2012年全国高考理科数学试题及答案-天津卷

2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（理工类）

本试卷分为第I 卷（选择题〉和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分,考试用时120分钟

第I 卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）i 是虚数单位，复数

73i i

-+=

（A ）2i + （Ｂ）2i - （Ｃ）2i -+ （Ｄ）2i -- １．B

【命题意图】本试题主要考查了复数的概念以及复数的加、减、乘、除四则运算. 【解析】7=

3i z i

-+=

(7)(3)(3)(3)

i i i i --+-=

21731

10

i i ---=2i -

（２）设R ϕ∈，则“=0ϕ”是“()=cos (+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的 （A ）充分而不必要条件 （Ｂ）必要而不充分条件

（Ｃ）充分必要条件 （Ｄ）既不充分也不必要条件

2．A

【命题意图】本试题主要考查了三角函数的奇偶性的判定以及充分条件与必要条件的判定.

【解析】∵=0ϕ⇒()=cos (+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数，反之不成立，∴“=0ϕ”是“()=cos (+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的充分而不必要条件.

（３）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为

（A ）1- （Ｂ）1 （Ｃ）3 （Ｄ）9 3．C

【命题意图】本试题主要考查了算法框图的读取，并能根据已给的算法程序进行运算.

【解析】根据图给的算法程序可知：第一次=4x ，第二次=1x ，则输出=21+1=3x ⨯. （4）函数3

()=2+2x

f x x -在区间(0,1)内的零点个数是 （A ）0 （Ｂ）1 （Ｃ）2 （Ｄ）3 4．B

【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想，函数的零点的概念，零点存在定理以及作图与用图的数学能力.

【解析】解法1：因为(0)=1+02=1f --，3

(1)=2+22=8f -，即(0)(1)<0f f ⋅且函数()f x 在(0,1)

内连续不断，故()f x 在(0,1)内的零点个数是1.

解法2：设1=2x y ，32=2y x -，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B 正确.

4

2

2

4

6

8

510

（5）在25

1(2)x x

-

的二项展开式中，x 的系数为

（A ）10 （Ｂ）-10 （Ｃ）40 （Ｄ）-40 5．D 【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中的通项公式的运用，并借助于通项公式分析项的系数.

【解析】∵25-1+15=(2)()r r r r T C x x -⋅-=5-10-352(1)r r r r C x -，∴1

03=1r -，即=3r ，∴x 的系数为40-.

（6）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，已知8=5b c ，=2C B ，则cosC= （A ）

725

（Ｂ）725

-

（Ｃ）725

±

（Ｄ）

2425

6．A

【命题意图】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式. 考查学生分析、转化与计算等能力.

【解析】∵8=5b c ，由正弦定理得8sin =5sin B C ，又∵=2C B ，∴8s i n =5s i n 2B B

，所以8s i n =10s i n c o s B B B ，易知sin 0B ≠，∴4cos =5B ，2cos =cos 2=2cos 1C B B -=7

25

.

（7）已知△ABC 为等边三角形，=2A B ，设点P ，Q 满足=AP AB λ ，=(1)AQ AC λ-

，R λ∈，若3

=2

B Q

C P ⋅- ，则=λ

（A ）

12

（Ｂ）

12

2

± （Ｃ）

110

2

±

（Ｄ）

322

2

-±

7．A

【命题意图】本试题以等边三角形为载体，主要考查了向量加减法的几何意义，平面向量基本定理，共线向量定理及其数量积的综合运用.

【解析】∵=B Q A Q A B - =(1)AC AB λ--

，=CP AP AC - =AB AC λ- ，

又∵3=2

B Q

C P ⋅- ，且||=||=2A B A C ，0<,>=60A B A C ，0

=||||cos 60=2AB AC AB AC ⋅⋅ ，∴

3[(1)]()=2A C A B A B A C λλ---- ，222

3||+(1)+(1)||=2A B A B A C A C λλλλ--⋅- ，所以

2

34+2(1)+4(1)=2λλλλ-

-

-，解得1

=2

λ.

C

B

A

P

Q

（8）设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是 （A ）[13,1+3]-

（Ｂ）(,13][1+3,+)-∞-

∞

（Ｃ）[222,2+22]- （Ｄ）(,222][2+22,+)-∞-∞

8．D

【命题意图】本试题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，重要不等式，一元二次不等式的解法，并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力.

【解析】∵直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，∴圆心(1,1)到直线的距离为2

2

|(1)+(1)2|=

=1(1)+(1)

m n d m n ++-++，所以2

1(

)2

m n m n m n +=++≤，设=t m n +，

则2

1+14

t t ≥，解得(,222][2+22,+)t ∈-∞-∞ .

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

（9）某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调査，应从小学中抽取 所学校，中学中抽取 所学校. 9．18，9

【命题意图】本试题主要考查了统计中的分层抽样的概念以及样本获取的方法与计算. 【解析】∵分层抽样也叫按比例抽样，由题知学校总数为250所， 所以应从小学中抽取

15030=18250

⨯，中学中抽取

7530=9250

⨯.

（10）―个几何体的三视图如图所示(单位：m )，则该几何体的体积为 3

m .

10．18+9π

【命题意图】本试题主要考查了简单组合体的三视图的画法与体积的计算以及空间想象能力.

【解析】由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体，

所以其体积为：