2012年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案
2012天津市高考数学试卷及答案(理数)
2012年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)本试卷分为第I卷(选择题)和第n (非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。
第I卷1至2页，第n卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分.参考公式：•如果事件A, B互斥，那么P(A B) =P(A) P(B) •如果事件A, B相互独立，那么P(AB)二P(A)P(B)•棱柱的体积公式V =Sh 其中S表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高。
4 3 -球的体积公式V R33其中R表示球的半径、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) i是虚数单位，复数=3+i(A) 2 + i (B) 2 -i(C) -2 + i ( D) -2 -i(2 )设R,则“ =0 ”是“ f(x) COS(x •「)(x • R)为偶函数”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分与不必要条件(3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为-25时，输出x的值为(A) -1 (B) 1(C) 3 ( D) 9(4)函数f (x) = 2x x3 - 2在区间(0,1)内的零点个数是(A) 0 ( B) 1(C) 2 ( D) 32 1 5(5)在(2x --)的二项展开式中，x的系数为x(A) 10 ( B) -(C) 40 (D) -40(6)在ABC中，内角A，B, C所对的边分别是a,b,c，(B )仁'2(D )(8)设 m, n R ，若直线(m 1)x (n 1)y -2 = 0与圆(x - 1)2 (y -1)2 = 1 相切，则 m + n 的取值范围是(A ) [1 - .3,1、3](D )(-二,2 -2、. 2] [2 2 . 2,二)第口卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2012年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析
2012 年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（ 3 分）（ 2012?天津） i 是虚数单位，复数=（）A ． 2+i B． 2﹣ i C．﹣ 2+i D．﹣ 2﹣ i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意，可对此代数分子分母同乘以分母的共轭，整理即可得到正确选项解答：解：故选 B点评：本题考查复合代数形式的乘除运算，属于复数中的基本题型，计算题，解题的关键熟练掌握分母实数化的化简规则2．（ 3 分）（ 2012?天津）设φ∈R，则“φ=0 ”是“f（ x）=cos（x+ φ）（ x∈R）为偶函数”的（）A ．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数奇偶性的判断．专题：简易逻辑．分析：直接把φ=0 代入看能否推出是偶函数，再反过来推导结论即可．解答：解：因为φ=0 时， f（ x）=cos（ x+ φ） =cosx 是偶函数，成立；但f（ x） =cos（x+ φ）（ x∈R）为偶函数时，φ=kπ， k∈Z，推不出φ=0．故“φ=0”是“f（ x）=cos（ x+ φ）（ x∈R）为偶函数”的充分而不必要条件．故选： A．点评：判断充要条件的方法是：①若 p? q 为真命题且q? p 为假命题，则命题p 是命题 q 的充分不必要条件；②若 p? q 为假命题且q? p 为真命题，则命题p 是命题 q 的必要不充分条件；③若 p? q 为真命题且q? p 为真命题，则命题p 是命题 q 的充要条件；④若 p? q 为假命题且q? p 为假命题，则命题p 是命题 q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题 p 与命题 q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题 p 与命题 q 的关系．3．（ 3 分）（2012?天津）阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为﹣ 25 时，输出x 的值为（）A ．﹣1B ． 1C ． 3D ． 9考点 ：循环结构．专题 ：算法和程序框图．分析：根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当 |x|≤1 时跳出循环，输出结果．解答：解：当输入 x= ﹣ 25 时，|x|＞ 1，执行循环， x= ﹣ 1=4；|x|=4 ＞ 1，执行循环， x= ﹣1=1，|x|=1 ，退出循环，输出的结果为 x=2×1+1=3 ． 故选： C ．点评：本题考查循环结构的程序框图， 搞清程序框图的算法功能是解决本题的关键，按照程序框图的顺序进行执行求解，属于基础题．4．（ 3 分）（ 2012?天津）函数 f （x ） =2 x +x 3﹣2 在区间（ 0， 1）内的零点个数是（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3考点 ：函数的零点与方程根的关系．专题 ：函数的性质及应用．分析：根据函数 f （ x ） =2x +x 3﹣ 2 在区间（ 0， 1）内单调递增， f （ 0）f （ 1）＜ 0，可得函数在区间（ 0， 1）内有唯一的零点解答：解：由于函数 f （ x ）=2x +x 3﹣ 2 在区间（ 0，1）内单调递增，又 f （0）=﹣1＜ 0，f （ 1）=1＞0，故函数 f （ x） =2 x+x3﹣2 在区间（ 0， 1）内有唯一的零点，故选 B．点评：本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于中档题．5．（ 3 分）（ 2012?天津）在（ 2x2﹣）5的二项展开式中，x 项的系数为（）A ．10B．﹣10C． 40D．﹣40考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：由题意，可先由公式得出二项展开式的通项T r+1==，再令10﹣3r=1，得r=3 即可得出x 项的系数解答：解：（ 2x 2﹣）5的二项展开式的通项为T r+1==令10﹣ 3r=1，得 r=3故 x 项的系数为=﹣ 40故选 D点评：本题考查二项式的通项公式，熟练记忆公式是解题的关键，求指定项的系数是二项式考查的一个重要题型，是高考的热点，要熟练掌握6．（3 分）（ 2012?天津）在△ ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别是a，b，c．已知 8b=5c ，C=2B ，则 cosC=（）A ．B．C．D．考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sinB，cosB，然后利用平方关系式求出cosC 的值即可．解答：解：因为在△ ABC 中，内角 A ，B， C 所对的边分别是 a， b，c．已知 8b=5c，C=2B ，所以 8sinB=5sinC=5sin2B=10sinBcosB ，所以 cosB= ，B 为三角形内角，所以 B∈（ 0，）．C．所以 sinB==．所以 sinC=sin2B=2 ×=，cosC= = ．故选： A ．点评：本题考查正弦定理的应用，三角函数中的恒等变换应用，考查计算能力，注意角的范围的估计．7．（ 3 分）（ 2012?天津）已知 △ABC 为等边三角形， AB=2 ．设点 P ， Q 满足，， λ∈R ．若=﹣ ，则 λ=（）A ．B ．C ．D ．考点 ：平面向量的综合题．专题 ：平面向量及应用．分析： 根据向量加法的三角形法则求出，进而根据数量积的定义求出再根据=﹣ 即可求出 λ．解答：解：∵，， λ∈R∴，∵△ ABC 为等边三角形， AB=2∴=+λ+（ 1﹣ λ）=2 ×2×cos60°+λ×2×2×cos180°+（ 1﹣λ） ×2×2×cos180°+λ（ 1﹣λ） ×2×2×cos60°2=2 ﹣ 4λ+4λ﹣ 4+2λ﹣ 2λ，2=﹣ 2λ+2λ﹣ 2∵=﹣2∴ 4λ﹣ 4λ+1=02∴（ 2λ﹣ 1） =0∴故选 A点评：本题主要考查了平面向量数量级的计算，属常考题，较难．解题的关键是根据向量加法的三角形法则求出然后再结合数量积的定义和条件 △ABC 为等边三角形，AB=2 ， =﹣ 即可求解！28．（ 3 分）（ 2012?天津）设 m ，n ∈R ，若直线（ m+1）x+ （n+1 ）y ﹣ 2=0 与圆（ x ﹣ 1） +（ y﹣1） 2=1 相切，则 m+n 的取值范围是（ ） A ．[1﹣ ， 1+ ] B ． （ ﹣∞， 1﹣ ]∪[1+ ， +∞）C ． [ 2﹣2 ，2+2 ]D ．（﹣∞，2﹣2] ∪ [2+2， +∞）考点 ：直线与圆的位置关系．专题 ：直线与圆．分析：由圆的标准方程找出圆心坐标和半径 r ，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设 m+n=x ，得到关于 x 的不等式，求出不等式的解集得到x 的范围，即为 m+n 的范围．2 21， 1），半径 r=1 ，解答：解：由圆的方程（ x ﹣ 1） +（y ﹣ 1） =1，得到圆心坐标为（∵直线（ m+1） x+ （ n+1） y ﹣2=0 与圆相切，∴圆心到直线的距离 d==1，整理得： m+n+1=mn ≤，设 m+n=x ，则有 x+1 ≤ ，即 x 2﹣ 4x ﹣ 4≥0，∵ x 2﹣ 4x ﹣ 4=0 的解为： x 1=2+2，x 2=2﹣ 2，∴不等式变形得： （x ﹣ 2﹣2 ）（ x ﹣ 2+2 ） ≥0，解得： x ≥2+2 或 x ≤2﹣ 2，则 m+n 的取值范围为（﹣ ∞， 2﹣ 2] ∪[2+2， +∞）．故选 D点评：此题考查了直线与圆的位置关系， 涉及的知识有： 点到直线的距离公式， 基本不等式，以及一元二次不等式的解法，利用了转化及换元的思想，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．二、填空题9．（ 3 分）（2012?天津）某地区有小学 150 所，中学 75 所，大学 25 所．先采用分层抽样的 方法从这些学校中抽取 30 所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取 18 所学校，中学中抽取9所学校．考点 ：分层抽样方法． 专题 ：概率与统计．分析：从 250 所学校抽取 30 所学校做样本， 样本容量与总体的个数的比为3：25，得到每个个体被抽到的概率， 根据三个学校的数目乘以被抽到的概率， 分别写出要抽到的数目，得到结果．解答：解：某城地区有学校150+75+25=250 所，现在采用分层抽样方法从所有学校中抽取 30 所，每个个体被抽到的概率是=，∵某地区有小学150 所，中学 75 所，大学 25 所．∴用分层抽样进行抽样，应该选取小学×150=18 人，选取中学×75=9人．故答案为： 18， 9．点评：本题主要考查分层抽样，解题的关键是理解在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，属于基础题．10．（ 3 分）（ 2012?天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为18+9π m3．考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：由三视图可知该几何体为上部是一个长方体，长、宽、高分别为6，3，1（单位： m），下部为两个半径均为的球体．分别求体积再相加即可．解答：解：由三视图可知该几何体为上部是一个长方体，长、宽、高分别为6，3，1（单位：m），体积 6×3×1=18．下部为两个半径均为的球体，体积 2×3π?（）=9故所求体积等于18+9π故答案为： 18+9 π点评：本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键11．（ 3 分）（ 2012?天津）已知集合 A={x ∈R||x+2|＜3} ，集合 B={x ∈R|（ x﹣ m）（ x﹣ 2）＜0} ，且 A ∩B= （﹣ 1，n），则 m= ﹣ 1 ，n= 1 ．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：集合．分析：由题意，可先化简A 集合，再由 B 集合的形式及 A ∩B=（﹣ 1， n）直接作出判断，即可得出两个参数的值．解答：解： A={x ∈R||x+2|＜ 3}={x ∈R|﹣ 5＜x＜ 1} ，又集合 B={x ∈R|（ x﹣m）（ x﹣ 2）＜ 0} ，A ∩B= （﹣ 1，n）．如图由图知 m= ﹣1， n=1，故答案为﹣ 1， 1．点评：本题考查集合关系中的参数取值问题，解题的关键是理解交的运算及一元二次不等式的解集的形式，本题一定的探究性，考查分析判断推理的能力12．（ 3 分）（ 2012?天津）已知抛物线的参数方程为（ t 为参数），其中 p＞ 0，焦点为 F，准线为 l ．过抛物线上一点 M 作 l 的垂线，垂足为E．若 |EF|=|MF|，点 M 的横坐标是3，则 p= 2 ．考点：抛物线的参数方程；圆锥曲线的综合．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；坐标系和参数方程．分析：把抛物线的参数方程化为普通方程为2，则由抛物线的定义可得及 |EF|=|MF| ，可y =2px得△ MEF 为等边三角形，设点M 的坐标为（ 3，m ），则点 E（﹣，m），把点M的坐标代入抛物线的方程可得p=．再由|EF|=|ME|，解方程可得p 的值．解答：解：抛物线的参数方程为（ t 为参数），其中 p＞ 0，焦点为 F，准线为l，消去参数可得 x=2p，2x 轴的抛物线，化简可得 y =2px ，表示顶点在原点、开口向右、对称轴是故焦点 F（， 0），准线 l 的方程为 x= ﹣．则由抛物线的定义可得|ME|=|MF| ，再由 |EF|=|MF| ，可得△ MEF 为等边三角形．设点 M 的坐标为（ 3， m ），则点 E（﹣， m）．把点 M 的坐标代入抛物线的方程可得m 2=2×p×3，即 p=．再由 |EF|=|ME|，可得222+3p ，解得 p=2，或 p=﹣ 6 p +m =，即 p +6p=9+（舍去），故答案为2．点评：本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，把参数方程化为普通方程的方法，属于中档题．13．（ 3 分）（ 2012?天津）如图，已知 AB 和 AC 是圆的两条弦，过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D ，过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E，与 AB 相交于点 F， AF=3 ，FB=1 ，EF=，则线段CD 的长为．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：由相交弦定理求出FC，由相似比求出BD ，设 DC=x ，则 AD=4x ，再由切割线定理，2BD =CD ?AD 求解．解答：解：由相交弦定理得到AF?FB=EF ?FC，即 3×1=×FC，FC=2，在△ ABD中AF：AB=FC：BD ，即 3：4=2： BD ，BD=，设 DC=x ，则 AD=4x ，再由切割线定理，22， x= BD =CD ?AD ，即 x?4x=（）故答案为：点评：本题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系，相交弦定理，切割线定理，相似三角形的概念、判定与性质．14．（ 3 分）（ 2012?天津）已知函数y=的图象与函数y=kx ﹣ 2 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是（0，1）∪（1，4）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：先化简函数的解析式，在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx﹣ 2 的图象，结合图象，可得实数k 的取值范围．解答：解： y===函数 y=kx ﹣ 2 的图象恒过点（0，﹣ 2）在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx ﹣ 2 的图象结合图象可实数k 的取值范围是（0，1）∪（ 1， 4）故答案为：（ 0， 1）∪（ 1，4）点评：本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，同时考查了作图能力和分类讨论的数学思想，属于基础题．三、解答题15．（ 2012?天津）已知函数 f （ x） =sin（ 2x+） +sin（ 2x﹣2）+2cos x﹣ 1， x∈R．（1）求函数f（ x）的最小正周期；（2）求函数f（ x）在区间 [] 上的最大值和最小值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（ 1）利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将f（ x）=sin（2x+）+sin（ 2x2sin（ 2x+），即可求得函数 f（ x）的最小正周期；﹣）+2cos x﹣ 1 化为 f（ x）=（ 2）可分析得到函数f（ x）在区间 [] 上是增函数，在区间 [，] 上是减函数，从而可求得f（ x）在区间 [] 上的最大值和最小值．解答：解：（ 1）∵ f （ x） =sin2x ?cos+cos2x ?sin+sin2x ?cos﹣ cos2x?sin+cos2x=sin2x+cos2x=sin（ 2x+ ），∴函数 f （ x）的最小正周期T==π．（ 2）∵函数f（ x）在区间 [] 上是增函数，在区间[，] 上是减函数，又 f（﹣）=﹣1，f（）=，f（）=1，∴函数 f （ x）在区间 [] 上的最大值为，最小值为﹣1．点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式的应用，考查正弦函数的性质，求得 f （ x） =sin（2x+）是关键，属于中档题．16．（2012?天津）现有 4 个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏．（1）求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率；（2）求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用 X， Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：依题意，这 4 个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件A i（i=0，1，2，3，4），故P（A i）=（ 1）这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为P（ A 2）；（ 2）设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪ A4，利用互斥事件的概率公式可求；（3）ξ的所有可能取值为 0， 2， 4，由于 A 1与 A 3互斥， A 0与 A 4互斥，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．解答：解：依题意，这 4 个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件A i（i=0，1，2，3，4），∴ P（A i）=（ 1）这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为P（ A2）=；（ 2）设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪ A4，∴P（ B） =P（A 3）+P（ A4） =（ 3）ξ的所有可能取值为0， 2， 4，由于 A 1与 A 3互斥， A 0与 A 4互斥，故 P（ξ=0）=P（A2）=P（ξ=2）=P（ A1） +P（A 3） =， P（ξ=4） =P（ A 0） +P（ A 4）=∴ ξ的分布列是ξ024P数学期望Eξ=点评：本题考查概率知识的求解，考查互斥事件的概率公式，考查离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．17．（ 2012?天津）如图，在四棱锥P﹣ ABCD 中， PA⊥平面 ABCD ， AC ⊥AD ， AB ⊥ BC ，∠B AC=45 °，PA=AD=2 ，AC=1 ．（1）证明： PC⊥AD ；（2）求二面角 A ﹣ PC﹣ D 的正弦值；（3）设 E 为棱 PA 上的点，满足异面直线BE 与 CD 所成的角为30°，求 AE 的长．考点：用空间向量求平面间的夹角；用空间向量求直线间的夹角、距离；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．分析：解法一（ 1）以 A 为原点，建立空间直角坐标系，通过得出? =0，证出 PC⊥AD ．（ 2）求出平面PCD，平面 PCD 的一个法向量，利用两法向量夹角求解．（ 3）设 E（ 0， 0，h），其中 h∈[0， 2]，利用 cos＜＞=cos30°=，得出关于h的方程求解即可．解法二：（1）通过证明AD ⊥平面 PAC 得出 PC⊥AD ．（ 2）作 AH ⊥PC 于点 H ，连接 DH ，∠ AHD 为二面角 A﹣ PC﹣ D 的平面角．在 RT△ DAH中求解（ 3）因为∠ ADC ＜ 45°，故过点 B 作 CD 的平行线必与线段AD 相交，设交点为F，连接 BE ， EF，故∠ EBF （或其补角）为异面直线BE 与 CD 所成的角．在△ EBF 中，因为 EF＜ BE，从而∠ EBF=30 °，由余弦定理得出关于h 的方程求解即可．解答：解法一：如图，以 A 为原点，建立空间直角坐标系，则 A （ 0，0， 0），D（ 2，0，0），C（ 0， 1， 0），B （﹣，， 0）， P（ 0， 0， 2）．（ 1）证明：易得=（0，1，﹣ 2）， =（2，0，0），于是? =0，所以 PC⊥AD ．（ 2）解：=（ 0，1，﹣ 2）， =（2，﹣ 1，0），设平面 PCD 的一个法向量为=（ x，y， z），则即取 z=1，则以=（ 1， 2，1）．又平面 PAC 的一个法向量为=（ 1， 0， 0），于是 cos ＜＞ ==， sin＜＞ =所以二面角A﹣ PC﹣D 的正弦值为．（ 3）设 E（0，0，h），其中 h∈[0，2]，由此得=（，﹣，h）．由=（ 2，﹣ 1，0），故 cos＜＞===所以=cos30°=，解得 h=，即 AE=．解法二：（1）证明：由 PA⊥平面 ABCD ，可得 PA⊥ AD ，又由 AD ⊥AC ， PA∩AC=A ，故 AD ⊥平面 PAC，又PC? 平面 PAC，所以 PC⊥ AD ．（ 2）解：如图，作 AH ⊥ PC 于点 H，连接 DH ，由 PC⊥ AD ，PC⊥AH ，可得 PC⊥平面 ADH ，因此 DH ⊥ PC，从而∠ AHD 为二面角A﹣PC﹣D 的平面角．在 RT△ PAC 中， PA=2 ，AC=1 ，所以 AH=，由（1）知，AD⊥ AH，在RT△ DAH 中， DH==，因此sin∠ AHD==．所以二面角 A ﹣ PC﹣ D 的正弦值为．（ 3）解：如图，因为∠ ADC ＜ 45°，故过点 B 作 CD 的平行线必与线段 AD 相交，设交点为 F，连接 BE， EF，故∠ EBF（或其补角）为异面直线 BE 与 CD 所成的角．由于 BF∥ CD，故∠ AFB= ∠ ADC ，在 RT△ DAC 中， CD=，sin∠ ADC=，故sin ∠AFB=．在△ AFB 中，由，AB=，sin∠ FAB=sin135°=，可得BF=，222由余弦定理， BF =AB +AF ﹣ 2ABAFcos∠ FAB ，得出 AF=，设 AE=h ，在 RT△ EAF 中， EF==，在 RT△ BAE 中， BE==，在△ EBF 中，因为 EF＜ BE，从而∠ EBF=30°，由余弦定理得到， cos30°=，解得 h=，即 AE=．点评：本题考查线面关系，直线与直线所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题能力．18．（ 2012?天津）已知 nn ， {b n} 是等比数列，且1 1，{a } 是等差数列，其前 n 项和为 Sa =b =2 a 4+b 4=27 ， s 4﹣ b 4=10 ．（ 1）求数列 {a n } 与 {b n } 的通项公式；（ 2）记 T n =a n b 1+a n ﹣ 1b 2+⋯+a 1b n ， n ∈N * ，证明： T n +12=﹣ 2a n +10b n （ n ∈N * ）．考点 ：等差数列与等比数列的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式． 专题 ：等差数列与等比数列．分析：（ 1）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项．（ 2）先写出 T n 的表达式；方法一：借助于错位相减求和；方法二：用数学归纳法证明其成立．解答：解：（ 1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，由 a 1=b 1=2，得 a 4=2+3d ， b 4=2q 3， s 4=8+6d ，由条件 a 4+b 4=27 ， s 4﹣ b 4 =10，得方程组，解得 ，故 a n =3n ﹣ 1， b n =2n ， n ∈N *．（ 2）证明：方法一，由（ 2 3 n① ；1）得， T n =2a n +2 a n ﹣1+2 a n ﹣ 2+⋯+2 a 1；23 n n+1② ；2T n =2 a n +2 a n ﹣ 1+⋯+2 a 2+2 a 1；n n+2由 ② ﹣ ① 得， T n =﹣232（ 3n ﹣ 1）+3×2 +3×2 +⋯+3 ×2 +2=+2n+2﹣ 6n+2n=10 ×2 ﹣ 6n ﹣ 10；而﹣ 2a n +10b n ﹣ 12= ﹣ 2（ 3n ﹣ 1）+10 ×2n ﹣12=10 ×2n﹣ 6n ﹣ 10；故 T n +12=﹣ 2a n +10b n（ n ∈N *）．方法二：数学归纳法，③ 当 n=1 时， T 1+12=a 1b 1+12=16 ，﹣ 2a 1+10b 1=16，故等式成立，④ 假设当 n=k 时等式成立，即 T k +12= ﹣ 2a k +10b k ，则当 n=k+1 时有，T k+1 =a k+1b 1+a k b 2+a k ﹣ 1b 3+⋯+a 1b k+1 =a k+1b 1+q （a k b 1+a k ﹣ 1b 2+⋯+a 1b k ） =a k+1b 1+qT k=a k+1b 1+q （﹣ 2a k +10b k ﹣12）=2a k+1 ﹣ 4（a k+1﹣ 3）+10b k+1﹣ 24 =﹣ 2a k+1 +10b k+1﹣ 12．即 T k+1+12= ﹣ 2a k+1+10b k+1 ，因此 n=k+1 时等式成立． ③④ 对任意的 n ∈N *， T n +12= ﹣ 2a n +10b n 成立．点评：本题主要考察等差数列和等比数列的综合问题． 解决这类问题的关键在于熟练掌握基础知识，基本方法．并考察计算能力．19．（ 2012?天津）设椭圆的左右顶点分别为 A ，B ，点 P 在椭圆上且异于 A ， B 两点， O 为坐标原点．（1）若直线 AP 与 BP 的斜率之积为，求椭圆的离心率；（2）若 |AP|=|OA| ，证明直线 OP 的斜率 k 满足 |k|＞．考点 ：圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．专题 ：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析：（ 1）设 P （ x 0， y 0），则 ，利用直线 AP 与 BP 的斜率之积为，即可求得椭圆的离心率；（ 2）依题意，直线 OP 的方程为 y=kx ，设 P （ x 0，kx 0），则，进一步可得，利用 AP|=|OA| ， A （﹣ a ， 0），可求得 ，从而可解答：（ 1）解：设P（ x0， y0），∴①∵椭圆的左右顶点分别为 A ， B，∴ A （﹣ a， 0），B（ a， 0）∴，∵直线 AP 与 BP 的斜率之积为，∴代入① 并整理得2 2∵y0≠0，∴ a =2b∴∴∴椭圆的离心率为；（ 2）证明：依题意，直线OP 的方程为y=kx ，设 P（ x0， kx 0），∴∵a＞ b＞ 0， kx 0≠0，∴∴②∵|AP|=|OA| ， A （﹣ a， 0），∴∴∴代入②得∴k 2＞ 3∴直线 OP 的斜率 k 满足 |k|＞．点评：本题考查椭圆的几何性质，考查直线的斜率，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（ 2012?天津）已知函数 f （ x ） =x ﹣ ln （ x+a ）的最小值为 0，其中 a ＞ 0．（ 1）求 a 的值；（ 2）若对任意的 x ∈[0 ， +∞），有 f （ x ） ≤kx 2成立，求实数 k 的最小值；（3）证明：（ n ∈N *）．考点 ：导 数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值．专题 ：导 数的综合应用．分析：（ 1）确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，求得函数的最小值，利用函数 f （ x ）=x ﹣ ln （ x+a ）的最小值为 0，即可求得 a 的值；（2）当 k ≤0 时，取 x=1，有 f （1） =1﹣ ln2＞0，故 k ≤0 不合题意；当 k ＞0 时，令 g（ x ） =f （ x ）﹣ kx 2，即 g （x ） =x ﹣ln （x+1 ）﹣ kx 2，求导函数，令 g ′（x ） =0，可得 x 1=0 ，，分类讨论： ① 当 k ≥ 时，，g （ x ）在（ 0，+∞）上单调递减， g （ x ）≤g （ 0）=0 ；② 当 0＜ k ＜ 时， ，对于，g ′（x ）＞ 0，因此 g （ x ）在上单调递增，由此可确定k 的最小值；（ 3）当 n=1 时，不等式左边 =2﹣ ln3 ＜ 2=右边，不等式成立；当n ≥2 时，，在（ 2）中，取 k=，得 f （ x ）≤ x 2，从而可得，由此可证结论．解答：1）解：函数的定义域为（﹣a ， +∞），求导函数可得（令 f ′（ x ） =0 ，可得 x=1 ﹣ a ＞﹣ a令 f ′（ x ）＞ 0， x ＞﹣ a 可得 x ＞ 1﹣ a ；令 f ′（x ）＜ 0，x ＞﹣ a 可得﹣ a ＜ x ＜1﹣ a∴ x=1﹣ a 时，函数取得极小值且为最小值∵函数 f （ x ） =x ﹣ ln （ x+a ）的最小值为 0，∴ f （ 1﹣ a ） =1﹣ a ﹣ 0，解得 a=1（ 2）解：当 k ≤0 时，取 x=1，有 f （ 1）=1 ﹣ ln2＞ 0，故 k ≤0 不合题意当 k ＞ 0 时，令 g （x ） =f （ x ）﹣ kx 2，即 g （ x ） =x ﹣ln （ x+1 ）﹣ kx 2，求导函数可得 g ′（ x ） =g ′（x ） =0，可得 x 1=0，① 当 k ≥ 时，， g ′（ x ）＜ 0 在（ 0， +∞）上恒成立，因此 g （ x ）在（ 0，+∞）上单调递减， 从而对任意的x ∈[0，+∞），总有 g （ x ）≤g （0）=0，即对任意的 x ∈[0，+∞），有 f （ x ） ≤kx 2成立；② 当 0＜ k ＜ 时， ，对于，g ′（ x ）＞ 0，因此 g （ x ）在 上单调递增，因此取时， g （ x ） ≥g （0） =0，即有 f （ x ） ≤kx2 不成立；0 0综上知， k ≥ 时对任意的x ∈[0， +∞），有 f （x ） ≤kx 2成立， k 的最小值为（ 3）证明：当 n=1 时，不等式左边 =2 ﹣ ln3＜ 2= 右边，所以不等式成立当 n ≥2 时，在（ 2）中，取 k= ，得 f （ x ） ≤ x 2，∴（ i ≥2， i ∈N *）．∴=f （ 2）+ ＜2﹣ln3+ =2 ﹣ ln3+1 ﹣＜ 2综上，（ n ∈N *）．点评：试题分为三问，题面比较简单，给出的函数比较常规，因此入手对于同学们来说没有难度，第二问中，解含参数的不等式时，要注意题中参数的讨论所有的限制条件，从而做到不重不漏；第三问中，证明不等式，应借助于导数证不等式的方法进行．。
2012年天津高考数学理科试卷(带详解)
2012年天津高考数学卷解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．i 是虚数单位，复数7i3iz -==+ （ ）A ．2i + B.2i - C .2i -+ D .2i --【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】直接给出复数的分式形式求其值. 【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题解析】7i (7i)(3i)217i 3i 12i 3i (3i)(3i)10z ------====-++- 2.设ϕ∈R ，则“0ϕ=”是“()cos()()f x x x ϕ=+∈R 为偶函数”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【测量目标】三角函数的奇偶性,充分、必要条件.【考查方式】判断三角函数初相参数取值与函数奇偶性的关系. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】∵0ϕ=⇒()cos()()f x x x ϕ=+∈R 为偶函数，反之不成立，∴“0ϕ=”是“()cos()()f x x x ϕ=+∈R 为偶函数”的充分而不必要条件.3.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为 （ ） A.1- B.1 C.3 D.9第3题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】阅读程序框图得出程序运算结果. 【难易程度】容易 【参考答案】C 【试题解析】根据图给的算法程序可知：第一次4x =，第二次1x =，则输出2113x =⨯+=.4.函数3()22xf x x =+-在区间(0,1)内的零点个数是 （ ）A.0B.1 C .2 D .3 【测量目标】函数零点的求解与判断.【考查方式】直接给出函数的解析式判断其零点的个数. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】解法1：因为(0)1021f =+-=-，3(1)2228f =+-=，即(0)(1)0f f <且函数()f x 在()0,1内连续不断，故()f x 在()0,1内的零点个数是1.解法2：设3122,2,x y y x ==-在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B 正确.第4题图5.在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数为 （ ） A.10 B.10- C.40 D.40- 【测量目标】二项式定理.【考查方式】直接给出一个二项展开式求某项的系数. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】∵2515103155C (2)()2(1)C r r r r r r rr T x x x ----+=-=-，∴ 1031r -=，即3r =，∴x 的系数为40-.6.在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知85,2b c C B ==，则cos C =（ ） A.725B.725-C.725±D.2425【测量目标】正弦定理，三角函数中的二倍角公式.【考查方式】已知三角形角与边的关系运用正弦定理求一角的余弦值. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】∵85b c =，由正弦定理得8sin 5sin B C =，（步骤1）又∵2C B =，∴8sin 5sin 2B B =，（步骤2）所以8sin 10sin cos B B B =，易知sin 0B ≠，（步骤3）∴4cos 5B =，27cos cos 22cos 125C B B ==-=.（步骤4） 7.已知ABC △为等边三角形，2AB =，设点,P Q 满足,AP AB λ=(1),AQ AC λ=-λ∈R ，若32BQ CP =-，则λ=（ ）A.12B.122±C.1102±D.3222-±【测量目标】平面向量在平面几何中的应用.【考查方式】给出三角形边的向量关系式，运用平面向量的知识求解未知参数. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】∵(1),BQ AQ AB AC AB λ=-=--CP AP AC AB AC λ=-=-，（步骤1） 又∵32BQ CP =-，且2AB AC ==，,60AB AC ︒<>=，cos602AB AC AB AC ︒==（步骤2），∴3(1)()2AC AB AB AC λλ⎡⎤---=-⎣⎦，2223(1)(1)2AB AB AC AC λλλλ+--+-=，（步骤3）所以2342(1)4(1)2λλλλ+--+-=，解得12λ=. （步骤4）第7题图8.设,m n ∈R ，若直线(1)(1)20m x n y ++--=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是 （ ） A.13,13⎡⎣ B.(),1313,⎡-∞++∞⎣C.222,222⎡-+⎣D.(),222222,⎤⎡-∞-++∞⎦⎣【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】已知一直线与圆的位置关系求未知参数的取值范围. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】∵直线(1)(1)20m x n y ++--=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，（步骤1）∴圆心(1,1)到直线的距离为22(1)(1)21(1)(1)m n d m n +++-==+++，所以212m n mn m n +=++（）（步骤2）设t m n =+，则2114t t +，解得(),222222,t ⎤⎡∈-∞-++∞⎦⎣.（步骤3）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调査，应从小学中抽取 所学校，中学中抽取 所学校. 【测量目标】分层抽样.【考查方式】运用分层抽样里的按比例抽样知识解决实际问题. 【难易程度】容易 【参考答案】18，9【试题解析】∵分层抽样也叫按比例抽样，由题知学校总数为250所， 所以应从小学中抽取15030=18250⨯，中学中抽取75309250⨯=. 10.―个几何体的三视图如图所示(单位：m )，则该几何体的体积为 3m .第10题图【测量目标】由三视图求几何体的表面积与体积.【考查方式】给出一个几何体的三视图求其原几何体的体积. 【难易程度】容易 【参考答案】189π+ 【试题解析】由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体，所以其体积为： 3433612π()189π32V =⨯⨯+⨯⨯=+3m . 11.已知集合{}23A x x =∈+<R ，集合{}()(2)0B x x m x =∈--<R ,且(1,)A B n =-，则m = ,n = .【测量目标】集合的基本运算，集合间的关系.【考查方式】给出含有未知参数的集合通过它们直接的关系求出未知参数. 【难易程度】容易 【参考答案】1-，1【试题解析】∵{}{}2351A x x x x =∈+<=-<<R ,又∵(1,)A B n =-，画数轴可知1,1m n =-=.12.己知抛物线的参数方程为22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩（t 为参数），其中0p >，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作的垂线，垂足为E ，若EF ME =，点M 的横坐标是3，则p = . 【测量目标】抛物线的简单几何性质.【考查方式】给出抛物线的参数方程，运用其简单的几何性质求未知数. 【难易程度】中等 【参考答案】2【试题解析】∵22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩可得抛物线的标准方程为22(0)y px p =>，（步骤1）∴焦点(,0)2pF ，∵点M 的横坐标是3，则(3,6)M p ±，（步骤2）所以点(,6),2p E p -±222()(06)22p pEF p =++±（步骤3）由抛物线得几何性质得2213,,63924p ME EF MF p p p p =+=∴+=++，解得2p =.（步骤4）13.如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦.过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D ,过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，33,1,,2AF FB EF ===则线段CD 的长为 .第13题图【测量目标】圆的性质的应用.【考查方式】给出与圆相关的直线与线段由圆的性质求未知线段. 【难易程度】中等 【参考答案】43【试题解析】∵33,1,,2AF FB EF ===由相交弦定理得AF FB EF FC =，所以2FC =，（步骤1）又48//,,233AF FC ABBD CE BD FC AB BD AF∴===⨯=，（步骤2）设CD x =，则4AD x =，再由切割线定理得2BD CD AD =，即284()3x x =，解得43x =，故43CD =.（步骤3）14.已知函数211x y x -=-的图象与函数2y kx =-的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 .【测量目标】函数图像的应用.【考查方式】已知两个函数的图像的位置关系求解未知参数的取值范围. 【难易程度】中等 【参考答案】(0,1)(1,4)【试题解析】∵函数2y kx =-的图像直线恒过定点(0,2)B -，且(1,2),(1,0),(1,2)A C D --，∴2+2==010AB k --，0+2==210BC k ---，2+2==410BD k -，由图像可知(0,1)(1,4)k ∈.第14题图三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数2ππ()sin(2)sin(2)2cos 1,33f x x x x x =++-+-∈R . (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【测量目标】三角函数的周期性、最值.【考查方式】给出三角函数的函数解析式求解其最小正周期和在某个区间内的最值. 【试题解析】(Ⅰ)2ππ()sin(2)sin(2)2cos 133f x x x x =++-+-ππ2sin 2cos cos 22)34x x x =+=+ （步骤1）函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==（步骤2）（Ⅱ）ππππ3π2π2sin(2)11()24444424x x x f x -⇒-+⇒-+⇔-（步骤3） 当πππ2()428x x +==时，max ()2f x =πππ2()444x x +=-=-时，min ()1f x =-（步骤4）16.（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率：（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率： （Ⅲ）用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.【测量目标】互斥事件与相对独立事件的相关性质、数学期望.【考查方式】针对实际问题运用互斥事件与相对独立事件的性质求解概率问题. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）每个人参加甲游戏的概率为13p =，参加乙游戏的概率为213p -=（步骤1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为22248C (1)27p p -=.（步骤2）（Ⅱ）44(4,)()C (1)(0,1,2,3,4)k k kXB p P X k p p k -⇒==-=，（步骤3） 这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为1(3)(4)9P X P X =+==（步骤4） （Ⅲ）ξ可取0,2,48(0)(2)2740(2)(1)(3)8117(4)(0)(4)81P P X P P X P X P P X P X ξξξ=======+=====+==（步骤5）随机变量ξ的分布列为84017148024********E ξ=⨯+⨯+⨯=（步骤6）17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA 丄平面ABCD ，,,45,2,1AC AD AB BC BAC PA AD AC ︒⊥⊥∠====.(Ⅰ)证明：PC AD ⊥；（Ⅱ）求二面角A PC D --的正弦值；（Ⅲ）设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30︒，求AE 的长.第17题图【测量目标】线线垂直、异面直线所成的角的正弦值. 【考查方式】通过空间几何体中的线线，线面直接的位置角度关系求证线线垂直以及异面直线所成角的正弦值. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)以,,AD AC AP 为,,x y z 正半轴方向，建立空间直角坐标系A xyz -.（步骤1）则11(2,0,0),(0,1,0),(,,0),(0,0,2)22D C B P -（步骤2） (0,1,2),(2,0,0)0PC AD PC AD PC AD =-=⇒=⇔⊥（步骤3）第17题（1）图（Ⅱ）(0,1,2),(2,1,0)PC CD =-=-，设平面PCD 的法向量(,,)x y z =n则0202200PC y z y z x y x z CD ⎧=-==⎧⎧⎪⇔⇔⎨⎨⎨-===⎩⎩⎪⎩n n 取1(1,2,1)z =⇒=n （步骤4）(2,0,0)AD =是平面PAC 的法向量 630cos ,sin ,66AD AD AD AD <>==⇒<>=n n n n得：二面角A PC D --（步骤5）（Ⅲ）设[]0,2AE h =∈；则(0,0,2)AE =，11(,,),(2,1,0)22BE h CD ==-cos ,10BE CD BE CD hBE CD<>=⇔=⇔=即AE =（步骤6）18.(本小题满分13分）已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列,且1144442,27,10a b a b S b ==+=-=(Ⅰ)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；(Ⅱ)记112231n n n n n T a b a b a b a b --=++++…；证明：12210()n n n T a b n ++=-+∈N . 【测量目标】等差等比数列的通项及性质.【考查方式】给出等差等比数列中已知项之间的关系求解数列的通项，由两种数列结合成的新数列的性质运用与证明. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ；则34434412732322710246210a b d d q S b q a d q +==⎧++=⎧⎧⇔⇔⎨⎨⎨-==+-=⎩⎩⎩（步骤1）得：31,2nn n a n b =-=(Ⅱ)121122311211...2222()22n n n n n n n n n n n a a T a b a b a b a b a a a a ----=++++=+++=+++……111213132352222n n n n n n n a n n n c c ------++==-=-（步骤2）[]1223112()()()2()n n n n n n T c c c c c c c c -=-+-++-=-…1022(35)1021212102n n n n n n n b a T b a =⨯-+=--⇔+=-（步骤3）19.（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，O 为坐标原点. （Ⅰ）若直线AP 与BP 的斜率之积为12-，求椭圆的离心率； （Ⅱ）若AP OA =，证明：直线OP 的斜率k 满足k >【测量目标】椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系. 【考查方式】由椭圆的简单几何性质求解椭圆的标准方程以及椭圆的参数，判断椭圆与直线的位置关系求解未知数的取值范围.【难易程度】较难 【试题解析】（Ⅰ）取(0,),(,0),(,0)P b A a B a -；则221()22AP BP b b k k a b a a ⨯=⨯-=-⇔=（步骤1）222212a b e e a -==⇔=（步骤2）（Ⅱ）设(cos ,sin )(02π)P a b θθθ<；则线段OP 的中点(cos ,sin )22ab Q θθ（步骤3）1AQ AP OA AQ OP k k =⇔⊥⇔⨯=- sin sin cos 22cos AQ AQ AQb k b ak ak a a θθθθ=⇔-=+（步骤4）2223AQAQ ak b a k k ⇒+<⇔<⇔>（步骤5）20.（本小题满分14分）已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中0a >. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若对任意的[)0,x ∈+∞,有2()f x kx 成立，求实数k 的最小值；（Ⅲ）证明：*12ln(21)2()21ni n n i =-+<∈-∑N .【测量目标】运用导数的相关性质求函数的最值，证明与推理最值问题. 【考查方式】给出函数解析式运用导数的相关性质求解其函数最值. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,)a -+∞（步骤1）11()ln()()101x a f x x x a f x x a a x a x a+-'=-+⇒=-==⇔=->-++ （步骤2）()01,()01f x x a f x a x a ''>⇔>-<⇔-<<-得：1x a =-时，min ()(1)101f x f a a a =-⇔-=⇔=（步骤3）（Ⅱ）设22()()ln(1)(0)g x kx f x kx x x x =-=-++则()0g x 在[)0,x ∈+∞上恒成立min ()0(0)g x g ⇔=（*）（步骤4）(1)1ln 200g k k =-+⇒>1(221)()2111x kx k g x kx x x +-'=-+=++（步骤5）①当1210()2k k -<<时，0012()00()(0)2k g x x x g x g k -'⇔=⇒<与（*）矛盾②当12k 时，min ()0()(0)0g x g x g '⇒==符合（*）（步骤6）得：实数k 的最小值为12（Ⅲ）由（2）得：21ln(1)2x x x -+<对任意的0x >值恒成立 取[]222(1,2,3,,)ln(21)ln(21)2121(21)x i n i i i i i ==⇒+--<---…（步骤7）当1n =时，2ln32-< 得：12ln(21)221n i n i =-+<-∑ 当2i 时，2211(21)2321i i i <---- 得：121ln(21)ln(21)2ln 3122121n i i i i n =⎡⎤-++-<-+-<⎢⎥--⎣⎦∑（步骤8）。
2012年高考数学天津理解析版
2012年天津高考数学卷解析（理）一．选择题1.【答案】B.【命题透析】本题考查了复数的四则运算.以商的形式给出，意在考查考生对复数的乘除法的基本运算能力.【思路点拨】解题的基本思路是复数分母的实数化，即给分式上下同乘以分母的共轭复数，并化简即可..2)3)(3()3)(7(37i i i i i i i -=-+--=+-故正确答案为B ，在运算过程中要注意正负符号与12-=i ，否则会出现选A 、C 、D 项的错误答案.2．【答案】A.【命题透析】本题考查了充分必要条件问题，并以三角函数的奇偶性为载体.意在考查考对知识间的内化能力.【思路点拨】若0=ϕ，则x x f cos )(=是偶函数，故充分性成立，排除B ，D 项；若)cos()(ϕ+=x x f 为偶函数，则),(Z k k ∈=πϕ故必要性不一定成立，排除C 项，所以正确答案为A.【总结归纳】此类问题的解答分两步骤：一判断充分性，二判断必要性，要明确题中哪个作条件，哪个做结论，若q p ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的心要条件.3．【答案】C.【命题透析】本题考查了循环结构的程序框图，由输入值来求输出值，意在考查考生的识图，析图，用图的能力.【思路点拨】由题可知，当输入25-=x 时，1>x ，415=-=x，14> ，∴循环得112=-=x ，11> 不成立，∴循环结束，则输出3112=+⨯=x ，故正确答案为C ；而B 项是因没注意到输入表达式12+⨯=x x，则误认为直接输出1=x ；D 项是第一次得4=x ，忽略判断语句1>x ，没进入循环直接输出结果，A 项把判断语句1>x 理解错误，多循环一次而输出结果值.4．【答案】B.【命题透析】本题考查了函数的零点分布.考查考生的化归与转化能力.【思路点拨】以数形结合思想来解答问题.原题可以转化为函数221-=x y 与32x y -=的图象在区间（0，1）内的交点个数问题.由作图可知在正区间内最多有一个交点，故排除C 、D 项；当0=x 时，0121=<-=y y ，当1=x 时，1021-=>=y y ，因此在区间（0，1）内一定会有一个交点，所以A 项错误，正确答案为B.【考场雷区】考生要避免用导数思想来解答试题，这样会进入运算的盲区中，即使能运算出来，也是量大费时，作为小题而言有些大作之味.5．【答案】D.【命题透析】本题考查了二项展开式中的项系数的求解.意在考查考生对基础知识的理解及基本技能的掌握.【思路点拨】通过观察将5次分别给xx 1,23-分配2次、3次即可得含x 的项，即x 40)1()2(32335-=-⋅xx C ，所以x 的系数为-40；而C 项错在将“—”号勿略；A 项错在分配次数为1次、4次，其实得到的是21x的系数，D 项错在上述两类错误的基础上.故正确答案为D ；【技巧点拨】此类类问题的解答一般有两种方法：一是通项法；二是观察法，作为小题往往观察法是高效之法，即通过观察要得什么的系数，需将次进行前后如何分配，然后再列式化简即得.6．【答案】A【命题透析】本题考查了解三角形、正弦定理、倍角公式，意在考查考生的综合分析、解决问题的能力.【思路点拨】由c b 58=，得B C B 2sin 5sin 5sin 8==，即54cos =B ，所以53sin =B ，所以2571cos 22cos cos 2=-==B B C .而B 项错对公式记为B B 2cos 212cos -=，C 项错在考虑了两类情况，D 项用错公式B B B sin cos 22cos =.7．【答案】A【命题透析】本题考查了向量的数量积、向量的基本定理.命题以求参数的形式给出，意在考查考生的方程思想的掌握，逆向思维的解题能力.【思路点拨】先用向量的基本定理将CP BQ ,用AC AB ,分解，然后以23-=⋅，列关于参数λ的方程，解即之即可.因为AB AC AB AQ BQ --=-=)1(λ，-=-=λ，且23-=⋅，ABC ∆是等边三角形，所以得01442=+-λλ，解得21=λ.故正确答案为A. 8．【答案】D【命题透析】本题考查了直线与圆的位置关系，以直线与圆相切为据，列关于n m +的等式关系，再借用重要不等式放缩，转化为不等式关系来解答问题，意在考查考生的综合思维能力与数学转化能力.【思路点拨】根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径列式，再利用重要不等式放缩出关于n m +的不等关系，解之即可.由题得1)1()1(22=++++n m n m ，即,2)2()1)1()(22(22++≥++=++n m n m n m 令n m t +=，得0442≥--t t ，解得222+≥t 或222-≤t ，故n m +的取值范围为(]222,-∞- [)∞+-,222.而C 项错在化简中将不等符号改变了，A 、B 项错在转化中误用了重要不等式.【考场雷区】考生易出现在等式的情况下不知如何求参数的取值范围，事实上这里需要由等到不等的转化，此题就用到重要不等的放缩来达到转化目的. 二．填空题9．【答案】9,18【命题透析】本题考查统计初步中的分层抽样法.【思路点拨】先求每个学校被抽取的概率，然后求各自学校的样本容量.设小学、中学各抽取y x ,所学校，则有75150257515030yx ==++，解得9,18==y x .10．【答案】)2(9+π【命题透析】本题考查了三视图，空间几何体的体积..【思路点拨】先由三视图还原几何体，后求其体积.由题可知此几何体为两球相切，上面放一柱体，其体积为)2(9136)23(3423+=⨯⨯+⨯⨯⨯ππ. 11．【答案】-1，1【命题透析】本题考查了集合的交集运算，解不等式.试题以求参数的值给出，意在考查学生的逆向思维能力.【思路点拨】先化简集合在最简形式，然后由交集可知-1是方程0)2)((=--x m x 的一根，求得1-=m ，此时{}15|<<-=x x A ，{}21|<<-=x x B ，则)1,1(-=B A ，所以1=n .【考场雷区】也许考生会对集合B 中的参数m 分2>m ，2<m 进行分类讨论，再对应求参数的值，事实上，会使运算更繁，费时更多.12．【答案】2【命题透析】本题考查抛物线的方程与性质，两点间的距离公式.以求值为目的，意在考查考生的方程思想.【思路点拨】消参得抛物线方程为px y 22=，因为MF EF =，所以32)6()32(22+=+-pp p ，得2=p .13.【答案】34【命题透析】本题考查了平面几何知识，以圆为载体，涉及到圆的切线定理，相交弦定理，相似三角形等知识，考查考生的综合思维能力与运算能力.【思路点拨】由相交弦定理得FC EF FB AF ⨯=⨯，得2=FC ，其次由AFC ABD ∆∆相似于得38=⨯=AF CF AB BD ，DC DA 4=，再由切线定理得9642=⨯=DC DA BD ，最后求得34=DC .14．【答案】（0，1）或（1，4）【命题透析】本题考查了函数的图象，以两图象相交于两点为载体，求实数k 的取值范围，意在考杳考生的数形结合思想与综合分析问题的能力.【思路点拨】先简化函数为⎩⎨⎧>+<+-=,1,11,1x x x x y ，再在同一直角坐标系下画出两函数的图象，（略），在1>x 时，有两交点的实数k 的取值范围为（1，4），当1<x 时，有两交点的实数k 的取值范围为，所以实数实数k 的取值范围为（0，1）或（1，4）. 【技巧点拨】画图寻找两图象有两交点的位置是解题的关键，其次以平行线为依据或以个别特殊点对就的斜率值作为解题的基本点. 三．解答题15．【命题透析】【思路点拨】【总结归纳】三角函数的求最小值，一般先化简使其成为)sin()(ϕω+=x A x f 的形式，在简化的过程中一般要用到三角函数的公式式、同角三角函数的关系、二倍角公式、和、差角公式，考生要做到胸有成竹，熟练的进行运算.求此类函数的最值问题，一般用到整体角的思想.16．【命题透析】【思路点拨】【总结归纳】概率应用题的特点为文字叙述长，解题首先要做到读懂题意、明确事实、提取数知（数学问题）、化归（概率）类型．其次考虑问题要周全、细心，数值计算要仔细，离散型变随机变量的分布列列好后，回头再检验是否概率的和为1．17.【命题透析】【思路点拨】【总结归纳】立几解答题，一般在传统与向量法中找平衡点.在传统证明线面位置关系时，需要明确要证什么，得需证什么的思维线索；直线与平面所成角，从传统上解需找角、证角、算角，而向量法首先建系，然后写相关向量的坐标，最后进行代数解答，思维单一，公式化强，但运算易错.考生一般遵循先传统后向量的方法选择，也就是在传统法难做下去时，不防换用向量法.18．【命题透析】【思路点拨】【考场雷区】一等差数列与一等比数列的积数列求和，一般用到错位相减法，在两边同乘以等比的公比后，两式的相减上易出现错误，经常出现于不知如何相减，保留项弄丢，正负号弄错，需考生仔细、认真对待.19．【命题透析】【思路点拨】【总结归纳】求离心率的方法有：一是求c a ,的值，二是求关于c b a ,,的齐次方程；求参数的取值范围问题，一般以寻找关于参数的不等关系，在题目明确的前提下直接列出即可，但要考虑所有受限条件，在题目没有明确的前提下往往由等到不等的转化来实现，至于如何转化，要因宜而论.20．【命题透析】【思路点拨】【思维拓展】函数与导数的综合作为高考的重头戏，多以能力为立意，计算为基础，主要考查函数的单调性、切线、极（最）值、零点分布、参数（值）范围、不等式恒成立证明等知识，此类问题解答时，运用导数这把有利工具，探索函数的有关性质，突破解题思维防线．函数中引参变量是命题的焦点，使得试题增加了宽度与深度，通常需对参变量进行分类讨论．。
2012年高考真题——理科数学(天津卷)解析版(1).pdf
说一说“独特的我” 我的性格： 我的兴趣： 我的特长： 我的——： 1.人具有无穷的智慧和巨大的创造力。
2.每个人的生命都是独一无二的。
人的生命独特性的表现 多彩的生命世界 世界因生命而精彩 人的生命的独特性1．生命是大自然的奇迹 2．众多生命都以自己独特的形式生活着 3．人类必须善待大自然 1．人有无穷的智慧和巨大的创造力 2．每个人的生命都是独一无二的 学习了本课后，你有哪些收获和感想？告诉大家好吗？ 生命是来之不易的,生命是独特的,生命是有限的,因而生命是可贵的。
所以,我们应当珍惜大自然赋予我们的生命,让我们珍惜生命,热爱生活吧! 人生如一本书，愚蠢者草草翻过，聪明人细细阅读。
为何如此？因为他们只能读它一次。
——保罗 第1单元 珍爱生命 热爱生活 第1课 生命最宝贵 第1框 多彩的生命世界 1、了解神奇的生命世界，感受生命之美；懂得生命的独特性，认识到人类是具有智慧与创造力的生命。
2、体会生命世界的多彩、神奇、珍贵，培养爱护自然、欣赏自然、保护环境的能力。
3、树立新的生态道德观、自然观，善待大自然，尊重其他生命。
板块一:世界因生命而精彩 以下幻灯片都是正文内容，幻灯片的数量有正文多少决定 看了这些图片,大家交流一下自己的感受。
这组图片为我们展示了一个生机盎然的世界:在蔚蓝色的大海边,海豚在飞跃;一只海鸥在蓝天展翅翱翔;草地上,长颈鹿正踱着悠闲的步子……这个世界因生命的存在而变得如此美丽,生机盎然。
同学们，世界上的生命是多种多样的，你们知道世界上有哪些生命存在吗？ 请同学们交流后回答。
世界因生命而精彩！ 世界上有动物、植物、微生物等等。
没有生命的世界 会是什么样？ 然而现在…… 讨论： 我们为什么要关爱其他的生命,与他们和谐相处呢? 众多生命构成一个共存共荣、息息相关的生命大系统。
人类必须善待大自然，爱护环境，保护动植物，否则，将会危及自身的生存。
自从地球上有了生命,世界就变得如此美好。
2012年天津市高考数学试卷(理科)
2012年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题1．（3分）i是虚数单位，复数=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i2．（3分）设φ∈R，则“φ=0”是“f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（3分）阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为﹣25时，输出x的值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．94．（3分）函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．35．（3分）在（2x2﹣）5的二项展开式中，x项的系数为（）A．10 B．﹣10 C．40 D．﹣406．（3分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，则cosC=（）A．B．C．D．7．（3分）已知△ABC为等边三角形，AB=2．设点P，Q满足，，λ∈R．若=﹣，则λ=（）A．B．C． D．8．（3分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）二、填空题9．（3分）某地区有小学150所，中学75所，大学25所．先采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取所学校，中学中抽取所学校．10．（3分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．11．（3分）已知集合A={x∈R||x+2|＜3}，集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，且A∩B=（﹣1，n），则m=，n=．12．（3分）已知抛物线的参数方程为（t为参数），其中p＞0，焦点为F，准线为l．过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E．若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p=．13．（3分）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为．14．（3分）已知函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是．三、解答题15．已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[]上的最大值和最小值．16．现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．（1）证明：PC⊥AD；（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．18．已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4﹣b4=10．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）记T n=a n b1+a n﹣1b2+…+a1b n，n∈N*，证明：T n+12=﹣2a n+10b n（n∈N*）．19．设椭圆的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．（1）若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞．20．已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值；（3）证明：（n∈N*）．2012年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）（2012•天津）i是虚数单位，复数=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i【分析】由题意，可对此代数分子分母同乘以分母的共轭，整理即可得到正确选项【解答】解：故选B2．（3分）（2012•天津）设φ∈R，则“φ=0”是“f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】直接把φ=0代入看能否推出是偶函数，再反过来推导结论即可．【解答】解：因为φ=0时，f（x）=cos（x+φ）=cosx是偶函数，成立；但f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数时，φ=kπ，k∈Z，推不出φ=0．故“φ=0”是“f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的充分而不必要条件．故选：A．3．（3分）（2012•天津）阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为﹣25时，输出x的值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．9【分析】根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当|x|≤1时跳出循环，输出结果．【解答】解：当输入x=﹣25时，|x|＞1，执行循环，x=﹣1=4；|x|=4＞1，执行循环，x=﹣1=1，|x|=1，退出循环，输出的结果为x=2×1+1=3．故选：C．4．（3分）（2012•天津）函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，f（0）f（1）＜0，可得函数在区间（0，1）内有唯一的零点【解答】解：由于函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，又f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，所以f（0）f（1）＜0，故函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内有唯一的零点，故选B．5．（3分）（2012•天津）在（2x2﹣）5的二项展开式中，x项的系数为（）A．10 B．﹣10 C．40 D．﹣40【分析】由题意，可先由公式得出二项展开式的通项T r+1==，再令10﹣3r=1，得r=3即可得出x项的系数==【解答】解：（2x2﹣）5的二项展开式的通项为T r+1令10﹣3r=1，得r=3故x项的系数为=﹣40故选D6．（3分）（2012•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，则cosC=（）A．B．C．D．【分析】直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sinB，cosB，然后利用平方关系式求出cosC的值即可．【解答】解：因为在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，所以8sinB=5sinC=5sin2B=10sinBcosB，所以cosB=，B为三角形内角，所以B∈（0，）．C．所以sinB==．所以sinC=sin2B=2×=，cosC==．故选：A．7．（3分）（2012•天津）已知△ABC为等边三角形，AB=2．设点P，Q满足，，λ∈R．若=﹣，则λ=（）A．B．C． D．【分析】根据向量加法的三角形法则求出，进而根据数量积的定义求出再根据=﹣即可求出λ．【解答】解：∵，，λ∈R∴，∵△ABC为等边三角形，AB=2∴=+λ+（1﹣λ）=2×2×cos60°+λ×2×2×cos180°+（1﹣λ）×2×2×cos180°+λ（1﹣λ）×2×2×cos60°=2﹣4λ+4λ﹣4+2λ﹣2λ2，=﹣2λ2+2λ﹣2∵=﹣∴4λ2﹣4λ+1=0∴（2λ﹣1）2=0∴故选A8．（3分）（2012•天津）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x 的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，∴圆心到直线的距离d==1，整理得：m+n+1=mn≤，设m+n=x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2，x2=2﹣2，∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，解得：x≥2+2或x≤2﹣2，则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．故选D二、填空题9．（3分）（2012•天津）某地区有小学150所，中学75所，大学25所．先采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取18所学校，中学中抽取9所学校．【分析】从250所学校抽取30所学校做样本，样本容量与总体的个数的比为3：25，得到每个个体被抽到的概率，根据三个学校的数目乘以被抽到的概率，分别写出要抽到的数目，得到结果．【解答】解：某城地区有学校150+75+25=250所，现在采用分层抽样方法从所有学校中抽取30所，每个个体被抽到的概率是=，∵某地区有小学150所，中学75所，大学25所．∴用分层抽样进行抽样，应该选取小学×150=18所，选取中学×75=9所．故答案为：18，9．10．（3分）（2012•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为18+9πm3．【分析】由三视图可知该几何体为上部是一个长方体，长、宽、高分别为6，3，1（单位：m），下部为两个半径均为的球体．分别求体积再相加即可．【解答】解：由三视图可知该几何体为上部是一个长方体，长、宽、高分别为6，3，1（单位：m），体积6×3×1=18．下部为两个半径均为的球体，体积2ו（）3=9π故所求体积等于18+9π故答案为：18+9π11．（3分）（2012•天津）已知集合A={x∈R||x+2|＜3}，集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，且A∩B=（﹣1，n），则m=﹣1，n=1．【分析】由题意，可先化简A集合，再由B集合的形式及A∩B=（﹣1，n）直接作出判断，即可得出两个参数的值．【解答】解：A={x∈R||x+2|＜3}={x∈R|﹣5＜x＜1}，又集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，A∩B=（﹣1，n）．如图由图知m=﹣1，n=1，故答案为﹣1，1．12．（3分）（2012•天津）已知抛物线的参数方程为（t为参数），其中p＞0，焦点为F，准线为l．过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E．若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p=2．【分析】把抛物线的参数方程化为普通方程为y2=2px，则由抛物线的定义可得及|EF|=|MF|，可得△MEF为等边三角形，设点M的坐标为（3，m ），则点E（﹣，m），把点M的坐标代入抛物线的方程可得p=．再由|EF|=|ME|，解方程可得p的值．【解答】解：抛物线的参数方程为（t为参数），其中p＞0，焦点为F，准线为l，消去参数可得x=2p，化简可得y2=2px，表示顶点在原点、开口向右、对称轴是x轴的抛物线，故焦点F（，0），准线l的方程为x=﹣．则由抛物线的定义可得|ME|=|MF|，再由|EF|=|MF|，可得△MEF为等边三角形．设点M的坐标为（3，m ），则点E（﹣，m）．把点M的坐标代入抛物线的方程可得m2=2×p×3，即p=．再由|EF|=|ME|，可得p2+m2=，即p2+6p=9++3p，解得p=2，或p=﹣6 （舍去），故答案为2．13．（3分）（2012•天津）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为．【分析】由相交弦定理求出FC，由相似比求出BD，设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD•AD 求解．【解答】解：由相交弦定理得到AF•FB=EF•FC，即3×1=×FC，FC=2，在△ABD中AF：AB=FC：BD，即3：4=2：BD，BD=，设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD•AD，即x•4x=（）2，x=故答案为：14．（3分）（2012•天津）已知函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是（0，1）∪（1，4）．【分析】先化简函数的解析式，在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象，结合图象，可得实数k的取值范围．【解答】解：y===函数y=kx﹣2的图象恒过点（0，﹣2）在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象结合图象可实数k的取值范围是（0，1）∪（1，4）故答案为：（0，1）∪（1，4）三、解答题15．（2012•天津）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[]上的最大值和最小值．【分析】（1）利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1化为f（x）=sin（2x+），即可求得函数f（x）的最小正周期；（2）可分析得到函数f（x）在区间[]上是增函数，在区间[，]上是减函数，从而可求得f（x）在区间[]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x•co s+cos2x•sin+sin2x•cos﹣cos2x•sin+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴函数f（x）的最小正周期T==π．（2）∵函数f（x）在区间[]上是增函数，在区间[，]上是减函数，又f（﹣）=﹣1，f（）=，f（）=1，∴函数f（x）在区间[]上的最大值为，最小值为﹣1．16．（2012•天津）现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．【分析】依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件A i（i=0，1，2，3，4），故P（A i）=（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）；（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪A4，利用互斥事件的概率公式可求；（3）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．【解答】解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件A i（i=0，1，2，3，4），∴P（A i）=（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）=；（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪A4，∴P（B）=P（A3）+P（A4）=（3）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P（ξ=0）=P（A2）=P（ξ=2）=P（A1）+P（A3）=，P（ξ=4）=P（A0）+P（A4）=∴ξ的分布列是数学期望Eξ=17．（2012•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．（1）证明：PC⊥AD；（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．【分析】解法一（1）以A为原点，建立空间直角坐标系，通过得出•=0，证出PC⊥AD．（2）求出平面PCD，平面PCD的一个法向量，利用两法向量夹角求解．（3）设E（0，0，h），其中h∈[0，2]，利用cos＜＞=cos30°=，得出关于h的方程求解即可．解法二：（1）通过证明AD⊥平面PAC得出PC⊥AD．（2）作AH⊥PC于点H，连接DH，∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．在RT△DAH中求解（3）因为∠ADC＜45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF，故∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CD所成的角．在△EBF中，因为EF＜BE，从而∠EBF=30°，由余弦定理得出关于h的方程求解即可．【解答】解法一：如图，以A为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），D（2，0，0），C （0，1，0），B（﹣，，0），P（0，0，2）．（1）证明：易得=（0，1，﹣2），=（2，0，0），于是•=0，所以PC⊥AD．（2）解：=（0，1，﹣2），=（2，﹣1，0），设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z），则即取z=1，则以=（1，2，1）．又平面PAC的一个法向量为=（1，0，0），于是cos＜＞==，sin＜＞=所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值为．（3）设E（0，0，h），其中h∈[0，2]，由此得=（，﹣，h）．由=（2，﹣1，0），故cos＜＞===所以=cos30°=，解得h=，即AE=．解法二：（1）证明：由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD，又由AD⊥AC，PA∩AC=A，故AD⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，所以PC⊥AD．（2）解：如图，作AH⊥PC于点H，连接DH，由PC⊥AD，PC⊥AH，可得PC⊥平面ADH，因此DH⊥PC，从而∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．在RT△PAC中，PA=2，AC=1，所以AH=，由（1）知，AD⊥AH，在RT△DAH中，DH==，因此sin∠AHD==．所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值为．（3）解：如图，因为∠ADC＜45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF，故∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CD所成的角．由于BF∥CD，故∠AFB=∠ADC，在RT△DAC中，CD=，sin∠ADC=，故sin∠AFB=．在△AFB中，由，AB=，sin∠FAB=sin135°=，可得BF=，由余弦定理，BF2=AB2+AF2﹣2ABAFcos∠FAB，得出AF=，设AE=h，在RT△EAF中，EF==，在RT△BAE中，BE==，在△EBF中，因为EF＜BE，从而∠EBF=30°，由余弦定理得到，cos30°=，解得h=，即AE=．18．（2012•天津）已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4﹣b4=10．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）记T n=a n b1+a n﹣1b2+…+a1b n，n∈N*，证明：T n+12=﹣2a n+10b n（n∈N*）．【分析】（1）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项．（2）先写出T n的表达式；方法一：借助于错位相减求和；方法二：用数学归纳法证明其成立．【解答】解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，s4=8+6d，由条件a4+b4=27，s4﹣b4=10，得方程组，解得，故a n=3n﹣1，b n=2n，n∈N*．（2）证明：方法一，由（1）得，T n=2a n+22a n﹣1+23a n﹣2+…+2n a1；①；2T n=22a n+23a n﹣1+…+2n a2+2n+1a1；②；由②﹣①得，T n=﹣2（3n﹣1）+3×22+3×23+…+3×2n+2n+2=+2n+2﹣6n+2=10×2n﹣6n﹣10；而﹣2a n+10b n﹣12=﹣2（3n﹣1）+10×2n﹣12=10×2n﹣6n﹣10；故T n+12=﹣2a n+10b n（n∈N*）．方法二：数学归纳法，③当n=1时，T1+12=a1b1+12=16，﹣2a1+10b1=16，故等式成立，④假设当n=k时等式成立，即T k+12=﹣2a k+10b k，则当n=k+1时有，T k+1=a k+1b1+a k b2+a k﹣1b3+…+a1b k+1=a k+1b1+q（a k b1+a k﹣1b2+…+a1b k）=a k+1b1+qT k=a k+1b1+q（﹣2a k+10b k﹣12）=2a k+1﹣4（a k+1﹣3）+10b k+1﹣24 =﹣2a k+1+10b k+1﹣12．即T k+1+12=﹣2a k+1+10b k+1，因此n=k+1时等式成立．③④对任意的n∈N*，T n+12=﹣2a n+10b n成立．19．（2012•天津）设椭圆的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B 两点，O为坐标原点．（1）若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞．【分析】（1）设P（x0，y0），则，利用直线AP与BP的斜率之积为，即可求得椭圆的离心率；（2）依题意，直线OP的方程为y=kx，设P（x0，kx0），则，进一步可得，利用AP|=|OA|，A（﹣a，0），可求得，从而可求直线OP的斜率的范围．【解答】（1）解：设P（x0，y0），∴①∵椭圆的左右顶点分别为A，B，∴A（﹣a，0），B（a，0）∴，∵直线AP与BP的斜率之积为，∴代入①并整理得∵y0≠0，∴a2=2b2∴∴∴椭圆的离心率为；（2）证明：依题意，直线OP的方程为y=kx，设P（x0，kx0），∴∵a＞b＞0，kx0≠0，∴∴②∵|AP|=|OA|，A（﹣a，0），∴∴∴代入②得∴k2＞3∴直线OP的斜率k满足|k|＞．20．（2012•天津）已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值；（3）证明：（n∈N*）．【分析】（1）确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，求得函数的最小值，利用函数f （x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，即可求得a的值；（2）当k≤0时，取x=1，有f（1）=1﹣ln2＞0，故k≤0不合题意；当k＞0时，令g（x）=f（x）﹣kx2，即g（x）=x﹣ln（x+1）﹣kx2，求导函数，令g′（x）=0，可得x1=0，，分类讨论：①当k≥时，，g（x）在（0，+∞）上单调递减，g（x）≤g（0）=0；②当0＜k＜时，，对于，g′（x）＞0，因此g（x）在上单调递增，由此可确定k的最小值；（3）当n=1时，不等式左边=2﹣ln3＜2=右边，不等式成立；当n≥2时，，在（2）中，取k=，得f（x）≤x2，从而可得，由此可证结论．【解答】（1）解：函数的定义域为（﹣a，+∞），求导函数可得令f′（x）=0，可得x=1﹣a＞﹣a令f′（x）＞0，x＞﹣a可得x＞1﹣a；令f′（x）＜0，x＞﹣a可得﹣a＜x＜1﹣a∴x=1﹣a时，函数取得极小值且为最小值∵函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，∴f（1﹣a）=1﹣a﹣0，解得a=1（2）解：当k≤0时，取x=1，有f（1）=1﹣ln2＞0，故k≤0不合题意当k＞0时，令g（x）=f（x）﹣kx2，即g（x）=x﹣ln（x+1）﹣kx2，求导函数可得g′（x）=g′（x）=0，可得x1=0，①当k≥时，，g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，因此g（x）在（0，+∞）上单调递减，从而对任意的x∈[0，+∞），总有g（x）≤g（0）=0，即对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立；②当0＜k＜时，，对于，g′（x）＞0，因此g（x）在上单调递增，因此取时，g（x0）≥g（0）=0，即有f（x0）≤kx02不成立；综上知，k≥时对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，k的最小值为（3）证明：当n=1时，不等式左边=2﹣ln3＜2=右边，所以不等式成立当n≥2时，在（2）中，取k=，得f（x）≤x2，∴（i≥2，i∈N*）．∴=f（2）+＜2﹣ln3+=2﹣ln3+1﹣＜2综上，（n∈N*）．。
2012年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析
2012年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）（2012•天津）i是虚数单位.复数=（）2．（3分）（2012•天津）设φ∈R.则“φ=0”是“f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”3．（3分）（2012•天津）阅读程序框图.运行相应的程序.当输入x的值为﹣25时.输出x 的值为（）.x=﹣x35．（3分）（2012•天津）在（2x2﹣）5的二项展开式中.x项的系数为（）=.）==6．（3分）（2012•天津）在△ABC中.内角A.B.C所对的边分别是a.b.c．已知8b=5c.C=2B.cosB=.B）．sinB==．nC=sin2B=2×.=．7．（3分）（2012•天津）已知△ABC为等边三角形.AB=2．设点P.Q满足..λ∈R．若=﹣.则λ=（）.再根据﹣..+λ﹣λ）﹣的三角形法则求出.AB=2.即可求解！8．（3分）（2012•天津）设m.n∈R.若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2﹣.1+∪[1+.2.2+2].=1.整理得：m+n+1=mn≤x+1≤=2+22）≥0或]∪[2+2二、填空题9．（3分）（2012•天津）某地区有小学150所.中学75所.大学25所．先采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查.应从小学中抽取18 所学校.中学中抽取9 所学校．=.应该选取小学选取中学×75=910．（3分）（2012•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）.则该几何体的体积为18+9πm3．下部为两个半径均为的球体．分别求体积再相加即可．下部为两个半径均为的球体•（11．（3分）（2012•天津）已知集合A={x∈R||x+2|＜3}.集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}.且A∩B=（﹣1.n）.则m= ﹣1 .n= 1 ．12．（3分）（2012•天津）已知抛物线的参数方程为（t为参数）.其中p＞0.焦点为F.准线为l．过抛物线上一点M作l的垂线.垂足为E．若|EF|=|MF|.点M的横坐标是3.则p= 2 ．（﹣．再由解：抛物线的参数方程为（.0﹣（﹣．=+6p=9+13．（3分）（2012•天津）如图.已知AB和AC是圆的两条弦.过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E.与AB相交于点F.AF=3.FB=1.EF=.则线段CD的长为．3×1=×FCBD.BD=.（故答案为：14．（3分）（2012•天津）已知函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点.则实数k的取值范围是（0.1）∪（1.4）．==三、解答题15．（2012•天津）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1.x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[]上的最大值和最小值．2x+）=2x+）[.cos sin cos sin）=π．[.]（﹣（=（上的最大值为=2x+16．（2012•天津）现有4个人去参加娱乐活动.该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性.约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏.掷出点数为1或2的人去参加甲游戏.掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X.Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数.记ξ=|X﹣Y|.求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．每个人去参加甲游戏的概率为.去参加乙游戏的人数的概率为.===17．（2012•天津）如图.在四棱锥P﹣ABCD中.PA⊥平面ABCD.AC⊥AD.AB⊥BC.∠BAC=45°.PA=AD=2.AC=1．（1）证明：PC⊥AD；（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；（3）设E为棱PA上的点.满足异面直线BE与CD所成的角为30°.求AE的长．通过得出＞=cos30°=..0）证明：易得.•=0.解：=的一个法向量为=即则以=的一个法向量为==．由此得﹣=＜==cos30°=.h=AH===．.CD=sin∠ADC=由.sin∠FAB=sin135°=BF=..EF==..BE==.cos30°=h=．18．（2012•天津）已知{a n}是等差数列.其前n项和为S n.{b n}是等比数列.且a1=b1=2.a4+b4=27.s4﹣b4=10．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）记T n=a n b1+a n﹣1b2+…+a1b n.n∈N*.证明：T n+12=﹣2a n+10b n（n∈N*）．得方程组..19．（2012•天津）设椭圆的左右顶点分别为A.B.点P在椭圆上且异于A.B两点.O为坐标原点．（1）若直线AP与BP的斜率之积为.求椭圆的离心率；（2）若|AP|=|OA|.证明直线OP的斜率k满足|k|＞．..则可求得.①的左右顶点分别为的斜率之积为∴∴椭圆的离心率为∴代入②得．20．（2012•天津）已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0.其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈[0.+∞）.有f（x）≤kx2成立.求实数k的最小值；（3）证明：（n∈N*）．=0..k≥时.g时.对于.≤从而可得求导函数可得=0.k≥时时k≥时对任意的k=x∴＜﹣（。
2012年天津市高考数学试卷(理科)
2012年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题1．（3分）i是虚数单位，复数=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i2．（3分）设φ∈R，则“φ=0”是“f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（3分）阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为﹣25时，输出x 的值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．94．（3分）函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．35．（3分）在（2x2﹣）5的二项展开式中，x项的系数为（）A．10 B．﹣10 C．40 D．﹣406．（3分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，则cosC=（）A．B．C．D．（3分）已知△ABC为等边三角形，AB=2．设点P，Q满足，，7．λ∈R．若=﹣，则λ=（）A．B．C．D．8．（3分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2] D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）二、填空题9．（3分）某地区有小学150所，中学75所，大学25所．先采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取所学校，中学中抽取所学校．10．（3分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．11．（3分）已知集合A={x∈R||x+2|＜3}，集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，且A∩B=（﹣1，n），则m= ，n= ．12．（3分）已知抛物线的参数方程为（t为参数），其中p＞0，焦点为F，准线为l．过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E．若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p= ．13．（3分）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为．14．（3分）已知函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是．三、解答题15．已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[]上的最大值和最小值．16．现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．（1）证明：PC⊥AD；（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．18．已知{an }是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S 4﹣b4=10．（1）求数列{an }与{bn}的通项公式；（2）记Tn =anb1+an﹣1b2+…+a1bn，n∈N*，证明：Tn+12=﹣2an+10bn（n∈N*）．19．设椭圆的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．（1）若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞．20．已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值；（3）证明：（n∈N*）．2012年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）（2012•天津）i是虚数单位，复数=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i【分析】由题意，可对此代数分子分母同乘以分母的共轭，整理即可得到正确选项【解答】解：故选B2．（3分）（2012•天津）设φ∈R，则“φ=0”是“f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】直接把φ=0代入看能否推出是偶函数，再反过来推导结论即可．【解答】解：因为φ=0时，f（x）=cos（x+φ）=cosx是偶函数，成立；但f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数时，φ=kπ，k∈Z，推不出φ=0．故“φ=0”是“f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的充分而不必要条件．故选：A．3．（3分）（2012•天津）阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为﹣25时，输出x的值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．9【分析】根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当|x|≤1时跳出循环，输出结果．【解答】解：当输入x=﹣25时，|x|＞1，执行循环，x=﹣1=4；|x|=4＞1，执行循环，x=﹣1=1，|x|=1，退出循环，输出的结果为x=2×1+1=3．故选：C．4．（3分）（2012•天津）函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，f（0）f（1）＜0，可得函数在区间（0，1）内有唯一的零点【解答】解：由于函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，又f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，所以f（0）f（1）＜0，故函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内有唯一的零点，故选B．5．（3分）（2012•天津）在（2x2﹣）5的二项展开式中，x项的系数为（）A．10 B．﹣10 C．40 D．﹣40【分析】由题意，可先由公式得出二项展开式的通项==，再令10﹣3r=1，得r=3即可Tr+1得出x项的系数【解答】解：（2x2﹣）5的二项展开式的通项为==Tr+1令10﹣3r=1，得r=3故x项的系数为=﹣40故选D6．（3分）（2012•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，则cosC=（）A．B．C．D．【分析】直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sinB，cosB，然后利用平方关系式求出cosC的值即可．【解答】解：因为在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，所以8sinB=5sinC=5sin2B=10sinBcosB，所以cosB=，B为三角形内角，所以B ∈（0，）．C．所以sinB==．所以sinC=sin2B=2×=，cosC==．故选：A．7．（3分）（2012•天津）已知△ABC为等边三角形，AB=2．设点P，Q满足，，λ∈R．若=﹣，则λ=（）A．B．C．D．【分析】根据向量加法的三角形法则求出，进而根据数量积的定义求出再根据=﹣即可求出λ．【解答】解：∵，，λ∈R∴，∵△ABC为等边三角形，AB=2∴=+λ+（1﹣λ）=2×2×cos60°+λ×2×2×cos180°+（1﹣λ）×2×2×cos180°+λ（1﹣λ）×2×2×cos60°=2﹣4λ+4λ﹣4+2λ﹣2λ2，=﹣2λ2+2λ﹣2∵=﹣∴4λ2﹣4λ+1=0∴（2λ﹣1）2=0∴故选A8．（3分）（2012•天津）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2] D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，∴圆心到直线的距离d==1，整理得：m+n+1=mn≤，设m+n=x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2，x2=2﹣2，∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，解得：x≥2+2或x≤2﹣2，则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．故选D二、填空题9．（3分）（2012•天津）某地区有小学150所，中学75所，大学25所．先采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取18 所学校，中学中抽取9 所学校．【分析】从250所学校抽取30所学校做样本，样本容量与总体的个数的比为3：25，得到每个个体被抽到的概率，根据三个学校的数目乘以被抽到的概率，分别写出要抽到的数目，得到结果．【解答】解：某城地区有学校150+75+25=250所，现在采用分层抽样方法从所有学校中抽取30所，每个个体被抽到的概率是=，∵某地区有小学150所，中学75所，大学25所．∴用分层抽样进行抽样，应该选取小学×150=18所，选取中学×75=9所．故答案为：18，9．10．（3分）（2012•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为18+9πm3．【分析】由三视图可知该几何体为上部是一个长方体，长、宽、高分别为6，3，1（单位：m），下部为两个半径均为的球体．分别求体积再相加即可．【解答】解：由三视图可知该几何体为上部是一个长方体，长、宽、高分别为6，3，1（单位：m），体积6×3×1=18．下部为两个半径均为的球体，体积2ו（）3=9π故所求体积等于18+9π故答案为：18+9π11．（3分）（2012•天津）已知集合A={x∈R||x+2|＜3}，集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，且A∩B=（﹣1，n），则m= ﹣1 ，n= 1 ．【分析】由题意，可先化简A集合，再由B集合的形式及A∩B=（﹣1，n）直接作出判断，即可得出两个参数的值．【解答】解：A={x∈R||x+2|＜3}={x∈R|﹣5＜x＜1}，又集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，A∩B=（﹣1，n）．如图由图知m=﹣1，n=1，故答案为﹣1，1．12．（3分）（2012•天津）已知抛物线的参数方程为（t为参数），其中p＞0，焦点为F，准线为l．过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E．若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p= 2 ．【分析】把抛物线的参数方程化为普通方程为y2=2px，则由抛物线的定义可得及|EF|=|MF|，可得△MEF为等边三角形，设点M的坐标为（3，m ），则点E（﹣，m），把点M的坐标代入抛物线的方程可得 p=．再由|EF|=|ME|，解方程可得p的值．【解答】解：抛物线的参数方程为（t为参数），其中p＞0，焦点为F，准线为l，消去参数可得x=2p，化简可得y2=2px，表示顶点在原点、开口向右、对称轴是x轴的抛物线，故焦点F（，0），准线l的方程为x=﹣．则由抛物线的定义可得|ME|=|MF|，再由|EF|=|MF|，可得△MEF为等边三角形．设点M的坐标为（3，m ），则点E（﹣，m）．把点M的坐标代入抛物线的方程可得m2=2×p×3，即 p=．再由|EF|=|ME|，可得 p2+m2=，即 p2+6p=9++3p，解得p=2，或p=﹣6 （舍去），故答案为 2．13．（3分）（2012•天津）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为．【分析】由相交弦定理求出FC，由相似比求出BD，设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD•AD求解．【解答】解：由相交弦定理得到AF•FB=EF•FC，即3×1=×FC，FC=2，在△ABD中AF：AB=FC：BD，即3：4=2：BD，BD=，设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD•AD，即x•4x=（）2，x=故答案为：14．（3分）（2012•天津）已知函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是（0，1）∪（1，4）．【分析】先化简函数的解析式，在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象，结合图象，可得实数k的取值范围．【解答】解：y===函数y=kx﹣2的图象恒过点（0，﹣2）在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象结合图象可实数k的取值范围是（0，1）∪（1，4）故答案为：（0，1）∪（1，4）三、解答题15．（2012•天津）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[]上的最大值和最小值．【分析】（1）利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将f（x）=sin （2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1化为f（x）=sin（2x+），即可求得函数f（x）的最小正周期；（2）可分析得到函数f（x）在区间[]上是增函数，在区间[，]上是减函数，从而可求得f（x）在区间[]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x•cos+cos2x•sin+sin2x•cos﹣cos2x •sin+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴函数f （x ）的最小正周期T==π．（2）∵函数f （x ）在区间[]上是增函数，在区间[，]上是减函数， 又f （﹣）=﹣1，f （）=，f （）=1，∴函数f （x ）在区间[]上的最大值为，最小值为﹣1．16．（2012•天津）现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； （3）用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X ﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ．【分析】依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i （i=0，1，2，3，4），故P （A i ）=（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P （A 2）；（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B ，则B=A 3∪A 4，利用互斥事件的概率公式可求；（3）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．【解答】解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i （i=0，1，2，3，4），∴P （A i ）=（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）=；（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪A4，∴P（B）=P（A3）+P（A4）=（3）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A与A4互斥，故P（ξ=0）=P（A2）=P（ξ=2）=P（A1）+P（A3）=，P（ξ=4）=P（A）+P（A4）=∴ξ的分布列是数学期望Eξ=17．（2012•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．（1）证明：PC⊥AD；（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．【分析】解法一（1）以A为原点，建立空间直角坐标系，通过得出•=0，证出PC⊥AD．（2）求出平面PCD，平面PCD的一个法向量，利用两法向量夹角求解．（3）设E（0，0，h），其中h∈[0，2]，利用cos＜＞=cos30°=，得出关于h的方程求解即可．解法二：（1）通过证明AD⊥平面PAC得出PC⊥AD．（2）作AH⊥PC于点H，连接DH，∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．在RT△DAH中求解（3）因为∠ADC＜45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF，故∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CD所成的角．在△EBF中，因为EF＜BE，从而∠EBF=30°，由余弦定理得出关于h的方程求解即可．【解答】解法一：如图，以A为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，1，0），B（﹣，，0），P（0，0，2）．（1）证明：易得=（0，1，﹣2），=（2，0，0），于是•=0，所以PC ⊥AD．（2）解：=（0，1，﹣2），=（2，﹣1，0），设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z），则即取z=1，则以=（1，2，1）．又平面PAC的一个法向量为=（1，0，0），于是cos＜＞==，sin＜＞=所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值为．（3）设E（0，0，h），其中h∈[0，2]，由此得=（，﹣，h）．由=（2，﹣1，0），故cos＜＞===所以=cos30°=，解得h=，即AE=．解法二：（1）证明：由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD，又由AD⊥AC，PA∩AC=A，故AD⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，所以PC⊥AD．（2）解：如图，作AH⊥PC于点H，连接DH，由PC⊥AD，PC⊥AH，可得PC⊥平面ADH，因此DH⊥PC，从而∠AHD为二面角A ﹣PC﹣D的平面角．在RT△PAC中，PA=2，AC=1，所以AH=，由（1）知，AD⊥AH，在RT△DAH中，DH==，因此sin∠AHD==．所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值为．（3）解：如图，因为∠ADC＜45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF，故∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CD所成的角．由于BF∥CD，故∠AFB=∠ADC，在RT△DAC中，CD=，sin∠ADC=，故sin ∠AFB=．在△AFB中，由，AB=，sin∠FAB=sin135°=，可得BF=，由余弦定理，BF2=AB2+AF2﹣2ABAFcos∠FAB，得出AF=，设AE=h，在RT△EAF中，EF==，在RT△BAE中，BE==，在△EBF中，因为EF＜BE，从而∠EBF=30°，由余弦定理得到，cos30°=，解得h=，即AE=．18．（2012•天津）已知{an }是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a 1=b1=2，a4+b4=27，S4﹣b4=10．（1）求数列{an }与{bn}的通项公式；（2）记Tn =anb1+an﹣1b2+…+a1bn，n∈N*，证明：Tn+12=﹣2an+10bn（n∈N*）．【分析】（1）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项．（2）先写出Tn的表达式；方法一：借助于错位相减求和；方法二：用数学归纳法证明其成立．【解答】解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，s4=8+6d，由条件a4+b4=27，s4﹣b4=10，得方程组，解得，故an =3n﹣1，bn=2n，n∈N*．（2）证明：方法一，由（1）得，Tn =2an+22an﹣1+23an﹣2+…+2n a1；①；2Tn =22an+23an﹣1+…+2n a2+2n+1a1；②；由②﹣①得，Tn=﹣2（3n﹣1）+3×22+3×23+…+3×2n+2n+2 =+2n+2﹣6n+2=10×2n﹣6n﹣10；而﹣2an +10bn﹣12=﹣2（3n﹣1）+10×2n﹣12=10×2n﹣6n﹣10；故Tn +12=﹣2an+10bn（n∈N*）．方法二：数学归纳法，③当n=1时，T1+12=a1b1+12=16，﹣2a1+10b1=16，故等式成立，④假设当n=k时等式成立，即Tk +12=﹣2ak+10bk，则当n=k+1时有，T k+1=ak+1b1+akb2+ak﹣1b3+…+a1bk+1=ak+1b1+q（akb1+ak﹣1b2+…+a1bk）=ak+1b1+qTk=ak+1b1+q（﹣2ak+10bk﹣12）=2ak+1﹣4（ak+1﹣3）+10bk+1﹣24=﹣2ak+1+10bk+1﹣12．即Tk+1+12=﹣2ak+1+10bk+1，因此n=k+1时等式成立．③④对任意的n∈N*，Tn +12=﹣2an+10bn成立．19．（2012•天津）设椭圆的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点． （1）若直线AP 与BP 的斜率之积为，求椭圆的离心率；（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP 的斜率k 满足|k|＞．【分析】（1）设P （x 0，y 0），则，利用直线AP 与BP 的斜率之积为，即可求得椭圆的离心率；（2）依题意，直线OP 的方程为y=kx ，设P （x 0，kx 0），则，进一步可得，利用AP|=|OA|，A （﹣a ，0），可求得，从而可求直线OP 的斜率的范围． 【解答】（1）解：设P （x 0，y 0），∴①∵椭圆的左右顶点分别为A ，B ，∴A （﹣a ，0），B （a ，0）∴，∵直线AP 与BP 的斜率之积为，∴代入①并整理得∵y 0≠0，∴a 2=2b 2 ∴∴∴椭圆的离心率为；（2）证明：依题意，直线OP 的方程为y=kx ，设P （x 0，kx 0），∴∵a ＞b ＞0，kx 0≠0，∴∴②∵|AP|=|OA|，A（﹣a，0），∴∴∴代入②得∴k2＞3∴直线OP的斜率k满足|k|＞．20．（2012•天津）已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值；（3）证明：（n∈N*）．【分析】（1）确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，求得函数的最小值，利用函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，即可求得a的值；（2）当k≤0时，取x=1，有f（1）=1﹣ln2＞0，故k≤0不合题意；当k＞0时，令g（x）=f（x）﹣kx2，即g（x）=x﹣ln（x+1）﹣kx2，求导函数，令g′=0，，分类讨论：①当k≥时，，（x）=0，可得x1g（x）在（0，+∞）上单调递减，g（x）≤g（0）=0；②当0＜k＜时，，对于，g′（x）＞0，因此g（x）在上单调递增，由此可确定k的最小值；（3）当n=1时，不等式左边=2﹣ln3＜2=右边，不等式成立；当n≥2时，，在（2）中，取k=，得f（x）≤x2，从而可得，由此可证结论．【解答】（1）解：函数的定义域为（﹣a，+∞），求导函数可得令f′（x）=0，可得x=1﹣a＞﹣a令f′（x）＞0，x＞﹣a可得x＞1﹣a；令f′（x）＜0，x＞﹣a可得﹣a＜x＜1﹣a∴x=1﹣a时，函数取得极小值且为最小值∵函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，∴f（1﹣a）=1﹣a﹣0，解得a=1（2）解：当k≤0时，取x=1，有f（1）=1﹣ln2＞0，故k≤0不合题意当k＞0时，令g（x）=f（x）﹣kx2，即g（x）=x﹣ln（x+1）﹣kx2，求导函数可得g′（x）=g′（x）=0，可得x1=0，①当k≥时，，g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，因此g（x）在（0，+∞）上单调递减，从而对任意的x∈[0，+∞），总有g（x）≤g（0）=0，即对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立；②当0＜k＜时，，对于，g′（x）＞0，因此g（x）在上单调递增，因此取时，g（x0）≥g（0）=0，即有f（x）≤kx2不成立；综上知，k≥时对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，k的最小值为（3）证明：当n=1时，不等式左边=2﹣ln3＜2=右边，所以不等式成立当n≥2时，在（2）中，取k=，得f（x）≤x2，∴（i≥2，i∈N*）．∴=f（2）+＜2﹣ln3+=2﹣ln3+1﹣＜2综上，（n∈N*）．。
天津市高考数学试卷及答案(理数)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学 （理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分.参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=·棱柱的体积公式Sh V =其中S 表示棱柱的底面面积， h 表示棱柱的高。
·如果事件A ，B 相互独立，那么 )()()(B P A P AB P = ·球的体积公式334R V π= 其中R 表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）i 是虚数单位，复数i i +-37= （A ） 2 + i （B ）2 – i（C ）-2 + i （D ）-2 – i（2）设,R ∈ϕ则“0=ϕ”是“))(cos()(R x x x f ∈+=ϕ为偶函数”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分与不必要条件（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为-25时，输出x 的值为（A ）-1 （B ）1（C ）3 （D ）9（4）函数22)(3-+=x x f x 在区间(0,1)内的零点个数是（A ）0 （B ）1（C ）2 （D ）3（5）在52)12(x x -的二项展开式中，x 的系数为（A ）10 （B ）-10（C ）40 （D ）-40（6）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是c b a ,,，已知8b=5c ，C=2B ，则cosC=（A ）257 （B ）257- （C ）257± （D ）2524 （7）已知ABC ∆为等边三角形，AB=2，设点P ，Q 满足λ=，AC AQ )1(λ-=，R ∈λ，若23=∙−→−−→−CP BQ ，则λ=（A ）21 （B ）221± （C ）2101± （D ）2223±- （8）设R n m ∈,，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切，则m + n 的取值范围是（A ）]31,31[+- （B ）),31[]31,(+∞+⋃--∞（C ）]222,222[+- （D ）),222[]222,(+∞+⋃--∞第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2012年高考真题——理科数学试题及答案(天津卷、山东卷、上海卷、全国新课标卷、大纲版)解析版
2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学 （理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）i 是虚数单位，复数ii+-37= （A ） 2 + i （B ）2 – i （C ）-2 + i （D ）-2 – i【解析】复数i ii i i i i i -=-=+---=+-2101020)3)(3()3)(7(37，选B. 【答案】B（2）设,R ∈ϕ则“0=ϕ”是“))(cos()(R x x x f ∈+=ϕ为偶函数”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分与不必要条件【解析】函数)cos()(ϕ+=x x f 若为偶函数，则有Z k k ∈=,πϕ,所以“0=ϕ”是“)cos()(ϕ+=x x f 为偶函数”的充分不必要条件，选A.【答案】A（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为-25时，输出x 的值为（A ）-1 （B ）1 （C ）3 （D ）9【解析】第一次循环,415125=-=--=x ，第二次循环11214=-=-=x ，第三次循环不满足条件输出3112=+⨯=x ，选C.【答案】C（4）函数22)(3-+=x x f x在区间(0,1)内的零点个数是 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【解析】因为函数22)(3-+=x x f x的导数为032ln 2)('2≥+=x x f x，所以函数22)(3-+=x x f x 单调递增，又0121)0(<-=-=f ，01212)1(>=-+=f ，所以根据根的存在定理可知在区间)1,0(内函数的零点个数为1个，选B. 【答案】B（5）在52)12(xx -的二项展开式中，x 的系数为（A ）10 （B ）-10 （C ）40 （D ）-40【解析】二项展开式的通项为k k k k k k kk x C xx C T )1(2)1()2(310555251-=-=---+，令1310=-k ，解得3,93==k k ，所以x x C T 40)1(232354-=-=，所以x 的系数为40-，选D.【答案】D（6）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是c b a ,,，已知8b=5c ，C=2B ，则cosC=（A ）257 （B ）257- （C ）257± （D ）2524【解析】因为B C 2=,所以B B B C cos sin 2)2sin(sin ==,根据正弦定理有BbC c sin sin =，所以58sin sin ==B C b c ，所以545821sin 2sin cos =⨯==B C B 。
2012年天津市高考数学试卷(理科)及解析
2012年天津市高考数学试卷(理科)及解析数学（理工类）名师简评该套试卷整体上来说与往年相比，比较平稳，试题中没有偏题和怪题，在考查了基础知识的基础上，还考查了同学们灵活运用所学知识的解决问题的能力。
题目没有很多汉字的试题，都是比较简约型的。
但是不乏也有几道创新试题，像选择题的第8题，填空题的13题，解答题第20题，另外别的试题保持了往年的风格，入题简单，比较好下手，但是做出来并不是很容易。
整体上试题由梯度，由易到难，而且大部分试题适合同学们来解答体现了双基，考查了同学们的四大思想的运用，是一份比较好的试卷。
本试卷分为第I 卷（选择题〉和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分,考试用时120分钟 第I 卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）i 是虚数单位，复数7=3i z i -+=（A ）2i + （Ｂ）2i - （Ｃ）2i -+ （Ｄ）2i --１．B【命题意图】本试题主要考查了复数的概念以及复数的加、减、乘、除四则运算.【解析】7=3i z i -+=(7)(3)(3)(3)i i i i --+-=2173110i i ---=2i -（２）设R ϕ∈，则“=0ϕ”是“()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的（A ）充分而不必要条件 （Ｂ）必要而不充分条件（Ｃ）充分必要条件 （Ｄ）既不充分也不必要条件 2．A【命题意图】本试题主要考查了三角函数的奇偶性的判定以及充分条件与必要条件的判定.【解析】∵=0ϕ⇒()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数，反之不成立，∴“=0ϕ”是“()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的充分而不必要条件.（３）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为（A ）1- （Ｂ）1 （Ｃ）3 （Ｄ）93．C【命题意图】本试题主要考查了算法框图的读取，并能根据已给的算法程序进行运算. 【解析】根据图给的算法程序可知：第一次=4x ，第二次=1x ，则输出=21+1=3x ⨯.（4）函数3()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是 （A ）0 （Ｂ）1 （Ｃ）2 （Ｄ）34．B【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想，函数的零点的概念，零点存在定理以及作图与用图的数学能力.【解析】解法1：因为(0)=1+02=1f --，3(1)=2+22=8f -，即(0)(1)<0f f ⋅且函1. B并借助于通项公式分【解析】∵25-1+15=(2)()r r r r T C x x -⋅-=5-10-352(1)r r r rC x -，∴103=1r -，即=3r ，∴x 的系数为40-.（6）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，已知8=5b c ，=2C B ，则cosC=（A ）725 （Ｂ）725- （Ｃ）725±（Ｄ）24256．A【命题意图】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式. 考查学生分析、转化与计算等能力.【解析】∵8=5b c ，由正弦定理得8sin =5sin B C ，又∵=2C B ，∴8si n =5s i n 2B B ，所以8s i n=10B B B ，易知sin 0B ≠，∴4c o s=5B ，2cos =cos 2=2cos 1C B B -=725.（7）已知△ABC 为等边三角形，=2AB ，设点P ，Q 满足=AP AB λ，=(1)AQ AC λ-，R λ∈，若3=2BQ CP ⋅-，则=λ（A ）12（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）7．A【命题意图】本试题以等边三角形为载体，主要考查了向量加减法的几何意义，平面向量基本定理，共线向量定理及其数量积的综合运用.【解析】∵=BQ AQ AB -=(1)AC AB λ--，=CP AP AC -=AB AC λ-，又∵3=2B Q CP⋅-，且||=|A B A C，0<,>=60AB AC ，=||||cos 60=2AB AC AB AC ⋅⋅，∴3[(1)]()=2A C AB A BA C λλ----，2223||+(1)+(1)||=2AB AB AC AC λλλλ--⋅-，所以234+2(1)+4(1)=2λλλλ---，解得1=2λ.C（8）设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是（A）[1-（Ｂ）(,1[1+3,+)-∞-∞（Ｃ）[2-（Ｄ）(,2[2+22,+)-∞-∞8．D【命题意图】本试题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，重要不等式，一元二次不等式的解法，并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力.【解析】∵直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，∴圆心(1,1)到直线的距离为d ，所以21()2m n mn m n +=++≤，设=t m n +，则21+14t t ≥，解得(,2[2+22,+)t ∈-∞-∞.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调査，应从小学中抽取 所学校，中学中抽取所学校.9．18，9【命题意图】本试题主要考查了统计中的分层抽样的概念以及样本获取的方法与计算. 【解析】∵分层抽样也叫按比例抽样，由题知学校总数为250所，所以应从小学中抽取15030=18250⨯，中学中抽取7530=9250⨯.（10）―个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为3m.10．18+9π【命题意图】本试题主要考查了简单组合体的三视图的画法与体积的计算以及空间想象能力.【解析】由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体，所以其体积为：343=361+2()32Vπ⨯⨯⨯⨯=18+9π3m.（11）已知集合={||+2|<3}A x R x∈，集合={|()(2)B x R x m x∈--,且=(1,)A B n-，则=m,=n.11．1-，1【命题意图】本试题主要考查了集合的交集的运算及其运算性质，同时考查绝对值不等式与一元二次不等式的解法以及分类讨论思想.【解析】∵={||+2|<3}A x R x∈={||5<<1}x x-,又∵=(1,)A B n-，画数轴可知=1m-，=1n.（12）己知抛物线的参数方程为2=2,=2,x pt y pt ⎧⎨⎩（t 为参数），其中>0p ，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作的垂线，垂足为E ，若||=||EF MF ，点M 的横坐标是3，则=p .12．2【命题意图】本试题主要考查了参数方程及其参数的几何意义，抛物线的定义及其几何性质.【解析】∵2=2,=2,x pt y pt ⎧⎨⎩可得抛物线的标准方程为2=2y px (>0)p ，∴焦点(,0)2p F ，∵点M 的横坐标是3，则(3)M ，所以点(,)2p E -，222=()+(06)22p p EF p -由抛物线得几何性质得=+32pMF ，∵=EF M F ，∴221+6=+3+94p p p p ，解得=2p .（13）如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦.过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D,过点C 作BD 的平行线与圆相交于点Ｅ，与AB 相交于点F ，=3AF ，=1FB ，3=2EF ，则线段CD 的长为.13．43【命题意图】本试题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系，相交弦定理，切割线定理，相似三角形的概念、判定与性质. 【解析】∵=3AF ，=1FB ，3=2EF ，由相交弦定理得=AF FB EF FC ⋅⋅，所以=2FC ，又∵BD ∥CE ，∴=AF FC AB BD ，4==23AB BD FC AF ⋅⨯=83，设=C D x ，则=4AD x ，再由切割线定理得2=BD CD AD ⋅，即284=()3x x ⋅，解得4=3x ，故4=3CD . （14）已知函数2|1|=1x y x --的图象与函数=2y kx -的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 . 14．(0,1)(1,4)【命题意图】本试题主要考查了函数的图像及其性质，利用函数图像确定两函数的交点，从而确定参数的取值范围.【解析】∵函数=2y kx -的图像直线恒过定点B(0,2)-，且(1,2)A -，(1,0)C -，(1,2)D ，∴2+2==010AB k --，0+2==210BC k ---，2+2==410BD k -，由图像可知.2)=sin (2+)+sin(2)+2cos 133x x x ππ--，(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为=sin (+)y A x ωϕ的数学模型，再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可. （16）（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率：（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率： （Ⅲ）用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记=||X Y ξ-，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点，近年来都通过概率问题来考查，且常考常新,对于此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型，独立事件、互斥事件等概率模型求解，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键.（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA 丄平面ABCD ，AC 丄AD ，AB 丄BC ，=45ABC ∠，==2PA AD ，=1AC .(Ⅰ)证明PC 丄AD ；（Ⅱ）求二面角A PC D --的正弦值；（Ⅲ）设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为030，求AE 的长.【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】【点评】试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似，但底面是非特殊的四边形，一直线垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是第三问中点E 的位置是不确定的，需要学生根据已知条件进行确定，如此说来就有难度，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好.（18）(本小题满分13分）已知{na }是等差数列，其前n 项和为nS ，{nb }是等比数列,且1a = 1=2b ，44+=27a b ，44=10S b -.(Ⅰ)求数列{na }与{nb }的通项公式；(Ⅱ)记1121=+++n n n n T a b a b a b -，+n N ∈，证明+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈.【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】 【点评】该试题命制比较直接，没有什么隐含的条件，就是等比与等差数列的综合应用，但方法多样，第二问可以用错位相减法求解证明，也可用数学归纳法证明，给学生思维空间留有余地，符合高考命题选拔性的原则.（19）（本小题满分14分）设椭圆2222+=1x y ab (>>0)a b 的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若直线AP 与BP 的斜率之积为12-，求椭圆的离心率；（Ⅱ）若||=||AP OA ，证明直线OP 的斜率k满足|k 【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】【点评】（20）（本小题满分14分）已知函数()=ln(+)f x x x a-的最小值为0，其中>0a.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若对任意的[0,+)x∈∞,有2()f x kx≤成立，求实数k的最小值；（Ⅲ）证明=12ln(2+1)<2 21nin i--∑*()n N∈.【命题意图】本试题主要考查了【参考答案】【点评】试题分为三问，题面比较简单，给出的函数比较常规，因此入手对于同学们来说没有难度，第二问中，解含参数的不等式时，要注意题中参数的讨论所有的限制条件，从而做到不重不漏；第三问中，证明不等式，应借助于导数证不等式的方法进行.。
2012年高考理科数学天津卷(含答案解析)
绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：如果事件A ，B 互斥 ，那么 如果事件A ，B 相互独立，那么 ()()()P AB P A P B =+()()()P AB P A P B =⋅棱柱的体积公式V Sh =球的体积公式34π3V R =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 其中R 表示球的半径 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. i 是虚数单位，复数7i3i-=+（ ）A. 2i +B. 2i -C. 2i -+D. 2i --2. 设ϕ∈R 则“0ϕ=”是“()cos()()f x x x ϕ=+∈R 为偶函数”的 （ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为 （ ） A. 1- B. 1 C. 3D. 94. 函数3()22x f x x =+-在区间(0,1)内的零点个数是 （ ） A. 0 B. 1 C. 2D. 35. 在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数为 （ ）A. 10B. 10-C. 40D. 40-6. 在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知85b c =，2C B =，则cos C =（ ）A. 725B. 725-C. 725±D. 24257. 已知ABC △为等边三角形，2AB =，设点P ，Q 满足AP AB λ=，(1)AQ AC λ=-，λ∈R ，若32BQ CP ⋅=-，则λ=（ ）A. 1B.C. D. 8. 设,m n ∈R ，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n+的取值范围是（ ）A. [1B. [,1[13,]-∞++∞ C. [2-+D. [,2[222,]-∞-++∞第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上.2. 本卷共12小题，共110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某地区有小学150所，中学75所，大学25所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取_________所学校，中学中抽取_________所学校.10. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_________3m .11. 已知集合{|23}A x x =∈+<R ，集合{|()(2)3}B x x m x =∈--<R ，且(1,)A B n =-，则m =_________，n =_________.12. 已知抛物线的参数方程为22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩（t 为参数），其中0p >，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若||||EF MF =，点M 的横坐标是3，则p =_________.13. 如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，3AF =，1FB =，32EF =，则线段CD 的长为_________.14. 已知函数2|1|1x y x -=-的图象与函数2y kx =-的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是_________.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程，或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数2ππ()sin(2)sin(2)2cos 133f x x x x =++-+-，x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ[,]44-上的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（Ⅲ）用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记||X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AC AD ⊥，AB BC ⊥，45BAC ∠=，2PA AD ==，1AC =.（Ⅰ）证明PC AD ⊥；（Ⅱ）求二面角A PC D --的正弦值；（Ⅲ）设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30，求AE 的长.18.（本小题满分13分）已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且112a b ==，4427a b +=，4410S b -=.（Ⅰ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记1121n n n n T a b a b a b -=+++，*n ∈N ，证明*12210()n n n T a b n +=-+∈N .19.（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若直线AP 与BP 的斜率之积为12-，求椭圆的离心率； （Ⅱ）若||||AP OA =，证明直线OP 的斜率k满足||k >.20.（本小题满分14分）已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中0a ＞. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若对任意的[0,)x ∈+∞，有2()f x kx ≤成立，求实数k 的最小值； （Ⅲ）证明1*2ln(21)2()21ni n i n =-+-∈∑N ＜.2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）答案解析)(1)0f<，且函在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B1()2r rx--=【提示】由题意，可先由公式得出二项展开式的通项A【解析】∵(1)BQ AQ AB AC ABλ=-=--，CP AP AC AB ACλ=-=-，又∵32BQ CP=-，且2A B A C==，,60AB AC<>=，cos60AB AC AB AC︒==3[(1)]()2AC AB AB ACλλ---=-，2223(1)(1)2AB AB AC ACλλλλ+--+-=，2(1)4(1)2λλλ+--+-=，解得2λ=．(1)BQ AQ AB AC ABλ=-=--，CP AP AC AB ACλ=-=-进而根据数量积的定义求出BQ CP再根据32BQ CP=-即可求出λ．2][222,+，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形．第Ⅱ卷(1,AB n =-213,34EF MF p p p ==++2．AF FB EF FC =，所以FC 又48//,,233AF FC AB BD CE BD FC AB BD AF ∴===⨯=，设CD x =，则4AD =再由切割线定理得2BD CD AD =，即2843x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得4x =42FC =，由相似比求出CD AD 求解．【考点】圆的性质的应用． (0,1)(1,4)2y kx =-的图像直线恒过定点010=-，10BC k --10-(0,1)(1,4)．2(4,)B p ⇒人中去(4)P X +=【考点】互斥事件与相对独立事件的相关性质，数学期望．（Ⅰ）以,,AD AC AP 为,x y 则(2,0,0),(0,1,0),(0,0,2)D C P(0,1,2),(2,0,0)PC AD PC AD PC AD=-=⇒⇔⊥（Ⅱ）(0,1,2),(2,1,0)PC CD =-=-的法向量(,,)n x y z =0200n PC x y n CD ⎧=⎪⇔⇔⎨⎨⎨-==⎩⎩⎪⎩(1,2,1)n ⇒=(2,0,0)AD =是平面PAC 的法向量630cos ,sin ,6AD n AD n AD n AD n<>==⇒<>=得：二面角A PC D --的正弦值为306． ；则(0,0,2)AE =，11,,,(2,1,0)BE h CD ⎛⎫==- ⎪3310,2101020BE CDBE CD h BE CD <>=⇔⇔=+，10=．为原点，建立空间直角坐标系，通过得出PC AD ，证出的一个法向量，利用两法向量夹角求解．3,BE CD <>=，得出关于h 的方程求解即可．。
2012年天津市高考数学试卷(理科)
2012年天津市高考数学试卷(理科)
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2012年普通高等学校招生全国统一考试天津卷理科数学(2012年天津市高考理科数学)
2012年普通高等学校招生全国统一考试天津理科1.i 是虚数单位，复数7i 3i-+＝( ).A ．2＋iB ．2﹣iC ．﹣2＋iD ．﹣2﹣iB 7i 3i -+＝(7i)(3i)(3i)(3i)--+-＝22217i 3i i 9i --+-＝2010i 10-＝2﹣i. 2.设φ∈R ，则“φ＝0”是“f(x)＝cos (x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的( ).A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件A φ＝0时，f(x)＝cos x ，f(﹣x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数;若f(x)为偶函数，则f(0)＝±1，∴cos φ＝±1，∴φ＝kπ(k ∈Z ).∴是充分而不必要条件.3.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为﹣25时，输出x 的值为( ). A ．﹣1 B ．1 C ．3 D ．9 C x ＝|﹣25|>1，x1＝4;x ＝|4|>1，x 1＝1;x ＝|1|>1不成立， ∴x ＝2×1＋1＝3.4.函数f(x)＝2x ＋x 3﹣2在区间(0，1)内的零点个数是( ). A ．0 B ．1 C ．2 D ．3B f'(x)＝2x ln 2＋3x 2，在(0，1)上f'(x)>0恒成立，∴f(x)在区间(0，1)上单调递增.又∵f(0)＝20＋03﹣2＝﹣1<0，f(1)＝21＋13﹣2＝1>0， ∴f(x)在区间(0，1)上存在一个零点. 5.在5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，x 的系数为( ).A ．10B ．﹣10C ．40D ．﹣40D T r ＋1＝r 5C (2x 2)5﹣r r1x⎛⎫- ⎪⎝⎭＝(﹣1)r 25﹣r r 5C x 10﹣3r ，∴当10﹣3r ＝1时，r ＝3.∴(﹣1)325﹣335C ＝﹣40.6.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，C ．已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( ). A ．725B ．﹣725C ．±725D ．2425A 在△ABC 中，由正弦定理：b Bsin ＝c Csin ，∴C Bsin sin ＝c b，∴2B Bsin sin ＝85，∴cos B ＝45.∴cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B ﹣1＝725.7.已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1﹣λ)AC ，λ∈R.若BQ ·CP ＝﹣32，则λ＝( ).A ．12B C D A设AB ＝a ，AC ＝b ，则|a|＝|b|＝2，且<a ，b>＝3π.BQ ＝AQ ﹣AB ＝(1﹣λ)b ﹣a ，CP ＝AP ﹣AC ＝λa ﹣B ． BQ ·CP ＝[(1﹣λ)b ﹣a ]·(λa ﹣b )＝[λ(1﹣λ)＋1]a ·b ﹣λa 2﹣(1﹣λ)b 2 ＝(λ﹣λ2＋1)×2﹣4λ﹣4(1﹣λ) ＝﹣2λ2＋2λ﹣2＝﹣32.即(2λ﹣1)2＝0，∴λ＝12.8.设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y ﹣2＝0与圆(x ﹣1)2＋(y ﹣1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( ).A ．[11B ．(﹣∞，1∪[1∞)C ．[2﹣2＋D ．(﹣∞，2﹣∪[2＋∞) D 直线与圆相切，1，∴|m ＋n| 即：mn ＝m ＋n ＋1，设m ＋n ＝t ，则mn ≤2m n 2+⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2t 4，∴t ＋1≤2t 4，∴t 2﹣4t ﹣4≥0，解得：t ≤2﹣t ≥2＋9.某地区有小学150所，中学75所，大学25所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取__________所学校，中学中抽取__________所学校.18 9 共有学校150＋75＋25＝250所，∴小学中应抽取：30×150250＝18所，中学中应抽取：30×75250＝9所.10.一个几何体的三视图如图所示(单位：m )，则该几何体的体积为__________m 3.18＋9π 由几何体的三视图可知该几何体的顶部是长、宽、高分别为6m ，3m ，1m 的长方体，底部为两个直径为3m 的球.∴该几何体的体积为：V ＝6×3×1＋2×43π×332⎛⎫ ⎪⎝⎭＝18＋9π(m 3).11.已知集合A ＝{x ||x 2|3}R ∈+<，集合B ＝{x |(x m)(x 2)0}R ∈--<，且A ∩B ＝(﹣1，n )，则m ＝__________，n ＝__________.﹣1 1 A ＝{x ∈R||x ＋2|<3}，∴|x ＋2|<3.∴﹣3<x ＋2<3，∴﹣5<x<1.又∵B ＝{x ∈R|(x ﹣m )(x ﹣2)<0}，且A ∩B ＝(﹣1，n )，∴﹣1是方程(x ﹣m)(x ﹣2)＝0的根，n 是区间(﹣5，1)的右端点， ∴m ＝﹣1，n ＝1.12.已知抛物线的参数方程为2x 2pt ,y 2pt⎧=⎨=⎩(t 为参数)，其中p>0，焦点为F ，准线为l.过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E.若|EF|＝|MF|，点M 的横坐标是3，则p ＝__________.2 由参数方程2x 2pt ,y 2pt⎧=⎨=⎩(t 为参数)，p>0，可得曲线方程为：y 2＝2px(p>0). ∵|EF|＝|MF|，且|MF|＝|ME|(抛物线定义)， ∴△MEF 为等边三角形，E 的横坐标为﹣p 2，M 的横坐标为3.∴EM 中点的横坐标为：p322-，与F 的横坐标p 2相同， ∴p322-＝p 2，∴p ＝2.13.如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D ．过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为__________.43在圆中，由相交弦定理：AF·FB ＝EF·FC ， ∴FC ＝AF?FB EF＝2，由三角形相似，FC BD ＝AF AB，∴BD ＝FC?AB AF＝83.由切割弦定理：DB 2＝DC·DA ， 又DA ＝4CD ， ∴4DC 2＝DB 2＝649.∴DC ＝43.14.已知函数y ＝2|x 1|x 1--的图象与函数y ＝kx ﹣2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________.(0，1)∪(1，4) y ＝2|x 1|x 1--＝|x 1||x 1|x 1+--＝x 1,x 1,-|x 1|,x 1,+>⎧⎨+<⎩ 函数y ＝kx ﹣2过定点(0，﹣2)，由数形结合：k AB <k<1或1<k<k AC ， ∴0<k<1或1<k<4.15.已知函数f(x)＝sin 2x 3π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋sin 2x 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋2cos 2x ﹣1，x ∈R . (1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.解：(1)f(x)＝sin 2x·cos 3π＋cos 2x·sin 3π＋sin 2x·cos 3π﹣cos 2x·sin 3π＋cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x 2x 4π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.所以，f(x)的最小正周期T ＝22π＝π.(2)因为f(x)在区间,48ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，在区间,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，又f 4π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝﹣1，f 8π⎛⎫ ⎪⎝⎭f4π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，故函数f (x )在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1.16.现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X ﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ).解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4)，则P(A i )＝i4ii 41233C -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A 2)＝22241233C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝827.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4.由于A 3与A 4互斥，故P(B)＝P(A 3)＋P(A 4)＝3341233C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋44413C ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝19. 所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能取值为0，2，4.由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故P(ξ＝0)＝P(A 2)＝827，P(ξ＝2)＝P(A 1)＋P(A 3)＝4081，P(ξ＝4)＝P(A 0)＋P(A 4)＝1781.所以ξ的分布列是随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝0×827＋2×4081＋4×1781＝14881.17.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，PA ＝AD ＝2，AC ＝1.(1)证明PC ⊥AD;(2)求二面角A ﹣PC ﹣D 的正弦值;(3)设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长. 解法一：如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0，0，0)，D(2，0，0)，C(0，1，0)，B(﹣12，12，0)，P(0，0，2).(1)证明：易得PC ＝(0，1，﹣2)，AD ＝(2，0，0)， 于是PC ·AD ＝0， 所以PC ⊥AD ．(2)PC ＝(0，1，﹣2)，CD ＝(2，﹣1，0). 设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则n?0,n?0,PC CD ⎧=⎪⎨=⎪⎩即y 2z 0,2x y 0.-=⎧⎨-=⎩不妨令z ＝1， 可得n ＝(1，2，1).可取平面P AC 的法向量m ＝(1，0，0). 于是cos <m ，n>＝m?n |m||n |从而sin <m ，n>所以二面角A ﹣PC ﹣D(3)设点E 的坐标为(0，0，h)，其中h ∈[0，2]，由此得BE ＝11,-,h 22⎛⎫ ⎪⎝⎭.由CD ＝(2，﹣1，0)，故 cos <BE ，CD >＝BE?CD |BE||CD |＝3cos 30h，即AE .解法二：(1)证明：由PA ⊥平面ABCD ，可得PA ⊥AD ，又由AD ⊥AC ，PA∩AC ＝A ，故AD ⊥平面PAC ．又PC ⊂平面PAC ，所以PC ⊥AD ．(2)如图，作AH ⊥PC 于点H ，连接DH.由PC ⊥AD ，PC ⊥AH ，可得PC ⊥平面ADH.因此DH ⊥PC ，从而∠AHD 为二面角A ﹣PC ﹣D 的平面角. 在Rt △PAC 中，PA ＝2，AC ＝1，由此得AH由(1)知AD ⊥AH ，故在Rt △DAH中，DH.因此sin ∠AHD ＝AD DH所以二面角A ﹣PC ﹣D(3)如图，因为∠ADC<45°，故过点B 作CD 的平行线必与线段AD 相交，设交点为F ，连接BE ，EF.故∠EBF或其补角为异面直线BE 与CD 所成的角.由于BF ∥CD ，故∠AFB ＝∠ADC ．在Rt △DAC 中，CD sin ∠ADCsin ∠AFB在△AFB 中，由BFFAB sin ∠＝AB AFB sin ∠，AB sin ∠FAB ＝sin 135BF 由余弦定理，BF 2＝AB 2＋AF 2﹣2AB·AF·cos ∠FAB ， 可得AF ＝12.设AE ＝h.在Rt △EAF 中，EF在Rt △BAE 中，BE在△EBF 中，因为EF<BE ，从而∠EBF ＝30°，由余弦定理得cos 30°＝222BE BF EF 2BE?BF+-.可解得h .所以AE .18.已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4﹣b 4＝10.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式;(2)记T n ＝a n b 1＋a n ﹣1b 2＋…＋a 1b n ，n ∈N *，证明T n ＋12＝﹣2a n ＋10b n (n ∈N *).(1)解：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q.由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6D ．由条件，得方程组3323d 2q 27,86d 2q 10.⎧++=⎨+-=⎩解得d 3,q 2.=⎧⎨=⎩ 所以a n ＝3n ﹣1，b n ＝2n ，n ∈N *.(2)证明：(方法一)由(1)得T n ＝2a n ＋22a n ﹣1＋23a n ﹣2＋…＋2n a 1，①2T n ＝22a n ＋23a n ﹣1＋…＋2n a 2＋2n ＋1a 1.② 由②﹣①，得T n ＝﹣2(3n ﹣1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n ＋2n ＋2＝n 112(12)12---＋2n ＋2﹣6n ＋2＝10×2n ﹣6n ﹣10. 而﹣2a n ＋10b n ﹣12＝﹣2(3n ﹣1)＋10×2n ﹣12＝10×2n ﹣6n ﹣10，故 T n ＋12＝﹣2a n ＋10b n ，n ∈N *. (方法二：数学归纳法)①当n ＝1时，T 1＋12＝a 1b 1＋12＝16，﹣2a 1＋10b 1＝16，故等式成立;②假设当n ＝k 时等式成立，即T k ＋12＝﹣2a k ＋10b k ，则当n ＝k ＋1时有： T k ＋1＝a k ＋1b 1＋a k b 2＋a k ﹣1b 3＋…＋a 1b k ＋1 ＝a k ＋1b 1＋q(a k b 1＋a k ﹣1b 2＋…＋a 1b k ) ＝a k ＋1b 1＋qT k＝a k ＋1b 1＋q(﹣2a k ＋10b k ﹣12) ＝2a k ＋1﹣4(a k ＋1﹣3)＋10b k ＋1﹣24 ＝﹣2a k ＋1＋10b k ＋1﹣12，即T k ＋1＋12＝﹣2a k ＋1＋10b k ＋1，因此n ＝k ＋1时等式也成立.由①和②，可知对任意n ∈N *，T n ＋12＝﹣2a n ＋10b n 成立.19.设椭圆22x a ＋22y b＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点.(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为﹣12，求椭圆的离心率;(2)若|AP|＝|OA|，证明直线OP 的斜率k 满足(1)解：设点P 的坐标为(x 0，y 0).由题意，有202x a ＋202y b＝1① 由A(﹣a ，0)，B(a ，0)，得k AP ＝00y x a+，k BP ＝00y x a-.由k AP ·k BP ＝﹣12，可得20x ＝a 2﹣220y ，代入①并整理得(a 2﹣2b 2)20y ＝0.由于y 0≠0，故a 2＝2b 2.于是e 2＝222a b a -＝12，所以椭圆的离心率e(2)证明：(方法一)依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0).由条件得00220022y kx ,x y 1,ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 0并整理得20x ＝22222a b k a b +.② 由|AP|＝|OA|，A(﹣a ，0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a)2＋k 220x ＝a 2.整理得(1＋k 2)20x ＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝22a 1k -+，代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 22a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋4.由a>b>0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4，因此k 2>3.所以(方法二)依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)，由点P 在椭圆上，有202x a ＋2202k x b ＝1.因为a>b>0，kx 0≠0，所以202x a ＋2202k x a <1，即(1＋k 2)20x <a 2.③ 由|AP|＝|OA|，A(﹣a ，0)，得(x 0＋a)2＋k 220x ＝a 2，整理得(1＋k 2)20x ＋2ax 0＝0，于是x 0＝22a 1k -+.代入③，得(1＋k 2)2224a (1k )+<a 2，解得k 2>3，所以20.已知函数f(x)＝x ﹣ln (x ＋a)的最小值为0，其中a>0. (1)求a 的值;(2)若对任意的x ∈[0，＋∞)，有f(x)≤kx 2成立，求实数k 的最小值;(3)证明ni 122i 1=∑-﹣ln (2n ＋1)<2(n ∈N *).(1)解：f(x)的定义域为(﹣a ，＋∞).f'(x)＝1﹣1x a+＝x a 1x a+-+.由f'(x)＝0，得x ＝1﹣a>﹣A ．当x 变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：因此，f(x)在x ＝1﹣a 处取得最小值，故由题意f(1﹣a)＝1﹣a ＝0，所以a ＝1.(2)解：当k ≤0时，取x ＝1，有f(1)＝1﹣ln 2>0，故k ≤0不合题意.当k>0时，令g(x)＝f(x)﹣kx 2，即g(x)＝x ﹣ln (x ＋1)﹣kx 2.g'(x)＝x x 1+﹣2kx ＝x[2kx-(12k)]x 1--+.令g'(x)＝0，得x 1＝0，x 2＝12k 2k->﹣1.①当k ≥12时，12k 2k-≤0，g'(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，因此g(x)在[0，＋∞)上单调递减.从而对于任意的x ∈[0，＋∞)，总有g(x)≤g(0)＝0，即f(x)≤kx 2在[0，＋∞)上恒成立，故k ≥12符合题意.②当0<k<12时，12k 2k->0，对于x ∈12k 0,2k -⎛⎫ ⎪⎝⎭，g'(x)>0，故g(x)在12k 0,2k -⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增.因此当取x 0∈12k 0,2k -⎛⎫ ⎪⎝⎭时，g(x 0)>g(0)＝0，即f(x 0)≤k 20x 不成立. 故0<k<12不合题意.综上，k 的最小值为12.(3)证明：当n ＝1时，不等式左边＝2﹣ln 3<2＝右边，所以不等式成立.当n ≥2时，n i 12f 2i 1=⎛⎫∑ ⎪-⎝⎭＝n i 1221212i 1ln i =⎡⎤⎛⎫∑-+ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦ ＝ni 122i 1=∑-﹣n i 1=∑[ln (2i ＋1)﹣ln (2i ﹣1)] ＝ni 122i 1=∑-﹣ln (2n ＋1). 在(2)中取k ＝12，得f(x)≤2x 2(x ≥0)，从而f 2222i 1(2i 1)⎛⎫≤ ⎪--⎝⎭<2(2i 3)(2i 1)--(i ∈N *，i ≥2)， 所以有ni 122i 1=∑-﹣ln (2n ＋1)＝n i 12f 2i 1=⎛⎫∑ ⎪-⎝⎭＝f(2)＋n i 22f 2i 1=⎛⎫∑ ⎪-⎝⎭<2﹣ln 3＋ni 22(2i 3)(2i 1)=∑-- ＝2﹣ln 3＋n i 2112i 32i 1=⎛⎫∑-⎪--⎝⎭＝2﹣ln 3＋1﹣12n 1-<2.综上，ni 122i 1=∑-﹣ln (2n ＋1)<2，n ∈N *.。
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(天津卷)理
天津理科1.(2012天津,理1)i 是虚数单位,复数7i 3i-+=( ).A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-iB 7i 3i -+=(7i)(3i)(3i)(3i)--+-=22217i 3i i 9i --+-=2010i 10-=2-i. 2.(2012天津,理2)设φ∈R ,则“φ=0”是“f(x)=cos (x+φ)(x ∈R )为偶函数”的( ). A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件A φ=0时,f(x)=cos x,f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数;若f(x)为偶函数,则f(0)=±1,∴cos φ=±1,∴φ=k π(k ∈Z ).∴是充分而不必要条件.3.(2012天津,理3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,当输入x 的值为-25时,输出x 的值为( ). A .-1 B .1 C .3D .9Cx=|1|>1不成立, ∴x=2×1+1=3.4.(2012天津,理4)函数f(x)=2x +x 3-2在区间(0,1)内的零点个数是( ). A .0 B .1 C .2D .3B f'(x)=2x ln 2+3x 2,在(0,1)上f'(x)>0恒成立,∴f(x)在区间(0,1)上单调递增.又∵f(0)=20+03-2=-1<0,f(1)=21+13-2=1>0, ∴f(x)在区间(0,1)上存在一个零点.5.(2012天津,理5)在5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中,x 的系数为( ). A .10 B .-10 C .40 D .-40D T r+1=r 5C (2x 2)5-r r1x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=(-1)r 25-r r 5C x 10-3r ,∴当10-3r=1时,r=3.∴(-1)325-335C =-40.6.(2012天津,理6)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cos C=( ). A .725B .-725C .±725D .2425A 在△ABC 中,由正弦定理:b Bsin =c Csin ,∴C Bsin sin =c b,∴2B Bsin sin =85,∴cos B=45.∴cos C=cos 2B=2cos 2B-1=725.7.(2012天津,理7)已知△ABC 为等边三角形,AB =2.设点P ,Q 满足AP =λAB ,AQ =(1-λ)AC ,λ∈R.若BQ ·CP =-32,则λ=( ).A .12B C DA设AB =a ,AC =b ,则|a|=|b|=2,且<a,b>=3π.BQ =AQ -AB =(1-λ)b -a ,CP =AP -AC =λa -b .BQ ·CP =[(1-λ)b -a ]·(λa -b ) =[λ(1-λ)+1]a ·b -λa 2-(1-λ)b 2 =(λ-λ2+1)×2-4λ-4(1-λ) =-2λ2+2λ-2=-32.即(2λ-1)2=0,∴λ=12.8.(2012天津,理8)设m ,n ∈R,若直线(m +1)x +(n +1)y -2=0与圆(x -1)2+(y -1)2=1相切,则m +n 的取值范围是( ).AB .(-∞∪∞)CD .(-∞∪,+∞)D 直线与圆相切,∴即:mn=m+n+1,设m+n=t,则mn ≤2m n 2+⎛⎫ ⎪⎝⎭=2t 4,∴t+1≤2t 4,∴t 2-4t-4≥0,解得:t ≤t ≥9.(2012天津,理9)某地区有小学150所,中学75所,大学25所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查,应从小学中抽取 所学校,中学中抽取 所学校. 18 9 共有学校150+75+25=250所,∴小学中应抽取:30×150250=18所,中学中应抽取:30×75250=9所.10.(2012天津,理10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m ),则该几何体的体积为 m 3.18+9π 由几何体的三视图可知该几何体的顶部是长、宽、高分别为6 m ,3 m ,1 m 的长方体,底部为两个直径为3 m 的球.∴该几何体的体积为:V=6×3×1+2×43π×332⎛⎫ ⎪⎝⎭=18+9π(m 3). 11.(2012天津,理11)已知集合A ={x ||x 2|3}R ∈+<,集合B ={x |(x m)(x 2)0}R ∈--<,且A ∩B =(-1,n ),则m = ,n = . -1 1 A ={x ∈R||x +2|<3},∴|x +2|<3.∴-3<x+2<3,∴-5<x<1.又∵B ={x ∈R|(x -m )(x -2)<0},且A ∩B =(-1,n ),∴-1是方程(x-m)(x-2)=0的根,n 是区间(-5,1)的右端点, ∴m=-1,n=1.12.(2012天津,理12)已知抛物线的参数方程为2x 2pt ,y 2pt⎧=⎨=⎩(t 为参数),其中p>0,焦点为F,准线为l.过抛物线上一点M 作l 的垂线,垂足为E.若|EF|=|MF|,点M 的横坐标是3,则p= .2 由参数方程2x 2pt ,y 2pt⎧=⎨=⎩(t 为参数),p>0,可得曲线方程为:y 2=2px(p>0). ∵|EF|=|MF|,且|MF|=|ME|(抛物线定义), ∴△MEF 为等边三角形,E 的横坐标为-p 2,M 的横坐标为3.∴EM 中点的横坐标为:p322-,与F 的横坐标p 2相同, ∴p322-=p 2,∴p=2.13.(2012天津,理13)如图,已知AB 和AC 是圆的两条弦,过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D.过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E,与AB 相交于点F,AF=3,FB=1,EF=32,则线段CD 的长为 .43在圆中,由相交弦定理: AF·FB=EF·FC, ∴FC=AF?FB EF=2,由三角形相似,FC BD=AF AB,∴BD=FC?AB AF=83.由切割弦定理:DB 2=DC·DA, 又DA=4CD, ∴4DC 2=DB 2=649.∴DC=43.14.(2012天津,理14)已知函数y=2|x 1|x 1--的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交点,则实数k 的取值范围是 .(0,1)∪(1,4) y=2|x 1|x 1--=|x 1||x 1|x 1+--=x 1,x 1,-|x 1|,x 1,+>⎧⎨+<⎩函数y=kx-2过定点(0,-2),由数形结合:k AB <k<1或1<k<k AC , ∴0<k<1或1<k<4.15.(2012天津,理15)已知函数f(x)=sin 2x 3π⎛⎫+ ⎪⎝⎭+sin 2x 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭+2cos 2x-1,x ∈R .(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.解:(1)f(x)=sin 2x·cos 3π+cos 2x·sin 3π+sin 2x·cos 3π-cos 2x·sin 3π+cos 2x=sin 2x+cos 2x 4π⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 所以,f(x)的最小正周期T=22π=π.(2)因为f(x)在区间,48ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数,在区间,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数,又f 4π⎛⎫- ⎪⎝⎭=-1,f 8π⎛⎫ ⎪⎝⎭4π⎛⎫ ⎪⎝⎭=1,故函数f (x )在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦最小值为-1.16.(2012天津,理16)现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;(3)用X,Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ).解:依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为13,去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i=0,1,2,3,4), 则P(A i )=i4ii 41233C -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A 2)=22241233C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=827. (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则B=A 3∪A 4.由于A 3与A 4互斥,故P(B)=P(A 3)+P(A 4)=3341233C⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+44413C⎛⎫⎪⎝⎭=19.所以,这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能取值为0,2,4.由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,故P(ξ=0)=P(A2)=827,P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)=4081,P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=1781.所以ξ的分布列是随机变量ξ的数学期望E(ξ)=0×827+2×4081+4×1781=14881.17.(2012天津,理17)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.(1)证明PC⊥AD;(2)求二面角A-PC-D的正弦值;(3)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.解法一:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0),B(-12,12,0),P(0,0,2).(1)证明:易得PC=(0,1,-2),AD=(2,0,0), 于是PC·AD=0,所以PC ⊥AD.(2)PC =(0,1,-2),CD =(2,-1,0). 设平面PCD 的法向量n =(x ,y ,z ),则n?0,n?0,PC CD ⎧=⎪⎨=⎪⎩即y 2z 0,2x y 0.-=⎧⎨-=⎩不妨令z =1, 可得n =(1,2,1).可取平面PAC 的法向量m =(1,0,0). 于是cos <m,n>=m?n |m||n |,从而sin所以二面角A-PC-D(3)设点E 的坐标为(0,0,h),其中h ∈[0,2],由此得BE =11,-,h 22⎛⎫ ⎪⎝⎭.由CD =(2,-1,0),故cos <BE ,CD >=BE?CD |BE||CD |=3所以cos 30°解得,即.解法二:(1)证明:由PA ⊥平面ABCD,可得PA ⊥AD,又由AD ⊥AC,PA ∩AC=A,故AD ⊥平面PAC.又PC ⊂平面PAC,所以PC ⊥AD.(2)如图,作AH ⊥PC 于点H,连接DH. 由PC ⊥AD,PC ⊥AH,可得PC ⊥平面ADH.因此DH ⊥PC,从而∠AHD 为二面角A-PC-D 的平面角. 在Rt △PAC 中,PA=2,AC=1,由此得由(1)知AD ⊥AH,故在Rt △DAH中因此sin ∠AHD=AD DH所以二面角A-PC-D(3)如图,因为∠ADC<45°,故过点B 作CD 的平行线必与线段AD 相交,设交点为F,连接BE,EF.故∠EBF 或其补角为异面直线BE 与CD 所成的角.由于BF ∥CD,故∠AFB=∠ADC.在Rt △DAC 中sin ∠故sin ∠在△AFB 中,由BFFAB sin ∠=AB AFB sin ∠,AB sin ∠FAB=sin 135°可得由余弦定理,BF 2=AB 2+AF 2-2AB·AF·cos ∠FAB, 可得AF=12.设AE=h.在Rt △EAF 中在Rt △BAE 中在△EBF 中,因为EF<BE,从而∠EBF=30°,由余弦定理得cos 30°=222BE BF EF 2BE?BF +-.可解得.所以.18.(2012天津,理18)已知{a n }是等差数列,其前n 项和为S n ,{b n }是等比数列,且a 1=b 1=2,a 4+b 4=27,S 4-b 4=10. (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式;(2)记T n =a n b 1+a n -1b 2+…+a 1b n ,n ∈N *,证明T n +12=-2a n +10b n (n ∈N *).(1)解:设等差数列{a n }的公差为d,等比数列{b n }的公比为q.由a 1=b 1=2,得a 4=2+3d,b 4=2q 3,S 4=8+6d.由条件,得方程组3323d 2q 27,86d 2q 10.⎧++=⎨+-=⎩解得d 3,q 2.=⎧⎨=⎩ 所以a n =3n -1,b n =2n ,n ∈N *. (2)证明:(方法一)由(1)得T n =2a n +22a n-1+23a n-2+…+2n a 1,① 2T n =22a n +23a n-1+…+2n a 2+2n+1a 1.② 由②-①,得T n =-2(3n-1)+3×22+3×23+…+3×2n +2n+2=n 112(12)12---+2n+2-6n+2=10×2n -6n-10.而-2a n +10b n -12=-2(3n-1)+10×2n -12=10×2n -6n-10,故 T n +12=-2a n +10b n ,n ∈N *. (方法二:数学归纳法)①当n=1时,T 1+12=a 1b 1+12=16,-2a 1+10b 1=16,故等式成立; ②假设当n=k 时等式成立,即T k +12=-2a k +10b k ,则当n=k+1时有: T k+1=a k+1b 1+a k b 2+a k-1b 3+…+a 1b k+1 =a k+1b 1+q(a k b 1+a k-1b 2+…+a 1b k ) =a k+1b 1+qT k=a k+1b 1+q(-2a k +10b k -12) =2a k+1-4(a k+1-3)+10b k+1-24 =-2a k+1+10b k+1-12,即T k+1+12=-2a k+1+10b k+1,因此n=k+1时等式也成立. 由①和②,可知对任意n ∈N *,T n +12=-2a n +10b n 成立.19.(2012天津,理19)设椭圆22x a+22y b=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,点P 在椭圆上且异于A,B 两点,O 为坐标原点.(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为-12,求椭圆的离心率;(2)若|AP|=|OA|,证明直线OP 的斜率k 满足(1)解:设点P 的坐标为(x 0,y 0).由题意,有202x a +202y b=1① 由A(-a,0),B(a,0),得k AP =00y x a+,k BP =00y x a-.由k AP ·k BP =-12,可得20x =a 2-220y ,代入①并整理得(a 2-2b 2)20y =0.由于y 0≠0,故a 2=2b 2.于是e 2=222a b a -=12,所以椭圆的离心率(2)证明:(方法一)依题意,直线OP 的方程为y=kx,设点P 的坐标为(x 0,y 0).由条件得00220022y kx ,x y 1,ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 0并整理得2x =22222a b k a b +.② 由|AP|=|OA|,A(-a,0)及y 0=kx 0,得(x 0+a)2+k 220x =a 2.整理得(1+k 2)20x +2ax 0=0.而x 0≠0,于是x 0=22a 1k -+,代入②,整理得(1+k 2)2=4k 22a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭+4.由a>b>0,故(1+k 2)2>4k 2+4,即k 2+1>4,因此k 2>3.所以(方法二)依题意,直线OP 的方程为y=kx,可设点P 的坐标为(x 0,kx 0),由点P 在椭圆上,有202x a +2202k x b=1.因为a>b>0,kx 0≠0,所以202x a +2202k x a<1,即(1+k 2)20x <a 2.③ 由|AP|=|OA|,A(-a,0),得(x 0+a)2+k 220x =a 2,整理得(1+k 2)20x +2ax 0=0,于是x 0=22a 1k -+.代入③,得(1+k 2)2224a (1k )+<a 2,解得k 2>3,所以20.(2012天津,理20)已知函数f(x)=x-ln (x+a)的最小值为0,其中a>0. (1)求a 的值;(2)若对任意的x ∈[0,+∞),有f(x)≤kx 2成立,求实数k 的最小值;(3)证明ni 122i 1=∑--ln (2n+1)<2(n ∈N *).(1)解:f(x)的定义域为(-a,+∞).f'(x)=1-1x a+=x a 1x a+-+.由f'(x)=0,得x=1-a>-a.当x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:因此,f(x)在x=1-a 处取得最小值,故由题意f(1-a)=1-a=0,所以a=1.(2)解:当k ≤0时,取x=1,有f(1)=1-ln 2>0,故k ≤0不合题意.当k>0时,令g(x)=f(x)-kx 2,即g(x)=x-ln (x+1)-kx 2.g'(x)=x x 1+-2kx=x[2kx-(12k)]x 1--+.令g'(x)=0,得x 1=0,x 2=12k 2k->-1.①当k ≥12时,12k 2k-≤0,g'(x)<0在(0,+∞)上恒成立,因此g(x)在[0,+∞)上单调递减.从而对于任意的x ∈[0,+∞),总有g(x)≤g(0)=0,即f(x)≤kx 2在[0,+∞)上恒成立,故k ≥12符合题意.②当0<k<12时,12k 2k->0,对于x ∈12k 0,2k -⎛⎫ ⎪⎝⎭,g'(x)>0,故g(x)在12k 0,2k -⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增.因此当取x 0∈12k 0,2k -⎛⎫ ⎪⎝⎭时,g(x 0)>g(0)=0,即f(x 0)≤k 20x 不成立. 故0<k<12不合题意.综上,k 的最小值为12. (3)证明:当n=1时,不等式左边=2-ln 3<2=右边,所以不等式成立.当n ≥2时,n i 12f 2i 1=⎛⎫∑ ⎪-⎝⎭=n i 1221212i 1ln i =⎡⎤⎛⎫∑-+ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦ =n i 122i 1=∑--n i 1=∑[ln (2i+1)-ln (2i-1)] =n i 122i 1=∑--ln (2n+1).在(2)中取k=12,得f(x)≤2x 2(x ≥0),从而 f 2222i 1(2i 1)⎛⎫≤ ⎪--⎝⎭<2(2i 3)(2i 1)--(i ∈N *,i ≥2), 所以有ni 122i 1=∑--ln (2n+1)=n i 12f 2i 1=⎛⎫∑ ⎪-⎝⎭=f(2)+n i 22f 2i 1=⎛⎫∑ ⎪-⎝⎭<2-ln 3+n i 22(2i 3)(2i 1)=∑-- =2-ln 3+n i 2112i 32i 1=⎛⎫∑- ⎪--⎝⎭=2-ln 3+1-12n 1-<2. 综上,n i 122i 1=∑--ln (2n+1)<2,n ∈N *.。
2012年全国高考理科数学试题及答案-天津卷
2012年全国各地高考数学试题汇编汇总(天津卷)数学(理工类)本试卷分为第I 卷(选择题〉和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟第I 卷一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)i 是虚数单位,复数7=3iz i-+＝ (A)2i + (Ｂ)2i - (Ｃ)2i -+ (Ｄ)2i -- １.B【命题意图】本试题主要考查了复数的概念以及复数的加、减、乘、除四则运算. 【解析】7=3i z i -+＝(7)(3)(3)(3)i i i i --+-＝2173110i i ---＝2i - (２)设R ϕ∈,则“=0ϕ”是“()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的(A)充分而不必要条件 (Ｂ)必要而不充分条件(Ｃ)充分必要条件 (Ｄ)既不充分也不必要条件 2.A【命题意图】本试题主要考查了三角函数的奇偶性的判定以及充分条件与必要条件的判定. 【解析】∵=0ϕ⇒()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数,反之不成立,∴“=0ϕ”是“()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的充分而不必要条件.(３)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,当输入x 的值为25-时,输出x 的值为 (A)1- (Ｂ)1 (Ｃ)3 (Ｄ)9 3.C【命题意图】本试题主要考查了算法框图的读取,并能根据已给的算法程序进行运算.【解析】根据图给的算法程序可知:第一次=4x ,第二次=1x ,则输出=21+1=3x ⨯. (4)函数3()=2+2xf x x -在区间(0,1)内的零点个数是(A)0 (Ｂ)1 (Ｃ)2 (Ｄ)3 4.B【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想,函数的零点的概念,零点存在定理以及作图与用图的数学能力.【解析】解法1:因为(0)=1+02=1f --,3(1)=2+22=8f -,即(0)(1)<0f f ⋅且函数()f x 在(0,1)内连续不断,故()f x 在(0,1)内的零点个数是1.解法2:设1=2x y ,32=2y x -,在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示:可知B 正确.40-.(6)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是,,a b c ,已知8=5b c ,=2C B ,则cosC ＝ (A)725(Ｂ)725- (Ｃ)725± (Ｄ)24256.A【命题意图】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式. 考查学生分析、转化与计算等能力.【解析】∵8=5b c ,由正弦定理得8sin =5sin B C ,又∵=2C B ,∴8sin =5sin 2B B ,所以8s i n =10s i nc o s B B B ,易知sin 0B ≠,∴4cos =5B ,2cos =cos 2=2cos 1C B B -＝725. (7)已知△ABC 为等边三角形,=2AB ,设点P ,Q 满足=AP AB λ,=(1)AQ AC λ-,R λ∈,若3=2BQ CP ⋅-,则=λ(A)12 (Ｂ(Ｃ (Ｄ 7.A【命题意图】本试题以等边三角形为载体,主要考查了向量加减法的几何意义,平面向量基本定理,共线向量定理及其数量积的综合运用.【解析】∵=BQ AQ AB -＝(1)AC AB λ--,=CP AP AC -＝AB AC λ-,又∵3=2B QC P ⋅-,且||=||=2AB AC ,0<,>=60AB AC ,0=||||cos60=2AB AC AB AC ⋅⋅,∴3[(1)]()=2AC AB AB AC λλ----,2223||+(1)+(1)||=2AB AB AC AC λλλλ--⋅-,所以234+2(1)+4(1)=2λλλλ---,解得1=2λ.C(8)设m ,n R ∈,若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切,则+m n 的取值范围是(A)[1(Ｂ)(,1[1+3,+)-∞∞(Ｃ)[2- (Ｄ)(,2[2+22,+)-∞-∞ 8.D【命题意图】本试题主要考查了直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式,重要不等式,一元二次不等式的解法,并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力.【解析】∵直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切,∴圆心(1,1)到直线的距离为d ,所以21()2m n mn m n +=++≤,设=t m n +, 则21+14t t≥,解得(,2[2+22,+)t ∈-∞-∞. 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.(9)某地区有小学150所,中学75所,大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调査,应从小学中抽取 所学校,中学中抽取 所学校. 9.18,9【命题意图】本试题主要考查了统计中的分层抽样的概念以及样本获取的方法与计算. 【解析】∵分层抽样也叫按比例抽样,由题知学校总数为250所, 所以应从小学中抽取15030=18250⨯,中学中抽取7530=9250⨯. (10)―个几何体的三视图如图所示(单位:m ),则该几何体的体积为 3m .10.18+9π【命题意图】本试题主要考查了简单组合体的三视图的画法与体积的计算以及空间想象能力.【解析】由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体,所以其体积为:343=361+2()32V π⨯⨯⨯⨯＝18+9π3m . (11)已知集合={||+2|<3}A x R x ∈,集合={|()(2)<0B x R x m x ∈--,且=(1,)A B n -,则=m ,=n .11.1-,1【命题意图】本试题主要考查了集合的交集的运算及其运算性质,同时考查绝对值不等式与一元二次不等式的解法以及分类讨论思想.【解析】∵={||+2|<3}A x R x ∈＝{||5<<1}x x -,又∵=(1,)AB n -,画数轴可知=1m -,=1n .(12)己知抛物线的参数方程为2=2,=2,x pt y pt ⎧⎨⎩(t 为参数),其中>0p ,焦点为F ,准线为l ,过抛物线上一点M 作的垂线,垂足为E ,若||=||EF MF ,点M 的横坐标是3,则=p . 12.2【命题意图】本试题主要考查了参数方程及其参数的几何意义,抛物线的定义及其几何性质.【解析】∵2=2,=2,x pt y pt ⎧⎨⎩可得抛物线的标准方程为2=2y px (>0)p ,∴焦点(,0)2pF ,∵点M 的横坐标是3,则(3,M ,所以点(,2p E -±,222=()+(06)22p pEF p - 由抛物线得几何性质得=+32p MF ,∵=EF MF ,∴221+6=+3+94p p p p ,解得=2p .(13)如图,已知AB 和AC 是圆的两条弦.过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D,过点C 作BD 的平行线与圆相交于点Ｅ,与AB 相交于点F,=3AF ,=1FB ,3=2EF ,则线段CD 的长为 .13.43【命题意图】本试题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系,相交弦定理,切割线定理,相似三角形的概念、判定与性质.【解析】∵=3AF ,=1FB ,3=2EF ,由相交弦定理得=AF FB EF FC ⋅⋅,所以=2FC ,又∵B D ∥CE,∴=AF FC AB BD ,4==23AB BD FC AF ⋅⨯＝83,设=CD x ,则=4AD x ,再由切割线定理得2=BD CD AD ⋅,即284=()3x x ⋅,解得4=3x ,故4=3CD .(14)已知函数2|1|=1x y x --的图象与函数=2y kx -的图象恰有两个交点,则实数k 的取值范围是 . 14.(0,1)(1,4)【命题意图】本试题主要考查了函数的图像及其性质,利用函数图像确定两函数的交点,从而确定参数的取值范围.【解析】∵函数=2y kx -的图像直线恒过定点B(0,2)-,且(1,2)A -,(1,0)C -,(1,2)D ,∴,由图像可知(0,1)(1,4)k ∈. ,证明过程或演算步骤.2)+sin(2)+2cos 133x x ππ--,x R ∈.44. 【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为=sin (+)y A x ωϕ的数学模型,再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.(16)(本小题满分13分)现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (Ⅰ)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率:(Ⅱ)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率:(Ⅲ)用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记=||X Y ξ-,求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】 【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点,近年来都通过概率问题来考查,且常考常新,对于此类考题,要注意认真审题,从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型,独立事件、互斥事件等概率模型求解,因此对概率型应用性问题,理解是基础,转化是关键. (17)(本小题满分13分)如图,在四棱锥P ABCD -中,PA 丄平面ABCD ,AC 丄AD ,AB 丄BC ,0=45ABC ∠,==2PA AD ,=1AC .(Ⅰ)证明PC 丄AD ;(Ⅱ)求二面角A PC D --的正弦值;(Ⅲ)设E 为棱PA 上的点,满足异面直线BE 与CD 所成的角为030,求AE 的长.【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】 【点评】试题从命题的角度来看,整体上题目与我们平时练习的试题相似,但底面是非特殊的四边形,一直线垂直于底面的四棱锥问题,那么创新的地方就是第三问中点E 的位置是不确定的,需要学生根据已知条件进行确定,如此说来就有难度,因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好.(18)(本小题满分13分)已知{n a }是等差数列,其前n 项和为n S ,{n b }是等比数列,且1a ＝1=2b ,44+=27a b ,44=10S b -.(Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式; (Ⅱ)记1121=+++n n n n T a b a b a b -,+n N ∈,证明+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈.【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】【点评】该试题命制比较直接,没有什么隐含的条件,就是等比与等差数列的综合应用,但方法多样,第二问可以用错位相减法求解证明,也可用数学归纳法证明,给学生思维空间留有余地,符合高考命题选拔性的原则.(19)(本小题满分14分)设椭圆2222+=1x y a b(>>0)a b 的左、右顶点分别为A,B,点P 在椭圆上且异于A,B 两点,O 为坐标原点.(Ⅰ)若直线AP 与BP 的斜率之积为12-,求椭圆的离心率;(Ⅱ)若||=||AP OA ,证明直线OP 的斜率k 满足|k 【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】 【点评】(20)(本小题满分14分)已知函数()=ln (+)f x x x a -的最小值为0,其中>0a . (Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)若对任意的[0,+)x ∈∞,有2()f x kx ≤成立,求实数k 的最小值; (Ⅲ)证明=12ln (2+1)<221ni n i --∑*()n N ∈. 【命题意图】本试题主要考查了【参考答案】【点评】试题分为三问,题面比较简单,给出的函数比较常规,因此入手对于同学们来说没有难度,第二问中,解含参数的不等式时,要注意题中参数的讨论所有的限制条件,从而做到不重不漏;第三问中,证明不等式,应借助于导数证不等式的方法进行.。
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2012年普通高等学校招生统一考试数学天津（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）i 是虚数单位，复数ii+-37= （A ） 2 + i （B ）2 – i （C ）-2 + i （D ）-2 – i（2）设,R ∈ϕ则“0=ϕ”是“))(cos()(R x x x f ∈+=ϕ为偶函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分与不必要条件（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值 为-25时，输出x 的值为（A ）-1 （B ）1 （C ）3 （D ）9（4）函数22)(3-+=x x f x在区间(0,1)内的零点个数是 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （5）在52)12(xx -的二项展开式中，x 的系数为 （A ）10 （B ）-10 （C ）40 （D ）-40（6）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是c b a ,,，已知8b=5c ，C=2B ，则cosC=（A ）257 （B ）257- （C ）257± （D ）2524（7）已知ABC ∆为等边三角形，AB=2，设点P ，Q 满足AB AP λ=，AC AQ )1(λ-=，R ∈λ，若32BQ CP ⋅=，则λ=（A ）21（B ）221±（C ）2101± （D ）2223±- （8）设R n m ∈,，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切，则m + n 的取值范围是（A ）]31,31[+- （B ）),31[]31,(+∞+⋃--∞ （C ）]222,222[+- （D ）),222[]222,(+∞+⋃--∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校 对学生进行视力调查，应从小学中抽取_________所 学校，中学中抽取________所学校.（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ）， 则该几何体的体积为_________m 3. （11）已知集合{}32x <+∈=x R A ，集合},0)2)((|{<--∈=x m x R x B 且),,1(n B A -= 则m =__________，n = __________.（12）已知抛物线的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 2,22（t 为参数）,其中p>0，焦点为F ，准线为l . 过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E. 若|EF|=|MF|，点M 的横坐标是3，则p = _________. （13）如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D. 过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF=3， FB=1，EF=23，则线段CD 的长为____________. （14）已知函数112--=x x y 的图象与函数2-=kx y 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是_________.三．解答题：本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分） 已知函数.,1cos 2)32sin()32sin()(2R x x x x x f ∈-+-++=ππ（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求函数)(x f 在区间]4,4[ππ-上的最大值和最小值. （16）（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（Ⅲ）用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记Y X -=ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望ξE . （17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ， AB ⊥BC ，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1. （Ⅰ）证明PC ⊥AD ；（Ⅱ）求二面角A-PC-D 的正弦值； （Ⅲ）设E 为棱PA 上的点，满足异面 直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长. （18）（本小题满分13分）已知}{n a 是等差数列，其前n 项和为S n ，}{n b 是等比数列，且27,24411=+==b a b a ，1044=-b S .（Ⅰ）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式；（Ⅱ）记n n n n b a b a b a T 1211+++=- ，*N n ∈，证明n n n b a T 10212+-=+（*N n ∈）.（19）（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为B A ，，点P 在椭圆上且异于B A ，两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若直线AP 与BP 的斜率之积为21-，求椭圆的离心率； （Ⅱ）若OA AP =，证明直线OP 的斜率 k 满足3>k （20）（本小题满分14分）已知函数)ln()(a x x x f +-=的最小值为0，其中.0>a （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若对任意的),,0[+∞∈x 有)(x f ≤2kx 成立，求实数k 的最小值；（Ⅲ）证明∑=<+--ni n i 12)12ln(122（*N n ∈）.试卷解析【试卷总评】今年天津市高考理科数学试卷所涉及的考点较去年变化不大，试题难度较去年有一定的下滑，着重考查学生的基础知识的掌握以及推导、运算和数形结合的能力。
有如下特点：1.2012年的数学试题考点与去年几乎相同，而仅有的几处不同的考点在2007-2010年也相继考过，明细如下： 零点存在定理（小题）——2009年、2010年 线线垂直——2007年 错位相减法——2007年 ，解析几何之斜率问题（大题）。
2.2012年削弱了对数列的考察，小题不再涉及数列。
而解答题18题是数列中极为传 统的考法——求等差等比数列的通项公式与错位相减法;而在第20题的第三问继续考查数列不等式的内容。
3.三角函数解答题在2011年考查了正切函数的性质和运算，而今年则回归了以往的考查方式，考查了正余弦函数的性质。
4.加大了解析几何的难度，在考查题数不变的情况下，将直线和圆放在了选择压轴题的位置，椭圆大题放在第数第二题(第19题)的位置。
5.函数大题难度与去年基本持平。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）i 是虚数单位，复数ii+-37= （A ） 2 + i （B ）2 – i （C ）-2 + i （D ）-2 – i（2）设,R ∈ϕ则“0=ϕ”是“))(cos()(R x x x f ∈+=ϕ为偶函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分与不必要条件（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值 为-25时，输出x 的值为（A ）-1 （B ）1 （C ）3 （D ）9（4）函数22)(3-+=x x f x在区间(0,1)内的零点个数是 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（5）在52)12(xx -的二项展开式中，x 的系数为 （A ）10 （B ）-10 （C ）40 （D ）-40（6）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是c b a ,,，已知8b=5c ，C=2B ，则cosC=（A ）257 （B ）257- （C ）257± （D ）2524（7）已知ABC ∆为等边三角形，AB=2，设点P ，Q 满足AB AP λ=，AC AQ )1(λ-=，R ∈λ，若32BQ CP ⋅=，则λ=（A ）21（B ）221±（C ）2101± （D ）2223±-（8）设R n m ∈,，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切，则m + n 的取值范围是（A ）]31,31[+- （B ）),31[]31,(+∞+⋃--∞ （C ）]222,222[+- （D ）),222[]222,(+∞+⋃--∞应用.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校 对学生进行视力调查，应从小学中抽取_________所学校，中学中抽取________所学校.（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_________m 3.（11）已知集合{}32x <+∈=x R A ，集合},0)2)((|{<--∈=x m x R x B 且),,1(n B A -= 则m =__________，n = __________.（12）已知抛物线的参数方程为⎩⎨⎧==pty pt x 2,22（t 为参数）,其中p>0，焦点为F ，准线为l . 过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E. 若|EF|=|MF|，点M 的横坐标是3，则p = _________. 【答案】2【解析】由抛物线的参数方程可知其普通方程为22(0).,,y px p EF MF ME MF MEF =>==∴∆为等边三角形，E 的横坐标为,2p M -∴的横坐标为3，32, 2.22p p p -∴=∴= 【考点定位】本题考查抛物线的方程、定义和其几何性质，考查学生的转化能力和计算能力.（13）如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作 圆的切线与AC 的延长线相交于点D. 过点C 作BD 的 平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF=3， FB=1，EF=23，则线段CD 的长为____________. （14）已知函数112--=x x y 的图象与函数2-=kx y 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是_________.三．解答题：本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）F CB已知函数.,1cos 2)32sin()32sin()(2R x x x x x f ∈-+-++=ππ （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求函数)(x f 在区间]4,4[ππ-上的最大值和最小值. （16）（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； （Ⅲ）用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记Y X -=ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望ξE .【解析】依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23. 设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件i A (0,1,2,3,4)i =则4412()()()33i i i i P A C -=.（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.（Ⅰ）证明PC⊥AD；（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长.【考点定位】本小题主要考查空间两条直线的位置关系、二面角、异面直线所成德角、直线与平面垂直等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似，但底面是非特殊的四边形，一直线垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是第三问中点E的位置是不确定的，需要学生根据已知条件进行确定，如此说来就有难度，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好.（18）（本小题满分13分）已知}{n a 是等差数列，其前n 项和为S n ，}{n b 是等比数列，且27,24411=+==b a b a ，1044=-b S .（Ⅰ）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式；（Ⅱ）记n n n n b a b a b a T 1211+++=- ，*N n ∈，证明n n n b a T 10212+-=+（*N n ∈）.11k k a b qT +=+（19）（本小题满分14分） 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为B A ，，点P 在椭圆上且异于B A ，两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若直线AP 与BP 的斜率之积为21-，求椭圆的离心率； （Ⅱ）若OA AP =，证明直线OP 的斜率 k 满足3>k（20）（本小题满分14分）已知函数)ln()(a x x x f +-=的最小值为0，其中.0>a（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若对任意的),,0[+∞∈x 有)(x f ≤2kx 成立，求实数k 的最小值；nini12)12ln(122（*Nn∈）.（Ⅲ）证明∑=<+--。