2013年高考总复习数学北师(江西版)理精练：第十章10.3 离散型随机变量及其分布列(答案含详解)
北师大版版高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布离散型随机变量及其分布列教学案理
一、知识梳理１．随机变量的有关概念（１）随机变量：将随机现象中试验（或观测）的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量，通常用大写的英文字母如X，Y来表示．（２）离散型随机变量：随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量．２．离散型随机变量的分布列及其性质（１）概念：设离散型随机变量X的取值为a１，a２，…，随机变量X取a i的概率为p i（i＝１，２，…），记作：P（X＝a i）＝p i（i＝１，２，…），或把上式列成表：X＝a i a１a２…P（X＝a i）p１p２…称为离散型随机变量X（２）离散型随机变量的分布列的性质１p i＞0（i＝１，２，…）；２p１＋p２＋…＝１．３．超几何分布一般地，设有N件产品，其中M（M≤N）件次品，从中任取n（n≤N）件产品，用X表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P（X＝k）＝错误!（其中k为非负整数）．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布．常用结论１．随机变量的线性关系若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量．２．分布列性质的两个作用（１）利用分布列中各事件概率之和为１可求参数的值．（２）随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．二、教材衍化１．设随机变量X的分布列如下：X１２３４５P错误!错误!错误!错误!p则p＝________．解析：由分布列的性质知，错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋p＝１，所以p＝１—错误!＝错误!.答案：错误!２．有一批产品共１２件，其中次品３件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是________．解析：因为次品共有３件，所以在取到合格品之前取到次品数为0，１，２，３．答案：0，１，２，３３．设随机变量X的分布列为X１２３４P错误!m错误!错误!则P（|X—３|解析：由错误!＋m＋错误!＋错误!＝１，解得m＝错误!，P（|X—３|＝１）＝P（X＝２）＋P（X＝４）＝错误!＋错误!＝错误!.答案：错误!一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数．（）（２）抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．（）（３）离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．（）（４）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．（）（５）从４名男演员和３名女演员中选出４人，其中女演员的人数X服从超几何分布．（）（6）由下表给出的随机变量X的分布列服从两点分布．（）答案：（１）√（２）√（３）√（6）×二、易错纠偏错误!错误!（１）随机变量的概念不清；（２）超几何分布类型掌握不准；（３）分布列的性质不清致误．１．袋中有３个白球、５个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是（）Ａ．至少取到１个白球Ｂ．至多取到１个白球Ｃ．取到白球的个数Ｄ．取到的球的个数解析：选Ｃ．A，B两项表述的都是随机事件，D项是确定的值２，并不随机；C项是随机变量，可能取值为0，１，２．故选Ｃ．２．一盒中有１２个乒乓球，其中9个新的、３个旧的，从盒中任取３个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P（X＝４）＝________．解析：{X＝４}表示从盒中取了２个旧球，１个新球，故P（X＝４）＝错误!＝错误!.答案：错误!３．设某项试验的成功率是失败率的２倍，用随机变量X去描述１次试验的成功次数，则P（X＝0）＝________．解析：由已知得X的所有可能取值为0，１，且P（X＝１）＝２P（X＝0），由P（X＝１）＋P（X ＝0）＝１，得P（X＝0）＝错误!.答案：错误!离散型随机变量的分布列的性质（典例迁移）设离散型随机变量X的分布列为X0１２３４P0．２0．１0．１0．３m求：（１）２X（２）P（１＜X≤４）．【解】由分布列的性质知：0．２＋0．１＋0．１＋0．３＋m＝１，解得m＝0．３．（１）２X＋１的分布列：２X＋１３５79１P0．２0．１0．１0．３0．３（２）P（１＜X0．３＋0．３＝0．7．【迁移探究】（变问法）在本例条件下，求|X—１|的分布列．解：|X—１|的分布列：|X—１|0１２３P0．１0．３0．３0．３错误!离散型随机变量分布列的性质的应用（１）利用分布列中各概率之和为１可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负值．（２）若X为随机变量，则２X＋１仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．１．设X是一个离散型随机变量，其分布列为X—１0１P错误!２—３qq２则q的值为（）Ａ．１Ｂ．错误!±错误!C.错误!—错误!Ｄ．错误!＋错误!解析：选Ｃ．由分布列的性质知错误!解得q＝错误!—错误!.２．离散型随机变量X的概率分布规律为P（X＝n）＝错误!（n＝１，２，３，４），其中a是常数，则P（错误!<X<错误!）的值为________．解析：由错误!×a＝１，知错误!a＝１，得a＝错误!.故P错误!＝P（X＝１）＋P（X＝２）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.答案：错误!超几何分布（典例迁移）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A１，A２，A３，A４，A５，A6和４名女志愿者B１，B２，B３，B４，从中随机抽取５人接受甲种心理暗示，另５人接受乙种心理暗示．（１）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A１但不包含B１的概率；（２）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．【解】（１）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A１但不包含B１的事件为M，则P（M）＝错误!＝错误!.（２）由题意知X可取的值为0，１，２，３，４，则P（X＝0）＝错误!＝错误!，P（X＝１）＝错误!＝错误!，P（X＝２）＝错误!＝错误!，P（X＝３）＝错误!＝错误!，P（X＝４）＝错误!＝错误!.因此X的分布列为【迁移探究１】X的分布列．解：由题意可知X的取值为１，２，３，４，５，则P（X＝１）＝错误!＝错误!，P（X＝２）＝错误!＝错误!，P（X＝３）＝错误!＝错误!，P（X＝４）＝错误!＝错误!，P（X＝５）＝错误!＝错误!.因此X的分布列为X的分布列．解：由题意可知X的取值为３，１，—１，—３，—５，则P（X＝３）＝错误!＝错误!，P（X＝１）＝错误!＝错误!，P（X＝—１）＝错误!＝错误!，P（X＝—３）＝错误!＝错误!，P（X＝—５）＝错误!＝错误!.因此X的分布列为X３１—１—３—５P错误!错误!错误!错误!错误!错误!（１）超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．（２）超几何分布的特征是：１考察对象分两类；２已知各类对象的个数；３从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布．（３）超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．（２0２0·郑州模拟）为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共２00名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．（１）求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；（２）从这２00名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的分布列．解：（１）由统计图得２00名司机中送考１次的有２0人，送考２次的有１00人，送考３次的有80人，所以该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为错误!＝２．３．（２）从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考１次，另一人送考２次”为事件A，“这两人中一人送考２次，另一人送考３次”为事件B，“这两人中一人送考１次，另一人送考３次”为事件C，“这两人送考次数相同”为事件D，由题意知X的所有可能取值为0，１，２，P（X＝１）＝P（A）＋P（B）＝错误!＋错误!＝错误!，P（X＝２）＝P（C）＝错误!＝错误!，P（X＝0）＝P（D）＝错误!＝错误!，所以X的分布列为X0１２P错误!错误!错误!求离散型随机变量的分布列（师生共研）（２0２0·安阳模拟）某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品５0天，统计发现每天的销售量x分布在[５0，１00）内，且销售量x的分布频率f（x）＝错误!（１）求a的值并估计销售量的平均数；（２）若销售量大于或等于70，则称该日畅销，其余为滞销．在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取３天进行统计，设这３天来自X个组，求随机变量X的分布列及数学期望（将频率视为概率）．【解】（１）由题意知错误!解得５≤n≤9，n可取５，6，7，8，9，结合f（x）＝错误!得错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝１，则a＝0．１５．可知销售量分别在[５0，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，１00）内的频率分别是0．１，0．１，0．２，0．３，0．３，所以销售量的平均数为５５×0．１＋6５×0．１＋7５×0．２＋8５×0．３＋9５×0．３＝8１．（２）销售量分布在[70，80），[80，90），[90，１00）内的频率之比为２∶３∶３，所以在各组抽取的天数分别为２，３，３．X的所有可能取值为１，２，３，P（X＝１）＝错误!＝错误!＝错误!，P（X＝３）＝错误!＝错误!＝错误!，P（X＝２）＝１—错误!—错误!＝错误!.X的分布列为X１２３P错误!错误!错误!数学期望EX＝１×错误!错误!求离散型随机变量X的分布列的步骤（１）理解X的意义，写出X可能取的全部值；（２）求X取每个值的概率；（３）写出X的分布列．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于１２月４日到１２月３１日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行．市政府为了了解民众低碳出行的情况，统计了该市甲、乙两个单位各２00名员工１２月５日到１２月１４日共１0天的低碳出行的人数，画出茎叶图如图所示：（１）若甲单位数据的平均数是１２２，求x；（２）现从图中的数据中任取４天的数据（甲、乙两个单位中各取２天），记抽取的４天中甲、乙两个单位员工低碳出行的人数不低于１３0的天数分别为ξ１，ξ２，令η＝ξ１＋ξ２，求η的分布列．解：（１）由题意知错误!＝１２２，解得x＝8．（２）由题得ξ１的所有可能取值为0，１，２，ξ２的所有可能取值为0，１，２，因为η＝ξ１＋ξ２，所以随机变量η的所有可能取值为0，１，２，３，４．因为甲单位低碳出行的人数不低于１３0的天数为３，乙单位低碳出行的人数不低于１３0的天数为４，所以P（η＝0）＝错误!＝错误!；P（η＝１）＝错误!＝错误!；P（η＝２）＝错误!＝错误!；P（η＝３）＝错误!＝错误!；P（η＝４）＝错误!＝错误!.所以η的分布列为η0１２３４P错误!错误!错误!错误!错误![基础题组练]１．（２0２0·河北保定模拟）若离散型随机变量X的分布列如下表，则常数c的值为（）X0１P9c２—c３—8cＡ．错误!或错误!C.错误!Ｄ．１解析：选Ｃ．由随机变量的分布列的性质知，0≤9c２—c≤１，0≤３—8c≤１，9c２—c＋３—8c＝１，解得c＝错误!.故选Ｃ．２．（２0２0·陕西咸阳模拟）设随机变量ξ的概率分布列为P（ξ＝k）＝a错误!错误!，其中k＝0，１，２，那么a的值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．因为随机变量ξ的概率分布列为P（ξ＝k）＝a错误!错误!，其中k＝0，１，２，所以P（ξ＝0）＝a错误!错误!＝a，P（ξ＝１）＝a错误!错误!＝错误!，P（ξ＝２）＝a错误!错误!＝错误!，所以a＋错误!＋错误!＝１，解得a＝错误!.故选Ｄ．３．在１５个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选１0个村庄，用X表示这１0个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于错误!的是（）Ａ．P（X＝２）Ｂ．P（X≤２）Ｃ．P（X＝４）Ｄ．P（X≤４）解析：选Ｃ．X服从超几何分布，P（X＝k）＝错误!，故k＝４，故选Ｃ．４．一袋中装有５个球，编号为１，２，３，４，５，在袋中同时取出３个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解析：选Ｃ．随机变量ξ的可能取值为１，２，３，P（ξ＝１）＝错误!＝错误!，P（ξ＝２）＝错误!＝错误!，P（ξ＝３）＝错误!＝错误!，故选Ｃ．５．已知在１0件产品中可能存在次品，从中抽取２件检查，其中次品数为ξ，已知P（ξ＝１）＝错误!，且该产品的次品率不超过４0%，则这１0件产品的次品率为（）Ａ．１0% Ｂ．２0%Ｃ．３0% Ｄ．４0%解析：选Ｂ．设１0件产品中有x件次品，则P（ξ＝１）＝错误!＝错误!＝错误!，所以x＝２或8．因为次品率不超过４0%，所以x＝２，所以次品率为错误!＝２0%.6．在含有３件次品的１0件产品中，任取４件，X表示取到的次品数，则P（X＝２）＝________．解析：由题意知，X服从超几何分布，其中N＝１0，M＝３，n＝４，故P（X＝２）＝错误!＝错误!.答案：错误!7．从４名男生和２名女生中任选３人参加演讲比赛，则所选３人中女生人数不超过１人的概率是________．解析：设所选女生人数为X，则X服从超几何分布，则P（X≤１）＝P（X＝0）＋P（X＝１）＝错误!＋错误!＝错误!.答案：错误!8．随机变量X的分布列如下：其中a，b，c成等差数列，则P（|d的取值范围是________．解析：因为a，b，c成等差数列，所以２b＝a＋c.又a＋b＋c＝１，所以b＝错误!，所以P（|X|＝１）＝a＋c＝错误!.又a＝错误!—d，c＝错误!＋d，根据分布列的性质，得0≤错误!—d≤错误!，0≤错误!＋d≤错误!，所以—错误!≤d≤错误!.答案：错误![—错误!，错误!]9．（２0２0·宿州模拟）某市某超市为了回馈新老顾客，决定在元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动．为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该市某高中学生征集活动方案，该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用．方案如下：将一个４×４×４的正方体各面均涂上红色，再把它分割成6４个相同的小正方体．经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为ξ，记抽奖一次中奖的礼品价值为η.（１）求P（ξ＝３）．（２）凡是元旦当天在该超市购买物品的顾客，均可参加抽奖．记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值５0元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为５，设为二等奖，获得价值３0元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为４，设为三等奖，获得价值１0元的礼品，其他情况不获奖．求某顾客抽奖一次获得的礼品价值的分布列与数学期望．解：（１）6４个小正方体中，三面着色的有8个，两面着色的有２４个，一面着色的有２４个，另外8个没有着色，所以P（ξ＝３）＝错误!＝错误!＝错误!.（２）ξ的所有可能取值为0，１，２，３，４，５，6，η的取值为５0，３0，１0，0，P（η＝５0）＝P（ξ＝6）＝错误!＝错误!＝错误!，P（η＝３0）＝P（ξ＝５）＝错误!＝错误!＝错误!，P（η＝１0）＝P（ξ＝４）＝错误!＝错误!＝错误!，P（η＝0）＝１—错误!—错误!—错误!＝错误!.所以η的分布列如下：所以Eη＝５0×错误!＋３0×错误!＋１0×错误!＋0×错误!＝错误!.１0．（２0２0·三明模拟）为了防止受到核污染的产品影响民众的身体健康，某地要求这种产品在进入市场前必须进行两轮苛刻的核辐射检测，只有两轮检测都合格才能上市销售，否则不能销售．已知该产品第一轮检测不合格的概率为错误!，第二轮检测不合格的概率为错误!，每轮检测结果只有“合格”、“不合格”两种，且两轮检测是否合格相互之间没有影响．（１）求该产品不能上市销售的概率；（２）如果这种产品可以上市销售，则每件产品可获利５0元；如果这种产品不能上市销售，则每件产品亏损80元（即获利为—80元）．现有这种产品４件，记这４件产品获利的金额为X元，求X的分布列．解：（１）记“该产品不能上市销售”为事件A，则P（A）＝１—错误!错误!＝错误!，所以该产品不能上市销售的概率为错误!.（２）由已知可知X的取值为—３２0，—１90，—60，70，２00．P（X＝—３２0）＝C错误!错误!错误!错误!错误!＝错误!，P（X＝—１90）＝C错误!错误!错误!错误!错误!＝错误!，P（X＝—60）＝C错误!错误!错误!错误!错误!＝错误!＝错误!，P（X＝70）＝C错误!错误!错误!错误!错误!＝错误!，P（X＝２00）＝C错误!错误!错误!错误!错误!＝错误!.所以X的分布列为[综合题组练]１．（２0２0·唐山模拟）我国城市空气污染指数范围及相应的空气质量类别如下表：数00000000000空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重污染为C类天．某市从全年空气污染指数的监测数据中随机抽取了１8天的数据制成如下茎叶图（百位为茎）：（１）从这１8天中任取３天，求至少含２个A类天的概率；（２）从这１8天中任取３天，记X是达到A类天或B类天的天数，求X的分布列．解：（１）从这１8天中任取３天，取法种数为C错误!＝8１6，３天中至少有２个A类天的取法种数为C错误!C错误!＋C错误!＝４6，所以这３天至少有２个A类天的概率为错误!.（２）X的所有可能取值是３，２，１，0．当X＝３时，P（X＝３）＝错误!＝错误!，当X＝２时，P（X＝２）＝错误!＝错误!，当X＝１时，P（X＝１）＝错误!＝错误!＝错误!，当X＝0时，P（X＝0）＝错误!＝错误!＝错误!.所以X的分布列为X３２１0P错误!错误!错误!错误!２．（２0了“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有５0名志愿者参与．志愿者的工作内容有两项：１到各班宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；２整理、打包募捐上来的衣物．每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作，相关统计数据如下表所示：到班级宣传整理、打包衣物总计人是参与班级宣传的志愿者的概率；（２）若参与班级宣传的志愿者中有１２名男生，8名女生，从中选出２名志愿者，用X表示女生人数，写出随机变量X的分布列及数学期望．解：（１）用分层抽样的方法，抽样比是错误!＝错误!，所以５人中参与班级宣传的志愿者有２0×错误!＝２（人），参与整理、打包衣物的志愿者有３0×错误!＝３（人），故所求概率P＝１—错误!＝错误!.（２）X的所有可能取值为0，１，２，则P（X＝0）＝错误!＝错误!，P（X＝１）＝错误!＝错误!，P（X＝２）＝错误!＝错误!，所以X的分布列为所以X的数学期望EX３．（２0２0·安徽宿州三调）为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，安徽省推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用．第一阶梯：年用电量在２１60度以下（含２１60度），执行第一档电价0．５6５３元/度；第二阶梯：年用电量在２１6１度到４２00度内（含４２00度），超出２１60度的电量执行第二档电价0．6１５３元/度；第三阶梯：年用电量在４２00度以上，超出４２00度的电量执行第三档电价0．86５３元/度．某市的电力部门从本市的用户中随机抽取１0户，统计其同一年度的用电情况，列表如下：（２）现要在这１0户中任意选取４户，对其用电情况进行进一步分析，求取到第二阶梯的户数的分布列与数学期望．解：（１）因为第二档电价比第一档电价每度多0．0５元， 第三档电价比第一档电价每度多0．３元， 编号为１0的用户一年的用电量是４ 600度， 所以该户该年应交电费４ 600×0．５6５ ３＋（４ ２00—２ １60）×0．0５＋（４ 600—４ ２00）×0．３＝２ 8２２．３8（元）．（２）设取到第二阶梯的户数为X ，易知第二阶梯的有４户，则X 的所有可能取值为0，１，２，３，４．P （X ＝0）＝错误!＝错误!， P （X ＝１）＝错误!＝错误!， P （X ＝２）＝错误!＝错误!， P （X ＝３）＝错误!＝错误!， P （X ＝４）＝错误!＝错误!，故X 的分布列是所以EX ＝0×错误。
离散性随机变量的概念
离散性随机变量的概念知识归纳1．离散型随机变量随着试验结果的变化而变化的变量叫做随机变量．如果随机变量所有可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做 随机变量．如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做 随机变量． 2．离散型随机变量的分布列(1)设离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1、x 2、…、x i 、…、x n ，X 取每个值x i (i ＝1,2，…n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表为随机变量X 的分布列．X 的分布列也可简记为：P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1、2、…、n .(2)离散型随机变量的两个性质： ①p i ≥0，i ＝1,2，…n ； ②p 1＋p 2＋p 3＋…p n ＝1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．3．两点分布如果随机变量X 的分布列为其中0<p <1，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的两点分布，称p ＝P (X ＝1)为成功概率．任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P (B |A )≤1,如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B∪C |A )＝5．事件的独立性设A 、B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与B 相互独立．4．条件概率 一般地，设A 、B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝P (AB )P (A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率，一般把P (B |A )读作A 发生的条件下B 发生的概率．(1)如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．(2)如果A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，即事件A 的发生与否不影响事件B 的发生． (3)对于n 个事件A 1、A 2、…、A n ，如果其中任何一个事件发生的概率不受其它事件的影响，则这n 个事件A 1、A 2、…、A n 相互独立．如果A 1、A 2、…、A n 相互独立，那么P (A 1A 2…A n )＝6．独立重复试验与二项分布(1)一般地，在相同条件下，重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．各次试验的结果不受其它试验的影响．(2)一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率都为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为则称随机变量X 服从参数为n 、P 的二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．7．超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k }发生的概率为为超几何分布列，如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布．超几何分布给出了求解这类问题的方法，可以当公式直接运用．误区警示1．“互斥事件”与“相互独立事件”的区别它们是两个不同的概念，相同点都是对两个事件而言的，不同点是：“互斥事件”是说两个事件不能同时发生，“相互独立事件”是说一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．2．对独立重复试验要准确理解 (1)独立重复试验的条件第一：每次试验是在同样条件下进行．第二：各次试验中的条件是相互独立的．第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生3．(1)准确理解事件和随机变量取值的意义，对实际问题中事件之间的关系要清楚． (2)认真审题，找准关键字句，提高解题能力．如“至少有一个发生”，“至多有一个发生”，“恰有一个发生”等．P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n .P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，(其中m 是M ，n 中的最小值，n ≤N ，M ≤N ，n 、M 、N ∈N *)．称分布列一、解决概率问题的步骤第一步，确定事件的性质：古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验，把所给问题归结为某一种．第二步，判断事件的运算(和事件、积事件)，确定事件至少有一个发生还是同时发生等等． 第三步，运用公式求概率1、 写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果．(1)小明要去北京旅游，可能乘火车、乘汽车，也可能乘飞机，旅费分别为100元、60元和600元，将他的旅费记为ξ；(2)正方体的骰子，各面分别刻着1、2、3、4、5、6，随意掷两次，所得的点数之和为ξ； (3)一个人要开房门，他共有10把钥匙，其中仅有一把是能开门的，他随机取钥匙去开门并且用后不放回，其中打开门所试的钥匙个数为ξ；(4)电台在每个整点都报时，某人随机打开收音机对表，他所等待的时间ξ(min)． 2、 (09·广东)已知离散型随机变量X 的分布列如右表，若E (X )＝0，D (X )＝1，，则a ＝______，b ＝______.设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝ck ＋1，k ＝0,1,2,3，则E (ξ)＝ ( )A.1225B.2325C.1350D.4625古典概型P (A )＝mn ；互斥事件P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )； 条件概率P (B |A )＝P (AB )P (A )； 独立事件P (AB )＝P (A )P (B )；n 次独立重复试验：P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k.3 一次数学摸底考试，某班60名同学成绩的频率分布直方图如图所示．若得分90分以上为及格．从该班任取一位同学，其分、数是否及格记为ξ，求ξ的分布列．4 从某批产品中，有放回地抽取产品两次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P(A)＝0.96.(1)求从该批产品中任取一件是二等品的概率p；(2)若该批产品共100件，从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列．5某学习小组有6个同学，其中4个同学从来没有参加过数学研究性学习活动，2个同学曾经参加过数学研究性学习活动．(1)现从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率；(2)若从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，活动结束后，该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学个数ξ是一个随机变量，求随机变量ξ的分布列及数学期望E(ξ)．6 在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取1件．试求：(1)第一次取到不合格品的概率；(2)在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率．7设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x 2＋bx ＋c ＝0实根的个数(重根按一个计)．(1)求方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率； (2)求ξ的分布列和数学期望；(3)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率．8(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率； (2)求p ，q 的值； (3)求数学期望E (ξ)．9．(2010·甘肃省质检)某机械零件加工由2道工序组成，第1道工序的废品率为a ，第2道工序的废品率为b ，假定这2道工序出废品的概率彼此无关，那么产品的合格率是( ) A ．ab －a －b ＋1 B ．1－a －b C ．1－ab D ．1－2ab10．(2010·上海市嘉定区调研)一只不透明的布袋中装有编号为1、2、3、4、5的五个大小形状完全一样的小球，现从袋中同时摸出3只小球，用随机变量X 表示摸出的3只球中的最大号码数，则随机变量X 的数学期望E (X )＝( )A.445B.8310C.72D.9211．(2010·福建福州)在研究性学习的一次活动中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随机地分配承担H，I，J，K四项不同的任务，每项任务至少安排一位同学承担．(1)求甲、乙两人同时承担H任务的概率；(2)求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率；(3)设这五位同学中承担H任务的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．12．(2010·云南统考)某单位组织职工参加了旨在调查职工健康状况的测试．该测试包括心理健康测试和身体健康测试两个项目，每个项目的测试结果为A、B、C、D、E五个等级．假设该单位50位职工全部参加了测试，测试结果如下：x表示心理健康测试结果，y表示身体健康测试结果.(1)求a＋b的值；(2)如果在该单位随机找一位职工谈话，求找到的职工在这次测试中，心理健康为D等级且身体健康为C等级的概率；(3)若“职工的心理健康为D等级”与“职工的身体健康为B等级”是相互独立事件，求a、b的值．13．(2010·河北唐山)已知7件产品中有2件次品，现逐一不放回地进行检验，直到2件次品都能被确认为止．(1)求检验次数为4的概率；(2)设检验次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．14．(2010·浙江金华十校联考)质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别刻着数字1,2,3,4，将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上．(1)求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积不能被4整除的概率；(2)设ξ为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，求ξ的分布列及期望E(ξ)．15．(2010·河南调研)甲、乙两人进行某项对抗性游戏，采用“七局四胜”制，即先赢四局者为胜，若甲、乙两人水平相当，且已知甲先赢了前两局，求：(1)乙取胜的概率；(2)比赛进行完七局的概率；(3)记比赛局数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．。
高三数学考点-离散型随机变量及其分布列
10．6离散型随机变量及其分布列1．离散型随机变量的概念(1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个随着试验结果变化而变化的变量来表示，那么这样的变量叫做____________，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．(2)离散型随机变量所有取值可以__________的随机变量，称为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列(1)分布列设离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1，2，…，n)的概率P(X ＝x i)＝p i，则称表为随机变量X的______________，简称为X的分布列．有时为了简单起见，也可用P(X＝x i)＝p i，i＝1，2，…，n表示X的分布列．(2)分布列的性质①________________________；②________________________.3．常用的离散型随机变量的分布列(1)两点分布(又称0－1分布、伯努利分布)随机变量X的分布列为(0<p<1)则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．(2)二项分布如果随机变量X的可能取值为0，1，2，…，n，且X取值的概率P(X＝k)＝__________(其中k＝0，1，2，…，则称X服从二项分布，记为____________．(3)超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为__________________(k＝0，1，2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.此时称随机变量X的分布列为超几何分布列，称随机变量X服从______________．自查自纠1．(1)随机变量(2)一一列出2．(1)概率分布列(2)①p i≥0，i＝1，2，3，…，n②i＝1np i＝13．(1)1－p(2)C k n p k q n－k C k n p k q n－k X～B(n，p)(3)C k M C n－kN－MC n N超几何分布某射手射击所得环数X的分布列为X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为()A．0.28 B．0.88C．0.79 D．0.51解：P(X>7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.故选C.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C47C68C1015的是()A．P(X＝2) B．P(X≤2)C．P(X＝4) D．P(X≤4)解：X服从超几何分布P(X＝k)＝C k7C10－k8C1015，故k＝4.故选C.随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，则a的值为() A.1110 B.155C．110 D．55解：因为随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，所以a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，则55a＝1，即a＝155.故选B.已知X的分布列为X－101P1216a设Y＝2X＋1，则Y的数学期望E(Y)的值是________．解：由分布列的性质，a ＝1－12－16＝13，所以E (X )＝－1×12＋0×16＋1×13＝－16，因此E (Y )＝E (2X ＋1)＝2E (X )＋1＝23.故填23.从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的概率分布列为________．解：依题意，随机变量X 的可能取值为0，1，2. 则P (X ＝0)＝C 22C 25＝0.1，P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝0.6，P (X ＝2)＝C 23C 25＝0.3，故X 的分布列为X 0 1 2 P0.10.60.3故填X 0 1 2 P0.10.60.3类型一 随机变量的概念与性质(1)设离散型随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P0.20.10.10.3m求：(Ⅰ)2X ＋1的分布列； (Ⅱ)|X －1|的分布列． 解：由分布列的性质知：0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，解得X 0 1 2 3 4 2X ＋1 1 3 5 7 9 |X －1|1123从而由上表得所求分布列如下． (Ⅰ)2X ＋1的分布列：2X ＋1 1 3 5 7 9 P0.20.10.10.30.3(Ⅱ)|X －1|的分布列：|X －1| 0 1 2 3 P0.10.30.30.3(2)随机变量ξ的分布列如下：ξ－1 0 1 Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|ξ|＝1)＝____________，公差d 的取值范围是____________． 解：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13，所以P (|ξ|＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，所以－13≤d ≤13.故填23；⎣⎡⎦⎤－13，13. 【点拨】①研究随机变量的取值，关键是准确理解所定义的随机变量的含义．明确随机变量所取的值对应的试验结果是进一步求随机变量取这个值时的概率的基础．②注意离散型随机变量分布列的两个性质：p i ≥0，i ＝1，2，…，n ；∑i ＝1np i ＝1.③随机变量可能取某一区间内任意值，无法一一列出，则称这样的随机变量为连续型随机变量，如“长江水位”“灯管寿命”等；正态分布即是一种重要的连续型随机变量的分布．设随机变量X 等可能取值1，2，3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么n ＝________．解：由于随机变量X 等可能取1，2，3，…，n .所以取到每个数的概率均为1n .所以P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n＝0.3，因此n ＝10.故填10.类型二 求离散型随机变量的分布列袋子中有1个白球和2个红球．(1)每次取1个球，不放回，直到取到白球为止，求取球次数X 的分布列；(2)每次取1个球，有放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过5次，求取球次数X 的分布列； (3)每次取1个球，有放回，共取5次，求取到白球次数X 的分布列．解：(1)X ＝1，2，3.P (X ＝1)＝13；P (X ＝2)＝A 12A 33＝13；P (X ＝3)＝A 22A 33＝13.所以X 的分布列是X 12 3 P13 13 13(2)X ＝1，2，3，4，5.P (X ＝k )＝⎝⎛⎭⎫23k －1×13，k ＝1，2，3，4. P (X ＝5)＝⎝⎛⎭⎫234. 故X 的分布列为X 1 2 3 4 5 P13294278811681(3)因为X ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，所以X 的分布列为P (X ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎫13k⎝⎛⎭⎫235－k，其中k ＝0，1，2，3，4，5.【点拨】求随机变量的分布列，一要弄清什么是随机变量，建立它与随机事件的关系；二要把随机变量的所有值找出，不要遗漏；三是准确求出随机变量取每个值的概率，确定概率和为1后写出分布列．对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别．一般地，无放回抽样由排列数公式求随机变量对应的概率，放回抽样由分步计数原理求随机变量对应的概率．(2017·天津)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 解：(1)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3.P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14， P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＝1124， P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎫1－12×13×14＋12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＋12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14， P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以，随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 P14112414124随机变量X 的数学期望E (X )＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312.(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0) ＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0)＝14×1124＋1124×14＝1148. 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.类型三 超几何分布(2015·天津)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：(1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 故事件A 发生的概率为635.(2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4.P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 3C 48(k ＝1，2，3，4)． 故随机变量X 的分布列为X 12 3 4 P1143737114故随机变量X 的数学期望E (X )＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝52.【点拨】①超几何分布的概率计算公式从古典概型的角度加以理解更易记忆：P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC nN，即恰取了k 件次品的概率＝次品中取了k 件×正品中取了n －k 件N 件产品中任取n 件.②当n 较小，N 较大时，超几何分布的概率计算可以近似地用二项分布来代替．也就是说虽然超几何分布是不放回抽样，二项分布是放回抽样，但是当n 较小而产品总数N 很大时，不放回抽样近似于放回抽样．③超几何分布在产品检验中经常用到．(2017·山东)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示． (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率；(2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望E (X )．解：(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ，则P (M )＝C 48C 510＝518.(2)由题意知X 可取的值为：0，1，2，3，4，则P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 14C 510＝521，P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34C 510＝521，P (X ＝4)＝C 16C 44C 510＝142，X 0 1 2 3 4 P1425211021521142X 的数学期望是E (X ) ＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4)＝0＋1×521＋2×1021＋3×521＋4×142＝2.1．求离散型随机变量的分布列的步骤(1)明确随机变量的所有可能取值，以及每个值所表示的意义，判断一个变量是否为离散型随机变量，主要看变量的值能否按一定的顺序一一列出．(2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率．对于古典概率、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、n 次独立重复试验恰有k 次发生的概率等，都要能熟练计算． (3)按规范形式写出分布列，并用分布列的性质∑i ＝1np i ＝1验证．2．分布列的结构为两行，第一行为随机变量X 所有可能的取值，第二行是对应于随机变量X 的值的事件发生的概率．在每一列中，上为“事件”，下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．3．可用超几何分布解决的题目涉及的背景多数是生活、生产实践中的问题，且往往由明显的两部分组成，如产品中的正品和次品，盒中的白球和黑球，同学中的男生和女生等．注意弄清楚超几何分布与二项分布的区别与联系．1．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能取值的个数是( ) A ．5 B ．9 C ．10 D ．25解：X 的所有可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个．故选B. 2．下列表中可以作为离散型随机变量分布列的是( )解：A 中ξ的取值出现了重复性；B 中P (ξ＝0)＝－14<0；C 中∑i ＝13P (ξi )＝15＋25＋35＝65>1.故选D.3．(2015·合肥模拟)设某项试验的成功率是失败率的2倍，试验一次要么成功要么失败，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．0 B.12 C.13 D.23解：X 可能取值为0或1，而P (X ＝1)＝2P (X ＝0)，且P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝1.所以P (X ＝0)＝13.故选C.4．(2015·安徽模拟)一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，所有的球除颜色外完全相同．连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，则下列概率等于（n －m ）A 2mA 3n 的是( ) A ．P (X ＝3) B ．P (X ≥2) C ．P (X ≤3) D ．P (X ＝2)解：由超几何分布知该式对应取球3次，第3次才取到黑球的概率，所以P (X ＝2)＝A 1n －m A 2mA 3n ＝（n －m ）A 2m A 3n.故选D.5．设ξξ－1 0 1 P121－2qq 2则q 的值为( ) A ．1 B ．1±22C ．1＋22 D ．1－22解法一：由分布列的性质，有 ⎩⎪⎨⎪⎧1－2q ≥0，q 2≥0，12＋1－2q ＋q 2＝1，解得q ＝1－22. 解法二：由1－2q ≥0q ≤12，可排除A 、B 、C ，故选D. 6．若P (ξ≤x 2)＝1－β，P (ξ≥x 1)＝1－α，其中x 1<x 2，则P (x 1≤ξ≤x 2)等于( ) A ．(1－α)(1－β) B ．1－(α＋β) C ．1－α(1－β)D ．1－β(1－α)解：由分布列性质可有：P (x 1≤ξ≤x 2)＝P (ξ≤x 2)＋P (ξ≥x 1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β)．故选B. 7．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P (ξ＝2)＝____________． 解：ξ的可能取值为0，1，2，3，所以P (ξ＝2)＝C 13C 12C 14＋C 23C 22C 24C 26＝2790＝310.故填310. 8．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200投资成功 投资失败 192例8例则该公司一年后估计可获收益的期望是____________元．解：由题意知，一年后获利6 000元的概率为0.96，获利－25 000元的概率为0.04，故一年后收益的期望是6 000×0.96＋(－25 000)×0.04＝4 760(元)．故填4 760.9．某高校的一科技小组有5名男生，5名女生，从中选出4人参加全国大学生科技大赛，用X 表示其中参加大赛的男生人数，求X 的分布列． 解：依题意随机变量X 服从超几何分布，所以P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 5C 410(k ＝0，1，2，3，4)．所以P (X ＝0)＝C 05C 45C 410＝142，P (X ＝1)＝C 15C 35C 410＝521，P (X ＝2)＝C 25C 25C 410＝1021，P (X ＝3)＝C 35C 15C 410＝521，P (X ＝4)＝C 45C 05C 410＝142，所以X 的分布列为10.(2017·湖北荆门调考)某市每年中考都要举行实验操作考试和体能测试，初三某班共有30名学生，下表为该班学生的这两项成绩，例如表中实验操作考试和体能测试都为优秀的学生人数为6人．由于部分数据丢失，只知道从这班30人中随机抽取一个，实验操作成绩合格，且体能测试成绩合格或合格以上的概率是15.(1)试确定a 、b 的值；(2)从30人中任意抽取3人，设实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ.解：由表格数据可知，实验操作成绩合格、且体能测试成绩合格或合格以上的学生共有(4＋a )人，记“实验操作成绩合格、且体能测试成绩合格或合格以上”为事件A ，则P (A )＝4＋a 30＝15，解得a ＝2，所以b ＝30－24－a ＝4.所以a 的值为2，b 的值为4.(2)由于从30位学生中任意抽取3位的结果数为C 330，其中实验操作成绩和体能测试成绩都是良好或优秀的学生人数为15人，从30人中任意抽取3人，其中恰有k 个实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的结果数为C k 15C 3－k 15，所以从30人中任意抽取3人，其中恰有k 人实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的概率为：P (ξ＝k )＝C k 15C 3－k15C 330，(k ＝0，1，2，3)，ξ的可能取值为0，1，2，3， 则P (ξ＝0)＝C 015C 315C 330＝13116，P (ξ＝1)＝C 115C 215C 330＝45116，P (ξ＝2)＝C 215C 115C 330＝45116，P (ξ＝3)＝C 315C 015C 330＝13116，所以ξ的分布列为P13116 45116 45116 13116Eξ＝0×13116＋1×45116＋2×45116＋3×13116＝174116＝32.11．(2015·陕西)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T (分钟) 25 30 35 40 频数(次)20304010(1)求T 的分布列与数学期望E (T )；(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率． 解：(1)由统计结果可得T T (分钟) 25 30 35 40 频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T 的分布列为T 25 30 35 40 P0.20.30.40.1从而E (T )＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32(分钟)．(2)设T 1，T 2分别表示往、返所需时间，T 1，T 2的取值相互独立，且与T 的分布列相同．设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”．解法一：P (A )＝P (T 1＋T 2≤70)＝P (T 1＝25，T 2≤45)＋P (T 1＝30，T 2≤40)＋P (T 1＝35，T 2≤35)＋P (T 1＝40，T 2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.解法二：P (A )＝P (T 1＋T 2>70)＝P (T 1＝35，T 2＝40)＋P (T 1＝40，T 2＝35)＋P (T 1＝40，T 2＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09， 故P (A )＝1－P (A )＝0.91.已知一个口袋中装有n 个红球(n ≥1且n ∈N *)和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则为中奖，否则不中奖．(1)当n ＝3时，设三次摸球(每次摸球后放回)中奖的次数为ξ，求ξ的分布列； (2)记三次摸球(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为P ，当n 取多少时，P 最大． 解：(1)当n ＝3时，每次摸出两个球，中奖的概率P ＝C 13C 12C 25＝35.由题意知ξ的可能值为0，1，2，3， 故有P (ξ＝0)＝C 03×⎝⎛⎭⎫253＝8125；P (ξ＝1)＝C 13×35×⎝⎛⎭⎫252＝36125； P (ξ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫352×25＝54125；P (ξ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎫353＝27125.ξ的分布列为ξ0 1 2 3或P (ξ＝i )＝C i 3×⎝⎛⎭⎫35i ×⎝⎛⎭⎫253－i ，i ＝0，1，2，3. (2)设每次摸球中奖的概率为p ，则三次摸球(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为P (ξ＝2)＝C 23·p 2·(1－p )＝－3p 3＋3p 2，0<p <1，由P ′＝－9p 2＋6p ＝－3p (3p －2)知，在⎝⎛⎭⎫0，23上P 为增函数，在⎝⎛⎭⎫23，1上P 为减函数，所以当p ＝23时，P 取得最大值．又p ＝C 1n ·C 12C 2n ＋2＝4n （n ＋1）（n ＋2）＝23，即n 2－3n ＋2＝0，解得n ＝1或n ＝2. 所以当n 取1或2时，P 最大．。
高考数学 第十章第九节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布课件 新A
2．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝ aE(X)＋b . (2)D(aX＋b)＝ a2D(X) ．(a，b 为常数)
3．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X服从两点分布，则E(X)＝ p，D(X)＝ p(1－p) ． (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝ np ，D(X)＝ np(1－p) ．
在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多 投3次：在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分； 如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三 次．某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2， 该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用X表示该 同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为
P(ξ＝k)＝C3k(16)k(56)3－k，k＝0,1,2,3.…………………(8 分)
所以中奖人数 ξ 的分布列为
ξ
0
1
2
3
P 125 216
25 5
1
72 72 216
………………………………………………………(10 分)
Eξ＝0×122156＋1×2752＋2×752＋3×2116＝12………(12 分)
P(a<X≤b)＝ a φμ，σ(x)dx ，则称X的分布为正态
分布，记作X～N(μ，σ2) ．
(2)正态分布的三个常用数据
①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝
0.；6826
②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝
0.；9544
③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝
0.9.974
考点一
离散型随机变量的数学期望
高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布10.7离散型随机变量及其分布列习题课件理
X3
4
5
P 0.1 0.3 0.6
第十七页，共42页。
13．已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球，乙 盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑球，现从甲、乙两个盒 内各任取 2 个球．设 ξ 为取出的 4 个球中红球的个数，则
3 P(ξ＝2)＝___1_0____.
第十八页，共42页。
∴q＝1－ 22，故选 C.
第六页，共42页。
5．已知某一随机变量 X 的概率分布如下，且 E(X)＝6.9， 则 a 的值为( )
X4 a 9 P m 0.2 0.5 A．5 B．6 C．7 D．8
解析 因为在分布列中，各变量的概率之和为 1，所以 m＝ 1－ (0.2＋ 0.5)＝ 0.3，由数 学期望 的计 算公式， 可得 4×0.3＋a×0.2＋9×0.5＝6.9，a＝6，故选 B.
第十五页，共42页。
12．(2018·临汾联考)口袋中有 5 只球，编号为 1,2,3,4,5， 从中任意取 3 只球，以 X 表示取出的球的最大号码，则 X
X3
4
5
P 0.1 0.3 0.6 的分布列为_____________________________．
第十六页，共42页。
解析 X 的取值为 3,4,5.又 P(X＝3)＝C135＝110， P(X＝4)＝CC2335＝130，P(X＝5)＝CC2435＝35. ∴随机变量 X 的分布列为
第二十二页，共42页。
B级 三、解答题 15．(2018·太原模拟)根据某电子商务平台的调查统计显 示，参与调查的 1000 位上网购物者的年龄情况如图所示．
第二十三页，共42页。
(1)已知[30,40)，[40,50)，[50,60)三个年龄段的上网购物 者人数成等差数列，求 a，b 的值；
高三数学北师大版(理)一轮复习讲义第10章 第6节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
第六节离散型随机变量的均值与方差、正态分布[考纲传真] 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.2.会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单实际问题.3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为P(X＝a i)＝p i(i＝1,2，…，r)．(1)均值EX＝a1p1＋a2p2＋…＋a r p r，均值EX刻画的是X取值的“中心位置”．(2)方差DX＝E(X－EX)2为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aEX＋b．(2)D(aX＋b)＝a2DX(a，b为常数)．3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)X～N(μ，σ2)，表示X服从参数为μ和σ2的正态分布．(2)正态分布密度函数的性质：①函数图像关于直线x＝μ对称；②σ(σ＞0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”； ③p (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝68.3%； p (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝95.4%； p (μ－3σ＜X ＜μ＋3σ)＝99.7%. [常用结论]1．均值与方差的关系：DX ＝EX 2－E 2X .2．超几何分布的均值：若X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布，则EX ＝nMN .[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的． ( ) (2)若X ～N (μ，σ2)，则μ，σ2分别表示正态分布的均值和方差． ( ) (3)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．( )(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小.( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．(教材改编)已知X 的分布列为A.73 B ．4 C ．－1 D ．1 A [由概率分布列的性质可知：12＋13＋a ＝1，∴a ＝16. ∴EX ＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13. ∴EY ＝3＋2EX ＝3－23＝73.]3．已知随机变量X ＋η＝8，若X ～B (10,0.6)，则随机变量η的均值Eη及方差Dη分别是( )A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.6B [设随机变量X 的均值及方差分别为EX ，DX ，因为X ～B (10,0.6)，所以EX ＝10×0.6＝6，DX ＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，故Eη＝E (8－X )＝8－EX ＝2，Dη＝D (8－X )＝DX ＝2.4，故选B ．]4．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ＜4)＝0.8，则P (0＜ξ＜4)＝________.0.6 [由P (ξ＜4)＝0.8，得P (ξ≥4)＝0.2.又正态曲线关于x ＝2对称． 则P (ξ≤0)＝P (ξ≥4)＝0.2，∴P (0＜ξ＜4)＝1－P (ξ≤0)－P (ξ≥4)＝0.6.]5．随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝Ck (k ＋1)，k ＝1,2,3，C 为常数，则P (0.5＜X ＜2.5)＝________.89 [由P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1，得C 1×2＋C 2×3＋C 3×4＝1，解得C ＝43.所以P (0.5＜X ＜2.5)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝23＋29＝89.]求离散型随机变量的均值、方差【例1】 (1)(2017·全国卷Ⅱ改编)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX ＝( )A ．1.96B ．1.98C ．2D ．2.02(2)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．①求甲获胜的概率；②求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与期望．(1)A [依题意，X ～B (100,0.02)，所以DX ＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.] (2)[解] 设A k ，B k 分别表示“甲、乙在第k 次投篮投中”， 则P (A k )＝13，P (B k )＝12，其中k ＝1,2,3.①记“甲获胜”为事件C ，由互斥事件与相互独立事件的概率计算公式知 P (C )＝P (A 1)＋P (A 1B 1A 2)＋P (A 1A 1A 2B 2A 3)＝P (A 1)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)P (A 3)＝13＋23×12×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×13＝13＋19＋127＝1327.②ξ的所有可能取值为1,2,3，且P (ξ＝1)＝P (A 1)＋P (A 1B 1)＝13＋23×12＝23， P (ξ＝2)＝P (A 1A 1A 2)＋P (A 1A 1A 2B 2)＝23×12×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝29，P (ξ＝3)＝P (A 1A 1A 2B 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝19.综上知，ξ的分布列为所以Eξ＝1×23＋2×29＋3×19＝139.个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝53，Dη＝59，求a∶b∶c.[解](1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6，故P(ξ＝2)＝3×36×6＝14，P(ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，P(ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P(ξ＝5)＝2×2×16×6＝19，P(ξ＝6)＝1×16×6＝136.所以ξ的分布列为(2)由题意知η的分布列为所以Eη＝aa ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋3c a ＋b ＋c＝53，Dη＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－532·a a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－532·b a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－532·c a ＋b ＋c ＝59，化简得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0.解得a ＝3c ，b ＝2c ，故a ∶b ∶c ＝3∶2∶1. 均值与方差在决策中的应用【例2】 根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流每年最高水位X (单位：米)的频率分布直方图如图：将河流最高水位落入各组的频率视为概率，并假设每年河流最高水位相互独立．(1)求在未来三年里，至多有一年河流最高水位X ∈[27,31)的概率(结果用分数表示)；(2)该河流对沿河A 企业影响如下：当X ∈[23,27)时，不会造成影响；当X ∈[27,31)时，损失10 000元；当X ∈[31,35]时，损失60 000元．为减少损失，现有三种应对方案：方案一：防御35米的最高水位，每年需要工程费用3 800元； 方案二：防御31米的最高水位，每年需要工程费用2 000元； 方案三：不采取措施．试比较上述三种方案，哪种方案好，并请说明理由． [解] (1)由题意得P (27≤X ＜31)＝0.25＝14.设在未来3年里，河流最高水位x ∈[27,31)发生的年数为Y ，则Y ～N ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14.设事件“在未来三年里，至多有一年河流最高水位X ∈[27,31)”为事件A ， 则P (A )＝P (Y ＝0)＋P (Y ＝1)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫343＋C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫342×14＝2732. 所以在未来三年里，至多有一年河流最高水位X ∈[27,31)的概率为2732. (2)方案二好，理由如下： 由题意得P (23≤X ＜27)＝0.74， P (31≤X ≤35)＝0.01，用X 1，X 2，X 3分别表示方案一、方案二、方案三的损失， 由题意得X 1＝3 800，X 2的分布列为所以EX 2＝62 000×0.01＋2 000×0.99＝2 600. X 3的分布列为所以EX 3＝0×0.74＋60 000×0.01＋10 000×0.25＝3 100. 因为三种方案中方案二的平均损失最小，所以采取方案二好．据以往数据统计，甲、乙两地该商品需求量(单位：件)的频率分布表如下：甲地需求量频率分布表(1)若此供货商计划将10件该商品全部配送至甲、乙两地，为保证两地不缺货(配送量≥需求量)的概率均大于0.7，问该商品的配送方案有哪几种？(2)已知甲、乙两地该商品的销售相互独立，该商品售出，供货商获利2万元/件；未售出的，供货商亏损1万元/件．在(1)的前提下，若仅考虑此供货商所获净利润，试确定最佳配送方案．[解](1)由表格可知，甲地不缺货的概率大于0.7时，至少需配货5件；乙地不缺货的概率大于0.7时，至少需配货4件．故共有两种方案：方案一是甲地配5件，乙地配5件；方案二是甲地配6件，乙地配4件．(2)方案一：甲地配5件，乙地配5件时，记甲地的利润为X1万元，乙地的利润为Y1万元，则X1，Y1的分布列分别为所以选择方案一时，此供货商净利润的期望为E(X1)＋E(Y1)＝(7×0.5＋10×0.5)＋(4×0.6＋7×0.3＋10×0.1)＝8.5＋5.5＝14(万元)．方案二：甲地配6件，乙地配4件时，记甲地的利润为X2万元，乙地的利润为Y2万元，则X2，Y2的分布列分别为所以选择方案二时，此供货商净利润的期望为E (X 2)＋E (Y 2)＝(6×0.5＋9×0.3＋12×0.2)＋(5×0.6＋8×0.4)＝8.1＋6.2＝14.3(万元)．综上，仅考虑此供货商所获净利润，选择方案二更佳． 正态分布【例3】 (2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性； ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：116(∑16i ＝1x 2i －16x 2)≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ，用样本标准差s 作为σ的估计值σ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ<Z＜μ＋3σ)＝99.74%,0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.[解](1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X～B(16,0.002 6)．因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8.X的数学期望EX＝16×0.002 6＝0.041 6.(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．②由x＝9.97，s≈0.212，得μ的估计值为μ＝9.97，σ的估计值为σ＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02.因此μ的估计值为10.02.∑16i＝1x2i＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134，剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09.点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(－1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.3%，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝95.4%.A．1 193 B．1 355C．2 718 D．3 413(2)甲、乙两厂生产的一批零件尺寸服从N(5,0.12)，如果零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)以外，我们就有理由认为生产中可能出现了异常情况．现从甲、乙两厂各抽取10件零件检测，尺寸如茎叶图所示：则以下判断正确的是()A．甲、乙两厂生产都出现异常B．甲、乙两厂生产都正常C．甲厂生产正常，乙厂出现异常D．甲厂生产出现异常，乙厂正常(1)B(2)D[(1)对于正态分布N(－1,1)，μ＝－1，σ＝1，正态曲线关于x＝－1对称，故题图中阴影部分的面积为12×[P(－3＜X＜1)－P(－2＜X＜0)]＝12×[P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)－P(μ－σ＜X＜μ＋σ)]＝12×(95.4%－68.3%)＝0.135 5，所以点落入题图中阴影部分的概率P＝0.135 51＝0.135 5，投入10 000个点，落入阴影部分的个数约为10 000×0.135 5＝1 355.(2)由甲、乙两厂生产的一批零件尺寸服从N(5,0.12)，得μ＝5，σ＝0.1，区间(μ－3σ，μ＋3σ)，即区间(4.7,5.3)，根据茎叶图可知，甲厂生产的零件有1件尺寸超出上述区间，乙厂生产的零件尺寸均在上述区间，所以甲厂生产出现异常、乙厂生产正常．故选D．](2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？[解](1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝C220p2(1－p)18.因此f′(p)＝C220[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2C220p(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0,0.1)时，f′(p)＞0；当p∈(0.1,1)时，f′(p)＜0.所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.(2)由(1)知，p＝0.1.①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以EX＝E(40＋25Y)＝40＋25EY＝490.②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．由于EX＞400，故应该对余下的产品作检验．。
高三数学北师大版(理)复习课件第10章 第4节 离散型随机变量及其分布列
破
返 首 页
[解] (1)设事件A：选派的3人中恰有2人会法语，则P(A)＝CC25C37 12＝47.
课
真
前
(2)依题意知，X服从超几何分布，X的可能取值为0,1,2,3，
题
知
自
识 全 通 关
P(X＝0)＝CC7433＝345，
主 验 效 果
P(X＝1)＝CC42C37 31＝1385，
课 堂 题 型
X
2
5
课
P
0.3
0.7
堂
题 型
(4)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何
全
突 破
分布．(
)
课 后 限 时 集 训
返
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
首
页
2．投掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的事件是
课
前( )
真 题
知
自
识
A．一颗是3点，一颗是1点
果
(2)求PX≥35；
课
堂 题 型
(3)求P110＜X≤170.
全
突
课 后 限 时 集 训
破
返 首 页
课 前
[解]
(1)由分布列的性质，得PX＝15＋PX＝25＋PX＝35＋PX＝45＋P(X
真 题
知
自
识 ＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，
堂 题 型 全 突
课 后 限 时 集 训
破
返 首 页
求离散型随机变量的分布列
课
【例1】 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区
真
前
题
知 识
2013高三数学总复习同步练习：10-8离散型随机变量及其概率分布(理)
10-8离散型随机变量及其概率分布(理)基础巩固强化1.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A.12B.512C.14D.16 [答案] B[解析] 恰有一个一等品即一个是一等品，另一个不是一等品，则情形为两种，即甲为一等品乙不是一等品或乙为一等品甲不是一等品，∴P ＝23×⎝⎛⎭⎪⎫1－34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×34＝512，故选B. 2．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)[答案] C[解析] C 47C 68表示选出的10个村庄中有4个交通不方便，6个交通方便，∴P (X ＝4)＝C 47C 68C 1015.3．已知随机变量ξ满足条件ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝12，D (ξ)＝125，则n 与p 的值分别为( )A ．16与45 B ．20与25 C ．15与45 D ．12与35[答案] C[解析] ∵ξ～B (n ，p )，∴E (ξ)＝np ＝12，D (ξ)＝np (1－p )＝125，∴n ＝15，p ＝45.4．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 第n 次摸取红球1 第n 次摸取白球，如果S n为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )A ．C 57⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫235B ．C 27⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫135C ．C 57⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫235D ．C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫235[答案] B[分析] 关键是弄清S 7＝3的含义：S 7＝a 1＋a 2＋…＋a 7，而a i的取值只有1和－1，故S 7＝3表示在a i 的七个值中有5个1、2个－1，即七次取球中有5次取到白球、2次取到红球．[解析] S 7＝a 1＋a 2＋…＋a 7＝3表示七次取球试验中，恰有2次取到红球，而一次取球中，取到红球的概率P 1＝23，∴所求概率为P ＝C 27⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫135. 5．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．2[答案] A[解析] 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2，P (ξ＝0)＝C 27－xC 27＝(7－x )(6－x )42， P (ξ＝1)＝C 1x ·C 17－xC 27＝x (7－x )21，P (ξ＝2)＝C 2xC 27＝x (x －1)42，∴0×(7－x )(6－x )42＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝67， ∴x ＝3.6．设两个相互独立事件A 、B 都不发生的概率为19，则A 与B 都发生的概率的取值范围是( )A ．[0，89] B ．[19，59] C ．[23，89] D ．[0，49][答案] D[解析] 设事件A 、B 发生的概率分别为P (A )＝x ，P (B )＝y ，则P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝(1－x )·(1－y )＝19⇒1＋xy ＝19＋x ＋y ≥19＋2xy .当且仅当x ＝y 时取“＝”，∴xy ≤23或xy ≥43(舍)，∴0≤xy ≤49.∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝xy ∈[0，49]．7．(2011·济南模拟)已知随机变量X 的分布列为：P (X ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2<X ≤4)等于________．[答案] 316[解析] P (2<X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4) ＝123＋124＝316.8．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数是3的倍数”为事件A ，“两颗骰子的点数和大于8”为事件B ，则P (B |A )＝________.[答案] 512[解析] 因为“红骰子向上的点数是3的倍数”的事件为A ，“两颗骰子的点数和大于8”的事件为B ，用枚举法可知A 包含的基本事件为12个，A 、B 同时发生的基本事件为5个，即(3,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．所以P (B |A )＝512.9．已知随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧P (ξ＝x 3)＋P (ξ＝x 1)＝2P (ξ＝x 2)，P (ξ＝x 1)＋P (ξ＝x 2)＋P (ξ＝x 3)＝1. ∴P (ξ＝x 2)＝13，∵P (ξ＝x i )≥0，∴公差d 取值满足－13≤d ≤13.10．(2012·广东理，17)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中x的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．[分析](1)利用频率和为1，可求X值；(2)先确定各部分人数，再确定ξ取值，利用组合知识，用古典概型求ξ的分布列，再求数学期望．[解析](1)图中x所在组为[80,90)即第五组，∵由频率分布直方图的性质知，10×(0.054＋x＋0.01＋3×0.006)＝1，∴x＝0.018.(2)成绩不低于80分的学生所占的频率为，f＝10×(0.018＋0.006)＝0.24.所以成绩不低于80分的学生有：50f＝50×0.24＝12人；成绩不低于90分的学生人数为：50×10×0.006＝3人，所以ξ的取值为0,1,2.P (ξ＝0)＝C 29C 212＝611，P (ξ＝1)＝C 19×C 13C 212＝922，P (ξ＝2)＝C 23C 212＝122.所以ξ的分布列为：所以ξ的数学期望E (ξ)＝0×11＋1×22＋2×122＝12.[点评] 1.本题考查频率分布直方图与随机变量的分布列，数学期望等知识，考查抽象概括能力与应用意识．2．应用古典概型求事件的概率是分布列的常见命题方式.能力拓展提升11.(2011·浙江嘉兴模拟)甲乙两人分别独立参加某高校自主招生面试，若甲、乙能通过面试的概率都是23，则面试结束后通过的人数ξ的期望是( )A.43B.119 C ．1 D.89[答案] A[解析] 依题意，ξ的取值为0,1,2. 且P (ξ＝0)＝(1－23)×(1－23)＝19， P (ξ＝1)＝23×(1－13)＋(1－23)×13＝49，P (ξ＝2)＝23×23＝49.故ξ的期望E (ξ)＝0×19＋1×49＋2×49＝129＝43.12．(2012·岳阳期末)袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是( )A.35B.34C.12D.310[答案] C[解析] 解法1：由于取后不放回，故在第一次取到白球的条件下，口袋中还有2白2黑4个球，从中任取一球，则取到白球的概率为P ＝24＝12.解法2：设A ＝“第一次取到白球”，B ＝“第二次取到白球”，则AB 表示“两次都取到白球”．由条件知：P (A )＝35，P (AB )＝C 23C 25＝310，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝31035＝12.13．(2012·温州一测)某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分、答错倒扣5分(每道题都必须回答，但相互不影响)．设某学生对每道题答对的概率都为23，则该学生在面试时得分的期望值为________分．[答案] 15[解析] 设该生面试时得分数为ξ，则ξ的分布列为∴E (ξ)＝30×827＋15×49＋0×29＋(－15)×127＝15.14．(2011·湖南理，15)如图，EFGH 是以O 为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则(1)P (A )＝________；(2)P (B |A )＝________. [答案] (1)2π (2)14[解析] 该题为几何概型，圆的半径为1，正方形的边长为2，∴圆的面积为π，正方形面积为2，扇形面积为π4.故P (A )＝2π，P (A ∩B )＝12π＝12π，P(B|A)＝P(A∩B)P(A)＝12π2π＝14.15．如图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：t)的频率分布直方图．(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4t的居民数X的分布列和数学期望．[分析](1)由频率和为1，列式求出x的值；(2)从图中知用水为3至4t的概率为0.1，又本抽样为有放回抽样，故X～B(3,0.1)，其中X＝0,1,2,3.列出分布列并求出数学期望．[解析](1)依题意及频率分布直方图知，0.02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.(2)由题意知，X～B(3,0.1)．因此P(X＝0)＝C03×0.93＝0.729，P(X＝1)＝C13×0.1×0.92＝0.243，P(X＝2)＝C23×0.12×0.9＝0.027，P(X＝3)＝C33×0.13＝0.001.故随机变量X的分布列为X0.027＋3×0.001＝0.3.16．(2012·福建，16)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1、X2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．[分析](1)因为保修期为2年，所以“首次发生故障在保修期内”这一事件可表示为“x≤2”；(2)弄清事件“X1＝m”和“X2＝n”的含义，才能求出概率分布列；(3)应该生产利润期望大的轿车．[解析](1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A.则P(A)＝2＋350＝110.(2)依题意得，X1的分布列为X2的分布列为(3)由(2)得，E(X1)＝1×25＋2×50＋3×910＝14350＝2.86(万元)，E(X2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E(X1)>E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．[点评] 1.本题主要考查古典概型，互斥事件的概率，离散型随机变量分布列等知识，考查数据处理能力．2．概率问题的解决关键是弄清随机变量取值时所表示的事件的含义．1．(2011·浙江六校联考)节日期间，某种鲜花进价是每束2.5元，销售价是每束5元；节后卖不出的鲜花以每束1.5元的价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求服从如下表所示的分布列：若进这种鲜花A ．706元 B ．690元 C ．754元 D ．720元[答案] B[解析] 由题意，进这种鲜花500束， 利润η＝(5－2.5)ξ－(2.5－1.5)×(500－ξ) ＝3.5ξ－500而E (ξ)＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340， ∴E (η)＝E (3.5ξ－500)＝3.5E (ξ)－500＝690(元)．2．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值是( )A.1220 B.2755 C.27220 D.2155[答案] C[分析] 弄清X ＝4的含义是关键，盒中原有3个旧球，9个新球，取出3个球用后放回，此时盒中旧球数X ＝4，故取出的3个球中有1个新球，2个旧球．[解析] P (X ＝4)＝C 19C 23C 312＝27220.3．设随机变量X ～B (n,0.5)，且D (X )＝2，则事件“X ＝1”的概率为______(用数字作答)[答案] 132[解析] ∵X ～B (n,0.5)，∴D (X )＝n ×0.5×(1－0.5)＝2，∴n ＝8.∴事件“X ＝1”的概率为P (X ＝1)＝C 18×0.5×0.58－1＝132.4．袋中共有10个大小相同的编号为1、2、3的球，其中1号球有1个，2号球有m 个，3号球有n 个．从袋中依次摸出2个球，已知在第一次摸出3号球的前提下，再摸出一个2号球的概率是13.(1)求m 、n 的值；(2)从袋中任意摸出2个球，设得到小球的编号数之和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E (ξ)．[解析] (1)记“第一次摸出3号球”为事件A ，“第二次摸出2号球”为事件B ，则P (B |A )＝m 9＝13，∴m ＝3，n ＝10－3－1＝6. (2)ξ的可能的取值为3,4,5,6.P (ξ＝3)＝1·C 13C 210＝115，P (ξ＝4)＝1·C 16＋C 23C 210＝15，P (ξ＝5)＝C 13C 16C 210＝25，P (ξ＝6)＝C 26C 210＝13.ξ的分布列为E (ξ)＝3×115＋4×15＋5×25＋6×13＝5.5．已知7件产品中有2件次品，现逐一不放回地进行检验，直到2件次品都能被确认为止．(1)求检验次数为4的概率；(2)设检验次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．[解析] (1)记“在4次检验中，前3次检验中有1次得到次品，第4次检验得到次品”为事件A ，则检验次数为4的概率P (A )＝C 12C 25C 37·1C 14＝17. (2)ξ的可能值为2,3,4,5,6，其中P (ξ＝2)＝C 22C 27＝121，P (ξ＝3)＝C 12C 15C 27·1C 15＝221， P (ξ＝4)＝P (A )＝17，P (ξ＝5)＝C 12C 35C 47·1C 13＋C 55C 57＝521，P (ξ＝6)＝C 12C 45C 57＝1021. ξ的分布列为ξ的期望E (ξ)＝2×121＋3×221＋4×321＋5×521＋6×1021＝5. [点评] 要特别注意P (ξ＝5)的情形，一种可能是前四次检验中有一次得到次品第五次为次品；另一种可能是前五次都是正品则余下的两件必都是次品．这是它与其他情形不同的地方．6．某单位组织职工参加了旨在调查职工健康状况的测试．该测试包括心理健康测试和身体健康测试两个项目，每个项目的测试结果为A 、B 、C 、D 、E 五个等级．假设该单位50位职工全部参加了测试，测试结果如下：x 表示心理健康测试结果，y 表示身体健康测试结果.(1)求a＋b的值；(2)如果在该单位随机找一位职工谈话，求找到的职工在这次测试中，心理健康为D等级且身体健康为C等级的概率；(3)若“职工的心理健康为D等级”与“职工的身体健康为B等级”是相互独立事件，求a、b的值．[解析](1)∵该单位50位职工全部参与了测试，∴表中标出的总人数也应是50人，∴a＋b＝50－47＝3.(2) 从表中可以看出，职工在这次测试中，心理健康为D等级且身体健康为C等级的人数为6人，∴所求概率为650＝0.12.(3)∵“职工的心理健康为D等级”与“职工的身体健康为B等级是相互独立事件，∴P(x＝D且y＝B)＝P(x＝D)·P(y＝B)．即b50＝a＋b＋750×b＋450.又∵a ＋b ＝3，∴b 50＝1050×b ＋450，解得b ＝1. ∴a ＝2，b ＝1.7．(2012·东北三校联考)实验中学的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等次，若考核为合格，则授予10分降分资格；考核优秀，授予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为23、23、12，他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率．(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E (ξ)．[解析] (1)记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E .则事件A 、B 、C 是相互独立事件，事件A － B － C －与事件E 是对立事件，于是P (E )＝1－P (A － B － C －)＝1－13×13×12＝1718.(2)ξ的所有可能取值为30,40,50,60. P (ξ＝30)＝P (A － B － C －)＝13×13×12＝118，P (ξ＝40)＝P (A B － C －)＋P (A －B C －)＋P (A － B －C )＝23×13×12＋13×23×12＋13×13×12＝518，P (ξ＝50)＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC )＝818，P(ξ＝60)＝P(ABC)＝418. 所以ξ的分布列为E(ξ)＝30×118＋40×518＋50×818＋60×418＝145 3.[点评] 1.求复杂事件的概率的一般步骤：(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；(2)理清各事件之间的关系，列出关系式；(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算．2．直接计算符合条件的事件的概率较繁时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．。
(江西版)2013年高考数学总复习 第十章10.1 事件与概率 理 北师大版(含详解)
2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第十章10.1 事件与概率练习一、选择题1．下列说法正确的是( )．A ．某事件发生的频率为P (A )＝1.1B ．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1C ．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然发生的事件D ．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的A ．0.13B ．0.39C ．0.52D ．0.643．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面上分别写有1,2,3,4,5,6)，若前3次连续抛到“6点朝上”，则对于第4次抛掷结果的预测，下列说法中正确的是( )．A ．一定出现“6点朝上”B ．出现“6点朝上”的概率大于16C ．出现“6点朝上”的概率等于16D ．无法预测“6点朝上”的概率4．一个口袋内装有一些大小和形状都相同的白球、黑球和红球，从中摸出一个球，摸出红球的概率是0.3，摸出白球的概率是0.5，则摸出黑球的概率是( )．A ．0.8B ．0.2C ．0.5D ．0.35．甲：A 1，A 2是互斥事件；乙：A 1，A 2是对立事件，那么( )．A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件6．从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496497 503 506 508 507 492 496 500 501 499根据样本频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5～501.5 g 之间的概率约为( )． A ．0.25 B ．0.20 C ．0.35 D ．0.45二、填空题7．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率为__________．8．(2012浙江杭州第二次质检)对有n (n ≥4)个元素的总体{1,2，…，n }进行抽样，先将总体分成两个子总体{1，2，…，m }和{m ＋1，m ＋2，…，n }(m 是给定的正整数，且2≤m ≤n －2)，再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本．用P ij 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则P 1n ＝__________；所有P ij (1≤i ＜j ≤n )的和等于__________．9．某地有居民100 000户，其中普通家庭99 000户，高收入家庭1 000户．从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取100户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收入家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是________．三、解答题10(1)(2)至少3人排队的概率是多少？11．下表为某班的英语及数学成绩，全班共有学生50人，成绩分为1～5分五个档次．例如表中所示英语成绩为4分的学生共14人，数学成绩为5分的共5人．设x，y分别表示英语成绩和数学成绩．(1)x＝4的概率是多少？x＝4且y＝3的概率是多少？x≥3的概率是多少？(2)x＝2的概率是多少？a＋b的值是多少？12．(2011陕西高考，文20)如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．参考答案一、选择题1．B 解析：概率、频率的值不能大于1，故A 错．小概率事件不一定不发生，大概率事件也不一定发生，故C 错．概率是频率的稳定值，不会随试验次数的变化而变化，故D 错．2．C 解析：样本数据落在(10,40]上的频数为13＋24＋15＝52，故其频率为52100＝0.52. 3．C 解析：随机事件具有不确定性，与前面的试验结果无关．由于正方体骰子的质地是均匀的，所以它出现哪一个面朝上的可能性都是相等的．4．B 解析：从中摸出白球、黑球或红球是两两彼此互斥事件，且“摸出黑球”的对立事件是“摸出白球或摸出红球”，所以摸出黑球的概率P ＝1－(0.3＋0.5)＝0.2.5．B 解析：由互斥事件、对立事件的定义可知互斥不一定对立，对立一定互斥，即甲是乙的必要不充分条件．6．A 解析：袋装食盐质量在497.5～501.5 g 之间的有5个，故所求概率约为P ＝520＝0.25.二、填空题7．0.97 解析：P ＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.8．4m (n －m ) 6 解析：P 1n ＝111122C C C C m n m m n m ----⋅⋅ ＝4(m －1)(n －m －1)m (m －1)(n －m )(n －m －1)＝4m (n －m )； 第二空可分：①当i ，j ∈{1,2，…，m }时，P ij 的和为2222C C C C m n m m n m--＝1； ②当i ，j ∈{m ＋1，m ＋2，…，n }时，P ij 的和为1；③当i ∈{1,2，…，m }，j ∈{m ＋1，m ＋2，…，n }时，P ij 的和为m (n －m )×4m (n －m )＝4； 所以所有P ij 的和为1＋1＋4＝6.9．5.7% 解析：所抽取的990户普通家庭中有50户拥有3套或3套以上住房，所抽取的100户高收入家庭中有70户拥有3套或3套以上住房，那么99 000户普通家庭中就有5 000户拥有3套或3套以上住房，1 000户高收入家庭中就有700户拥有3套或3套以上住房．那么该地100 000户居民中拥有3套或3套以上住房的家庭占的比例为5 000＋700100 000＝ 5 700100 000＝5.7%.三、解答题10．解：记事件在窗口等候人数为0,1,2,3,4,5人及5人以上分别为A ，B ，C ，D ，E ，F .(1)至多2人排队的概率为P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.56.(2)解法一：至少3人排队的概率是P (D ＋E ＋F )＝P (D )＋P (E )＋P (F )＝0.44.解法二：至少3人排队与至多2人排队是对立事件，故至少3人排队的概率是P (D ＋E ＋F )＝1－P (A ＋B ＋C )＝0.44.11．解：(1)P (x ＝4)＝1＋0＋7＋5＋150＝725； P (x ＝4，y ＝3)＝750， P (x ≥3)＝P (x ＝3)＋P (x ＝4)＋P (x ＝5)＝2＋1＋0＋9＋350＋725＋1＋3＋1＋0＋150＝710. (2)P (x ＝2)＝1－P (x ＝1)－P (x ≥3)＝1－110－710＝15. 又∵P (x ＝2)＝1＋b ＋6＋0＋a 50＝15， ∴a ＋b ＝3.12．解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，∴用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择L 1的有60人，选择L 2的有40人，(3)1212B 1，B 2分别表示乙选择L 1和L 2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P (A 1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P (A 2)＝0.1＋0.4＝0.5，P (A 1)＞P (A 2)，∴甲应选择L 1.P (B 1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P (B 2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P (B 2)＞P (B 1)，∴乙应选择L 2.。
(江西版)2013年高考数学总复习 第十章10.5 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 理 北师大版(含详解)
2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第十章10.5 离散型随机变量的均值与方差、正态分布练习一、选择题1．随机变量X 的分布列为则E (5X ＋4)等于( )．A ．15B ．11C ．2.2D ．2.32．同时抛两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币出现不同面的次数为X ，则DX 等于( )． A ．158 B ．154 C ．52D ．53．(2011湖北高考，理5)已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ＜4)＝0.8，则P (0＜ξ＜2)＝( )．A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.24．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，若随机变量ξ＝|a －b |的取值，则ξ的数学期望E ξ＝( )．A ．89B ．35C ．25D ．135．(2012福建厦门质检)2011年7月以来，持续的高温少雨天气导致西南五省市部分地区发生较为严重的旱情，为此，某地消防大队紧急抽调1,2,3,4,5号五辆消防车，分配到附近的A ，B ，C ，D 四个村子进行送水抗旱工作，每个村子至少要安排一辆消防车．若这五辆消防车中去A 村的辆数为随机变量ξ，则E ξ的值为( )．A ．14B ．34C ．1D ．546．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望EX ＞1.75，则p 的取值范围是( )．A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，712B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 二、填空题7．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率为13，用ξ表示5位乘客在第20层下电梯的人数，则随机变量ξ的期望E ξ＝__________.8．已知随机变量x ～N (2，σ2)，若P (x ＜a )＝0.32，则P (a ≤x ＜4－a )的值为__________． 9．现有三枚外观一致的硬币，其中两枚是均匀硬币另一枚是不均匀的硬币，这枚不均匀的硬币抛出后正面出现的概率为23，现投掷这三枚硬币各1次，设ξ为得到的正面个数，则随机变量ξ的数学期望E ξ＝__________.三、解答题10．某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．(1)记“函数f (x )＝x 2＋ξx 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率； (2)求ξ的分布列和数学期望．11．(2011陕西高考，理20)如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：0.1钟和(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？ (2)用X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求X 的分布列和数学期望．12．设篮球队A 与B 进行比赛，规定7局4胜且每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则比赛宣告结束，假定A ，B 在每场比赛中获胜的概率都是12，试求需要比赛场数的期望参考答案一、选择题1．A 解析：∵EX ＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2， ∴E (5X ＋4)＝5EX ＋4＝11＋4＝15.2．C 解析：∵X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫10，12， ∴DX ＝np (1－p )＝10×12×12＝52.3．C 解析：根据题意，随机变量ξ的正态分布密度曲线图关于x ＝2对称，故P (0＜ξ＜2)＝P (2＜ξ＜4)＝P (ξ＜4)－P (ξ＜2)＝0.8－0.5＝0.3.4．A 解析：对称轴在y 轴的左侧(a 与b 同号)的抛物线有1113372C C C ＝126条，ξ的可能取值有0、1、2.P (ξ＝0)＝6×7126＝13，P (ξ＝1)＝8×7126＝49，P (ξ＝2)＝4×7126＝29，E (ξ)＝89.5．D 解析：由题意知，随机变量ξ的取值是1,2， “ξ＝2”是指“有两辆消防车同时去A 村”，则P (ξ＝2)＝23532454C A C A ＝14， 所以P (ξ＝1)＝34.所以E ξ＝1×34＋2×14＝54.6．C 解析：由已知条件可得P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝(1－p )2p ＋(1－p )3＝(1－p )2，则EX ＝P (X ＝1)＋2P (X ＝2)＋3P (X ＝3)＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3＞1.75，解得p ＞52或p ＜12，又由p ∈(0,1)，可得p ∈(0，12)．二、填空题 7．53 解析：由题意，ξ～B (5，13)，所以E ξ＝53. 8．0.36 解析：据题意由正态分布的对称性可得P (x ＜a )＝P (x ＞4－a )＝0.32，因此P (a ≤x ＜4－a )＝1－2P (x ＜a )＝0.36.9．53 解析：抛掷一枚均匀的硬币，出现正面和反面的概率均为12.易得ξ＝0,1,2,3，由于各枚出现正反面的概率是相互独立的，所以P (ξ＝0)＝12×12×13＝112；P (ξ＝1)＝12111112C 223223⨯⨯⨯+⨯⨯＝13；P (ξ＝2)＝22C ×12×12×13＋12C ×12×12×23＝512； P (ξ＝3)＝12×12×23＝16.故E ξ＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.三、解答题10．解：(1)设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x 、y 、z ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x (1－y )(1－z )＝0.08，xy (1－z )＝0.12，1－(1－x )(1－y )(1－z )＝0.88，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0.4，y ＝0.6，z ＝0.5.若函数f (x )＝x 2＋ξx 为R 上的偶函数，则ξ＝0.当ξ＝0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选．∴P (A )＝P (ξ＝0)＝xyz ＋(1－x )(1－y )(1－z )＝0.4×0.5×0.6＋(1－0.4)(1－0.5)(1－0.6)＝0.24，∴事件A 的概率为0.24.(2)依题意知ξ＝0,2，则ξ的分布列为∴ξ的数学期望为E ξ11．解：(1)A i 表示事件“甲选择路径L i 时，40分钟内赶到火车站”， B i 表示事件“乙选择路径L i 时，50分钟内赶到火车站”，i ＝1,2. 用频率估计相应的概率可得P (A 1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P (A 2)＝0.1＋0.4＝0.5， ∵P (A 1)＞P (A 2)，∴甲应选择L 1；P (B 1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P (B 2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9， ∵P (B 2)＞P (B 1)，∴乙应选择L 2.(2)A ，B 分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站， 由(1)知P (A )＝0.6，P (B )＝0.9，又由题意知，A ，B 独立，∴P (X ＝0)＝P (A B )＝P (A )P (B )＝0.4×0.1＝0.04，P (X ＝1)＝P (A B ＋A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42，P (X ＝2)＝P (AB )＝P (A )P (B )＝0.6×0.9＝0.54. ∴X 的分布列为∴EX 12．解：事件“X ＝4”表示，A 胜4场或B 胜4场(即B 负4场或A 负4场)，且两两互斥．P (X＝4)＝44C ×412⎛⎫ ⎪⎝⎭×012⎛⎫ ⎪⎝⎭＋04C ×012⎛⎫ ⎪⎝⎭×412⎛⎫ ⎪⎝⎭＝18；事件“X ＝5”表示，A 在第5场中取胜且前4场中胜3场，或B 在第5场中取胜且前4场中胜3场(即第5场A 负且4场中A 负了3场)，且这两者又是互斥的，所以P (X ＝5)＝1234C 312⎛⎫ ⎪⎝⎭4312-⎛⎫⎪⎝⎭＋14114111C 222-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝14. 类似地，事件“X ＝6”、“X ＝7”的概率分别为 P (X ＝6)＝3532523255111111C C 222222--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝516，P (X ＝7)＝3633633366111111C C 222222--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝516. 故比赛场数的分布列为比赛的期望为EX ＝4×18＋5×4＋6×16＋7×16＝5.812 5(场)，这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均地说，大约进行6场比赛才能分出胜负．。
北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第12章 概率 第5节 离散型随机变量的均值与方差
4
.又随机变量
9
1
p=3,即
X~B
1
2, 3
X,Y 满足:Y=3X-1,
,
考点三
均值与方差在决策中的应用
例3(2021新高考Ⅰ,18)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每
位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回
答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽
(3)若能分析出所给的随机变量服从常用的分布(如:两点分布、二项分布
等),可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.
2.求离散型随机变量X的均值与方差的步骤:
(1)理解X的意义,写出X的全部可能取值;
(2)求X取每个值的概率;
(3)写出X的分布列;
(4)由均值的定义求EX;
(5)由方差的定义求DX.
常用结论
1.若X1,X2相互独立,则E(X1·X2)=(EX1)·(EX2).
2.均值与方差的关系:DX=E(X2)-(EX)2.
3.E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数.
4.E(X1+X2)=EX1+EX2.
研考点•精准突破
考点一
离散型随机变量的均值与方差
例1(1)(2023山西长治模拟)从装有3个白球、m个红球和n个黄球(这些小球
3
C 22
,P(ξ=4)=C 3
35
7
=
1
,
35
规律方法 1.求随机变量的期望和方差的基本方法:
(1)已知随机变量的分布列,直接利用期望和方差公式直接求解;
(2)已知随机变量X的期望、方差,求aX+b(a,b∈R)的期望与方差,利用期望
北师版高考总复习一轮数学精品课件 第11章计数原理、概率、随机变量及其分布 概率与统计中的综合问题
1 1 3 3
2 1 3 3
3 1 3 1
P(ξ=0)=C3 ( ) = ,P(ξ=1)=C3 ( ) = ,P(ξ=2)=C3 ( ) = ,P(ξ=3)=C3 ( ) = , ....6
2
8
2
8
2
8
2
8
所以 ξ 的分布列为
分
ξ
P
0
1
1
8
2
3
8
3
3
8
1
8
........................................................................................................................... 7 分
(1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数,求X的分布列和数
学期望;
关键点:结合题意弄清楚X服从的是超几何分布还是二项分布.
(2)试验结果如下:
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2
18.8 20.2
21.3
22.5 23.2
25.8
26.5 27.5
34.3
34.8 35.6
35.6
C47
C13 C34
P(η=1)=
C47
=
12
C23 C24
,P(η=2)=
35
C47
=
18
C33 C14
,P(η=3)=
35
C47
1
2
=
4
.
35
所以 η 的分布列为
η
P
所以 Eη=0×
北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第12章 概率 第3节 离散型随机变量及其分布列
缩小样本空间的方法,就是去掉第一次抽到的情况,只研究剩下
的情况,用古典概型求解,它能化繁为简
对点训练3甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服
务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询这三个项目,每人限报其中一
项,记事件A为“恰有2名同学所报项目相同”,事件B为“只有甲同学一人报关
3
10
2
5
=3,故4D 错误.故选 D.反思感悟条件概率的3种求法
P(AB )
P(B|A)=
求
P(A)
定义法
先求 P(A)和 P(AB),再由
基本事
借助古典概型概率公式,先求事件 A 包含的基本事件数 n(A),再
件法
缩样法
P(B|A)
求事件 AB 所包含的基本事件数 n(AB),得
n(AB )
P(B|A)=
对应的概率值相加即可,其依据是互斥事件的概率加法公式.
对点训练4某电话亭中装有一部公用电话,在观察使用这部电话的人数时,
设在某一时刻,有n个人正在使用电话或等待使用的概率为P(n),P(n)与时刻
1
t无关,统计得到:P(n)= (2) ·(0)(0 ≤ ≤ 5), 那么在某一时刻,这个电话
成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、
乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲
得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,
两人又打了X个球该局比赛结束.
(1)求P(X=2);
(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.
+ 33 +…+39 +m=1,
高考数学总复习 第十章10.3 离散型随机变量及其分布列教案 理 北师大版
2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第十章10.3 离散型随机变量及其分布列考纲要求1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．知识梳理1．随机试验：一般地，一个试验如果满足下列条件：(1)试验可以在相同的条件下重复进行；(2)试验所有可能的结果是明确的，并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验的结果会出现哪一个，这种试验就是一个随机试验．2．随机变量：在随机试验中，随着________变化而变化的变量称为随机变量．3．离散型随机变量：所有取值可以________的随机变量，称为离散型随机变量．随机变量通常用大写字母X，Y，Z等表示，也可以用希腊字母ξ，η等表示．4．一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x n，X取每一个值x i(i ＝1,2，…，n)的概率也用等式________________表示X的分布列．5．离散型随机变量的分布列具有如下性质：(1)p i≥0，i＝1,2，…，n；(2)________．一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．6．两点分布：若随机变量X则称这样的分布列为就称X服从两点分布．7．超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件“X＝k”发生的概率P(X＝k)＝______________，称随机变量X服从超几何分布．1．抛掷两颗骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是( )．A．两颗都是4点B．两颗都是2点C ．一颗是1点，另一颗是3点D ．一颗是1点，另一颗是3点，或者两颗都是2点2．设ξ是一个离散型随机变量，则下列不一定能成为ξ的概率分布列的一组数是( )．A ．0,0,0,1,0B ．0.1,0.2,0.3,0.4C ．P,1－P (P 为实数)D ．11×2，12×3，…，1(n －1)·n ，1n(n ∈N ＋)3．若X 的分布列为，则常数c ＝__________.4．从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率为__________．5．从含有5件次品的10件产品中，任取6件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝0}发生的概率是多少？思维拓展1．如何区分随机变量与函数？提示：随机变量和函数都是一种映射，随机变量把试验结果映为实数，函数把实数映为实数．在两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域，可以把随机变量的取值范围称为随机变量的值域．不同的是：函数的自变量是实数，而随机变量的自变量是试验结果．2．利用分布列的性质解题时应注意什么？提示：(1)X ＝x i (i ＝1,2，…，n )的各个取值表示的事件是互斥的；(2)不仅要注意11nii p =∑＝，而且要注意p i≥0，i ＝1,2，…，n .一、随机变量【例1－1】下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由． (1)上海国际机场候机室中2012年10月1日的旅客数量； (2)2012年某天济南至北京的D36次列车到北京站的时间； (3)2012年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；(4)体积为1 000 cm 3的球的半径长．【例1－2】下列变量中，哪些是离散型随机变量？并说明理由． (1)下期《中华达人》节目中过关的人数；(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差； (3)在郑州至武汉的电气化铁道线上，每隔50 m 有一电线铁塔，从郑州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号，其中某一电线铁塔的编号；(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位． 方法提炼1．随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，虽然预先知道这些数的所有可能取值，但是不知道究竟是哪一个值．2．离散型随机变量必须能够“一一列出”，这说明试验的结果是有限的，而连续型随机变量可取某一区间内的一切值，无法对其中的值一一列举．这点是区别于非离散型随机变量的关键．3．所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件．写随机变量表示的结果，要看三个特征：(1)可用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取值．4．连续型变量可转化为离散型随机变量．请做[针对训练]1二、离散型随机变量的分布列【例2】袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)随机变量X的分布列；(2)计分介于20分到40分之间的概率．方法提炼1．确定离散型随机变量X的分布列的关键是要搞清X的每一个值对应的随机事件，进一步利用排列组合求出X取每个值的概率．求分布列可分为以下几步：(1)明确随机变量的取值范围；(2)求出每一个随机变量值的概率；(3)列成表格．2．分布列的求解应注意以下几点：(1)弄清随机变量每个取值对应的随机事件；(2)计算必须准确无误；(3)注意应用分布列的两条性质，检验所求的分布列是否正确．请做[针对训练]4三、两点分布【例3】一个盒子中装有5个白色玻璃球和6个红色玻璃球，从中摸出两球．当两球全红时，记为X＝0；当两球非全红时，记为X＝1.试求X的分布列．方法提炼两点分布是一种特殊的分布，随机变量只能取0,1.因为两点分布只有两个对立结果，所以，只需求出其中的一个概率，便可求得另一个概率．请做[针对训练]2四、超几何分布的实际应用【例4－1】在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的分布列．【例4－2】生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？方法提炼1.在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式，求出X取不同值m时的概率P(X＝m)，从而列出X的分布列．2．一旦掌握了X的分布列，就可以算出相应事件的概率．请做[针对训练]3 考情分析对于离散型随机变量的分布列，要注意利用它的两条性质检验所列分布列是否正确，如果求出的离散型随机变量的分布列不满足这两条性质，就说明计算过程中一定存在错误，即离散型随机变量的这两条性质是判断计算过程中是否存在错误的主要方法．在实际应用中，要结合具体实例体会随机变量的意义，找准概率模型后，才能准确确定随机变量取各个值的概率，从而列出其分布列．针对训练1．写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；(2)从标有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．23．50张彩票中只有2n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为多少？4．某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800 元；否则月工资定为2 100元．令X表示此人选对A饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．求X的分布列．参考答案基础梳理自测 知识梳理 2．试验结果 3．一一列出4．概率分布列 分布列 P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 5．()2=11nii p=∑6．两点分布列 7．C C CN Mk n kM nN--，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N ＋基础自测1．D 解析：由于抛掷一颗骰子，可能出现的点数是1,2,3,4,5,6这6种情况之一，而X 表示抛掷两颗骰子所得点数之和，所以X ＝4＝1＋3＝2＋2，表示的随机试验结果是：一颗是1点，另一颗是3点，或者两颗都是2点．2．C 解析：显然A ，B 满足分布列的两个性质；对于D ，有11×2＋12×3＋…＋1(n －1)·n＋1n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n＝1. 又1(n －1)n ∈(0,1)且1n∈(0,1)，n ∈N ＋， 所以它也满足分布列性质；C 中，由于P 为实数，不妨取P ＝3，显然1－P ＝－2＜0不满足概率的非负性．3．13解析：由分布列的性质得⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ≥0，3－8c ≥0，9c 2－c ＋3－8c ＝1.解得c ＝13.4．1235解析：设随机变量X 表示取出次品的个数，则X 服从超几何分布，其中N ＝15，M ＝2，n ＝3，它的可能的取值为0,1,2，相应的概率为P (X ＝1)＝12213315C C C ＝1235.5．解：因为有5件次品，5件正品，所以任取6件产品至少有一件次品，事件{X ＝0}是不可能事件，故P (X ＝0)＝0.考点探究突破【例1－1】解：(1)候机室中的旅客数量可能是：0,1,2，…，出现哪一个结果是不确定的，因此是随机变量．(2)D36次济南至北京的列车，到达终点的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，亦可能晚点，故是随机变量．(3)在2012年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数是随机变化的，因此也是随机变量．(4)体积为1 000 cm 3的球的半径长为定值，故不是随机变量．【例1－2】解：(1)是离散型随机变量．因为过关人数可以一一列出．(2)不是离散型随机变量．因为实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出． (3)是离散型随机变量．因为电线铁塔为有限个，其编号从1开始可一一列出．(4)不是离散型随机变量．因为水位在(0,29]这一范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出．【例2】解：(1)由题意，X 所有可能的取值为2,3,4,5.21122222310C C C C 1(2)C 30P X ⋅+⋅===； 21124242310C C C C 2(3)C 15P X ⋅+⋅===； 21126262310C C C C 3(4)C 10P X ⋅+⋅===； 21128282310C C C C 8(5)C 15P X ⋅+⋅===； ∴随机变量X(2)设事件A P (A )＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝215＋310＝1330.【例3】解：由题意可知X 服从两点分布，则P (X ＝0)＝C26C211＝311，P (X ＝1)＝1－311＝811.所以X 的分布列为【例4－1】解：(1)方法一：26210C 12()=1=1C 33P A --=.方法二：P (A )＝112464210C C C C ＝3045＝23. 即该顾客中奖的概率为23.(2)X 所有可能的取值为(单位：元)：0,10,20,50,60，且P (X ＝0)＝0246210C C C ＝13，P (X ＝10)＝1136210C C C ＝25，P (X ＝20)＝23210C C ＝115，P (X ＝50)＝1116210C C C ＝215，P (X ＝60)＝1113210C C C ＝115.故X 的分布列为【例4－2】解：以表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X服从超几何分布，其中N＝50，M＝2，n＝5.于是，该批产品被接收的概率为P(X≤1)＝0514248248555050C C C CCC+＝243245.演练巩固提升1．解：(1)设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3，...，11，X＝i表示前i－1次取到的均是红球，第i次取到白球，这里i＝1,2,3， (11)(2)设所取卡片上的数字之和为X，则X＝3,4,5， (11)X＝3，表示取出标有1,2的两张卡片；X＝4，表示取出标有1,3的两张卡片；X＝5，表示取出标有2,3或1,4的两张卡片；X＝6，表示取出标有2,4或1,5的两张卡片；X＝7，表示取出标有3,4或2,5或1,6的两张卡片；X＝8，表示取出标有2,6或3,5的两张卡片；X ＝9，表示取出标有3,6或4,5的两张卡片；X＝10，表示取出标有4,6的两张卡片；X＝11，表示取出标有5,6的两张卡片．2．解：不是，因为X的值不是0或1.3．解：设随机变量X表示“抽出中奖票的张数”，则X服从超几何分布，其中N＝50，M＝2.于是，由至少有一张中奖票的概率大于0.5，得P(X≥1)＝11222482485050C C C CC Cn nn n--+＞0.5，解得n≥15.即n至少为15张．4．解：X的所有可能取值为：0,1,2,3,4，P(X＝i)＝44448C CCi i-(i＝0,1,2,3,4)，即。
【走向高考】2013年高考数学总复习 11-10离散型随机变量的均值与方差课后作业 理 北师大版
【走向高考】2013年高考数学总复习 11-10离散型随机变量的均值与方差(理) 课后作业 北师大版一、选择题1．两封信随机投入A 、B 、C 三个空，则A 的信件数X 的均值EX 是( ) A.23B.34 C.13D.14 [答案] A [解析]X1 2 0 P491949所以均值EX ＝1×49＋2×19＋0×49＝23.2．某一离散型随机变量X 的概率分布列如下表，且EX ＝1.5，则a －b 的值( )X123P0.1 a b 0.1A.－0.1 B ．0 C ．0.1 D ．0.2 [答案] B[解析]⎩⎪⎨⎪⎧0.1＋a ＋b ＋0.1＝10×0.1＋a ＋2b ＋3×0.1＝1.5⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.4b ＝0.4，故a －b ＝0.3．(2012·某某模拟)已知随机变量X 的分布列X－11P0.5 0.3 0.2则DX ＝( ) A ．0.7 B ．0.61 C ．－0.3 D ．0.2 [答案] B[解析] EX ＝(－1)×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，DX ＝(－1＋0.3)2×0.5＋(0＋0.3)2×0.3＋(1＋0.3)2×0.2＝0.61.4．(2010·新课标理)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400 [答案] B[解析] 本题以实际问题为背景，考查服从二项分布的事件的数学期望等． 记“不发芽的种子数为X”，则X ～B(1 000,0.1)，所以EX ＝1 000×0.1＝100，则E(2X)＝2EX ＝200，故选B.5．若X 是离散型随机变量，P(X ＝x 1)＝23，P(X ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，又已知EX ＝43，DX＝29，则x 1＋x 2的值为( ) A.53B.73 C ．3 D.113[答案] C[解析] 由期望和方差的计算公式得 x 1·23＋x 2·13＝43，(x 1－43)2·23＋(x 2－43)2×13＝29，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＋x 2＝4， ①2x 1－432＋x 2－432＝23. ②由①得x 2＝4－2x 1，代入②得6(x 1－43)2＝23.解得x 1＝53，x 2＝32或x 1＝1，x 2＝2.又x 1<x 2 ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2.∴x 1＋x 2＝3.6．随机变量X 的分布列如下其中a ，b ，c 成等差数列，若EX ＝13则DX 的值是( )A.19B.59C.23D.34 [答案] B[解析] 由已知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1a ＋c ＝2b－1×a＋0×b＋1×c＝13解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝16b ＝13c ＝12DX ＝(－1－13)2×16＋(0－13)2×13＋(1－13)2×12＝59.二、填空题7．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球2次(每次罚球结果互不影响)得分的均值是________．[答案] 1.4[解析] 设得分为变量X ，则其概率分布列为则EX ＝0×0.09＋1×0.42＋2×0.49＝1.4.8．已知离散型随机变量X 的分布列如下表，若EX ＝0，DX ＝1，则a ＝______，b ＝______.[答案]512；14[解析] 考查离散型随机变量的分布列、均值和方差的计算．由条件及EX ＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ，DX ＝(x 1－EX)2p 1＋(x 2－EX)2p 2＋…＋(x n －EX)2p n 得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝1112－a ＋c ＋16＝0a ＋c ＋13＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝512b ＝14c ＝14.三、解答题9．(2011·某某理，19)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，…，8，其中X≥5为标准A ，X≥3为标准B.已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下所示：且X 1的数学期望EX 1＝6，求a ，b 的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 56 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望． (3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：(1)产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望产品的零售价；(2)“性价比”大的产品更具可购买性．[解析] (1)因为EX 1＝6，所以5×0.4＋6a ＋7b ＋8×0.1＝6，即6a ＋7b ＝3.2. 又由X 1的概率分布列得0.4＋a ＋b ＋0.1＝1， 即a ＋b ＝0.5.由⎩⎪⎨⎪⎧6a ＋7b ＝3.2，a ＋b ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.3，b ＝0.2.(2)由已知得，样本的频率分布表如下：用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X 2的概率分布列如下：所以EX 2＝3P(X 2＝3)＋4P(X 2＝4)＋5P(X 2＝5)＋ 6P(X 2＝6)＋7P(X 2＝7)＋8P(X 2＝8)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8. 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. (3)乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为66＝1.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4.84＝1.2.据此，乙厂的产品更具可购买性.一、选择题1．已知随机变量X 的分布列为X 1 2 3P0.5 x y若EX ＝158，则DX 等于( )A.3364B.5564C.732D.932[答案] B[解析] 由分布列的性质得x ＋y ＝0.5，又EX ＝158，所以2x ＋3y ＝118，解得x ＝18，y＝38，所以DX ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1582×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1582×18＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1582×38＝5564.2．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元．节后卖不出的鲜花以每束1.6元价格处理，根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布，若进这种鲜花500束，则期望利润是( )X200300400500A.706元 B ．690元 C ．754元 D ．720元 [答案] A[解析] 节日期间预售的量：EX ＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3＋500×0.15 ＝40＋105＋120＋75＝340(束)． 则期望的利润：η＝5X ＋1.6(500－X)－500×2.5＝3.4X －450. ∴Eη＝3.4EX －450＝3.4×340－450＝706(元)． ∴期望利润为706元． 二、填空题3．(2011·某某理，15)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E(X)＝________. [答案]53[解析] 本题主要考查相互独立事件同时发生的概率计算及随机变量的分布列与期望等基础知识．P(X ＝1)＝23(1－p)(1－p)＋13p(1－p)＋13(1－p)p ＝23－13p －13p ＝23－23pP(X ＝2)＝23p(1－p)＋23(1－p)p ＋13p 2＝23p ＋23p －p 2＝43p －p 2P(X ＝3)＝23p 2∵P(X＝0)＝112，∴13(1－p)(1－p)＝112，∴(1－p)(1－p)＝14，∴2p－p 2＝34，得p ＝12，得：E(X)＝13＋2×512＋3×16＝53，应填53.4．抛掷一枚硬币，正面向上记1分，反面向上记2分，若一共抛出硬币4次，且每一次抛掷的结果相互之间没有影响，则总得分X 的期望EX ＝________.[答案] 6[解析] 抛掷4次可能出现的结果是四反、一正三反、二正二反、三正一反、四正 ，其中对应的分数分别为8、7、6、5、4所以X 的取值为4、5、6、7、8.设对应的概率的值分别为P 1、P 2、P 3、P 4、P 5，则P 1＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116，P 2＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫123·12＝14，P 3＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝38，P 4＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14，P 5＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116，EX ＝4×116＋5×14＋6×38＋7×14＋8×116＝6.三、解答题5．(2010·某某理)设S 是不等式x 2－x －6≤0的解集，整数m ，n∈S.(1)记“使得m ＋n ＝0成立的有序数组(m ，n)”为事件A ，试列举A 包含的基本事件； (2)设X ＝m 2，求X 的分布列及其数学期望EX.[分析] 解题思路是先解一元二次不等式，再在此条件下求出所有的整数解．解的组数即为基本事件个数，按照古典概型求概率分布列，注意随机变量的转换．[解析] (1)由x 2－x －6≤0得－2≤x≤3，即 S ＝{x|－2≤x≤3}．由于m ，n∈Z，m ，n∈S 且m ＋n ＝0，所以A 包含的基本事件为： (－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，所以X ＝m 2的所有不同取值为0,1,4,9. 且有P(X ＝0)＝16，P(X ＝1)＝26＝13，P(X ＝4)＝26＝13，P(X ＝9)＝16.故X 的分布列为：所以EX＝0×16＋1×13＋4×13＋9×16＝196.6．在1,2,3，…，9这9个自然数中，任取3个数．(1)求这3个数中恰有1个数是偶数的概率；(2)记X为这3个数中两数相邻的组数(例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时X的值是2)．求随机变量X的分布列及其数学期望EX.[解析]本小题主要考查排列组合、随机事件的概率和随机变量分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括能力．(1)记“这3个数中恰有一个是偶数”为事件A，则P(A)＝C14C25C39＝1021.(2)随机变量X的取值为0,1,2，X的分布列是所以X的数学期望EX＝0×512＋1×12＋2×112＝23.7．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，每个路口遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2min.(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间X的分布列及期望．[解析]考查相互独立事件的概率乘法及二项分布．(1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A.因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为P(A)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×13＝427.(2)由题意可得，X 可能取的值为0,2,4,6,8(单位：min)．事件“X＝2k”等价于事件“该学生在上学路上遇到k 次红灯”(k＝0,1,2,3,4)，所以P(X ＝2k)＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－k(k ＝0,1,2,3,4)．即X 的分布列是所以X 的期望是EX ＝0×1681＋2×3281＋4×827＋6×881＋8×181＝83.。
高考数学总复习 第十章10.3 离散型随机变量及其分布列 理 北师大版(含详解)
2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第十章10.3 离散型随机变量及其分布列练习一、选择题1．设随机变量XF (x )＝P (X ≤x )，则当x )． A ．13 B ．16 C ．12 D ．562．在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示10个村庄中交通不太方便的村庄数，下列概率中等于46781015C CC 的是( )．A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2) C ．P (X ＝4) D ．P (X ≤4)3．羊村村长慢羊羊决定从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊去割草，则喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为( )．A ．310B ．67C ．35D ．454．一个盒子内部有如图所示的六个小格子，现有橘子，苹果和香蕉各两个，将这六个水果随机地放入这六个格子里，每个格子放一个，放好之后每行、每列的水果种类各不相同的概率是( )．A ．215B ．29C ．15D ．135．若P (ξ≤n )＝1－a ，P (ξ≥m )＝1－b ，其中m ＜n ，则P (m ≤ξ≤n )等于( )． A ．(1－a )(1－b ) B ．1－a (1－b ) C ．1－(a ＋b ) D ．1－b (1－a )6．某农科院在3×3的9块试验田中选出6块种植某品种水稻，则每行每列都有两块试验田种植水稻的概率为( )．A ．156B ．17C ．114D ．314 二、填空题7．下课以后，教室里最后还剩下2位男同学，2位女同学．如果没有2位同学一块儿走，则第2位走的是男同学的概率是__________．8．对于下列分布列有P (|ξ__________.9．某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表，则调查小组的总人数为__________；若从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告，则其中恰好有1三、解答题10．在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列．11．某中学动员学生在2011年春节期间至少参加一次社会公益活动(下面简称为“活动”)．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．(1)求合唱团学生参加活动的人均次数；(2)从合唱团中任选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率；(3)从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列．参考答案一、选择题1．D 解析：∵a ＋13＋16＝1，∴a ＝12.∵x ∈[1,2)，∴F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56.2．C 解析：X 服从超几何分布P (X ＝k )＝10781015C C C k k -.故k ＝4. 3．C 解析：从5只羊中选两只羊，有25C ＝10种选法，喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的结果有1123C C ⋅＝6种选法，喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为112325C C C ⋅＝610＝35. 4．A 解析：6个水果放入6个格子共有66A 种不同的放法，其中若每行和每列水果各不相同的放法可考虑先第一列中放入橘子，香蕉，苹果各一个，再放第二列，则第二列的第一个只有2种放法，第二个与第三个只有一种放法，即各不相同的放法共有3332A 2⨯种，故其概率为333662A 2A ⨯＝215. 5．C 解析：由分布列的性质得P (m ≤ξ≤n )＝P (ξ≥m )＋P (ξ≤n )－1＝(1－a )＋(1－b )－1＝1－(a ＋b )，故选C.6．C 解析：所求概率为P ＝213269C C C ＝396C ＝114. 二、填空题7．12 解析：第2位走的是男同学的概率为P ＝132344C A A＝12. 8．25 解析：P (|ξ|＝2)＝P (ξ＝2)＋P (ξ＝－2)＝a ＋c ＝1－35＝25. 9．9 35 解析：由自由职业者64人抽取4人可得，每一个个体被抽入样的概率为464＝116，则公务员应当抽取32×116＝2人，教师应当抽取48×116＝3人，由此可得调查小组共有2＋3＋4＝9人．从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告，则其中恰好有1人来自公务员的概率为P ＝112325C C C ⋅＝35. 三、解答题10．解：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数．(1)设A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P (A )＝1－P (A )＝2326C 1C -＝1－15＝45.(2)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4，且P (ξ＝0)＝265C ＝13，P (ξ＝1)＝264C ＝415，P (ξ＝2)＝263C ＝15，P (ξ＝3)＝262C ＝215，P (ξ＝4)＝261C ＝115. 从而知ξ11．解：次的学生数分别为10,50,40.(1)该合唱团学生参加活动的人均次数为x ＝1×10＋2×50＋3×40100＝2.3.(2)从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率P0＝2221050402100C C +C C ＝4199. (3)随机变量ξ的取值为。
【高考总复习】2013年高中数学理科教案第十章10.5离散型随机变量的均值与方差、正态分布(北师大)江西专用
2013年高考总复习数学 （北师大） 江西专用理第十章10.5离散型随机变量的均值与方差、正态分布考纲要求1．理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．2．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 知识梳理1．离散型随机变量的均值与方差(1)均值：称EX ＝________为随机变量X 的均值或______，它反映了离散型随机变量取值的______． (2)方差：称DX ＝______为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值EX 的______，其算术平方根DX 为随机变量X 的______．2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝______；(2)D (aX ＋b )＝______(a ，b 为实数)． 3．两点分布和二项分布的均值和方差若随机变量X 服从参数为p 的两点分布，则EX ＝____，DX ＝____.若随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，即X ～B (n ，p )，则EX ＝____，DX ＝______. 若随机变量 X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布，则EX ＝______，DX ＝______. 4．正态分布 (1)正态曲线：如果连续型随机变量X 的概率密度函数为φμ，σ(x )＝12πσ22()2e x μσ--，x ∈(－∞，＋∞)，其中μ，σ为参数，则称φμ，σ(x )的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态分布：一般地，如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝ba⎰φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布，用X ～N (μ，σ2)表示．(3)正态分布的性质：①曲线位于____轴的上方，与x 轴不相交；②曲线是单峰的，关于______对称；③曲线在X ＝μ时达到峰值______；④当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越______；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越______；⑤曲线与x 轴之间的面积为____．基础自测1．已知随机变量ξ服从正态分布N (3，σ2)，则P (ξ＜3)＝( )．A ．15B ．14C ．13D ．122．某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布．已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占10%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为( )．A ．10%B ．20%C ．30%D ．40% 3．随机变量X其中a ，b ，c 成等差数列，若EX ＝13，则DX 的值是__________．4．某运动员投篮命中率p ＝0.6.(1)求一次投篮时命中次数ξ的均值；(2)求重复5次投篮时，命中次数η的均值． 思维拓展1．离散型随机变量的均值与分布列有什么区别？提示：虽然离散型随机变量的分布列和均值都是从整体上刻画随机变量的，但二者有所不同．分布列只给了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平．2．样本的方差与随机变量的方差有何不同？提示：样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此它是一个随机变量；而随机变量的方差是通过大量试验得出的，刻画了随机变量X 与其均值EX 的平均偏离程度，因此它是一个常量而非变量．3．方差、标准差的单位与随机变量的单位有什么关系？提示：方差的单位是随机变量单位的平方；标准差与随机变量本身有相同的单位． 4．参数μ，σ在正态分布中的实际意义是什么？提示：参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．一、离散型随机变量的均值【例1－1】(1)求EX ；(2)若【例1－2】在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X 的分布列和数学期望．方法提炼1．求数学期望(均值)的关键是求出其分布列．若已知离散型分布列，可直接套用公式EX ＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 求其均值．随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，只要找准随机变量及相应的概率即可计算．2．若X 是随机变量，且Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 为常数，则Y 也是随机变量且EY ＝aEX ＋b .请做[针对训练]2二、离散型随机变量的方差【例2－1】袋中有20个大小相同的球，其中标号为0号的有10个，标号为n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．(1)求X 的分布列、期望和方差；(2)若η＝aX ＋b ，Eη＝1，Dη＝11，试求a ，b 的值．【例2－2】有甲、乙两种品牌的手表，它们日走时误差分别为X ，Y (单位：s)，其分布列如下：方法提炼均值仅体现了随机变量取值的平均水平．如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围的变化，方差大，说明随机变量取值较分散；方差小，说明取值较集中．请做[针对训练]3三、二项分布的均值与方差【例3－1】某人投弹命中目标的概率p ＝0.8. (1)求投弹一次，命中次数X 的均值和方差；(2)求重复10次投弹时命中次数Y 的均值和方差．【例3－2】为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望Eξ＝3，标准差Dξ为62.(1)求n ，p 的值并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．方法提炼1．若X 服从两点分布，则EX ＝p ，DX ＝p (1－p )； 2．若X ～B (n ，p )，则EX ＝np ，DX ＝np (1－p )．请做[针对训练]4四、正态分布及其应用【例4－1】已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ≤0)＝( )． A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84 【例4－2】已知三个正态分布密度函数φi (x )()222i i x μσ--(x ∈R ，i ＝1,2,3)的图像如图所示，则( )．A ．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3B ．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3C ．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3D ．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3方法提炼1．若连续型随机变量ξ服从正态分布，即ξ～N (μ，σ2)，则Eξ＝μ，Dξ＝σ2，这儿μ，σ的意义是期望和标准差．μ在正态分布曲线中确定曲线的位置，而σ确定曲线的形状．如果给出两条正态分布曲线，我们可以根据正态分布曲线的位置和形状判别相应的μ和σ的大小关系．2．正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相等．正态曲线与x 轴之间面积为1.请做[针对训练]1情分析离散型随机变量的分布列、期望与方差是高考数学中的热点、重点内容之一，题型以解答题为主，有时也以选择题或填空题的形式出现，难度适中．确定离散型随机变量的取值，找准其适用的概率模型，求出随机变量的分布列是正确求得其期望与方差的关键．对正态分布曲线的性质考查最多的是其对称性，即正态分布曲线关于x ＝μ对称，也可以推广到P (ξ＜μ－μ0)＝P (ξ＞μ＋μ0)．针对训练1．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1＞0)和N (μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图像如图所示，则有( )．A ．μ1＜μ2，σ1＜σ2B ．μ1＜μ2，σ1＞σ2C ．μ1＞μ2，σ1＜σ2D ．μ1＞μ2，σ1＞σ22．(2011上海高考，理9)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请小牛同学计算ξ但能肯定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ＝______.3．袋中有同样的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求：(1)随机变量ξ的概率分布；(2)随机变量ξ的数学期望与方差．4．在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每一道题的概率均为12.(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ，求ξ的概率分布列及数学期望．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．(1)x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 数学期望 平均水平 (2)21()nii i x EX p =-∑ 平均偏离程度 标准差2．(1)aEX ＋b (2)a 2DX3．p p (1－p ) np np (1－p ) n M N nM N ⎝⎛⎭⎫1－M N ·N －nN －1 4．(3)x x ＝μ 1σ2π集中 分散 1基础自测1．D 解析：ξ服从正态分布N (3，σ2)，曲线关于x ＝3对称，P (ξ＜3)＝12.2．D 解析：由题意可知，120分以上的人数也占10%，故90分至120分之间的考生人数所占百分比约为1－20%2＝40%.3．59解析：∵a ，b ，c 成等差数列， ∴2b ＝a ＋c ，又∵a ＋b ＋c ＝1，EX ＝－1×a ＋1×c ＝c －a ＝13.所以a ＝16，b ＝13， c ＝12，∴DX ＝2113⎛⎫-- ⎪⎝⎭×16＋213⎛⎫ ⎪⎝⎭×13＋223⎛⎫ ⎪⎝⎭×12＝59.4．解：(1)则Eξ＝p ＝0.6. (2)由题意，重复5次投篮，命中的次数η服从二项分布，即η～B (5,0.6)．则Eη＝np ＝5×0.6＝3.考点探究突破【例1－1】解：(1)由离散型随机变量分布列的性质，得14＋13＋15＋m ＋120＝1，解得m ＝16，∴EX ＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.(2)方法一：由公式E (aX ＋b )＝aEX ＋b ，得EY ＝E (2X －3)＝2EX －3＝2×⎝⎛⎭⎫－1730－3＝－6215. 方法二：由于Y ＝∴EY ＝(－7)×14＋(－5)×13＋(－3)×15＋(－1)×16＋1×120＝－6215.【例1－2】解：从10件产品中任取3件共有C 310种结果．从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的结果数为337C C k k-，其中k ＝0,1,2,3.∴P (X ＝k )＝337310C C C k k-，k ＝0,1,2,3. ∴随机变量X 的分布列是∴EX ＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.【例2－1】解：(1)∴EX ＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5，DX ＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由Dη＝a 2DX ，得a 2×2.75＝11，即a ＝±2.又Eη＝aEX ＋b ， 当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4 【例2－2】解：EX ＝－1×0.1＋0×0.8＋1×0.1＝0(s)， EY ＝－2×0.1－1×0.2＋0×0.4＋1×0.2＋2×0.1＝0(s)， 则EX ＝EY ，所以由期望值难以判断质量的好坏．又因为DX ＝(－1－0)2×0.1＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.1＝0.2(s 2)，DY ＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2(s 2)．所以DX ＜DY ，可见乙的波动性大，甲的稳定性好，故甲的质量高于乙． 【例3－1】解：(1)随机变量X 因为X 服从两点分布，故EX ＝0.8×0.2＝0.16. (2)由题意知，命中次数Y 服从二项分布，即Y ～B (10,0.8)， 所以EY ＝np ＝10×0.8＝8，DY ＝10×0.8×0.2＝1.6.【例3－2】解：(1)由E (ξ)＝np ＝3，D (ξ)＝np (1－p )＝32，得1－p ＝12，从而n ＝6，p ＝12.ξ(2)P (A )＝1＋6＋15＋2064＝2132，或P (A )＝1－P (ξ＞3)＝1－15＋6＋164＝2132.【例4－1】A 解析：由正态分布的特征得P (ξ≤0)＝1－P (ξ≤4)＝1－0.84＝0.16.【例4－2】D 解析：μ是曲线的对称轴．σ越小，曲线越瘦高；σ越大，曲线越矮胖． 演练巩固提升1．A 解析：正态分布曲线关于直线x ＝μ对称，它是在x ＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线越“矮胖”；反过来，σ越小，曲线越“瘦高”．2．2 解析：设P (ξ＝1)＝P (ξ＝3)＝a ，P (ξ＝2)＝b ，则2a ＋b ＝1. 于是，E (ξ)＝a ＋2b ＋3a ＝2(2a ＋b )＝2. 3．解：(1)随机变量ξ可取的值为2,3,4，P (ξ＝2)＝1112321154C C C C C ＝35；P (ξ＝3)＝21212332111543A C +A C C C C ＝310； P (ξ＝4)＝313211115432A C C C C C ＝110，所以随机变量ξ(2)随机变量ξ的数学期望Eξ＝2×35＋3×310＋4×110＝52；随机变量ξ的方差Dξ＝(2－2.5)2×35＋(3－2.5)2×310＋(4－2.5)2×110＝920.4．解：(1)设事件A 表示“甲选做第21题”，事件B 表示“乙选做第21题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB ＋A B ”，且事件A 、B 相互独立．∴P (AB ＋A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝12×12＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－12＝12. (2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，12. ∴P (ξ＝k )＝4-444111C 1=C 222kkk k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(k ＝0,1,2,3,4)．∴变量ξ的分布列为Eξ＝0×116＋1×14＋2×38＋3×14＋4×116＝2⎝⎭或Eξ＝np ＝4×12＝2.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第十章10.3 离
散型随机变量及其分布列练习
一、选择题
1．设随机变量X
F (x )＝P (X ≤x )，则当x
A ．13
B ．16
C ．12
D ．56
2．在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示10个村庄中交通不太方便的村庄数，下列概率中等于
4
6
781015
C C C 的是( )．
A ．P (X ＝2)
B ．P (X ≤2)
C ．P (X ＝4)
D ．P (X ≤4)
3．羊村村长慢羊羊决定从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊去割草，则喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为( )．
A ．310
B ．67
C ．35
D ．45
4．一个盒子内部有如图所示的六个小格子，现有橘子，苹果和香蕉各两个，将这六个水果随机地放入这六个格子里，每个格子放一个，放好之后每行、每列的水果种类各不相同的概率是( )．
A ．215
B ．29
C ．15
D ．13
5．若P (ξ≤n )＝1－a ，P (ξ≥m )＝1－b ，其中m ＜n ，则P (m ≤ξ≤n )等于( )． A ．(1－a )(1－b ) B ．1－a (1－b ) C ．1－(a ＋b ) D ．1－b (1－a ) 6．某农科院在3×3的9块试验田中选出6块种植某品种水稻，则每行每列都有两块试验田种植水稻的概率为( )．
A ．156
B ．17
C ．114
D ．314
二、填空题惠生活 观影园 爱尚家居 嘟嘟园 迅播影院 请支持我们，会有更多资源给大家 7．下课以后，教室里最后还剩下2位男同学，2位女同学．如果没有2位同学一块儿走，则第2位走的是男同学的概率是__________．
8．对于下列分布列有P (|ξ|
__________.
9．某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表，则调查小组的总人数为__________；若从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告，则其中恰好有1
三、解答题
10．在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：
(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列．
11．某中学动员学生在2011年春节期间至少参加一次社会公益活动(下面简称为“活动”)．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．
(1)求合唱团学生参加活动的人均次数；
(2)从合唱团中任选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率；
(3)从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列．
参考答案
一、选择题
1．D 解析：∵a ＋13＋1
6
＝1，
∴a ＝1
2
.∵x ∈[1,2)，
∴F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝5
6
.
2．C 解析：X 服从超几何分布 P (X ＝k )＝
1078
10
15
C C C k
k
-.故k ＝4.
3．C 解析：从5只羊中选两只羊，有2
5C ＝10种选法，喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的结果有11
23C C ⋅＝6种选法，喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为11
23
2
5
C C C ⋅＝610
＝35
. 4．A 解析：6个水果放入6个格子共有6
6A 种不同的放法，其中若每行和每列水果各不相同的放法可考虑先第一列中放入橘子，香蕉，苹果各一个，再放第二列，则第二列的第一个只有2种放法，第二个与第三个只有一种放法，即各不相同的放法共有3
3
32A 2⨯种，故其概率为
3
3
366
2A 2A ⨯＝215
. 5．C 解析：由分布列的性质得P (m ≤ξ≤n )＝P (ξ≥m )＋P (ξ≤n )－1＝(1－a )＋(1－b )－1＝1－(a ＋b )，故选C.
6．C 解析：所求概率为P ＝21
326
9
C C C ＝
3
9
6C ＝
1
14
. 二、填空题
7．12 解析：第2位走的是男同学的概率为P ＝1
3
2344C A A
＝1
2. 8．25 解析：P (|ξ|＝2)＝P (ξ＝2)＋P (ξ＝－2)＝a ＋c ＝1－35＝25. 9．9 35 解析：由自由职业者64人抽取4人可得，每一个个体被抽入样的概率为464＝116
，
则公务员应当抽取32×116＝2人，教师应当抽取48×1
16
＝3人，由此可得调查小组共有2＋3＋4
＝9人．从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告，则其中恰好有1人来自公务员的概率为P ＝
1
1
23
25
C C C ⋅＝35
. 三、解答题
10．解：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数．
(1)设A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P (A )＝1－P (A )＝2
3
26
C 1C -
＝1－15＝45. (2)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4，且
P (ξ＝0)＝26
5C ＝13，P (ξ＝1)＝26
4C ＝415，P (ξ＝2)＝26
3C ＝15，P (ξ＝3)＝26
2C
＝2
15，P (ξ＝4)
＝
26
1
C ＝115. 从而知ξ
11．解：次的学生数分别10,50,40.
(1)该合唱团学生参加活动的人均次数为x ＝1×10＋2×50＋3×40
100＝2.3.
(2)从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率P 0＝2
2
2
105040
2
100
C C +C C ＝
4199
. (3)随机变量ξ的取值为。