第1讲 小题考法——空间几何体的三视图、表面积与体积及空间位置关系的判定

2×
2＝2，S△ABC＝12×2×2＝2，S△PBA＝S△PAC＝
3×22＝ 4
3，设内切球的半径
为 r，则有1(2＋2＋ 3＋ 3)·r＝2 2，解得 r＝2 2－ 6．
3
3
考点四 空间位置关系的判定问题 判断与空间位置关系有关命题真假的方法
(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判 断．
a∥β ⇒α⊥β． a⊥α
二、二级结论要用好
1．长方体的对角线与其共点的三条棱之间的长度关系 d2＝a2＋b2＋c2；若长方体外接球
半径为 R，则有(2R)2＝a2＋b2＋c2．
2．棱长为 a 的正四面体的内切球半径 r＝ 6a，外接球的半径 R＝ 6a.又正四面体的高
12
4
h＝ 6a，故 r＝1h，R＝3h．
A．①②
B．①③
C．①②③
D．②③
解析 在三棱柱 ABC­A1B1C1 中，平面β截此三棱柱，分别与 AC，BC，B1C1，A1C1 交于
点 E，F，G，H，且直线 CC1∥平面β，则 CC1∥EH∥FG，且 CC1＝EH＝FG，所以四边形
EFGH 是平行四边形，故①正确；∵EF 与 AB 不一定平行，∴平面β与平面 ABB1A1 平行或
则该球的表面积为__81π__． 4
解析 正四棱锥 P­ABCD 的外接球的球心 O 在它的高 PO1 上，则 PO＝AO＝R，PO1＝4，
OO1＝4－R，在 Rt△AO1O 中，AO1＝
2，由勾股定理 R2＝2＋(4－R)2，得 R＝9，∴球的表 4
9 面积为 4π 4 2＝81π．
4
2．(2018·绵阳三诊)已知圆锥的高为 3，侧面积为 20π，若此圆锥内有一个体积为 V 的
D．
2．(2018·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个 数为( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析 由三视图得到空间几何体，如图所示，则 PA⊥平面 ABCD，平面 ABCD 为直角
梯形，PA＝AB＝AD＝2，BC＝1，所以 PA⊥AD，PA⊥AB，PA⊥BC.又 BC⊥AB，AB∩PA＝
(3)套用相应的面积公式或体积公式计算求解．
1．(2018·延边模拟)已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个 半圆组成，则该几何体的体积为( A )
A．6π＋12
B．6π＋24
C．12π＋12
D．24π＋12
解析 由三视图可知，该几何体为一组合体，它由半个圆柱和一个底面是直角三角形的
第 1 讲 小题考法——空间几何体的三视图、表面积 与体积及空间位置关系的判定
一、主干知识要记牢 1．简单几何体的表面积和体积 (1)S 直棱柱侧＝ch(c 为底面的周长，h 为高)． (2)S 正棱锥侧＝1ch′(c 为底面周长，h′为斜高)．
2 (3)S 正棱台侧＝1(c′＋c)h′(c 与 c′分别为上、下底面周长，h′为斜高)．
A，所以 BC⊥平面 PAB，所以 BC⊥PB.在△PCD 中，PD＝2 2，PC＝3，CD＝ 5，所以△
PCD 为锐角三角形．所以侧面中的直角三角形为△PAB，△PAD，△PBC，共 3 个．故选 C．
考点二 空间几何体的表面积与体积
1．求解几何体的表面积与体积的技巧 (1)求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知 几何体的某一面上． (2)求不规则几何体的体积：常用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何 体求解． (3)求表面积：其关键思想是空间问题平面化． 2．根据几何体的三视图求其表面积或体积的步骤 (1)根据给出的三视图还原该几何体的直观图． (2)由三视图中的大小标识确定该几何体的各个度量．
1．(2018·湖北联考)将正方体(如图 1)截去三个三棱锥后，得到(如图 2)所示的几何体， 侧视图的视线方向(如图 2)所示，则该几何体的侧视图为( D )
解析 点 A，B，C，E 在左侧面的投影为正方形，CA 在左侧面的投影为斜向下的正方 形对角线，DE 在左侧面的投影为斜向上的正方形对角线，为不可见轮廓线，综上可知故选
2 (4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式 S 圆柱侧＝2πrl(r 为底面半径，l 为母线长)， S 圆锥侧＝πrl(r 为底面半径，l 为母线长)， S 圆台侧＝π(r′＋r)l(r′，r 分别为上、下底面的半径，l 为母线长)． (5)柱、锥、台体的体积公式 V 柱＝Sh(S 为底面面积，h 为高)， V 锥＝1Sh(S 为底面面积，h 为高)，
C．6＋4 2＋2 3
D．12
解析 由三视图可得，该几何体为如图所示的棱长为 2 的正方体中的四棱锥 A1­BB1D1D，
且底面矩形 BB1D1D 中，BB1＝2，B1D1＝2 2．
1×2×2
故该多面体的表面积为 S＝3× 2
＋
3×(2
2)2＋2×2
2＝6＋2
3＋4
2.选 C．
4
考点三 与球有关的组合体的计算问题
直棱柱组成，故该几何体的体积 V＝1×π×22×3＋1×2×4×3＝6π＋12，故选 A．
2
2
2．(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的
三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( B )
A．90π
B．63π
C．42π
D．36π
解析 方法一 (割补法)如图所示，由几何体的三视图，可知该几何体是一个圆柱被截
(1)线线平行：
a∥b ⇒c∥b
α∩β＝b
a⊥α ⇒a∥b, b⊥α
α∥β α∩γ＝a ⇒a∥b．
β∩γ＝b
(2)线面平行：
a∥b b⊂α ⇒a∥α，
a⊄α
α∥β a⊂β
⇒a∥α，
α⊥β a⊥β ⇒a∥α．
a⊄α
(3)面面平行：
a⊂α，b⊂α a∩b＝O ⇒α∥β，
中正确的是( D )
A．如果 a∥α，α⊥β，那么 a⊥β
B．如果α⊥β，β⊥γ，那么α∥γ
C．如果 a∥b，b∥α，那么 a∥α
D．如果 a∥α，a⊥β，那么α⊥β
解析 由题意，A 中，如果 a∥α，α⊥β，那么 a⊥β或 a∥β或相交，所以不正确；B 中，
如果α⊥β，β⊥γ，那么α∥γ或相交，所以不正确；C 中，如果 a∥b，b∥α，那么 a∥α或 a ⊂α，所以不正确；D 中，如果 a∥α，a⊥β，利用线面垂直的判定定理，可证得α⊥β，故选
去上面虚线部分所得．
将圆柱补全，并将圆柱体从点 A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积
等 于 下 部分 圆 柱 的 体 积加 上 上 部 分 圆 柱体 积 的 1， 所 以 该几 何 体 的 体 积 V ＝ π×32×4＋ 2
π×32×6×1＝63π.故选 B． 2
方法二
(估值法)由题意，知
求解多面体、旋转体与球接、切问题的策略 (1)过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问 题． (2)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或通过画内切、外接的几何体的直 观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．
1．(2018·延边模拟)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，
3 V 台＝1(S＋ SS′＋S′)h(S，S′为上、下底面面积，h 为高)．
3 (6)球的表面积和体积公式 S 球＝4πR2，V 球＝4πR3．
3 2．两类关系的转化 (1)平行关系之间的转化
(2)垂直关系之间的转化
3．证明空间位置关系的方法
已知 a，b，l 是直线，α，β，γ是平面，O 是点，则
3
3＝256π． 81
3．已知在三棱锥 P­ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，BC 的中点为 M 且 PM＝ 2，
当该三棱锥体积最大时，它的内切球半径为__2 2－ 6__．
解析 当 PM⊥平面 ABC 时， 三棱锥体积取得最大值，体积为1×1×2×2× 2＝2 2.S
32
3
△PBC＝12×2
(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结 合有关定理，进行肯定或否定．
(3)借助反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛 盾的命题，进而作出判断．
1．(2018·攀枝花一模)已知α、β、γ表示不同的平面，a、b 表示不同的直线，下列命题
球，则 V 的最大值为 256π ． 81
解析 设圆锥的母线长 l，底面的半径为 r，则πrl＝20π，即 rl＝20，又 l2－r2＝9，解得
l＝5，r＝4. 当球的体积最大时，该球为圆锥的内切球，设内切球的半径为 R，则1(5＋5＋ 2
4
8)×R＝1×3×8，故 2
R＝4，所以 3
Vmax＝43π
1V 2
圆柱<V
几何体<V
圆柱．
又 V 圆柱＝π×32×10＝90π，∴45π<V 几何体<90π．
观察选项可知只有 63π符合．故选 B．
3．(2018·荆州三诊)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三
视图，则该多面体的表面积为( C )
A．8＋4 2
B．12＋4 2＋2 3
相交，故②错误；若三棱柱 ABC­A1B1C1 是直棱柱，则 CC1⊥平面 A1B1C1.∴EH⊥平面 A1B1C1， 又∵EH⊂平面β，∴平面β⊥平面 A1B1C1，故③正确．故选 B．
a∥β，b∥β
a⊥α ⇒α∥β， a⊥β
α∥β ⇒α∥γ． γ∥β
(4)线线垂直：