线性代数第一章习题课

如此继续下去，可得 D n x 1 x 2 x n １a x 1 x 2 x n 2 a x n x 1 x 2 a x 4 x n x n x n 1 x 3 D 2
x1 x 2 x n１a x1 x 2 x n 2 a x n x1 x 2 a x 4 x n x n x n 1 x 3 ( a x 1 a x 2 x 1 x 2 )
1 0 0 1 x a1 0 n D n 1 ( x a i ) 1 a 2 a1 x a 2 i 1 1 a 2 a1 a 3 a 2
n n

0 0
0 x an
( x a i ) ( x a i ).
i 1 i 1
小结 计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可 以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方 法综合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式 在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变 换后，再考察它是否能用常用的几种方法．
2 2 1 1 设四阶行列式 D4 1 2 3 4 5 5 3 3 5 6 4 8 分别求A21 A22 及A23 A24 ,
5
n阶行列式的性质
1)行列式与它的转置行列 式相等, 即D DT . 2)互换行列式的两行(列), 行列式变号. 3)如果行列式有两行(列)完全相同, 则此行列式
等于零. 4)行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同 一数k , 等于用数 k 乘此行列式 .
5)行列式中某一行 (列) 的所有元素的公因子可 以 提到行列式符号的外面 . 6)行列式中如果有两行 (列) 元素成比例, 则此行列 式为零. 7 )若行列式的某一列 (行) 的元素都是两数之和, 则 此行列式等于两个行列 式之和. 8)把行列式的某一列 (行) 的各元素乘以同一数 , 然 后加到另一列 (行) 对应的元素上去 , 行列式的值不变.
关键要求出x的三次方及四次方系数-3及2
２
利用范德蒙行列式计算 利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德 蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列 式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。
例４ 计算
1
1
2

1
n 2 2 2 Dn 3 32 3n .
n
n
2
nn
数的不同方幂, 方幂 D n 中各行元素分别是一个 解 次数自左至右按递升次 序排列，但不是从 0变到 n 1, 而是由1递升至n.若提取各行的公因子， 则方 幂次数便从0增至n 1，于是得到
定理 如果上述线性方程组无 解或有两个不同的
解，则它的系数行列式必为零.
定理
如果齐次线性方程组
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n 0, a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n 0, a n1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n 0. 的系数行列式D 0, 那么它没有非零解 .
n
7
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n b1 , a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 , 如果线性方程组 a n1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n b n . 的系数行列式 D 0, 那么它有唯一解 Dj , j 1,2, , n. xj D 其中 D（ j j 1,2, , n）是把系数行列式 D中第 j列 换成常数项 b1 , b２， b n 所得到的行列式 .
1
0
0 bc ,
d c ad
cd bc ad 按第1行展开，得 ad D４ (a b c d )(a b c d ) bc
(a b c d )(a b c d ) [(a d ) (b c ) ]
2 2
bc ad
1 1 Dn n! 1 1
1 2 3 n
1 2 2 3 n
2 2

1 2 n 1 3 . n
n 1 n 1
上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由 范德蒙行列式知
D n n!
n i j 1

( xi x j)
n! ( 2 1)( 3 1)( n 1) ( 3 2)( 4 2)( n 2)[n ( n 1)] n! ( n 1)! ( n 2)! 2!1!.
a3 an a3 an
解 将第2,3,, n 1列都加到第一列，得
x ai x ai
i 1 n i 1 n i 1 n
n
a1 a 2 a n x a2 an x an x
Dn1 x ai a2
i 1

x ai a2 a3
6 用数学归纳法 7 加边法 例８计算
a1 x1
D
n
a a
1
a x
2
a a
2
2

1

2

a a
n n
a n xn
.
设 x1 x2 xn 0
1 1
1
0
0
1

0
D
n
1 1
a x
a1
a2 a 2 x2 a2
a

n
an
a
1
a
n
xn
评注 本题利用行列式的性质，采用“化零” 的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式． 化零时一般尽量选含有１的行（列）及含零较多 的行（列）；若没有１，则可适当选取便于化零 的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数 化为1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则 应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到 化为三角形行列式之目的．
定理
如果上述齐次线性方程 组有非零解，则
它的系数行列式必为零 .
典
型
例
题
一、计算排列的逆序数
二、计算（证明）行列式
三、克拉默法则
二、计算（证明）行列式
１ 用定义计算（证明）
例1 用行列式定义计算
2x 1 4 x f ( x) 3 2 1 2
x 2 1 1 d 3 f ( x) , ? 3 x 5 dx 3 x
6
行列式按行（列）展开
在n阶行列式中，把元素 a ij 所在的第i行和第
１）余子式与代数余子式
j 列划去后，留下来的 n 1阶行列式叫做元素 a ij 的余子式，记作 M ij ；记 Aij ( 1)
i j
M ij ,
Aij 叫做元素 a ij 的代数余子式 .
２）关于代数余子式的重要性质
a a x n D n 1 , a a
从而 Dn x1 x 2 x n1 a x n Dn1 .
由此递推，得
D n 1 x 1 x 2 x n 2 a x n 1 D n 2 , 于是 D n x 1 x 2 x n １a x 1 x 2 x n 2 a x n x n x n 1 D n 2 .
评注 本题所给行列式各行（列）都是某元 素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙 行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如 提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行 列式化成范德蒙行列式．
３
用化三角形行列式计算 计算
例５
x
a1
a2
a1 x a 2 D n 1 a1 a 2 x a 3 a n . a1 a 2 a 3 a 4 x
提取第一列的公因子，得 1 a1 a 2 a n 1 x a2 an n D n 1 ( x a i ) 1 a 2 x a n . i 1
1
a2 a3
x
将第1列的( a 1)倍加到第2列，将第1列的 ( a２)倍加到第3列， , 将第1列的( a n )倍加到最 后一列，得
４
用降阶法计算 计算
例６
a
b
c d a b
d c . b a
b a D4 c d d c
将 D 4的第2、 3、 4行都加到第 1行，并从第 1行中 提取公因子a b c d，得 解
1
1
1 1
b a d c , D4 ( a b c d ) c d a b d c b a
x1 x 2 x n a( x1 x 2 x n1 x1 x 3 x n x 2 x 3 x n ).
当 x1 x 2 x n 0时，还可改写成
D n x 1 x 2 x n [1 a(
1 x1

1 x2

1 xn
)].
评注 本题是利用行列式的性 质把所给的n阶 行列式 D n 用同样形式的 n 1阶行列式表示出来 , 建立了 D n 与n 1阶行列式 D n 1 之间的递推关系 .有 时，还可以把给定的 n阶行列式 D n 用同样形式的 比 n 1阶更低阶的行列式表示 ，建立比 n 1阶行 列式更低阶行列式之间 的递推关系.
(a b c d )(a b c d ) (a b c d )(a b c d )
评注 本题是利用行列式的性质将所给行列 式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后 按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数 可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接 计算出来为止（一般展开成二阶行列式）．这种 方法对阶数不高的数字行列式比较适用．

a a a x n 1 a a a a x n 1 a
a a a a 0 0 . 0 xn
右端的第一个行列式 , 将第n列的( 1)倍分别 加到第1,2, , n 1列, 右端的第二个行列式按 第n 列展开, 得 x1 0 0 0 x2 0 Dn 0 0 x n 1 0 0 0
中提取公因子a b c d，得
把上面右端行列式第 2行加到第 1行，再从第 1行
D４ (a b c d )( a b c d ) 1 d c cd 1 ac bd 0 bc, ad
再将第2列减去第1列，得 D 4 (a b c d )( a b c d )
5
用递推法计算 计算
例８
a x1 a a a x2 Dn a a a
a a . xn
解 依第n列把 D n 拆成两个行列式之和
a x1 Dn a a a a x1 a a a
a a x2 a a a a x2 a a
克拉默法则
克拉默法则的理论价值
定理 如果线性方程组
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n b1 , a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 , a n1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n b n . 的系数行列式D 0, 那么它一定有解，且解 唯一.
再将第2、 3、 4列都减去第 1列，得
1
0
0
0ห้องสมุดไป่ตู้
b ab d b cb , D4 ( a b c d ) c d c ac bc d cd bd ad
按第1行展开，得
ab d b
cb bc. ad
D4 ( a b c d ) d c a c cd bd
D ,当i j; a ki Aki D ij k 1 0,当i j .
n
或 D ,当i j; a ik A jk D ij k 1 0,当i j . 1,当i j; 其中 ij 0,当i j .