九年级数学反比例函数的图象与性质9
反比例函数的图像和性质
反比例函数的图像和性质反比例函数是数学中的一种基本函数类型，其图像和性质具有一定的特点。
本文将从图像和性质两个方面进行论述。
一、图像反比例函数的基本形式为y=k/x，其中k为常数，且k不等于0。
根据函数的定义域和值域，可得反比例函数的图像具有如下特点：1. 对称轴：对于反比例函数y=k/x来说，其对称轴为y轴和x 轴，即函数图像关于y轴和x轴对称。
2. 渐近线：反比例函数的图像会与y轴、x轴以及非对称轴（y=k/x中对称轴为y轴和x轴）形成三条渐近线。
当x趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值趋近于0；当y趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值趋近于0。
3. 图像形状：反比例函数的图像呈现双曲线的形状，即左右两侧趋近于无穷大而且不相交。
二、性质除了图像特点外，反比例函数还具有以下性质：1. 变化趋势：反比例函数的特殊之处在于当自变量x增大时，因为分母逐渐增大，所以函数值y会逐渐减小；反之，当x减小时，函数值y会逐渐增大。
2. 强调比值关系：反比例函数中，自变量和因变量之间存在着比值关系。
当自变量增大或减小时，因变量的大小相应呈现相反的变化。
3. 零点和定义域：反比例函数在定义域内除了零点x=0外，它的函数值不为零。
定义域一般为除零点的所有实数。
4. 单调性：反比例函数在定义域内通常是单调的，当自变量增大时，因变量会单调减小；当自变量减小时，因变量会单调增大。
5. 特殊情况：当反比例函数中的常数k为正数时，其图像位于第一象限和第三象限；当k为负数时，图像位于第二象限和第四象限。
这决定了函数图像关于原点的对称性。
综上所述，反比例函数的图像呈现双曲线的形状，具有对称轴、渐近线等特点。
同时，反比例函数的性质包括变化趋势、比值关系、零点和定义域、单调性以及特殊情况等。
在实际问题中，反比例函数具有广泛的应用，比如经济学中的供需关系、物理学中的电阻和电流关系等。
通过研究反比例函数的图像和性质，可以更好地理解和应用数学知识。
《反比例函数的图像和性质》优质课课件
复合变换实例分析
实例1
将反比例函数 $y = frac{2}{x}$ 的图像先沿x轴向右平移1个单位 ，再沿y轴向下平移2个单位，求
新函数的解析式。
实例2
将反比例函数 $y = frac{3}{x}$ 的图像先沿x轴方向压缩为原来 的$frac{1}{2}$，再沿y轴方向拉 伸为原来的2倍，求新函数的解
反比例函数与其他知识的综合应用
03
研究反比例函数与一次函数、二次函数等其他知识的综合应用
问题，如求解不等式、证明不等式等。
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《反比例函数的图像 和性质》优质课课件
汇报人：XXX 2024-01-22
contents
目录
• 课程介绍与目标 • 反比例函数基本概念 • 反比例函数性质探究 • 反比例函数图像变换 • 反比例函数在实际问题中应用 • 课程总结与拓展延伸
CHAPTER 01
课程介绍与目标
课程背景与意义
初中数学中的重要内容
CHAPTER 02
反比例函数基本概念
反比例函数定义
一般形式
$y = frac{k}{x}$ (其中 $k$ 是常 数，且 $k neq 0$)
变量关系
当 $x$ 增大时，$y$ 减小；当 $x$ 减小时，$y$ 增大。
比例系数
$k$ 决定了反比例函数图像的形状 和位置。
反比例函数自变量取值范围
反比例函数是初中数学中的一个重要 知识点，对于提高学生的数学素养和 解决问题的能力具有重要意义。
九年级数学反比例函数的图像和性质课件
12
的图象，你发现了什么？
6
5
4
3
2
1
y y=
1）反比例函数的图像由两条曲线组成。
12
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
2）图象关于原点成中心对称。
3）图像位于一、三象限。
x
y=
6
x•y=6
4）y随x的增大而减少。
5）函数图像与坐标轴无交点。
01
用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=
3
4
4
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2
1
-4 -3 -2 -1
0 1
-1
-2
-3
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的图象。
12
5
-5
【描点】
y=
-5
-6
2
5
6 x
01
反比例函数图像
观察反比例函数 y=
6
5
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3
2
1
y y=
6
和y=
6
x
- - -3 -2 - 0 1 2 3 4 5 6
-1
5 4
1
-2
-3
-4
-5
一次函数．当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数
是一种特殊的一次函数。
图像与性质：
01
二次函数知识点回顾
概念：
图像与性质：
一般地，形如=ax 2 + +(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做
二次函数
01
反比例函数知识点回顾
初三数学反比例函数图像和性质9[北师版]
![初三数学反比例函数图像和性质9[北师版]](https://img.taocdn.com/s3/m/e9a5e79802d276a200292eaa.png)
执教人：王黎强
教学程序：
（一）反比例函数的图像的揭示过程 （二）归纳、区分掌握反比例函数的性质 （三）例题示范 （四）反馈练习 （五）归纳总结 （六）布置作业
（一）反比例函数图像的揭示过程
1、引入
6 2、作 y x 的图像
3、观察图像特征
设问：1、上节课我们学的反比例函数解析式 是什么？自变量x的取值范围是什么？ 函数y的取值范围是什么？
y=kx(k≠0) x取一切实数
K>0
所有实数
K<0 y x o
y随着x 增大而 减小 x
K>0
K<0 y x o
图 像
y
y o
o
x
性 质
y随着x 增大而 增大
在每一象限 在每一象限 内，y随着 内， y随着 x增大而减小 x增大而增大
（三）例题示范：
已知圆柱的侧面积为定值16π，求母线 于底面半径r的函数解析式和自变量r 的取值范 围，并画出这个函数的图像。
（二）归纳、区分掌握 反比例函数的性质
分二个层次： 1、实验、归纳性质 2、正、反比例函数的图像 性质比较
1、观察k变化时，函数图象的特征
2、观察 自变量 x变化时， 函数y值的变化情况
归纳反比例函数性质
函数名称
函数解 析式和 自变量 取值范 围
正比例函数
反比例函数
y k (k 0) x取不为0的 x
y ...
12 1.5 1.2 1 ….
k (k 0) 的性质： x
y o x
象限
k>0
k<0
一、三象 二、四象 限 限
列表、描点、连线（用平 滑曲线连接）
九年级数学辅导： 反比例函数的图像与性质
反比例函数图象及其性质【知识要点】反比例函数的基本性质：（1）反比例函数 的图象由两条曲线组成，叫做双曲线。
（2）反比例函数 的图象，当k>0时，两支曲线分别位于一、三象限内，当k<0 时，两支曲线分别位于第二、四象限内。
（3）因k≠0,x≠0故y≠0,所以它们都不与坐标轴相交。
（4）画图时注意其美观性（对称性、延伸性）：反比例函数的图象既是中心对称 图形，又是轴对称图形。
它们各自都有一个对称中心两条对称轴；图象分别都是由 两支曲线组成的，两个分支都无限趋近但永远不能与x 轴和y 轴相交。
【典型例题】 例1．指出下列关于x 的函数中，哪些是反比例函数，哪些不是反比例函 数？（1）x y 2-= （2）x y 32= （3）121+=x y （4）12+=x y （5）13--=x y例2．填空 （1）对于xy 2=，当0>x 时，y____0，这部分图象在第_________象限； 对于xy 2-=，当0<x 时，y____0，这部分图象在第_________象限。
（2）函数x y 10=的图象在第___象限内，在每一个象限内y 随x 的增大而______。
（3）函数x y 10-=的图象在第__象限内，在每一个象限内，y 随x 的增大而___。
例3、（1）下列函数中，当时，随的增大而增大的是（ ）A ．B ．C ．D ．．0x <y x 34y x =-+123y x =--4y x =-12y x=【课型】新授课 【教学目标】 1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象； 2．体会函数的三种表示方法的互相转换，对函数进行认识上的整合.xky =x ky =（2）已知反比例函数的图象上有两点A （，），B （，）， 且，则的值是（ ）A ．正数B ．负数C ．非正数D ．不能确定（3）反比例函数xky =，当0<k 时下面结论正确的是（ ） A ．y 取正值 C ．在每个象限内y 随x 的增大而增大 B ．y 取负值 D ．在每个象限内y 随x 的增大而减小（4）若点（，）、（，）和（，）分别在反比例函数 的图象上，且，则下列判断中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． （5）在反比例函数xk y 1+=的图象上有两点和， 若210x x <<时，y y 12>，则k 的取值范围是 （6）正比例函数y=k 1x(k 1≠0)和反比例函数y= (k 2≠0)的一个交点为(m,n), 则另一个交点为_ ____.（7）老师给出一个函数,甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质: 甲：函数的图象经过第二象限; 乙：函数的图象经过第四象限; 丙: 在每个象限内,y 随x 的增大而增大.请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数: .例3．一个反比例函数在第三象限的图像如图所示，若A 是图像上任意 一点，AM ⊥ x 轴于M ，O 是原点，如果△AOM 的面积为3，求这个反 比例函数的解析式。
湘教版九年级数学《反比例函数的图象及性质》课件
行程问题建模过程
匀速直线运动问题
根据速度、时间和路程之间的反 比例关系，建立反比例函数模型 ，解决匀速直线运动中的追及和 相遇问题。
变速直线运动问题
通过速度和时间的变化规律，建 立反比例函数模型，分析物体1 2 3
电阻、电压与电流关系
在电路中，电阻、电压和电流之间存在反比例关 系。已知其中两个量，可以利用反比例函数求解 第三个量。
REPORTING
两者图象位置关系分析
当反比例函数比例系数$k_1$和 一次函数斜率$k_2$同号时，两 图象在第一、三象限内有两个交
点；
当$k_1$和$k_2$异号时，两图 象在第二、四象限内有两个交点
；
无论$k_1$和$k_2$取何值，反 比例函数的图象都不可能经过原 点，而一次函数的图象必定经过
描绘出函数的图象。
连接完成后，可以检查一遍曲 线的光滑性和准确性，如有需
要可以进行微调。
XXX
PART 03
反比例函数性质分析
REPORTING
增减性判断方法
观察法
通过观察反比例函数的图象，可以直接判断出函数在各象限内的增减性。
解析法
利用反比例函数的解析式，可以推导出函数在各象限内的增减性。具体地，当$k>0$时，函数图象在第一、三象 限内，且在这两个象限内，$y$随$x$的增大而减小；当$k<0$时，函数图象在第二、四象限内，且在这两个象 限内，$y$随$x$的增大而增大。
反比例函数的图象与坐标轴没有交点。这是因为当$x=0$时，函数值$y$不存在 ；同样地，当$y=0$时，对应的$x$值也不存在。
虽然反比例函数的图象与坐标轴没有交点，但是它们可以无限接近坐标轴。具体 地，当$x$趋近于正无穷或负无穷时，函数值$y$趋近于零；同样地，当$y$趋近 于正无穷或负无穷时，对应的$x$值也趋近于零。
九年级数学人教版下册课件反比例函数的图象和性质实际问题与反比例函数
O4
x
D B
2 反比例函数与一次函数的综合
新课讲解
合作探究
在同一坐标系中，函数 y k1
x
和 y= k2 x+b 的
图象大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条件？
y
y
k1 >0
k1 >0
k2 >0 b >0
Ox
O x k2 >0 b <0
①
②
y
Ox k1 <0 k2 <0 ③ b <0
男儿不展同云志，空负天生八尺躯。
y 男儿不展同云志，空负天生八尺躯。
三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。
y
志当存高远。
一个人如果胸无大志，既使再有壮丽的举动也称不上是伟人。
虽长不满七尺，而心雄万丈。
胸有凌云志，无高不可攀。
鸟不展翅膀难高飞。
C. 褴褛衣内可藏志。
贫穷是一切艺术职业的母亲。
O
x D.
Ox
新课讲解
S31 S2
随堂即练
如图所示，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是
AB 上的点，△ AOC 的面积 S1、△ BOD 的面积 S2、 △ POE 的面积 S3 的大小关系为 S1 = S2 < S3 .
解析：由反比例函数面积的不变
性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一 支交P
1 S1 －5－4－3－2－－11 O 1
S2 23
•Q
4 5x
－2
－3
－4
－5
新课讲解
S1的值 S2的值
S1与S2 的关系
P (2，2) Q (4，1)
4 4
S1=S2
北师大版九上数学6.2《反比例函数的图象与性质》知识点精讲
知识点讲解反比例函数的性质（1）反比例函数y=xk（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大。
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点。
比例系数k的几何意义在反比例函数y=xk图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|。
在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|2，且保持不变。
用描点法画反比例函数的图象步骤：列表---描点---连线。
（1）列表取值时，x≠0，因为x=0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值。
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确。
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线。
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴。
视频讲解反比例函数中的面积类型视频讲解图文解析教学设计【教材分析】《反比例函数的图象与性质》安排在北师大版教材九年级上册，共分两课时，本节课是第二课时．在第一课时中，学生已经学会如何画反比例函数的图象，并对k＞0和k＜0时函数图象的特点有了初步的认识，本节课主要是在第一课时的基础上，通过对反比例函数图象的全面观察和比较，发现函数的自身规律，在质疑、讨论、交流、总结中增强学生对图象的感知能力，加深对反比例函数性质和几何意义的理解和掌握。
注意数形结合以及分类思想运用。
【学情分析】特别是在学习一次函数时，学生已经掌握了如何画一次函数的图象，探究过一次函数的性质，积累了一定的活动经验和方法感悟，在此基础上学习反比例函数的图象与性质，可以让学生进一步体会函数的概念，进一步积累探究函数图象和性质的方法，为后续探究二次函数的图象和性质做好知识上和方法上的铺垫．学生对于画函数图象已经积累了一定的经验，所以画函数图象的过程不仅在于“画”，更在于“探究”．为引导学生体会函数三种表示方法之间的联系和转化积累经验．九年级的学生已经具备了研究函数图象性质的许多方法，但是学习能力有所不同数形结合的抽象能力存在较大差异．所以需要教师在教学中不仅关注教法，更关注学法指导．同时，因为反比例函数较为抽象，所以学生学完性质直接应用的难度很大．这就需要教师精心设计教学方案帮助学生理解和掌握反比例函数的性质。
反比例函数的图像与性质
反比例函数的图像与性质反比例函数是一种常见的数学函数类型，其图像非常有特点，具有一些独特的性质。
本文将介绍反比例函数的图像及其性质，以帮助读者更好地理解和应用这一函数类型。
一、反比例函数的图像反比例函数的一般形式可以表示为 y = k/x，其中 k 为非零常数。
根据这个函数形式，我们可以研究其图像及其性质。
1. 关于 y 轴和 x 轴的对称性：我们可以观察到反比例函数的图像关于 y 轴和 x 轴均具有对称性。
也就是说，如果一个点 (x, y) 在反比例函数的图像上，那么点 (-x, y)、(x, -y)、(-x, -y) 也会在图像上。
2. 渐近线：对于反比例函数 y = k/x，当 x 趋近于 0 时，y 趋于正无穷大或负无穷大。
也就是说，反比例函数的图像会有两个垂直于 x 轴的渐近线，分别位于第一象限和第三象限。
这两条渐近线可以用方程 x = 0 和 y =0 来表示。
3. 变化趋势：反比例函数的图像随着 x 的增大而逐渐趋向于 x 轴正半轴，随着 x的减小而逐渐趋向于x 轴负半轴。
换句话说，当x 趋近于正无穷大时，y 趋于 0；当 x 趋近于负无穷大时，y 也趋于 0。
这一性质可以通过直观的图像来观察和理解。
二、反比例函数的性质除了图像特点外，反比例函数还具有一些性质，对于解题和实际应用有重要意义。
下面我们将介绍一些常见的性质。
1. 定义域和值域：反比例函数 y = k/x 的定义域为除了 x=0 外的所有实数，值域也为除了 y=0 外的所有实数。
这是因为 0 不能作为分母。
2. 增减性：当 x1<x2 时，对于反比例函数，由于 x1 和 x2 在同一侧相对于 0，所以可以推出 y1 和 y2 在同一侧相对于 0。
也就是说，反比例函数在定义域内的不同点上具有相同的增减性。
3. 零点：反比例函数的零点为x=0，即在坐标系的原点处。
当x 不等于零时，反比例函数的值不会等于零，因此没有其他零点。
九年级数学26.1.2反比例函数的图像和性质课件
同理，反比例函数的图像与y轴也没有交点。
与坐标轴的位置关系
反比例函数的图像总是无限接近于坐标轴，但永远不会与 坐标轴相交。这是因为当x趋近于0时，y的值会趋近于无 穷大或无穷小，但永远不会等于0。
04
反比例函数在实际问题中应用举例
面积问题建模与求解
矩形面积问题
给定矩形的面积和一边的长度，求另 一边的长度，可以通过反比例函数建 立数学模型进行求解。
列表法绘制步骤
列出函数值
在自变量的取值范围内，选取一 些具有代表性的点，计算出对应 的函数值$y$。
绘制表格
将自变量和对应的函数值列成表 格，方便后续绘图。
描点
在坐标系中，根据表格中的自变 量和函数值，描出对应的点。
确定自变量的取值范围
根据题目要求或实际情况，确定 自变量$x$的取值范围。
连线
用平滑的曲线将描出的点连接起 来，得到反比例函数的图像。
。
02
对称变换
反比例函数的图像关于原点对称，即如果点$(x, y)$在图像上，则点$(-
x, -y)$也在图像上。
03
伸缩变换
当反比例函数的比例系数$k$发生变化时，图像会进行相应的伸缩变换
。具体来说，当$k$增大时，图像会向坐标轴靠近；当$k$减小时，图
像会远离坐标轴。
03
反比例函数性质分析
增减性判断方法
描点法绘制技巧
合理选择描点
在自变量的取值范围内，合理选 择一些具有代表性的点进行描点 ，这些点应该能够反映出函数的
变化趋势。
注意坐标轴的比例
在绘图时，要注意坐标轴的比例， 确保图像的准确性。
用平滑的曲线连接
在连接描出的点时，应该用平滑的 曲线连接，而不是折线。
反比例函数的图像与性质 课件
反比例函数图像的特点
探索反比例函数图像的形状和特征。
反比例函数的运算和应用
学习如何进行反比例函数的运算，并了解其在 实际问题中Байду номын сангаас应用。
参考资料
1 参考书目
- 反比例函数的进一步学习
2 参考链接
- 更多关于反比例函数的信息
反比例函数的图像与性质
欢迎来到本课件，我们将介绍反比例函数的图像和性质。了解什么是反比例 函数及其表示方法。
什么是反比例函数
定义
反比例函数是一种数学函数关系，当其中一个变量的值增大时，另一个变量的值相应地减小。
表示方法
通常用y=k/x来表示，其中k是非零实数。
反比例函数的图像
性质
反比例函数的图像呈现出一个下凹的曲线，且经过 第一象限和第三象限。
比例线性关系
反比例函数的图像与比例函数的图像之间存在线性 关系。
比例函数的应用
1
实际问题
反比例函数可以用于解决实际问题，例
参考例题
2
如时间和速度之间的关系。
我们将提供一些参考例题，以加深对反 比例函数的理解和应用。
总结
反比例函数的定义和性质
了解反比例函数是如何定义的以及其特点。
反比例函数的几何意义
图像特点
图像的特点是有两条渐近线，即x轴和y轴，它们分 别称为垂直渐近线和水平渐近线。
反比例函数的几何意义
1 越来越快地接近x轴和y轴
2 与比例函数的区别
随着x值的增大或减小，函数的值会越来越接 近y轴或x轴。
相比之下，比例函数的图像是通过原点的直 线。
反比例函数的运算
乘除法反转
当两个变量成反比例关系时，乘积保持不变。
人教版九年级下册数学第26章《反比例函数》第1节《反比例函数的图像和性质》教案
1.教学重点
-反比例函数的定义及其表达式：y = k/x（k≠0），明确k的取值对函数图像的影响；
-反比例函数图像的识别及其性质，特别是在不同象限中的变化规律；
-掌握反比例函数图像的变换规律，包括平移、缩放等；
-应用反比例函数解决实际问题，强调数学建模过程。
举例：讲解反比例函数的定义时，通过具体例子（如：一辆汽车以恒定速度行驶，行驶时间t与路程s的关系为s = k/t）让学生理解k的物理意义，并强调k≠0这一条件。
五、教学反思
今天在教授《反比例函数的图像和性质》这一章节时，我尝试了多种教学方法和策略，现在来回顾一下整个教学过程，总结一下其中的亮点和需要改进的地方。
首先，我注意到在导入新课环节，通过提出与日常生活相关的问题，成功吸引了学生的注意力，激发了他们对反比例函数的兴趣。这一点让我感到很欣慰，因为兴趣是学习的最好动力。今后，我还可以继续探索更多贴近生活的例子，让学生感受到数学在现实世界中的应用。
谈到实践活动，我认为分组讨论和实验操作是非常有效的教学手段。学生们在讨论和操作过程中积极思考，相互交流，不仅巩固了反比例函数的知识点，还提高了他们的团队合作能力。不过，我也注意到，在实践活动过程中，有些小组的讨论进度较慢，可能是因为他们对问题理解不够深入。为了解决这个问题，我打算在下次活动前提供一些引导性问题或提示，帮助学生更快地进入讨论状态。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解反比例函数的基本概念。反比例函数是形如y = k/x（k≠0）的函数，它在生活中有着广泛的应用。它是描述两个变量成反比关系的数学模型，理解它对我们解决实际问题有很大帮助。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设有一辆汽车以恒定速度行驶，路程s与时间t的关系为s = k/t。通过这个案例，我们可以看到反比例函数在实际中的应用，以及如何帮助我们解决问题。
第十四讲反比例函数的图像和性质
选择合适坐标系
为了清晰地展示反比例函 数的图像，需要选择合适 的坐标系，通常使用笛卡 尔坐标系。
绘制函数图像
在坐标系中，通过计算不 同 $x$ 值对应的 $y$ 值 ，可以绘制出反比例函数 的图像。
图像变化趋势及拐点分析
变化趋势
当 $x$ 从负无穷增加到 0 时，反比例函数的值 $y$ 会从负无穷增加到负无穷 大；当 $x$ 从 0 增加到正无穷时，反比例函数的值 $y$ 会从正无穷大减小到 正无穷小。因此，反比例函数图像在坐标系中呈现双曲线形状。
图像特征
反比例函数的图像是以原点为对称中 心的两条曲线，当 $k > 0$ 时，图像 位于第一、三象限；当 $k < 0$ 时， 图像位于第二、四象限。
渐近线
反比例函数的图像无限接近于但永不 相交于 $x$ 轴和 $y$ 轴，这两条轴 是反比例函数的渐近线。
单调性
在每一象限内，随着 $x$ 的增大（或
03
与指数函数、对数函数关系
反比例函数与指数函数、对数函数在图像和性质上都有显著区别，一般
不会混淆。但在某些特定条件下，它们之间可能存在一定的联系或转化
关系。
02
反比例函数图像绘制与特点
坐标系中绘制反比例函数图像
01
02
03
确定函数表达式
首先确定反比例函数的表 达式，例如 $y = frac{k}{x}$（其中 $k neq 0$）。
定义
形如 $y = frac{k}{x}$（$k$ 为常 数且 $k neq 0$）的函数称为反 比例函数。
表示方法
反比例函数通常用 $y = frac{k}{x}$ 或 $xy = k$（$k$ 为 常数且 $k neq 0$）来表示，其 中 $x$ 是自变量，$y$ 是因变量 。
人教版初三数学下册反比例函数图像性质及应用
给予反馈和评价，帮助学生巩固所学知识。
感谢您的观看
THANKS
课堂互动环节：小组讨论、提问答疑
小组讨论
01
组织学生进行小组讨论，围绕反比例函数的图像性质及应用展
开讨论，鼓励学生互相交流、分享观点和解题思路。
提问答疑
02
鼓励学生提出在学习过程中遇到的问题和困惑，教师或其他学
生可以给予解答和帮助，共同解决学习难题。
课堂练习与反馈
03
安排适当的课堂练习，让学生运用所学知识解决问题，并及时
一般形式为 $y = frac{k_1}{x} + frac{k_2}{x}$ 或 $y = k_1 cdot frac{1}{x} + k_2 cdot frac{1}{x}$，其中 $k_1, k_2$ 为常数且 $k_1 neq 0, k_2 neq 0$。
图像特点与性质分析
01
图像特点：复合反比例函数的图像通常不是单一的反比例 函数图像，而是由多个反比例函数图像叠加或相减得到。
通过建立数学模型，将实际问题转化为反比例函数问题，进而计算相关图形的面积 。
反比例函数在几何图形面积计算中的应用，需要学生具备扎实的数学基础和较强的 思维能力。
案例分析：最值问题等
最值问题是数学中的常见问题之一，反比例函数在其中有着广泛的应用 。通过案例分析，可以让学生更好地理解反比例函数在最值问题中的应 用。
人教版初三数学下册反比 例函数图像性质及应用
汇报人：XXX 2024-01-22
目录
• 反比例函数基本概念 • 反比例函数图像性质 • 反比例函数在生活中的应用 • 反比例函数在数学中的应用 • 拓展内容：复合反比例函数 • 总结回顾与课堂互动环节
反比例函数的图象和性质课件
当 k > 0 时，反比例函数的图像 分布在第一象限和第三象限；当 k < 0 时，反比例函数的图像分 布在第二象限和第四象限。
反比例函数的基本形式
反比例函数的基本形式是 y = k/x (k ≠ 0)，也可以表示为 xy = k。
在这个函数中，x 和 y 的乘积始终等 于 k，而 k 的值决定了函数的图像在 哪个象限分布。
反比例函数的图像
反比例函数的图像通常是以原点为中心的双曲线，分布在四个象限。
当 k > 0 时，图像在第一象限和第三象限；当 k < 0 ，图像在第二象限和第四象 限。
反比例函数的图像不会与坐标轴相交，因为当 x 或 y 趋于无穷大时，y 或 x 将趋于 0。
CHAPTER 02
反比例函数的图像性质
人口增长与资源消耗的关 系
随着人口的增长，资源消耗也相应增加，但 这种增加并不是线性的，而是呈现出反比例 关系。这意味着人口增长得越快，资源消耗 得也越快，进一步加剧了资源紧张的局面。
在数学问题中的应用
解决几何问题
在几何学中，反比例函数经常被用来描述和解决与面积、体积和角度等相关的数学问题 。通过利用反比例关系，可以简化复杂问题的求解过程。
压强与体积的关系
在气体压力问题中，压强与体积成反比，即当体积增大时， 压强减小；反之亦然。这是解释和预测气体压力和体积关系 的基础。
在实际生活中的应用
药物剂量与效果的关系
在药物研究中，药物的剂量与其效果之间往 往存在反比例关系。这意味着当剂量增加时 ，效果可能减弱；反之亦然。了解这种关系 对于药物设计和使用非常重要。
反比例函数的图象和 性质ppt课件
contents
目录
• 反比例函数简介 • 反比例函数的图像性质 • 反比例函数的数学性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数与其他知识点的联系
人教版数学九年级下册《 反比例函数的图象和性质》PPT课件
，
则 a___b(填>、=或<).
>
已知点(-1,y1),(2,y2),(3,y3)在反比例函数
k2
y
x
的图象上,则下列结论中正确的是( B )
A.y1>y2>y3
B.y1>y3>y2
C.y3>y1>y2
D.y2>y3>y1
（k≠0)
探究新知
考点 2 利用反比例函数的图象和性质求字母的值
已知反比例函数 y a 1 x
…
…
y
描点：以表中各组对应
值作为点的坐标，在直
角坐标系内描绘出相应
的点．
6
5
4
3
2
1
－6 －5－4－3－2－1O
－1
连线：用光滑的曲线顺
－2
－3
次连接各点，即可得函
－4
6
12
－5
y
y
数
与
的图象.
－6
x
x
y
y
12
x
6
x
1 2 3 4 5 6 x
y
观察这两个函数
思考：
图象，回答问题：
(1) 每个函数图象分别
增大.
探究新知
反比例函数的图象和性质
形状
由两支曲线组成的.因此称它的图象为双曲线;
位置
当k>0时,两支双曲线分别位于第一、三象限内;
当k<0时,两支双曲线分别位于第二、四象限内;
增减性
图象的发展趋势
对称性
当k>0时,在每一象限内, y随x的增大而减小;
当k<0时,在每一象限内, y随x的增大而增大.
反比例函数图像与性质知识点
反比例函数是一种数学函数，它通常对应于反对比关系，即如果某个量越大，另一个量就越小，反之亦然。
一般地，一个反比例函数形式为y=k/x，其中k是一个未知的常数。
从定义看，即使x为0，y也能被赋以有限的值，它们的变化关系也不同于线性函数的变化关系。
反比例函数的图像为连续递减的弧形，它以y轴为对称轴，反比例函数在图像上表现为从原点（0，0）出发的一条弯曲的曲线，曲线的弧度越来越小，直至无穷远时与x轴垂直，当x=0时，y值可以被给定，这也是为什么反比例函数和线性函数不同的原因。
此外，反比例函数的基本特性还有，点（a，b）处的导数是负值；它仅当x的值小于k的值的时候才有可能产生拐点；可以通过倒数的非零多项式来求反比例函数的函数值；求反比例函数的定积分时，一般使用其定义域上的积分变量将函数值单调映射到［0,1］端点之间，然后再使用不同的奇偶性求对应此定积分。
总之，反比例函数在数学理论中具有重要的地位，它是一种常用的函数形式，也有着与线性函数不同的曲线图形和相应的参数特性。
这提醒我们，在令人兴奋的数学探索之旅中，要秉承科学的态度紧紧依靠量化的思维方式来深入探讨数学物理的规律。
数学：9.2《反比例函数的图像与性质》课件
y随x的增大而减小
反比例函数
y
=
k x
( k是常数,k≠0 )
双曲线
第一、三 象限
在每个象限内,y随x 的增大而减小
第二、四 象限 在每个象限内, y随x 的增大而增大
作业布置
1、课本练习1、2、3。
2、同步练习。
挑战 极限
k
在向反x轴比做例垂函线数,并y=连结x 原图点象，上所任得取面一积点 与k有何关系？再向y轴做垂线，两条 垂线与坐标轴所围成的矩形面积呢？
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
-2 -3 -4 -5 -6 -7
反比例函数图象的性质
➢当k>0时，函数图象的两个 分支分别在第一、三象限内， 在每个象限内，y随x的增大 而减小。
➢当k<0时，函数图象的两个 分支分别在第二、四象限内， 在每个象限内，y随x的增大 而增大。
➢图象的两个分支都无限接近 于x轴和y轴，但不会与x轴和y 轴相交。
何关系？
3、反比例函数的图象，当自变量x的值逐渐增大时，y如何变化？
这种变化与k的取值有关吗？
4、当函数图象的两支无限延伸时，它会与x轴、y轴相交吗？
y
6
y= x
y
y=
6 x
0x
0
x
5 4 3 2 1
-5 -4 -3 -2 -1
y= 6 x
-11 2 3 4 5 -2 -3 -4
5 4 3 2 1
y= 6 x
… 1 1.2 1.5 2
3
6
-6 -3 -2 -1.5 -1.2
y
6…
-1 …
描点 连线
-6 -5 -4 -3 -2
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与传统教材在内容和编写意图的比较：
三、自主探究，获取新知。
y 4 x
学生动手画图，相互观摩。作反比例函数 列表：（自变量的取值应注意些什么问题？）
X
y 4 x
的图象：
－8
1 8, 2
－4
-1
－2
-2
－1
-4
点 坐标
1 2
1 2
1 2
1
4
2
2
4
1
8
1 2
1 1 ,8 ,8 1, 4 2, 2 4,1 8, 4,1 2,2 1,4 1 2 2 2
提问：（1）反比例函数的图象是什么样子的？
（2）当k＞0时，反比例函数的图象在哪些象限？ 当k＜0呢？ （3）反比例函数的图象与坐标轴能否有交点？ （4）结合反比例函数的图象分析列表中所列举出来的
点坐标之间具有什么特征？
知识提炼：反比例函数的基本性质
k （1）反比例函数 y 的图象由两条曲线组成，叫做双曲线。 x
教学预设:
通过这节课的学习，大部分学生会画反比
例函数的图象，初步具备了用反比例函数的性
质来解题的意识。但在教学过程中，有几点学 生容易出现问题，一是连线时，反比例函数的 图象是两支曲线，是不封闭的，有些学生容易 画成封闭的；二时说明反比例函数
1 k 2 y x
的
图象所在的象限时，需要老师加以指导。教学
5.2 反比例函数的图象与性质 （一）
小溪塔三中 杨云
教材分析
总 述
教学 目标
重点 难点
本节课 与前后 知识内 在联系
与传统教 材在内容 和编写意 图的比较
总述：
本节课讲述内容为《反比例函数》的第二节，也 是这一章的重点。这一课时是在上一节课时的基础上， 进一步熟悉其图象和性质的过程。渗透数形结合的数 学思想及普遍联系的辨证唯物主义思想；培养学生的 观察能力，及用数学思想发现问题，解决问题的能力。 通过上一节课的学习，结合一次函数的知识，教材自 然地向学生介绍了如何作出反比例函数的图象。在作 图过程中应加强学生新旧知识的联系，要求学生首先 回顾以前函数图象的绘制过程与方法，让学生进一步 理解函数的三种表示方法，明确函数图象绘制的一般 步骤和研究函数的一般要求，教学时应给学生充分的 思考与交流的时间。
新教材中让学生反复作反比例函数的图象，为下 一步性质的探索打下良好的基础。因为在学生进行函 数的列表、描点作图的活动中，就已经开始了对反比 例函数性质的探索，而且通过对函数的三种表示方式 的整合，逐步形成对函数概念的整体性认识。在旧教 材中对反比例函数性质只是简单观察以后，由老师讲 解得到，但是在新教材中注重从操作、观察、概括和 交流这些数学活动中得到性质结论，从而逐步提高从 函数图象中获取信息的能力。这也充分体现了新课标 的精神:重视获取知识过程的体验。
中应体现学生的主体地位，教师只能起引导作 用。
设计思路
函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的 在总体设计思路上，本章与前面的有关函数类 基础上抽象出的重要数学概念，是研究现实世界变化 似，遵循了“问题情境--建立模型--拓展、应用” 规律的重要模型和方法。反比例函数也是日常生活和 的模式，首先通过具体问题情境，让学生从实际问 社会生产活动中较为常见的一个函数模型。学生曾在 题情境中抽象出反比例函数的概念，以学生为主体， 七年级下学期和八年级上学期学习过“变量之间的关 教师为引导，探索出反比例函数及其图象的主要性 系”和“一次函数”等内容，已经对函数有了初步的 质，最后利用反比例函数图象及其性质解决有关现 实问题。使知识得到升华，学以致用。 认识，在此基础上讨论反比例函数及其性质可以进一 步领悟函数的概念并积累研究函数性质的方法及用函 数观点处理实际问题的经验，为后继学习（如二次函 数等）产生积极影响。
探索与交流：
k1 在同一坐标系中，函数 y 和y=k2x+b的 x
图像大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条 件？说明理由。
A
B
C
D
七、梳理归纳，知识小结。
1、画函数图象的三个步骤，会画反比
例函数的图象。
2、பைடு நூலகம்比例函数图象特征及基本性质。
3、体会函数三种表示方法的转换。
八、布置作业
课本习题5.2 1
六、用规律，练一练。
1、给出两个反比例函数的图象（1）和 （2），判断哪一个是 和 为什么？已知点A(―2，a)在函数 上，则a= ；
y 2 x
y
2 x 2 y x
的图象。 的图像
（1）
（2）
2 a2 1 k 2 2、试分别说明反比例函数 y , y , y x x x 的图象所在的象限。
教法建议 : 教师采用类比法、观察法 反比例函数的性质往往借助于图像，如图像
位置，函数值随自变量的变化规律等，都可从图 像上一目了然地看出。学生学习反比例函数要与 学习其他函数一样，要善于数形结合，由解析式 联想到图像的位置及其性质，由图像和性质联想 比例系数k的符号。通过反比例函数图像的研究， 渗透反映其性质的图像的直观形象美，激发学生 的兴趣，也培养学生积极探求知识的意识，培养 学生的作图、观察、分析、总结的能力，同时向 学生渗透数形结合的教学思想方法，向学生渗透 数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，使 学生体会事物是有规律地变化着的观点。
一、回顾交流、问题牵引
1、函数有哪几种表示方法？
2、画y＝－2x-1的图象有哪些过程？ 一次函数的图象具有哪些特殊性质？
二、问题情景，导入新课。
3 、反比例函数的一般形式为 有何特殊要求 。 ，
4、一个矩形的面积为4，相邻两边长分别为x 和y，那么y是x的什么函数？写出y与x的函数 关系式。
-8
8
描点：以表中各组对应值作为点的坐 标，在直角坐标系内描出相应的点。 连线：1、按怎样的顺序来连结所描出 1 1 , 8 , ,8 这两点能连结吗？ 的各点？ 2 2 2.连线必须是光滑的曲线。
o
o
四、双边置疑，深入探究。
议一议： （ 1 ）你认为作反比例函数图象时应注意哪些 问题？与同伴进行交流。 （ 2 ）如果在列表时所选取的数值不同，那么 图象的形状是否相同？ （3）连线时能否连成折线？ （4）曲线的发展趋势如何，它们能与x轴相交 吗？与y 轴呢？
k 的图象，当k>0时，两支曲线分别位于 x 一、三象限内，当k<0 时，两支曲线分别位于第二、四象限内。
（2）反比例函数
y
（3）因k≠0,x≠0故y≠0,所以它们都不与坐标轴相交。 （4）画图时注意其美观性（对称性、延伸性）：反比例函数的图象 既是中心对称图形，又是轴对称图形。它们各自都有一个对称中心 两条对称轴；图象分别都是由两支曲线组成的，两个分支都无限趋 近但永远不能与x轴和y轴相交。
教学目标：
1、进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会 作反比例函数的图象； 2、体会函数三种方式的相互转换，对函数 进行认识上的整合；逐步提高从函数图象中 获取知识的能力；
3、初步探索并掌握反比例函数的基本性质。
重难点：
结合图象，总结出反比例函数的
性质,利用性质解决实际问题。
本节课与前后知识的内在联系：
•五、动手操作，知识升华。
•做一做：作反比例函数 的图象。 •讨论反比例函数图象的画法：学生按照列表、 描点、连线的顺序重复上面的操作，动手画 图，相互观摩，形成技能。
y 4 x
驶向胜利 的彼岸
想一想：观察
y
你所作的两个函数图象，找一下它们的相同点和不同点。
4 4 和 y x x
的图象，对照