概率论与数理统计答案

习题答案

第1章

三、解答题

1．设P (AB ) = 0，则下列说法哪些是正确的 (1) A 和B 不相容； (2) A 和B 相容； (3) AB 是不可能事件； (4) AB 不一定是不可能事件； (5) P (A ) = 0或P (B ) = 0 (6) P (A – B ) = P (A ) 解：(4) (6)正确.

2．设A ，B 是两事件，且P (A ) = ，P (B ) = ，问： (1) 在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少 (2) 在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少 解：因为)()()()(B A P B P A P AB P -+≤，

又因为)()(B A P B P ≤即.0)()(≤-B A P B P 所以

(1) 当)()(B A P B P =

时P (AB )取到最大值，最大值是)()(A P AB P ==.

(2) 1)(=B A P 时P (AB )取到最小值，最小值是P (AB )=+=. 3．已知事件A ，B 满足)()(B A P AB P =，记P (A ) = p ，试求P (B )．

解：因为)()(B A P AB P =，

即)()()(1)(1)()

(AB P B P A P B A P B A P AB P +--=-== ，

所以 .1)(1)(p A P B P -=-=

4．已知P (A ) = ，P (A – B ) = ，试求)(AB P ．

解：因为P (A – B ) = ，所以P (A )– P(AB ) = , P(AB ) = P (A )– , 又因为P (A ) = ，所以P(AB ) =– =，6.0)(1)(=-=AB P AB P .

5． 从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少 解：显然总取法有410C n

=种，以下求至少有两只配成一双的取法k ：

法一：分两种情况考虑：1

5

C k

=24C 212)(C +25C

其中：2

122415)(C C C 为恰有1双配对的方法数

法二：分两种情况考虑：!

2161815

C C C k ⋅⋅=+2

5C

其中：!

216

1815

C C C ⋅⋅

为恰有1双配对的方法数

法三：分两种情况考虑：)(142815C C C k

-=+25C

其中：)(142

8

1

5C C C -为恰有1双配对的方法数

法四：先满足有1双配对再除去重复部分：2

815C C k

=-25C

法五：考虑对立事件：410C k

=-45C 412)(C

其中：4

5

C 4

12)(C 为没有一双配对的方法数

法六：考虑对立事件：!

41

4

1618110410

C C C C C k ⋅⋅⋅-

=

其中：

!414

1618110C C C C ⋅⋅⋅为没有一双配对的方法数

所求概率为.21

13

410=

=C k p

6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码．求： (1) 求最小号码为5的概率； (2) 求最大号码为5的概率．

解：(1) 法一：12131025==C C p ，法二：121

3

102513==A A C p (2) 法二：20

13102

4==C C p ，法二：201

3

102413==A A C p 7．将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率． 解：设M 1, M 2, M 3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则

834

)(33

41==A M P , 1694)(324232=⨯=A C M P , 161

4)(3143

==C M P

8．设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少

解：设M 2, M 1, M 0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则

3.0)(25232==C C M P ,6.0)(2512131==C C C M P ,1.0)(25

2

2

1==C C M P

9．口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．

解：设M 1=“取到两个球颜色相同”，M 1=“取到两个球均为白球”，M 2=“取到两个球均为黑球”，则

φ==2121M M M M M 且.

所以.28

13

C C C C )()()()(282328252121=+=+==M P M P M M P M P

10． 若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率．

解：这是一个几何概型问题．以x 和y 表示任取两个数，在平面上建立xOy 直角坐标系，如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间? = {(x ，y )：0 ? x ，y ? 1} 事件A =“两数之和小于6/5”= {(x ，y ) ? ? ： x + y ? 6/5} 因此

25

17154211)(2

=

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛⨯-=Ω=的面积的面积A A P ． 图

11．随机地向半圆220x ax y -<<

（a 为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原

点和该点的连线与x 轴的夹角小于

4

π

的概率． 解：这是一个几何概型问题．以x 和y 表示随机地向半圆内掷一点的坐标，?表示原点和该点的连线与x 轴的夹角，在平面上建立xOy 直角坐标系，如图.

随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间

?={(x ，y )：220,20x ax y a x -<<<<

}

事件A =“原点和该点的连线与x 轴的夹角小于

4

π” ={(x ，y )：4

0,20,202π

θ<

<-<<<<

x ax y a x }

因此

2112

14121)(222+=+=Ω=πππa a

a A A P 的面积的面积．

12．已知2

1

)(,31)(,41)

(===B A P A B P A P ，求)(B A P ． 解：,12

13141)()()(=

⨯==A B P A P AB P ,61

21121)|()()(=÷==B A P AB P B P 13．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少

解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品