小学奥数:算式谜(二).专项练习及答案解析

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5-1-1-2.算式谜(二)

教学目标

数字谜从形式上可以分为横式数字谜与竖式数字谜,从运算法则上可以分为加减乘除四种形式的数字谜。横式与竖式亦可以互相转换,本讲中将主要介绍数字谜的一般解题技巧。主要横式数字谜问题,因此,会需要利用数论的简单奇偶性等知识解决数字谜问题

知识点拨

一、基本概念

填算符:指在一些数之间的适当地方填上适当的运算符号(包括括号),从而使这些数和运算符号构成的算式成为一个等式。

算符:指 +、-、×、÷、()、[]、{}。

二、解决巧填算符的基本方法

(1)凑数法:根据所给的数,凑出一个与结果比较接近的数,再对算式中剩下的数字作适当的增加或减少,从而使等式成立。

(2)逆推法:常是从算式的最后一个数字开始,逐步向前推想,从而得到等式。

三、奇数和偶数的简单性质

(一)定义:整数可以分为奇数和偶数两类

(1)我们把1,3,5,7,9和个位数字是1,3,5,7,9的数叫奇数.

(2)把0,2,4,6,8和个位数是0,2,4,6,8的数叫偶数.

(二)性质:①奇数≠偶数.

②整数的加法有以下性质:

奇数+奇数=偶数;

奇数+偶数=奇数;

偶数+偶数=偶数.

③整数的减法有以下性质:

奇数-奇数=偶数;

奇数-偶数=奇数;

偶数-奇数=奇数;

偶数-偶数=偶数.

④整数的乘法有以下性质:

奇数×奇数=奇数;

奇数×偶数=偶数;

偶数×偶数=偶数.

例题精讲

模块一、填横式数字谜

【例 1】 将数字1~9填入下面方框,每个数字恰用一次,使得下列等式成立;

()200724=+÷+-★□□□□□□□现在“2”、“4”已经填入,当把其它数字都填入后,算式中唯一的减数(★处)是 .

【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】迎春杯,高年级,初赛,3试题 【解析】 方法一:首先可以估算四位数的取值范围:四位数不大于

()2007913428010+-⨯-=,不小于()2007198427638+-⨯-=.显然四位数的

千位数字只能是7.再由四位数与2的和能被4整除,可以确定四位数的个位数字一定是偶数,只能是6或8.若为6,由个位是8而能被4整除的数其十位数字是偶数,可知四位数只能为7986,而()7986241997+÷=,故只需利用剩下的数凑出10即可.剩下的数字是1,3,5,不能凑出10.所以四位数的个位数字不是6.四位数的个位数字是8时,由个位是0而能被4整除的数其十位数字是偶数,故四位数的十位数字是1、3、7或9.当四位数的十位数字是1时,四位数只可能是7918,而()7918241980+÷=,故只需利用剩下的数凑出27即可.剩下的数字是3,5,6,不能凑出27;当四位数的十位数字是3时,四位数只可能是7938,而()7938241985+÷=,故只需利用用剩下的数凑出22即可.剩下的数字是1,5,6,不能凑出22;当四位数的十位数字是5时,四位数只可能是7658或7958,若为7958,则由()7958241990+÷=,需利用剩下的数凑出17即可.剩下的数字是1,3,6,不能凑出17;若为7658,有()7658249312007+÷+-=;当四位数的十位数字是9时,四位数只可能是7698,而()7968241925+÷=,故只需利用剩下的数凑出82即可.剩下的数字是3,5,6,不能凑出82;故此题只有惟一答案:()7658249312007+÷+-=.算式中唯一的减数是1.

方法二:根据弃九法,7□□□+2+4+□□+★被9整除,而(7□□□+2)÷4+□□-★也被9整除。所以,后一式乘以4得到7□□□+2+4×□□-4×★被9整除,减去前一式得到3×□□-4-5×★被9整除。所以,★被3除余1,而4和7都已用,则★=1。 【答案】1

【例 2】 将1~9这九个数字分别填入下面算式的空格内,其中有一个数字已经知道,每

个空格内只许填一个数字,使算式成立:==7÷--□□□□□□□□

【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 观察此横式,共三个算式,÷□□□□□、-□□、7-□,要使这三个算式的运算

结果相同.由于第三个算式的减数已经知道,所以选择第三个算式7-□的差作为解题的突破口.因为7-□中被减数可填8和9,所以7-□,的差就可以为1和2这两种情况. (1)若第三个算式为87-,由于第一个算式÷□□□□□,不论这五个空格内填什么数字,都不能出现商为1,因此第三个算式不可能为87-.

(2)若第三个算式为97-,那么第一个算式为:=÷□□□□□2,即=2⨯□□□□□,从而积的百位数为1,此时还有2,3,4,5,6,8可填,由数字不重复出现可得两位乘数只能为86、83、82、64、62五种取值。

若乘数为86,积为86×2=172,7已出现,不行; 若乘数为83,积为83×2=166,6重复出现,不行;

若乘数为82,积为82×2=164,剩下的5-3=2,可以,此时有164825397÷=-=-

若乘数为64,积为64×2=128,剩下的5-3=2,可以,此时有

128645397÷=-=-

若乘数为62,积为62×2=124,2重复出现,不行.

【答案】164825397÷=-=-或128645397÷=-=-。

【例 3】 1~9这九个数字分别填入下面算式的空格中,每个空格只许填一个数字,使算式

成立:

==÷÷÷□□□□□□□□□

【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 由于三个算式都是两位数除以一位数,所以考虑起来比较困难.

(1)如果1出现在被除数的十位,则每个算式的商最小为2,最大为9.

为了叙述方便,将方格内先填上字母:A B C D E F G H I ÷=÷=÷

①若2A B C D E F G H I ÷=÷=÷=,则三个算式中A =D =G =1,出现

重复数字,

所以三个算式的商不可能都为2.

②3A B C D E F G H I ÷=÷=÷=,则三个算式中的A 、D 、G 必为1和

2,

也出现重复数字,所以三个算式的商不可能都为3.

③4A B C D E F G H I ÷=÷=÷=,则三个算式中的A 、D 、G 为1、2和

3,

12÷3=4 24÷6=4 32÷8=4 16÷4=4 28÷7=4 36÷9=4

若第一个算式为123÷,则D 与G 都不能为2,只能为3,出现重复数字,因此第一个算式为164÷,由于4与6都已用过,所以第二个算式不可能为246÷,便为287÷,这时剩下3、5、9三个数字没有用过,而这三个数字无法组成商为4的除法算式,因此三个算式的商不可能都为4.

④ 三个算式的商不可能都为5,否则会出现B =E =H =5,或B 、E 、H 中有为0的,而我们所使用的数字中不包括0.

⑤若6A B C D E F G H I ÷=÷=÷=,18÷3=6 42÷7=6 54÷9=6

由于在这三个算式的被除数与除数部分,4重复出现,因此三个算式的商不可能都为6. ⑥若7A B C D E F G H I ÷=÷=÷=,

14÷2=7 21÷3=7 28÷4=7 42÷6=7, 49÷7=7 56÷8=7 63÷9=7

由于找不到三个左边数字不重复出现的式子,因此三个算式的商不可能都为7. ⑦若8A B C D E F G H I ÷=÷=÷=

16÷2=8 24÷3=8 32÷4=8 56÷7=8 64÷8=8 72÷9=8

由于找不到三个左边数字不重复出现的式子,因此三个算式的商不可能都为8. ⑧若9A B C D E F G H I ÷=÷=÷=

18÷2=9 27÷3=9 36÷4=9 54÷6=9 63÷7=9 72÷8=9 81÷9=9

由于找不到三个左边数字不重复出现的式子,因此三个算式的商不可能都为9.

(2)如果1出现在被除数的个位,则商为3、7、9、13、17、27.

①若3A B C D E F G H I ÷=÷=÷=,

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