第五章第一节 功和功率

物体的质量为m，定滑轮离水平地面
的高度为h，物体在位置A、B时细绳 与水平方向的夹角分别为θ1 和θ2，求 绳的拉力对物体做的功．
第五章
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图5－1－4
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解析：人拉绳的力是恒力，但绳拉物 体的力的方向不断变化，故绳拉物体 的力F′是变力，但此力对物体所做的 功与恒力F所做的功相等．力F作用的 位移与物体的位移相关联，
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以恒定功率启 以恒定加速度 动 启动 P额 F＝F 阻 ⇒a＝0 v↑⇒F＝ ↓ v 过程分析 P AB ⇒F 阻 ＝ F－F阻 vm ⇒a＝ ↓ 段 m 以 vm 匀速直线 加速度减小的 运动性质 运动 加速运动 F＝F 阻 ⇒a＝0 P额 BC 段 无 ⇒以 vm＝ 匀 F阻 速运动 两种方式
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功率的分析和计算
例2 跳绳运动员质量m＝50 kg,1 min
跳N＝180次．假设每次跳跃中，脚与 地面的接触时间占跳跃一次所需时间 的2/5，试估算该运动员跳绳时克服重 力做功的平均功率多大？
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【思路点拨】
克服重力做功，应判
断物体上升的高度，同时平均功率中 应明确时间是跳跃一次的时间，而不 是克服重力做功的时间．
3．公式 W 平均 (1)P＝ ，P 为时间 t 内的_____功率． t
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(2)P＝Fvcosα(α为F与v的夹角) 平均 ①v为平均速度，则P为_____功率； ②v为瞬时速度，则P为______功率． 瞬时 正常工作 4． 额 定 功率 ： 机械 ___________ 时 输出的最大功率．
p一 定 F一 定
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P 刚 达 到 额 定 功 率 时 的 速 度 v1 ＝ ＝ F 100×103 4 m/s≈6.7 m/s，此为匀加速运 1.5×10 动的末速度，所以匀加速运动的最长时 v1 间 t＝ ＝13.4 s. a
答案：(1)10 m/s
(2)13.4 s
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题型探究讲练互动
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60 1 【解析】 跳跃的周期 T＝ s＝ s 180 3 3 每个周期内在空中停留的时间 t1＝ T 5 1 ＝ s. 5 运动员跳起时视为竖直上抛运动， 设起 2v0 1 跳初速度为 v0，由 t1 ＝ 得 v0＝ gt1 . g 2
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每次跳跃人克服重力做的功为 1 2 1 22 W＝ mv0 ＝ mg t1 ＝25 J 2 8 W 25 克服重力做功的平均功率为 P＝ ＝ T 1 3 W＝75 W.
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思考感悟 一个力对物体做正功，另一个力做负 功，这两个力的方向一定相反吗？ 提示：不一定，这两个力与v的夹角一 个大于90°，一个小于90°，但这两 个力的夹角不一定是180°.
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3．功的正负判断 夹角 0°≤α<90° 90°<α≤180 功的正负
正功 力对物体做______ 负功 力对物体做______，
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两种 方式
以恒定功率启动
以恒定加速度 启动
P－图和v －t图
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以恒定功率 两种方式 启动 v↑⇒F＝ 过 P不变 ↓ 程 v 分 ⇒a＝ OA 析 F－F阻 ↓ 段 m 运 加速度减小 动 的加速直线 性 运动 质
以恒定加速度 启动 F－F阻 a＝ 不变 m v↑ ⇒F 不变⇒P＝ Fv↑直到 P 额 ＝Fv1 匀加速直线运 动， 维持时间 t0 v1 ＝ a
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(4)作出变力F随位移s变化的图象，图 象与位移轴所围的“面积”即为变力做 的功．图5－1－3中甲图表示恒力F做 的功W，乙图表示变力F做的功W，丙 图中横轴上方的面积表示正功,横轴下 方的面积表示负功,其总功等于正、负
功的代数和．
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图5－1－3
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即时应用 2．如图5－1－4所示，用恒力F通过 光滑的定滑轮把静止在水平面上的物 体(大小可忽略)从位置A拉到位置B，
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解析：选AC.木块受力平衡，受力情况 如图所示．木块水平向左运动，则支 持力FN对木块做正功，摩擦力Ff对木块 做负功,重力mg不做功，木块对斜面的 压力F′N＝FN＝mgcosα，综上所述， 可知选项A、C对，B 、D错．
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二、求功的几种方法
1．恒力及合力做功的计算 (1)恒力的功:直接用W＝Fscosα计算． (2)合外力的功 ①先求合外力F合,再应用公式W合＝F合 scosα求功,其中α为合力F合与位移的夹 角．
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1 － 1 ，则细绳对物体的 即 s＝h sinθ1 sinθ2
拉 力 F′ 所 做 的 功 为 W ＝ WF ＝
1 － 1 . Fh sinθ1 sinθ2
1 － 1 答案：Fh sinθ1 sinθ2
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三、机车两种启动方式的比较 对机动车等交通工具,在启动的时候， 通常有两种启动方式，即以恒定功率 启动和以恒定加速度启动．现比较如 下：
3
P P ＝ ＝ ＝ Ff kmg
100×10 m/s＝10 m/s， 以后汽 4 0.1×1.0×10 ×10 车保持 vmax 匀速运动．
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(2)匀加速启动时，汽车牵引力恒定，随着 v↑― ― →P↑，直到达到额定功率后， ― ― v↑― ― →F↓， ― ― 汽车改做 a 减小的变加 速运动，直到 a＝0,达到最大速度 vmax 后 做匀速运动.匀加速运动中,由 F－Ff ＝ma 得汽车牵引力 F＝ma＋Ff ＝1.5×104 N．
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(3)将变力做功转化为恒力做功 ①当力的大小不变，而方向始终与运 动方向相同或相反时，这类力的功等 于力和路程(不是位移)的乘积．如滑 动摩擦力做功、空气阻力做功等．
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②当力的方向不变，大小随位移做线性 变化时，可先求出力对位移的平均值 F F1 ＋F2 ＝ ，再由 W＝Fscosα 计算，如弹 2 簧弹力做功．
克服 或者说物体________
°
这个力做了功
力对物体 不做功
α＝90°
___________
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名师点拨：功是标量，正功表示对物 体做功的力为动力，负功表示对物体 做功的力为阻力，功的正负不表示功 的大小．
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二、功率 1．定义：功与完成这些功所用时间的
比值 ______． 快慢 2． 物理意义： 描述力对物体做功的____．
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即时应用 1.(2012· 广州测试)如图5－1－2所示， 质量为m的木块放在倾角为α的斜面上 与斜面一起水平向左匀速运动,木块 ( ) 图5－1－2
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A．对斜面的压力大小为mgcosα B．所受的支持力对木块不做功 C．所受的摩擦力对木块做负功 D．所受的摩擦力方向可能沿斜面向 下
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即时应用 3．一汽车额定功率为100 kW，质量 为1.0×104 kg，设阻力恒为车重的 0.1倍，g取10 m/s2.
(1)若汽车保持恒定功率运动，求运动
的最大速度； (2)若汽车以0.5 m/s2的加速度匀加速 运动，求其匀加速运动的最长时间．
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解析： (1)当 a＝0， F＝Ff 时速度最大， 即 设 为 vmax ， vmax
某一个量，物体还是从静止开始沿水
平
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地面运动，下列可使拉力做的功为2W 的是( )
图5－1－6
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M A．物体质量减小为 2 B．拉力增大为 2F C．做功时间增长为 2t D．α 角从 60° 变为 0°
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1 解析： A.由 Fcosα＝Ma 及 W＝F× 选 2 2 2 F t cosα 2 at 可得：W＝ ，要使拉力做的 2M 功变为 2W，可使 F′＝ 2F，t′＝ 2 M 1 t，M′＝ 或者 cosα′＝ cosα，由此 2 2 可知选项 A 正确.
做功的分析与计算
例1
如图5－1－5所示，一质量为m
＝2.0 kg的物体从半径为R＝5.0 m的 圆弧的A端，在拉力作用下沿圆弧缓 慢运动到B端(圆弧AB在竖直平面 内)．
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拉力F大小不变始终为15 N，方向始 终与物体在该点的切线成37°角．圆 弧所对应的圆心角为60°，BO边为竖 直方向．(g取10 m/s2)求这一过程中：
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一般适用于整个过程中合力恒定不变 的情况． ②分别求出每个力的功W1、W2、 W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3 ＋…求合外力的功．这种方法一般适 用于在整个过程中，某些力分阶段作 用的 情况．
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③利用动能定理或功能关系求解． 2．变力做功的计算 (1)用动能定理W＝ΔEk或功能关系W ＝ΔE，即用能量的增量等效代换变力 所做的功．(也可计算恒力功) (2)当变力的功率P一定时，可用W＝ Pt求功，如机车恒功率启动时．
s1 ，s2 ，…，sn ，拉力在每小段上做 的功为W1，W2，…，Wn，因拉力F大 小不变，方向始终与物体在该点的切 线成37°角，所以： W1＝Fs1cos37°，W2＝ Fs2cos37°，…，Wn＝Fsncos37°，
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所 以 WF ＝ W1 ＋ W2 ＋ … ＋ Wn ＝ Fcos37° 1＋s2 ＋…＋sn) (s π ＝Fcos37° R＝20π J＝62.8 J. · 3 (2)重力 G 做的功 WG＝－mgR(1－cos60° ) ＝－50 J. (3)物体受的支持力 FN 始终与物体的运 动方向垂直，
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所以WFN＝0. (4)因物体在拉力F作用下缓慢移动， 动能不变，由动能定理知：WF ＋WG ＋WFf＝0.
所以WFf ＝－WF－WG＝(－62.8＋50)
J＝－12.8 J. 【答案】 (3)0 (1)62.8 J (2) － 50 J (4)－12.8 J
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【规律总结】
图5－1－5
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(1)拉力F做的功． (2)重力G做的功．
(3)圆弧面对物体的支持力FN做的功．
(4)圆弧面对物体的摩擦力Ff做的功．
【思路点拨】 根据各个力的特点(是 恒力还是变力)，选择相应的计算功的 方法，如功的定义式W＝Fscosα或动 能定理．
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【解析】
(1)将圆弧
分成很多小段
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第一节
功和功率
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基础梳理自学导引
一、功 力 1．做功的两个必要条件：_____和物 位移 体在力的方向上发生的______．
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Fscosα 恒力 2.公式:W＝___________.适用于
_____做功．其中α为F、s方向间夹角， s为物体对地的位移．
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从能量转化的角度看，当b沿弧面由静 止下滑时，a就由静止开始向右运动， 即a的动能增大了，因此b对a的弹力 做了正功．由于a和b组成的系统机械 能守恒，a的机械能增加，b的机械能 一定减少，因此a对b的支持力对b一
定做了负功．
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特别提醒：判断力做功的正负问题， 关键要明确哪个力做的功，应根据具 体问题选择合适的方法.
实际工作 5．实际功率：机械__________时输
小于或等于 出的功率，要求___________额定功 率.
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要点透析直击高考
一、判断功正、负的方法 1．若物体做直线运动，依据力与位移 的夹角来判断．此法常用于恒力做功的 判断． 2．若物体做曲线运动，依据F与v的方 向夹角来判断．当0°≤α<90°，力对物
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体做正功；90°<α≤180°，力对物体
做负功；α＝90°，力对物体不做
功．
3．从能量的转化角度来进行判断．若
有能量转化，则应有力做功．此法常
用于判断两个相联系的物体．
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图5－1－1 举例：如图5－1－1所示，弧面体a放 在光滑水平面上，弧面光滑，使物体b 自弧面的顶端自由下滑，试判定a、b 间弹力做功的情况．
在遇到求功的问题时，
一定要注意分析是求恒力做的功还是变 力做的功，如果是求变力做的功，看能 否转化为求恒力做功的问题，不能转化 的，还可以借助动能定理或能量守恒定 律求解．
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变式训练1 (2012· 安徽合肥市高三质 检)如图5－1－6所示，质量为M的物 体放在光滑水平地面上，受与水平方 向成α角的恒定拉力F作用，从静止开 始沿水平地面运动，在时间t内，拉力 F对物体所做的功为W.若仅改变上述