第3章-1 正弦交流电路

ψ = (ω t + ψ) t=0
ψ : 给出了观察正弦波的起点或参考点。 给出了观察正弦波的起点或参考点。
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3.1.3 相位差ϕ ：
两同频率的正弦量之间的初相位之差。 同频率的正弦量之间的初相位之差。 的正弦量之间的初相位之差 如： u
= U m sin( ω t + ψ 1 ) i = I m sin(ω t + ψ 2 )
u i i u
ϕ
ωt
O 90° °
ωt
电压与电流同相 电压与电流同相 u i u i O
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ϕ = ψ1 − ψ 2 = 0
ϕ = ψ1 − ψ 2 = 180°
电压与电流反相 u i u i O
ωt
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ωt
注意: 注意: 两同频率的正弦量之间的相位差为常数， ① 两同频率的正弦量之间的相位差为常数， 与计时的选择起点无关。 与计时的选择起点无关。
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⑥“j”的数学意义和物理意义 ± j90o 0 因子： 旋转 90 因子：
e
e
± j90o
= cos 90° ± jsin90° = ±j
+j
设相量
• & & A将逆时针旋转 900 ，得到 B & • 相量 A乘以 e-j90° ， & & A将顺时针旋转 900，得到C
？
jψ
= Im ψ
②只有正弦量才能用相量表示， 只有正弦量才能用相量表示， 非正弦量不能用相量表示。 非正弦量不能用相量表示。 ③只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。 只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。 同频率的正弦量才能画在同一相量图上
ϕ
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④相量的两种表示形式 相量式: & 相量式 U = Uejψ = U ψ = U( cos ψ + jsin ψ) 相量图: 相量图 把相量表示在复平面的图形
i = 10 sin ( ω t + 60° )A ？
最大值
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例1: 将 u1、u2 用相量表示
u1 = 220 2 sin (ω t + 20° ) V
u2 = 110 2 sin (ω t + 45°) V
解: (1) 相量式
+j
& U2
& U1
+1
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第3章 正弦交流电路
本章要求 1. 理解正弦量的特征及其各种表示方法； 理解正弦量的特征及其各种表示方法； 2. 理解电路基本定律的相量形式及阻抗； 理解电路基本定律的相量形式及阻抗； 熟练掌握计算正弦交流电路的相量分析法， 熟练掌握计算正弦交流电路的相量分析法， 会画相量图。； 会画相量图。； 3. 掌握有功功率和功率因数的计算,了解瞬时 掌握有功功率和功率因数的计算, 功率、无功功率和视在功率的概念； 功率、无功功率和视在功率的概念； 4.了解正弦交流电路的频率特性，串、并联谐 4.了解正弦交流电路的频率特性 了解正弦交流电路的频率特性， 振的条件及特征； 振的条件及特征； 5.了解提高功率因数的意义和方法。 5.了解提高功率因数的意义和方法 了解提高功率因数的意义和方法。
& U1 = 220 + 20 °V & U2 = 110 + 45 °V
(2) 相量图
& & U 1 落后于U2
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45° 20°
& U2
超前 U & ？ 落后 1
例2: 已知 i1 = 12.7 2 sin (314 t + 30°)A 求：i = i1 +i2 。
i u i
ϕ = (ω t +ψ 1 ) − (ω t +ψ 2 ) u = ψ1 − ψ 2
若
ϕ = ψ1 −ψ2 > 0
电压超前电流 电压超前电流ϕ
O
ϕ
ωt
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ϕ = ψ1 − ψ 2 < 0 电流超前电压 ϕ
u i i O u
ϕ = ψ1 − ψ2 = −90 ° 电流超前电压90°
i i 1
i2
ωt
ϕ
O
不同频率的正弦量比较无意义。 ② 不同频率的正弦量比较无意义。
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3.2 正弦量的相量表示法
１.正弦量的表示方法 波形图
O
u
ωt
瞬时值表达式 相量
u = U m sin( ω t + ψ )
必须 小写
& U = U∠ψ
重点
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。 前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
注意： 注意： 交流电压、 交流电压、电流表测量数据为有效值 交流设备名牌标注的电压、 交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值
3.1.3初相位与相位差 初相位与相位差
相位： t 相位：ω
+ψ
i = Imsin(ωt +ψ) i
ωt
反映正弦量变化的进程。 ψ O 反映正弦量变化的进程。 初相位： =0时的相角 时的相角。 初相位： 表示正弦量在 t =0时的相角。
幅值、角频率、初相角成为正弦量的三要素。 幅值、角频率、初相角成为正弦量的三要素。
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3.1.1 频率与周期
周期T 周期T：变化一周所需的时间 （s） 1 f = Hz） （Hz） 频率f 频率f： T 2 π 角频率： 角频率： ω = πf （rad/s） =2 rad/s） T i
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3.1 正弦电压与电流
正弦量： 正弦量： 随时间按正弦规律做周期变化的量。 随时间按正弦规律做周期变化的量。 i u i
i
+ u _
R
正弦交流电的优越性： 正弦交流电的优越性： 正半周 便于传输； 便于传输；易于变换 便于运算； 便于运算； 有利于电器设备的运行； 有利于电器设备的运行； . . . . .
i2 = 11 2 sin (314 t − 60 °)A
& I 1 = 12.7 30 ° A & I 2 = 11 − 60 ° A & & & I = I1 + I2 = 12.7 30°A + 11 − 60°A
= 12.7( cos 30 ° + jsin 30 °)A + 11( cos 60 ° − jsin 60 °)A = (16.5 - j3.18)A = 16.8 − 10.9°A
jψ
A = a + jb = r cosψ + j r sinψ = re = r ψ
jψ
相量: 相量: 表示正弦量的复数称相量 设正弦量: 设正弦量 u = Umsin ( ω t + ψ ) 相量表示: 相量表示: 相量的模= 相量的模=正弦量的有效值 jψ
& U = Ue
=U ψ
相量辐角= 相量辐角=正弦量的初相角
有效值 I =16.8 A
i = 16.8 2 sin ( 314 t − 10.9 °) A
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例3:
图示电路是三相四线制电源， 图示电路是三相四线制电源， 已知三个电源的电压分别为： 已知三个电源的电压分别为：
uB = 220 2 sin (314 t −120 °)V uC = 220 2 sin (314 t +120 °)V
试求uAB ，并画出相量图。 并画出相量图。 试求 用相量法计算： 解:(1) 用相量法计算：
+ & UA N
– –
uA = 220 2 sin314 t V
O T
ωt
* 电网频率：我国 50 Hz ，美国 、日本 60 Hz 电网频率： * 高频炉频率：200 ~ 300 kHZ 高频炉频率： * 中频炉频率：500 ~ 8000 Hz 中频炉频率： * 无线通信频率： 30 kHz ~ 30GMHz 无线通信频率： 30
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2.正弦量用旋转有向线段表示 2.正弦量用旋转有向线段表示 设正弦量: 设正弦量 u = Umsin (ω t + ψ ) y u u0ωψ
O
u1
x
O
Um
ω t1
ψ
ωt
若:有向线段长度 = Um 有向线段与横轴夹角 = 初相位ψ 有向线段以速度ω 按逆时针方向旋转 则:该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示 相应时刻正弦量的瞬时值。（通过flash 。（通过flash演示进一步 相应时刻正弦量的瞬时值。（通过flash演示进一步 Date: 2010-11-2 Page: 12 说明） 说明）
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& = rejψ B & A & 相量 A乘以 ej90° ，
& A
ϕ
o
+1
& C
正误判断
u = 220 sin(ω t + 45°)V
220 U = 45 ° V ？ 2
• 有效值 j45° °
1.已知： 1.已知： 已知
3.已知： 3.已知： 已知
& = 4 e j30 ° A 复数 I
= 4 2 sin (ω t + 30 °)A ？
瞬时值
& U m = 220 e 45 ° V？
2.已知： I = 10 60 ° A 已知： & 已知
4.已知： 4.已知： 已知
& U = 100 − 15 ° V
负号 U √ 100 V ？ = & = 100 e j15 o V ？ U
3. 正弦量的相量表示 实质：用复数表示正弦量 实质： 复数表示形式 为复数: 设A为复数 为复数 (1) 代数式 =a + jb 代数式A 式中: a = r cos ψ 式中 b
+j
A
r ψ
0
2 2
a
+1
b = r sin ψ
(2) 三角式 由欧拉公式: 由欧拉公式
r = a + b 复数的模 b ψ = arctan 复数的辐角 a
3.1.2 幅值与有效值
幅值： 幅值：Im、Um、Em
幅值必须大写, 幅值必须大写, 下标加 m。
有效值： 有效值：与交流热效应相等的直流定义为交流 电的有效值。 电的有效值。
∫0
T
2 i 2R dt = I RT
交流
直流
则有
I=
1 T
∫
T
0
i 2dt
Im 1 T 2 2 有效值必 = ∫0 Imsin ωt dt = 2 须大写 T U Em 同理： 同理： U = m E= 2 2 Date: 2010-11-2 Page: 6
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⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ _ _
+
_
ωt
⊕ + u _ _
R
负半周
3.1 正弦电压与电流
设正弦交流电流： 设正弦交流电流：
Im
Ψ
i
O π 2π π T
ωt
i = Im sin(ω t +ψ )
初相角：决定正弦量起始位置 初相角： 角频率：决定正弦量变化快慢 角频率： 幅值：决定正弦量的大小 幅值：
jψ −j ψ
A = r cos ψ + j r sin ψ = r (cos ψ + jsin ψ)
e +e cos ψ = 2
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ej ψ − e−j ψ , sin ψ = 2j
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可得: 可得 (3) (4)
= cosψ + jsin ψ 指数式 A = r ej ψ 极坐标式 = 极坐标式 A= r ψ e
第3章 正弦交流电路
3.1 正弦电压与电流 3.2 正弦量的相量表示法 3.3 单一参数的交流电路 单一参数的交流电路 3.3.1 电阻元件的交流电路 3.3.2 电感元件的交流电路 3.3.3 电容元件的交流电路 3.4 电阻、电感与电容元件串联交流电路 电阻、 3.5 阻抗的串联与并联 3.6 复杂正弦交流电路的分析与计算 3.7 交流电路的频率特性 3.8 功率因数的提高
电压的有效值相量
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或：
& Um =Umejψ =Um ψ
相量的模= 相量的模=正弦量的最大值 相量辐角= 相量辐角=正弦量的初相角
注意: 注意:
ห้องสมุดไป่ตู้
电压的幅值相量
①相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。 相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。
i = Imsin (ω t + ψ ) = I m e =
可不画坐标轴
ϕ
⑤相量的书写方式 I 则用符号： & • 模用最大值表示 ，则用符号： U m 、& m 实际应用中，模多采用有效值，符号： & I • 实际应用中，模多采用有效值，符号： U 、& 如：已知 u = 220 sin ( ω t + 45 ° )V & = 220 e j45 ° V或 U = 220 e j45 ° V & 则U m 2