线性代数模拟试题一

线性代数综模拟试题（一）一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中1．已知11111321--x 是关于x 的一次多项式，该式中x 的系数为____________． 2．已知矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k 111111111111A ，且A 的秩()3=A r ，则=k ___________． 3．已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=+a y x y x y x 25320 有解，则=a ___________．4．设A 是n 阶矩阵，0≠A ，*A 是A 的伴随矩阵．若A 有特征值λ，则()1*2-A 必有一个特征值是_________________． 5．若二次型()322123222132122,,x ax x x x x x x x x f ++++=是正定二次型，则a 的取值范围是______________．二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ， ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000010101P ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1010100012P ，则必有【 】．()A . B P AP =21 ； ()B . B P AP =12 ； ()C . B A P P =21 ； ()D . B A P P =12． 2．设A 是4阶矩阵，且A 的行列式0=A ，则A 中【 】． ()A . 必有一列元素全为0； ()B . 必有两列元素成比例；()C . 必有一列向量是其余列向量的线性组合； ()D . 任意列向量是其余列向量的线性组合．3．设A 是65⨯矩阵，而且A 的行向量线性无关，则【 】． ()A . A 的列向量线性无关；()B . 线性方程组B AX =的增广矩阵A 的行向量线性无关；()C . 线性方程组B AX =的增广矩阵A 的任意四个列向量线性无关； ()D . 线性方程组B AX =有唯一解．4．设矩阵A 是三阶方阵，0λ是A 的二重特征值，则下面各向量组中： ⑴ ()T 2,3,1-，()T 3,1,4-，()T0,0,0；⑵ ()T1,1,1，()T 0,1,1，()T1,0,0；⑶ ()T 2,1,1-，()T 4,2,2-，()T6,3,3-； ⑷ ()T 0,0,1，()T 0,1,0，()T1,0,0；肯定不属于0λ的特征向量共有【 】．()A . 1组； ()B . 2组； ()C . 3组； ()D . 4组．5．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵，则下列矩阵中，可用正交变换化为对角矩阵的矩阵为【 】．()A . BAB ； ()B . ABA ； ()C . ()2AB ； ()D . 2AB ．三．（本题满分10分）设n 阶矩阵A 和B 满足条件：AB B A =+． ⑴ 证明：E A -是可逆矩阵，其中E 是n 阶单位． ⑵ 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200012031B ，求矩阵A ．四．（本题满分10分）当a 、b 为何值时，线性方程组()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++12323122043214324324321ax x x x b x x a x x x x x x x x 有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解．五．（本题满分10分）设4阶矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4444333322221111A ，求100A ．六．（本题满分10分） 已知()1,1,1,11--=α，()3,0,2,12=α，求3α，4α，使得1α，2α，3α，4α线性无关．七．（本题满分10分）设A 是n 阶矩阵，如果存在正整数k ，使得O A =k（O 为n 阶零矩阵），则称A 是n 阶幂零矩阵． ⑴. 如果A 是n 阶幂零矩阵，则矩阵A 的特征值全为0．⑵. 如果O A ≠是n 阶幂零矩阵，则矩阵A 不与对角矩阵相似．八．（本题满分10分）若二次型323121232221222x x x x x x x x x f βα+++++=经正交变换后可变为标准形23222y y +，求α，β．并求出该正交变换． 九．（本题满分10分）设有5个向量()5,2,1,31=α，()2,1,1,12=α，()3,1,0,23=α()1,0,1,14-=α，()7,3,2,45=α．求此向量组中的一个极大线性无关组，并用它表示其余的向量．线性代数模拟试题（一）答案一．填空题1． 应填：1． 2． 应填：3-． 3． 应填：1- 4． 应填：A2λ． 5． 应填：22<<-a ．二、选择题1． 应选：()C ． 2． 应选：()C ． 3． 应选：()B ． 4． 应选：()B ． 5． 应选：()A ． 三．（本题满分10分）设n 阶矩阵A 和B 满足条件：AB B A =+．⑴ 证明：E A -是可逆矩阵，其中E 是n 阶单位．⑵ 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200012031B ，求矩阵A ．解：⑴ 由等式AB B A =+，得E E AB B A =+-+，即()()E E B E A =--因此矩阵E A -可逆，而且()E B E A -=--1．⑵ 由⑴知，()1--=-E B E A ，即()E E B A +-=-1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-100010001100003102101000100011000020301⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20001310211 四．（本题满分10分）当a 、b 为何值时，线性方程组 ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++12323122043214324324321ax x x x b x x a x x x x x x x x 有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解．解：将方程组的增广矩阵A 用初等行变换化为阶梯矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=01000101001221001111112323101221001111a b a a b a A 所以，⑴ 当1≠a 时，()()4==A A r r ，此时线性方程组有唯一解． ⑵ 当1=a ，1-≠b 时，()2=A r ，()3=A r ，此时线性方程组无解． ⑶ 当1=a ，1-=b 时，()()2==A A r r ，此时线性方程组有无穷多组解．此时，原线性方程组化为⎩⎨⎧=++=+++022********x x x x x x x 因此，原线性方程组的通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+--=-+=44334324311221x x x x x x x x x x或者写为 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡001110210121213321k k x x x x五．（本题满分10分）设4阶矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4444333322221111A ，求100A ． 解： 由于()111143214444333322221111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=A ， 所以，()()()AA 个100100111143211111432111114321⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= ()()()()1111432111114321111143211111432199⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 组由于()1043211111=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡，所以 ()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=44443333222211111011114321109999100A六．（本题满分10分） 已知()1,1,1,11--=α，()3,0,2,12=α，求3α，4α，使得1α，2α，3α，4α线性无关．解： 由于()1,1,1,11--=α与()3,0,2,12=α的对应分量不成比例，所以1α与2α线性无关．满足1α，2α，3α，4α线性无关的向量3α与4α有很多，例如我们可以取()0,1,0,03=α，()1,0,0,04=α由于011000010030211111≠=--，所以1α，2α，3α，4α线性无关．七．（本题满分10分）设A 是n 阶矩阵，如果存在正整数k ，使得O A =k（O 为n 阶零矩阵），则称A 是n 阶幂零矩阵． ⑴. 如果A 是n 阶幂零矩阵，则矩阵A 的特征值全为0．⑵. 如果O A ≠是n 阶幂零矩阵，则矩阵A 不与对角矩阵相似．解：⑴. 设λ是矩阵A 的特征值，0α≠是矩阵A 的属于λ的特征向量，则有αA αλ=．所以，()ααA A αA αA k k k k λλ====-- 11 ，但是O A =k ，所以0α=k λ，但0α≠，所以0=λ．⑵ 反证法：若矩阵A 与对角矩阵D 相似，则存在可逆矩阵P ，使得DP P A 1-=． 所以，()P D P DP P DP P DP P DP P DPP A k k kk111111------=⋅⋅==组但是，O A =k ，所以O P D P =-k1，所以O D =k，即O D =．因此O DP P A ==-1．这与O A ≠相矛盾，因此矩阵A 不与对角矩阵相似．八．（本题满分10分）若二次型323121232221222x x x x x x x x x f βα+++++=经正交变换后可变为标准形23222y y +，求α，β．并求出该正交变换．解： f 的矩阵及标准形的矩阵分别为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11111βαβαA ， ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=200010000Λ．则有 ΛE A E -=-λλ，即 2000100011111--=---------λλλλβαβλαλ由此得0==βα．而且矩阵A 的三个特征值分别为2,1,0321===λλλ．特征值01=λ对应的特征向量为T⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,211α 特征值12=λ对应的特征向量为()T1,0,02=α特征值23=λ对应的特征向量为T⎪⎭⎫ ⎝⎛=0,21,213α因此令： ()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==0102102121021,,321αααP 因此所作的正交变换为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321012102121021y y y x x x 九．（本题满分10分） 设有5个向量()5,2,1,31=α，()2,1,1,12=α，()3,1,0,23=α()1,0,1,14-=α，()7,3,2,45=α．求此向量组中的一个极大线性无关组，并用它表示其余的向量．解：对由54321ααααα，，，，构成的矩阵，进行行变换()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=363301211024220210117132530112210114121354321ααααα，，，， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→0000000000121101110100000000001211021011 由此可以看出，向量组21,αα，或者31,αα，或者41,αα，或者51,αα都可以作为向量组54321ααααα，，，，的极大线性无关组．不妨取向量组21,αα作为极大线性无关组，则有213ααα-=，2142ααα-=，215ααα+=．。