 4
2
μ μ ⎛ E ⎞ E 又因为 = 0.4443 = 120 π r ，所以 r = ⎜ ε r ⎝ 120 πH ⎟ H εr ⎠ μ r = 1 ， ε r = 2.25
E 1 = E0 (e x + je y )e jϕ e− jkz
1
E 2 = E0 (e x − je y )e jϕ e − jkz
1
则
E = E1 + E 2
= 2 E0e x e jϕ1 e − jkz
故合成波是线极化波。 （3）设
E 1 = E10 (e x ± je y )e jϕ e− jkz
第 3 章习题答案
3-1 在 μ r = 1 、 ε r = 4 、 σ = 0 的媒质中，有一个均匀平面波，电场强度是
π E ( z , t ) = Em sin(ωt − kz + ) 3
若已知 f = 150 MHz ，波在任意点的平均功率流密度为 0 . 265 μw/m
2
，试求：
（1）该电磁波的波数 k、相速 v p 、波长 λ 、波阻抗η 分别是多少？ （2） t = 0 ， z = 0 的电场 E (0, 0) 为多少？ （3）时间经过 0 . 1μs 之后电场 E (0,0) 值在什么地方？ （4）时间在 t = 0 时刻之前 0.1μs ，电场 E ( 0 , 0 ) 值在什么地方？ 解： （1） k = ω
E 1＋ E 2＝ 2 E m e x
合成场指向 e x 方向，是线极化波。 （2） Ε ＝
E 1＋ E 2
＝Em [(e − jβ1z + e − jβ2 z )e x + j(e − jβ2 z − e − jβ1z )e y ]
＝Em e
−j
β1 + β 2
2
z
[(e
j
β 2 − β1
2
z
+e
~ = 40(1 − 0.3 j) 。求： 电常数 ε r
（1）微波传入牛排的穿透深度 δ ，在牛排内 8mm 处的微波场强是表面处的百分之几？
~ = （2）微波炉中盛牛排的盘子是发泡聚苯乙烯制成的，其等效复介电常数 ε r
1.03(1 − j0.3 × 10 −4 ) 。说明为何用微波加热时，牛排被烧熟而盘子并没有被毁。
（4） S av =
E ⋅ E* 1 Re(E × H * ) = e z = 2.65 × 10−11e z ( W/m 2 ) 2 2η
− jkz
3-3 证明在均匀线性无界无源的理想介质中，不可能存在 E = E 0 e 证明： ∵ ∇ ⋅Ε = − jkE0 e
− jkz − jkz
e z 的均匀平面电磁波。
=−
qμ 0 v
η0
E = − qv μ 0 ε 0 E
qv E c
Fm v = Fe c
故电荷所受磁场力与电场力比值为
3-7 判断下列各式所表示的均匀平面波的传播方向和极化方式 （1） E = jE1e e x + jE1e e y
jkz jkz
（2） H = H1e （3） E = E0 e （4） E = e
η
=
E
η
2 m
ez
3-10 有两个频率相同传播方向也相同的圆极化波，试问： （1）如果旋转方向相同振幅也相同，但初相位不同，其合成波是什么极化？ （2）如果上述三个条件中只是旋转方向相反其他条件都相同，其合成波是什么极化？
4
（3）如果在所述三个条件中只是振幅不相等，其合成波是什么极化波？ 解： （1）设
− jkx
e y + H 2 e − jkx e z （ H 1 ≠ H 2 ≠ 0 ）
− jkz
e x − jE0 e − jkz e y
− jkz
( E0 e x + AE0 e jϕ e y ) （ A 为常数， ϕ ≠ 0, ± π ）
（5） H = (
Em
η
e − jky e x + j
Em
E 1 = E0 (e x ± je y )e jϕ e− jkz
1
E 2 = E0 (e x ± je y )e jϕ e − jkz
2
则
E = E1 + E 2
= E0 (e x ± je y )(e jϕ1 + e jϕ2 )e − jkz
故合成波仍是圆极化波，且旋转方向不变，但振幅变了。 （2）设
1
E 2 = E 20 (e x ± je y )e jϕ e− jkz
1
则
E = E 1 + E 2 = (E10 + E20 )(e x ± je y )e jϕ e − jkz
1
故合成波是圆极化波，且旋转方向不变，但振幅变了。
3-11 在一种对于同一频率的左、右旋圆极化波有不同传播速度的媒质中，两个等幅圆极化波 同时向 z 方向传播，一个右旋圆极化
η
e − jky ez )
（6） E ( z , t ) = Em sin(ωt − kz )e x + Em cos(ωt − kz )e y
3
（7） E ( z , t ) = Em sin(ωt − kz + 解： （1）—z 方向，直线极化。 （2）＋x 方向，直线极化。 （3）＋z 方向，右旋圆极化。 （4）＋z 方向，椭圆极化。 （5）＋y 方向，右旋圆极化。 （6）＋z 方向，左旋圆极化。 （7）＋z 方向，直线极化。
με =
6 π ×109 × 2.5 = 99.3 3 × 108
H ( x, t ) =
π e −0.5 x sin(6 π ×109 t − β x + )e z 3 η π = 0.21e −0.5 x sin(6 π ×109 t − 99.3x + )e z 3
50
(A/m)
6
3-13 微波炉利用磁控管输出的 2.45GHz 频率的微波加热食品，在该频率上，牛排的等效复介