动态规划(2)
动态规划方法求解线性规划问题
动态规划方法求解线性规划问题引言概述：动态规划是一种常用的优化方法，可以用于求解各种复杂的问题。
在线性规划问题中，动态规划方法也可以发挥重要作用。
本文将介绍动态规划方法在求解线性规划问题中的应用，并分为四个部份进行详细阐述。
一、线性规划问题的定义和特点1.1 线性规划问题的定义线性规划是一种数学建模方法，用于求解一类特殊的优化问题。
它的目标函数和约束条件都是线性的。
1.2 线性规划问题的特点线性规划问题具有可行解的存在性、有界性和最优性。
同时，线性规划问题的解空间是一个凸多面体。
二、动态规划方法的基本思想2.1 动态规划的基本原理动态规划是一种将问题分解为子问题并保存子问题解的方法。
通过递归地求解子问题，最终得到原问题的解。
2.2 动态规划方法的三个基本步骤动态规划方法包括问题的划分、状态的定义和状态转移方程的建立。
通过这三个步骤，可以得到问题的最优解。
2.3 动态规划方法的优点动态规划方法具有时间和空间复杂度低的优点，可以有效地求解大规模的优化问题。
三、动态规划方法在线性规划问题中的应用3.1 线性规划问题的动态规划模型将线性规划问题转化为动态规划模型，可以通过动态规划方法求解。
其中，状态的定义和状态转移方程的建立是关键。
3.2 动态规划方法求解线性规划问题的步骤通过将线性规划问题转化为动态规划模型，可以按照动态规划方法的三个基本步骤求解线性规划问题。
3.3 动态规划方法求解线性规划问题的实例通过一个具体的实例，详细介绍动态规划方法在求解线性规划问题中的具体应用步骤和求解过程。
四、动态规划方法在线性规划问题中的局限性和改进方法4.1 动态规划方法的局限性动态规划方法在求解线性规划问题时，可能会面临状态空间过大、计算复杂度高等问题。
4.2 动态规划方法的改进方法为了解决动态规划方法的局限性，可以采用剪枝策略、状态压缩等方法来提高求解效率。
结论：动态规划方法在求解线性规划问题中具有重要的应用价值。
动态规划-动态规划-美国数学家贝尔曼-动态规划领域
物品
1 2 … j …n
重量（公斤/件） a1 a2 … aj … an
每件使用价值 c1 c2 … cj … cn
类似问题：工厂里的下料问题、运输中的 货物装载问题、人造卫星内的物品装载问题等。
生产决策问题：企业在生产过程中，由于需求 是随时间变化的，因此企业为了获得全年的最佳 生产效益，就要在整个生产过程中逐月或逐季度 地根据库存和需求决定生产计划。
描述状态的变量称为状态变量，它可用一个数、 一组数或一向量（多维情形）来描述，第k阶段 的状态变量常用sk表示，通常一个阶段有若干个 状态。
第k阶段的状态就是该阶段所有始点的集合， 用Sk表示。在第1阶段状态变量s1是确定的，称初 始状态。如引例中:
S1 A，S2 B1, B2, B3，S3 C1,C2,C3，S4 D1, D2
min
4
9
12
决策点为B3
AB3
f2
B3
3 9*
f1(A)=12说明从A到E的最短距离为12，最短路 线的确定可按计算顺序反推而得。即
A→B3→C2→D2→E 上述最短路线问题的计算过程，也可借助于图
形直观的表示出来：
12 2 A4
3
11
B1
7 4
6
93
B2 2
4
96
B3
2 5
6
C1 3
多阶段决策过程特点：
（1）根据过程的特性可以将过程按空 间、时间等标志分为若干个互相联系又互相 区别的阶段。
（2）在每一个阶段都需要做出决策，从 而使整个过程达到最好的效果。
（3）在处理各阶段决策的选取上，不仅只 依赖于当前面临的状态，而且还要注意对以后 的发展。即是从全局考虑解决局部（阶段）的 问题。
动态规划(生产和存储问题)
动态规划（生产和存储问题）一、动态规划法的发展及其研究内容动态规划是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的数学方法。
20世纪50年代初美国数学家R.E.BELLMAN等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理，把多阶段问题转化为一系列的单阶段问题，逐个求解创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。
1957年出版的他的名著《Dynamic Proggramming》，这是该领域的第一本著作。
动态规划问世以来，在经济管理·生产调度·工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。
例如最短路线·库存管理·资源分配·设备更新·组合·排序·装载等问题，采用动态规划法求解比用其他方法更为简便。
二、动态规划法基本概念一个多阶段决策过程最优化问题的动态规划模型通常包括以下几个要素：1．阶段阶段（stage）是对整个过程的自然划分。
通常根据时间顺序或是空间特征来划分阶段，对于与时间，空间无关的“静态”优化问题，可以根据其自然特征，人为的赋予“时段”概念，将静态问题动态化，以便按阶段的顺序解优化问题。
阶段变量一般用k=1.2….n.表示。
1.状态状态(state)是我们所研究的问题（也叫系统）在过个阶段的初始状态或客观条件。
它应能描述过程的特征并且具有无后效性，即当某阶段的状态给定时，这个阶段以后的过程的演变与该阶段以前各阶段的状态无关。
通常还要求状态是可以直接或者是间接可以观测的。
描述状态的变量称为状态变量（State Virable）用s 表示，状态变量的取值集合称为状态集合，用S表示。
变量允许取值的范围称为允许状态集合(set of admissble states).用x(k)表示第k阶段的状态变量，它可以是一个数或者是一个向量。
用X(k)表示第k阶段的允许状态集合。
n 个阶段的决策过程有n+1个状态变量，x(n+1)是x(n)的演变的结果。
多阶段决策问题与动态规划
s1=1000, x1*=0 s2=900, x2*=0 s3=810, s4=576, x4*=576 s5=397, x5*=397 x3*=810
4.4 动态规划的应用(一)
1 求解静态规划问题
某些静态规划问题可用动态规划法来求解。
例 用动态规划法求解 max z=x12.x22.x3 x1+x2+x3=c xi≥0 i=1,2,3
值函数； (6) 写出递推方程和边界条件，建立基本方程； (7) 按照基本方程递推求解。
以上步骤是动态规划法处理问题的基本步骤，其中 的前六步是建立动态规划模型的步骤。
例：机器负荷问题 某种机器可以在高低两种 不同的负荷下进行生产．在高负荷下进行生产 时，产品的年产量g和投入生产的机器数量u的 关系为 g＝8u, 这时机器的年完好率为a=0.7 ．在低负荷下生产时，产品的年产量h和投入 生产的机器数量v的关系为h＝5v, 这时机器的 年完好率为b=0.9．假定开始生产时完好的机 器数量为s1，要求制定一个五年计划,在每年 开始时决定机器在两种不同负荷下生产的数量 ,使五年内产品的总产量最高。
解: (1)按年数划分为5个阶段，k=1,2,3,4,5
(2)取第k年初完好的机器数sk为状态变量, s(31)=取10第00k年投入高负荷的机器数xk为决策变量, 0≤xk≤sk (4)状态转移方程为 sk+1=0.7xk+0.9(sk-xk)=0.9sk-0.2xk
(5)指标函数为Vk,5=∑[8xj+5(sj-xj)]=∑(5sj+3xj)
(6)基本方程为
fk(sk)＝ max {5sj+3xj +fk+1(sk+1)}
k=5,4,3,2,1
转载-夜深人静写算法（二）-动态规划
转载-夜深⼈静写算法（⼆）-动态规划【例题7】给定⼀个长度为n（n <= 1000）的字符串A，求插⼊最少多少个字符使得它变成⼀个回⽂串。
典型的区间模型，回⽂串拥有很明显的⼦结构特征，即当字符串X是⼀个回⽂串时，在X两边各添加⼀个字符'a'后，aXa仍然是⼀个回⽂串，我们⽤d[i][j]来表⽰A[i...j]这个⼦串变成回⽂串所需要添加的最少的字符数，那么对于A[i] == A[j]的情况，很明显有 d[i][j] = d[i+1][j-1] （这⾥需要明确⼀点，当i+1 > j-1时也是有意义的，它代表的是空串，空串也是⼀个回⽂串，所以这种情况下d[i+1][j-1] = 0）；当A[i] != A[j]时，我们将它变成更⼩的⼦问题求解，我们有两种决策：1、在A[j]后⾯添加⼀个字符A[i]；2、在A[i]前⾯添加⼀个字符A[j]；根据两种决策列出状态转移⽅程为：d[i][j] = min{ d[i+1][j], d[i][j-1] } + 1; (每次状态转移，区间长度增加1)空间复杂度O(n^2)，时间复杂度O(n^2)，下⽂会提到将空间复杂度降为O(n)的优化算法。
3、背包模型背包问题是动态规划中⼀个最典型的问题之⼀。
由于⽹上有⾮常详尽的背包讲解，这⾥只将常⽤部分抽出来，具体推导过程详见。
a.0/1背包有N种物品（每种物品1件）和⼀个容量为V的背包。
放⼊第 i 种物品耗费的空间是Ci，得到的价值是Wi。
求解将哪些物品装⼊背包可使价值总和最⼤。
f[i][v]表⽰前i种物品恰好放⼊⼀个容量为v的背包可以获得的最⼤价值。
决策为第i个物品在前i-1个物品放置完毕后，是选择放还是不放，状态转移⽅程为：f[i][v] = max{ f[i-1][v], f[i-1][v - Ci] +Wi }时间复杂度O(VN)，空间复杂度O(VN) （空间复杂度可利⽤滚动数组进⾏优化达到O(V)，下⽂会介绍滚动数组优化）。
bowtie2 原理
bowtie2 原理【一、Bowtie2 概述】Bowtie2 是一款高性能的短读测序比对工具，由刘知远等人于2009年研发并提出。
相较于其前身Bowtie，Bowtie2 在准确性、速度和内存使用方面都有显著的提升。
Bowtie2 适用于多种物种和基因组大小，可以广泛应用于基因表达分析、基因组组装和变异检测等领域。
【二、Bowtie2 原理介绍】1.算法流程：Bowtie2 采用了一种被称为“局部比对”的策略，将输入的短读序列与参考基因组进行比对。
相较于全局比对，局部比对可以在较低的准确率下获得较好的比对结果。
Bowtie2 的算法流程主要包括两个阶段：第一阶段是对参考基因组进行索引，第二阶段是将输入的短读序列与索引后的参考基因组进行比对。
2.内存优化：Bowtie2 通过采用一种称为“Tile Array”的数据结构对参考基因组进行存储和查询。
Tile Array 将参考基因组划分为多个小块（Tiles），并存储每个小块的K-mer信息。
在比对过程中，Bowtie2 可以快速地查找和匹配短读序列中的K-mer，从而提高比对速度。
3.动态规划：Bowtie2 采用动态规划（DP）算法来计算短读序列与参考基因组之间的相似度。
DP 算法可以在全局范围内寻找最优的比对路径，同时考虑mismatch、indel 和parallel reading 等情况。
通过动态规划，Bowtie2 可以在较低的准确率下实现较高的比对效果。
【三、实例分析】以下是一个简单的Bowtie2 比对示例：输入短读序列：ATGCGT参考基因组：ATGACGTBowtie2 比对结果：ATG_ACG_T【四、优势与局限性】优势：1.高准确性：Bowtie2 的动态规划算法可以在较低的准确率下实现较高的比对效果。
2.高速度：Bowtie2 采用内存优化和并行计算技术，显著提高了比对速度。
3.适用范围广泛：Bowtie2 可以应用于多种物种和基因组大小。
运筹学第三版课后习题答案 (2)
运筹学第三版课后习题答案第一章：引论1.1 课后习题习题1a)运筹学是一门应用数学的学科，旨在解决实际问题中的决策和优化问题。
它包括数学模型的建立、问题求解方法的设计等方面。
b)运筹学可以应用于各个领域，如物流管理、生产计划、流程优化等。
它可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。
c)运筹学主要包括线性规划、整数规划、指派问题等方法。
习题2运筹学的应用可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。
它可以帮助制定最佳的生产计划，优化供应链管理，提高运输效率等。
运筹学方法的应用还可以帮助解决紧急情况下的应急调度问题，优化医疗资源分配等。
1.2 课后习题习题1运筹学方法可以应用于各个领域，如物流管理、生产计划、供应链管理、流程优化等。
在物流管理中，可以使用运筹学方法优化仓储和运输的布局，提高货物的运输效率。
在生产计划中，可以使用运筹学方法优化产品的生产数量和生产周期，降低生产成本。
在供应链管理中，可以使用运筹学方法优化订单配送和库存管理，提高供应链的效率。
在流程优化中，可以使用运筹学方法优化业务流程，提高整体效率。
习题2在物流管理中，可以使用运筹学方法优化车辆的调度和路线规划，以提高运输效率和降低成本。
在生产计划中，可以使用运筹学方法优化生产线的安排和产品的生产量，以降低生产成本和提高产能利用率。
在供应链管理中，可以使用运筹学方法优化供应链各个环节的协调和调度，以提高整体效率和减少库存成本。
在流程优化中，可以使用运筹学方法优化业务流程的排布和资源的分配，以提高流程效率和客户满意度。
第二章：线性规划基础2.1 课后习题习题1线性规划是一种数学优化方法，用于解决包含线性约束和线性目标函数的优化问题。
其一般形式为：max c^T*xs.t. Ax <= bx >= 0其中，c是目标函数的系数向量，x是决策变量向量，A是约束矩阵，b是约束向量。
习题2使用线性规划方法可以解决许多实际问题，如生产计划、供应链管理、资源分配等。
Pascal动态规划-复习2
● （5）第三次计算结点为B1，B2，B3，而决 策输出结点可能为C1，C2，C3。仿前计算可 得Bl，B2，B3的决策路径为如下情况。 ● Bl:B1C1费用 12+8=20， 路径:B1+C1+D1+E B2:B2C1费用 6+8=14， 路径:B2+C1+D1+E B3:B2C2费用 12+7=19，路径:B3+C2+D2+E ● 此时也无法定下第一，二，三阶段的城市哪 三个将在整体的最优决策路径上。 ● （6）第四次计算结点为A，决策输出结点可 能为B1，B2，B3。同理可得决策路径为 ● A：AB2，费用5+14=19，路径 A+B2+C1+D1+E。 ● 此时才正式确定每个子问题的结点中，哪一 个结点将在最优费用的路径上。19将是最短 路径的结果 ● 显然这种计算方法，符合最优原理。 ● 子问题的决策中，只对同一城市（结点）比 较优劣。而同一阶段的城市（结点）的优劣 要由下一个阶段去决定。
数塔
● 如下图所示的数塔，从顶部出发，在每一结点可以选择向左下走或是 向右下走，一直走到底层，要求找出一条路径，使路径上的数的和最 大。数塔层数用n表示，1<=n<=100。 ● 【分析】对于这一问题，很容易想到用枚举的方法（深度搜索法）去 解决，即列举出所有路径并记录每一条路径所经过的数字总和。然后 寻找最大的数字总和，这一想法很直观，很容易编程实现。 ● 但是当行数很大时，当三角形的行数等于100时，其枚举量之大是可 想而知的，用枚举法肯定超时，甚至根本不能得到计算结果，必须用 动态规划法来解。
动态规划适合解决什么样的问题
● 准确地说，动态规划不是万能的，它只适于解决一定条件的最优策略 问题。 ● (1)状态必须满足最优化原理； (2)状态必须满足无后效性 ● 1、动态规划的最优化原理是指无论过去的状态和决策如何，对前面 的决策所形成的当前状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。 ● 可以通俗地理解为子问题的局部最优将导致整个问题的全局最优在上 例最短路径问题中，A到E的最优路径上的任一点到终点E的路径也必 然是该点到终点E的一条最优路径，满足最优化原理。 ● 动态规划的无后效性原则指某阶段的状态一旦确定，则此后过程的演 变不再受此前各状态及决策的影响。也就是说，“未来与过去无关”， 当前的状态是此前历史的一个完整总结，此前的历史只能通过当前的 状态去影响过程未来的演变。具体地说，如果一个问题被划分各个阶 段之后，阶段 I 中的状态只能由阶段 I+1 中的状态通过状态转移方程 得来，与其他状态没有关系，特别是与未发生的状态没有关系，这就 是无后效性。
采用二阶动态规划算法的火力分配
Ｆｉｅ ｗｅ ｌ ｔ ｅ ａ ｅ ｏ Ｒａ ｋ Ｄｙ ｍ ｉ ｏ ａ ｍ ｉ ｇ Ａｌ ｒｔ ｒ ｐｏ ｒＡｌｏ ｍ ｎｔＢ ｓ ｄ ｏｎＴｗ — ｎ ｎａ ｃＰｒ ｇｒ ｍ ｎ ｇｏ ｉｈｍ
ｐｒ ｏｂｌ ｍ ，ａｎ ｎｃ ｅａ ｅｃａ ｃ ａ ｉ ｐｅ ｅ ｄ ｉ ｒ ｓ ｌ ｕｌ ｔｏｐ ｗｅ ｌ ｔ ｎ ； ｒ ｅ ｌ ｓｅ ｉ ｉ ｉ ｇ Ｔｗｏ ｒ ｎ ｙ ａ ｉ ｌ ｎ； ｕ ｔ ｒｔ ｒ ｅ ； ｒ ｅ ｎ ｉ ｅ ｃ ｕ ｔ ｒ ｙ ｒ ｓ Ｆｉｅ ｏ ｒ ｌ ｍｅ ｔ Ｔａ ｇ ｔ ｕ ｔ ｒｄ ｖ ｄ ｎ ； ａ ｏ ｃ ａ ｋ ｄ ｎ ｍ ｃ ｐ ａ Ｃｌ ｓｅ ａ ｇ ｔ Ｔａ ｇ ｔｉ ｓｄ ｌ ｓ ｅ
动 态规 划对 群 目标 分配 火 力 ，第二 阶 动态规 划对 各群 内 目标 分 配 火 力， 最后 综合 各 群 的分 配 方案 ，得 出火 力分 配 问
题 的解 。其 仿真 证 明 ，该 方法可 解 决在 来 袭 目标较 多 时动 态规 划 求解 火 力分 配计 算量 太 大的 问题 ，提 高 了计 算速度 。
Ａｂ ｔａ ｔ ｈ ｉｅ ｏ ｒ ａｌ ｔ ｎ ｄ ｐ ｅ ｗｏ ｒ ｎ ｙ ａ ｃ ｐ ｏ ｒ ｍ ｍｉ ｇ ａ ｇ ｒｔ ｍ，ｄ ｖ ｄ ｄ ｃ ｕ ｔ ｒ ｔ ｒ ｕ ｈ ｔ ｒ ｅ ｓ ｒ ｃ ：Ｔ ｅ ｆｒ ｐ ｗｅ ｌ ｍｅ ｔ ａ ｏ ｔｄ ｔ － ａ ｋ ｄ ｎ ｍｉ ｒ ｇ ａ ｏ ｎ ｌ ｏ ｉｈ ｉ ｉ ｅ ｌ ｓｅ ｈ ｏ ｇ ａ ｇ ｔ
ｐ ｏ ｒ ｍｍ ｉ ｇ ｄ ｓｒｂ ｔ ｄ ｆｒ ｐ ｗｅ ｏ ｈ ｌ ｓ ｅ ａ ｇ ｔ ａ ｄ ｔ ｅ ｓ ｃ ｎ ａ ｋ ｄ ｎ ｍｉ ｒ ｇ ａ ｒｇａ ｎ ｉｔｉ ｕ ｅ ｉｅ ｏ ｒｆ ｒｔ ｅ ｃ ｕ ｔ ｒｔ ｒ ｅ ； ｎ ｈ ｅ ｏ ｄ ｒ ｎ ｙ ａ ｃ ｐ ｏ ｒ ｍｍ ｉ ｇ ｄ ｓ ｒｂ ｔ ｄ ｆｒ ｐ ｗｅ ｎ ｉ ｔｉ ｕ ｅ ｉｅ ｏ ｒ ∑ ｌ ｌ ｆ ｒｅ ｃ ａ ｇ ｔｉ ｓｄ ｌ ｓｅ ； ｔｌ ｓ ． ｈ ｌｏ ｍｅ ｔｓ ｈ ｍｅ ｏ ｖ ｒ ｌ ｓ ｅ ｓ ｉ ｔ ｇ ＝ ｔ ｄ ｔ ｃ ｉ ｖ Ｏ ｖ ｎ ｆｆｒ ｐ ｗｅ ｎ ０ ａ ｈ ｔ ｒ ｅ ｎ ｉ ｅ ｃ ｕ ｔ ｒ ａ ａ ｔ ｔ ｅ ａ ｌ ｔ ｎ ｃ ｅ ｆｅ ｅ ｙ ｃ ｕ ｔ ｒｗａ ｎ ｅ ｒ ｅ ｏ ａ ｈ ｅ ｅ Ｓ ｌ ｉ ｇ ｏ ｉｅ ｏ ｒ ａ ａ ｌ ｔ ｎ ｕ ｓｉ ｎ ． ｅ ｓ ｍｕ ａ ｉ ｎ ｓ ｏ ｄ ｔ ａ ｈ ｓ ｍｅ ｈ ｄ ｃ ｕ ｄ ｔ ｏ ｖ ｙ ａ ｃ ｐ ｗｅ ｌ ｔ ｎ ａ ｃ ｌ ｔｏ ｏ ｉ ｌ ｍｅ ｔｑ ｅ ｔｏ ｓ Ｔｈ ｉ ｌ ｔ ｈ ｗｅ ｈ ｔｔ ｉ ｔ ｏ ｏ ｌ ｏ ｓ ｌ ｅ ｄ ｎ ｍｉ ｏ ｒａ ｌ ｍｅ ｔｃ ｌ ｕ ａ ｉ ｎ ｔ ｏ ｂ ｇ ｏ ｏ ｏ ＝
哈尔滨工业大学运筹学教案教案_动态规划2
x (1) 1
* 2
8
管理运筹学课程组 ftp://211.71.69.239
s2 2
f 2 (2) max {g 2 ( x2 ) f 3 ( s3 )}
0 x2 s 2 * x2 (2) 2
3
例1 工业部拟将5台某种设备分配给所属的甲、乙、丙 三个工厂，各工厂若获得这种设备，可以为公司 提供的盈利如表。 问：这五台设备如何分配给各工厂，才能使 公司得到的盈利最大。 解：将问题按工厂分为三 个阶段，甲、乙、丙分别 编号为1，2，3。
工厂 盈利 设备台数 0 1 2 3 4 5 甲 0 3 7 9 12 13 乙 0 5 10 11 11 11 丙 0 4 6 11 12 12
0 x2 s 2 * x2 (0) 0 f 2 (1) max { g 2 ( x2 ) f 3 ( s3 )}
0 x2 s 2
s
2
1
g 2 (0) f 3 (1) 0 4 max max 5 x2 0,1 g 2 (1) f 3 (0) x2 0,15 0
动态规划应用举例 资源分配问题 生产与存贮问题 设备更新问题
2014-9-4
管理运筹学课程组 ftp://211.71.69.239
1
6.3Байду номын сангаас
资源分配问题
将数量一定的一种或若干种资源，恰当地分配 给若干个使用者，使目标函数为最优。 6.3.1一维离散资源分配问题 设有某种原料，总数量为 a ，用于生产 n 种产品。 若分配数量xi用于生产第i 种产品，其收益为gi(xi) 问应如何分配，才能使生产 n 种产品的总收入最大？ MAX =g1(x1)+ g2(x2)+‥ ‥+ gn(xn) s.t. x1+x2+…+ xn=a xi≥0 i=1,2, …,n
动态规划算法的实施步骤
动态规划算法的实施步骤1. 算法介绍动态规划是一种常用的求解最优化问题的方法，它适用于求解具有重叠子问题特性的问题。
动态规划算法通过将问题拆分成小问题，并保存这些小问题的解来减少重复计算，从而提高求解效率。
2. 实施步骤步骤一：定义问题的状态在动态规划算法中，第一步是定义问题的状态。
问题的状态是指问题的子问题中需要求解的变量或指标。
这些状态一般可以用一个或多个变量来表示。
步骤二：确定状态转移方程确定状态转移方程是动态规划算法的核心步骤。
状态转移方程可以根据问题的特点和定义的状态来确定。
状态转移方程描述了问题的当前状态和下一个状态之间的关系。
步骤三：确定初始状态初始状态是指问题的最小规模的子问题的解，也就是边界条件。
初始状态的确定需要根据具体问题来定义。
步骤四：计算最优解根据定义的状态转移方程和初始状态，可以通过自底向上（bottom-up）或自顶向下（top-down）的方式，计算出问题的最优解。
步骤五：返回最优解最后一步是返回计算得到的最优解。
根据问题的特点和需求，最优解可以是一个值，也可以是一组值。
3. 实施示例为了更好地理解动态规划算法的实施步骤，下面以求解斐波那契数列为例进行说明。
步骤一：定义问题的状态在求解斐波那契数列的问题中，状态可以定义为第n个斐波那契数F(n)。
步骤二：确定状态转移方程斐波那契数列的状态转移方程为F(n) = F(n-1) + F(n-2)。
步骤三：确定初始状态斐波那契数列的初始状态可以定义为F(0) = 0，F(1) = 1。
步骤四：计算最优解根据状态转移方程和初始状态，可以通过自底向上的方式计算斐波那契数列的最优解。
def fibonacci(n):if n ==0:return0elif n ==1:return1else:dp = [0] * (n+1)dp[0] =0dp[1] =1for i in range(2, n+1):dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]return dp[n]步骤五：返回最优解在上述示例中，最优解为fibonacci(n)，即第n个斐波那契数。
常见动态规划题目详解
常见动态规划题⽬详解1.爬楼梯题⽬描述：假设你正在爬楼梯。
需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。
你有多少种不同的⽅法可以爬到楼顶呢？注意：给定 n 是⼀个正整数。
⽰例 1：输⼊： 2输出： 2解释：有两种⽅法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶2. 2 阶⽰例 2：输⼊： 3输出： 3解释：有三种⽅法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶2. 1 阶 + 2 阶3. 2 阶 + 1 阶实现代码：class Solution {public:int climbStairs(int n) {vector<int> a(n);a[0] = 1;a[1] = 2;if(n == 1){return 1;}if(n == 2){return 2;}for(int i = 2; i < n;i++){a[i] = a[i - 1] + a[i - 2];}return a[n - 1];}};2.变态跳台阶题⽬描述：⼀只青蛙⼀次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。
求该青蛙跳上⼀个n级的台阶总共有多少种跳法。
实现代码：class Solution {public:int jumpFloorII(int number) {if(number == 0){return 0;}int total = 1;for(int i = 1; i < number; i++){total *= 2;}return total;}};3.n年后⽜的数量题⽬描述：假设农场中的母⽜每年会产⽣⼀头⼩母⽜，并且永远不会死。
第⼀年农场中只有⼀头成熟的母⽜，第⼆年开始，母⽜开始⽣⼩母⽜，每只⼩母⽜三年之后成熟⼜可以⽣⼩母⽜，给定整数N，求N年后母⽜的数量。
实现代码：class solution{ public: int f(int n){ if(n < 1){ return 0; } if(n == 1|| n== 2||n == 3){ return n; } int res = 3; int pre = 2; int prepre = 1; int tmp1=0; int tmp2 = 0; for(int i = 4;i < n;i++){ tmp1 = res; tmp2 = pre; res = pre + prepre; pre = tmp1; prepre = tmp2; } return res; }};4.矩形覆盖题⽬描述：我们可以⽤2*1的⼩矩形横着或者竖着去覆盖更⼤的矩形。
动态规划方法求解线性规划问题
动态规划方法求解线性规划问题标题：动态规划方法求解线性规划问题引言概述：线性规划是一种常见的数学优化问题，动态规划方法是一种常用的求解线性规划问题的方法。
本文将介绍动态规划方法在求解线性规划问题时的具体步骤和应用场景。
一、动态规划方法概述1.1 动态规划的基本思想动态规划是一种将问题分解为多个子问题并分别求解的方法，通过保存子问题的解来避免重复计算，从而提高求解效率。
1.2 动态规划方法的特点动态规划方法具有最优子结构和重叠子问题两个关键特点，可以有效解决具有重叠子问题的优化问题。
1.3 动态规划方法的适合范围动态规划方法适合于具有最优子结构和重叠子问题的优化问题，包括线性规划问题。
二、线性规划问题的定义2.1 线性规划问题的数学表达形式线性规划问题可以用一组线性不等式约束和线性目标函数来表示，目标是找到满足约束条件的最优解。
2.2 线性规划问题的求解方法线性规划问题可以使用各种方法求解，包括单纯形法、内点法和动态规划方法等。
动态规划方法在某些情况下可以提供更高效的求解方案。
2.3 线性规划问题的应用领域线性规划问题在生产调度、资源分配和投资组合等领域有广泛的应用，通过求解最优解可以提高效率和经济效益。
三、动态规划方法求解线性规划问题的步骤3.1 确定状态和状态转移方程将线性规划问题转化为状态和状态转移方程的形式，定义状态表示问题的子结构，建立状态之间的转移关系。
3.2 构建动态规划表格根据状态和状态转移方程，构建动态规划表格，保存子问题的解，以便后续计算使用。
3.3 填充动态规划表格按照动态规划表格的填充顺序，从简单的子问题开始逐步计算，直到得到最优解。
四、动态规划方法求解线性规划问题的案例分析4.1 0-1背包问题将0-1背包问题转化为线性规划问题，并使用动态规划方法求解，得到最优解和最优解对应的物品选择方案。
4.2 生产调度问题将生产调度问题转化为线性规划问题，并使用动态规划方法求解，得到最优的生产计划和最大利润。
动态规划和贪心算法的区别和优劣比较
动态规划和贪心算法的区别和优劣比较动态规划和贪心算法是两种经典的问题求解方法，本文将从定义、区别、优劣比较等方面来详细介绍这两种算法。
一、定义1.动态规划动态规划是一种将复杂问题分解成小问题来解决的算法。
将复杂的问题转化为一系列小问题，然后逐步解决每个小问题，最后将这些小问题的解合成总问题的解。
动态规划一般用于求解最优化问题，如求最长公共子序列、最长递增子序列以及最短路径等。
2.贪心算法贪心算法是一种贪心思想来解决问题的算法。
贪心算法的基本思想是，每步中都采取当前状态下最优的选择，希望从局部最优解的选择中得到全局最优解。
二、区别虽然两种算法的思想都是分解问题，但是两者在实现、时间复杂度等方面有着显著的区别，具体如下：1.实现动态规划算法一般需要用到递归或者记忆化搜索等技巧，其中递归算法通常需要很多空间存储中间结果，因此空间复杂度较高。
而贪心算法通常只需要一次遍历即可求解，因此实现较为简单。
2.时间复杂度动态规划算法的时间复杂度一般较高，通常是指数量级。
而贪心算法的时间复杂度较低，通常是常数级别，因此时间效率较高。
3.解决问题的特点动态规划算法通常解决目标函数具有最优子结构性质的问题，即当前状态下的最优解包含以前状态下的最优解。
而贪心算法通常解决目标函数具有贪心性质的问题，如局部最优解能够推导出全局最优解等。
三、优劣比较动态规划算法和贪心算法在不同情况下具有不同的优劣性，如下所示：1.动态规划的优劣a.优点(1).解决所有具有最优子结构的问题。
(2).可以在时间复杂度为多项式级别，空间复杂度为常数级别的情况下求解问题。
(3).可以考虑状态转移方程中的所有状态，找到最优解。
b.缺点(1).实现比较困难，需要使用递归和记忆化搜索等技巧。
(2).需要很多空间存储中间状态。
(3).如果没有最优子结构，导致算法无法求解。
2.贪心算法的优劣a.优点(1).实现简单，易于理解。
(2).时间复杂度低，适合对实时性要求较高的问题。
《信息学奥赛一本通》：第9章 第2节 动态规划背包问题(C++版)
【参考程序】
#include<cstdio> using namespace std;
const int maxm = 201, maxn = 31;
int m, n;
int w[maxn], c[maxn];
int f[maxn][maxm];
int main()
{
scanf("%d%d",&m, &n);
for (int i=1; i <= n; i++)
//设f(v)表示重量不超过v公斤的最大价值
for (int v = m; v >= w[i]; v--)
if (f[v-w[i]]+c[i]>f[v])
f[v] = f[v-w[i]]+c[i];
printf("%d",f[m]);
// f(m)为最优解
【例9-12】、完全背包问题 【问题描述】
设有n种物品，每种物品有一个重量及一个价值。但每种物品的数量是无限 的，同时有一个背包，最大载重量为M，今从n种物品中选取若干件(同一种物品 可以多次选取)，使其重量的和小于等于M，而价值的和为最大。
【输入格式】
第一行：两个整数，M(背包容量，M<=200)和N(物品数量，N<=30)； 第2..N+1行：每行二个整数Wi,Ci，表示每个物品的重量和价值。 【输出格式】
第九章 动态规划
第二节 背包问题
第二节 背包问题
一、01背包问题 问题：
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用（即体积，下同）是w[i]， 价值是c[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量， 且价值总和最大。 基本思路：
DP入门（2）——DAG上的动态规划
DP⼊门（2）——DAG上的动态规划有向⽆环图（DAG,Directed Acyclic Graph）上的动态规划是学习动态规划的基础。
很多问题都可以转化为DAG上的最长路、最短路或路径计数问题。
⼀、DAG模型【嵌套矩形问题】问题：有n个矩形，每个矩形可以⽤两个整数a、b描述，表⽰它的长和宽。
矩形X(a , b)可以嵌套在矩形Y(c , d)中当且仅当a<c,b<d,或者b<c,a<d(相当于把矩形X旋转90°)。
例如(1,5)可以嵌套在(6, 2)内，但不能嵌套在(3, 4)内。
你的任务是选出尽可能多的矩形排成⼀⾏，使得除了最后⼀个之外，每个矩形都可以嵌套在下⼀个矩形内。
如果有多解，矩形编号的字典序应尽量⼩。
分析：矩形之间的“可嵌套”关系是⼀个典型的⼆元关系（我的理解是两个矩形之间存在关系），⼆元关系可以⽤图来建模。
如果矩形X可以嵌套在矩形Y⾥，就从X到Y连⼀条有向边。
这个有向图必然是⽆环的，因为⼀个矩形⽆法直接或间接地嵌套在⾃⼰内部。
换句话说，它是⼀个DAG。
这样，所要求的便是DAG上的最长路径。
【硬币问题】问题：有n种硬币，⾯值分别为V1, V2, ..., V n，每种都有⽆限多。
给定⾮负整数S，可以选⽤多少个硬币，使得⾯值之和恰好为S？输出硬币数⽬的最⼩值和最⼤值。
1 <= n <= 100, 0 <= S <= 10000, 1 <= V i <= S。
分析：此问题尽管看上去和嵌套矩形问题很不⼀样，但本题的本质也是DAG上的路径问题。
将每种⾯值看作⼀个点，表⽰“还需要凑⾜的⾯值”，则初始状态为S，⽬标状态为0。
若当前在状态 i，每使⽤⼀个硬币 j，状态便转移到i - V j。
补充：这个模型和上⼀题类似，但也有⼀些明显地不同之处：上题并没有确定路径的起点和终点（可以把任意矩形放在第⼀个和最后⼀个），⽽本题的起点必须为S，终点必须为0。
clustalw2比对原理
clustalw2比对原理
ClustalW2是一种广泛使用的多序列比对软件，用于比较两个或多个生物序列的相似性和相关性。
其比对原理主要基于序列的多重比对和进化模型。
ClustalW2的比对过程主要包括以下几个步骤：
1. **序列收集**：首先，从输入序列集合中收集所需的DNA、RNA 或蛋白质序列。
这些序列可以来自不同的物种或同一物种的不同个体。
2. **序列比对**：通过采用多重比对策略，ClustalW2对收集到的序列进行比对。
该软件使用的算法是基于序列间的相似性进行局部和全局比对。
比对过程中常用的算法包括序列校正（Sequence Shuffling）、计分矩阵（Scoring Matrix）和动态规划（Dynamic Programming）。
3. **进化模型**：ClustalW2使用进化模型来估计序列之间的相似性。
这些模型基于序列的进化关系和共同祖先，并使用概率统计方法来计算序列之间的相似性得分。
4. **分析结果**：比对完成后，ClustalW2会生成一个多重序列比对的结果文件，其中包含了序列的相似性矩阵、比对的分数和进化模型
的结果。
这些信息可以用于进一步分析序列的结构、功能和进化关系。
总的来说，ClustalW2通过多重比对和进化模型来计算序列之间的相似性，帮助研究者理解序列之间的关系和演化过程。
它在生物信息学和分子生物学领域中被广泛应用于序列比对和进化分析。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2011-9-16 6
预备工作： 预备工作：
排序！ 排序！
2011-9-16 7
2011-9-16
4
例1: HDOJ_1421 搬寝室
Sample Input 21 13 Sample Output 4
2011-9-16 5
第一感觉： 第一感觉：
根据题目的要求， 根据题目的要求，每次提的两个物 品重量差越小越好， 品重量差越小越好，是不是每次提 的物品一定是重量相邻的物品呢？ 的物品一定是重量相邻的物品呢？
第二感觉： 第二感觉：
对于一次操作， 对于一次操作，显然提的物品重量越接 近越好，是不是可以贪心 贪心呢 近越好，是不是可以贪心呢？ 请思考… 请思考 考虑以下情况： 考虑以下情况： 1 4 5 8 什么结论？ 什么结论？
2011-9-16 8
详细分析： 详细分析：
从最简单的情况考虑： 从最简单的情况考虑： 2个物品选一对，结论显然 个物品选一对， 个物品选一对
结论？ 结论？
2011-9-16 9
本题算法(略 ： 本题算法 略)：
哪位同学做个陈述？
2011-9-16
10
例2:
HDOJ_1058 Humble Numbers
Problem Description
A number whose only prime factors are 2,3,5 or 7 is called a humble number. The sequence 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 25, 27, ... shows the first 20 humble numbers. Write a program to find and print the nth element in this sequence
它或者是直接从源点到该点(只含一 条弧)； 或者是从源点经过Байду номын сангаас求得最 短路径的顶点，再到达该顶点。
2011-9-16
20
迪杰斯特拉算法： 迪杰斯特拉算法：
0）准备工作： 准备工作： 设置辅助数组Dist，其中每个分 量Dist[k] 表示：当前所求得的从源 点到其余各顶点 k 的最短路径。
2011-9-16
起 终 点 点
最短 路径
路径 长度
10 50 30 60
27
V0
V1 无 V2 （V0,V2） V0,V2） V3 (V0,V4,V3) V4 (V0,V4) V5 (V0,V4,V3,V5)
2011-9-16
思考题： 思考题： 1074_Doing Homework
2011-9-16
28
思考：如何自顶向下的分析？ 思考：如何自顶向下的分析？
2011-9-16
13
状态转移方程？ 状态转移方程？
F(n)=min(F(i)*2,F(j)*3,F(k)*5,F(m)*7) (n>i,j,k,m) 特别的： i,j,k,m 只有在本项被选中后才移动
2011-9-16
14
三、经典问题 最短路径问题
V5 100 V0 10 V1 5 V2 50 30 10 60 V4 20 V3
搞定！！！ 搞定！！！
说明:求两点之间的最短路径和 说明: 两点之间的最短路径和 求一个点到其余所有点的最短路 一个点到其余所有点的最短路 径工作量一样。 径工作量一样。
2011-9-16 24
练习： 练习：模拟求最短路径
V5 100 V0 10 V1 5 V2 50 30 10 60 V4 20 V3
2011-9-16 11
思考： 思考：
动态规划的特征体现在 什么地方？ 什么地方？
2011-9-16
12
算法分析：典型的 算法分析：典型的DP!
1 ->? 1 ->2=min(1*2,1*3,1*5,1*7) 1 ->2 ->3=min(2*2,1*3,1*5,1*7)
1 ->2 ->3 -> 4 = min(2*2,2*3,1*5,1*7) 1 ->2 ->3 -> 4 ->5= min(3*2,2*3,1*5,1*7)
2011-9-16 34
记住: 记住 快乐学习～ 快乐学习～ 快乐生活～ 快乐生活～
2011-9-16
35
Welcome to HDOJ
Thank You ~
2011-9-16 36
2011-9-16
16
假设，从源点到顶点 的最短路径 从源点到顶点V1的最短路径 从源点到顶点 是所有最短路径中长度最短者。 路径长度最短的最短路径 最短路径的特点： 最短路径 在这条路径上，必定只含一条弧，并 且这条弧的权值最小。
2011-9-16 17
路径长度次短的最短路径的特点： 路径长度次短的最短路径的特点： • 它只可能有两种情况：或者是直接 从源点到该点(只含一条弧)； • 或者是从源点经过顶点v1，再到达 该顶点(由两条弧组成)。
起 终 点 点
最短 路径
路径 长度
10 50 30 60
15
V0
V1 无 V0,V2） V2 （V0,V2） V3 (V0,V4,V3) V4 (V0,V4) V5 (V0,V4,V3,V5)
2011-9-16
求最短路径的基本思想: 求最短路径的基本思想
按照最短路径的长度 最短路径的长度递增的 最短路径的长度 次序依次求得源点到其余各点的 最短路径。
2011-9-16
29
思考：如何自底向上的计算？ 思考：如何自底向上的计算？
2011-9-16
30
图示说明（假设有3门功课）： 图示说明（假设有3门功课）：
1,2,3
1,2
2,3
1,3
1
2
3
2011-9-16
31
图示说明（假设有4门功课）： 图示说明（假设有4门功课）：
1,2,3,4
1,2,3
ACM程序设计 程序设计
杭州电子科技大学 刘春英 acm@
今天， 今天，
你开始 了吗？ 了吗？
2011-9-16
2
每周一星（12）： 每周一星（12）：
oldsharp
2011-9-16
3
第十三讲
动态规划（ 动态规划（2）
Programming） （Dynamic Programming）
3个物品选一对，… 个物品选一对， 个物品选一对 4个物品选一对？（如何利用前面的知识） 个物品选一对？（如何利用前面的知识） 个物品选一对？（如何利用前面的知识 n个物品选一对，… 个物品选一对， 个物品选一对 n个物品选二对，… 个物品选二对， 个物品选二对 最终问题： 个物品选 个物品选k对 如何？（ ？（n>=2k） 最终问题：n个物品选 对，如何？（ ）
22
2）修改其它各顶点的Dist[k]值。 为什么？ (为什么？) 具体操作：假设求得最短路径的顶点 为u，若 Dist[u]+G.arcs[u][k]<Dist[k] 若 则将 Dist[k] 改为 Dist[u]+G.arcs[u][k]。
2011-9-16
23
3）选出下一条最短路径，重复以 选出下一条最短路径， 上操作， 上操作，直到求出所有的最短路径
终点 V1 V2 V3 V4 V5 Vj
V0到各终点的 到各终点的D 从 V0到各终点的D值 i=1 ∞ 10 ∞ 30 100 V2 i=2 i=3 i=4 i=5
2011-9-16
25
练习： 练习：模拟求最短路径
V5 100 V0 10 V1 5 V2 50 30 10 60 V4 20 V3
1,2,4
1,3,4
2,3,4
1,2
2,3
1,3
1,4
2,4
3,4
1
2
3
4
2011-9-16
32
象不象 数塔？ 数塔？
2011-9-16
33
附录：DP练习题(HDOJ)： 附录：DP练习题(HDOJ)： 练习题(HDOJ)
1003、1074、1087、1159、1160、1176 1024、1025、1058、1069、1081 1157、1158、1466 1078、1080、1114 1203、1294、1227、1223 1500、1501、1502、1503 1505、1506、1510、2059 最短路径：1142 、1385 、1548
21
1）在所有从源点出发的弧中选取一条 ） 权值最小的弧，即为第一条最短路径。 权值最小的弧，即为第一条最短路径。
G.arcs[v0][k ] Dist[k ] = INFINITY
V0和k之间存在弧 V0和k之间不存在弧
其中的最小值即为最短路径的长度。 其中的最小值即为最短路径的长度
2011-9-16
2011-9-16
18
路径长度第三短的路径特点: 路径长度第三短的路径特点 第三短的路径特点 它可能有三种情况：或者是直接从 源点到该点(只含一条弧)； 或者是从 源点经过顶点v1，再到达该顶点(由 两条弧组成)；或者是从源点经过顶 点v2，再到达该顶点。
2011-9-16 19
其余最短路径的特点： 其余最短路径的特点：
终点 V1 V2 V3 V4 V5 Vj
V0到各终点的 到各终点的D 从 V0到各终点的D值 i=1 ∞ 10 ∞ 30 100 V2 60 30 100 V4 90 V3 60 V5 50 i=2 ∞ i=3 ∞ i=4 ∞ i=5 ∞