数学建模之灰色预测模型

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灰色理论关联度与预测,数学建模必备知识,很实用哦

X m {xm ( jm )} | jm 1, 2,..., nm} 比较序列
灰色关联分析3
设x0(k)为X0（为参考序列）的第k个数；xi(k) 为Xi（比较序列）的第k个数；
则比较序列Xi对参考序列X0的灰色关联度为：

(X0 ,
Xi )

1 n
n k 1
r(x0 (k),
度，根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于0.6便满意了。
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（3）后验差检验 a.计算原始序列标准差:
X 0 i X 0 2
S1
n 1
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b. 计算绝对误差序列的标准差：
0 i 0 2
S2
X 0 t ,
3
X 0 t ,...,
n
X 0 t
t1
t 1
t 1
t 1

目录
基本概念灰色关联分析灰色预测模型
灰色关联分析1
基本特征
建立的模型属于非函数形式的序列模型计算方便易行对样本数量多寡没有严格要求不要求序列数据必须符合正态分布不会产生与定性分析大相径庭的结论
n 1
c. 计算方差比：
C S2 S1
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d. 计算小误差概率：
P P 0i 0 0.6745S1
令: 则：
ei 0i 0 ， S0 0.6745S1 P Pei S0
P >0.95 >0.80 >0.70 ≤0.70
灰色关联分析3
灰色关联度的数学模型
X 0 {x0 ( j0 )} | j0 1, 2,..., n0} X1 {x1( j1)} | j1 1, 2,..., n1} X 2 {x2 ( j2 )} | j2 1, 2,..., n2}

灰色预测模型

灰色系统模型（Grey Model,GM）一：解决的关键问题（所谓灰色系统是指部分信息已知而部分信息未知的系统，灰色系统所要考察和研究的是对信息不完备的系统，通过已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的）灰色系统模型作为一种预测方法广泛应用于工程控制，经济管理，社会系统等众多领域。

二：ＧＭ（１，１）模型（一）：对原始序列累加处理一次累加生产序列②(即1－AGO序列)，表示为其中，一次累加序列(1)X 的第k 项由原序列的前k 项和产生，即：由(1)X 的相邻项平均得到(1)X 的紧邻均值生成序列(1)z ，表示为:根据上述序列，有灰色系统模型GM(1，1)的基本形式:(二)构造GM(1，1)模型方程组的矩阵形式，并求解参数 GM(1，1)模型的微分方程基本形式:(三)求的时间响应序列，累减得到原序列的预测值(四)模型检验残差的均值、方差分别为:21S C S 称为均方差比值，对于给定的00C ，当0C C 时，称模型为均方差比合格模型;1(()0.6745)p p k S 称为小误差概率，对于给定的00P ，当0P P 时，称模型为小误差概率合格模型。

一般均方差比值C 越小越好(因为C 小说明S 小，1S 大，即残差方差小，原始数据方差大，说明残差比较集中，摆动幅度小，原始数据比较分散，摆动幅度大，所以模拟效果好，要求2S 与1S 相比尽可能小)，以及小误差概率p 越大越好，给定000,,,C p 的一组取值，就确定了检验模型模拟精度的一个等级，常用的精度等级见表1。

软件DPS 的分析结果也提供了C 、p 的检验结果。

(五)残差修正模型(六)建立新陈代谢GM(1，1)进行动态预测在实际建模过程中，原始数据序列的数据不一定全部用来建模。

我们在原始数据序列中取出一部分数据，就可以建立一个模型。

一般说来，取不同的数据，建立的模型也不一样，即使都建立同类的GM(1，1)模型，选择不同的数据，参数a，b的值也不一样。

灰色预测模型原理

灰色预测模型原理灰色预测模型（Grey Prediction Model）是一种基于灰色系统理论和数学建模方法的预测模型。

灰色系统理论是我国学者黄金云教授于1982年提出的一种系统理论，它是研究非确定性和不完备信息系统的一种新方法，可用于研究多变量、小样本和非线性系统。

灰色预测模型主要基于灰色数学建模方法，通过对已知的部分序列数据进行建模和预测，来推测未知的序列数据趋势。

它适用于研究数据量小、信息不完备、非线性关系复杂的系统。

下面将简要介绍灰色预测模型的原理、模型建立过程以及一些应用案例。

1. 灰色预测模型的原理灰色预测模型的核心思想是通过对已知数据进行灰色关联度的度量，从而建立出合适的数学模型，进行未来数据的预测。

其基本原理可以概括为以下五个步骤：（1）建立灰色微分方程：根据原始数据的特点，确定合适的灰色微分方程，通常使用一阶或高阶灰色微分方程。

（2）求解灰色微分方程：根据所选择的灰色微分方程，求解其参数，得到模型的特征参数。

（3）模型检验：检验所建立的灰色预测模型的拟合程度和误差是否符合要求。

（4）进行灰色关联度分析：根据已知数据的变化规律，计算各个因素的灰色关联度，确定相关因素的重要性。

（5）进行预测：利用建立好的灰色预测模型，对未来的数据进行预测和分析，得出预测值。

2. 模型建立过程灰色预测模型的建立过程中，通常包括以下几个步骤：（1）数据的建立与处理：对原始数据进行筛选、预处理和归一化处理，以满足模型的要求。

（2）建立灰色微分方程：从已知数据中提取主要特征，并根据数据的特点选择合适的灰色微分方程。

（3）求解灰色微分方程：根据所选的灰色微分方程，通过累加生成序列、求解参数等方法，得到模型的特征参数。

（4）模型的检验：根据已知数据的拟合程度和误差范围，评估所建立的灰色预测模型的准确性和可靠性。

（5）模型的应用与预测：利用已建立的模型进行未来数据的预测和分析，得出预测结果。

3. 应用案例灰色预测模型在实际应用中具有广泛的应用范围，以下是一些常见的应用案例：（1）经济领域：用于对经济指标、市场需求、价格变动等进行预测，为经济决策提供参考。

数学建模灰色预测法

在预测分析中，最基本的预测模型为线性回归方程，针对一些规律性较强的数据，该模型能作出精确的预测，但在实际中，我们得到的常是一些离散的，规律性不强的数据，为解决此类问题，线性的方法就不适用了，此时，就需要采用灰色预测的方法。
灰色预测法
1 灰色预测理论
2 GM(1,1)模型 3 GM(1,1)残差模型及GM (n, h)模型
二、模型检验灰色预测检验一般有残差检验、关联度检验和后验差检验。
（1）残差检验
ˆ 0 i , ˆ 1 i 累减生成 X ˆ 1 i , 并将 X 按预测模型计算 X
ˆ 0 i 的绝对误差序列及相然后计算原始序列X 0 i 与 X
对误差序列。
原始数据进行生成处理来寻找系统变动
的规律，生成有较强规律性的数据序列，
然后建立相应的微分方程模型，从而预
测事物未来发展趋势的状况。
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• 灰色预测法用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一
特征量的时间。
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1灰色预测理论
一、灰色预测的概念
（1）灰色系统、白色系统和黑色系统 • 白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全明确的。
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• 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界
来说是一无所知的，只能通过它与外界的
联系来加以观测研究。 • 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息是未知的，系统内各因素间有不
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一个计算关联度的例子
工业、农业、运输业、商业各部门的行为数据如下：工业
X1 45.8, 43.4, 42.3, 41.9

数学建模之灰色预测模型

一、
简介
特点:模型使用的不就是原始数据列,而就是生成的数据列。
优点:不需要很多数据,一般只用4个数据就能解决历史数据少,序列的完整性与可靠性低的问题。
缺点:只适用于中短期的预测与指数增长的预测。
1
GM(1,1)表示模型为一阶微分方程,且只含有一个变量的灰色模型。
1、1模型的应用
①销售额预测
②交通事故次数的预测
3
波形预测,就是对一段时间内行为特征数据波形的预测。当原始数据频频摆动且摆动幅度较大时,可以考虑根据原始数据的波形预测未来的行为数据发展变化,以便进行决策。从本质上来瞧,波形预测就是对一个变化不规则的行为数据列的整体发展进的预测。
3、1模型的应用
①区域降水量预测(下载文档)
②运量需求不平衡航线下客流量预测(下载文档)
光滑比为
若序列满足
则序列为准光滑序列。
否则,选取常数c对序列做如下平移变换
序列的级比
②对原始数据作一次累加得
建立模型:
(1)
③构造数据矩阵B及数据向量Y
其中:
④由
求得估计值 = =
⑤由微分方程(1)得生成序列预测值为
则模型还原值为
⑥精度检验与预测
残差
相对误差
相对误差精度等级表
级比偏差
若 <0、2则可认为达到一般要求;若 <0、1,则可认为达到较高要求。
③某地区火灾发生次数的预测
④灾变与异常值预测,如对旱灾,洪灾广州市人口预测与分析(下载的文档)
⑥网络舆情危机预警(下载的文档)
1、2步骤
①级比检验与判断
由原始数据列计算得序列的级比为
若序列的级比 ∈ ,则可用作令人满意的GM(1,1)建模。

数学建模——灰色预测模型

数学建模——灰色预测模型灰色预测模型（Grey Forecasting Model）是一种用于预测不确定性数据的数学模型。

它适用于那些缺乏充分历史数据、不具备明显的规律性趋势或周期性的情况。

灰色预测模型基于灰色系统理论，通过分析数据的变化趋势和规律，来进行预测。

该模型在处理少量数据、缺乏趋势规律的情况下，具有一定的优势。

灰色预测模型的基本思想：灰色预测模型基于“白化（Whitening）”和“黑化（Blackening）”的思想，将不确定性数据分为“白色”和“黑色”两部分。

其中，“白色”代表已知数据，具有规律性和趋势，可以进行预测；而“黑色”代表未知数据，缺乏规律，需要进行预测。

通过建立数学模型，将“白色”和“黑色”数据进行融合，得出预测结果。

灰色预测模型的基本步骤：1.建立灰色数列：将原始数据分成“白色”和“黑色”两部分，构建灰色数列。

2.建立灰色微分方程：对“白色”数列进行微分，得到一阶或高阶微分方程。

3.求解微分方程：求解微分方程，得到预测模型的参数。

4.进行预测：利用已知的模型参数，对“黑色”数据进行预测，得出未来的趋势。

示例：用灰色预测模型预测销售量假设你是一家新开设的小型餐厅的经营者，你希望预测未来三个月的月销售量。

然而，你的餐厅刚刚开业不久，历史销售数据有限，且不具备明显的趋势。

这种情况下，你可以考虑使用灰色预测模型来预测销售量。

步骤：1.建立灰色数列：将已知的销售数据分为“白色”（已知数据）和“黑色”（未知数据）两部分。

2.建立灰色微分方程：对“白色”销售数据进行一阶微分，得到灰色微分方程。

3.求解微分方程：根据灰色微分方程的形式，求解微分方程，得到模型的参数。

4.进行预测：利用求解得到的模型参数，对“黑色”销售数据进行预测，得到未来三个月的销售量趋势。

这个例子中，灰色预测模型可以帮助你基于有限的历史销售数据，预测未来的销售趋势。

虽然该模型的精确度可能不如其他更复杂的方法，但在缺乏充足数据时，它可以提供一种有用的预测工具。

时序预测中的灰色模型介绍(十)

时序预测中的灰色模型介绍时序预测是一种应用广泛的数据分析方法，它可以帮助我们预测未来一段时间内的数据趋势。

而在时序预测中，灰色模型是一种常用的模型之一。

本文将介绍灰色模型的基本原理、应用范围和优缺点。

一、灰色模型的基本原理灰色系统理论最早由中国科学家陈裕昌教授提出，它是一种用于处理少量数据和缺乏信息的系统分析方法。

灰色模型的基本原理是通过对数据进行灰色关联分析、灰色预测等处理，来实现对未来时序数据的预测。

灰色模型的关键在于建立数据的灰色关联度，通过对数据进行加权处理，将不规则的数据变为规则的规整数据，进而实现对未来数据的预测。

这种方法不仅可以用于单变量时序数据的预测，还可以用于多变量时序数据的预测，具有一定的灵活性和适用范围。

二、灰色模型的应用范围灰色模型在实际应用中具有广泛的应用范围，主要包括以下几个方面：1. 经济领域：灰色模型可以用于对经济指标的预测，如国内生产总值、消费指数、失业率等。

通过对这些指标的预测，可以帮助政府和企业制定发展战略和政策。

2. 工业领域：灰色模型可以用于对工业生产数据的预测，如原材料价格、产量、需求量等。

这对于企业的生产计划和库存管理具有重要意义。

3. 环境领域：灰色模型可以用于对环境数据的预测，如空气质量、水质数据等。

通过对这些数据的预测，可以帮助政府和环保部门采取相应的措施来改善环境。

4. 医疗领域：灰色模型可以用于对医疗数据的预测，如疾病发病率、病人数量、医疗资源需求等。

这对于医院和卫生部门的资源配置和医疗服务规划具有重要意义。

三、灰色模型的优缺点灰色模型作为一种时序预测方法，具有以下优点：1. 适用范围广：灰色模型可以处理各种类型的时序数据，包括线性和非线性数据，适用范围广泛。

2. 数据要求低：灰色模型对数据的要求相对较低，对于缺乏信息或者数据量较少的情况也可以进行预测。

3. 预测精度高：灰色模型在一定范围内可以取得较高的预测精度，对于短期和中期的预测效果较好。

数学建模+灰色预测模型+MATLAB

§12.5 灰色预测我们通常所说的系统是指：由客观世界中相同或相似的事物和因素按一定的秩序相互关联、相互制约而构成的一个整体．例如：工程技术系统、社会系统、经济系统等．如果一个系统中具有充足的信息量，其发展变化的规律明显、定量描述方便、结构与参数具体，则这种系统通常称为白色系统．如果一个系统的部特征全部是未知的，则称此系统为黑色系统．如果系统部信息和特征是部分已知的，另一部分是未知的，这种系统称为灰色系统．例如：社会系统、农业系统、经济系统、气象系统、生物系统等．对于这类系统，部因素难以辨识，相互之间的关系较为隐蔽，人们难以准确了解这类系统的行为特征．因此，对于这类问题进行定量描述，即建立模型难度较大．区别白色系统与灰色系统的重要标志是系统各因素之间是否具有确定的关系．灰色系统分析方法主要是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分利用数量不多的数据和信息寻求相关因素自身与各因素之间的数学关系，建立相应的数学模型．目前，灰色系统理论在实际中已得到了广泛的应用，例如：在工程技术、经济管理、气象预报以及政治、社会、工业、农业等领域都取得了一定的应用成果．我们往往要对农业问题、商业问题等做未来的预测工作，另外，进行军事战争以及治理生态环境也需对未来的发展情形做一可靠的分析，这就产生了灰色预测．灰色预测是对灰色系统问题进行未来的预测，实际问题中，应用最多的灰色预测模型是以GM(1,1)（即GM(1,N)当N=1时的特例）模型为基础的．12.5.1 GM(1,1)模型的建立设X(0)=(X(0)(1),X(0)(2),…,X(0)(n))，做1－AGO，得(1)(1)(1)(1)((1),(2),,())X X X X n =L(1)(1)(0)(1)(0)((1),(1)(2),,(1)())X X X X n X n =+-+L则GM(1,1)模型相应的微分方程为：(1)(1)dX aX u dt+= （1）式中：a 称为发展灰数；μ称为生控制灰数．设ˆα=(a ,μ)T ，按最小二乘法得到 11ˆ()T T B B B Y α-= （2）其中(1)(1)(1)(1)(1)(1)1((1)(2))121((2)(3))121((1)())12X X X X B X n X n ⎛⎫-+ ⎪⎪ ⎪-+ ⎪=⎪⎪ ⎪--+ ⎪⎝⎭M M (0)(0)1(0)(2)(3)()X X Y X n ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M 易求得，方程（1）的解为(1)(0)ˆ(1)((1))ak u u Xk X e aa-+=-+ （3）例4 100m 成绩预测1983～1990年世界男子和中国女子100m 最好成绩如表6．表6 各年度最好成绩记世界男子100m 成绩的原始数列为(0)(9.93,9.96,9.98,9.95,9.93,9.92,9.94,9.93)X =建立GM(1,1)模型，即按式（1）、（2）、（3）得到预测模型为(1)0.0007185266ˆ(1)(9.9313884.61)13884.61k Xk e -+=-+ 由预测模型得预测值为年份模型预测值/s1991 9.92 1992 9.91 2000 9.85记中国女子的原始数列为(0)(11.95,11.66,11.63,11.65,11.35,11.32,11.58,11.32)X =同样建立GM(1,1)模型，得到预测模型为(1)0.00451067ˆ(1)(11.952602.187)2602.187k Xk e -+=-+ 从而得到中国女子100m 成绩的预测值年份模型预测值/s1991 11.30 1992 11.24 2000 10.8512.5.2 模型检验灰色预测检验一般有残差检验、关联度检验和后验差检验．（1）残差检验按预测模型计算(1)ˆ()X i ，并将(1)ˆ()Xi 累减生成(0)ˆ()X i ，然后计算原始序列X (0)(i ) 与(0)ˆ()Xi 的绝对误差序列及相对误差序列．(0)(0)(0)ˆ()|()()|1,2,,i X i Xi i n ∆=-=L(0)(0)()()100%1,2,,()i i i n X i ∆Φ=⨯=L（2）关联度检验定义1 选取参考数列00000{()|1,2,,}((1),(2),,())X X k k n X X X n ===L L其中k 表示时刻．假设有m 个比较数列{()|1,2,,}((1),(2),,())1,2,,i i i i i X X k k n X X X n i m ====L L L则称 0000min min |()()|max max |()()|()|()()|max max |()()|i i ikiki i i ikX k X k X k X k k X k X k X k X k ρξρ-+-=-+- （1）为比较数列X i 对参考数列X 0在k 时刻的关联系数，其中ρ∈[0,1]为分辨系数，一般取ρ=0.5．称式（1）中min min ik| X 0(k )-X i (k )|、max max ik| X 0(k )-X i (k )|分别为两级最小差和两级最大差．由（1）式易看出，ρ越大，分辨率越大；ρ越小，分辨率越小．式（1）定义的关联系数是描述比较数列与参考数列在某时刻关联程度的一种指标，由于各个时刻都有一个关联数，因此信息显得过于分散，不便于比较，为此我们给出以下定义定义2 称11()ni i k r k n ξ==∑ （2）为数列X i 对参考数列X 0的关联度．由式（2）易看出，关联度是把各个时刻的关联系数集中为一个平均值，也就是把过于分散的信息集中处理．根据前面所述关联度计算方法计算出(0)ˆ()Xi 与原始序列X (0)(i )的关联系数，然后计算出关联度，根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于0.6便满意了．（3）后验差检验1.计算原始序列标准差：1S =2.计算绝对误差序列的标准差：2S =3.计算方差比：21S C S =4.计算小误差概率：(0)(0)1{|()|0.6745}P p i S =∆-∆<令(0)(0)01|()|,0.6745,i e i S S =∆-∆=则0{}i P p e S =<．表7 检验标准若残差检验、关联度检验和后验差检验都能通过，则可以用所建模型进行预测；若用原始时间序列X (0)建立的GM(1,1)模型检验不合格或精度不理想时，这时要对建立的GM(1,1)模型进行修正或提高模型的预测精度．其修法如下：设原始时间序列X (0)建立的GM(1,1)模型为(1)(0)ˆ(1)((1))ai u u Xi X e aa-+=-+ 可获得生成序列X (1)的预测值(1)ˆX ，即对于(1)(1)(1)(1){(1),(2),,()}XX X X n =L ，有预测序列(1)(1)(1)(1)ˆˆˆˆ{(1),(2),,()}XXX X n =L ，定义残差为 (0)(1)(1)ˆ()()()e j X j Xj =- 若取j=i ,i+1,…,n ,则与X (1)及(1)ˆX对应的残差序列为(0)(0)(0)(0){(),(1),,()}ee i e i e n =+L为便于计算上式改写为(0)(0)(0)(0){(1),(2),,()}ee e e n '''=Le (0)的累加生成序列为(1)(1)(1)(1){(1),(2),,()}ee e e n n n i ''''==-Le (1)可建立相应的GM(1,1)模型：(1)(0)ˆ(1)((1))e a k e ee eu u ek e e a a -+=-+ (1)ˆ(1)ek +的导数(1)(0)ˆ(1)()((1))e a k e e eu e k a e e a --'+=--加上(1)ˆ(1)ek +修正(1)ˆ(1)X k +，得修正模型：(1)(1)(0)(0)ˆ(1)((1))(1)()((1))e a k ak e eeu u u X k X e k a e e a a a δ---+=-+--- 其中1,2(1)0,2k k k δ≥⎧-=⎨<⎩为修正系数．最后给出经过残差修正的原始序列预测模型：(0)(1)(1)ˆˆˆ(1)(1)()(1,2,)Xk X k X k k +=+-=L§12.6 灰色预测模型案例一、问题描述表8给出了市1991年－1996年国生产总值总消费资料．生产决定消费，国生产总值总消费决定了居民的消费水平，为此很有必要对国生产总值总消费进行科学预测，分析国生产总值总消费发展趋势，为宏观经济政策的制定提供重要的参考．表8 国生产总值总消费单位：亿元试根据表8的资料，建立市国生产总值总消费的灰色预测模型GM(1,1)，并预测市1998年国生产总值总消费．二、模型的建立及求解1.令X (0)(1),X (0)(2),…,X (0)(6)对应于原始序列数据．第一步，构造累加生成序列：(1)(0)(1)(1)(0)(1)(1)(0)(1)(1)(0)(1)(1)(0)(1)(1)(0)(1)(1)386.06(2)(1)(2)862.63(3)(2)(3)1541.98(4)(3)(4)2415.87(5)(4)(5)3501.2(6)(5)(6)4753.53X X X X X X X X X X XX X X X X X ===+==+==+==+==+=第二步，构造数据矩阵B 和数据向量Y 1：(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1[(1)(2)]121624.3451[(2)(3)]121202.305111978.9251[(3)(4)]122958.53511[(4)(5)]14127.365121[(5)(6)]12X X X X B X X X X X X ⎛⎫-+ ⎪⎪⎪-⎛⎫-+ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==--+ ⎪⎪- ⎪ ⎪ -+⎪-⎝⎭⎪ ⎪-+ ⎪⎝⎭⎪ 1476.57679.35873.891085.331252.33Y ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭第三步，计算B T B , (B T B )-1, B T Y 1：31539559.341081.4751081.4755T B B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，10.000000120.000278742()0.0002787420.808183989T B B -⎛⎫= ⎪⎝⎭111223502.574367.47T B Y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，110.207987503ˆ()396.8903031T T B B B Y α--⎛⎫== ⎪⎝⎭即0.207987503396.8903031a μ=-⎧⎨=⎩第四步，得出预测模型：(1)(1)0.207987503396.8903031dX X dt-= (0)(1)386.061908.241108X aμ==-(0)(1)2294.301108X aμ-=(1)0.207988(1)2294.3011081908.241108k X k e +=-三、模型检验第五步，进行关联度检验：（1）计算：(1)0,(2)53.87,(3)26.28,(4)69.82,(5)95.37,(6)33.48,∆=∆=∆=∆=∆=∆=min{()}0,max{()}95.37k k ∆=∆=（2）计算关联系数：(1)1,(2)0.47,(3)0.64,(4)0.41,(5)0.33,(6)0.59ξξξξξξ======0000min min |()()|max max |()()|()|()()|max max |()()|i i ikiki i i ikX k X k X k X k k X k X k X k X k ρξρ-+-=-+-1(10.470.640.410.330.59)0.5736r =+++++=，0.573r =是基本满足0.5ρ=时，r >0.57的．所以关联度检验通过．第六步，后验差检验：（1）计算：(0)1(386.06476.57679.35873.891085.331252.33)792.2556X=+++++=1341.065S ==（2）计算残差的均值：1(053.8726.2869.8295.3733.48)46.476∆=+++++= 残差的标准差：233.8438S ==，2133.84380.09923341.065S C S === 010.67450.6745341.065230.048S S ==⨯=|()|{46.47,7.4,20.19,23.35,48.9,12.98}k e k =∆-∆=所有e k 都小于S 0，故P=1,C<0.35．所以后验差检验通过．第七步，残差检验：（1）计算(1)(1)(1)(1)386.06,(2)916.498734,(3)1569.574052,X X X ===(1)(1)(1)(4)2373.639335,(5)3363.603222,(6)4582.44517X X X ===（2）累减生成序列：(0)(0)(0)ˆˆˆ(1)386.06,(2)530.44,(3)653.07XX X ===(0)(0)(0)ˆˆˆ(4)804.07,(5)989.96,(6)1218.35XX X === （3）计算绝对误差序列及相对误差序列：绝对误差序列△(0)={0,53.87,26.28,69.82,95.37,33.48}相对误差序列Ф={0,11.3%,3.87%,7.99%,8.79%,2.67%}相对误差序列中有的相对误差很大，所以要对原模型进行残差修正以提高精度．（4）利用残差对原模型进行修正：取 e (0)={53.87,26.28,69.82,95.37,33.48}e (1)={53.87,80.15,149.94,245.34,278.82}得(1)0.0589ˆ(1)848.1722794.3022k e k e +=-最后得修正模型为：(1)0.2079880.0589(1)ˆ(1)2294.3011081908.24118(1)49.9573k k Xk e k e δ-+=-+- 其中1,2(1)0,2k k k δ≥⎧-=⎨<⎩．表9 修正后的残差计算表因此，可用上述经过残差修正后的模型来预测市1998年国生产总值总消费：(1)(1)==X X(7)6150.15,(8)8001.80故市1998年国生产总值总消费预测值为：(1)(1)X X-=（亿元）(8)(7)1851.65注：灰色预测是通过对原始数据的处理和灰色模型的建立，发现、掌握系统发展规律，对系统的未来状态作出科学的定量预测．一个模型要经过多种检验才能判定其是否合理有效，只有通过检验的模型才能用作预测．。

数学模型第九章灰色系统方法建模--92灰色预测模型GM1,1及其应用共13页

§2 灰色预测模型 GM(1,1)及其应用
一、灰色预测模型 GM（1,1）
建模步骤如下：
（1）GM（1,1）代表一个白化形式的微分方程：
dX (1) aX (1) u dt
（1）
式中，a,u 是需要通过建模来求得的参数；X (1) 是
原始数据 X (0) 的累加生成（AGO）值。
30.10.2019
Xˆ (1) (t 1) 4.4e0.5t 2.2
取 t 为应力序数 k 时，由
Xˆ (1) (k 1) 4.4e0.5k 2.2
即可得到生成累加数列 Xˆ (1) (k 1) (k 1,2,) 。
（6）
30.10.2019
数学建模
2、检验当 k 1,2,3,4 时，由（6）式得出
了。30.10.2019
数学建模
下面，我们根据（6）式来预测载荷 32 kg/mm2 的断裂时间。它对应的序数为 6，也就是要求出 X (1) (6) 和 X (0) (6) 。由（ 6 ）式得 X (1) (6) 51.4 ，从表中查得 X (1) (5) 27.58 再由 X (0) (6) = X (1) (6) X (1) (5) 23.82，这说明，在载荷 32 kg/mm2 下，此种材料大约经过 2382 小时断裂。
由公式（2）得到的。按（3）构造矩阵
3.78 1

B

7.30

12.8 21.9
1
11 ，YN [2.80,4.25,6.85,11.3]T ，
代入（4），可得
ˆ

0.5 0.97

30.10.2019

数学建模-灰色预测模型(讲解

（2）灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。
（3）季节灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测灾变值发生在一年内某个特定的时区或季节的灾变预测。
（4）拓扑预测，将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点。
一、灰色系统的定义和特点
1. 灰色系统的定义
灰色系统是黑箱概念的一种推广。我们把既含有已知信息又含有未知信息的系统称为灰色系统.作为两个极端，我们将称信息完全未确定的系统为黑色系统；称信息完全确定的系统为白色系统. 区别白色系统与黑色系统的重要标志是系统各因素之间是否具有确定的关系。
1灰色系统的定义和特点
1 灰色系统的定义和特点 2 灰色系统的模型 3 Sars 疫情 4 销售额预测 5 城市道路交通事故次数的灰色预测 6 城市火灾发生次数的灰色预测 7灾变与异常值预测
1 灰色系统的定义和特点
灰色系统的定义和特点
灰色系统理论是由华中理工大学邓聚龙教授于 1982年提出并加以发展的。二十几年来，引起了不少国内外学者的关注，得到了长足的发展。目前，在我国已经成为社会、经济、科学技术在等诸多领域进行预测、决策、评估、规划控制、系统分析与建模的重要方法之一。特别是它对时间序列短、统计数据少、信息不完全系统的分析与建模，具有独特的功效，因此得到了广泛的应用.在这里我们将简要地介绍灰色建模与预测的方法.
灰色系统理论是研究解决灰色系统分析、建模、预测、决策和控制的理论.灰色预测是对灰色系统所做的预测.目前常用的一些预测方法（如回归分析等），需要较大的样本.若样本较小，常造成较大误差，使预测目标失效.灰色预测模型所需建模信息少，运算方便，建模精度高，在各种预测领域都有着广泛的应用，是处理小样本预测问题的有效工具.

数学建模+灰色预测模型+MATLAB

§12.5 灰色预测我们通常所说的系统是指：由客观世界中相同或相似的事物和因素按一定的秩序相互关联、相互制约而构成的一个整体．例如：工程技术系统、社会系统、经济系统等．如果一个系统中具有充足的信息量，其发展变化的规律明显、定量描述方便、结构与参数具体，则这种系统通常称为白色系统．如果一个系统的内部特征全部是未知的，则称此系统为黑色系统．如果系统内部信息和特征是部分已知的，另一部分是未知的，这种系统称为灰色系统．例如：社会系统、农业系统、经济系统、气象系统、生物系统等．对于这类系统，内部因素难以辨识，相互之间的关系较为隐蔽，人们难以准确了解这类系统的行为特征．因此，对于这类问题进行定量描述，即建立模型难度较大．区别白色系统与灰色系统的重要标志是系统内各因素之间是否具有确定的关系．灰色系统分析方法主要是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分利用数量不多的数据和信息寻求相关因素自身与各因素之间的数学关系，建立相应的数学模型．目前，灰色系统理论在实际中已得到了广泛的应用，例如：在工程技术、经济管理、气象预报以及政治、社会、工业、农业等领域都取得了一定的应用成果．我们往往要对农业问题、商业问题等做未来的预测工作，另外，进行军事战争以及治理生态环境也需对未来的发展情形做一可靠的分析，这就产生了灰色预测．灰色预测是对灰色系统问题进行未来的预测，实际问题中，应用最多的灰色预测模型是以GM(1,1)（即GM(1,N )当N=1时的特例）模型为基础的．12.5.1 GM(1,1)模型的建立设X (0)=(X (0)(1),X (0)(2),…,X (0)(n ))，做1－AGO ，得(1)(1)(1)(1)((1),(2),,())X X X X n =(1)(1)(0)(1)(0)((1),(1)(2),,(1)())X X X X n X n =+-+则GM(1,1)模型相应的微分方程为：(1)(1)dX aX u dt+= （1）式中：a 称为发展灰数；μ称为内生控制灰数．设ˆα=(a ,μ)T ，按最小二乘法得到 11ˆ()T T B B B Y α-= （2）其中(1)(1)(1)(1)(1)(1)1((1)(2))121((2)(3))121((1)())12X X X X B X n X n ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎪-+ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪--+ ⎪⎝⎭(0)(0)1(0)(2)(3)()X X Y X n ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭易求得，方程（1）的解为(1)(0)ˆ(1)((1))ak u u Xk X e aa-+=-+ （3）例4 100m 成绩预测1983～1990年世界男子和中国女子100m 最好成绩如表6．表6 各年度最好成绩记世界男子100m 成绩的原始数列为(0)(9.93,9.96,9.98,9.95,9.93,9.92,9.94,9.93)X =建立GM(1,1)模型，即按式（1）、（2）、（3）得到预测模型为(1)0.0007185266ˆ(1)(9.9313884.61)13884.61k Xk e -+=-+ 由预测模型得预测值为年份模型预测值/s1991 9.92 1992 9.91 2000 9.85记中国女子的原始数列为(0)(11.95,11.66,11.63,11.65,11.35,11.32,11.58,11.32)X =同样建立GM(1,1)模型，得到预测模型为(1)0.00451067ˆ(1)(11.952602.187)2602.187k Xk e -+=-+ 从而得到中国女子100m 成绩的预测值年份模型预测值/s1991 11.30 1992 11.24 2000 10.8512.5.2 模型检验灰色预测检验一般有残差检验、关联度检验和后验差检验．（1）残差检验按预测模型计算(1)ˆ()X i ，并将(1)ˆ()Xi 累减生成(0)ˆ()X i ，然后计算原始序列X (0)(i ) 与(0)ˆ()Xi 的绝对误差序列及相对误差序列．(0)(0)(0)ˆ()|()()|1,2,,i X i Xi i n ∆=-=(0)(0)()()100%1,2,,()i i i n X i ∆Φ=⨯=（2）关联度检验定义1 选取参考数列00000{()|1,2,,}((1),(2),,())X X k k n X X X n ===其中k 表示时刻．假设有m 个比较数列 {()|1,2,,}((1),(2),,())1,2,,i i i i i X X k k n X X X n i m ====则称0000min min |()()|max max |()()|()|()()|max max |()()|i i ikiki i i ikX k X k X k X k k X k X k X k X k ρξρ-+-=-+- （1）为比较数列X i 对参考数列X 0在k 时刻的关联系数，其中ρ∈[0,1]为分辨系数，一般取ρ=0.5．称式（1）中min min ik| X 0(k )-X i (k )|、max max ik| X 0(k )-X i (k )|分别为两级最小差和两级最大差．由（1）式易看出，ρ越大，分辨率越大；ρ越小，分辨率越小．式（1）定义的关联系数是描述比较数列与参考数列在某时刻关联程度的一种指标，由于各个时刻都有一个关联数，因此信息显得过于分散，不便于比较，为此我们给出以下定义定义2 称11()ni i k r k n ξ==∑ （2）为数列X i 对参考数列X 0的关联度．由式（2）易看出，关联度是把各个时刻的关联系数集中为一个平均值，也就是把过于分散的信息集中处理．根据前面所述关联度计算方法计算出(0)ˆ()Xi 与原始序列X (0)(i )的关联系数，然后计算出关联度，根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于0.6便满意了．（3）后验差检验1.计算原始序列标准差：1S =2.计算绝对误差序列的标准差：2S =3.计算方差比：21S C S =4.计算小误差概率：(0)(0)1{|()|0.6745}P p i S =∆-∆<令(0)(0)01|()|,0.6745,i e i S S =∆-∆=则0{}i P p e S =<．表7 检验标准若残差检验、关联度检验和后验差检验都能通过，则可以用所建模型进行预测；若用原始时间序列X (0)建立的GM(1,1)模型检验不合格或精度不理想时，这时要对建立的GM(1,1)模型进行修正或提高模型的预测精度．其修正方法如下：设原始时间序列X (0)建立的GM(1,1)模型为(1)(0)ˆ(1)((1))ai u u Xi X e aa-+=-+ 可获得生成序列X (1)的预测值(1)ˆX，即对于(1)(1)(1)(1){(1),(2),,()}XX X X n =，有预测序列(1)(1)(1)(1)ˆˆˆˆ{(1),(2),,()}XX X Xn =，定义残差为 (0)(1)(1)ˆ()()()e j X j Xj =- 若取j=i ,i+1,…,n ,则与X (1)及(1)ˆX对应的残差序列为(0)(0)(0)(0){(),(1),,()}e e i e i e n =+为便于计算上式改写为 (0)(0)(0)(0){(1),(2),,()}e e e e n '''=e (0)的累加生成序列为 (1)(1)(1)(1){(1),(2),,()}ee e e n n n i ''''==-e (1)可建立相应的GM(1,1)模型：(1)(0)ˆ(1)((1))e a k e ee eu u ek e e a a -+=-+ (1)ˆ(1)ek +的导数(1)(0)ˆ(1)()((1))e a k e e eu e k a e e a --'+=--加上(1)ˆ(1)ek +修正(1)ˆ(1)X k +，得修正模型：(1)(1)(0)(0)ˆ(1)((1))(1)()((1))e a k ak e eeu u u X k X e k a e e a a a δ---+=-+--- 其中1,2(1)0,2k k k δ≥⎧-=⎨<⎩为修正系数．最后给出经过残差修正的原始序列预测模型：(0)(1)(1)ˆˆˆ(1)(1)()(1,2,)Xk X k X k k +=+-=§12.6 灰色预测模型案例一、问题描述表8给出了上海市1991年－1996年国内生产总值总消费资料．生产决定消费，国内生产总值总消费决定了居民的消费水平，为此很有必要对国内生产总值总消费进行科学预测，分析国内生产总值总消费发展趋势，为宏观经济政策的制定提供重要的参考．试根据表8的资料，建立上海市国内生产总值总消费的灰色预测模型GM(1,1)，并预测上海市1998年国内生产总值总消费．二、模型的建立及求解1.令X (0)(1),X (0)(2),…,X (0)(6)对应于原始序列数据．第一步，构造累加生成序列：(1)(0)(1)(1)(0)(1)(1)(0)(1)(1)(0)(1)(1)(0)(1)(1)(0)(1)(1)386.06(2)(1)(2)862.63(3)(2)(3)1541.98(4)(3)(4)2415.87(5)(4)(5)3501.2(6)(5)(6)4753.53X X X X X X X X X X XX X X X X X ===+==+==+==+==+=第二步，构造数据矩阵B 和数据向量Y 1：(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1[(1)(2)]121624.3451[(2)(3)]121202.305111978.9251[(3)(4)]122958.53511[(4)(5)]14127.365121[(5)(6)]12X X X X B X X X X X X ⎛⎫-+ ⎪⎪⎪-⎛⎫-+ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==--+ ⎪⎪- ⎪ ⎪ -+⎪-⎝⎭⎪ ⎪-+ ⎪⎝⎭⎪ 1476.57679.35873.891085.331252.33Y ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭第三步，计算B T B , (B T B )-1, B T Y 1：31539559.341081.4751081.4755T B B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，10.000000120.000278742()0.0002787420.808183989T B B -⎛⎫= ⎪⎝⎭111223502.574367.47T B Y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，110.207987503ˆ()396.8903031T T B B B Y α--⎛⎫== ⎪⎝⎭即0.207987503396.8903031a μ=-⎧⎨=⎩第四步，得出预测模型：(1)(1)0.207987503396.8903031dX X dt-= (0)(1)386.061908.241108X aμ==-(0)(1)2294.301108X aμ-=(1)0.207988(1)2294.3011081908.241108k X k e +=-三、模型检验第五步，进行关联度检验：（1）计算：(1)0,(2)53.87,(3)26.28,(4)69.82,(5)95.37,(6)33.48,∆=∆=∆=∆=∆=∆=min{()}0,max{()}95.37k k ∆=∆=（2）计算关联系数：(1)1,(2)0.47,(3)0.64,(4)0.41,(5)0.33,(6)0.59ξξξξξξ======0000min min |()()|max max |()()|()|()()|max max |()()|i i ikiki i i ikX k X k X k X k k X k X k X k X k ρξρ-+-=-+-1(10.470.640.410.330.59)0.5736r =+++++=，0.573r =是基本满足0.5ρ=时，r >0.57的．所以关联度检验通过．第六步，后验差检验：（1）计算： (0)1(386.06476.57679.35873.891085.331252.33)792.2556X=+++++=1341.065S ==（2）计算残差的均值：1(053.8726.2869.8295.3733.48)46.476∆=+++++=残差的标准差：233.8438S ==，2133.84380.09923341.065S C S ===010.67450.6745341.065230.048S S ==⨯= |()|{46.47,7.4,20.19,23.35,48.9,12.98}k e k =∆-∆=所有e k 都小于S 0，故P=1,C<0.35．所以后验差检验通过．第七步，残差检验：（1）计算(1)(1)(1)(1)386.06,(2)916.498734,(3)1569.574052,X X X === (1)(1)(1)(4)2373.639335,(5)3363.603222,(6)4582.44517X X X ===（2）累减生成序列：(0)(0)(0)ˆˆˆ(1)386.06,(2)530.44,(3)653.07XX X === (0)(0)(0)ˆˆˆ(4)804.07,(5)989.96,(6)1218.35XX X === （3）计算绝对误差序列及相对误差序列：绝对误差序列△(0)={0,53.87,26.28,69.82,95.37,33.48} 相对误差序列Ф={0,11.3%,3.87%,7.99%,8.79%,2.67%}相对误差序列中有的相对误差很大，所以要对原模型进行残差修正以提高精度．（4）利用残差对原模型进行修正：取 e (0)={53.87,26.28,69.82,95.37,33.48} e (1)={53.87,80.15,149.94,245.34,278.82}得(1)0.0589ˆ(1)848.1722794.3022kek e +=-最后得修正模型为：(1)0.2079880.0589(1)ˆ(1)2294.3011081908.24118(1)49.9573k k Xk e k e δ-+=-+-其中1,2(1)0,2kkkδ≥⎧-=⎨<⎩．表9 修正后的残差计算表因此，可用上述经过残差修正后的模型来预测上海市1998年国内生产总值总消费：(1)(1)(7)6150.15,(8)8001.80X X==故上海市1998年国内生产总值总消费预测值为：(1)(1)(8)(7)1851.65X X-=（亿元）注：灰色预测是通过对原始数据的处理和灰色模型的建立，发现、掌握系统发展规律，对系统的未来状态作出科学的定量预测．一个模型要经过多种检验才能判定其是否合理有效，只有通过检验的模型才能用作预测．。

01灰色预测

算法简介1、灰色预测模型（必掌握）灰色预测模型使用范围：①数据样本点个数少，6-15个 ②数据呈现指数或曲线的形式③只适合做中短期预测，不适合长期预测。

灰色预测原理比较简单，详细的可以参考司守奎《数学建模算法与应用》。

需要注意的几点是：（1）灰色预测的使用范围（2）灰色预测中的“级比”如果级比不在范围要对数据进行处理。

（3）司老师书中的代码，并没有运行出后面的运行结果，如果想运行出预测的结果，看下面的说明。

（4）在使用灰色预测的时候要考虑残差等（见代码的最后三行）（5）代码直接复制粘贴文本文档的文件就可以了。

（6）文本文档是给出了两种代码，不要复制错了，第一个是司老师书中的。

第二个是学员提交的作业，可以直接得出预测结果，但是没有检验结果。

例北方某城市 1986～1992 年道路交通噪声平均声级数据见1。

表1 城市交通噪声数据/dB(A)序号年份 eq L序号年份 eq L1 1986 71.1 5 1990 71.42 1987 72.4 6 1991 72.03 1988 72.4 7 1992 71.6 4198972.1该例题源代码如下： clc,clearx0=[71.1 72.4 72.4 72.1 71.4 72.0 71.6]';%注意这里为列向量 n=length(x0);lamda=x0(1:n-1)./x0(2:n) %计算级比 range=minmax(lamda') %计算级比的范围 x1=cumsum(x0); %累加运算B=[-0.5*(x1(1:n-1)+x1(2:n)),ones(n-1,1)]; Y=x0(2:n); u=B\Y syms x(t)x=dsolve(diff(x)+u(1)*x==u(2),x(0)==x0(1));%求微分方程的符号解xt=vpa(x,6)%以小数格式显示微分方程的解yuce1=subs(x,t,[0:n-1]);%为提高预测精度，先计算预测值，再显示微分方程的解。