概率论2.1

0, 1 F (x) , 2, 1 x 0 0 x 1, x 1.
四、离散型随机变量的分布函数
离散型随机变量的分布函数F(x)的共同特征是 F(x)是一 个阶梯形的函数 它在X的可能取值点处发生跳跃跳跃高度 等于相应点处的概率 而在两个相邻跳跃点之间分布函数值 保持不变 反过来 如果一个随机变量X的分布函数F(x)是阶梯型函 数 则X一定是一个离散型随机变量 其概率分布可由分布函 数F(x)惟一确定 F(x)的跳跃点全体构成X的所有可能取值 每 一跳跃点处的跳跃高度则是X在相应点处的概率
P{X 2.5} P{X 1 P{X 2} 9 27 4 15 } 19 38 9 19 P{X3}P{X1}P{X2}P{X3}1
P{X4} P{X1}P{X2}P{X3}1
三、分布函数
定义24(分布函数) 设X是一随机变量 则称函数 F(x)P{Xx} x( ) 为随机变量X的分布函数 记作X ~F(x) 分布函数的性质 随机变量的分布函数必然满足下列性质 (1)单调性 若x1 x2 则F(x1)F(x2)
例2.5 等可能地在数轴上的有界区间[a b]上投点 记X为 落点的位置数轴上的坐标 已知当(c d][a b]时 有
P{c X d} d c ba
求随机变量X的分布函数 解 当xa时 F(x)P{Xx}0 综上 可得X的分布函数为 当axb时 F(x)P{Xx}
| x| | x| 0


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A 1 2 A 1 2
补充例2设随机变量X的密度函数为
x 1 f (x) k e , x 0, 0, 其他 , 且已知 P{X 1} 1 则 ______ 2 解 由

得k1


f (x)dx 1 及
五、连续型随机变量及其概率密度
定义25(密度函数) 一个随机变量X称为连续型随机变量 如果存在一个非负 可积函数f(x) 使得
F ( x) P{X x} f (t)dt
x
211
并称f(x)为X的概率密度函数 简称为密度函数
密度函数的性质 密度函数具有下列性质 说明 (1)f(x)0 x( )
(213)
例28 设X是在[a b]上等可能投点的位置 其分布函数为
x a, 0, x a F (x) , a x b, b,a x b, 1 试由分布函数求其密度函数
解 X的密度函数为
x a, 0, 1 f ( x) F '( x) , a x b, 215) b ,a x b. 0 在xa和xb处 F(x)的导数不存在 可补充定义这两点的密度
(2) f (x)dx 1

反过来 可以证明 一个函数满 足上述两个性质 一定可以作为某 一连续型随机变量的密度函数
五、连续型随机变量及其概率密度
定义25(密度函数) 一个随机变量X称为连续型随机变量 如果存在一个非负 可积函数f(x) 使得
F ( x) P{X x} f (t)dt
一、随机变量的概念
定义21(随机变量) 定义在概率空间( P)上 取值为实数的函数XX() ()称为( P)上的一个随机变量
随机变量举例 在投掷一枚硬币进行打赌时 出现正面时投掷者赢一元 钱 出现反面时输一元钱 记赢钱数为随机变量X 则X作为样 本空间 {正面 反面}上的函数定义为
19 P{X 2} 6 19 P{x 3} 4 19
五、连续型随机变量及其概率密度
定义25(密度函数) 一个随机变量X称为连续型随机变量 如果存在一个非负 可积函数f(x) 使得
F ( x) P{X x} f (t)dt
x
211
并称f(x)为X的概率密度函数 简称为密度函数



f (x)dx 1 及




f (x)dx

0
x 1 e dx k k
得k1 又由
P{X 1 }
得 1 ln 2
1 x 1 1 e dx e 1 2

补充例3 设随机变量X具 有概率密度
Kx2 0 x 2 f ( x) Kx 2 x 3 其他 0 (1)求常数K (2)求X的分布函数 (3)求概率 P(1 X 5 ) 2 解 (1)
为
f ( x) 1 xa 或 xb ba
(216)
补充例1 如果函数 f(x)Ae|x|(x)是某随机变量 的密度函数 则A______ 解 利用密度函数的性质确定其中的未知参数
由 f (x)dx 1 即


得 答


Ae dx A e dx 2 A e x dx 2 A 1
例23 设X的概率分布为
P{X i} 27 ( 2 )i i1 2 3 38 3
求P{X1} P{X1} P{X2} P{X25} P{X3} P{X4} 解 P{X1} 0
P{X 1} P{X 1} 27 2 9 38 3 19 P{X 2} P{X 1 9 } 19
(29)
说明 (2) F () xlim F ( x) 0 F () xlim F (x) 1 若函数Fx)满足上述三 F ( x) 0 F () lim F (x) 1 x 条性质 则它一定是某个随 (3)右连续性 F(x0)F(x) 机变量X的分布函数
1, 正面, X ( ) 1, 反面.
二、离散型随机变量的概率分布
定义22(离散型随机变量) 设X是定义在概率空间( P)上的一个随机变量 如果X的 全部可能取值只有有限个或可数无穷多个 则称X是一个离散 型随机变量 定义23(概率分布) 设X是离散型随机变量 其全部可能取值为{xi i1 2 } 记 P(xi)P{Xxi}, i1, 2, (21) 则称{p(xi) i1 2 }为X的概率分布 有时也将p(xi)记为pi 用 下列表格形式来表示 并称之为X 的概率分布表
1 p{X i}
3
(2)由于

1 p{X i} a( 2)i i 1 i 1 i 1 3 3 2 2) a 38 i a( i 1 1 3 p{x i} a( 2)i a 3 2a 27 3 i 1 i 1 1 2 27 故有 a 3 38 1 故有 a 2
x
211
并称f(x)为X的概率密度函数 简称为密度函数
事件的概率与密度函数的关系 (1)连续型随机变量X落于区间(a b]上的概率为
P{a X b} F (b) F (a) f (x)dx
a b
(212)
(2)连续型随机变量X落于点x上的概率为 P{Xx}0
F (x) P{X x} P{a X x} x a ba 当xb时
0, x a F (x) , b ,a 1
x a, a x b, x b.
F(x)P{Xx}
F ( x) P{X x} P{a X b} b a 1 ba
§2.1 随机变量及其分布
一、随机变量的概念 二、离散型随机变量的概率分布
三、分布函数 四、离散型随机变量的分布函数 五、连续型随机变量及其概率密度
一、随机变量的概念
定义21(随机变量) 定义在概率空间( P)上 取值为实数的函数XX() ()称为( P)上的一个随机变量
随机变量举例 在掷骰子的实验中 其出现的点数记为随机变量X 则X作 为样本空间 {1 2 3 4 5 6}上的函数定义为 X()
1, 正面, X ( ) 0, 反面.
于是X的概率分布为
则有
1 P{X1}P{出现正面} 2 1 P{X0}P{出现反面} 2
例22 设离散型随机变量X的概率分布为 (1) P{X i} a( 2)i i1 2 3 3 (2) P{X i} a( 2)i i1 2 3 分别求上述各式中的常数a 解 (1)由于
概率分布的性质 任何一个离散型随机变量的概率分布{p(xi)}必然满足下 列性质 1 p(xi)0 i1 2 (22)
(2) p((x))1 (2) p xi i 1
ii
(23) (23)
例 21 投掷一枚均匀硬币 设X为一次投掷中出现正面的 次数 即
例27 设随机变量X的分 解 由 于 F(x) 是 一 个 阶 梯 布函数为 形函数 故知X是一个离散型随 机变量 F(x)的跳跃点分别为1 0, x 1, 9 , 1 x 2, 2 3 对应的跳跃高度分别为 F ( x) 19 9 6 4 15 , 2 x 3, 19 19 19 19 x 3, 1, 故X的概率分布为 求X的概率分布 P{X 1} 9
四、离散型随机变量的分布函数
例 26 投掷一枚均匀硬 当0x1时 币 设X为一次投掷中出现正 F(x)P{Xx} 面的次数 即 P{X 0} 1 2 1, 正面, X ( ) 当x1时 0, 反面, F(x)P{Xx} 求其分布函数 P{X0}P{X1}1 解 X只有两个可能取值 其概率分布为
三、分布函数
定义24(分布函数) 设X是一随机变量 则称函数 F(x)P{Xx} x( ) 为随机变量X的分布函数 记作X ~F(x) 分布函数的性质 随机变量的分布函数必然满足下列性质 (1)单调性 若x1 x2 则F(x1)F(x2)
(29)
说明 (2) F () xlim F ( x) 0 F () xlim F (x) 1 因此 通常将满足上述 F ( x) 0 F () lim F (x) 1 x 三条性质的函数都称为分布 (3)右连续性 F(x0)F(x) 函数
P{X 0} P{X 1 1 } 2 于是 当x0 时 F(x)P{Xx}0
综上 X的分布函数为
0, F (x) 1 , 2, 1 x 0
0 x 1, x 1.
四、离散型随机变量的分布函数
例 26 投掷一枚均匀硬 币 设X为一次投掷中出现正 面的次数 即 1, 正面, X ( ) 0, 反面, 求其分布函数 解 X只有两个可能取值 其概率分布为



f (x)dx

0
x 1 e dx k k

提示 本题中密度函数含有两个未知参数 不仅需利用密度函数 的性质 还要利用题中所给的其他进一步的条件
补充例2 设随机变量X的密度函数为
x 1 f (x) k e , x 0, 0, 其他 , 且已知 P{X 1} 1 则 ______ 2 解 由