北师大版八年级数学下册1.2.2《直角三角形》教案

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北师大版数学八年级下册:1.2 直角三角形 教案1

北师大版数学八年级下册:1.2 直角三角形  教案1

直角三角形【教学目标】1.掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。

2.巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。

3.通过图形的变换,引导学生发现并提出新问题,进行类比联想,促学生的思维向多层次多方位发散。

培养学生的创新精神和创造能力。

4.从生活的实际问题出发,引发学生学习数学的兴趣。

从而培养学生发现问题和解决问题能力。

【教学重点】直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。

直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。

【教学方法】观察、比较、合作、交流、探索。

【教学过程】一、引入:如果你是设计师:(提出问题)2008年将建造一个地铁站,设计师设想把地铁站的出口建造在离附近的三个公交站点45路、13路、23路的距离相等的位置。

而这三个公交站点的位置正好构成一个直角三角形。

如果你是设计师你会把地铁站的出口建造在哪里?请同学们分小组在模型上找出那个点,并说出它的位置。

请同学们测量一下这个点到这三个顶点的距离是否符合要求。

通过以上实验请猜想一下,直角三角形斜边上的中线和斜边的长度之间有什么关系?二、新授:提出命题:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明命题:(教师引导,学生讨论,共同完成证明过程)应用定理:已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C,AD是∠BAC的平分线,E、F分别AB.AC的中点。

求证:DE=DFFEDC BAE D C B A 分析:可证两条线段分别是两直角三角形的斜边上的中线,再证两斜边相等即可证得。

练习变式:1. 已知:在△ABC 中,BD .CE 分别是边AC .AB 上的高,F 是BC 的中点。

求证:FD=FE 练习引申:(1)若连接DE ,能得出什么结论?(2)若O 是DE 的中点,则MO 与DE 存在什么结论吗?上题两个直角三角形共用一条斜边,两个直角三角形位于斜边的同侧。

如果共用一条斜边,两个直角三角形位于斜边的两侧我们又会有哪些结论?2.已知:∠ABC=∠ADC=90º,E 是AC 中点。

北师大版八年级下册数学《1.2第2课时直角三角形全等的判定》说课稿

北师大版八年级下册数学《1.2第2课时直角三角形全等的判定》说课稿

北师大版八年级下册数学《1.2 第2课时直角三角形全等的判定》说课稿一. 教材分析北师大版八年级下册数学《1.2 第2课时直角三角形全等的判定》这一节的内容是在学生已经掌握了全等图形的概念和性质的基础上进行讲解的。

在全等图形的概念和性质的学习过程中,学生已经了解了全等图形的大小、形状、位置关系是相同的,而且已经学会了使用SSS、SAS、ASA、AAS等方法来判定两个图形是否全等。

本节课的内容是让学生学习直角三角形全等的判定方法,主要包括HL和RHS两种方法。

这两种方法是判定直角三角形全等的基本方法,对于学生理解和掌握全等图形的判定方法有重要的意义。

二. 学情分析学生在学习本节课之前,已经掌握了全等图形的概念和性质,也已经学习了判定两个图形全等的方法。

但是,对于直角三角形全等的判定方法,学生可能还不是很熟悉,需要通过本节课的学习来进一步理解和掌握。

此外,学生在学习过程中可能存在对于全等图形判定方法的混淆,需要教师在教学过程中进行引导和纠正。

三. 说教学目标1.知识与技能目标:让学生理解和掌握直角三角形全等的判定方法HL和RHS,能够运用这两种方法判定两个直角三角形是否全等。

2.过程与方法目标:通过观察、操作、思考、交流等过程,培养学生的观察能力、动手能力、思维能力和交流能力。

3.情感态度与价值观目标:让学生体验数学学习的乐趣,培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点:直角三角形全等的判定方法HL和RHS。

2.教学难点:对于不同情况下直角三角形全等的判定方法的灵活运用。

五. 说教学方法与手段本节课采用讲授法、示范法、练习法、小组合作法等教学方法,结合多媒体课件、几何画板等教学手段,以学生为主体,教师为指导,引导学生通过观察、操作、思考、交流等过程,掌握直角三角形全等的判定方法。

六. 说教学过程1.导入:通过复习全等图形的概念和性质,引导学生进入本节课的学习。

2.讲解:讲解直角三角形全等的判定方法HL和RHS,并通过示例进行说明。

北师大版八年级下册数学《1.2第1课时直角三角形的性质与判定》说课稿

北师大版八年级下册数学《1.2第1课时直角三角形的性质与判定》说课稿

北师大版八年级下册数学《1.2 第1课时直角三角形的性质与判定》说课稿一. 教材分析北师大版八年级下册数学《1.2 第1课时直角三角形的性质与判定》这一课时,主要让学生了解直角三角形的性质与判定。

在学习了勾股定理和三角函数的基础上,本节课让学生通过观察、实验、推理等方法,探索并证明直角三角形的性质,从而加深对勾股定理的理解和应用。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了基本的代数知识和几何知识,对于观察、实验、推理等方法有一定的了解和运用能力。

但是,对于证明直角三角形的性质和判定,还需要老师在课堂上进行引导和讲解。

三. 说教学目标1.知识与技能:让学生掌握直角三角形的性质和判定方法。

2.过程与方法:培养学生通过观察、实验、推理等方法探索数学问题的能力。

3.情感态度与价值观:激发学生对数学的兴趣,培养学生的团队协作能力和自主学习能力。

四. 说教学重难点1.教学重点:直角三角形的性质和判定方法。

2.教学难点:证明直角三角形的性质和判定。

五.说教学方法与手段1.教学方法:采用问题驱动法、实验探究法、小组合作法等。

2.教学手段:多媒体课件、黑板、几何模型等。

六. 说教学过程1.导入新课:通过一个实际问题,引发学生对直角三角形性质的思考。

2.自主学习:让学生通过观察、实验、推理等方法,探索直角三角形的性质。

3.合作交流:学生分组讨论,分享探索成果,互相提问,解决问题。

4.讲解与演示:老师对学生的探索成果进行点评,讲解直角三角形的性质和判定方法,并进行现场演示。

5.练习巩固:让学生进行一些有关直角三角形性质和判定的练习题,巩固所学知识。

6.课堂小结:让学生总结本节课所学内容,老师进行补充。

七. 说板书设计板书设计如下:直角三角形的性质与判定a.直角三角形的两个锐角互余b.直角三角形的斜边最长c.直角三角形的两条直角边互相垂直d.如果一个三角形有一个角是直角,那么它是直角三角形e.如果一个三角形的两边长满足a^2 + b^2 = c^2,那么这个三角形是直角三角形八. 说教学评价1.课堂参与度:观察学生在课堂上的发言、提问、练习等情况,了解学生的参与程度。

北师大版八年级数学下册1.2《直角三角形》课件(共14张PPT)

北师大版八年级数学下册1.2《直角三角形》课件(共14张PPT)
观察上面两组定理,它们的条件和结论之间有怎样的关系?
观察下面三组命题: 如果两个角是对顶角,那么它们相等; 如果两个角相等,那么它们是对顶角。 如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧; 如果小明发烧,那么他一定患了肺炎。 一个三角形中相等的边所对的角相等; 一个三角形中相等的角所对的边相等。
思考:上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的 关系吗?
作业:
1,下列各组数中,是勾股数的是( )
A 2,3,4
B 1.5, 2,3
C 9, 12, 15
D 7, 8, 9
2,在△ABC中,三边长分别是8,15,17,则这个三角形是__
它的面积是__。
3,若三角形的三边长分别为n+1,n+2,n+3,当n=__时,此三 角形是直角三角形。
4, 在△ABC中,BC=6,AC=5,BC边上中线长为4,则S△ABC=____ 5,已知:在△ABC中,AB=15cm,AC=20cm,BC=25cm
角时,那么这两个三角形全等吗?
已知:在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°, AB=A′B′,BC=B′C′。 求证:Rt△ABC≌Rt△A′B′C′。
定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全 等.这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表 示.
如图所示,有两个长度相等的滑梯,左边滑梯的高度 AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,两个滑梯的 倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系?
想一想
思考:两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两 个三角形全等吗?如果其中一组等边所对的角是直角 呢?
两个三角形中,如果有两边及其中一边的对角相等,这两个三 角形是不一定全等的.如图所示:

北师大版八年级下册数学1.2直角三角形全等的判定(HL定理)教学设计

北师大版八年级下册数学1.2直角三角形全等的判定(HL定理)教学设计
北师大版八年级下册数学1.2直角三角形全等的判定(HL定理)教学设计
一、教学目标
(一)知识与技能
1.理解并掌握直角三角形的定义及性质;
2.掌握HL定理的证明过程和判定方法;
3.学会运用HL定理解决实际问题时,正确识别直角三角形的直角边和斜边;
4.能够运用HL定理与其他全等判定方法(如SSS、SAS等)相结合,解决复合型全等问题。
4.强调HL定理在实际生活中的应用,激发学生学习数学的兴趣,提高学生的应用意识。
5.布置课后作业,让学生在课后进一步巩固所学知识,为下一节课的学习做好准备。
五、作业布置
为了巩固学生对直角三角形全等判定(HL定理)的理解和应用,特布置以下作业:
1.完成教材课后练习题1-5题,要求学生在解题过程中,准确识别直角边和斜边,熟练运用HL定理进行判定。
(二)过程与方法
在教学过程中,教师应关注以下方面:
1.引导学生通过观察、分析、归纳等思维活动,发现并理解HL定理;
2.采用问题驱动法,设计具有启发性和挑战性的问题,激发学生的求知欲和探究精神;
3.组织学生进行小组合作学习,培养学生的团队协作能力和交流表达能力;
4.引导学生运用HL定理解决实际问题,培养学生的应用意识和实践能力;
5.反馈评价,查漏补缺:通过课堂练习、小组互评等方式,了解学生的学习情况,针对学生的薄弱环节进行有针对性的辅导;
6.归纳总结,提炼方法:在课程结束时,引导学生对所学知识进行归纳总结,提炼解题方法,提高学生的几何素养。
在教学过程中,教师应关注以下方面:
1.关注学生个体差异,实施差异化教学,使每位学生都能在原有基础上得到提高;
b.分享:组内成员在学习HL定理过程中遇到的困难和解决方法;

北师版八年级数学下册1.2 第2课时 直角三角形全等的判定教案与反思

北师版八年级数学下册1.2 第2课时 直角三角形全等的判定教案与反思

第2课时直角三角形全等的判定原创不容易,为有更多动力,请【关注、关注、关注】,谢谢!师者,所以传道,授业,解惑也。

韩愈1.理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”;(重点)2.经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程,能运用“斜边、直角边”判定方法解决有关问题.(难点)一、情境导入舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.(1)你能帮他想个办法吗?(2)如果他只带了一个卷尺,能完成这个任务吗?工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,发现它们分别对应相等,于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”,你相信他的结论吗?二、合作探究探究点:直角三角形全等的判定【类型一】应用“HL”证明三角形全等如图,已知∠A=∠D=90°,E、F在线段BC上,DE与AF交于点O,且AB=CD,BE=CF.求证:Rt△ABF≌Rt△DCE.解析:由题意可得△ABF 与△DCE 都为直角三角形,由BE =CF 可得BF =CE ,然后运用“HL ”即可判定Rt △ABF 与Rt △DCE 全等.证明:∵BE =CF ,∴BE +EF =CF +EF ,即BF =CE .∵∠A =∠D =90°,∴△ABF 与△DCE 都为直角三角形.在Rt △ABF 和Rt △DCE 中,∵⎩⎨⎧BF =CE ,AB =CD ,∴Rt △ABF ≌Rt △DCE (HL).方法总结:利用“HL ”判定三角形全等,首先要判定这两个三角形是直角三角形,然后找出对应的斜边和直角边相等即可.【类型二】 利用“HL ”证明线段相等如图,已知AD ,AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高,如果AD =AF ,AC =AE .求证:BC =BE .解析:根据“HL ”证Rt △ADC ≌Rt △AFE ,得CD =EF ,再根据“HL ”证Rt △ABD ≌Rt △ABF ,得BD =BF ,最后证明BC =BE .证明:∵AD ,AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高,且AD =AF ,AC =AE ,∴Rt △ADC ≌Rt △AFE (HL).∴CD =EF .∵AD =AF ,AB =AB ,∴Rt △ABD ≌Rt △ABF (HL).∴BD =BF .∴BD -CD =BF -EF .即BC =BE .方法总结:证明线段相等可通过证明三角形全等解决.直角三角形的判定方法最多,使时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件.【类型三】 利用“HL ”证明角相等如图,AB ⊥BC ,AD ⊥DC ,AB =AD ,求证:∠1=∠2.解析:要证角相等,可先证明全等.即证Rt △ABC ≌Rt △ADC ,进而得出角相等.证明:∵AB ⊥BC ,AD ⊥DC ,∴∠B =∠D =90°,∴△BC 与△ACD 为直角三角形.在Rt △ABC 和Rt △ADC 中,∵⎩⎨⎧B =AD ,AC =AC ,∴Rt △ABC ≌Rt △ADC (HL),∴∠1=∠2.方法总结:证明角相等可通过证明三角形全等解决.【类型四】 利用“HL ”解决动点问题图,在直角三角形ABC 中,∠C =90°,AC =20,BC =10,PQ =AB .P ,Q 两点分别在线段AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AM 上运动,且点P 不与点A ,C 重合.那么当点P 运动到什么位置时,才能使△ABC 与△APQ 全等?解析:本题要分情况讨论:①Rt △APQ ≌Rt △CBA ,此时AP =BC =10,可据此求出P 点的位置.②Rt △QAP ≌Rt △BCA ,此时A =AC ,P 、C 重合,不合题意.解:根据三角形全等的判定方法HL 可知:①当P 运动到AP =BC 时,∵∠C =∠QAP =90°,∴在Rt △ABC 与Rt △QPA 中,AP =BC ,PQ =AB ,∴Rt △ABC ≌Rt △QPA (HL),即AP =BC =10;②当P 运动到与C 点重合时,AP =AC ,不合题意.综上所述,当点P 运动到距离点A 为10时,△ABC 与△APQ 全等.方法总结:判定三角形全等的关键是找对应边和对应角,由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角,因此要分类讨论,以免漏解.【类型五】 综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等如图,CD ⊥AB 于D 点,BE ⊥AC 于E 点,BE ,CD 交于O 点,且AO 平分∠BAC .求证:OB =OC .解析:已知BE ⊥AC ,CD ⊥AB 可推出∠ADC =∠BDC =∠AEB =∠CEB =90°,由AO 平分∠BAC 可知∠1=∠2,然后根据AAS 证得△AOD ≌△AOE ,△BOD ≌△COE ,即可证得OB =OC .证明:∵BE ⊥AC ,CD ⊥AB ,∴∠ADC =∠BDC =∠AEB =∠CEB =90°.∵AO 平分∠BAC ,∴∠1=∠2.在△AOD 和△AOE 中,∵⎩⎨⎧∠ADC =∠AEB ,∠1=∠2,OA =OA ,∴△AOD ≌△AOE (AAS),∴OD =OE .在△BOD 和△COE 中,∵⎩⎨⎧∠BDC =∠CEB ,OD =OE ,∠BOD =∠COE ,∴△BOD ≌△COE (ASA).∴OB =OC .方法总结:判定直角三角形全等的方法除“HL ”外,还有SSS 、SAS 、ASA 、AAS.三、板书设计1.作直角三角形2.直角三角形全等的判定斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行.在探究直角三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”时,要让学生进行合作交流.在寻找未知的等边或等角时,常考虑将其转移到其他三角形中,利用三角形全等来进行证明.此外,还要注重通过适量的练习巩固所学的新知识.【素材积累】人生路上从来都不是一马平川,几时起几时落,浮浮沉沉,几时哭几时笑,悲悲喜喜,自信时我们相信自已的直觉,失意时,总是把感觉当成是错觉,而这些错觉会让人掉进一些人生漩涡,如果不看透,可能会危害你的人生。

北师大版数学八年级下册1.2《直角三角形》说课稿

北师大版数学八年级下册1.2《直角三角形》说课稿

北师大版数学八年级下册1.2《直角三角形》说课稿一. 教材分析《直角三角形》是北师大版数学八年级下册第1章第2节的内容。

本节课主要介绍直角三角形的性质,包括直角三角形的定义、直角三角形的边角关系、直角三角形的应用等。

通过学习本节课,学生能够理解直角三角形的概念,掌握直角三角形的性质,并能运用直角三角形的性质解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节课之前,已经学习了三角形的基本概念和性质,对三角形有一定的认识。

但是,学生可能对直角三角形的性质和应用还不够了解。

因此,在教学过程中,教师需要通过引导学生观察、思考、讨论等方式,帮助学生理解和掌握直角三角形的性质。

三. 说教学目标1.知识与技能目标:学生能够理解直角三角形的概念,掌握直角三角形的性质,并能运用直角三角形的性质解决实际问题。

2.过程与方法目标:学生能够通过观察、思考、讨论等方式,培养自己的观察能力和思维能力。

3.情感态度与价值观目标:学生能够积极参与课堂活动,增强对数学学科的兴趣和自信心。

四. 说教学重难点1.教学重点:直角三角形的性质及其应用。

2.教学难点:直角三角形的边角关系。

五. 说教学方法与手段1.教学方法:采用问题驱动法、合作学习法、探究学习法等。

2.教学手段:利用多媒体课件、几何画板等辅助教学。

六. 说教学过程1.导入:通过复习三角形的基本概念和性质,引出直角三角形的定义。

2.探究直角三角形的性质:引导学生观察、思考直角三角形的性质,并通过几何画板软件进行演示。

3.小组讨论:学生分组讨论直角三角形的应用,分享自己的解题心得。

4.总结直角三角形的性质:引导学生总结直角三角形的性质,并进行解释。

5.练习与拓展:布置一些有关直角三角形的练习题,帮助学生巩固所学知识,并拓展学生的思维。

七. 说板书设计板书设计如下:1.定义:有一个角是直角的三角形a.两个锐角的和为90度b.直角对边最长c.直角三角形的一条直角边等于另一条直角边的平方根乘以斜边d.计算直角三角形的边长e.证明几何命题八. 说教学评价教学评价主要通过学生的课堂表现、练习题的完成情况和课后作业的完成情况进行评估。

北师大版数学八年级下册1.2《直角三角形全等的判定》(第2课时)教学设计

北师大版数学八年级下册1.2《直角三角形全等的判定》(第2课时)教学设计

北师大版数学八年级下册1.2《直角三角形全等的判定》(第2课时)教学设计一. 教材分析北师大版数学八年级下册1.2《直角三角形全等的判定》是学生在学习了全等图形的概念和性质、全等三角形的判定方法的基础上进行学习的。

本节课主要让学生掌握HL(斜边-直角边)判定两个直角三角形全等,并能够运用这一方法解决实际问题。

教材通过丰富的例题和练习,引导学生探索、发现、验证和应用知识,培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前,已经掌握了全等图形的概念和性质、全等三角形的判定方法。

但部分学生对于如何运用判定方法解决实际问题还不够熟练,特别是对于一些复杂图形的处理能力有待提高。

此外,学生的数学思维能力、观察能力和合作能力也有待进一步提高。

三. 教学目标1.理解HL(斜边-直角边)判定两个直角三角形全等的条件;2.学会运用HL判定方法解决实际问题;3.培养学生的逻辑思维能力、观察能力、合作能力。

四. 教学重难点1.教学重点:掌握HL(斜边-直角边)判定两个直角三角形全等的方法;2.教学难点:如何运用HL判定方法解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法:通过生活情境导入,激发学生的学习兴趣;2.问题驱动法:引导学生发现并提出问题,培养学生解决问题的能力;3.合作学习法:学生进行小组讨论,培养学生的合作能力;4.实践操作法:让学生动手操作,提高学生的实践能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学素材,如PPT、例题、练习题等;2.准备教学课件,以便进行多媒体教学;3.准备黑板、粉笔等教学工具。

七. 教学过程1.导入(5分钟)利用生活情境,如建筑工人测量角度,引入直角三角形全等的概念。

提问:如何判断两个直角三角形是否全等?2.呈现(10分钟)展示PPT,引导学生发现并提出问题。

如:如果已知一个直角三角形的斜边和一条直角边,如何求解另一个直角三角形的对应边长?3.操练(10分钟)学生进行小组讨论,让学生通过合作学习,探索并验证HL判定两个直角三角形全等的方法。

《 直角三角形》(第1课时)示范公开课教学设计【部编北师大版八年级数学下册】

《 直角三角形》(第1课时)示范公开课教学设计【部编北师大版八年级数学下册】

第一章三角形的证明1.2直角三角形教学设计第1课时一、教学目标1.进一步掌握推理证明的方法,发展演绎推理能力.2.证明直角三角形的性质定理和判定定理.3.结合具体例子了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,知道原命题成立其逆命题不一定成立.二、教学重点及难点重点:1.了解勾股定理及其逆定理的证明方法.2.结合具体例子了解逆命题的概念,识别两个互逆命题,知道原命题成立,其逆命题不一定成立.难点:勾股定理及其逆定理的证明方法.三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板.四、相关资源微课,知识卡片图片五、教学过程【情境导入】问题:房梁的一部分如图所示,,其中BC⊥AC,∠A=30°,AB=7.4 m,点D是AB的中点,且ED⊥AC,垂足分别是E,那么BC的长是多少?解决这个问题,主要利用了上节课已经证明的“在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.”,得到BC=3.7 m.由此提问:“我们曾经探索过的直角三角形,还有哪些性质和判定方法?”.设计意图:通过问题,让学生在解决问题的同时,回顾直角三角形的一般性质.【探究新知】1.忆一忆回顾直角三角形有哪些性质和判定方法?与同伴交流.(1)直角三角形的两个锐角有怎么样的关系?为什么?(2)如果一个直角三角形有两个角互余,那么这个三角形是直角三角形吗?定理:直角三角形的两个锐角互余.定理:有两个角互余的三角形是直角三角形.(1)已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.求证:∠A+∠B=90°.证明:在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°.∵∠C=90°,∴∠A+∠B=180°-∠C=180°-90°=90°.(2)已知:如图,在△ABC中,∠A+∠B=90°.求证:△ABC是直角三角形.321证明:在△ABC 中,∠A +∠B +∠C =180°.∵∠A +∠B =90°,∴∠C =180°-(∠A +∠B )=180°-90°=90°.∴△ABC 是直角三角形.2.证一证我们曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理.如果利用拼图及由其推导出的定理,能够证明勾股定理吗?图1图2利用图1 的边长为a ,b ,c 的全等的四个直角三角形拼成一个以c 为边的正方形如图2,则图中的小正方形边长为(a -b ),它的面积为(a -b )2 ,四个直角三角形的面积和为(4×2ab ) 由此可得:c 2 = (a -b )2+2ab = a 2-2ab +b 2+2ab = a 2+b 2.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理.反过来,如果在一个三角形中,当两边的平方和等于第三边的平方时,我们曾用度量的cb acba方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论.你能证明此结论吗?师生共同来完成.已知:如图:在△ABC 中,AB 2+AC 2=BC 2求证:△ABC 是直角三角形.分析:要从边的关系,推出∠A =90°是不容易的,如果能借助于△ABC 与一个直角三角形全等,而得到∠A 与对应角(构造的三角形的直角)相等,可证.证明:作Rt △A ′B ′C ′,使∠A ′=90°,A ′B ′=AB ,A ′C ′=AC (如图),则A ′B ′2+A ′C ′2 =B ′C ′2 (勾股定理).∵AB 2+AC 2=BC 2,∴BC 2=B ′C ′2.∴BC =B ′C ′.∴△ABC ≌△A ′B ′C ′(SSS ).∴∠A =∠A ′=90°(全等三角形的对应角相等).因此,△ABC 是直角三角形.总结得勾股逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.设计意图:勾股定理及其逆定理的证明对学生有一定难度,接受并经历定理的探究过程,即明确有关定理即可.3.议一议 CB AA'B'C'观察上面两个命题,它们的条件和结论之间有怎样的关系?在前面的学习中还有类似的命题吗?通过观察,学生会发现:上面两个定理的条件和结论互换了位置,即勾股定理的条件是第二个定理的结论,结论是第二个定理的条件.这样的情况,在前面也曾遇到过.例如:“两直线平行,内错角相等”,“内错角相等,两直线平行”.“在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边就等于斜边的一半”.“在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°”.让学生畅所欲言,体会逆命题与命题之间的区别与联系,要能够清晰地分别出一个命题的题设和结论,能够将一个命题写出“如果……;那么……”的形式,以及能够写出一个命题的逆命题.活动中,教师应注意给予适度的引导,学生若出现语言上不严谨时,要先让这个疑问交给学生来剖析,然后再总结.活动时可以先让学生观察下面三组命题:第一组:如果两个角是对顶角,那么它们相等.如果两个角相等,那么它们是对顶角.第二组:如果小明患了肺炎,那么他一定发烧.如果小明发烧,那么他一定患了肺炎.第三组:三角形中相等的边所对的角相等.三角形中相等的角所对的边相等.上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流.不难发现,每组第二个命题的条件是第一个命题的结论,第二个命题的结论是第一个命题的条件.▲在两个命题中,如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题,相对于逆命题来说,另一个就为原命题.再来看“议一议”中的三组命题,它们就称为互逆命题,如果称每组的第一个命题为原命题,另一个则为逆命题.请同学们判断每组原命题的真假.逆命题呢?在第一组中,原命题是真命题,而逆命题是假命题.在第二组中,原命题是真命题,而逆命题是假命题.在第三组中,原命题和逆命题都是真命题.由此我们可以发现:原命题是真命题,而逆命题不一定是真命题.设计意图:通过几对数学和生活中的命题,引导学生观察这些成对命题的结论与条件之间的关系,并归纳出它们的共性,得到互逆命题的概念.注意原命题正确,其逆命题不一定正确.4.想一想要写出原命题的逆命题,需先弄清楚原命题的条件和结论,然后把结论变换成条件,条件变换成结论,就得到了逆命题.请学生写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题,它们都是真命题吗?答:逆命题是“如果两个有理数的平方相等,那么它们相等”,原命题是真命题,逆命题是假命题.从而引导学生思考:原命题是真命题吗?逆命题一定是真命题吗? 并通过具体的实例说明.如果有些命题,原命题是真命题,逆命题也是真命题,那么我们称它们为互逆定理.其中逆命题称为原命题(即原定理)的逆定理.能举例说出我们已学过的互逆定理?如我们刚证过的勾股定理及其逆定理,“两直线平行,内错角相等”与“内错角相等,两直线平行”.“全等三角形对应边相等”和“三边对应相等的三角形全等”、“等边对等角”和“等角对等边”等.设计意图:本环节关键是让笑死我验证逆命题的正确性,并能意识到一对互逆命题的真假性不一定一致.【典例精讲】例 1 如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等,那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是()A.相等B.互补C.相等或互补D.相等或互余解析:C.如图(1)所示,已知AB=A′B′,BC=B′C′,AD⊥BC于点D,A′D′上B′C′于D′点,且AD=A′D′,根据HL可判定Rt△ABD≌Rt△A′B′D′,从而证得∠B=∠B′.如图(2)所示,可知此时两角互补.例2 说出下列命题的逆命题,并判断每对命题的真假;(1)四边形是多边形;(2)两直线平行,内旁内角互补;(3)如果ab =0,那么a =0,b =0.解析:互逆命题和互逆定理的概念,学生接受起来应不会有什么困难,尤其是对以“如果……那么……”形式给出的命题,写出其逆命题较为容易,但对于那些不是以这种形式给出的命题,叙述其逆命题有一定困难.可先分析命题的条件和结论,然后写出逆命题.解:(1)多边形是四边形.原命题是真命题,而逆命题是假命题.(2)同旁内角互补,两直线平行.原命题与逆命题同为真命题.(3)如果a =0,b =0,那么ab =0.原命题是假命题,而逆命题是真命题.设计意图:例题巩固了本节所学知识,在解答过程中,引导学生分析解决问题的方法.【课堂练习】1.以下各组数为边的三角形中,不是直角三角形的是( )A .3+1,3-1,22B .4,7.5,8.5C .7,24,25D .3.5,4.5,5.52.在直角三角形中,锐角顶点所引的两条线中线长为5的斜边长( )A .10 B.CD.3.如图,EA ⊥AB ,BC ⊥AB ,EA =AB =2BC ,D 为AB 中点,有以下结论:(1)DE =AC ;(2)DE ⊥AC ;(3)∠CAB =30°;(4)∠EAF =∠ADE ,其中结论正确的是( )A . (1),(3)B . (2),(3)C . (3),(4)D . (1),(2),(4) 4.如图所示,∠ACB =90°,BC =DB ,AC =AE ,则∠DCE=( )A .60°B .50°C .45°D .30°F ED CBA5.直角三角形两直角边长分别为6和 8,则斜边上的高为_________.6.如图所示,在高为3m ,斜坡长为5m 的楼梯表面铺地毯,至少需要地毯多少米?设计意图:及时巩固所学知识,了解学生的学习效果,增强学生灵活运用知识的能力. 参考答案:1.D 2.D . 3.D . 4.C .5.4.86.解析:毯子的长度恰好等于直角三角形两直角边的长度之和.解:52-32=16=42,∴3+4=7.∴至少需要地毯7米.六、课堂小结1.直角三角形的性质和判定定理:三角形的两个锐角互余.定理:有两个角互余的三角形是直角三角形.勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a 、b ,斜边为c ,那么a 2+b 2=c 2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理.勾股定理的逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.E D CBA3.定理与逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理.设计意图:通过小结,使学生梳理本节所学内容,理解直角三角形的相关定理和逆定理,综合运用直角三角形的相关定理解决问题.七、板书设计1.2直角三角形(1)1.直角三角形的性质和判定2.命题与逆命题3.定理与逆定理。

北师大版数学八年级下册《直角三角形全等的判定》教案1

北师大版数学八年级下册《直角三角形全等的判定》教案1

北师大版数学八年级下册《直角三角形全等的判定》教案1一. 教材分析《直角三角形全等的判定》是北师大版数学八年级下册的一章内容。

本节课主要让学生掌握直角三角形全等的判定方法,并能够运用这些方法解决实际问题。

本节课的内容是学生学习几何知识的重要基础,对于培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本节课之前,已经学习了三角形的基本概念、性质和判定方法。

他们具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力,能够理解和掌握新的知识。

但是,对于一些具体的全等判定方法,学生可能还不是很清楚,需要通过实例进行讲解和练习。

三. 教学目标1.让学生掌握直角三角形全等的判定方法。

2.培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。

3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

四. 教学重难点1.教学重点:直角三角形全等的判定方法。

2.教学难点:运用直角三角形全等判定方法解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法和小组合作学习法。

通过提出问题,引导学生思考和探索,通过实例讲解和练习,让学生理解和掌握直角三角形全等的判定方法,通过小组合作学习,培养学生的合作精神和团队意识。

六. 教学准备准备相关的教学材料,如PPT、实例图片、练习题等。

七. 教学过程1.导入(5分钟)通过提出问题,引导学生思考和探索直角三角形全等的判定方法。

例如,如何判断两个直角三角形是否全等?2.呈现(10分钟)通过实例讲解和练习,让学生理解和掌握直角三角形全等的判定方法。

例如,演示两个直角三角形全等的情况,让学生观察和分析,引导学生总结全等的条件。

3.操练(10分钟)让学生进行相关的练习题,巩固所学的直角三角形全等判定方法。

例如,给出两个直角三角形,让学生判断它们是否全等。

4.巩固(5分钟)通过小组合作学习,让学生运用直角三角形全等判定方法解决实际问题。

例如,给出一个实际问题,让学生分组讨论和解决。

5.拓展(5分钟)让学生思考和探索直角三角形全等判定方法的应用。

初二数学下册(北师大版)《1.2 直角三角形(1)》【教案匹配版】最新中小学课程

初二数学下册(北师大版)《1.2 直角三角形(1)》【教案匹配版】最新中小学课程

∴AB2=DF2,
∴AB=DF, ∴△ABC≌△DFE(SSS). D
∴∠C=∠E=90°,

∴△ABC是直角三角形. E
F
归纳总结
勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等 于斜边的平方.
定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三 边的平方,那么这个三角形是直角三角形.
探究4:观察下面各组命题,它们的条件和结论之间
一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件。
归纳总结
上面每两个命题的条件和结论恰好互换了位置。
在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题 的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的条件, 那么这两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题 就叫做它的逆命题。
思考:逆命题一定是真命题吗?
2
c2 =2ab+b2-2ab+a2, c2 =a2+b2, ∴ a2+b2=c2.
勾股定理反过来,怎么叙述呢?
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的 平方,那么这个三角形是直角三角形。
这个命题是真命题吗? 为什么?
探究3:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的
平方, 那么这个三角形是直角三角形吗?如何证明?
已知:如图,在△ABC中,AC2+BC2=AB2. 求证:△ABC是直角三角形. 分析:构造一个直角三角形与△ABC全等,你能自 己写出证明过程吗?
A
C
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A 证明:作Rt△DEF,使∠E=90°,
DE=AC,FE=BC,
则DE2+EF2=DF2(勾股定理). C
B
∵AC2+BC2=AB2(已知), DE=AC,FE=BC(作图),

北师大版数学八年级下册1.2《直角三角形》教案

北师大版数学八年级下册1.2《直角三角形》教案
北师大版数学八年级下册1.2《直角三角形》教案
一、教学内容
本节课选自北师大版数学八年级下册第一单元1.2节《直角三角形》。教学内容主要包括以下方面:
1.直角三角形斜边与直角边的关系,即勾股定理;
4.勾股定理的应用;
5.直角三角形面积的计算。
二、核心素养目标
4.培养学生的团队合作意识,通过小组讨论和合作探究,提高学生的交流表达能力;
5.激发学生的创新思维,鼓励学生在解决问题过程中,探索不同的解题方法和技巧。
三、教学难点与重点
1.教学重点
(1)直角三角形的定义及性质:理解直角三角形的定义,掌握其内角和为180°,其中一个角为90°的性质,并能运用这一性质解决相关问题。
3.成果展示:每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
(四)学生小组讨论(用时10分钟)
1.讨论主题:学生将围绕“直角三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法,并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发:在讨论过程中,我将作为一个引导者,帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
举例:通过实际操作教具或绘制图形,让学生直观感受直角三角形的特征,强调直角三角形内角和为180°,其中一个角为90°。
(2)勾股定理:理解并掌握勾股定理,即直角三角形中,斜边的平方等于两直角边的平方和,并能运用勾股定理解决实际问题。
举例:通过实际操作教具或绘制图形,让学生发现勾股定理,然后给出具体数值,让学生计算验证。
(二)新课讲授(用时10分钟)
1.理论介绍:首先,我们要了解直角三角形的基本概念。直角三角形是一种有一个角为直角(90°)的三角形。它在几何学中具有重要地位,广泛应用于建筑、测量等领域。

八年级数学下册 第一章 三角形的证明 2 直角三角形第2课时 直角三角形全等的判定教案北师大版

八年级数学下册 第一章 三角形的证明 2 直角三角形第2课时 直角三角形全等的判定教案北师大版

八年级数学下册第一章三角形的证明2 直角三角形第2课时直角三角形全等的判定教案北师大版年级:姓名:第2课时直角三角形全等的判定【知识与技能】能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理,进一步理解证明的必要性【过程与方法】进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程,建立初步的符号感【情感态度】进一步掌握推理证明的方法,发展演绎推理能力【教学重点】能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理【教学难点】进一步理解证明的必要性.一.情景导入,初步认知1.判断两个三角形全等的方法有哪几种?2.已知一条边和斜边,求作一个直角三角形.想一想,怎么画?同学们相互交流.3.有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗?如果其中一个角是直角呢?请证明你的结论.【教学说明】教师顺水推舟,询问能否证明:“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”,从而引入新课.二.思考探究,获取新知探究:“HL”定理.已知:在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,AB=A′B′,BC=B′C′.求证:Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.证明:在Rt△ABC中,AC2=AB2一BC2(勾股定理).又∵在Rt△ A' B' C'中,A' C' 2=A'B'2一B'C'2 (勾股定理).∴AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C'.∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (SSS).【归纳结论】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.(这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示.)【教学说明】讲解学生的板演,借此进一步规范学生的书写和表达.分析命题的条件,既然其中一边和它所对的直角对应相等,那么可以把这两个因素总结为直角三角形的斜边对应相等,于是直角三角形有自己的全等判定定理.三.运用新知,深化理解1.见教材P20例题2.填空:如下图,Rt△ABC和Rt△DEF,∠C=∠F=90°.(1)若∠A=∠D,BC=EF,则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是AAS.(2)若∠A=∠D,AC=DF,则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是ASA.(3)若∠A=∠D,AB=DE,则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是AAS.(4)若AC=DF,AB=DE,则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是HL.(5)若AC=DF,CB=FE,则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是SAS.3.已知:Rt△ABC和Rt△A'B'C',∠C=∠C'=90°,BC=B'C',BD、B'D'分别是AC、A'C'边上的中线,且BD=B'D'. 求证:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.证明:在Rt△BDC和Rt△B'D'C'中,∵BD=B'D',BC=B'C',∴Rt△BDC≌Rt△B'D'C' (HL定理).∴CD=C'D'.又∵AC=2CD,A'C'=2C'D',∴AC=A'C'.∴在Rt△ABC和Rt△A'B'C '中,∵BC=B'C ',∠C=∠C '=90°,AC=A'C',∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C(SAS).4.如图,已知∠ACB=∠BDA=90°,要使△ACB≌△BDA,还需要什么条件?把它们分别写出来,并证明.解:AC=DB.∵AC=DB,AB=BA,∴△ACB≌△BDA(HL)其他条件:CB=DA或四边形ACBD是平行四边形等.证明略.【教学说明】这是一个开放性问题,答案不唯一,需要我们灵活地运用公理和已学过的定理,观察图形,积极思考,并在独立思考的基础上,通过同学之间的交流,获得各种不同的答案.5.如图,在△ABC与△A'B'C'中,CD、C'D'分别分别是高,并且AC=A'C',CD=C'D'.∠ACB=∠A'C'B'.求证:△ABC≌△A'B'C'.分析:要证△ABC≌△A'B'C',由已知中找到条件:一组边AC=A'C',一组角∠ACB=∠A'C'B'.如果寻求∠A=∠A',就可用ASA证明全等;也可以寻求∠B=∠B',这样就可用AAS;还可寻求BC=B'C',那么就可根据SAS……注意到题目中有CD、C'D'是三角形的高,CD=C'D'.观察图形,这里有三对三角形应该是全等的,且题目中具备了HL定理的条件,可证得Rt△ADC≌Rt△A'D'C',因此证明∠A=∠A' 就可行.证明:∵CD、C'D'分别是△ABC、△A'B'C'的高(已知),∴∠ADC=∠A'D'C'=90°.在Rt△ADC和Rt△A'D'C'中,AC=A'C'(已知),CD=C'D' (已知),∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C' (HL).∠A=∠A',(全等三角形的对应角相等).在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A' (已证),AC=A'C' (已知),∠ACB=∠A'C'B' (已知),∴△ABC≌△A'B'C' (ASA).【教学说明】通过上述师生共同活动,学生板书推理过程之后可发动学生去纠错,教师最后再总结.四.师生互动,课堂小结直角三角形的判定方法有五种,注意“HL”仅适用于直角三角形.五.教学板书布置作业:教材“习题1.6”中第3、4、5 题.本节课我们讨论了在一般三角形中两边及其一边对角对应相等的两个三角形不一定全等.而当一边的对角是直角时,这两个三角形是全等的,从而得出判定直角三角形全等的特殊方法——HL定理,并用此定理安排了一系列具体的、开放性的问题,不仅进一步掌握了推理证明的方法,而且发展了同学们演绎推理的能力.同学们这一节课的表现很值得夸赞.。

北师大版八年级下册数学《1.2 第1课时 直角三角形的性质与判定》教学设计

北师大版八年级下册数学《1.2 第1课时 直角三角形的性质与判定》教学设计

北师大版八年级下册数学《1.2 第1课时直角三角形的性质与判定》教学设计一. 教材分析北师大版八年级下册数学《1.2 第1课时直角三角形的性质与判定》教材,主要介绍了直角三角形的性质与判定方法。

内容包括:直角三角形的定义、性质以及直角三角形的判定方法。

通过本节课的学习,使学生掌握直角三角形的性质与判定,为后续学习勾股定理和相似三角形打下基础。

二. 学情分析学生在七年级已经学习了三角形的性质和分类,对三角形有了一定的认识。

但直角三角形的性质和判定较为抽象,需要通过实例和动手操作来加深理解。

此外,学生可能对数学证明过程感到困难,需要教师在教学中给予引导和帮助。

三. 教学目标1.知识与技能:掌握直角三角形的性质与判定方法。

2.过程与方法:通过观察、操作、探究、归纳等方法,培养学生的几何思维能力。

3.情感态度与价值观:激发学生对数学的兴趣,培养合作意识,体验成功的喜悦。

四. 教学重难点1.重点:直角三角形的性质与判定方法的运用。

2.难点:对直角三角形性质与判定方法的理解和应用。

五. 教学方法采用启发式教学法、小组合作学习法、直观演示法、实践操作法等,引导学生主动探究、积极思考,提高学生的几何思维能力。

六. 教学准备1.准备直角三角形的相关图片和实例。

2.准备几何画图工具,如直尺、圆规、三角板等。

3.准备多媒体教学设备,如投影仪、电脑等。

七. 教学过程1.导入(5分钟)教师通过展示生活中常见的直角三角形的实例,如建筑工人使用的勾股尺、三角板等,引导学生回顾直角三角形的定义,激发学生的学习兴趣。

2.呈现(10分钟)教师利用多媒体展示直角三角形的性质与判定方法,引导学生观察、思考,并通过几何画图工具进行实际操作,让学生感受直角三角形的性质与判定方法。

3.操练(10分钟)教师提出一些有关直角三角形性质与判定的问题,学生进行小组讨论,引导学生运用所学知识解决问题。

在此过程中,教师应及时给予指导和鼓励,提高学生的问题解决能力。

北师大版八年级下册1.2.2斜边直角边定理教案

北师大版八年级下册1.2.2斜边直角边定理教案

∴△ABC是等腰三角形
F
E
B
D
C
例3:如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的 高度AC
与右边滑梯水平方向的长度DF相等,两个 ∠B和∠F的大小有什么关系?
滑梯的倾斜角
E
解:由题意知∠CAB=∠FDE=90°
C
在Rt△ABC和Rt△DEF中,
BC=EF,
AC=DF ,
B
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).

HL


∠DAB= ∠CBA

AAS


∠DBA= ∠CAB
D
( C
AAS

A
B
如图,已知CE⊥AB,DF⊥AB,AC=BD,AF=BE,则 (1)CE=DF,请说明理由。(2)AC与BD平行吗?为什么?
C
F
A
B
E
D
用三角尺可以画角平分线:如图所示,在已知∠AOB的两
边上分别取点M,N,使OM=ON,再过点M画OA的垂线,
1.2.2 “斜边,直角边”定理
(HL)
学习目标
1:会规范用“HL”判定两个直角三角形是否全等 2:会运用“斜边直角边”定理解决实际问题
学习重点:
理解直角三角形全等的特殊方法“HL”,并会规范应用
复习回顾:
证明两个三角形全等有哪些方法?
SAS(边角边) S S S(边边边) ASA(角边角) AAS(角角边)
过点N画OB的垂线,两垂线交于点P,那么射线OP就是
A
∠AOB的平分线,请你证明这一结论。
M
O
P
N B
变式2
如图,AC、BD相交于点P,AC⊥BC,BD⊥AD,垂 足分别
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课题:1. 2.2直角三角形课型:新授课年级:八年级
教学目标:
1.经直角三角形全等的“HL”的判定定理探索过程,进一步理解证明的必要性,掌握并利用“HL”定理解决实际问题.
2.能用尺规完成已知一条直角边和斜边作直角三角形.
3.进一步掌握推理证明的方法,发展演绎推理能力,培养学生思维的灵活性与开放性.教学重点与难点:
重点:直角三角形“HL”全等判定定理,运用直角三角形全等解决简单的实际问题.
难点:证明“HL”定理的思路的探究和分析.
课前准备:制作多媒体课件、圆规、三角尺.
教学过程:
一、复习提问,导入新课
出示问题:
1.前面我们学习了判断两个三角形全等的方法,你还记的有哪几种吗?
2.通过以上方法我们可以看出判断两个三角形全等,已知条件中至少有一条边对应相等.如果已知在两个三角形中已知两边对应相等时,附加一个什么条件可以说这两个三角形全等?
3.如果附加的条件是其中一边的对角对应相等,那么这两个三角形还全等吗?你能画图举例说明吗?
处理方式:教师提问,学生回答问题,教师适时板书.预设学生回答.
1.三边对应相等的两个三角形全等(SSS).
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS).
两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA).
两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS).
2.这两边的夹角也对应相等时,这两个三角形全等.
3.不一定全等.
学生画图展示说明:(多媒体出示)
思考:如果其中一边所对的角是直角,那么这两个三角形全等吗? 让我们带着这个问题来共同继续学习直角三角形. 【教师板书课题:1.2直角三角形(2)】
设计意图:通过复习全等三角形的判定方法,利用反例对应用“边边角”判定三角形全等进行“批判”的基础上设置悬念,激发学生的求知欲,旨在为进一步证明“HL ”定理做准备,同时也培养了学生类比、联想的思考方法.
二、诱思探究,获取新知 1.猜想
如果在两个直角三角形中,已知斜边和一条直角边分别对应相等,那么这两个直角三角形全等吗?
处理方式:引导学生思考讨论,教师点拨.学生意见会不统一,有的认为相等,有的认为不一定相等.
2.探究
做一做:已知一条直角边和斜边,求作一个直角三角形.
已知:如图,线段a ,c (a <c ),直角α. 求作:Rt △ABC ,使∠C =∠α,BC =a ,AB =c .
处理方式:教师用多媒体出示画图过程,同时让两名学生在黑板上演示画图,其余学生在导学案上画图.完成后让学生在小组内交流.
画图过程展示:
(1)作∠MCN =∠α=90°; (2)在射线CM 截取CB =a ;
(3)以点B 为圆心,线段c 为半径作弧,交射线CN 于点A ;
(1)
/ A /
(2)
/
A
(3)
(4)连接AB,得到Rt△ABC.
思考:通过刚才的画图,你有什么发现?
3.总结
你们所画的三角形都有哪些已知的相等量?你能得出什么结论?
处理方式:学生思考回答,师板书.
板书:斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等.
4.证明
你能证明这个命题是真命题吗?试一试,在小组内交流.
处理方式:学生先在小组内交流,然后独立写出已知、求证,并证明.完成后在小组内交流,教师用多媒体展示学生的证明过程,并及时的评价,同时规范解题过程.证明过程展示:
已知:如图,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′
中,∠C=∠C′=90°,AB=A′B′,AC=A′C′.
求证:△ABC≌△A′B′C′.
证明:
在Rt△ABC中,∵∠C=90°,
∴BC2=AB2-AC2(勾股定理).
同理,B′C′2=A'B'2-A'C'2(勾股定理).
∵AB=A′B′,AC=A′C′,
∴BC=B'C'.
∴△ABC≌△A′B′C' (SSS).
通过以上证明,我们可以得出命题“斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角
形全等”是一个真命题.我们把这一命题称为定理,简述为“斜边、直角边”或“HL ”.
几何语言:∵在△ABC 和△A′B′C′中,∠C
=∠C′=90°,AC =A′C′,AB =A′B′,
∴Rt △ABC ≌Rt △A′B′C′(HL )
设计意图:让学生经历“斜边、直角边”判定定理的推导过程,利用命题的推理证明,加深对定理的理解,同时也加深对证明必要性的认识,体会数学的严谨性,并借此进一步规范学生的书写和表达.
三、例题解析,应用提升
例 如图,有两个长度相等的滑梯,左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等,两个滑梯的倾斜角∠B 和∠F 的大小有什么关系?
处理方式:引导学生分析,并能用数学语言清楚的表达自己的想法,教师对学生的回答进行点评,示范解题过程.
解析:本题主要利用“斜边、直角边”定理解决实际问题。

依据已知条件,只需证明Rt △ABC ≌Rt △DEF ,再利用直角三角形的性质即可得出∠C 和∠F 的大小关系.
解:根据题意,可知
∠BAC =∠EDF =90°,BC =EF ,AC =DF , ∴Rt △ABC ≌Rt △DEF (HL )。

∴∠B =∠DEF 。

∵∠DEF +∠F =90°, ∴∠B +∠F =90°.
设计意图:这是一个具体的实际问题,让学生利用“HL ”定理来解决,目的是为了让学生体会数学结论在实际中的应用,用数学的眼光看待实际问题,培养学生将实际问题转化为数学问题的能力.
巩固练习:
1.如图,已知∠ACB =∠BDA =90°,要使△ACB ≌△BDA ,还需要什么条件?把它们分别写出来.
A B C A ′
B ′
C ′
2.已知:如图,D 是△ABC 的BC 边的中点,DE ⊥AB ,DF ⊥AB ,垂足分别为E ,F ,且DE =DF 。

求证:△ABC 是等腰三角形.
处理方式:学生做题,师点评矫正.
设计意图:第1题是一道答案不惟一的探究性开放问题,需要学生灵活运用所学的知识,通过互相交流,获得各种不同的答案.这样利用探究性问题为学生提供了自主探索的时间和空间,有利于培养学生的探究能力和创新精神.第2题的目的在于强化学生对 “HL ”判定定理的理解与应用,有助于提高学生分析问题和解决问题的能力.
四、小结感悟,知识沉淀
这节课大家通过自学和小组合作,相信每个同学都有所收获.(多媒体出示小结引导) 我掌握的定理: ; 我探索的发现: ; 我学会的方法: ; 我还懂得了: .
处理方式:学生写完后,全班交流各自的收获和心得.教师及时点评,鼓励. 设计意图:课堂总结是知识沉淀的过程,使学生对本节课所学进行梳理,养成反思与总
结的习惯,培养自我反馈,自主发展的意识.
五、分层评价,当堂达标
1.判断下列命题的真假,并说明理由:
(1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等; (2)斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等; (3)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等;
(4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等. 2.在△ABC ≌△A 'B 'C '中,CD ,C 'D '分别是高,并且AC =A 'C ',CD =C 'D '.∠ACB =∠A 'C 'B '.
求证:△ABC ≌△A 'B 'C '.
C D
A
B
第1题
第2题
'
C C
A D
B '
'
'
B
D
A
3.已知:如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为Array E,F,且DE=BF.
求证:(1)AE=CF;(2)AB∥CD.
处理方式:学生完成后,教出示答案,学生自行矫正.
设计意图:分层设置作业,注重基础的夯实,能力的提升.使不同的学生都得到更大的收获,都能获得成功的喜悦.
六、布置作业,课后促学
必做题:习题1.6 第2题.
选做题:习题1.6 第3、5题.
设计意图:必做题“首尾呼应”,完成本节课的引例,使本节课的重点知识落实在纸上.选做题,培养学生学习数学的兴趣.
板书设计:。

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