中考数学考点复习课件习题第四节相似三角形

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2023年中考数学高频考点突破——相似三角形

2023年中考数学高频考点突破——相似三角形1．如图，在△ABC中，BC＝3，D为AC延长线上一点，AC＝3CD，∠CBD＝∠A，过D 作DH∥AB，交BC的延长线于点H．（1）求证：△HCD∽△HDB．（2）求DH长度．2．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，试说明：（1）△ABE∽△ACD；（2）AD•BC＝DE•AC．3．如图1，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点D、F分别是边AC、BC 上的动点，过点D作AB的垂线，垂足为E，连接FD，FE．设C、D两点之间的距离为x，C、F两点之间的距离为y．（1）当DE＝4时，求x的值；（2）如图2，以FD，FE为邻边作▱FDGE，当x＝3时，是否存在y，使得▱FDGE的顶点G恰好落在△ABC的边上？若存在，请求出y的值，若不存在，请说明理由．4．如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，BC＝，CD＝，DA＝1．（1）求证：∠BCD＝45°；（2）求AC的长．5．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点E，交DC的延长线于点F，点G 在AE上，联结GD，∠GDF＝∠F．（1）求证：AD2＝DG•AF；（2）联结BG，如果BG⊥AE，且AB＝6，AD＝9，求AF的长．6．如图，已知，在平行四边形ABCD中，E为射线CB上一点，联结DE交对角线AC于点F，∠ADE＝∠BAC．（1）求证：CF•CA＝CB•CE；（2）如果AC＝DE，求证：四边形ABCD是菱形．7．探究：某学校数学社团遇到这样一个题目：如图①，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝3，BO：CO＝1：3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，连接BD，如图②所示，通过构造△ABD就可以解决问题．请你写出求AB长的过程．应用：如图③，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3．若AO＝3，请你求出AB的长．8．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD 的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△CGE；（2）若AF＝2FD，求的值．9．如图，在正方形ABCD中，在BC边上取中点E，连接DE，过点E作EF⊥ED交AB于点G、交AD延长线于点F．（1）求证：△ECD∽△DEF；（2）若CD＝4，求AF的长．10．如图，平行四边形ABCD，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C．（1）求证：△ADE∽△DBE；（2）若DC＝7cm，BE＝9cm，求DE的长．11．如图，已知四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AC．过点A作AE⊥CD，垂足为点E，AE与BD相交于点F．过点C作CG⊥AC，与AE的延长线相交于点G．求证：（1）△ACG≌△DOA；（2）DF•BD＝2DE•AG．12．已知，如图，CD是Rt△ABC斜边上的中线，DE⊥AB交BC于F，交AC的延长线于E，求证：（1）△ADE∽△FDB；（2）CD2＝DE•DF．13．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、BC、CD上，且EF⊥FG于F．（1）求证：△BEF∽△CFG；（2）若AB＝12，AE＝3，CF＝4，求CG的长．14．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求证：△BDE∽△EFC．（2）设，①若BC＝12，求线段BE的长；②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．15．如图，已知AB∥DC，点E、F在线段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF．（1）求证：△ABE∽△CDF；（2）若BD＝8，DF＝2，求EF的长．16．如图，已知在△ABC中，AD是内角平分线，点E在AC边上，且∠AED＝∠ADB．求证：（1）△ABD∽△ADE；（2）AD2＝AB•AE．17．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C．（1）试说明△BCA∽△BAD；（2）若AB＝6，BD＝4，求CD的长．18．如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝90°，AB＝7，AD＝9，BC＝12，在线段BC上任取一点E，连接DE，作EF⊥DE，交直线AB于点F．（1）若点F与B重合，求CE的长；（2）若点F在线段AB上，且AF＝CE，求CE的长．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．（1）证明：△ACD∽△CBD；（2）已知AD＝2，BD＝4，求CD的长．20．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，AC＝2BC，过点C作AB的垂线l交于AB于点E，交⊙O于点D，设点P是上异于A，C的一个动点，AP的连线交l于点F，连接PC与PD；（1）若∠FPC＝∠B，求证：△PAC∽△CAF；（2）若AB＝5，点P为的中点，求PD的长．参考答案与试题解析1．【解答】解：（1）证明：∵DH∥AB，∴∠A＝∠HDC，∵∠CBD＝∠A，∴∠HDC＝∠CBD，又∠H＝∠H，∴△HCD∽△HDB；（2）∵DH∥AB，∴＝，∵AC＝3CD，∴＝，∴CH＝1，∴BH＝BC+CH＝3+1＝4，由（1）知△HCD∽△HDB，∴＝，∴DH2＝4×1＝4，∴DH＝2（负值舍去）．答：DH的长度为2．2．【解答】解：（1）∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠ADC＝90°，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE∽△ACD；（2）∵△ABE∽△ACD，∴，在△ADE和△ACB中，，∴△ADE∽△ACB，∴，∴AD•BC＝DE•AC．3．【解答】解：（1）∵DE⊥AB，⊥BC，∴∠AED＝∠C＝90°．∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC．∴．∴，∴AD＝．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝8．∴CD＝AC﹣AD＝8﹣＝．∴．（2）存在，理由：①如下图，G落在AC上，∵EF∥AC，∴△EBF∽△ABC，∴．设BF＝3k，EB＝5k，∴AE＝10﹣5k，∵DC＝3，∴AD＝8﹣3＝5．由（1）知：△ADE∽△ABC，∴．∴AE＝4，∴10﹣5k＝4，∴，∴，∴．②如下图，G落在AB上，∵DF∥AB，∴△DFC∽△ABC，∴．∴∴y＝．综上，当x＝3时，存在y＝或，使得▱FDGE的顶点G恰好落在△ABC的边上．4．【解答】（1）证明：连接BD，在△BAD中，AB⊥AD，AB＝2，DA＝1，则BD＝＝，在△CBD中，BC2+BD2＝（）2+（）2＝10＝（）2＝CD2，∴∠CBD＝90°，∵BD＝BC＝，∴△CBD是等腰直角三角形，∴∠BCD＝45°；（2）解：作CM⊥AB，交AB的延长线于M，∵∠ABD+∠ADB＝90°，∠ABD+∠CBM＝90°，∴∠ADB＝∠CBM，∵∠DAB＝∠BMC＝90°，∴△ABD∽△MCB（AA），∴＝，即＝，解得BM＝1，在△CMB中，CM＝＝2，∴AM＝2+1＝3，在△CMA中，AC＝＝＝．5．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DF，AD∥BC，∵AE平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF＝∠F，∴AD＝DF，∵∠GDF＝∠F，∴△GDF∽△DAF，∴＝，∴AD2＝DG•AF；（2）解：∵AF平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAF，∵AD∥BC，∴∠BEA＝∠DAF，∴∠BEA＝∠BAE，∵BG⊥AE，AB＝6，AD＝9，∴BA＝BE＝6，∵∠BEA＝∠CEF，∴∠CEF＝∠F，∴EC＝CF＝3，DF＝AD＝9，∴＝＝，即AG＝GE＝EF，∵AD2＝DG•AF，∵∠GDF＝∠F．∴GD＝GF，∴AF2＝81，∴AF＝．6．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形．∴AD∥BC．∴∠ADE＝∠E．∵∠ADE＝∠BAC．∴∠BAC＝∠E．∵∠ACB＝∠ECF．∴△ACB∽△ECF．∴．∴CF•CA＝CB•CE（2）由（1）知∠ADE＝∠E．∵∠DFA＝∠EFC．∴△ADF∽△CEF．∴．∴．∵AC＝DE．∴EF＝CF．∵△ACB∽△ECF．∴AB＝BC∵四边形ABCD是平行四边形．∴四边形ABCD是菱形．7．【解答】解：探究：∵BD∥AC，∴∠ADB＝∠OAC＝75°．∵∠BOD＝∠COA，∴△BOD∽△COA，∴＝＝．又∵AO＝3，∴OD＝AO＝，∴AD＝AO+OD＝4．∵∠BAD＝30°，∠ADB＝75°，∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝75°＝∠ADB，∴AB＝AD＝4．应用：过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．∵AC⊥AD，BE∥AD，∴∠DAC＝∠BEA＝90°．∵∠AOD＝∠EOB，∴△AOD∽△EOB，∴＝＝．∵BO：OD＝1：3，∴＝＝．∵AO＝3，∴EO＝，∴AE＝4．∵∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，AB＝AC，∴AB＝2BE．在Rt△AEB中，BE2+AE2＝AB2，即（）2+BE2＝（2BE）2，解得：BE＝4，∴AB＝2BE＝8．8．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB＝∠ECG，∠EBA＝∠EGC，∴△ABE∽△CGE；（2）∵AF＝2FD，∴AD＝3DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，DF∥CB，∴BC＝3FD，△GFD∽△GBC，∴，∴，∴，∴＝，∵△ABE∽△CGE，∴＝，即的值是．9．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，EF⊥ED，∴∠FED＝∠C＝90°，BC∥AD，∴∠CED＝∠FDE，∴△ECD∽△DEF；（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝90°，AD＝BC＝CD＝4，∵E为BC的中点，∴CE＝BC＝2，在Rt△DCE中，由勾股定理得：DE＝＝＝2，∵△ECD∽△DEF，∴＝，∴＝，解得：DF＝10，∵AD＝4，∴AF＝DF﹣AD＝10﹣4＝6．10．【解答】（1）证明：平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，∵∠EDB＝∠C，∴∠A＝∠EDB，又∠E＝∠E，∴△ADE∽△DBE；（2）平行四边形ABCD中，DC＝AB，由（1）得△ADE∽△DBE，∴，∵DC＝7cm，BE＝9cm，∴AB＝7cm，AE＝16cm，∴DE＝12cm．11．【解答】证明：（1）∵在菱形ABCD中，AD＝CD，AC⊥BD，OB＝OD，∴∠DAC＝∠DCA，∠AOD＝90°，∵AE⊥CD，CG⊥AC，∴∠DCA+∠GCE＝90°，∠G+∠GCE＝90°，∴∠G＝∠DCA，∴∠G＝∠DAC，∵BD＝2AC，BD＝2OD，∴AC＝OD，在△ACG和△DOA中，∴△ACG≌△DOA（AAS）；（2）∵AE⊥CD，BD⊥AC，∴∠DOC＝∠DEF＝90°，∴△CDO∽△FDE，∴＝，即得OD•DF＝DE•CD，∵△ACG≌△DOA，∴AG＝AD＝CD，又∵OD＝BD，∴DF•BD＝2DE•AG．12．【解答】解：（1）∵DE⊥AB，△ABC是RT△，∴∠ACB＝∠EDB＝90°，∵∠DFB＝∠CFE，∴∠DBF＝∠CEF，∴△ADE∽△FDB；（2）∵△ADE∽△FDB，∴＝∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，∴DA＝DB＝CD，∴＝，∴CD2＝DE•DF．13．【解答】解：（1）∵ABCD是正方形，EF⊥FG于F，∴∠B＝∠C＝∠EFG＝90°，∴∠BEF+∠BFE＝∠BFE+∠CFG＝90°，∴△BEF∽△CFG；（2）解：∵△BEF∽△CFG，∴，∴．14．【解答】（1）证明：∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠FCE，∵EF∥AB，∴∠DBE＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC；（2）解：①∵EF∥AB，∴＝＝，∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，∴＝，解得：BE＝4；②∵＝，∴＝，∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC，∴＝（）2＝（）2＝，＝S△EFC＝×20＝5．∴S△ABC15．【解答】（1）证明：∵AB∥DC，∴∠B＝∠D，∵AB＝2DC，BE＝2DF，∴AB：DC＝BE：DF＝2，∴△ABE∽△CDF；（2）解：∵BE＝2DF，DF＝2，∴BE＝4，∵BD＝8，∴EF＝BD﹣DF﹣BE＝2．16．【解答】证明：（1）∵AD是内角平分线，∴∠BAD＝∠DAE，∵∠AED＝∠ADB，∴△ABD∽△ADE．（2）∵△ABD∽△ADE，∴AD：AE＝AB：AD，∴AD2＝AB•AE．17．【解答】（1）证明：∵∠B＝∠B，∠BAD＝∠C，∴△BAD∽△BCA．（2）解：设CD＝x．∵△BAD∽△BCA，∴＝，∴＝，∴x＝5，∴CD＝5．18．【解答】解：（1）当F和B重合时，∵EF⊥DE，∵DE⊥BC，∵∠B＝90°，∴AB⊥BC，∴AB∥DE，∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD＝EF＝9，∴CE＝BC﹣EF＝12﹣9＝3；（2）过D作DM⊥BC于M，∵∠B＝90°，∴AB⊥BC，∴DM∥AB，∵AD∥BC，∴四边形ABMD是矩形，∴AD ＝BM ＝9，AB ＝DM ＝7，CM ＝12﹣9＝3，设AF ＝CE ＝a ，则BF ＝7﹣a ，EM ＝a ﹣3，BE ＝12﹣a ，∵∠FEC ＝∠B ＝∠DMB ＝90°，∴∠FEB +∠DEM ＝90°，∠BFE +∠FEB ＝90°，∴∠BFE ＝∠DEM ，∵∠B ＝∠DME ，∴△FBE ∽△EMD ，∴＝，∴＝，a ＝5，a ＝17，∵点F 在线段AB 上，AB ＝7，∴AF ＝CE ＝17（舍去），即CE ＝5．19．【解答】证明：（1）∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠CDA ＝∠CDB ＝90°，∵∠A +∠ACD ＝∠ACD +∠BCD ＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，∴，∴CD2＝AD•BD＝2×4＝8，∴CD＝2．20．【解答】（1）证明：连接AD，∵AB⊥CD，AB是⊙O的直径，∴，∴∠ACD＝∠B＝∠ADC，∵∠FPC＝∠B，∴∠ACD＝∠FPC，∴∠APC＝∠ACF，∵∠FAC＝∠CAF，∴△PAC∽△CAF；（2）连接OP，则OA＝OB＝OP＝AB＝，∵点P为的中点，∴OP⊥AB，∠OPG＝∠PDC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝2BC，∴tan∠CAB＝tan∠DCB＝，∴，∴AE＝4BE，∵AE+BE＝AB＝5，∴AE＝4，BE＝1，CE＝2，∴OE＝OB﹣BE＝2.5﹣1＝1.5，∵∠OPG＝∠PDC，∠OGP＝∠DGE，∴△OPG∽△EDG，∴，∴，∴GE＝，OG＝，∴PG＝＝＝，GD＝＝＝，∴PD＝PG+GD＝．。

中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)

中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)相似模型相似模型一：A字型特征：DE∥BC模型结论：根据A字型相似模型，可以得出以下结论：C∠B=∠XXXAC²=AD×AB相似模型二：X型特征：AC∥BD模型结论：根据X型相似模型，可以得出以下结论：AO×OB=OC×ODBOC∽△DOACAOC∽△DOB相似模型三：旋转相似特征：成比例线，段共端点模型结论：根据旋转相似模型，可以得出以下结论：BEF∽△BCDDEF∽△DABAEB∽△DEC相似模型四：三平行模型特征：AB∥EF∥CD模型结论：根据三平行模型，可以得出以下结论：ABE∽△CDF相似模型五：半角模型特征：90度，45度；120度，60度模型结论：根据半角模型，可以得出以下结论：ABN∽△MAN∽△MCAABD∽△CAE∽△CBA相似模型六：三角形内接矩形模型特征：矩形EFGH或正方形EFGH内接与三角形模型结论：根据三角形内接矩形模型，可以得出以下结论：ABC∽△EFH相似模型七：十字模型特征：正方形HDGB模型结论：根据十字模型，可以得出以下结论：若AF=BE，则AF⊥BE，且为长方形若AF⊥BE，则AF=BEBDBC平行四边形，且△GME∽△HNF，△MED≌△BFA。

下面给出几个几何问题。

1.在△ABC中，AB＝AC，且有以下七个结论：①D为AC中点；②AE⊥BD；③BE：EC＝2：1；④∠ADB＝∠CDE；⑤∠AEB＝∠CED；⑥∠BMC＝135°；⑦BM：MC＝2：1.求AC和CD的比值。

2.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，线段BC，AD相交于点F，点E是线段AF上一点且满足∠BEF=∠C，其中AF=6，DF=3，CF=2，求AE的长度。

3.在Rt△ABD中，过点D作CD⊥BD，垂足为D，连接XXX于点E，过点E作EF⊥BD于点F，若AB=15，CD=10，求4.在□ABCD中，E为BC的中点，连接AE，AC，分别交BD于M，N，求5.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过E作EF∥AB交BD于点F。

中考数学一轮复习第二讲空间与图形第四章三角形4.4相似三角形课件

,=且��+b��1��+( b2b+,d…≠+0 bn≠).0,那么��11++��22++… …++��
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��11.
特别提醒
有关等比性质的注意事项:( 1 )等比性质的证明运用了“设 k 法”( 即引入新的参数
特别提醒这些相似三角形的基本图形只是最基本的,也是为了让同学们尽快地熟悉常见的相似三角形的情况,但在实际问题中,两个相似三角形的位置各种各样、千变万化,脑海中不能仅局限于以上这几种情况.
考点扫描
名师考点精讲
考点1 考点2 考点3 考点4
典例3 ( 2018·亳州利辛县模拟 )在三角形纸片ABC中,AB=8,BC=4,AC=6,按下列方法
解答题
23(
②
2
分值 5
)5
) )
10
4
5 )5
2019 年中考命题预测
考查内容:相似三角形的判定和性质. 考查题型:从安徽省近几年的中考试题可以看出,有关相似形的题目每年都会考,有时是选择题,有时是解答题( 含作图题 ),分值在 5~10 分不等,且有分值在增大、越来越重视的趋势. 中考趋势:预测 2019 年的中考,会延续近几年的趋势,考 1~2 个有关相似形的题目,可能是选择题,也可能是解答题( 含作图题 ),如果是解答题,很可能是与其他知识的综合,“相似形”会是题目中的 1~2 个小问.
4.4 相似三角形
考纲解读
了解比例的基本性质,了解线段的比、成比例线段的概念,了解黄金分割.了解图形相似的概念,了解相似多边形和相似比,理解相似三角形的概念和性质.理解并掌握两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.理解并掌握相似三角形的判定定理.能够利用相似三角形的判定定理和相似三角形的性质定理证明和解决有关的问题.了解位似图形的概念,能够利用位似将一个图形放大或缩小,能利用图形的相似解决一些简单实际问题.

相似三角形-备战2022年中考数学一轮复习考点(浙江专用)(解析版)

考点14 相似三角形【命题趋势】相似三角形是中考数学中非常重要的一个考点，它不仅可以作为简单考点单独考察，还经常作为压轴题的重要解题方法，和其他如函数、特殊四边形、圆等问题一起考察。

而且，在很多压轴题中，虽然题面上没有明确考察相似三角形的判定或性质，但是经常通过相似三角形的判定以及性质来得到角相等或者边长间的关系，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段。

需要考生在复习的时候给予加倍的重视！【中考考查重点】一、比例线段二、相似三角形的性质三、相似三角形的判定四、相似三角形的基本图形考向一：比例线段一．比例的性质1.基本性质：bc ad d c b a =⇔=::；2.比例中项：b a c b c c a ⋅=⇔=2::，此时，c 为a 、b 的比例中项；二．比例线段1.比例线段：在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段简称比例线段；2.黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ． 3.平行线分线段成比例的基本性质：如图：AB ∥CD ∥EF ⇔DE BD CF AC =【同步练习】 1．已知＝，则的值为（） A ．B ．C ．D ．【分析】直接利用同一未知数表示出a，b的值，进而代入化简即可．【解答】解：∵＝，∴设a＝2x，b＝5x，∴＝＝．故选：C．2．线段AB的长为2，点C是线段AB的黄金分割点，则线段AC的长可能是（）A．+1B．2﹣C．3﹣D．﹣2【分析】根据黄金分割点的定义，知AC可能是较长线段，也可能是较短线段，分别求出即可．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，∴AC＝AB＝×2＝﹣1，或AC＝2﹣（﹣1）＝3﹣，故选：C．3．如图，直线a，b，c截直线e和f，a∥b∥c，，则下列结论中，正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解答本题．【解答】解：∵a∥b∥c，，∴＝，∴，，，故选项A正确，符合题意，选项B、D不正确，不符合题意；连接AF，交BE于H，∵BE∥CF，∴△ABH∽△ACF，∴，，∴选项C不正确，不符合题意；故选：A．4．若＝＝（a≠c），则＝．【分析】根据等比的性质即可求解．【解答】解：∵＝＝（a≠c），∴＝．故答案为：．5．若（x、y、z均不为0），则＝．【分析】设比值为k，然后用k表示出x、y、z，再代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：设＝＝＝k（k≠0），则x＝6k，y＝4k，z＝3k，所以，＝＝3．故答案为：3．6．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE＝6，，则EC的长是．【分析】根据平行线分线段成比例定理的推论得出＝，将AE＝6代入，求出AC＝14，那么EC＝AC﹣AE＝8．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∵AE＝6，∴＝，解得：AC ＝14，∴EC ＝AC ﹣AE ＝14﹣6＝8．故答案是：8．考向二：相似三角形的性质相似三角形的性质相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例相似三角形的周长之比等于相似比相似三角形的面积之比等于相似比的平方相似三角形的对应“三线”（高线、中线、角平分线）之比等于相似比【方法提炼】【同步练习】1．如图，已知△ABE ∽△CDE ，AD 、BC 相交于点E ，△ABE 与△CDE 的周长之比是，若AE ＝2、BE ＝1，则BC 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】首先利用周长之比求得相似比，然后根据AE 的长求得CE 的长，从而求得BC 的长．【解答】解：∵△ABE ∽△CDE ，△ABE 与△CDE 的周长之比是， ∴AE ：CE ＝2：5， ∵AE ＝2， ∴CE ＝5，相似三角形性质的主要应用方向： ➢ 求角的度数 ➢ 求或证明比值关系 ➢ 证线段等积式 ➢ 求面积或面积比相似三角形的对应边成比例是求线段长度的重要方法，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段∵BE＝1，∴BC＝BE+EC＝1+5＝6，故选：D．2．如图，已知△ABC∽△DEF，若∠A＝35°，∠B＝65°，则∠F的度数是（）A．30°B．35°C．80°D．100°【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再根据相似三角形对应角相等即可解决问题．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝35°，∠B＝65°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣35°﹣65°＝80°，又∵△ABC∽△DEF，∴∠F＝∠C＝80°，故选：C．3．如图，在正方形网格中：△ABC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，△ABC∽△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】利用相似三角形的性质，证明∠BAC＝135°，可得结论．【解答】解：∵△ABC∽△EDF，∴∠BAC＝∠DEF＝135°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣135°＝45°，故选：B．4．如图，△ABC∽△A'B′C′，下列说法正确的是（）A．∠B＝∠C′B．S△ABC＝2S△A′B'C'C．AC＝4A'C'D．A'B′＝6【分析】根据相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵△ABC∽△A'B′C′，AB＝12，BC＝2a，B'C'＝a，∴∠B＝∠B'，S△ABC：S△ABC＝＝4，AC＝2A'C'，A'B'＝AB＝＝6．故A、B、C错误，D正确；故选：D．5．若D为△ABC中AB边上一点，且DE∥BC交AC于E，AB＝6，BC＝8，AC＝10，若△ADE与△ABC 的相似比为，则AE ＝．【分析】先根据DE∥BC得出△ADE∽△ABC，再根据AC＝10以及△ADE与△ABC的相似比为，即可求出AE．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵△ADE与△ABC的相似比为，∴＝，∵AC＝10，∴AE＝5．故答案为：5．考向三：相似三角形的判定一．相似三角形的判定方法：判定方法1·平行∵DE∥BC∴△ABC∽△ADE判定方法2·“AA”∵∠A=∠A`，∠C=∠C` ∴△ABC∽△A，B，C，二．判定三角形相似的思路：（1）有平行截线——用平行线的性质，找等角（2）有一对等角，找⎩⎨⎧该角的两边对应成比例另一对等角（3）有两边对应成比例，找夹角相等（4）直角三角形，找⎩⎨⎧例直角边、斜边对应成比一对锐角相等（5）等腰三角形，找⎩⎨⎧底边和腰长对应成比例一对底角相等【同步练习】1．如图，在△ABC 纸片中，∠A ＝76°，∠B ＝34°．将△ABC 纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（） A ．①②B ．②④C ．①③D ．③④【分析】根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．【解答】解：图①中，∠B ＝∠B ，∠A ＝∠BDE ＝76°，所以△BDE 和△ABC 相似；图②中，∠B ＝∠B ，不符合相似三角形的判定，不能推出△BCD 和△ABC 相似；判定方法3·“SAS ”∵````C B BCB A AB =，∠B=∠B ∴△ABC ∽△A ，B ，C ，判定方法4·“SSS ”∵``````C A ACC B BC B A AB == ∴△ABC ∽△A ，B ，C ，图③中，∠C＝∠C，∠CED＝∠B，所以△CDE和△CAB相似；图④中，∠C＝∠C，不符合相似三角形的判定，不能推出△CDE和△ABC相似；所以阴影三角形与原三角形相似的有①③，故选：C．2．下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．＝D．AB2＝AD•AC【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．【解答】解：A、∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；B、∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；C、不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意；D、∵AB2＝AD•AC，∴，∠A＝∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意．故选：C．3．如图，在下列四个条件：①∠B＝∠C，②∠ADB＝∠AEC，③AD：AC＝AE：AB，④PE：PD＝PB：PC 中，随机抽取一个能使△BPE∽△CPD的概率是（）A．0.25B．0.5C．0.75D．1【分析】根据相似三角形的判定方法判断即可．【解答】解：由题意得：∠DPC＝∠EPB，①∠B＝∠C，根据两角相等的两个三角形相似可得：△BPE∽△CPD，②∵∠ADB＝∠AEC，∴∠PDC ＝∠PEB ，所以，根据两角相等的两个三角形相似可得：△BPE ∽△CPD ， ③∵AD ：AC ＝AE ：AB ，∠A ＝∠A ， ∴△ADB ∽△AEC ， ∴∠B ＝∠C ，所以，根据两角相等的两个三角形相似可得：△BPE ∽△CPD ，④PE ：PD ＝PB ：PC ，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得：△BPE ∽△CPD ， ∴在上列四个条件中，随机抽取一个能使△BPE ∽△CPD 的概率是：1，故选：D ．4．如图，在△ABC 中，AB ＝12，BC ＝15，D 为BC 上一点，且BD ＝BC ，在AB 边上取一点E ，使以B ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则BE＝．【分析】根据相似三角形对应边成比例得出或，再代值计算即可．【解答】解：∵△BDE ∽△BCA 或△BDE ∽△BAC ， ∴或，∵BD ＝BC ，BC ＝15， ∴BD ＝5， ∵AB ＝12， ∴或，解得：BE ＝4或．故答案为：4或．考向四：相似三角形的基本图形一、A 字图及其变型“斜A 型”当∠ADE=∠ACB 时 △ADE ∽△ACB 性质：BCDEAB AE AC AD ==当DE ∥BC 时 △ADE ∽△ABC 性质：BCDEACAE ABAD ==①当∠A=∠C 时 △AJB ∽△CJD 性质：JDJBJC JA CDAB ==变型☆：斜A 型在圆中的应用：如图可得：△PAB ∽△PCD二、8字图及其变型“蝴蝶型”变型三、一般母子型：联系应用：切割线定理：如图，PB 为圆O 切线，B 为切点，则：△PAB ∽△PBC得：四、一线三等角：同侧型（通常以等腰三角形或者等边三角形为背景）当AB ∥CD 时 △AOB ∽△DOC性质：OCOBOD OA CD AB ==当∠ABD=∠ACB 时 △ABD ∽△ACB 性质：ACAD AB •=2 PC PA PB •=2其中： ∠A 是公共角 AB 是公共边 BD 与BC 是对应边异侧型五、手拉手相似模型：模型名称几何模型图形特点具有性质相似型手拉手△ABC∽△ADEA、D、E逆时针A、B、C逆时针连结BD、CE①△ABD∽△ACE②△AOB∽△HOC③旋转角相等④A、B、C、H四点共圆“反向”相似型手拉手△ABC∽△ADEA、D、E顺时针A、B、C逆时针A、D、E`逆时针作△ADE关于AD对称的△ADE`性质同上①②③【同步练习】1．如图，已知，DE∥BC，AD：DB＝1：2，那么下列结论中，正确的是（）A．DE：BC＝1：2B．AE：AC＝1：3C．AD：AE＝1：2D．S△ADE：S四边形BDEC＝1：4【分析】利用平行线分线段成比例定理，比例的性质和相似三角形的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．【解答】解：∵AD：DB＝1：2，∴．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．∴A选项的结论错误；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．∴B选项的结论正确；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．∴C选项的结论错误；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．设S△ADE＝k，则S△ABC＝9k，∴S四边形BDEC＝S△ABC﹣S△ADE＝8k，∴．∴D选项的结论错误．综上所述，正确的结论是B，故选：B．2．如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，FC＝6，则DG的长是（）A．4B．C．D．5【分析】由矩形的性质可求出∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，证明△EFB∽△FGC，由相似三角形的性质得出，求出CG＝4，同理可得出△DAE∽△EBF，由相似三角形的性质求出AE的长，则可求出答案．【解答】解：∵EF⊥FG，∴∠EFB+∠GFC＝90°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，∴∠GFC+∠FGC＝90°，∴∠EFB＝∠FGC，∴△EFB∽△FGC，∴，∵BE＝3，BF＝2，FC＝6，∴，∴CG＝4，同理可得△DAE∽△EBF，∴，∴，∴AE＝，∴BA＝AE+BE＝+3＝，∴DG＝CD﹣CG＝﹣4＝．故选：B．3．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，此时点D落在边AB上，且DE垂直平分BC，则的值是（）A．B．C．D．【分析】根据旋转的性质和线段垂直平分线的性质证明△DCF∽△DEC，对应边成比例即可解决问题．【解答】解：如图，设DE与BC交于点F，由旋转可知：CA＝CD，AB＝DE，BC＝EC，∠B＝∠E，∵DE垂直平分BC，∴DF⊥BC，DC＝DB，CF＝BF＝BC＝EC，∴∠DCB＝∠B＝∠E，∵∠DCB+∠FDC＝90°，∴∠E+∠FDC＝90°，∴∠DCE＝90°，∴△DCF∽△DEC，∴＝＝，∴＝．故选：B．4．如图，已知在△ABC中，点D在边AB上，那么下列条件中不能判定△ABC∼△ACD的是（）A．B．AC2＝AD•AB C．∠B＝∠ACD D．∠ADC＝∠ACB【分析】△ABC和△ACD有公共角，然后根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断．【解答】解：∵∠DAC＝∠CAB，∴当∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ACD∽△ABC；当，即AC2＝AD•AB时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ACD∽△ABC．故选：A．5．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，若AE＝3，ED＝5，则的值为．【分析】利用平行线的性质判定△ABE∽△DCE，利用相似三角形的性质可得结论．【解答】解：∵AB∥CD，∴△ABE∽△DCE．∴．∵AE＝3，ED＝5，∴＝．故答案为：．1．已知，则的值是（）A．B．C．D．【分析】设＝k（k≠0），得出a＝13k，b＝5k，再代入要求的式子进行计算即可求出答案．【解答】解：设＝k（k≠0），则a＝13k，b＝5k，∴＝＝；故选：D．2．如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠A，AC＝6，BC＝4，所以AB长为（）A．2B．C．D．4【分析】将∠ABC三等分，与△ABC外接圆相交，交点分别为：E与F，利用托勒密定理列出方程组，求解即可解决问题．【解答】解：将∠ABC三等分，与△ABC外接圆相交，交点分别为：E与F，如图所示：圆上依次为ABCEF，记BE＝m，AB＝b，则利用托勒密定理有：，可得：，即，∴b＝，故选：B．3．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F是AD的中点，FE交AC于O点，交CB的延长线于G点，那么S△AOF：S△COG＝（）A．1：4B．1：9C．1：16D．1：25【分析】根据平行四边形的性质求出AD＝BC，AD∥BC，推出△AFE∽△BGE，△AFO∽△CGO，再根据相似三角形的性质得出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E为AB的中点，F为AD的中点，∴AE＝BE，AF＝AD＝BC，∵AD∥BC，∴△AFE∽△BGE，∴，∵AE＝BE，∴AF＝BG＝BC，∴＝∵AD∥BC，∴△AFO∽△CGO，∴＝（）2＝，即S△AOF：S△COG＝1：9，故选：B．4．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例性质进行解答便可．【解答】解：∵EF∥BC，∴，∵EG∥AB，∴，∴，故选：A．5．如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△P AB 的面积分别为S，S1，S2．若S＝3，则S1+S2的值为（）A．24B．12C．6D．3【分析】过P作PQ平行于DC，由DC与AB平行，得到PQ平行于AB，可得出四边形PQCD与ABQP 都为平行四边形，进而确定出△PDC与△PCQ面积相等，△PQB与△ABP面积相等，再由EF为△BPC 的中位线，利用中位线定理得到EF为BC的一半，且EF平行于BC，得出△PEF与△PBC相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出△PBC的面积，而△PBC面积＝△CPQ面积+△PBQ面积，即为△PDC面积+△P AB面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．【解答】解：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，∴S△PDC＝S△CQP，S△ABP＝S△QPB，∵EF为△PCB的中位线，∴EF∥BC，EF＝BC，∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，∴S△PEF：S△PBC＝1：4，S△PEF＝3，∴S△PBC＝S△CQP+S△QPB＝S△PDC+S△ABP＝S1+S2＝12．故选：B．6．如图，在平行四边形ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE＝2EB，连接DF．若S△AEF＝4，则S△ADF的值为（）A．6B．10C．15D．【分析】因为四边形ABCD是平行边形，所以AD∥BC，则△AEF∽△ABC，得＝＝，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积为25，而△CDA≌△ABC，则△CDA的面积为25，根据等高三角形面积的比等于底的比即可求出△ADF的面积．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行边形，∴AD∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵3AE＝2EB，∴＝，∴＝＝，∴＝＝＝，∵S△AEF＝4，∴S△ABC＝＝＝25，∴CD＝AB，AD＝BC，AC＝CA，∴△CDA≌△ABC（SSS），∴S△CDA＝S△ABC＝25，∴S△ADF＝S△CDA＝×25＝10，∴S△ADF的值为10，故选：B．7．如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果，那么＝．【分析】由平行四边形的对边相等可求得BC＝AD，BC∥AD，易证得△BEF∽△DAF，则，根据比例的性质即可得解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC；∵＝，∵AD∥BC，∴△BEF∽△DAF，∴，∴，∴＝＝．故答案为：．8．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是BC的中点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F，连接CF、AC．（1）线段DF的长为；（2）若AC交DF于点M，则＝．【分析】（1）利用三角形面积相等，列出等式，求解即可；（2）延长DF交CB的延长线于K，利用相似三角形的性质求出KE，再利用平行线分线段成比例定理求解即可．【解答】解：（1）根据题意，画出下图：∵AB＝6，AD＝8，BE＝＝4，∴AE＝，∴S△ADE＝＝，S△ADE＝＝24，∴DF＝＝．（2）若AC交DF于点M，延长DF交BC延长线于点K，如图所示：∵∠KEF＝∠AEB，∠EFK＝∠ABE＝90°，∴△KEF∽△AEB，∴，∴，∴KE＝5，∴CK＝KE+EC＝9，∵AD∥CK，∴＝．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．（1）求证：BD•AD＝DE•AC．（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．（3）在（2）的条件下，求cos∠BDE的值．【分析】（1）证明∠B＝∠C，∠DEB＝∠ADC＝90°，可证明△BDE∽△CAD即可解决问题；（2）利用面积法：•AD•BD＝•AB•DE求解即可；（3）可得出∠BDE＝∠BAD，则cos∠BDE＝cos∠BAD＝．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE∽△CAD．∴，∴BA•AD＝DE•CA；（2）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD＝＝＝12，∵•AD•BD＝•AB•DE，∴DE＝．（3）∵∠ADB＝∠AED＝90°，∴∠BDE＝∠BAD，∴cos∠BDE＝cos∠BAD＝．10．已知：四边形ABCD中，AC＝AB＝20，点E为BC边上一点，BE≥CE，且DE＝DC，∠AED＝∠B，AC、DE相交于点F，cos∠B＝．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）若BE＝18，求EF的长；（3）若∠DAE＝90°，求CE的长．【分析】（1）正确作出辅助线，找到对等关系，即可证明△ABE∽△ECF；（2）找到包含有要求解的边长有关系的三角形，利用勾股定理，求出AE的边长，再利用相似三角形，找到对应关系，即可求出EF的长；（3）在直角三角形内，根据给定的余弦值，找到对应边长，即可求出CE的长．【解答】（1）证明：如图所示：过点A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC＝20，∴∠AED＝∠B，∴∠1+∠2＝180°﹣∠AED，∵∠3+∠2＝180°﹣∠B，∴∠1＝∠3，∴△ABE∽△ECF；（2）解：由（1）知，过点A作AH⊥BC于H，∵AB＝20，cos∠B＝，∴BH＝16，∵AB＝AC，∴BH＝CH＝16，∴BC＝32，∵BE＝18，∴EC＝14，在△ABH中，AH＝，HE＝BE﹣BH＝18﹣16＝2，∴AE＝，∵△ABE∽△ECF，∴，即，∴EF＝．（3）解：若∠DAE＝90°，则∠BAE＝90°，∵AB＝20，cos∠B＝，∴BE＝25，∴CE＝BC﹣BE＝32﹣25＝7．1.（2021·浙江衢州）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且OA＝OB，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，点H是CD的中点，F A，EB均与地面垂直，测得F A＝54cm，EB＝45cm，AB＝48cm．（1）椅面CE的长度为cm．（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角∠CHD 的度数达到最小值30°时，A，B两点间的距离为cm（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）【分析】（1）由平行线的性质可得∠ECB＝∠ABF，由锐角三角函数可得，即可求解；（2）如图2，延长AD，BE交于点N，由“ASA”可证△ABF≌△BAN，可得BN＝AF，可求NE的长，由锐角三角函数可求DE的长，即可求DH的长，如图3，连接CD，过点H作HP⊥CD于P，由锐角三角函数和等腰三角形的性质，可求DC的长，通过相似三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵CE∥AB，∴∠ECB＝∠ABF，∴tan∠ECB＝tan∠ABF，∴，∴，∴CE＝40（cm），故答案为：40；（2）如图2，延长AD，BE交于点N，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，在△ABF和△BAN中，，∴△ABF≌△BAN（ASA），∴BN＝AF＝54（cm），∴EN＝9（cm），∵tan N＝，∴＝，∴DE＝8（cm），∴CD＝32（cm），∵点H是CD的中点，∴CH＝DH＝16（cm），∵CD∥AB，∴△AOB∽△DOC，∴＝＝＝，如图3，连接CD，过点H作HP⊥CD于P，∵HC＝HD，HP⊥CD，∴∠PHD＝∠CHD＝15°，CP＝DP，∵sin∠DHP＝＝sin15°≈0.26，∴PD≈16×0.26＝4.16（cm），∴CD＝2PD＝8.32（cm），∵CD∥AB，∴△AOB∽△DOC，∴，∴，∴AB＝12.48≈12.5（cm），故答案为：12.5．2.（2021·浙江宁波）【证明体验】（1）如图1，AD为△ABC的角平分线，∠ADC＝60°，点E在AB上，AE＝AC．求证：DE平分∠ADB．【思考探究】（2）如图2，在（1）的条件下，F为AB上一点，连结FC交AD于点G．若FB＝FC，DG＝2，CD＝3，求BD的长．【拓展延伸】（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA＝2∠DCA，点E在AC上，∠EDC＝∠ABC．若BC＝5，CD＝2，AD＝2AE，求AC的长．【分析】（1）由△EAD≌△CAD得∠ADE＝∠ADC＝60°，因而∠BDE＝60°，所以DE平分∠ADB；（2）先证明△BDE∽△CDG，其中CD＝ED，再由相似三角形的对应边成比例求出BD的长；（3）根据角平分线的特点，在AB上截取AF＝AD，连结CF，构造全等三角形和相似三角形，由相似三角形的性质求出AC的长．【解答】（1）证明：如图1，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD，∵AE＝AC，AD＝AD，∴△EAD≌△CAD（SAS），∴∠ADE＝∠ADC＝60°，∵∠BDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠BDE＝∠ADE，∴DE平分∠ADB．（2）如图2，∵FB＝FC，∴∠EBD＝∠GCD；∵∠BDE＝∠CDG＝60°，∴△BDE∽△CDG，∴；∵△EAD≌△CAD，∴DE＝CD＝3，∵DG＝2，∴BD＝＝＝.（3）如图3，在AB上取一点F，使AF＝AD，连结CF．∵AC平分∠BAD，∴∠F AC＝∠DAC，∵AC＝AC，∴△AFC≌△ADC（SAS），∴CF＝CD，∠FCA＝∠DCA，∠AFC＝∠ADC，∵∠FCA+∠BCF＝∠BCA＝2∠DCA，∴∠DCA＝∠BCF，即∠DCE＝∠BCF，∵∠EDC＝∠ABC，即∠EDC＝∠FBC，∴△DCE∽△BCF，∴，∠DEC＝∠BFC，∵BC＝5，CF＝CD＝2，∴CE＝＝＝4；∵∠AED+∠DEC＝180°，∠AFC+∠BFC＝180°，∴∠AED＝∠AFC＝∠ADC，∵∠EAD＝∠DAC（公共角），∴△EAD∽△DAC，∴＝，∴AC＝2AD，AD＝2AE，∴AC＝4AE＝CE＝×4＝．3.（2021·浙江杭州）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．（1）求证：△ABG∽△AFC．（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD ＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD．【分析】（1）根据∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，知∠BAC＝∠F AC，由圆周角定理知∠G＝∠C，即可证△ABG∽△AFC；（2）由（1）知＝，由AC＝AF得AG＝AB，即可计算FG的长度；（3）先证△DGB∽△BGE，得出线段比例关系，即可得证BG2＝GE•GD．【解答】（1）证明：∵AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠F AC，又∵∠G＝∠C，∴△ABG∽△AFC；（2）解：由（1）知，△ABG∽△AFC，∴＝，∵AC＝AF＝b，∴AB＝AG＝a，∴FG＝AG﹣AF＝a﹣b；（3）证明：∵∠CAG＝∠CBG，∠BAG＝∠CAG，∴∠BAG＝∠CBG，∵∠ABD＝∠CBE，∴∠BDG＝∠BAG+∠ABD＝∠CBG+∠CBE＝∠EBG，又∵∠DGB＝∠BGE，∴△DGB∽△BGE，∴＝，∴BG2＝GE•GD．4.（2021·浙江金华）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线l：y＝x上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．①若BA＝BO，求证：CD＝CO．②若∠CBO＝45°，求四边形ABOC的面积．（2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①由BC⊥AB，CO⊥BO，可得∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，而根据已知有∠BAD＝∠DOB，故∠ADB＝∠COD，从而可得∠COD＝∠CDO，CD＝CO；②过A作AM⊥OB于M，过M作MN⊥y轴于N，设M（m，m），可得tan∠OMN＝tan∠AOM＝，即＝，设AM＝3n，则OM＝8n，Rt△AOM中，AM2+OM2＝OA2，可求出AM＝3，OM＝8，由∠CBO＝45°可知△BOC是等腰直角三角形，△ABM是等腰直角三角形，从而有AM＝BM＝3，BO＝CO ＝OM﹣BM＝5，AB＝AM＝3，BC＝BO＝5，即可求出S四边形ABOC＝S△ABC+S△BOC＝；（2）（一）过A作AM⊥OB于M，当B在线段OM或OM延长线上时，设OB＝x，则BM＝|8﹣x|，AB ＝，由△AMB∽△BOC，＝，即＝，得OC＝，BC＝＝，以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，分两种情况：①若＝，OB＝4；②若＝，OB ＝4+或OB＝4﹣或OB＝9；（二）当B在线段MO延长线上时，设OB＝x，则BM＝8+x，AB＝，由△AMB∽△BOC，＝，即＝，得OC＝•（8+x），以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，需满足＝，即＝，可得OB＝1．【解答】（1）①证明：∵BC⊥AB，CO⊥BO，∴∠ABC＝∠BOC＝90°，∴∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，∵BA＝BO，∴∠BAD＝∠DOB，∴∠ADB＝∠COD，∵∠ADB＝∠CDO，∴∠COD＝∠CDO，∴CD＝CO；②解：过A作AM⊥OB于M，过M作MN⊥y轴于N，如图：∵M在直线l：y＝x上，设M（m，m），∴MN＝|m|＝﹣m，ON＝|m|＝﹣m，Rt△MON中，tan∠OMN＝＝，而OA∥MN，∴∠AOM＝∠OMN，∴tan∠AOM＝，即＝，设AM＝3n，则OM＝8n，Rt△AOM中，AM2+OM2＝OA2，又A的坐标为（﹣，0），∴OA＝，∴（3n）2+（8n）2＝（）2，解得n＝1（n＝﹣1舍去），∴AM＝3，OM＝8，∵∠CBO＝45°，CO⊥BO，∴△BOC是等腰直角三角形，∵BC⊥AB，∠CBO＝45°，∴∠ABM＝45°，∵AM⊥OB，∴△ABM是等腰直角三角形，∴AM＝BM＝3，BO＝CO＝OM﹣BM＝5，∴等腰直角三角形△ABM中，AB＝AM＝3，等腰直角三角形△BOC中，BC＝BO＝5，∴S△ABC＝AB•BC＝15，S△BOC＝BO•CO＝，∴S四边形ABOC＝S△ABC+S△BOC＝；（2）解：存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，理由如下：（一）过A作AM⊥OB于M，当B在线段OM或OM延长线上时，如图：由（1）②可知：AM＝3，OM＝8，设OB＝x，则BM＝|8﹣x|，AB＝，∵CO⊥BO，AM⊥BO，AB⊥BC，∴∠AMB＝∠BOC＝90°，∠ABM＝90°﹣∠OBC＝∠BCO，∴△AMB∽△BOC，∴＝，即＝，∴OC＝，Rt△BOC中，BC＝＝，∵∠ABC＝∠BOC＝90°，∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，分两种情况：①若＝，则＝，解得x＝4，∴此时OB＝4；②若＝，则＝，解得x1＝4+，x2＝4﹣，x3＝9，x4＝﹣1（舍去），∴OB＝4+或OB＝4﹣或OB＝9；（二）当B在线段MO延长线上时，如图：由（1）②可知：AM＝3，OM＝8，设OB＝x，则BM＝8+x，AB＝，∵CO⊥BO，AM⊥BO，AB⊥BC，∴∠AMB＝∠BOC＝90°，∠ABM＝90°﹣∠OBC＝∠BCO，∴△AMB∽△BOC，∴＝，即＝，∴OC＝•（8+x），Rt△BOC中，BC＝＝•，∵∠ABC＝∠BOC＝90°，∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，需满足＝，即＝，解得x1＝﹣9（舍去），x2＝1，∴OB＝1，综上所述，以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，则OB的长度为：4或4+或4﹣或9或1；1．（2021•瓯海区模拟）若＝，则的值是（）A．3B．C．D．2【分析】根据比例的性质求出b＝2a，再代入求出答案即可．【解答】解：∵＝，∴b＝2a，∴＝＝＝，故选：C．2．（2021•下城区校级四模）在比例尺为1：10000的地图上，相距4cm的A、B两地的实际距离是（）A．400m B．400dm C．400cm D．400km【分析】设AB的实际距离为xcm，根据比例尺的定义得到4：x＝1：10000，利用比例的性质求得x的值，注意单位统一．【解答】解：设AB的实际距离为xcm，∵比例尺为1：10000，∴4：x＝1：10000，∴x＝40000cm＝400m．故选：A．3．（2021•温岭市一模）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，则BC：CE＝（）A．3：5B．1：3C．5：3D．2：3【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝＝＝．故选：A．4．（2021•拱墅区二模）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC、AB上一点，且AF＝BE，AE与DF 交于点G，连接CG．若CG＝BC，则AF：FB的比为（）A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4【分析】作CH⊥DF于点H，证明△AGD≌△DHC，可得AG＝DH＝GH，tan∠ADG＝＝．由此可解决此问题．【解答】解：作CH⊥DF于点H，如图所示．在△ADF和△BAE中，，∴△ADF≌△BAE（SAS）．∴∠ADF＝∠BAE，又∠BAE+∠GAD＝90°，∴∠ADF+∠GAD＝90°，即∠AGD＝90°．由题意可得∠ADG+∠CDG＝90°，∠HDC+∠CDG＝90°，．∴∠ADG＝∠HDC．在△AGD和△DHC中，，∴△AGD≌△DHC（AAS）．∴DH＝AG．又CG＝BC，BC＝DC，∴CG＝DC．由等腰三角形三线合一的性质可得GH＝DH，∴AG＝DH＝GH．∴tan∠ADG＝．又tan∠ADF＝＝，∴AF＝AB．即F为AB中点，∴AF：FB＝1：1．故选：A．5．（2021•宁波模拟）如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝2，则的值为（）A．B．C．2D．3【分析】根据平行线分线段成比例定理定理列出比例式，计算即可．【解答】解：∵＝2，∴＝，∵DE∥AB，∴＝＝，故选：B．6．（2021•丽水模拟）如图，已知△ABC∽△BDC，其中AC＝4，CD＝2，则BC＝（）A．2B．C．D．4【分析】直接利用相似三角形的性质得出BC2＝AC•CD，进而得出答案．【解答】解：∵△ABC∽△BDC，∴＝，∵AC＝4，CD＝2，∴BC2＝AC•CD＝4×2＝8，∴BC＝2．故选：B．7．（2021•宁波模拟）如图，△ABC的两条中线BE，CD交于点O，则下列结论不正确的是（）A．＝B．＝C．△ADE∽△ABC D．S△DOE：S△BOC＝1：2【分析】根据三角形中位线定理得到DE＝BC，DE∥BC，根据相似三角形的性质进行计算，判断即可．【解答】解：∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE＝BC，DE∥BC，∴＝，A选项结论正确，不符合题意；∵DE∥BC，∴＝，B选项结论正确，不符合题意；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，C选项结论正确，不符合题意；∵DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴S△DOE：S△COB＝1：4，D选项结论错误，符合题意；故选：D．8．（2021•西湖区校级二模）如图，正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH交DE于点O，则等于（）A．3B．C．2D．【分析】连接BD，如图所示：由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a，解直角三角形求出BD，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．【解答】解：连接BD，如图所示：由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a，∵在△BCD中，BC＝CD＝a，∠BCD＝120°，∴BD＝a．∵OD∥AB，∴＝＝＝，故选：B．9．（2021•拱墅区二模）黄金分割比符合人的视觉习惯，在人体躯干和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感．张女士身高165cm，若她下半身的长度（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约厘米的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）【分析】根据黄金分割定义：下半身长与全身的比等于0.618即可求解．【解答】解：根据已知条件可知：下半身长是165×0.6＝99（cm），设需要穿的高跟鞋为ycm，则根据黄金分割定义，得＝0.618，解得：y≈8，经检验y≈8是原方程的根，答：她应该选择大约8cm的高跟鞋．故答案为8．10．（2021•金东区校级模拟）如图，已知直角坐标系中四点A（﹣2，4）、C（2，﹣3），分别过A、C作AB、CD垂直于x轴于B、D．设P是x轴上的点，且P A、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，请写出所有符合上述条件的点P的坐标是．【分析】需要分情况分析，当点P在AB左边，在AB与CD之间，在CD的右边，通过相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例即可求得．【解答】解：设OP＝x（x＞0），分三种情况：一、若点P在AB的左边，有两种可能：①此时△ABP∽△PDC，则PB：CD＝AB：PD，则（x﹣2）：3＝4：（x+2），解得x＝4，∴点P的坐标为（﹣4，0）；②若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝PB：PD，则（﹣x﹣2）：（2﹣x）＝4：3，解得：x＝14，与假设在B点左边矛盾，舍去．二、若点P在AB与CD之间，有两种可能：①若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝BP：PD，∴4：3＝（x+2）：（2﹣x），解得：x＝，∴点P的坐标为（，0）；②若△ABP∽△PDC，则AB：PD＝BP：CD，∴4：（2﹣x）＝（x+2）：3，方程无解；三、若点P在CD的右边，有两种可能：①若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝BP：PD，∴4：3＝（2+x）：（x﹣2），∴x＝14，∴点P的坐标为（14，0），②若△ABP∽△PDC，则AB：PD＝BP：CD，∴4：（x﹣2）＝（x+2）：3，∴x＝4，∴点P的坐标为（4，0）；∴点P的坐标为（，0）、（14，0）、（4，0）、（﹣4，0）．故答案为：（，0）、（14，0）、（4，0）、（﹣4，0）．11．（2021•宁波模拟）如图，▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠ACB，G是线段OD上一点，∠DGC﹣∠DCG＝90°，tan∠DCG＝，则的值为．【分析】由锐角三角函数可设GF＝a，CF＝2a，由“AAS”可证△GCE≌△GCF，可得CE＝CF＝2a，GF＝EG＝a，通过证明△GFD∽△CED，可求DC＝a，DE＝a，通过证明△DCO∽△ACD，可得，由勾股定理可求OE，即可求解．【解答】解：如图，过点C作CE⊥BD于E，过G作GF⊥CD于F，∵∠DGC＝∠CEG+∠GCE＝90°+∠GCE，∴∠DGC﹣∠GCE＝90°，又∵∠DGC﹣∠DCG＝90°，∴∠GCD＝∠ECG，∵tan∠DCG＝＝，∴设GF＝a，CF＝2a，在△GCE和GCF中，，∴△GCE≌△GCF（AAS），∴CE＝CF＝2a，GF＝EG＝a，∵∠GDF＝∠EDC，∠GFD＝∠CED＝90°，∴△GFD∽△CED，∴，∴＝＝，∴DF＝a，DG＝a，∴DC＝a，DE＝a，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AO＝CO，BO＝DO，∴∠ABD＝∠BDC，∠DAC＝∠ACB，∵∠ABD＝∠ACB，∴∠BDC＝∠DAC，又∵∠ACD＝∠DCO，∴△DCO∽△ACD，∴，∴DC2＝2OC2，∴OC2＝a2＝a2，∴OE＝＝a，∴OD＝DE+OE＝a＝OB，∴＝，故答案为：．12．（2021•西湖区二模）如图，在矩形ABCD中，E是CD上一点，AE＝AB，作BF⊥AE．（1）求证：△ADE≌△BF A；（2）连接BE，若△BCE与△ADE相似，求．【分析】（1）根据矩形的性质得出∠D＝∠DAB＝90°，求出∠DAE+∠F AB＝90°，∠FBA+∠F AB＝90°，求出∠D＝∠AFB，∠DAE＝∠FBA，再根据全等三角形的判定推出即可；（2）根据矩形的性质得出∠C＝∠D＝90°，DC∥AB，根据平行线的性质得出∠CEB＝∠ABE，设∠CEB＝∠ABE＝x°，根据等腰三角形的性质求出∠AEB＝∠EBA＝x°，根据相似三角形的性质得出两种情况：①∠DEA＝∠CEB＝x°，根据∠DEA+∠AEB+∠CEB＝180°得出x+x+x＝180，求出x，再解直角三角形求出AE和AD，再求出答案即可；②∠DEA＝∠EBC，设∠DEA＝∠EBC＝y°，求出∠DEA+∠AEB+∠CEB＝（y+2x）°＝180°，∠EBC+∠CEB＝（y+x）°＝90°，求出x，再得出答案即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠DAB＝90°，∴∠DAE+∠F AB＝90°，∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°，∴∠D＝∠AFB，∠FBA+∠F AB＝90°，∴∠DAE＝∠FBA，在△ADE和△BF A中，∴△ADE≌△BF A（AAS）；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，DC∥AB，∴∠CEB＝∠ABE，设∠CEB＝∠ABE＝x°，∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠EBA＝x°，当△BCE与△ADE相似时，有两种情况：①∠DEA＝∠CEB＝x°，∵∠DEA+∠AEB+∠CEB＝180°，∴x+x+x＝180，解得：x＝60，即∠DEA＝60°，∴∠DAE＝90°﹣60°＝30°，∴AE＝2DE，由勾股定理得：AD＝＝＝DE，∵AE＝AB，∴＝＝＝；②∠DEA＝∠EBC，设∠DEA＝∠EBC＝y°，∵∠CEB＝∠EBA＝∠AEB＝x°，则∠DEA+∠AEB+∠CEB＝y°+x°+x°＝（y+2x）°＝180°，在Rt△BCE中，∠EBC+∠CEB＝y°+x°＝（y+x）°＝90°，即，解得：x＝90°，即∠CEB＝90°，此时点E和点C重合，△BEC不存在，舍去；所以＝．13．（2021•拱墅区二模）如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，F是BC延长线上一点，∠F＝∠B．（1）若AB＝10，求FD的长；（2）若AC＝BC，求证：△CDE∽△DFE．【分析】（1）首先利用中位线定理得到DE∥AB以及DE的长，再证明∠DEC＝∠F即可；（2）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，进而求出∠CDE＝∠F并结合∠CED＝∠DEF即可证明△CDE∽△DFE．【解答】解：（1）∵D、E分别是AC、BC的中点，∴DE∥AB，DE＝AB＝5，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠B，而∠F＝∠B，∴∠DEC＝∠F，∴DF＝DE＝5；（2）∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，∵∠CDE＝∠A，∠CED＝∠B，∴∠CDE＝∠B，∵∠B＝∠F，∴∠CDE＝∠F，∵∠CED＝∠DEF，∴△CDE∽△DFE．14．（2021•宁波模拟）如图，矩形ABCD中，E是边AD的中点，CE与BD交于点P，将△ABE沿BE翻折，点A的对应点F刚好落在线段CP上．（1）求证：△EBC是等边三角形．（2）求的值．【分析】（1）根据矩形的性质证明△ABE≌△DCE（SAS），可得EB＝EC，∠AEB＝∠CED，由翻折可知：∠AEB＝∠FEB，进而可以解决问题；（2）证明△PDE∽△PBC，可得＝＝，所以＝，进而可以解决问题．【解答】（1）证明：∵E是边AD的中点，∴AE＝DE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠CDA＝90°，AB＝CD，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS），∴EB＝EC，∠AEB＝∠CED，由翻折可知：∠AEB＝∠FEB，∴∠AEB＝∠FEB＝∠CED＝60°，∴△EBC是等边三角形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，。

2024陕西数学中考备考重难专题：抛物线与几何综合题三角形全等、相似问题含位似(课件)

6
6
3
练习题图
练习 (2022西安铁一中模拟)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，AC
＝4，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若C(0， (3)l为抛物线对称轴，P是直线l右侧抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为
D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△ABC全等，求满足条
解图
∵点A(－3，0)，点C(0，3)，∴OA＝OC＝3，
∵∠DQP＝∠AOC＝90°，
∴当PQ＝DQ时，△DQP与△AOC相似，
设点P的坐标为(m，m2－2m－3)，则点Q的坐标为(m，0)，
∴PQ＝|m2－2m－3|，DQ＝|m＋1|，
当m2－2m－3＝m＋1时，解得m＝－1(舍去)或m＝4，
解
三角
答
直角三角
式
(2)得到△PDE和
形全 2023 24 题 10
形
/ (2)求满足 △PDE是直角三角形，
等
两个三角需分两种情况讨论计算
形全等时 (等角的三角函数值相
的点坐标等/对应边相等)
典例精讲
例 (2022陕西黑白卷)在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y＝－x2－x＋2与
x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，L关于y轴对称的抛物
形
两个三角线上，得∠C′CO=
形相似时 ∠BOP，需分两种情况
的点坐标讨论计算(对应边成比
例)
类型年份题号题型分值图形形状结合变化设问形式
考查内容
(1)待定系数法求表达
式
(1)求抛物 (2)根据抛物线关于原
线的表达点对称特点确定求表达
解

中考数学复习·图形的相似+相似三角形专题(位似、相似、相似三角形证明及应用)名校名师全解全练精品课件

A．12.36 cm C．32.36 cm
5－1 【解析】∵黄金比为 ≈0.618 ， ∴ 它的宽约为 2 0.618×20≈12.36 cm.
【答案】A
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考
点
训
a
练
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2 ． (2010 中考变式题 )已知＝＝，且 a ＋ b＋ c≠0 ，则 2 5 7 2a＋3b－2c 的值为( a＋b＋c 5 A. 14 )
的周长与五边形 A′B′C′D′E′的周长的比值为
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中考典例精析
(2011·河北)如图所示，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1.点O和△ABC的顶点均为小正方形
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的顶点．
(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和 △ABC位似，且位似比为1∶2. (2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．(结果保留根号) 【点拨】位似图形一定是相似图形，可以利用相似图形的性质计算或证明．【解答】 (1) 如图所示． (2)AA′ ＝CC′ ＝ 2. 在
目录
第六章图形的相似与解直角三角形第23讲图形的相似与位似
考点知识精讲
中考典例精析
举一反三
考点训练
宇轩图书
考点知识精讲
考点一成比例线段与比例的定义及性质
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1．对于四条线段 a、b、c、d，如果做成比例线段，简称比例线段．
那么这四条线段叫
2．表示两个比相等的式子叫做比例式，简称比例． 3．连比：连在一起的三个数的比，叫做连比． a c 4．比例的基本性质：如果＝，那么 ad＝bc ，反之也成立．其中 b d a b a 与 d 叫做比例外项，b 与 c 叫做比例内项．特殊地＝ ⇔b2＝ac. b c

第21讲相似三角形-中考数学一轮复习知识考点习题课件

∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCG＝90°. ∵CF平分∠DCG，∴∠FCG＝21(1)∠DCG＝
2 45°.
∵∠EGF＝90°，∴∠GCF＝∠CFG＝45°，
∴FG＝CG，∴EG＝CE＋CG＝2＋FG.
由(1A)B知=，△BEBA,E∽△1G0EF，= 8 ,
EG FG 2 FG FG
∴
1
∴ CE FG
第四章图形初步与三角形
第21讲类似三角形
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1.(202X·武威)生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使
雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感.若图
中b为2米，则a约为A( ) A.1.24米 B.1.38米 C.1.42米 D.1.62米
A.14
B.15
C. 8 3 D.6 5
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15.(202X·乐山)把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E
为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF
3
＝__5______.
AC
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16.(202X·湖州)在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形.如图，已知 Rt△ABC是6×6网格图中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC类似的格点三角形中，面积最大的三角形的斜边长是___5__2___.
2，A′D′＝3，则△ABC与△A′B′C′的面积比为( A )
A.4∶9
B.9∶4
C.2∶3
D.3∶2
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4.(202X·雅安)如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1类似的是( B )

初中数学中考[图形的认识]第4讲相似三角形(教师版)

【知识梳理】【方法技巧】1、判定三角形相似的基本思路：一是条件中若有一组等角，可再找一组等角（找相等的角时注意挖掘公共角、对顶角、同角的余角或者同角的补角）或找夹这组等角的两组对应边成比例；二是条件中若有两组对应边成比例，可找夹角相等或计算第三组对应边的比，考虑三组对应边成比例（具体方法如下：首先把三角形的边分别按照从小到大的顺序排列，找出两个三角形的对应边；再分别计算小、中、大边的比，最后看三个比是否相等）。

2、解决圆中的相似问题时，要充分运用圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系定理，切线的性质等找出角之间的关系，进而利用相似三角形的判定定理及性质求解。

3、相似三角形的基本模型：（1）“A ”字型（2）“X ”字型（3）“K ”字型（4）旋转型：符合旋转型的两个三角形，常用“两边成比例及夹角相等”来证明相似BBB CB C CQ DBA（5）母子型：在“母子三角形”中，应用公共边可得到关于三条线段的乘方式，由此可证明相似问题中的等积式。

4、位似图形必须同时满足两个条件：（1）两个图形是相似图形（2）两个图形的每组对应顶点的连线都经过同一点5、关于位似的警示点：（1）位似图形一定是相似图形，但是相似图形不一定是位似图形（2）位似图形可能在位似中心的同侧，也可能在位似中心的两侧，因此作一个图形关于某点的位似图形往往有两个。

如图： O A B C D OA B CD D CB AC D B A6、在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x,y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx,ky）或（-kx,-ky）.【考点突破】考点1、基本概念与定理例1、如果2x=3y（x、y均不为0），那么下列各式中正确的是（）A．=B．=3 C．=D．=变式1、已知=，那么的值为（）A．B．C．D．变式2、下列各组中的四条线段成比例的是（）A．1cm、2cm、20cm、30cm B．1cm、2cm、3cm、4cmC．5cm、10cm、10cm、20cm D．4cm、2cm、1cm、3cm例2、△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16变式1、已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）A．B．C．D．变式2、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果S△ACD：S△ABC=1：2，那么S△AOD：S△BOC是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6例3、如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3与点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3与点D、E、F，AC与DF相交于点H，如果AH=2，BH=1，BC=5，那么的值等于（）A．B．C．D．变式1、如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c 于点D，E，F，若=，则=（）A．B．C．D．1例4、如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．故选C．变式1、如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．∠C=∠E B．∠B=∠ADE C．D．例5、在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．变式2、如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．考点2：位似例1、在平面直角坐标系中，△ABC顶点A（2，3）．若以原点O为位似中心，画三角形ABC 的位似图形△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′的相似比为，则A′的坐标为（）A．B．C．D．变式1、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是．变式2、如图所示是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的是个数是（）A．1B．2C．3D．4例2、已知△ABC和△A′B′C′是位似图形．△A′B′C′的面积为6cm2，△A′B′C′的周长是△ABC的周长一半．则△ABC的面积等于（）A．24cm2B．12cm2C．6cm2D．3cm2变式1、如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（）A．1B．2C．4D．8考点3：相似的应用例1、小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（）A．45米B．40米C．90米D．80米变式1、如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=4米，CA=2米，则树的高度为（）A．6米B．4.5米C．4米D．3米例2、如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，E，使点A，B，D 在一条直线上，且AD⊥DE，点A，C，E也在一条直线上且DE∥BC．如果BC=24m，BD=12m，DE=40m，则河的宽度AB约为（）A．20m B．18m C．28m D．30m变式1、如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2cm，BC=14m，则楼高CD为（）m．A．10.5 B．12 C．13 D．15变式2、如图，在河两岸分别有A、B两村，现测得A、B、D在一条直线上，A、C、E在一条直线上，BC∥DE，DE=90米，BC=70米，BD=20米，则A、B两村间的距离为（）A．50米B．60米C．70米D．80米变式3、为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示，测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，那么这条河的大致宽度是（）A．75米B．25米C．100米D．120米考点3、常见相似模型例1、如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED=∠B，②∠ADE=∠C，③，④，⑤AC2=AD•AE，使△ADE与△ACB一定相似的有（）A．①②④B．②④⑤C．①②③④ D．①②③⑤变式1、如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C．=D．=例2、如图，点P是⊙O直径AB的延长线上一点，PC切⊙O于点C，已知OB=3，PB=2．则PC等于（）A．2 B．3 C．4 D．5变式1、如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，如果PB=2，PC=4，则PA的长为．例3、如图，在△ABC中，∠C=60°，以分别交AC，BC于点D，E，已知圆O的半径为．则DE的长为．变式1、如图，A、B、C、D为⊙O上的点，直线BA与DC相交于点P，PA=2，PC=CD=3，则PB=（）A．6 B．7 C．8 D．9例4、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一点，且DE⊥CE．若AD=1，BC=2，CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是（）A．CE=DE B．CE=DE C．CE=3DE D．CE=2DE变式1、如图，边长为4的正方形ABCD中有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上，若BF=1，则小正方形的边长为（）A．B．C．D．变式2、如图（1）矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F，当PN旋转至PC处时，∠MPN的旋转随即停止（1）特殊情形：如图（2），发现当PM过点A时，PN也恰好过点D，此时，△ABP △PCD（填：“≌”或“～”）（2）类比探究：如图（3）在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）拓展延伸：设AE=t，△EPF面积为S，试确定S关于t的函数关系式；当S=4.2时，求所对应的t的值．例5、如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE=∠B=α，DE 交AC于点E．写出相似三角形________________.变式1、等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别交边AB、AC于点E、F．（1）如图1，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如图2，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长．例6、如图，在Rt△ABC中，CD是边AB上的高，若AC=4，AB=10，则AD的长为（）A．B．2 C．D．3变式1、如图，△ABC中，∠C=90°，若CD⊥AB于D，且BD=4，AD=9，则CD= ．变式2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CD=2，BD=1，则AD的长是，AC 的长是．例7、如图，矩形EFHG的边GH在△ABC边BC上，其他两个顶点分别在边AB、AC上，已知△ABC 的边BC=120cm，BC边上的高AD为80cm；求：（1）当矩形EFHG是正方形时，求这个正方形的边长；（2）设EG的长为x cm，x为何值时，矩形EFHG的面积最大？并求面积的最大值．变式1、如图，锐角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y，则y与x 的函数图象大致是（）A．B．C．D．【分层训练】<A组>1．△ABC∽△DEF，且相似比为2：1，△ABC的面积为8，则△DEF的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．162．两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（）A．75cm，115cm B．60cm，100cm C．85cm，125cm D．45cm，85cm3．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值为（）A．B．5 C．或5 D．无数个4．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C、D、E 为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．（4，2） B．（6，0） C．（6，3） D．（6，5）5．小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（）A．45米B．40米C．90米D．80米6．我们在制作视力表时发现，每个“E”形图的长和宽相等（即每个“E”形图近似于正方形），如图，小明在制作视力表时，测得l1=14cm，l2=7cm，他选择了一张面积为4cm2的正方形卡纸，刚好可以剪得第②个小“E”形图．那么下面四张正方形卡纸中，能够刚好剪得第①个大“E”形图的是（）A．面积为8cm2的卡纸B．面积为16cm2的卡纸C．面积为32cm2的卡纸D．面积为64cm2的卡纸7．如图，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（2，6），B（4，2），C（6，2），D（6，4），在第一象限内，画出以原点为位似中心，相似比为的位似图形A1B1C1D1，并写出各点坐标．8．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A 处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．<B组>1．如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA 水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D．①△OB1C∽△OA1D；②OA•OC=OB•OD；③OC•G=OD•F1；④F=F1．其中正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．九年级某班开展数学活动，活动内容为测量如图所示的电杆AB的高度．在太阳光的照射下，电杆影子的一部分（BE）落在地面上，另一部分（EF）落在斜坡上，站在水平面上的小明的影子为DG，已知斜坡的倾角∠FEH=30°，CD=1.6m，DG=0.8m，BE=2.1m，EF=1.7m，则电杆的高约为m．（精确到0.1，参考数据：，）3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm 的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．4．如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．（1）求证：AC=AD+CE；（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；（i）当点P与A、B两点不重合时，求的值；（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）5．【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．参考答案【考点突破】考点1、基本概念与定理例1、解：∵2x=3y，∴=，∴选项A不正确；∵2x=3y，∴=，∴==3，∴选项B正确；∵2x=3y，∴=，∴==，∴选项C不正确；∵2x=3y，∴=，∴==，∴∴选项D不正确．故选：B．变式1、解：∵=，∴设a=2k，则b=3k，则原式==．故选B．变式2、解：A.1×30≠2×20，故本选项错误；B.3×2≠1×4，故本选项错误；C.5×20=10×10，故本选项正确；D.4×1≠3×2，故本选项错误；故选C．例2、解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的周长比为1：4；故选：C．变式1、解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为，∴△ABC与△DEF对应中线的比为，故选：A．变式2、解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，而且S△ACD：S△ABC=1：2，∴AD：BC=1：2；∵AD∥BC，∴△AOD～△BOC，∵AD：BC=1：2，∴S△AOD：S△BOC=1：4．故选：B．例3、解：∵直线l1∥l2∥l3，∴，∵AH=2，BH=1，BC=5，∴AB=AH+BH=3，∴，∴，故选D．变式1、解：∵a∥b∥c，∴==．故选B．例4、解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．故选C．变式1、解：∵∠1=∠2，∴∠DAE=∠BAC，A、添加∠C=∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；B、添加∠B=∠ADE，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；C、添加=，可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；D、添加=，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项正确；故选D．例5、解：三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6．A、==，对应边==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；B、=，对应边==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；C、==，对应边==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；D、==，对应边===，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；故选：D．变式2、解：∵小正方形的边长均为1∴△ABC三边分别为2，，同理：A中各边的长分别为：，3，；B中各边长分别为：，1，；C中各边长分别为：1、2，；D中各边长分别为：2，，；∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为。

北师版九年级上册数学作业课件(BS) 第四章图形的相似相似三角形判定定理的证明

DE∥BC，M 为 BC 边上一点(不与点 B，C 重合)，连接 AM 交 DE
于点 N，则( C )
AD A.AN
＝AANE
B．MBDN ＝MCEN
C.BDMN ＝MNEC
D．MDNC ＝BNME
3．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中与△DEF相似的三角形共有( B ) A.1个 B．2个 C．3个 D．4个
北师版
第四章图形的相似
4.5 相似三角形判定定理的证明
知识点：相似三角形判定定理的证明 1．如图，下列条件中不能判定△ ACD∽△ABC 的是( B ) A.∠ADC＝∠ACB B．ABCB ＝ACCD C.∠ACD＝∠B D．AC2＝AD·AB
2．(杭州中考)如图，在△ ABC 中，点 D，E 分别在 AB 和 AC 上，
8．如图，在△ ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 上的点，DC 交 BE 于点 F，且 AD＝13 AB，AE＝12 EC.求证： (1)△ DEF∽△CBF； (2)DF·BF＝EF·CF.
证明：(1)∵AE＝12 EC，∴AACE ＝13 ，又∵AD＝13 AB，∴AADB ＝13 ， ∴AACE ＝AADB .又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝ ∠ABC，∴DE∥BC，△DEF∽△CBF (2)∵△DEF∽△CBF，∴DCFF ＝EBFF ，∴DF·BF＝EF·CF
(3)∵以 A，P，Q 为顶点的三角形与△ AOB 相似，∴当 t＝3110 时，P8Q
30
50
＝161 ，解得 PQ＝4110 ；当 t＝5103 时，P8Q ＝1130 ，解得 PQ＝4103 .故当
以 A，P，Q 为顶点的三角形与△ AOB 相似时，线段 PQ 的长度是4110

中考数学考点系统复习第四章三角形方法技巧突破(四) 相似三角形之四大模型

(1)证明：由折叠的性质可知： ∠DAE＝∠DA1E＝90°， ∠EBH＝∠EB1H＝90°， ∠AED＝∠A1ED，∠BEH＝∠B1EH， ∴∠DEA1＋∠HEB1＝90°，∠DA1E＝∠EB1H.
∵∠HEB1＋∠EHB1＝90°， ∴∠DEA1＝∠EHB1， ∴△A1DE∽△B1EH.
(2)解：△DEF 是等边三角形．
12．★(2020·滨州)如图，▱ABCD 的对பைடு நூலகம்线 AC，BD 交于点 O，CE 平分∠ BCD 交 AB 于点 E，交 BD 于点 F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接 OE.下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC∶BD＝ 21∶7；④FB2＝OF·DF. 其中正确的结论有 ①③④ (填写所有正确结论的序号)．
方法技巧突破(四) 相似三角形之四大模型
1．(2021·遂宁)如图，在△ABC 中，点 D，E 分别是 AB，AC 的中点，若
△ADE 的面积是 3 cm2，则四边形 BDEC 的面积为
( B)
A．12 cm2
B．9 cm2
C．6 cm2
D．3 cm2
2．如图，在△ABC 中，AC＝2，BC＝4，D 为 BC 边上的一点，且∠CAD＝
∴∠ADE＝∠EDA1＝∠FDA1＝30° ∴∠EDF＝60°， ∴△DEF 是等边三角形．
6．(2021·南充)如图，在△ABC 中，D 为 BC 上一点，BC＝ 3AB＝3BD，
则 AD∶AC 的值为 3 3.
7．如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，射线 AE 交 DC 的延长线于点 F，已知 BE＝3CE，△ABE 的周长为 9，则△ADF 的周长为 12 .
∴CD＝CB，∠D＝∠B，CD∥AB，

专题4.4 相似三角形中考数学第一轮总复习课件

∴ =
= 2,
h2 BC
A
h1
P h2 F
h3
E
C
中考数学第一轮总复习
专题4.4 相似三角形
知识梳理
典例精讲
考点聚焦
查漏补缺
提升能力
01 比例线段
02 相似三角形的判定
03 相似三角形的性质
04 相似三角形的应用
精讲精练
考点聚焦
比例线段
知识点一
线段的比在同一单位长度下,两条线段长度的比叫做两条线段的比。
4
9
或
部分,连接BE,AC相交于F,则S△AEF:S△CBF25
=_______.
25
B(1,0)
x
强化训练
相似三角形
提升能力
3.如图,在△ABC中,点G为△ABC的重心,过点G作DE∥BC,分别交AB,AC于
4:5
点D,E,则△ADE与四边形DBCE的面积比为_____.
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90º,点D,E,F,分别在边AC,AB,BC上,且四边形
A
2
1
D
B.AB:AD=AC:AE
D.AB:AD=BC:DE
B
E
C
01
比例线段
02
相似三角形的判定
考点聚焦
03
相似三角形的性质
04
相似三角形的应用
精讲精练
考点聚焦
定义
相似三角形的性质
知识点三
相等
成比例
如果两个三角形的各角对应____各边对应______,那么这两个三角形
相似.
相等
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ成比例

中考数学复习·几何基础+三角形(全等、相似、作图、证明)名校名师全解全练精品课件

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1．对顶角及其性质
对顶角：两条直线相交所得到的四个角中，没有公共边的两个角叫
做对顶角．相等性质：对顶角______. 2．垂线及其性质垂线：两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条
90°＝135°. (4)B ∵DE∥AB，∴∠A＝∠ACD.又∠ACD＝50°，∴∠A＝50°， ∴∠B＝90°－∠A＝90°－50°＝40°. (5)D 如图，延长AB交直线m于C.∵l∥m， ∴∠4＝∠1＝115°. ∵∠2＋∠3＋∠4＝360°， ∴∠3＝360°－115°－95°＝150°.
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中考典例精析
(1)(2011·日照)如图，已知直线AB∥CD， ∠C＝125°，∠A＝45°，那么∠E的大小为( )
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A．70°
B．80°
C．90°
D．100°
(2)(2011·陕西)如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E.若∠1＝64°，则∠2＝______. 【点拨】把平行线的性质与判定有机地结合起来，可以解决许多计算和推理问题．【解答】(1)B 假设AB与EC交于F点，∵AB∥CD，∴∠EFB＝ ∠C.∵∠C＝125°，∴∠EFB＝125°. 又∵∠EFB＝∠A＋∠E，∠A＝45°，∴∠E＝125°－45°＝80°.
则∠3＝______.(
A．120°
)
C．145° D．150°
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相似三角形的判定复习课件ppt

A
P
B
C
A P
B
C
分析：这是一道探索性题目
(1)要使△ACP∽△ABC的条件已有了∠A＝∠A，
找∠ACP满足的条件，只能根据判断定理1，即
∠ACP＝∠B
(2)要使△ACP∽△ABC，已有∠A＝A，找出
AC∶AP满足什么条件，只能根据判定定理2即
AC/AP=AB/AP
A P
B
C
解：(1)∵∠A＝∠A ∴当∠ACP＝∠B时，
相似三角形的判定复习课件ppt
创设情景尝试探索智海扬帆小结思考
我们学习了判定一般三角形相似的哪几种方法？
判定定理1：对应角相等两三角形相似判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似
A A1
B
C B1
C1
对于直角三角相似的判定除了上述三种方法外，还有什么定理？
△ACP∽△ABC（两角对应相等，两三角形相似） (2)∵∠A＝∠A ∴当AC/AP=AB/AP
时，△ACP∽△ABC
例2：已知如图，AB∥A'B'，BC∥B'C' 求证：△ABC∽△A'B'C’
A A’
2O
1
4 B’
3
B
C’
c
证明：
∵AB∥A’B’ ∴∠1＝∠2， A’B’/AB＝OB’/OB
∵BC∥B’C’ ∴∠3＝∠4， B’C’/BC ＝ OB’/OB ∴∠ABC＝∠A’B’C ∴ A’B’/AB ＝B’C’/BC ∴△ABC∽△A'B'C'
B’
∴△ABC∽△A’B’C’
B
3、已知如图，∠BAC＝90°，BD＝CD，DE⊥BC交

相似三角形复习课件4

F C
练习2
如图：已知△ABC 中，AD平分∠BAC ， EF是AD的中垂线，EF 交BC的延长线于F .
2
求证：FD =FC· FB
分析：由FD2=FC· FB，得 FD = FB FC FD E 但FD、FC、FB都在同一直线上，无法利用相似三角形. D 由于FD=FA，替 B 换后可形成相似三角形. FD = FB FA = FB FC FD FC FA 只要证△FAB∽△FCA即可.
C
B
A CE/DF=EO/FO, ∴AE/BF=CE/DF
∵AE=CE, ∴ BF=DF.即F是BD的中点. D
F

例3:如图ABC是等边三角形,∠DAE=120° 交直线BC于D,E求证AB/EC=BD/AC.
A 1 2 B C 3
分析:将线段AB,EC,BD,AC 划归到两个三角形中,再设法证明它们相似,从而对应边成比例.
例1、如图（4），已知ＡＤ⁄⁄ＢＣ，ＡＥ：ＡＢ＝１：３，ＥＦ⁄⁄ＢＣ，且Ｓ△ＡＤＥ＝１，求Ｓ△ＢＣＥ和Ｓ△ＡＥＦ分析：由已知ＡＤ⁄⁄ＢＣ⁄⁄ＥＦ得△ＤＡＥ∽△ＢＣＥ，联想到相似三角形的面积比等于相似比的平方。由ＡＥ：ＡＢ＝１：３，则ＡＥ：ＥＢ＝１：２ ∴Ｓ△ＤＡＥ：Ｓ△ＢＣＥ＝１：４从而Ｓ△ＢＣＥ=4 又∵同高的两个三角形面积比等于底边之比， ∴Ｓ△ＥＡＣ：Ｓ△ＢＣＥ＝ＡＥ：ＢＥ＝１：２， ∴Ｓ△ＡＣＥ＝２，Ｓ△ＡＢＣ＝６，又Ｓ△ＡＥＦ：Ｓ△ＡＢＣ＝１：９，Ｓ△ＡＥＦ＝２／３。
2
B
E D A G F C
例3.
如图：在Rt△ABC中,有正方形 DEFG,且E、F 在斜边BC上，D、G分别在AB、AC上.
2
求证：EF =BE· FC 证明： ∵ 正方形 DEFG中， ∠DEB=∠GFC=90°, EF=DE=FG. B 又∵ ∠B+∠C=90°，∠B+∠BDE=90° ∴ ∠BDE=∠C. E ∴ Rt△BED∽ Rt△GFC 点评：证明共线的线 BE DE D = ∴ 段比例式时，将某些 GF FC 线段用其他线段代替， BE EF = ∴ EF FC 以便构成相似三角形. A G 这是证明比例式和乘 2 ∴ EF =BE· FC 积式的常用方法之一.

中考数学复习之相似三角形的性质与判定,考点过关与基础练习题

AD是Rt△ABC 斜边上的高 29. 相似三角形➢ 知识过关1. 相似三角形的概念：如果两个三角形的对应角_________,对应边_______,那么这两个三角形叫做相似三角形. 2. 相似三角形的性质：对应角________,对应边________;周长之比等于_______;面积之比等于_______.3. 相似三角形的判定(1)两_______对应相等的两个三角形相似；(2)两边对应成比例，且______相等的两个三角形相似； (3)_______边对应成比例的两个三角形相似；(4)若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应______,那这两个直角三角形相似. 4.相似三角形的几种基本图形DE △BC △B =△AED △B △ACDA 型➢ 考点分类考点1相似三角形的判定例1如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ，连接FD ．若∠BF A =90°，给出以下三对三角形：①△BEA 与△ACD ；②△FED 与△DEB ；③△CFD 与△ABO ．其中相似的有_____________（填写序号）．CB BCD E ADAEDAAD B CODBACCAO D BX 型母子型∠B ∠CAC ∥BD CB D AOFE DCBA考点2相似三角形的性质例2如图1所示，AB △BD ，CD △BD ，垂足分别为B ，D ．AD ，BC 交于点E ，过E 作EF △BD于点F ，则可以得到111AB CD EF+=．若将图1中的垂直改为斜交，如图2所示，AB △CD ，AD ，BC 交于点E ，过E 作EF △AB 交BD 于点F ，试问：111AB CD EF+=还成立吗？请说明理由．考点3相似三角形的判定和性质综合例3如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在AC 上（1）已知：AC ＝4，BC ＝2，∠CBD ＝∠A ，求BD 的长；（2）取AB ，BD 的中点E ，F ，连接CE ，EF ，FC ，求证：△CEF ∽△BAD ．➢ 真题演练1.如图，点D 、E 分别在△ABC 边AB 、AC 上，AB AD=AE CE=3，且∠AED ＝∠B ，那么AD AC的值为（）A ．12B ．13C ．14D ．23F EDCBA图1F EDCBA图22．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，下列结论中，错误的是（）A ．AD AC=AC ABB ．AD AC=CD BCC ．AD AC=BD BCD ．AD CD=CD BD3．如图，边长为a 的正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 在BD 上，作EF ⊥CE 交AB 于点F ，连结CF 交BD 于H ，则下列结论：①EF ＝EC ；②△FCG ∽△ACF ；③BE •DH ＝a 2；④若BF ：AF ＝1：3，则tan ∠ECG =14，正确的是（）A ．①②④B ．②③④C ．①②③D ．①②③④4．如图，在▱ABCD 中，E 是BA 延长线上一点，CE 分别与AD ，BD 交于点G ，F ．下列结论：①EG GC=AG GD；②EF FC=BF DF；③FC GF=BF DF；④EAEB=AG AD；⑤CF 2＝GF •EF ，其中正确的个数是（）A ．5B ．4C ．3D ．25．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE ＝45°，将△ADC 绕点A 顺时针90°旋转后，得到△AFB ，连接EF ．下列结论中正确的个数有（） ①∠EAF ＝45°； ②△ABE ∽△ACD ； ③EA 平分∠CEF ； ④BE 2+DC 2＝DE 2．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，在矩形ABCD中，过点A作对角线BD的垂线并延长，与DC的延长线交于点E，与BC交于点F，垂足为点G，连接CG，且CD＝CF，则下列结论正确的有（）个①CE＝AD②∠DGC＝∠BFG③CF2＝BF•BC④BG＝GE−√2CGA．1B．2C．3D．47.如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，以BC为边向外作正方形BCDE，连接AD，则AD＝．8．如图，已知正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若AC＝2√2cm，点E在DC 边的延长线上，若∠CAE＝15°，则AE＝cm．9．如图，点E在正方形ABCD边CD上，以CE为边向正方形ABCD外部作正方形CEFG，连接AF，P、Q分别是AF、AB的中点，连接PQ．若AB＝7，CE＝5，则PQ＝．10．如图，等边△ABC 的边长为3，点D 在边AC 上，AD =12，线段PQ 在边BA 上运动，若PQ =12，当AQ ＝时，△AQD 与△BCP 相似．11．如图，AB ＝16cm ，AC ＝12cm ，动点P ，Q 分别以每秒2cm 和1cm 的速度同时开始运动，其中点P 从点A 出发，沿AC 边一直移到点C 为止，点Q 从点B 出发沿BA 边一直移到点A 为止（点P 到达点C 后，点Q 继续运动），当t ＝时，△APQ 与△ABC 相似．12.某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC 中，其中AB ＝AC ，如图Ⅰ，进行了如下操作：第一步，以点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA 的延长线和AC 于点E ，F ，如图Ⅱ；第二步，分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧相交于点D ，作射线AD ；第三步，以D 为圆心，DA 的长为半径画弧，交射线AE 于点G ；（1）填空；写出∠CAD 与∠GAD 的大小关系为；（2）△请判断AD 与BC 的位置关系，并说明理由． △当AB ＝AC ＝6，BC ＝2时，连接DG ，请直接写出AD AG= ；（3）如图△，根据以上条件，点P 为AB 的中点，点M 为射线AD 上的一个动点，连接PM ，PC ，当△CPM ＝△B 时，求AM 的长．13.如图：在矩形ABCD中，AB＝6m，BC＝8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以1m/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒（0＜t＜5）．（1）t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似？（2）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．课后练习1．如图，将矩形ABCD沿着GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F在另一条直线上．以下结论正确的是（）A．△COF∽△CEG B．OC＝3OF C．AB：AD＝4：3D．GE=√6DF 2．如图，在△ABC中，P为AB上一点，下列四个条件中：①AC2＝AP•AB；②AB•CP＝AP •CB；③∠APC＝∠ACB；④∠ACP＝∠B能满足△APC与△ACB相似的条件是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④3．如图，△ABC∽△DBE，延长AD，交CE于点P，若∠DEB＝45°，AC＝2√2，DE=√2，BE＝1.5，则tan∠DPC＝（）A ．√2B ．2C ．3+√22D ．124．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上的一点，AE ⊥EF ，则下列结论：（1）sin ∠BAE =12；（2）BE 2＝AB •CF ；（3）CD ＝3CF ；（4）△ABE ∽△AEF ，其中结论正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，在四边形ABCD 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，E 是BC 的中点，AD ∥BC ，AE ∥DC ，EF ⊥CD 于点F ．下列结论错误的是（）A ．四边形AECD 的周长是20B ．△ABC ∽△FEC C ．∠B +∠ACD ＝90°D ．EF 的长为2456．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 是BC 的中点，AE 与BD 交于点P ，F 是CD 上一点，连接AF 分别交BD ，DE 于点M ，N ，且AF ⊥DE ，连接PN ，则以下结论中：①S△ABM＝4S △FDM ；②PN =2√6515；③tan ∠EAF =34；④△PMN ∽△DPE ，正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④7．如图，正方形ABCD 中，AB ＝2√5，点N 为AD 边上一点，连接BN ，作AP ⊥BN 于点P ，点M 为AB 边上一点，且∠PMA ＝∠PCB ，连接CM ．下列结论正确的个数有（）（1）△P AM ∽△PBC （2）PM ⊥PC ；（3）∠MPB ＝∠MCB ；（4）若点N 为AD 中点，则S △PCN ＝6 （5）AN ＝AMA．5个B．4个C．3个D．2个8．如图，在正方形ABCD中，点E为AB的中点，CE，BD交于点H，DF⊥CE于点F，FM平分∠DFE，分别交AD，BD于点M，G，延长MF交BC于点N，连接BF．下列结论：①tan∠CDF=12；②S△EBH：S△DHF＝3：4；③MG：GF：FN＝5：3：2；④△BEF∽△HCD．其中正确的是.（填序号即可）．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，动点D，E分别在AB，CB边上，且BE=√2AD．连接CD，AE相交于点P，连接BP，则△CAD∽△，BP的最小值为．10．在△ABC中，AB＝8，BC＝16，AP＝BP，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝时，△BPQ与△BAC相似．11．如图，四边形ABCD，CDEF，EFHG是三个正方形，∠2+∠3＝．12．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，BE⊥EF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，则EF的长是．13．如图，小明想测量一棵大树AB的高度，他发现树的影子落在地面和墙上，测得地面上的影子BC的长为5m，墙上的影子CD的长为2m．同一时刻，一根长为1m垂直与地面标杆的影长为0.5m，则大树的高度AB为m．14．小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离AB 为1.6米，凉亭的高度CD为6.6米，小明到凉亭的距离BD为12米，凉亭与观景台底部的距离DF为42米，小杰身高为1.8米．那么观景台的高度为米．15如图所示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．（1）求证：△DAE≌△DCF；（2）求证：△ABG∽△CFG．16．如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4．（1）如图①，在AB 上取一点D ，将纸片沿OD 翻折，使点A 落在BC 边上的点E 处，求D 、E 两点的坐标；（2）如图②，若OE 上有一动点P （不与O ，E 重合），从点O 出发，以每秒1个单位的速度沿OE 方向向点E 匀速运动，设运动时间为t 秒（0＜t ＜5），过点P 作PM ⊥OE 交OD 于点M ，连接ME ，求当t 为何值时，以点P 、M 、E 为顶点的三角形与△ODA 相似？➢ 冲击A+在正方形ABCD 中，点G 是边AB 上的一个动点，点F 、E 在边BC 上，BF ＝FE ＝AG ，且AG ≤12AB ，GF 、DE 的延长线相交于点P ．（1）如图1，当点E 与点C 重合时，求∠P 的度数；（2）如图2，当点E 与点C 不重合时，问：（1）中∠P 的度数是否发生变化，若有改变，请求出∠P 的度数，若不变，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作DN ⊥GP 于点N ，连接CN 、BP ，取BP 的中点M ，连接MN ，在点G 的运动过程中，求证：MN NC为定值．。

2024年中考数学复习(全国版)重难点09 相似三角形8种模型(解析版)

∴△ 퐶퐴 ∽△ 퐶 ，
∴ ∠퐶퐴 = ∠퐶 ，
∵ ∠퐶퐴 = ∠퐶퐵 ，
∴ ∠퐶 퐵 = ∠퐶퐵 ，
∴ 퐵퐶 = 퐶，
∴ 퐶 = 퐶퐵， ∴ ∠퐵 퐶 = ∠퐵퐴 ，
∴ 퐶//퐴 ，
∴
푃퐶 퐶
=
푃 퐴
=
2� �
=
2，
∴ 푃퐶 = 2퐶 = 4 2，
∵ ∠푃퐶퐵 = ∠푃퐴 ，∠퐶푃퐵 = ∠퐴푃 ，
．
【答案】2 【分析】过 D 作垂直퐴퐶于 H 点，过 D 作 ∥퐴 交 BC 于 G 点，先利用解直角三角形求出퐶 的长，其次利用△ 퐶 ∽△ 퐶퐵 ，求出퐶 的长，得出퐵 的长，最后利用△ 퐵 ∽△ 퐵퐴 ，求出퐵 的长，最后得出答案．【详解】解：如图：过 D 作垂直퐴퐶于 H 点，过 D 作 ∥퐴 交퐵퐶于 G 点，
∴퐴
= 퐴�，即
퐴 �+
�
=
� 퐴
∴2
2+
�
=
� 2
解得 � = 5 − 1 或 � =− 5 − 1 < 0（不符题意，舍去）
则퐵 = � = 5 − 1
故答案为：2， 5 − 1．【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，根据矩形与折叠的性质，正确找出两个相似三角形是解题关键． 3．（2020·山东济宁·中考真题）如图,在四边形 ABCD 中，以 AB 为直径的半圆 O 经过点 C,D．AC 与 BD 相
BC=DC，证明
OC∥AD，利用平行线分线段成比例定理得到퐶푃퐶
=
푃 퐴
=
2，则푃퐶
=
2퐶
= 4 2，然后证

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相似三角
形的
基本类型
相等，对应边的 1.相似多边形对应角 11 _____ 相似多边
比等于相似比
2.相似多边形的周长比等于相似比，面积平方比等于相似比的 12 _____
形的性质
运用相似三角形的判定条件和性质解决实际问题的方法步骤
相似三角形运用相似三角形的有关性质解决现实生活中
的实际应用的实际问题：如利用光的反射定律求物体的高度，利用影子计算建筑物的高度.同一时身高刻，物高与影长成比例，有＝影长建筑物的高度建筑物的影长
EC 2 AC 2 4 2 .
等比性质：a c ... m (b d ... n 0) b d n a a c ... m ②______ b b d ... n
黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC和BC，且
AC BC ，那么就说线段AB被点C黄 AB AC 金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，
AC 5 1 AC与AB的比叫黄金比，即 AB 2 ≈0.618
定理：两条直线被一组平行线所截，平行线分线段成比例所得的对应线段成比例
（2011版新课
标新增内容）
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例
相等，对应边成比例 1.相似三角形对应角③_____
5.两直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边
对应成比例，那么这两直角三角形相似Βιβλιοθήκη 判定三角形相似的思路
有平行截线——用平行线的性质，找等角另一对等角有一对等角，找夹边对应成比例夹角相等第三边也对应成比例有两边对应成比例，找有一对直角一对锐角相等直角三角形，找斜边、直角边对应成比例等腰三角形，找顶角相等一对底角相等底和腰对应成比例
第一部分
第四章
第四节
考点研究
三角形
相似三角形
考点精讲
比例的性质
比例线段黄金分割平行线分线段成比例性质相似三角形
判断
相似三角形的性质与判断判断三角形相似的思路相似三角形的基本类型相似多边形的性质相似三角形的实际应用
a c 比例的基本性质： ad bc(abcd 0) b d cd 合比性质：a c a b =①_______ d 比例的性质 b d b
1.将实际问题转化为相
似三角形问题运用相似三角形的判定条件和性质解决实际问题的方法步骤 3.根据相似三角形的性质，表示出相应的量， 2.找出一对相似三角形
并求解
重难点突破
相似三角形的性质的有关计算（高频）
例（2015凉山州）在 Y ABCD中，M、N是AD边上的三等分点，连接BD、MC相交于O点，则 S△MOD∶S△COB=__________.
∴ DE BE AC ，即AC2=DE· BC=x（10-x），在Rt△BDE中，BD= 2 5 ，根据勾股定理得：BD2= BE2+DE2=AC2+DE2，即20=x（10-x）+x2,
AC BC BC
解得:x=2,∴AC=BE=4，EC=BC-BE=4, 在Rt△ACE中，根据勾股定理得：AE=
3
1. 如图，△ABC中，如果AB=AC，AD⊥BC于点D，
M为AC中点，AD与BM交于点G，那么AG ∶GD的值为______.
∵AB=AC,AD⊥BC于点D,∴BD=CD, 【解析】 ∵M为AC中点，∴DM是△ABC的中位线, ∴DM∥AB，DM= 1 AB, ∴△ABG∽△DMG,
AG AB ∴ =2. DG DM
【解析】 ∵M、N是AD边上的三等分点，当
DM 2 ，∵四边形ABCD是平时，如解图①，∴ BC 3
DM 2 BC 3
行四边形，∴AD∥BC，∴△DMO∽△BCO，
AD 1 解图②，同理可得S△MOD∶S△COB= . 9
DM 2 4 ∴S△MOD∶S△COB= 2 BC 9
．当DM 1 时，如
中线、 2.相似三角形的对应线段（边、高、④_____ 性质
角平分线）成比例
相似比，面积比 3.相似三角形的周长比等于⑤_______ 相似比的平方等于⑥_____________
1.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构相似成的三角形与原三角形⑦_____ 三边对应成比例的两三角形相似 2.⑧_____ 判定夹角相等的两三角形相似 3.两边成比例且⑨_____ 两角分别相等的两三角形相似 4.⑩_____
2
2. 如图，Rt△ACB中，∠C=90°，D是AB上一点，
作DE⊥BC于E，连接AE，若BE=AC，BD=25， DE+BC=10，则线段AE的长为_____.
【解析】设DE=x，根据DE+BC=10，得到BC=10-x， ∵DE⊥BC，AC⊥BC，∴∠DEB=∠ACB=90°,
∵∠B=∠B，∴△BDE∽△BAC，∵BE=AC，