动态规划2
动态规划的应用举例大全
在0/1背包问题的基础上，通过动态规 划的方式解决多个约束条件下的物品 选择问题。
排程问题
作业车间调度问题
通过动态规划的方式，求解给定一组作业和机器，如何分配作业到机器上，使得 完成时间最早且总等待时间最小。
流水线调度问题
通过动态规划的方式，解决流水线上的工件调度问题，以最小化完成时间和总延 误时间。
应用场景
在基因组测序、进化生物学和生物分类学等领域中，DNA序列比对是关键步骤。通过比对，可以发现物种之间的相 似性和差异，有助于理解生物多样性和进化过程。
优势与限制
动态规划算法在DNA序列比对中具有高效性和准确性，能够处理大规模数据集。然而，对于非常长的序 列，算法可能需要较长时间来运行。
蛋白质结构预测
应用场景
深度学习中的优化算法广泛应用于语音识别、图像处理、 自然语言处理等领域，动态规划可以帮助提高训练效率和 模型的准确性。
自适应控制和系统优化
问题描述
动态规划方法
自适应控制和系统优化是针对动 态系统的优化和控制问题。在这 些问题中，动态规划可以用于求 解最优控制策略和系统参数调整。
通过定义状态转移方程和代价函 数，将自适应控制和系统优化问 题转化为动态规划问题。状态表 示系统的当前状态和参数，代价 函数描述了在不同状态下采取不 同行动的代价。
考虑风险因素和概率
动态规划可以考虑到风险因素和概率，以制定最优的风险评估和管 理策略。
考虑风险承受能力和资本充足率
动态规划可以考虑到风险承受能力和资本充足率，以制定最优的风 险评估和管理策略。
04 动态规划在生物信息学中 的应用
DNA序列比对
算法描述
DNA序列比对是生物信息学中常见的问题，通过动态规划算法可以高效地解决。算法将DNA序列视为字符串，并寻 找两个或多个序列之间的最佳匹配。
动态规划
(3)决策（Decision）
(4)策略（Policy）各阶段的决策组成的一个决策序列称为
一个策略，记为： p x1, x2 ,, xn
从阶段i开始的过程，称为i子过程，它包含阶段i，阶 段i+1，…，阶段n。i子过程的决策序列称为i子策略，记
为 pi xi , xi1,, xn i 1, 2 ,, n 1
,
3 资源分配问题
设有数量为a的资源，计划分配给n 个项目。设xi (i=1, 2, …, n)为分配给第i 个项目的资源量，gi(xi)为第i个项目得到 数量为xi的资源后可提供的收益，问如 何分配资源a，可使总收益为最高？
►静态规划模型
n
max f gi (xi )
i 1
n xi a
1.3 动态规划的基本方程
(1) 动态规划的基本方程(逆序递推公式)
si1
g(si , xi )
，f
* n 1
(
x
n 1
)
0
fi* (si )
opt
v(si , xi )
f
i
* 1
(si
1
)
xi
i n, n 1,,1
(2) 动态规划的基本方程(正序递推公式)
si1 g(si , xi ) ，f1*(s1) opt{v(s1, x1)}
1
6
7
X
2
(
B2
,
C3
)
f
3
(C3
)
1 6
最短路线B2C3D。
C1
5
5
4
B1 5
3
A
C2
3
D
4
6
第6章-动态规划
求解过程
由最后一个阶段的优化开始，按逆向顺序逐步 向前一阶段扩展，并将后一阶段的优化结果带 到扩展后的阶段中去，以此逐步向前推进，直 至得到全过程的优化结果。
f1
(
A)
min
dd11
( (
A, A,
B1) B2 )
ff22((BB12))
min
4 9
9 11
13
d1( A, B3) f2 (B3)
5 13
其最短路线是A→ B1→C2 →D2 →E ，相应的决 策变量是u1(A)=B1
因此，最优策略序列是：
u1(A) =B1, u2(B1)=C2, u3(C2)=D2, u4(D2)=E
5 8 C2 4 6 4
4 C3 2
C3
D1 4 2 6
D2 9 7
D3 5
D4
E1 1 F
E2 2
E5
F
动态规划的逆序解法与顺序解法
逆序（递推）解法：即由最后一段到第一段逐步 求出各点到终点的最短路线,最后求出A点到E点 的最短路线。运用逆序递推方法的好处是可以始 终盯住目标,不致脱离最终目标。 顺序解法：其寻优方向与过程的行进方向相同， 求解时是从第一段开始计算逐段向后推进，计算 后一阶段时要用到前一段求优的结果，最后一段 的计算结果就是全过程的最优结果。
B1
A
4+9=13
d(u1)+f2
B2
B3
f1(s1) u1*
动态规划法
动态规划法动态规划法（Dynamic Programming）是一种常用的算法思想，主要用于解决具有重叠子问题性质和最优子结构性质的问题。
动态规划法通过把问题分解为更小的子问题，并将子问题的解存储起来，以避免重复计算，从而提高了算法的效率。
动态规划法有两个核心概念：状态和状态转移方程。
在动态规划过程中，我们需要定义状态，即问题的子问题解，以及状态之间的关系，即状态转移方程。
动态规划法的一般步骤如下：1. 定义问题的子问题：将问题划分为更小的子问题，并明确子问题的解是什么。
2. 定义状态：将问题的子问题解抽象为状态，即用一个变量或者数组表示子问题的解。
3. 定义状态转移方程：根据子问题的关系，定义状态之间的转移方程，即如何根据已知的子问题解计算出更大的问题的解。
4. 缓存子问题解：为了避免重复计算，我们需要将已经计算过的子问题解存储起来，以便后续使用。
5. 递推计算：通过状态转移方程和缓存的子问题解，逐步计算出更大的问题的解，直到计算出最终的问题解。
动态规划法的关键在于找到正确的状态转移方程和合理的存储子问题解的方式。
有些问题的状态转移方程比较容易找到，比如斐波那契数列，每个数都是前两个数的和；而有些问题的状态转移方程可能比较复杂，需要通过观察问题的特点和具体分析来确定。
动态规划法的时间复杂度通常为O(n)，其中n 表示问题规模。
由于利用了子问题的解，避免了重复计算，因此动态规划法相对于暴力求解法能够大大提高算法的效率。
但是，动态规划法的空间复杂度通常较高，需要存储大量的子问题解，因此在实际应用中需要权衡时间和空间的消耗。
总的来说，动态规划法是一种非常灵活且强大的算法思想，能够解决许多复杂的问题，特别适用于具有重叠子问题性质和最优子结构性质的问题。
通过正确定义状态和状态转移方程，并结合缓存子问题解和递推计算，我们可以高效地求解这类问题，提高算法的效率。
动态规划及其应用(二)
前一颗珠子头标记为m，尾标记为r 后一颗珠子头标记为r，尾标记为n 聚合后的珠子头标记为m，尾标记为n
给定一个项链，求最大能释放多少能量 n <= 100 NOIP 2006 senior p1
能量项链
区间DP
先考虑链上的问题 区间[i,j]无论如何操作，最后聚合出的珠子的标记是固定的 枚举决策分界点k，区间[i,k]和区间[k+1,j]分别聚合成一颗 珠子后，两者再聚合 破环成链 等长复制一遍 DP一遍后取最值
除最后一位外，r的每一位严格小于它右边相邻的那一 位。
f[i][j]表示长度为i且最低位不超过j的数的个数 递推方程 f[i][j] = f[i][j-1] + f[i-1][j-1]
答案统计
Σ f[i][2^k - 1]，i∈[1, w/k ] （下取整） 枚举最高位x，Σ f[w/k][2^k – 1 - x]
条件 A：对于所有的i，g2������ > g2������ −1，且g2������ > g2������ +1； 条件 B：对于所有的i，g2������ < g2������ −1，且g2������ < g2������ +1。
请问，栋栋最多能将多少株花留在原地 1 <= n <= 100,000, 0 <= hi <= 1,000,000 NOIP 2013 senior day2 p2
游戏中，乌龟棋子自动获得起点格子的分数，并且在后续 的爬行中每到达一个格子，就得到该格子相应的分数。 求小明最多能得到多少分 N <= 350， M <= 120 NOIP2010 senior p2
Pascal动态规划-复习2
● （5）第三次计算结点为B1，B2，B3，而决 策输出结点可能为C1，C2，C3。仿前计算可 得Bl，B2，B3的决策路径为如下情况。 ● Bl:B1C1费用 12+8=20， 路径:B1+C1+D1+E B2:B2C1费用 6+8=14， 路径:B2+C1+D1+E B3:B2C2费用 12+7=19，路径:B3+C2+D2+E ● 此时也无法定下第一，二，三阶段的城市哪 三个将在整体的最优决策路径上。 ● （6）第四次计算结点为A，决策输出结点可 能为B1，B2，B3。同理可得决策路径为 ● A：AB2，费用5+14=19，路径 A+B2+C1+D1+E。 ● 此时才正式确定每个子问题的结点中，哪一 个结点将在最优费用的路径上。19将是最短 路径的结果 ● 显然这种计算方法，符合最优原理。 ● 子问题的决策中，只对同一城市（结点）比 较优劣。而同一阶段的城市（结点）的优劣 要由下一个阶段去决定。
数塔
● 如下图所示的数塔，从顶部出发，在每一结点可以选择向左下走或是 向右下走，一直走到底层，要求找出一条路径，使路径上的数的和最 大。数塔层数用n表示，1<=n<=100。 ● 【分析】对于这一问题，很容易想到用枚举的方法（深度搜索法）去 解决，即列举出所有路径并记录每一条路径所经过的数字总和。然后 寻找最大的数字总和，这一想法很直观，很容易编程实现。 ● 但是当行数很大时，当三角形的行数等于100时，其枚举量之大是可 想而知的，用枚举法肯定超时，甚至根本不能得到计算结果，必须用 动态规划法来解。
动态规划适合解决什么样的问题
● 准确地说，动态规划不是万能的，它只适于解决一定条件的最优策略 问题。 ● (1)状态必须满足最优化原理； (2)状态必须满足无后效性 ● 1、动态规划的最优化原理是指无论过去的状态和决策如何，对前面 的决策所形成的当前状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。 ● 可以通俗地理解为子问题的局部最优将导致整个问题的全局最优在上 例最短路径问题中，A到E的最优路径上的任一点到终点E的路径也必 然是该点到终点E的一条最优路径，满足最优化原理。 ● 动态规划的无后效性原则指某阶段的状态一旦确定，则此后过程的演 变不再受此前各状态及决策的影响。也就是说，“未来与过去无关”， 当前的状态是此前历史的一个完整总结，此前的历史只能通过当前的 状态去影响过程未来的演变。具体地说，如果一个问题被划分各个阶 段之后，阶段 I 中的状态只能由阶段 I+1 中的状态通过状态转移方程 得来，与其他状态没有关系，特别是与未发生的状态没有关系，这就 是无后效性。
动态规划问题常见解法
动态规划问题常见解法
动态规划是一种高效解决优化问题的方法。
它通常用于涉及最
优化问题和最短路径的计算中。
下面是一些常见的动态规划问题解法：
1. 背包问题
背包问题是动态规划中的经典问题之一。
其目标是在给定的背
包容量下，选择一些物品放入背包中，使得物品总价值最大。
解决
这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个二维数组来
记录每个物品放入背包时的最大价值，然后逐步计算出最终的结果。
2. 最长公共子序列问题
最长公共子序列问题是寻找两个字符串中最长的公共子序列的
问题。
解决这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个
二维数组来记录两个字符串中每个位置的最长公共子序列的长度。
然后通过递推关系来计算出最终的结果。
3. 矩阵链乘法问题
矩阵链乘法问题是计算一系列矩阵相乘的最佳顺序的问题。
解
决这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个二维数组
来记录每个矩阵相乘时的最小乘法次数，然后逐步计算出最终的结果。
4. 最长递增子序列问题
最长递增子序列问题是寻找一个序列中最长的递增子序列的问题。
解决这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个一
维数组来记录每个位置处的最长递增子序列的长度，然后通过递推
关系来计算出最终的结果。
以上是一些常见的动态规划问题解法。
通过灵活运用这些方法，我们可以更高效地解决优化问题和最短路径计算等相关任务。
采用二阶动态规划算法的火力分配
Ｆｉｅ ｗｅ ｌ ｔ ｅ ａ ｅ ｏ Ｒａ ｋ Ｄｙ ｍ ｉ ｏ ａ ｍ ｉ ｇ Ａｌ ｒｔ ｒ ｐｏ ｒＡｌｏ ｍ ｎｔＢ ｓ ｄ ｏｎＴｗ — ｎ ｎａ ｃＰｒ ｇｒ ｍ ｎ ｇｏ ｉｈｍ
ｐｒ ｏｂｌ ｍ ，ａｎ ｎｃ ｅａ ｅｃａ ｃ ａ ｉ ｐｅ ｅ ｄ ｉ ｒ ｓ ｌ ｕｌ ｔｏｐ ｗｅ ｌ ｔ ｎ ； ｒ ｅ ｌ ｓｅ ｉ ｉ ｉ ｇ Ｔｗｏ ｒ ｎ ｙ ａ ｉ ｌ ｎ； ｕ ｔ ｒｔ ｒ ｅ ； ｒ ｅ ｎ ｉ ｅ ｃ ｕ ｔ ｒ ｙ ｒ ｓ Ｆｉｅ ｏ ｒ ｌ ｍｅ ｔ Ｔａ ｇ ｔ ｕ ｔ ｒｄ ｖ ｄ ｎ ； ａ ｏ ｃ ａ ｋ ｄ ｎ ｍ ｃ ｐ ａ Ｃｌ ｓｅ ａ ｇ ｔ Ｔａ ｇ ｔｉ ｓｄ ｌ ｓ ｅ
动 态规 划对 群 目标 分配 火 力 ，第二 阶 动态规 划对 各群 内 目标 分 配 火 力， 最后 综合 各 群 的分 配 方案 ，得 出火 力分 配 问
题 的解 。其 仿真 证 明 ，该 方法可 解 决在 来 袭 目标较 多 时动 态规 划 求解 火 力分 配计 算量 太 大的 问题 ，提 高 了计 算速度 。
Ａｂ ｔａ ｔ ｈ ｉｅ ｏ ｒ ａｌ ｔ ｎ ｄ ｐ ｅ ｗｏ ｒ ｎ ｙ ａ ｃ ｐ ｏ ｒ ｍ ｍｉ ｇ ａ ｇ ｒｔ ｍ，ｄ ｖ ｄ ｄ ｃ ｕ ｔ ｒ ｔ ｒ ｕ ｈ ｔ ｒ ｅ ｓ ｒ ｃ ：Ｔ ｅ ｆｒ ｐ ｗｅ ｌ ｍｅ ｔ ａ ｏ ｔｄ ｔ － ａ ｋ ｄ ｎ ｍｉ ｒ ｇ ａ ｏ ｎ ｌ ｏ ｉｈ ｉ ｉ ｅ ｌ ｓｅ ｈ ｏ ｇ ａ ｇ ｔ
ｐ ｏ ｒ ｍｍ ｉ ｇ ｄ ｓｒｂ ｔ ｄ ｆｒ ｐ ｗｅ ｏ ｈ ｌ ｓ ｅ ａ ｇ ｔ ａ ｄ ｔ ｅ ｓ ｃ ｎ ａ ｋ ｄ ｎ ｍｉ ｒ ｇ ａ ｒｇａ ｎ ｉｔｉ ｕ ｅ ｉｅ ｏ ｒｆ ｒｔ ｅ ｃ ｕ ｔ ｒｔ ｒ ｅ ； ｎ ｈ ｅ ｏ ｄ ｒ ｎ ｙ ａ ｃ ｐ ｏ ｒ ｍｍ ｉ ｇ ｄ ｓ ｒｂ ｔ ｄ ｆｒ ｐ ｗｅ ｎ ｉ ｔｉ ｕ ｅ ｉｅ ｏ ｒ ∑ ｌ ｌ ｆ ｒｅ ｃ ａ ｇ ｔｉ ｓｄ ｌ ｓｅ ； ｔｌ ｓ ． ｈ ｌｏ ｍｅ ｔｓ ｈ ｍｅ ｏ ｖ ｒ ｌ ｓ ｅ ｓ ｉ ｔ ｇ ＝ ｔ ｄ ｔ ｃ ｉ ｖ Ｏ ｖ ｎ ｆｆｒ ｐ ｗｅ ｎ ０ ａ ｈ ｔ ｒ ｅ ｎ ｉ ｅ ｃ ｕ ｔ ｒ ａ ａ ｔ ｔ ｅ ａ ｌ ｔ ｎ ｃ ｅ ｆｅ ｅ ｙ ｃ ｕ ｔ ｒｗａ ｎ ｅ ｒ ｅ ｏ ａ ｈ ｅ ｅ Ｓ ｌ ｉ ｇ ｏ ｉｅ ｏ ｒ ａ ａ ｌ ｔ ｎ ｕ ｓｉ ｎ ． ｅ ｓ ｍｕ ａ ｉ ｎ ｓ ｏ ｄ ｔ ａ ｈ ｓ ｍｅ ｈ ｄ ｃ ｕ ｄ ｔ ｏ ｖ ｙ ａ ｃ ｐ ｗｅ ｌ ｔ ｎ ａ ｃ ｌ ｔｏ ｏ ｉ ｌ ｍｅ ｔｑ ｅ ｔｏ ｓ Ｔｈ ｉ ｌ ｔ ｈ ｗｅ ｈ ｔｔ ｉ ｔ ｏ ｏ ｌ ｏ ｓ ｌ ｅ ｄ ｎ ｍｉ ｏ ｒａ ｌ ｍｅ ｔｃ ｌ ｕ ａ ｉ ｎ ｔ ｏ ｂ ｇ ｏ ｏ ｏ ＝
哈尔滨工业大学运筹学教案教案_动态规划2
x (1) 1
* 2
8
管理运筹学课程组 ftp://211.71.69.239
s2 2
f 2 (2) max {g 2 ( x2 ) f 3 ( s3 )}
0 x2 s 2 * x2 (2) 2
3
例1 工业部拟将5台某种设备分配给所属的甲、乙、丙 三个工厂，各工厂若获得这种设备，可以为公司 提供的盈利如表。 问：这五台设备如何分配给各工厂，才能使 公司得到的盈利最大。 解：将问题按工厂分为三 个阶段，甲、乙、丙分别 编号为1，2，3。
工厂 盈利 设备台数 0 1 2 3 4 5 甲 0 3 7 9 12 13 乙 0 5 10 11 11 11 丙 0 4 6 11 12 12
0 x2 s 2 * x2 (0) 0 f 2 (1) max { g 2 ( x2 ) f 3 ( s3 )}
0 x2 s 2
s
2
1
g 2 (0) f 3 (1) 0 4 max max 5 x2 0,1 g 2 (1) f 3 (0) x2 0,15 0
动态规划应用举例 资源分配问题 生产与存贮问题 设备更新问题
2014-9-4
管理运筹学课程组 ftp://211.71.69.239
1
6.3Байду номын сангаас
资源分配问题
将数量一定的一种或若干种资源，恰当地分配 给若干个使用者，使目标函数为最优。 6.3.1一维离散资源分配问题 设有某种原料，总数量为 a ，用于生产 n 种产品。 若分配数量xi用于生产第i 种产品，其收益为gi(xi) 问应如何分配，才能使生产 n 种产品的总收入最大？ MAX =g1(x1)+ g2(x2)+‥ ‥+ gn(xn) s.t. x1+x2+…+ xn=a xi≥0 i=1,2, …,n
(完整版)动态规划问题常见解法
(完整版)动态规划问题常见解法动态规划问题常见解法一、背包问题1. 0/1背包问题0/1背包问题是动态规划中的经典问题，解决的是在背包容量固定的情况下，如何选择物品放入背包，使得总价值最大化。
常见的解法有两种：记忆化搜索和动态规划。
记忆化搜索是一种自顶向下的解法，通过保存子问题的解来避免重复计算，提高效率。
动态规划是一种自底向上的解法，通过填表格的方式记录每个子问题的解，最终得到整个问题的最优解。
2. 完全背包问题完全背包问题是在背包容量固定的情况下，如何选择物品放入背包，使得总价值最大化，且每种物品可以选择任意个。
常见的解法有两种：记忆化搜索和动态规划。
记忆化搜索和动态规划的思路和0/1背包问题相似，只是在状态转移方程上有所不同。
二、最长公共子序列问题最长公共子序列问题是指给定两个序列，求它们之间最长的公共子序列的长度。
常见的解法有两种：递归和动态规划。
递归的思路是通过分别考虑两个序列末尾元素是否相等来进一步缩小问题规模，直至问题规模减小到边界情况。
动态规划的思路是通过填表格的方式记录每个子问题的解，最终得到整个问题的最优解。
三、最短路径问题最短路径问题是指在加权有向图或无向图中，求解从一个顶点到另一个顶点的最短路径的问题。
常见的解法有两种：Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
Dijkstra算法是通过维护一个距离表，不断选择距离最短的顶点来更新距离表，直至找到目标顶点。
Bellman-Ford算法是通过进行多次松弛操作，逐步缩小问题规模，直至找到目标顶点或发现负权环。
总结：动态规划是一种解决最优化问题的常见方法，它通过分组子问题、定义状态、确定状态转移方程和填表格的方式，来得到整个问题的最优解。
在解决动态规划问题时，可以采用记忆化搜索或者动态规划的策略，具体选择哪种方法可以根据问题的特点和优化的需要来决定。
动态规划问题常见解法
动态规划问题常见解法动态规划（Dynamic Programming）是一种常用的算法思想，用于解决一类具有重叠子问题性质和最优子结构性质的问题。
动态规划通常通过将问题划分为若干个子问题，并分别求解子问题的最优解，从而得到原问题的最优解。
以下是动态规划问题常见的解法：1. 斐波那契数列斐波那契数列是动态规划问题中的经典案例。
它的递推关系式为 F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中 F(0) = 0，F(1) = 1。
可以使用动态规划的思想来解决斐波那契数列问题，通过保存已经计算过的子问题的结果，避免重复计算。
2. 背包问题背包问题是一个经典的优化问题，可以使用动态规划的方法进行求解。
背包问题包括 0/1 背包问题和完全背包问题。
0/1 背包问题中每个物品要么被选中放入背包，要么不选。
完全背包问题中每个物品可以被选中多次放入背包。
通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以高效地求解背包问题。
3. 最长递增子序列最长递增子序列是一个常见的子序列问题，可以使用动态规划的方法进行求解。
最长递增子序列指的是在一个序列中，找到一个最长的子序列，使得子序列中的元素按照顺序递增。
通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以有效地求解最长递增子序列问题。
4. 最长公共子序列最长公共子序列是一个经典的字符串问题，可以使用动态规划的方法进行求解。
给定两个字符串，找到它们之间最长的公共子序列。
通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以高效地求解最长公共子序列问题。
5. 矩阵链乘法矩阵链乘法是一个求解最优括号化问题的经典案例，可以使用动态规划的方法进行求解。
给定多个矩阵的大小，需要找到一个最优的计算顺序，使得计算乘积的次数最少。
通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以高效地求解矩阵链乘法问题。
以上是动态规划问题的常见解法，通过使用动态规划的思想和方法，可以解决这些问题，并求得最优解。
《动态规划》课件
动态规划具有最优子结构和重叠子问题的特点，能够通过保存已解决的子问题来避免重复计 算。
应用场景
动态规划广泛应用于路线规划、资源分配、序列匹配等问题，能够有效地解决复杂的优化和 决策问题。
动态规划的优缺点
1 优点
动态规划能够提供最优的解决方案，同时能够高效地解决问题，避免重复计算。
2 缺点
使用动态规划解决问题需要设计状态转移方程，对于复杂问题可能需要较高的思维和计 算复杂度。
《动态规划》PPT课件
欢迎来到《动态规划》PPT课件! 本课程将深入探讨动态规划的应用和技巧， 帮助你理解这一强大的问题求解方法。
什么是动态规划
动态规划是一种通过将问题拆分为更小的子问题，并根据子问题的解来求解 原问题的方法。它可以应用于许多领域，包括优化、组合数学和图论。动态规划的特点 Nhomakorabea应用场景
参考资料
• 经典教材 • 学术论文 • 网络资源
确定问题的初始状态和结束条件，作为动态规划的边界。
4
确定优化方向
选择最优的状态转移路径，以达到问题的最优解。
经典问题解析
斐波那契数列
通过动态规划求解斐波那契数列，可以有效 地避免重复计算，提高计算效率。
最长公共子序列
使用动态规划求解最长公共子序列，可以在 时间复杂度为O(n*m)的情况下找到最长公共 子序列。
最优子结构
定义
最优子结构表示一个问题的最优解可以通过子 问题的最优解来构建。
举例
在路径规划问题中，通过求解子问题的最短路 径，可以获得整个路径规划的最短路径。
重叠子问题
定义
重叠子问题表示一个问题的子问题会被重复计 算多次。
举例
在斐波那契数列中，计算每个数字需要依赖于 前两个数字，导致重复计算了相同的子问题。
动态规划(完整)
(3) 决策、决策变量
所谓决策就是确定系统过程发展的方案，
决策的实质是关于状态的选择，是决策者
从给定阶段状态出发对下一阶段状态作出
的选择。
用以描述决策变化的量称之决策变量， 和状态变量一样，决策变量可以用一个数， 一组数或一向量来描述．也可以是状态变量
的函数，记以 xk xk (sk ) ，表示于 k 阶段状
动态规划的分类:
• 离散确定型 • 离散随机型 • 连续确定型 • 连续随机型
动态规划的特点:
• 动态规划没有准确的数学表达式和定义 精确的算法, 它强调具体问题具体分析,
依赖分析者的经验和技巧。
• 与运筹学其他方法有很好的互补关系, 尤 其在处理非线性、离散性问题时有其独 到的特点。
通常多阶段决策过程的发展是通过状态的一系列变换来 实现的。一般情况下，系统在某个阶段的状态转移除与本阶 段的状态和决策有关外，还可能与系统过去经历的状态和决 策有关。因此，问题的求解就比较困难复杂。而适合于用动 态规划方法求解的只是一类特殊的多阶段决策问题，即具有 “无后效性”的多阶段决策过程。
4 6
C1
3
B2 3
4T
3 3
C2
阶段指标函数：
vk sk , xk cskxk
5
A3
B3
过程指标（阶段递推）函数:
fk(sk ) min
vk (sk , xk )
fk
1
(sk
1 )
k= 4
f4 (C1) = 3, f4 (C2) = 4
2
k=3
f3(B1)=min{1+f4(C1)=4*, 4+f4(C2)=8}=4
(6) 指标函数
用来衡量策略或子策略或决策的效果的 某种数量指标，就称为指标函数。它是定义 在全过程或各子过程或各阶段上的确定数量 函数。对不同问题，指标函数可以是诸如费 用、成本、产值、利润、产量、耗量、距离、 时间、效用，等等。
动态规划的基本概念和基本原理
史的一个完整总结。只有具有无后效性的多阶段决策过程
才适合于用动态规划方法求解。
2 A1
3
5 B1 4
7
6
B2
5
3
2
C1 2 5 6
C2 3
2
C3 1
D3
1
E 5 D
2
B3 2
3.决策（decision）
C4 7
当各阶段的状态选定以后可以做出不同的决定（或选择）从
而确定下一个阶段的状态，这种决定（或选择）称为决策。
5.状态转移方程（state transfer equation） 设第k阶段状态为sk，做出的决策为uk（sk），则第k+1阶段 的状态sk+1随之确定，他们之间的关系可以表示为：
sk+1=Tk（sk，uk） 表示从第k阶段到第k+1阶段状态转移规律的方程称为状态 转移方程，它反映了系统状态转移的递推规律。
f3
(C3
)
min
d d
3 3
(C3 (C3
, ,
D1) D2 )
f4 (D1) f4 (D2 )
2 3
min1
5
5
u3（C3）=D1
f3（C4）= d3（C4，D2）+ f4（D2）=7+5=12
u3（C4）=D2
5
C1 2
2
A
1
3
B1 4
7
6
B2
5
3
2
5 6 C2 3 2
C3 1
D1 3
4.策略（policy）
当各个阶段的决策确定以后，各阶段的决策形成一个决策序 列，称此决策序列为一个策略。
动态规划动态转移方程大全
1. 资源问题1-----机器分配问题F[I,j]:=max(f[i-1,k]+w[i,j-k])2. 资源问题2------01背包问题F[I,j]:=max(f[i-1,j-v]+w,f[i-1,j]);3. 线性动态规划1-----朴素最长非降子序列F:=max{f[j]+1}4. 剖分问题1-----石子合并F[i,j]:=min(f[i,k]+f[k+1,j]+sum[i,j]);5. 剖分问题2-----多边形剖分F[I,j]:=min(f[i,k]+f[k,j]+a[k]*a[j]*a);6. 剖分问题3------乘积最大f[i,j]:=max(f[k,j-1]*mult[k,i]);7. 资源问题3-----系统可靠性(完全背包)F[i,j]:=max{f[i-1,j-c*k]*P[I,x]}8. 贪心的动态规划1-----快餐问题F[i,j,k]:=max{f[i-1,j',k']+(T-(j-j')*p1-(k-k')*p2) div p3}9. 贪心的动态规划2-----过河f=min{{f(i-k)} (not stone){f(i-k)}+1} (stone); +贪心压缩状态10. 剖分问题4-----多边形-讨论的动态规划F[i,j]:=max{正正f[I,k]*f[k+1,j];负负g[I,k]*f[k+1,j];正负g[I,k]*f[k+1,j];负正f[I,k]*g[k+1,j];} g为min11. 树型动态规划1-----加分二叉树(从两侧到根结点模型)F[I,j]:=max{f[I,k-1]*f[k+1,j]+c[k]}12. 树型动态规划2-----选课(多叉树转二叉树,自顶向下模型)F[I,j]表示以i为根节点选j门功课得到的最大学分f[i,j]:=max{f[t.l,k]+f[t.r,j-k-1]+c}13. 计数问题1-----砝码称重f[f[0]+1]=f[j]+k*w[j];(1<=i<=n; 1<=j<=f[0]; 1<=k<=a;)14. 递推天地1------核电站问题f[-1]:=1; f[0]:=1;f:=2*f[i-1]-f[i-1-m]15. 递推天地2------数的划分f[i,j]:=f[i-j,j]+f[i-1,j-1];16. 最大子矩阵1-----一最大01子矩阵f[i,j]:=min(f[i-1,j],v[i,j-1],v[i-1,j-1])+1;ans:=maxvalue(f);17. 判定性问题1-----能否被4整除g[1,0]:=true; g[1,1]:=false; g[1,2]:=false; g[1,3]:=false;g[i,j]:=g[i-1,k] and ((k+a[i,p]) mod 4 = j)18. 判定性问题2-----能否被k整除f[I,j±n mod k]:=f[i-1,j]; -k<=j<=k; 1<=i<=n20. 线型动态规划2-----方块消除游戏f[i,i-1,0]:=0f[i,j,k]:=max{f[i,j-1,0]+sqr(len(j)+k),f[i,p,k+len[j]]+f[p+1,j-1,0]}ans:=f[1,m,0]21. 线型动态规划3-----最长公共子串，LCS问题f[i,j]={0(i=0)&(j=0);f[i-1,j-1]+1 (i>0,j>0,x=y[j]);max{f[i,j-1]+f[i-1,j]}} (i>0,j>0,x<>y[j]);22. 最大子矩阵2-----最大带权01子矩阵O(n^2*m)枚举行的起始，压缩进数列，求最大字段和，遇0则清零23. 资源问题4-----装箱问题(判定性01背包)f[j]:=(f[j] or f[j-v]);24. 数字三角形1-----朴素の数字三角形f[i,j]:=max(f[i+1,j]+a[I,j],f[i+1,j+1]+a[i,j]);25. 数字三角形2-----晴天小猪历险记之Hill同一阶段上暴力动态规划if[i,j]:=min(f[i,j-1],f[I,j+1],f[i-1,j],f[i-1,j-1])+a[i,j]26. 双向动态规划1数字三角形3-----小胖办证f[i,j]:=max(f[i-1,j]+a[i,j],f[i,j-1]+a[i,j],f[i,j+1]+a[i,j])27. 数字三角形4-----过河卒//边界初始化f[i,j]:=f[i-1,j]+f[i,j-1];28. 数字三角形5-----朴素的打砖块f[i,j,k]:=max(f[i-1,j-k,p]+sum[i,k],f[i,j,k]);29. 数字三角形6-----优化的打砖块f[I,j,k]:=max{g[i-1,j-k,k-1]+sum[I,k]}30. 线性动态规划3-----打鼹鼠’f:=f[j]+1;(abs(x-x[j])+abs(y-y[j])<=t-t[j])31. 树形动态规划3-----贪吃的九头龙32. 状态压缩动态规划1-----炮兵阵地Max(f[Q*(r+1)+k],g[j]+num[k])If (map and plan[k]=0) and((plan[P] or plan[q]) and plan[k]=0)33. 递推天地3-----情书抄写员f:=f[i-1]+k*f[i-2]34. 递推天地4-----错位排列f:=(i-1)(f[i-2]+f[i-1]);f[n]:=n*f[n-1]+(-1)^(n-2);35. 递推天地5-----直线分平面最大区域数f[n]:=f[n-1]+n:=n*(n+1) div 2 + 1;36. 递推天地6-----折线分平面最大区域数f[n]:=(n-1)(2*n-1)+2*n;37. 递推天地7-----封闭曲线分平面最大区域数f[n]:=f[n-1]+2*(n-1):=sqr(n)-n+2;38 递推天地8-----凸多边形分三角形方法数f[n]:=C(2*n-2,n-1) div n;对于k边形f[k]:=C(2*k-4,k-2) div (k-1); //(k>=3)39 递推天地9-----Catalan数列一般形式1,1,2,5,14,42,132f[n]:=C(2k,k) div (k+1);40 递推天地10-----彩灯布置排列组合中的环形染色问题f[n]:=f[n-1]*(m-2)+f[n-2]*(m-1); (f[1]:=m; f[2]:=m(m-1);41 线性动态规划4-----找数线性扫描sum:=f+g[j];(if sum=Aim then getout; if sum<Aim then inc(i) else inc(j);)42 线性动态规划5-----隐形的翅膀min:=min{abs(w/w[j]-gold)};if w/w[j]<gold then inc(i) else inc(j);43 剖分问题5-----最大奖励f:=max(f,f[j]+(sum[j]-sum)*i-t44 最短路1-----Floydf[i,j]:=max(f[i,j],f[i,k]+f[k,j]);ans[q[i,j,k]]:=ans[q[i,j,k]]+s[i,q[i,j,k]]*s[q[i,j,k],j]/s[i,j];45 剖分问题6-----小H的小屋F[l,m,n]:=f[l-x,m-1,n-k]+S(x,k);46 计数问题2-----陨石的秘密（排列组合中的计数问题）Ans[l1,l2,l3,D]:=f[l1+1,l2,l3,D+1]-f[l1+1,l2,l3,D];F[l1,l2,l3,D]:=Sigma(f[o,p,q,d-1]*f[l1-o,l2-p,l3-q,d]);47 线性动态规划------合唱队形两次F:=max{f[j]+1}＋枚举中央结点48 资源问题------明明的预算方案：加花的动态规划f[i,j]:=max(f[i,j],f[l,j-v-v[fb]-v[fa]]+v*p+v[fb]*p[fb]+v[fa]*p[fa]);49 资源问题-----化工场装箱员50 树形动态规划-----聚会的快乐f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1]);f[i,1]:=sigma(f[t^.son,0]);f[i,0]:=sigma(f[t^.son,3]);51 树形动态规划-----皇宫看守f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1]);f[i,1]:=sigma(f[t^.son,0]);f[i,0]:=sigma(f[t^.son,3]);52 递推天地-----盒子与球f[i,1]:=1;f[i,j]:=j*(f[i-1,j-1]+f[i-1,j]);53 双重动态规划-----有限的基因序列f:=min{f[j]+1}g[c,i,j]:=(g[a,i,j] and g[b,i,j]) or (g[c,i,j])54 最大子矩阵问题-----居住空间f[i,j,k]:=min(min(min(f[i-1,j,k],f[i,j-1,k]),min(f[i,j,k-1],f[i-1,j-1,k])),min(min(f[i-1,j,k-1],f[i,j-1,k-1]),f[i-1,j-1,k-1]))+1;55 线性动态规划------日程安排f:=max{f[j]}+P[I]; (e[j]<s)56 递推天地------组合数C[I,j]:=C[i-1,j]+C[I-1,j-1]C[I,0]:=157 树形动态规划-----有向树k中值问题F[I,r,k]:=max{max{f[l,I,j]+f[r,I,k-j-1]},f[f[l,r,j]+f[r,r,k-j]+w[I,r]]}58 树形动态规划-----CTSC 2001选课F[I,j]:=w(if i∈P)+f[l,k]+f[r,m-k](0≤k≤m)(if l<>0)59 线性动态规划-----多重历史f[i,j]:=sigma{f[i-k,j-1]}(if checked)60 背包问题(+-1背包问题+回溯)-----CEOI1998 Substractf[i,j]:=f[i-1,j-a] or f[i-1,j+a]61 线性动态规划(字符串)-----NOI 2000 古城之谜f[i,1,1]:=min{f[i+length(s),2,1],f[i+length(s),1,1]+1}f[i,1,2]:=min{f[i+length(s),1,2]+words[s],f[i+length(s),1,2]+w ords[s]}62 线性动态规划-----最少单词个数f[i,j]:=max{f[I,j],f[u-1,j-1]+l}63 线型动态规划-----APIO2007 数据备份状态压缩＋剪掉每个阶段j前j*2个状态和j*2+200后的状态贪心动态规划f:=min(g[i-2]+s,f[i-1]);64 树形动态规划-----APIO2007 风铃f:=f[l]+f[r]+{1 (if c[l]<c[r])}g:=1(d[l]<>d[r]) 0(d[l]=d[r])g[l]=g[r]=1 then Halt;65 地图动态规划-----NOI 2005 adv19910F[t,i,j]:=max{f[t-1,i-dx[d[[t]],j-dy[d[k]]]+1],f[t-1,i,j];66 地图动态规划-----优化的NOI 2005 adv19910F[k,i,j]:=max{f[k-1,i,p]+1} j-b[k]<=p<=j;67 目标动态规划-----CEOI98 subtraF[I,j]:=f[I-1,j+a] or f[i-1,j-a]68 目标动态规划----- Vijos 1037搭建双塔问题F[value,delta]:=g[value+a,delta+a] or g[value,delta-a]69 树形动态规划-----有线电视网f[i,p]:=max(f[i,p],f[i,p-q]+f[j,q]-map[i,j])leaves>=p>=l, 1<=q<=p;70 地图动态规划-----vijos某题F[I,j]:=min(f[i-1,j-1],f[I,j-1],f[i-1,j]);71 最大子矩阵问题-----最大字段和问题f:=max(f[i-1]+b,b); f[1]:=b[1]72 最大子矩阵问题-----最大子立方体问题枚举一组边i的起始，压缩进矩阵B[I,j]+=a[x,I,j]枚举另外一组边的其实，做最大子矩阵73 括号序列-----线型动态规划f[I,j]:=min(f[I,j],f[i+1,j-1](ss[j]=”()”or(”[]”)),f[I+1,j+1]+1 (s[j]=”(”or”[” ] , f[I,j-1]+1(s[j]=”)”or”]” )74 棋盘切割-----线型动态规划f[k,x1,y1,x2,y2]=min{min{f[k-1,x1,y1,a,y2]+s[a+1,y1,x2,y2],f[k-1,a+1,y1,x2,y2]+s[x1,y1,a,y2]min{}}75 概率动态规划-----聪聪和可可(NOI2005)x:=p[p[i,j],j]f[I,j]:=(f[x,b[j,k]]+f[x,j])/(l[j]+1)+1f[I,i]=0f[x,j]=176 概率动态规划-----血缘关系F[A, B]=(f[A0, B]+P[A1, B])/2f[I,i]=1f[I,j]=0(I,j无相同基因)77 线性动态规划-----决斗F[I,j]=(f[I,j] and f[k,j]) and (e[I,k] or e[j,k]),i<k<j78 线性动态规划-----舞蹈家F[x,y,k]=min(f[a[k],y,k+1]+w[x,a[k]],f[x,a[k],k+1]+w[y,a[k]])79 线性动态规划-----积木游戏F[I,a,b,k]=max(f[I,a+1,b,k],f[i+1,a+1,a+1,k’],f[I,a+1,a+1,k’])80 树形动态规划（双次记录）-----NOI2003 逃学的小孩朴素的话枚举节点i和离其最远的两个节点j,k O(n^2)每个节点记录最大的两个值，并记录这最大值分别是从哪个相邻节点传过来的。
动态规划的三个实施步骤
动态规划的三个实施步骤什么是动态规划动态规划（Dynamic Programming）是一种解决复杂问题的算法思想，它通常用于求解最优化问题。
动态规划的核心思想是将复杂问题分解成较简单的子问题，并通过子问题的最优解推导出原问题的最优解。
动态规划的三个实施步骤动态规划的实施步骤通常包括以下三个阶段：1.划分阶段：将原问题划分成若干个子问题，通过划分可以简化问题的复杂度。
2.确定状态：定义状态表示问题的不同阶段和状态，以及状态之间的关系。
状态的选择对最终解决问题的效率和准确性有很大影响。
3.推导方程：根据子问题的最优解和状态之间的关系，推导出原问题的最优解，并通过递推和迭代求解。
下面将详细介绍每个步骤。
1. 划分阶段在划分阶段，我们需要将原问题划分成若干个子问题。
通常，问题的划分可以基于以下两种方式之一：•递归划分：将原问题拆分成规模更小的相同类型的子问题，直到问题规模较小，可以直接得到解答。
•迭代划分：通过迭代的方式，逐步处理原问题的不同阶段，每个阶段都可以看作是一个子问题。
划分阶段可以大大减少问题的复杂度，使得问题的求解更加可行和高效。
2. 确定状态确定状态是动态规划的核心步骤，它需要定义状态并建立状态之间的关系。
状态表示问题的不同阶段和状态，以及状态之间的关联关系。
在确定状态时，通常需要考虑以下几个因素：•问题的边界状态：例如，问题的起始状态和最终状态。
•中间状态的定义：例如，问题的中间阶段的状态。
•状态之间的转移方程：即状态之间的关联关系，包括过程中的选择和决策。
通过合理地确定状态，可以将复杂问题简化成易于求解的子问题，并能够快速推导出原问题的最优解。
3. 推导方程在推导方程阶段，我们通过子问题的最优解和状态之间的关系，推导出原问题的最优解。
根据问题的具体特点和状态定义，推导方程可以采用不同的方式，例如：•递推方程：通过递归地求解子问题，逐步推导出原问题的最优解。
•迭代方程：通过迭代地更新状态，逐步得到原问题的最优解。
动态规划的基本概念和相关符号
下面引进几个动态规划的基本概念和相关符号。
(1)阶段(Stage)把所给问题的过程，按时间和空间特征划分成若干个相互联系的阶段，以便按次序去求每个阶段的解，阶段总数一般用字母n表示，用字母k表示阶段变量。
如例l中 (最短路线问题)可看作是n=4阶段的动态规划问题，k=2表示处于第二阶段。
(2)状态(State)状态表示每个阶段开始时系统所处的自然状况或客观条件，它描述了研究问题过程状况。
描述各阶段状态的变量称为状态变量，常用字母sk表示第k阶段的状态变量，状态变量的取值范围称为状态集，用Sk表示。
如例l中，第一阶段的状态为A（即出发位置）。
第二阶段有三个状态：B1 、B2、B3，状态变量s2=B2表示第2阶段系统所处的位置是B2。
第2阶段的状态集S2={ B1 、B2、B3}。
动态规划中的状态变量应具有如下性质：当某阶段状态给定以后，在这个阶段以后过程的发展不受这个阶段以前各个阶段状态的影响。
也就是说，未来系统所处的状态只与系统当前所处的状态有关，而与系统过去所处的状态无关，即过去历史只能通过当前的状态去影响它未来的发展，这种特点称为无后效性（又称马尔可夫性）。
如果所选定的状态变量不具备无后效性，就不能作为状态变量来构造动态规划模型。
如例1中，当某阶段的初始状态即所在的城市选定以后，从这个状态以后的运货路线只与这个城市有关，不受以前的运货路线影响，所以是满足状态的无后效性的。
（3）决策(Decision)当系统在某阶段处于某种状态，可以采取的行动（或决定、选择），从而确定下一阶段系统将到达的状态，称这种行动为决策。
描述决策的变量，称为决策变量。
常用字母uk (sk)表示第k阶段系统处于状态sk 时的决策变量。
决策变量的取值范围称为决策集，用Dk(sk)表示。
在例l的第二阶段中，若从状态B2出发，可以做出三种不同的决策，其允许的决策集为D2(B2)={ C1、C2、C3}，决策u 2(B2)= C2表示第二阶段处于状态B2，选择的确行动下一阶段是走到C2。
高中数学线性规划与动态规划
高中数学线性规划与动态规划数学是一门抽象而深奥的学科，其中涵盖了大量的分支和理论。
在高中阶段，线性规划与动态规划是数学中的两个重要概念，对于解决实际问题和优化决策具有重要意义。
本文将介绍高中数学中线性规划与动态规划的概念、原理以及实际应用。
一、线性规划线性规划是数学规划问题中的一种常见方法。
它的目标是在满足多个线性约束条件的前提下，寻找线性目标函数的最优解。
线性规划问题可以用图像来表示，其中目标函数和约束条件都是线性方程或线性不等式。
线性规划的标准形式可以表示为：Maximize (或Minimize) Z = c₁x₁ + c₂x₂ + … + cₙxₙSubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a₂ₙxₙ ≤ b₂…aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + … + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, …, xₙ ≥ 0其中，Z表示线性目标函数的值，c₁, c₂, …, cₙ为目标函数中的系数，aᵢₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, …, bₙ为约束条件的右边常数，x₁, x₂, …, xₙ为决策变量。
线性规划问题可以使用单纯形法等算法求解，得到最优解及最优解对应的目标函数值。
二、动态规划动态规划是一种通过将原问题拆分成子问题并保存子问题解，然后利用这些子问题的解来求解原问题的方法。
它适用于那些具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
动态规划通常包含以下几个步骤：1. 定义子问题：将原问题拆分成一系列子问题，这些子问题和原问题具有相同的性质，并且可以通过子问题的解来推导出原问题的解。
2. 确定状态：将子问题的解表示成状态，通常使用状态转移方程来描述状态之间的关系。
3. 构建状态转移方程：根据子问题的性质和状态之间的关系，建立状态转移方程，以表达问题的最优解与子问题最优解之间的关系。
4. 确定初始条件：确定问题的起始状态下的初始值，通常需要定义初始值。