吉林省延边州2019届高三2月复习质量检测数学(文)试题)(解析版)

吉林省延边州2019届高三2月复习质量检测数学（文）试题）（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集2，3，4，，集合2，，3，，则A. B. C. 2，4， D. 4，【答案】A【解析】解：因为全集2，3，4，，3，，所以，所以，故选：A．求出集合B，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题．2.复数Z满足为虚数单位，则A. 1B.C. 2D.【答案】A【解析】解：由，得，则．故选：A．把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简复数Z，然后由复数模的公式计算得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3.已知，，，则向量、的夹角为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：因为，所以，所以，所以，设向量、的夹角为，则，由，所以，故选：C．由向量数量积的运算得：，由向量的夹角公式得：，由，所以，得解．本题考查了向量的夹角公式及向量数量积的运算，属简单题．4.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中不正确的是A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，则D. 若，，，则【答案】D【解析】解：由m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，知：在A中，若，，，则由面面垂直的判定理得，故A正确；在B中，若，，，则由线面平行的判定定理得，故B正确；在C中，若，，则由面面垂直的判定理得，故C正确；在D中，若，，，则m与n相交、平行或异面，故D错误．故选：D．在A中，由面面垂直的判定理得；在B中，由线面平行的判定定理得；在C中，由面面垂直的判定理得；在D中，m与n相交、平行或异面．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．5.在一次庆教师节联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有A. 120B. 110C. 66D. 54【答案】A【解析】解：设参加参加联欢会的男教师有x人，则参加参加联欢会的女老师有人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，选中男教师的概率为，则，解得，参加联欢会的教师共有．故选：A．设参加参加联欢会的男教师有x人，则参加参加联欢会的女老师有人，则，由此能求出参加联欢会的教师共有多少人．本题考查参加联欢会的教师人数的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.已知，，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，故：，由于，，则：．故选：B．直接利用同角三角函数关系式的应用和诱导公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7.若函数是幂函数，且其图象过点，则函数的单调增区间为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由题意得：，解得：，故，将代入函数的解析式得：，解得：，故，令，解得：，故在递增，故选：B．分别求出m，a的值，求出函数的单调区间即可．本题考查了幂函数的定义以及对数函数的性质，是一道基础题．8.已知等差数列中，，则的值为A. 8B. 6C. 4D. 2【答案】C【解析】解：根据题意，等差数列中，，则，则有，，则；故选：C．根据题意，由等差数列的性质可得，进而有，，相加可得答案．本题考查等差数列的性质以及应用，注意等比数列的各项下标的关系，属于基础题．9.已知，图中程序框图的输出结果为5050，则判断框里可填A.B.C.D.【答案】C【解析】解：模拟程序框图的运行过程，可知：由于当时，应该不满足判断框内的条件，执行循环体，，当时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为5050．可得判断框内的条件为？故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，根据n的取值即可得到判断框内的条件．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的答案来，是基础题．10.下列函数中，即是奇函数，又是R上的单调函数的是A. B.C. D.【答案】B【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，，有，则函数为偶函数，不符合题意；对于B，，有，函数为奇函数，且在R上的单调递减，符合题意；对于C，，有，函数为奇函数，但在R上不是单调函数，不符合题意；对于D，，的定义域为，在R上不是单调函数，不符合题意；故选：B．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与定义域以及单调性，综合即可得答案．本题考查分段函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握分段函数的解析式的形式，属于基础题．11.若双曲线的左右焦点分别为、，线段被抛物线的焦点分成7：5的两段，则此双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：抛物线的焦点，线段被抛物线的焦点分成7：5的两段，，，，．此双曲线的离心率．故选：C．依题意，抛物线的焦点，由可求得，结合双曲线的性质即可求得此双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质与抛物线的简单性质，求得是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．12.已知函数在R上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论错误的是A. 函数在上为单调递增函数B. 是函数的极小值点C. 函数至多有两个零点D. 时，不等式恒成立【答案】D【解析】解：，则，时，，故在递增，A正确；时，，故在递减，故是函数的极小值点，故B正确；若，则有2个零点，若，则函数有1个零点，若，则函数没有零点，故C正确；由在递减，则在递减，由，得时，，故，故，故D错误；故选：D．结合题意求出函数的单调区间以及函数的极值，从而判断结论即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数，，若满足，则______．【答案】2【解析】解：函数，，且，即，．故答案为：2．根据导数的定义与运算法则，列方程求得a的值．本题考查了导数的定义与运算问题，是基础题．14.若变量x，y满足，则的最大值为______．【答案】【解析】解：由得，作出不等式对应的平面区域阴影部分如图：平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时z最大．即．故答案为：．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z的几何意义，进行平移，结合图象得到的最大值．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．15.已知数列的前n项和为，且，，则的值为______．【答案】384【解析】解：数列的前n项和为，且，，则：当时，，：，所以：，即：常数，所以：数列是以为首项，2为公比的等比数列．则：，当时，首项不符合．故：，则：，故答案为：384直接利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用．16.对于函数，若对于任意的a，b，，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是______．【答案】【解析】解：由题意可得对于，b，都恒成立，由于，当，，此时，，，都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．当，在R上是减函数，，同理，，由，可得，解得．当，在R上是增函数，，同理，，由，可得，解得．综上可得，，故实数t的取值范围是，故答案为：因对任意实数a、b、c，都存在以、、为三边长的三角形，则恒成立，将解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k转化为的最小值与的最大值的不等式，进而求出实数k的取值范围．本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．三、解答题（本大题共7小题，共70分）17.如图，在中，，垂足为D，且BD：DC：：3：6．Ⅰ求的大小；Ⅱ设E为AB的中点，已知的面积为15，求CE的长．【答案】解：由已知得，，，又，；设，则，，，由已知得：，解得：，，，，则，，由余弦定理得，则．【解析】Ⅰ在直角三角形ABD与ACD中，利用锐角三角函数定义，根据题意求出与的值，由，利用两角和与差的正切函数公式化简后，将各自的值代入计算求出的值，由为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出的度数；Ⅱ根据比例设，得到，，由三角形的面积等于BC乘以AD的一半求出t的值，得到BD，DC与AD的长，由E为AB中点，求出AE的长，在三角形ACE中，利用余弦定理即可求出CE的长．此题考查了两角和与差的正切函数公式，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．18.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，除1kg收费10元之外，超过1kg的部分，每超出不足1kg，按1kg计算需再收5元．该公司对近60天，每天揽件数量统计如表：某人打算将，，三件礼物随机分成两个包裹寄出，求该人支付的快递费不超过30元的概率；该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用前台工作人员每人每天揽件不超过150件，工资100元，目前前台有工作人员3人，那么，公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有利？【答案】解：由题意，寄出方式有以下三种可能：所有3种可能中，有1种可能快递费未超过30元，根据古典概型概率计算公式，所示概率为．将题目中的天数转化为频率，得若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为元；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为元故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利．【解析】由题意，寄出方式有三种可能，利用列举法求出所有3种可能中，有1种可能快递费未超过30元，根据古典概型概率计算公式，能求出该人支付的快递费不超过30元的概率．将题目中的天数转化为频率，求出若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司平均每日利润的期望值为元；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司平均每日利润的期望值为元，从而得到公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法及应用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为梯形，，，，，E为PC的中点．Ⅰ证明：平面PAD；Ⅱ求三棱锥的体积．【答案】Ⅰ证明：设F为PD的中点，连接EF，FA．为的中位线，，且．又，，，故四边形ABEF为平行四边形，．又平面PAD，平面PAD，平面PAD；Ⅱ解：为PC的中点，三棱锥，又，，为等边三角形．因此，又，，．平面ABCD，三棱锥的体积．三棱锥的体积．【解析】Ⅰ设F为PD的中点，连接EF，FA，则EF为的中位线，结合已知条件可知，四边形ABEF为平行四边形，根据判定定理证明平面PAD；Ⅱ由E为PC的中点，可得三棱锥，利用等体积法结合椎体的体积公式计算即可；本题考查了运用直线与平面的平行的判定定理，解决空间直线平面的位置关系，求解体积，属于中档题．20.已知函数．求函数的单调区间；求证：当时，在上恒成立．【答案】解由于故分当时，在上恒成立，所以在上是单调递减函数分当时，令，得分当x变化时，，随的变化情况如表：由表可知，在上是单调递减函数，在上是单调递增函数分综上所述，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，的单调递减区间为单调递增区间为分当时，分则在上恒成立，分所以在上为增函数，且分即在上恒成立所以当时在上恒成立分【解析】求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；代入a的值，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．21.已知点，过点D作抛物线：的切线l，切点A在第二象限．求切点A的纵坐标；有一离心率为的椭圆恰好经过切点A，设切线l与椭圆的另一交点为点B，记切线l，OA，OB的斜率分别为k，，，若，求椭圆的方程．【答案】解：设切点则有，由切线l的斜率为，得l的方程为，又点在l上所以即所以点A的纵坐标．由得，切线斜率，设，切线方程为，由得又，所以．所以椭圆方程为且过，所以．由得，所以，又因为，即，解得，所以所以椭圆方程为：【解析】设切点则有，求出切线方程，代值计算即可，设出切线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率公式，即可求得结论．本题考查切点的纵坐标和椭圆方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．22.若直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为为参数．若曲线上存在M，N两点关于直线l对称，求实数m的值；若直线与曲线相交于P，Q两点，且，求实数m的取值范围．【答案】解：直线l的极坐标方程为，化为直角坐标方程得．曲线C的参数方程为为参数．化为普通方程得．从而得到圆心为，半径为3．根据题意知圆心在直线l上则，即．设圆心到直线l的距离为d，则．所以解得由点到直线距离公式得：解得或，又直线与圆必须相交，则即解得．综上，满足条件的实数m的取值范围是．【解析】直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换进一步利用对称关系的应用求出结果．利用直线和圆的位置关系的应用建立不等量关系求出参数m的取值范围．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用和垂径定理的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.设函数．解不等式；，使得成立，求实数m的取值范围．【答案】解：不等式，即，即，整理得，解得或，所以不等式的解集为或分，故的最大值为，因为，，即，，所以，即，，解得，所以实数m的取值范围为分【解析】去掉绝对值，求出不等式的解集即可；求出的最大值，问题转化为，解不等式，求出不等式的解集即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。