第一章机器人运动学(1)解析

点的齐次坐标（补充）
一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间 实体。有一个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作 一个附加于每个矢量的特定坐标—比例系数。
v
ai
bj
ck
式中i, j, k为x, y, z 轴上的单位矢量，
列矩阵 x
a= x
, b= y
规定，一般情况：41列阵[a b c w]T 中 w 为 零，且满足 a2 + b2 + c2 = 1，则[a b c 0]T 中 的 a、 图1.2 坐标轴的方向表示 b、c 表示某轴的方向； w不为零，则[a b c w]T 表 示空间某点的位置。
图示的矢量 u 的方向用可表达为： u = [a b c 0]T
B A
R

A B
R
1

A B
R
T
坐标变换
2）平ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ坐标变换 坐标系{A}和{B}
具有相同的方位,但 原点不重合.则点P在 两个坐标系中的位置 矢量满足下式:
A P B P A PB0
Robotics 数学基础
坐标变换
3）.复合变换 一般情况原点既
不重和,方位也不同. 这时有:
A
P
A B
RB
矩阵描述.
二、齐次坐标表示
将一个 n 维空间的点用 n+1 维坐标表示，则该 n+1 维坐标即为 n 维坐标的齐次坐标。记为：
P = [a b c w]T
w 称为该齐次坐标中的比例因子，当取w=1 时， 其表示方法称为齐次坐标的规格化形式，即：
P = [PX PY PZ 1]T
当 w 不为1时，则相当于将该列阵中各元素同时 乘以一个非零的比例因子w，仍表示同一点P，即： a = wPX；b = wPY；c = wPZ。
R(Z
,
)


sin

cos
0
0
0 1
转动矩阵的特点：
(1) 主对角线上有一个元素为1，其余均为转角的余弦/正弦； (2) 绕轴转动的次序与元素1所在的行、列号对应； (3) 元素1所在的行、列，其它元素均为0； (4) 从元素1所在行起，自上而下，先出现的正弦为负，后出现的 为正，反之依然。
或 V=[6 8 10 2]T 或 V=[-12 -16 -20 -4]T
齐次坐标与三维直角坐标的区别
V点在ΣOXYZ坐标系中表 示是唯一的（x、y、z）
而在齐次坐标中表示可 以是多值的。不同的表 示方法代表的V点在空间 位置上不变。
z
z
V
o x
z y
x
图2-2
几个特定意义的齐次坐标：
[0, 0, 0, n]T—坐标原点矢量的齐次坐标，n为 任意非零比例系数
手部坐标系 Y 轴的单位方向矢量： o = [-1 0 0 0]（分析） 手部坐标系 Z 轴的单位方向矢量： a = [0 0 -1 0] 手部位姿可用矩阵表示为
0 1 0 1
T n
o
a
P


1 0
0 0 1 0 1 1

0
0
0 1
X 轴的单位方向矢量确定
连杆的姿态可由动系的坐标轴方向来
表示。令n、o、a分别为X、Y、Z坐标
轴的单位矢量，各单位方向矢量在静系 上的分量为动系各坐标轴的方向余弦， 以齐次坐标形式分别表示为
n [nX o [oX
nY oY
nZ oZ
0]T 0]T

图 连杆的位姿表示
a [aX
aY
aZ
0]T

1.1 齐次坐标与动系位姿矩阵
空间任意点的坐标表示
在 直 角 坐 标 系 {A} 中 ， 空间任一点P的位置可以用
31的位置矢量AP表示（写
为列矩阵形式） ，其左上
标表示坐标系{A}，有：
AP = [PX PY PZ]T
式中： PX 、PY 、PZ是点P在 坐标系{A}中的三个位置坐
标分量。
z , c=
，w为比例系数
w ww
V

y z

x
y
z
wT
显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随
w
w值的不同而不同。在计算机图学中，w
作为通用比例因子，它可取任意正值，但
在机器人的运动分析中，总是取w=1 。
[例]：
V 3i 4 j 5k
可以表示为： V=[3 4 5 1]T
Y0

Z
0

0 0 0 1
图 1.4连杆的位姿表 示
[例1.2] 图示固连于连杆的坐标系{B}位于OB点，XOB = 2，YOB = 1， ZOB = 0。在 XOY 平面内，坐标系{B}相对固定坐标系{A}有一个30°的 偏转，试写出表示连杆位姿的坐标系{B}的44矩阵表达式。
U ' 1 0 0 U
V
'


0
cos

sin

V

W ' 0 sin cos W
也可简写为
W ' Rot(x,)W
其中
1
Rot(x, ) 0
0
0
cos sin
0

sin


cos
解：XB、 YB 、ZB的方向列阵
n cos 30 cos 60 cos 90 0T 0.866 0.500 0.000 0T
o cos120 cos 30 cos 90 0T 0.500 0.866 0.000 0T
a 0.000 0.000 1.000 0T
0 1
z
W'
w

o O'
u x
U'
z w
W'
o

O'
u
x
U'
vy
v' vy
1 0
0
R(X , ) 0
cos

sin


0 sin cos
cos 0 sin
R(Y
,
)


0
1
0

sin 0 cos
cos sin 0
返回
[例] 目标物齐次矩阵表示（P34）
解：如图a 示，楔块Q位置和姿态可用8 个点描述，写为矩阵表达式为
1 1 1 1 1 1
Q 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2

1
1
111
1
1 1
2 2
1 1
1
1

若让楔块绕Z轴旋转 –90°，用 Rot(Z， –90°)表示，再沿X轴方向平移4，用 Trans(4，0，0) 表示，则楔块成为图b 示的 情况。此时楔块用新的8个点来描述它的 位置和姿态，其矩阵表达式为
连杆的运动是由转动和平移组
成的。为能用同一矩阵表示转动
W'
和平移，引入齐次坐标变换矩阵。

1.2.1 旋转的齐次变换
W矢量在空间直角坐标系中绕坐
标轴X旋转
W ' V sin W cos V ' V cos W sin
U ' U
U'
u
x
z w
O'
o
图2-5
V'
vy
写成矩阵形式
手部的坐标系{B}的确定：
机器人手部的位姿也可以
用固连于手部的坐标系{B}的位姿来表示， .坐标系{B}可以这样来确定：
位置即原点OB：取手部的中心点 方向：
ZB轴（接近矢量a）:
夹持器进入物体的方向;定为关节轴的方向
YB 轴（姿态矢量o）:
两手指的连线方向;指向可任意选定
XB 轴（法线矢量n ）: n = oa，指向符合右手法则。
分析：
X 轴与X轴、Y轴、Z轴的夹角分别为： 90、180、90度，则
，
nX
cos ，
0
nY cos 1 nZ cos 0
返回
Y 轴的单位方向矢量确定
分析：
Y 轴与X轴、Y轴、Z轴的夹角分别为： 180、90、90度，则
，
o = [-1 0 0 0]
将上述旋转矩阵写成齐次坐标形式，就成为：（见P36）
c s 0 0
坐标系{B}的位置列阵
P 2 1 0 1T
则动坐标系{B}的44矩阵表达式为
0.866 0.500 0.000 2.0
T 0.500
0.866
0.000
1.0

0.000 0.000 1.000 0.0
0
0
0 1
图 动坐标系{B}的位姿表示
二、手部的位姿表示（P33）
0 0 0 1
图1.6 手部的位姿表示
[例1.3] 图示手部抓握物体Q，物体是边长为2的正立方体，写出表达该 手部位姿的矩阵表达式。 解：因为物体Q形心与手部坐标系OXYZ的坐标原点O相重合，则 手部位置列阵为
P = [1 1 1 1] 手部坐标系 X 轴的单位方向矢量： n = [0 -1 0 0]（分析）
d [n o
由此，连杆的位姿可用齐次矩阵表示。
a
nX
P]


nY

nZ
0
oX aX oY aY oZ aZ 00
X0
Y0

Z
0

1
由此，连杆的位姿可用齐次 矩阵表示为：
nX oX aX X0
d [n o a
P]


nY

nZ
oY aY oZ aZ
图 1.6 手部的位姿表示
二、手部的位姿表示（P33）
位置：为固定参考系原点指向手部坐标系{B}原点的矢量P：
P = [X0 Y0 Z0 1]T
姿态为：
［n、o、a］
因此，手部的位姿矩阵为
nX oX a X PX
T n
o
a
P



nY
oY
aY
PY

nZ oZ aZ PZ
三个基本旋转矩阵:
同理：
1
R(x, ) 0
0
0
cos sin
0

sin


cos
cos 0 sin
R(y,
)


0
1
0

sin 0 cos
cos -sin 0
R(z, ) sin cos 0
0
P

A
PB
0
1 0 0
c 0 s
c s 0
R(x, ) 0
c

s

R(
y,
)


0
1
0

R(z, ) s
c
0
0 s c
s 0 c
0 0 1
1 0 0 0
c 0 s 0
c s 0 0
R(x, ) 0
c
s
0
R(y, )
0
1
0
0 R(z, ) s
c
0 0
0 s c 0
s 0 c 0
0 0 1 0
0 0 0 1

0
0 0 1

0
0 0 1
1.2 齐次变换
4 4 6 6 4 4
Q


1
1
1
1
1
1
0 0 0 0 2 2

1
1
1
1
11
6 6
1 1
1 1
1
1

Robotics 数学基础
坐标变换
1）.旋转变换
坐标系{A}和{B}有 相同的原点但方位不同, 则点P的在两个坐标系 中的位置矢量有如下关 系:
A
P

A B
RB
P
a=cos，b=cos，c= cos （ u 的方向余弦）
[例1.1] 用齐次坐标表示右图矢量u、v、w的方向。
解： u = [0 0.866 0.5 0]T v = [0.866 0 0.5 0]T w = [0.866 0.5 0 0]T
1.1.2 动系的位姿表示
在机器人坐标系中，运动时相对于基座不动的坐标系 称为静坐标系，简称静系；跟随连杆运动的坐标系称为动 坐标系，简称为动系。动系位置与姿态的描述称为动系的 位姿表示，是对动系原点位置及各坐标轴方向的描述，实 质是对连杆的位置与姿态的描述。
[1 0 0 0]T—指向无穷远处的OX轴 [0 1 0 0]T—指向无穷远处的OY轴 [0 0 1 0]T—指向无穷远处的OZ轴
三、坐标轴的方向表示
i、j、k 分别表示直角坐标系中X、
Y、Z坐标轴的单位矢量，用齐次坐 标表示之，则有
X = [1 0 0 0 ]T Y = [0 1 0 0]T Z = [0 0 1 0]T
一、连杆的位姿表示 连杆的位置表示：
设有一个机器人的连杆，O为连杆上 任一点，OXYZ 为与连杆固接的一个 动系。
连杆PQ在固定坐标系 OXYZ 中的位置 可用P点一齐次坐标表示为：
P = [X0 Y0 Z0 1]T
（注：P点为连杆坐标系的原点）
图 连杆的位姿表示
连杆的姿态表示
空间任一点的坐标表示
位置和姿态的表示（延伸）：
1.位置描述
在直角坐标系A中,空间任意一点p的位置 (Position)可用3x1列向量(位置矢量)表示:
2.方位描述
AP [ px
py
p ]T z
空间物体B的方位(Orientation)
可由某个固接于此物体的坐标系{B}
的三个单位主矢量[xB,yB,zB]相对于 参考坐标系A的方向余弦组成的3x3