人教版高中数学(理科)选修复数的概念3

合集下载

人教版2017高中数学选修1-2第三章《数系的扩充与复数的概念》课件PPT

复数的代数形式：通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R, b R)
实部虚部其中 i 称为虚数单位.
讨论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？
R C
实数b 0 纯虚数a 0，b 0, 复数a+bi 虚数b 0 非纯虚数a 0，b 0.
若a, b, c, d R,
a c, a bi c di b d .
，其中
x, y R 求
例2
已知 (2 x 1) i y (3 y )i
x与y.
解：更具复数相等的定义，得方程组
2 x 1 y， 5 解得 x , y 4. 2 1 (3 y)，
例1 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1)i
是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？
解: （1）当 m 1 0，即
m 1时，复数z 是实数．（2）当 m 1 0 ，即 m 1 时，复数z 是虚数．（3）当 m 1 0 即 m 1时，复数z 是纯虚数． m 1 0
（数） y
（形）
建立了平面直角坐标系来表示复数的平面 ------复数平面 (简称复平面)
z=a+bi Z(a,b)
a b
o
x
x轴------实轴 y轴------虚轴
例1 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点
位于第二象限，求实数m允许的取值范围。
m 2 m 6 0， 3 m 2，解：由 2 得 m m 2 0， m 2 或 m 1，

人教版高中数学选修三电子版

人教版高中数学选修三电子版人教版高中数学选修三电子版一、复数与数域扩张1. 复数及其表示方法2. 复数的四则运算3. 复数的共轭与模4. 复数的除法及其解析式5. 复根的概念及其性质6. 复系数方程的解法二、矩阵与行列式1. 矩阵的定义和基本运算2. 矩阵的转置和对称矩阵3. 矩阵的逆及其性质4. 矩阵的秩和线性方程组5. 行列式的定义和性质6. 行列式的计算及其应用三、向量代数与空间解析几何1. 向量的定义和基本运算2. 向量的数量积与夹角3. 向量的叉积及其性质4. 平面上向量及其应用5. 空间向量及其应用6. 空间几何中的距离与角度四、数学归纳法与递推数列1. 数学归纳法及其应用2. 数列的概念、性质3. 递推数列及其通项公式4. 常系数线性递推数列及其通项公式5. 递推数列的求和公式及其应用6. 递推数列在实际问题中的应用五、函数的极限与连续1. 数列极限及其性质2. 函数极限及其性质3. 无穷小量、无穷大量及其比较4. 极限运算法则及其应用5. 连续函数及其性质6. Intermediate Value Theorem和最值定理六、一元函数微积分初步1. 函数的导数定义、性质及应用2. 高阶导数及Leibniz公式3. 函数的微分及其应用4. 函数的反函数及其求导5. 常用初等函数的导数公式6. 微分中值定理和Taylor公式七、多元函数微积分初步1. 二元函数的极限与连续2. 二元函数的偏导数与全微分3. 二元函数的最值及其求解4. 二元函数的隐函数及其求导5. 多元函数的极限、连续与偏导数6. 多元函数的Taylor公式及其应用以上就是人教版高中数学选修三电子版的内容，其中涉及到复数与数域扩张、矩阵与行列式、向量代数与空间解析几何、数学归纳法与递推数列、函数的极限与连续、一元函数微积分初步以及多元函数微积分初步等七个部分，内容包含了数学中的许多重要概念和工具，是一门高中数学的重要课程。

高考数学选修三知识点

高考数学选修三知识点高考数学选修三是高中数学课程的最后一个模块，也是许多理科生所选择的一门重要课程。

它侧重于拓展学生的数学思维和解决问题的能力，为他们将来进一步学习数学和理工科相关专业打下坚实的基础。

在这篇文章中，我们将深入探讨高考数学选修三中的三个重要知识点。

1.复数与复数函数复数是高中数学中一个重要的概念，也是选修三的基础。

复数的定义为 a+bi，其中 a 和 b 分别为实数部分和虚数部分，i 为虚数单位。

学生需要掌握复数的加减乘除以及模、辐角等运算法则。

除此之外，复数函数也是选修三的一大重点内容。

学生需要了解复数函数的定义域、值域以及极限等概念，并能够熟练应用复数函数解决实际问题。

2.矩阵与变换矩阵是一种重要的数学工具，被广泛应用于代数、几何和物理等领域。

选修三要求学生了解矩阵的基本概念和运算法则，掌握矩阵的转置、相等和乘法等操作。

此外，学生还需要学会利用矩阵描述线性变换，包括平移、旋转、镜像等几何变换。

通过学习矩阵与变换，学生可以更好地理解几何问题，培养空间想象力和逻辑推理能力。

3.概率统计概率统计是选修三中的另一个重要内容，也是数理统计学的基础。

学生需要了解概率的基本概念和计算方法，包括排列组合、事件概率等内容。

在统计学方面，学生需要学习如何利用样本数据进行推断统计，并了解常见的统计分布，如正态分布、二项分布等。

掌握概率统计可以帮助学生分析和解答与实际问题相关的统计学和概率学题目，提高综合应用能力。

综上所述，高考数学选修三是高中数学课程中的重要部分，涵盖了复数与复数函数、矩阵与变换以及概率统计等多个知识点。

通过深入学习和理解这些知识点，学生可以提高数学思维和解决问题的能力，为将来的学习和职业发展打下坚实的基础。

无论是进一步学习数学相关专业，还是从事与数学有关的工作，都离不开对这些知识点的深入理解和应用。

因此，学生在备考高考数学选修三时，务必重视这些知识点的学习，并注重掌握解题技巧和方法。

新人教版高中数学必修第二册第7章复数 7.1.1 数系的扩充和复数的概念

7．1复数的概念7．1.1数系的扩充和复数的概念考点学习目标核心素养复数的有关概念了解数系的扩充过程，理解复数的概念数学抽象复数的分类理解复数的分类数学抽象复数相等掌握复数相等的充要条件及其应用数学运算问题导学预习教材P68－P70的内容，思考以下问题：1．复数是如何定义的？其表示方法又是什么？2．复数分为哪两大类？3．复数相等的条件是什么？1．复数的有关概念(1)复数的定义形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1．(2)复数集全体复数所构成的集合C＝{a＋b i|a，b∈R}叫做复数集．(3)复数的表示方法复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．■名师点拨对复数概念的三点说明(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋b i(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b而非b i.(3)复数z ＝a ＋b i 只有在a ，b ∈R 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 2．复数相等的充要条件在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等当且仅当a ＝c 且b ＝d ．3．复数的分类(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数（b ＝0），虚数（b ≠0）⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a ＝0，非纯虚数a ≠0Ｗ. (2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系■名师点拨复数b i(b ∈R )不一定是纯虚数，只有当b ≠0时，复数b i(b ∈R )才是纯虚数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( ) (2)复数z 1＝3i ，z 2＝2i ，则z 1＞z 2.( ) (3)复数z ＝b i 是纯虚数．( )(4)实数集与复数集的交集是实数集．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√若z ＝a ＋(a 2－1)i(a ∈R ，i 为虚数单位)为实数，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．1或－1 答案：D以3i －2的虚部为实部，以－3＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2i D.2＋2i 答案：A若(x －2y )i ＝2x ＋1＋3i ，则实数x ，y 的值分别为________．答案：－12 －74复数的概念下列命题：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；④实数集是复数集的真子集．其中正确的命题是()A．①B．②C．③D．④【解析】对于复数a＋b i(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，即①错误；两个虚数不能比较大小，则②错误；对于③，若x ＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0不是纯虚数，则③错误；显然，④正确．故选D.【答案】 D判断与复数有关的命题是否正确的方法(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．(2)化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋b i的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部．[提醒]解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质．对于复数a＋b i(a，b∈R)，下列说法正确的是()A．若a＝0，则a＋b i为纯虚数B．若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2C．若b＝0，则a＋b i为实数D．i的平方等于1解析：选C.对于A，当a＝0时，a＋b i也可能为实数；对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；对于D，i的平方为－1.故选C.复数的分类当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i ：(1)为实数？(2)为虚数？(3)为纯虚数？【解】 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数．(2)当m 2－2m ≠0且m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．(3)当⎩⎨⎧m ≠0，m 2＋m －6m＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．解决复数分类问题的方法与步骤(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可．(3)下结论：设所给复数为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， ①z 为实数⇔b ＝0； ②z 为虚数⇔b ≠0；③z 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0.1．若复数a 2－a －2＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则( ) A ．a ＝－1 B ．a ≠－1且a ≠2 C ．a ≠－1D ．a ≠2解析：选C.复数a 2－a －2＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则有a 2－a －2≠0或|a －1|－1＝0，解得a ≠－1.故选C.2．当实数m 为何值时，复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是： (1)纯虚数；(2)实数．解：(1)复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －7＝1m 2＋5m ＋6≠0，解得m ＝4.(2)复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －7>0，m 2＋5m ＋6＝0，解得m ＝－2或m＝－3.复数相等(1)(2019·浙江杭州期末考试)若z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i(m ，n ∈R )，且z 1＝z 2，则m ＋n ＝( )A ．4或0B ．－4或0C ．2或0D ．－2或0(2)若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的值是________．【解析】 (1)由z 1＝z 2，得n 2－3m －1＝－3且n 2－m －6＝－4，解得m ＝2，n ＝±2，所以m ＋n ＝4或0，故选A.(2)因为log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，所以⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x 2－3x －2）>1，log 2（x 2＋2x ＋1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －2>2，x 2＋2x ＋1＝1，解得x ＝－2.【答案】 (1)A (2)－2复数相等的充要条件复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解．[注意] 在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a ，b ，c ，d ∈R ，即当a ，b ，c ，d ∈R 时，a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .若忽略前提条件，则结论不能成立．已知A ＝{1，2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1，3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．解：由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，所以a ＝－ 1.1．若复数z ＝a i 2－b i(a ，b ∈R )是纯虚数，则一定有( ) A ．b ＝0 B ．a ＝0且b ≠0 C ．a ＝0或b ＝0D ．ab ≠0解析：选B.z ＝a i 2－b i ＝－a －b i ，由纯虚数的定义可得a ＝0且b ≠0. 2．若复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．2 C ．1D ．－1或2解析：选D.因为复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，所以m 2－m －2＝0，解得m ＝－1或m ＝2.3．若复数z ＝(m ＋1)＋(m 2－9)i ＜0，则实数m 的值等于____________．解析：因为z ＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－9＝0，m ＋1＜0，解得m ＝－3.答案：－34．已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R )，则x ＝________．解析：因为x ∈R ，所以x 2－x －6x ＋1∈R ，由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0，x ＋1≠0，解得x ＝3. 答案：3[A基础达标]1．以－3＋i的虚部为实部，以3i＋i2的实部为虚部的复数是()A．1－i B．1＋iC．－3＋3i D．3＋3i解析：选A.－3＋i的虚部为1，3i＋i2＝－1＋3i的实部为－1，故所求复数为1－i.2．在复平面内，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，则()A．a＝0或a＝2 B．a＝0C．a≠1且a≠2 D．a≠1或a≠2解析：选B.因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，所以a2－2a＝0且a2－a－2≠0，所以a＝0.3．若x i－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋y i＝()A．－2＋i B．2＋iC．1－2i D．1＋2i解析：选B.由i2＝－1，得x i－i2＝1＋x i，则由题意得1＋x i＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋y i＝2＋i.4．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是()A．|a|＝|b| B．a<0且a＝－bC．a>0且a≠b D．a≤0解析：选D.复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，得a≤0，故选D.5．下列命题：①若z＝a＋b i，则仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数；②若z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0；③若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选A.在①中未对z＝a＋b i中a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝i，则z21＋z22＝1－1＝0，但z1≠z2≠0，故②错误；在③中忽视0·i＝0，故③也是错误的．故选A.6．如果x－1＋y i与i－3x为相等复数，x，y为实数，则x＝________，y＝________．解析：由复数相等可知⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3x ，y ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝1.答案：1417．复数z 1＝(2m ＋7)＋(m 2－2)i ，z 2＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i ，m ∈R ，若z 1＝z 2，则m ＝________. 解析：因为m ∈R ，z 1＝z 2，所以(2m ＋7)＋(m 2－2)i ＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i.由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋7＝m 2－8，m 2－2＝4m ＋3，解得m ＝5. 答案：58．设z ＝log 2(1＋m )＋ilog 12(3－m )(m ∈R )是虚数，则m 的取值范围是________．解析：因为z 为虚数，所以log 12(3－m )≠0，故⎩⎪⎨⎪⎧1＋m >0，3－m ≠1，3－m >0，解得－1<m <3且m ≠2. 答案：(－1，2)∪(2，3)9．已知复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i(m ∈R )． (1)若复数z 是实数，求实数m 的值； (2)若复数z 是虚数，求实数m 的取值范围； (3)若复数z 是纯虚数，求实数m 的值； (4)若复数z 是0，求实数m 的值．解：(1)当m 2－2m －15＝0时，复数z 为实数，所以m ＝5或－3.(2)当m 2－2m －15≠0时，复数z 为虚数．所以m ≠5且m ≠－3.所以实数m 的取值范围为{m |m ≠5且m ≠－3}．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15≠0，m 2＋5m ＋6＝0时，复数z 是纯虚数，所以m ＝－2.(4)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15＝0，m 2＋5m ＋6＝0时，复数z 是0，所以m ＝－3.10．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x ＋32＋2（y ＋1）i ＝y ＋4x i ，（2x ＋ay ）－（4x －y ＋b ）i ＝9－8i有实数解，求实数a ，b 的值．解：设(x 0，y 0)是方程组的实数解，由已知及复数相等的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋32＝y 0 ①，2（y 0＋1）＝4x 0②，2x 0＋ay 0＝9 ③，－（4x 0－y 0＋b ）＝－8④，由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝52，y 0＝4，代入③④得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以实数a ，b 的值分别为1，2.[B 能力提升]11．“复数4－a 2＋(1－a ＋a 2)i(a ∈R )是纯虚数”是“a ＝－2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为1－a ＋a 2＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34＞0，所以若复数4－a 2＋(1－a ＋a 2)i(a ∈R )是纯虚数，则4－a 2＝0，即a ＝±2；当a ＝－2时，4－a 2＋(1－a ＋a 2)i ＝7i 为纯虚数，故选B.12．满足方程x 2－2x －3＋(9y 2－6y ＋1)i ＝0的实数对(x ，y )表示的点的个数为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3＝0，9y 2－6y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝13.所以实数对(x ，y )表示的点有⎝⎛⎭⎫3，13，⎝⎛⎭⎫－1，13，共有2个．答案：213．已知复数z ＝m 2＋3m ＋1＋(m 2＋5m ＋6)i<0(m ∈R )，则m 的值为________．解析：因为z <0，所以z ∈R ，所以m 2＋5m ＋6＝0，解得m ＝－2或m ＝－3.当m ＝－3时，z ＝1>0，不符合题意，舍去；当m ＝－2时，z ＝－1<0，符合题意．故m 的值为－2. 答案：－214．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i ，8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}，且M ∩N M ，M ∩N ≠∅，求整数a ，b 的值．解：若M ∩N ＝{3i}，则(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ，即a ＋3＝0且b 2－1＝3，得a ＝－3，b ＝±2.当a ＝－3，b ＝－2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8}，M ∩N ＝M ，不合题意，舍去；当a ＝－3，b ＝2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8＋4i}．符合题意．所以a ＝－3，b ＝2.若M ∩N ＝{8}，则8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ，即a 2－1＝8且b ＋2＝0，得a ＝±3，b ＝－2. 当a ＝－3，b ＝－2时，不合题意，舍去；当a ＝3，b ＝－2时，M ＝{6＋3i ，8}，N ＝{3i ，8}，符合题意．所以a ＝3，b ＝－2.若M ∩N ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i}＝{(a 2－1)＋(b ＋2)i}，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＝a 2－1，b 2－1＝b ＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －4＝0，b 2－b －3＝0，此方程组无整数解．综上可得a ＝－3，b ＝2或a ＝3，b ＝－2.[C 拓展探究]15．已知复数z 1＝－a 2＋2a ＋a i ，z 2＝2xy ＋(x －y )i ，其中a ，x ，y ∈R ，且z 1＝z 2，求3x ＋y 的取值范围．解：由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋2a ＝2xy a ＝x －y，消去a ，得x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.法一：令t ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋t .分析知圆心(1，－1)到直线3x ＋y －t ＝0的距离d ＝|2－t |10≤2，解得2－25≤t ≤2＋25，即3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋25]．法二：令⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos α，y ＋1＝2sin α，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α＋1，y ＝2sin α－1.(α∈R ) 所以3x ＋y ＝2sin α＋32cos α＋2＝25sin(α＋φ)＋2(其中tan φ＝3)，于是3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋2 5 ]．。

人教版高中数学【选修1-2】[知识点整理及重点题型梳理] 复数的概念与运算(文)

人教版高中数学选修1-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习复数的概念与运算【学习目标】1．理解复数的有关概念：虚数单位i 、虚数、纯虚数、复数、实部、虚部等。

2．理解复数相等的充要条件。

3. 理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。

4. 会进行复数的加、减运算，理解复数加、减运算的几何意义。

5. 会进行复数乘法和除法运算。

【要点梳理】知识点一：复数的基本概念1.虚数单位i数i 叫做虚数单位，它的平方等于1-，即21i =-。

要点诠释：①i 是－1的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是i -；②i 可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。

2. 复数的概念形如a bi +（,a b R ∈）的数叫复数，记作：z a bi =+（,a b R ∈）；其中：a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部，i 是虚数单位。

全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示。

要点诠释：复数定义中，,a b R ∈容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据.3.复数的分类对于复数z a bi =+（,a b R ∈）若b=0,则a+bi 为实数，若b≠0,则a+bi 为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi 为纯虚数。

分类如下：用集合表示如下图：4.复数集与其它数集之间的关系 N Z Q R C （其中N 为自然数集，Z 为整数集，Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集。

）知识点二：复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：特别地：00a bi a b +=⇔==.要点诠释：① 一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.② 根据复数a+bi 与c+di 相等的定义，可知在a=c ，b=d 两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bi≠c+di （a ，b ，c ，d ∈R ）．③ 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.④ 复数相等的充要条件提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径，这也是本章常用的方法，简称为“复数问题实数化”．知识点三、复数的加减运算1.复数的加法、减法运算法则：设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d R ∈），我们规定： 12()()()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++21()()z z c a d b i -=-+-要点诠释：（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。

高中数学理科选修知识点(2-2,2-3,4-1,4-4,4-5)

数学选修2-2知识点总结第一章导数及其应用一、导数概念的引入1.导数的物理意义：瞬时速率。

一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x ∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()limx f x x f x x ∆→+∆-∆2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。

容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆二.导数的计算1.函数()y f x c ==的导数2.函数()y f x x ==的导数3.函数2()y f x x ==的导数4.函数1()y f x x ==的导数基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()x f x a =,则()ln xf x a a '= 6 若()x f x e =,则()x f x e '=7 若()logxa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x '=导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙3. 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''∙-∙'=复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=∙三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减.2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是: 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值;4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值. 四.生活中的优化问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题第二章推理与证明考点一合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理. 类比推理的一般步骤:找出两类事物的相似性或一致性;用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);考点二演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.考点三数学归纳法它是一个递推的数学论证方法. 步骤:A.命题在n=1（或0n ）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k 时命题成立C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=0n ,且n N ∈)结论都成立。

《复数的几何意义》人教版高中数学选修1-2PPT课件(第3.1.2课时)

为了解方程的需要，我们又引入了一个新数i，从而将实数系扩充到复数系，而这个新的数i满足
一定的特征：
1. 对虚数单位i 的规定 ① i 2=-1； ②可以与实数一起进行四则运算.
思考如何从几何的角度理解复数呢？
2. 复数z=a+bi(其中a、b R)中a叫z 的实部、 b叫z的虚部 .
z为实数
平面向量 OZ
注意：复平面内任意一点 Z(a,b)可以与以原点为起点，点 Z(a,b) 为终点的向量 OZ 对应；
2.复数的模通过向量的模来定义；
z OZ a2 b2
人教版高中数学选修1-2
第3章数系的扩充与复数的引入
感谢你的聆听
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 1-2
2 1 cos 1
0 2 2cos 4 | z |(0,2)
探究2 求复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，只需代入定义式|z|＝即可，注意复数的模往往和其他章节的内容相联系.
新知探究
题型三轨迹问题例3 设z∈C，且满足下列条件，在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么图形？ (1)1<|z|<2； (2)|z－i|＝1.
(4,5)位于第四象限 (0,2)位于虚轴上 (2,0)位于实轴上
z i 3 3 i (3,1)
新知探究
题型一复平面
例当实数m为何值时，复数(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点①位于第四象
限；②位于x轴的负半轴上.
①
解：mm22
8m 3m
15 28
0 0
z OZ a2 b2

人教版数学高二选修1-2讲义数系的扩充和复数的概念

3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念1．了解数系的扩充过程.2．理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．(重点)3．掌握复数的代数形式、分类等有关概念并能够进行简单应用．(难点、易混点)[基础·初探]教材整理1复数的有关概念及复数相等的充要条件阅读教材P50～P51“思考”以上内容，完成下列问题．1．复数(1)定义：形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．(2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．2．复数集(1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集．(2)表示：通常用大写字母C 表示． 3．复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，则a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d ，a ＋b i ＝0⇔a ＝b ＝0.1．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( ) A ．－2 B.23 C ．－23D ．2【解析】 2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，所以b ＝2.【答案】 D2．已知(2m －5n )＋3i ＝3n －(m ＋5)i ，m ，n ∈R ，则m ＋n ＝________. 【解析】由复数相等的条件，得⎩⎨⎧ 2m －5n ＝3n ，3＝－(m ＋5)，解得⎩⎨⎧m ＝－8，n ＝－2，∴m ＋n ＝－10.【答案】－10 教材整理2 复数的分类阅读教材P 51“思考”以下至“例”题以上内容，完成下列问题． 1．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) ⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)⎩⎨⎧纯虚数a ＝0，b ≠0，非纯虚数a ≠0，b ≠0.2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系：图3-1-1判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a，b为实数，则z＝a＋b i为虚数．()(2)若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数．()(3)两个虚数不能比较大小．()【解析】(1)错误．若b＝0，则z＝a＋b i为实数．(2)错误．当a＝－1时，(a＋1)i不是纯虚数．(3)正确．【答案】(1)×(2)×(3)√[小组合作型]复数的有关概念(1)①若x，y∈C，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.A．0 B．1C．2D．3(2)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3【精彩点拨】首先将所给的复数化简为复数的代数形式，然后根据实部与虚部的概念确定实部、虚部．【自主解答】(1)①由于x，y∈C，所以x＋y i不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题．②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题．③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，所以③是假命题．(2)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1<0，所以①为假命题；对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题；对于③，2i＝0＋2i, 其实部是0，所以③为真命题．【答案】(1)A(2)B正确理解复数的有关概念是解答复数概念题的关键，另外在判断命题的正确性时，需通过逻辑推理加以证明，但否定一个命题的正确性时，只需举一个反例即可，所以在解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般”、“先否定，后肯定”的方法进行解答.[再练一题]1．(1)给出下列复数：2＋3，0.618，i2,5i＋4，2i，其中为实数的是________．(2)给出下列几个命题：①若x是实数，则x可能不是复数；②若z是虚数，则z不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；④－1没有平方根．则其中正确命题的个数为________．【解析】(1)2＋3，0.618，i2为实数，5i＋4，2i为虚数．(2)因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i，故④错；故答案为1.【答案】(1)2＋3，0.618，i2(2)1复数的分类已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．【精彩点拨】根据复数z 为实数、虚数及纯虚数的充要条件列方程(不等式)组求解．【自主解答】 (1)当z 为实数时，则⎩⎨⎧a 2－5a －6＝0，a 2－1≠0，∴⎩⎨⎧a ＝－1或a ＝6，a ≠±1，∴当a ＝6时，z 为实数． (2)当z 为虚数时，则⎩⎨⎧a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0， ∴⎩⎨⎧a ≠－1且a ≠6，a ≠±1， ∴当a ≠±1且a ≠6时，z 为虚数． (3)当z 为纯虚数时，则⎩⎨⎧ a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0，a 2－7a ＋6＝0，∴⎩⎨⎧a ≠－1且a ≠6，a ≠±1，a ＝6或a ＝1，∴不存在实数a 使z 为纯虚数．利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式等式或不等式组，求解参数时，注意考虑问题要全面.[再练一题]2．已知m ∈R ，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z 为实数？(2)z 为虚数？(3)z 为纯虚数？【解】 (1)要使z 为实数，需满足m 2＋2m －3＝0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 为虚数，需满足m 2＋2m －3≠0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 为纯虚数，需满足m (m ＋2)m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.复数相等的条件(1)12z 1＝z 2，实数x＝________，y ＝________.(2)已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实数根，则实数m 的值为________，方程的实根x 为________．【精彩点拨】 (1)根据实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组求解； (2)设出方程的实数解，代入原式整理为a ＋b i ＝0(a ，b ∈R )的形式解决．【自主解答】 (1)由复数相等的充要条件得⎩⎨⎧x －y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝－y ，解得⎩⎨⎧x ＝－9，y ＝6.【答案】－9 6 (2)设a 是原方程的实根，则a 2＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0，即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0＋0i ，所以a 2＋a ＋3m ＝0且2a ＋1＝0，所以a ＝－12且⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋3m ＝0，所以m ＝112. 【答案】 112 －12应用复数相等的充要条件时，要注意：(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部的相等，虚部与虚部相等列方程组.(2)利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现，这一思想在解决复数问题中非常重要.[再练一题]3．(1)适合x －3i ＝(8x －y )i 的实数x ，y 的值为( ) A ．x ＝0，且y ＝3 B ．x ＝0，且y ＝－3 C ．x ＝5，且y ＝3D ．x ＝3，且y ＝0(2)关于x 的方程3x 2－a2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值为________．【解析】 (1)由复数相等的条件，可知⎩⎨⎧ x ＝0，－3＝8x －y ，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝3.(2)设方程的实数根为x ＝m ，则原方程可变为3m 2－a2m －1＝(10－m －2m 2)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或a ＝－715.【答案】 (1)A (2)11或－715[探究共研型]复数的不相等关系探究1 若a ，b ∈R 且a ＞b ，则a ＋i ＞b ＋i 成立吗？【提示】不成立．如果两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小．探究2 若(a －2)＋b i>0，则实数a ，b 满足什么条件？【提示】 b ＝0，a >2.已知复数x 2－1＋(y ＋1)i 大于复数2x ＋3＋(y 2－1)i ，试求实数x ，y的取值范围．【精彩点拨】两复数若能比较大小，则两复数的虚部都为零．只需满足一复数的实部大于另一复数的实部．【自主解答】因为x 2－1＋(y ＋1)i>2x ＋3＋(y 2－1)i ，所以⎩⎨⎧y ＋1＝0，y 2－1＝0，x 2－1>2x ＋3，即⎩⎨⎧y ＝－1，x 2－2x －4>0，解不等式x 2－2x －4>0，得x >1＋5或x <1－ 5.所以实数x ，y 的取值范围分别是{x |x <1－5或x >1＋5}，{y |y ＝－1}．实数属于复数，但复数不一定是实数，因此实数的有些性质不适用于复数，如实数能比较大小，而复数中只有等与不等的关系，不能比较大小.只有当两个复数都是实数时才能比较大小.换言之，若两个复数能比较大小，则它们必为实数，即若a ＋b i>c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )，则⎩⎨⎧a >c ，b ＝d ＝0.[再练一题]4．已知复数z ＝3x －1－x ＋(x 2－4x ＋3)i>0，求实数x 的值．【解】 ∵z >0，∴z ∈R .∴x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3. ∵z >0，∴3x －1－x >0.对于不等式3x －1－x >0，x ＝1适合，x ＝3不适合． ∴x ＝1.1．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32i 的虚部为( )A ．2B ．－32 C ．2－32D ．0【解析】由复数定义知C 正确．【答案】 C2．设集合A ＝{实数}，B ＝{纯虚数}，C ＝{复数}，若全集S ＝C ，则下列结论正确的是( )A ．A ∪B ＝C B ．A ＝BC ．A ∩(∁S B )＝∅D ．(∁S A )∪(∁S B )＝C【解析】集合A ，B ，C 的关系如图，可知只有(∁S A )∪(∁S B )＝C 正确．【答案】 D3．若复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为( )【导学号：81092036】A ．1B ．1或－4C ．－4D ．0或－4【解析】由复数相等的条件得 ⎩⎨⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ， ∴a ＝－4. 【答案】 C4．如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i ＞0，求实数m 的值为________．【解析】 ∵(m 2－1)＋(m 2－2m )i ＞0， ∴(m 2－1)＋(m 2－2m )i 是实数，且符号为正， ∴⎩⎨⎧m 2－2m ＝0，m 2－1＞0，解得m ＝2. 【答案】 25．若x ∈R ，试确定实数a 的值，使等式3x 2－a2x ＋(2x 2＋x )i ＝1＋10i 成立．【解】由复数相等的充要条件，得 ⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－a 2x ＝1， ①2x 2＋x ＝10. ②由②得x ＝2或x ＝－52，分别代入①得a ＝11或a ＝－715.学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．复数－2i 的实部与虚部分别是( ) A ．0,2 B ．0,0 C ．0，－2D ．－2,0【解析】－2i 的实部为0，虚部为－2.【答案】 C2．若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1或－2D ．1或2【解析】由⎩⎨⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，得a ＝2. 【答案】 B3．若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，且b ＋(a －2)i ＝1＋i ，则a ＋b 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】由b ＋(a －2)i ＝1＋i ，得b ＝1，a ＝3，所以a ＋b ＝4.【答案】 D4．在下列命题中，正确命题的个数是( )①两个复数不能比较大小；②若z 1和z 2都是虚数，且它们的虚部相等，则z 1＝z 2；③若a ，b 是两个相等的实数，则(a －b )＋(a ＋b )i 必为纯虚数．A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】两个复数，当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①错误；设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R ，且d ≠0)，因为b ＝d ，所以z 2＝c ＋b i.当a ＝c 时，z 1＝z 2，当a ≠c 时，z 1≠z 2，故②错误；③当a ＝b ≠0时，(a －b )＋(a ＋b )i 是纯虚数，当a ＝b ＝0时，(a －b )＋(a ＋b )i ＝0是实数，故③错误，因此选A.【答案】 A5．已知复数z ＝(a 2－4)＋(a －3)i(a ，b ∈R )，则“a ＝2”是“z 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】因为复数z ＝(a 2－4)＋(a －3)i(a ，b ∈R )为纯虚数⇔⎩⎨⎧ a 2－4＝0，a －3≠0⇔a ＝±2, 所以“a ＝2”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件．【答案】 A二、填空题6．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是________．【解析】 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i ，实部为－3，故应填3－3i.【答案】 3－3i7．若x 是实数，y 是纯虚数，且(2x －1)＋2i ＝y ，则x ，y 的值为________.【导学号：81092037】【解析】由(2x －1)＋2i ＝y ，得⎩⎨⎧2x －1＝0，2i ＝y ，∴x ＝12，y ＝2i.【答案】 x ＝12，y ＝2i8．给出下列说法：①复数由实数、虚数、纯虚数构成；②满足x 2＝－1的数x 只有i ；③形如b i(b ∈R )的数不一定是纯虚数；④复数m ＋n i 的实部一定是m .其中正确说法的个数为________．【解析】 ③中，b ＝0时，b i ＝0不是纯虚数．故③正确；①中，复数分为实数与虚数两大类；②中，平方为－1的数是±i ；④中，m ，n 不一定为实数，故①②④错误．【答案】 1三、解答题9．已知复数z ＝m (m －1)＋(m 2＋2m －3)i ，当实数m 取什么值时：(1)复数z 是零；(2)复数z 是纯虚数．【解】 (1)∵z 是零，∴⎩⎨⎧ m (m －1)＝0，m 2＋2m －3＝0，解得m ＝1.(2)∵z 是纯虚数，∴⎩⎨⎧ m (m －1)＝0，m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0. 综上，当m ＝1时，z 是零；当m ＝0时，z 是纯虚数．10．已知集合M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．【解】因为M ∪P ＝P ，所以M ⊆P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎨⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1；由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎨⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2. 综上可知，m ＝1或m ＝2.[能力提升]1．已知复数z ＝a 2＋(2a ＋3)i(a ∈R )的实部大于虚部，则实数a 的取值范围是( )A ．－1或3B ．{a |a >3或a <－1}C ．{a |a >－3或a <1}D ．{a |a >3或a ＝－1} 【解析】由已知可以得到a 2>2a ＋3，即a 2－2a －3>0，解得a >3或a <－1，因此，实数a 的取值范围是{a |a >3或a <－1}．【答案】 B2．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为( )A.π4B.π4或54π C ．2k π＋π4(k ∈Z ) D ．k π＋π4(k ∈Z )【解析】由复数相等定义得⎩⎨⎧ cos θ＝sin θ，sin θ＝cos θ， ∴tan θ＝1，∴θ＝k π＋π4(k ∈Z )．【答案】 D3．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的值是________．【解析】 ∵log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1， ∴⎩⎨⎧ log 2(x 2－3x －2)>1，log 2(x 2＋2x ＋1)＝0， ∴⎩⎨⎧ x 2－3x －2>2，x 2＋2x ＋1＝1，∴⎩⎨⎧ x >4或x <－1，x ＝0或x ＝－2. ∴x ＝－2.【答案】－24．已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实根x 0，求x 0以及实数k 的值.【导学号：81092038】【解】 x ＝x 0是方程的实根，代入方程并整理，得 (x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0.由复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧ x 20＋kx 0＋2＝0，2x 0＋k ＝0，解得⎩⎨⎧ x 0＝2，k ＝－22或⎩⎨⎧ x 0＝－2，k ＝2 2. ∴方程的实根为x 0＝2或x 0＝－2，相应的k 值为k ＝－22或k ＝2 2。

高中数学选修内容知识点归纳

选修之1常用逻辑用语一、命题及其关系1.命题（1）用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. 其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．（2）对于“若p，则q”形式的例题，p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.2.四种命题原命题：若p，则q .逆命题：若q，则p .（2）如果q成立时，p一定成立，即q⇒p，则称p是q的必要条件；（3）如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充分必要条件，简称充要条件.三、简单的逻辑联结词1.联结词及记号逻辑联结词记号意义且p∧q p且q或p∨q p或q⌝非p非p（2）全称命题“对M中任意一个x，有p (x)成立”可用符号简记为∀∈，x M p x,()读作“对任意x属于M，有p (x)成立”.2.存在量词（1）短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做特称命题．注：常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”等.（2）特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为∃∈，,()x M p x读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”.3.含有一个量词的命题的否定（1）全称命题:,().p x M p x∀∈否定:,().⌝∃∈⌝p x M p x（2）特称命题:,().∃∈p x M p x否定:,().⌝∀∈⌝p x M p x选修之2圆锥曲线一、椭圆1.定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2.标准方程（1）焦点在x轴上：22221 x ya b+=.二、双曲线1.定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2.标准方程（1）焦点在x轴上：22221 x ya b-=.（2）焦点在y轴上：22221 y xa b-=.说明：注意双曲线中c为a，b，c中的最大数，c2=a2+b2.性质焦点在x 轴焦点在y 轴范围 x ≤－a 或x ≥a y ≤－a 或y ≥a对称性关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点成中心对称.顶点 A 1(－a , 0)，A 2(a , 0)A 1(0 , －B )，A 2(0 , b )渐近线 b y x a=±a y x b=±离心率c e a=c e a=（3）开口向上：x 2=2py . （4）开口向下：x 2=－2py . 性质开口向左开口向右开口向上开口向下范围 x ≥0 x ≤0 y ≥0 y ≤0 对称性 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴顶点 O (0 , 0) O (0 , 0) O (0 , 0) O (0 , 0) 离心率 e =1e =1e =1e =1焦点 (,0)2p (,0)2p -(0,)2p (0,)2p -准线方程2p x =-2p x =2p y =-2p y =四、直线与圆锥曲线的位置关系1.交点（1）将直线与圆锥曲线的方程联立得到方程组，则方程组的解就是交点的坐标.（2）消掉一个未知数后可得关于另一个未知数的一元二次方程，设此方程的判别式为Δ，则有相交⇔方程有两不同解⇔Δ>0；相切⇔方程有两相同解⇔Δ＝0；相离⇔方程无实数解⇔Δ＜0.2.弦长公式P＝{M | p (M)}；（3）用坐标表示条件p(M)，列出方程f (x , y)=0；（4）化方程f (x ,y)=0为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．注：化简前后方程的解集一般是相同的，步骤（5）可省略不写.如果有的点其坐标满足求出的方程，但该点不在方程的曲线上，一定要注意排除．步骤（2）有时也可省略.3.求轨迹方程的常用方法（1）标准方程法：如圆、椭圆、抛物线等都有标准方程，如能知道轨迹是何种曲线则可套用标准方程.（2）待定系数法：有时标准方程中的参数不易直接计算求得，则可用待定系数法，即列方程（组）求之.（3）代入法：若一个动点P与一条已知曲线f (x , y)=0上的点Q有联系，则可先找出P (x , y )，Q (x 1 , y 1)的坐标之间的关系1112(,),(,),x x y y x y ϕϕ=⎧⎨=⎩然后代入f (x 1 , y 1)=0即可求出P 的轨迹方程f (φ1(x ,y ) , φ2(x ,y ))=0.选修之3 推理与证明一、推理1.合情推理(1)由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．称为归纳推理(简称归纳)．(2)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．类比推理是由特殊到特征的推理.要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.2.分析法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法.3.反证法假没原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.4.数学归纳法(理科)证明一个与正整数n有关的例题，可按下面步骤进行：1°(归纳奠基)证明当n取第一个值n0时命题成立；2°(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.选修之4复数1.复数的概念（1）虚数单位：i2=－1.（2）形如a+b i的数叫复数，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部．（3）复数a+b i当且仅当b=0为实数，当且仅当b≠0时为虚数，当且仅当a=0，b≠0时为纯虚数，当且仅当a=b=0时为0．2.复数相等的条件a+b i=c+d i a=c，且b=d .复数一般不能比较大小，当且仅当两个复数都是实数时才能比较大小.3.复数的模及共扼复数数加法、乘法满足实数运算的所有运算律.实数的整数指数幂的运算性质在复数集中仍然成立．注：在复数集中，①分数指数幂的运算性质不再成立；②中学阶段不研究复数的开方；③一般地，|a|2≠a2.选修之5 统计案例一、回归分析1.线性回归分析（1）函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．（2）线性回归分析：方法是画散点图，求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报．其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为：回归模型中，R 2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率．R 2越接近于1，表示回归的效果越好．如果对某组数据可能采取几种不同的回归方程进行回归分析，也可以通过比较几个R 2，选择R 2大的模型作为这组数据的模型．说明：r 只能用于线性模型，R 2则可用于任一种模型. 对线性回归模型来说，22=R r .二、独立性检验1.基本概念（1）对于性别变量，其取值为男和女两种．这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量．（2）假设有两个分类变量X 和Y ，它们的值域分别为{}11x ,y 和{}12y ,y 其样本频数列联表称为2×2列联表：y1 y2 总计 x 1 a b a ＋b x 2 c d c ＋d 总计a ＋cb ＋da ＋b ＋c ＋d（3）构造随机变量()()()()()()22+++-=++++a b c d ad bc K ,a b c d a c b d利用K 2的大小可以确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”，这种方法称为如：如果k ＞7.879，就有99.5％的把握认为“X 与Y 有关系”.选修之6 导数及其应用一、变化率与导数1.变化率式子2121()()f x f x x x --叫做函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率. 记Δ x =x 2－x 1，Δ y =f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为Δy Δx .2.导数定义函数y = f (x )在x =x 0处的瞬时变化率0lim .x yx∆→∆∆ 称为函数y = f (x )在x = x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x = x 0，即000(+)()'()lim.x f x x f x f x x∆→∆-=∆（3）(sin x )′=cos x （4）(cos x )′=－sin x （5）(ax )′=ax ln a （6）(ex )′=ex（7）1(log )'ln a x x a =（8）1(ln )'x x=2.求导法则（1）[f (x )±g (x )]′=f ′(x )±g ′(x ) （2）[f (x )·g (x ) ]′=f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x )（3）f (x )g (x )′=f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) [g (x ) ]2 （4）[Cf (x ) ]′=Cf ′(x )（C 为常数） 3.复合函数的导数（理科）（1）复合函数：对于两个函数y = f (u )和u = g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝ f (u )和u = g (x )的复合函数，记作y = f (g (x ))．（2）复合函数求导法则：'''x u x y y u =⋅即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．三、导数的应用1.单调性与导数（1）在某个区间(a , b )内，如果f ′(x )≥0，且f ′(x )=0仅在一些孤立点上成立，那么函数y =f (x )在(a , b )内单调递增；如果f ′(x )≤0，且f ′(x )=0仅在一些孤立点上成立，那么函数y =f (x )在(a , b )内单调递减.（2）用导数单调区间：①求f ′(x )；②解不等式f ′(x )≥0，可得f (x )的单调递增区间，解不等式f ′(x )≤0，可得f (x )的单调递减区间（注意定义域）.注意：上述定理的逆命题不成立. （3）求函数的极值的方法求函数y = f (x )在区间[a , b ]上的最值的步骤如下： ①解方程f ′(x )=0；②当f ′(x 0)=0时，如果在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极大值；如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值．（4）求函数的最值的方法①求函数y = f (x )在(a , b )内的极值；②将函数y = f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．四、定积分（理科）1.定积分的概念函数f (x )在区间[a , b ]上连续，用分点a =x 0<x 1＜…<x i －1<x i ＜…<x n =b将区间[a , b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1 , x i ]上任取一点ξi (i =1，2，…，n )，作和式11()(),nni i i i b af x f n ξξ==-∆=∑∑当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a , b ]上的定积分，记作()d ba f x x ⎰，即1()d lim (),nbi n ai b af x x f n ξ→∞=-=∑⎰这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a , b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．由y = f (x )，x =a ，x =b 和x 轴围成的曲边梯形的面积为()d .baS f x x =⎰注：对于稍复杂些的图形的面积，可通过向x 轴作垂线，转化为求几个曲边梯形的面积的和或差.（2）求变速直线运动的路程位移：()d ba s v t t =⎰路程：()d bas v t t =⎰，其中v (t )表示速率.（3）变力作功()d baW F x x =⎰，其中F (x )表示变力.选修之7 空间向量与立体几何（理科）一、空间向量及其运算空间向量的有关概念及运算与平面向量形式上完全相同，只是由平面拓展到空间.下面仅列举空间向量特有的内容.（1）平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.（2）向量共面的条件：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与a ，b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x , y )，使p =xa +yb .112233222222123123cos ,a b a b a b a a a b b b ⋅<>==++++二、立体几何中的向量方法1.用向量解决立体几何问题的一般步骤（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义． 2.用向量解决的几类立体几何问题（1）证明平行或垂直①线线平行：证明直线的方向向量平行. ②线线垂直：证明直线的方向向量垂直.③线面平行：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. ④线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量平行. ⑤面面平行：证明两平面的法向量平行. ⑥面面垂直：证明两平面的法向量垂直. （2）计算距离①点到平面的距离：设v 是平面α的法向量，P 为α外一点，A 为α内任一点，P 到平③二面角：求两平面法向量的平角θ，二面角的大小可能是θ，也可能是180°－θ，可结合图形或其他条件确定.选修之8排列组合与二项式定理（理科）一、计数原理1.加法原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．2.乘法原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，（3）排列数的计算()()()21=--+=-m n n!A n n n m n m .123==⋅⋅m n A n!n .0!＝1 2.组合（1）从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．（2）从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号mn C 表示．（3）组合数的计算()()()()121---+===-mmnnm n n n n n m A n!C A m!m!n m !.（4）组合数的性质①-=m n mn n C C . ②11-+=+m m m n n n C C C .注：排列与的区别：排列有顺序，组合无顺序. 一种简便的判定方法是，任取一种情况，交换其中两个元素，如果变成了另一种情况，则是排列，如果仍是同一种情况或变成了一种不可能的情况，则是组合.两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．（3）各二项式系数的和．012+++++=k mn n n n n C C C C .注：二项式系数指的是0n C ，1n C ，，nn C ，而某一项的系数包含其他常数，要注意二者的区别.选修之9 随机变量及其分布（理科）一、离散型随机变量及其分布1.基本概念（1）随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.（2）所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量. 2.分布列（1）若离散型随机变量X 可能取的不同值为 x 1，x 2，…，x i ，…,x n ，X 取每一个值x i (i =1，2，…，n )的概率P (X =x i )=p i ，以表格的形式表示如下：（1）定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB ) = P (A ) P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立．（2）性质：如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立. 3.独立重复试验与二项分布（1）在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验.（2）在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()(1),0,1,2,,.k kn k n P X k C p p k n -==-=⋅⋅⋅n .此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n , p )，并称p 为成功概率．三、离散型随机变量的均值与方差1.均值X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则称EX = x 1 p 1＋x 2 p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望．（2）几个重要结论 ①E (aX +b )=aEx +b .四、正态分布（1）如果对于任何实数a <b ，随机变量X 满足,()()d baP a X b x x μσϕ<≤=⎰，则称X 的分布为正态分布．记作N (μ , σ2)．如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ~N (μ , σ2)．（2）正态曲线的特点：①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x = μ对称；③曲线在x = μ处达到峰值2σπ；④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越瘦高，总体分布越集中；σ越大，曲线越矮胖，总体分布越分散.（3）3σ原则P (μ－σ < X ≤ μ+σ)=0.6826， P (μ－2σ < X ≤ μ+2σ)=0.9554，。

(完整)人教版高中数学目录(文理科)

高一上：必修1第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例高一下必修4第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3．2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.2应用举例第二章数列2.1数列的概念与简单表示法2.2等差数列2.3等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域3.3.2简单的线性规划问题3.4基本不等式高二上必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例第二章统计2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体2．3 变量间的相关关系第三章概率3．1 随机事件的概率3．2 古典概型3．3 几何概型必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式第四章圆与方程4．1 圆的方程4．2 直线、圆的位置关系4．3 空间直角坐标系选修2-1第三章空间向量与立体几何 ---理科学3.1 空间向量及其运算3.2 立体几何中的向量方法高二下---理科选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线选修2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2 排列与组合1.3 二项式定理高二下---文科选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.2双曲线2.3抛物线第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的计算3.3导数在研究函数中的应用3.4生活中的优化问题举例选修1-2第三章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充和复数的概念3．2复数代数形式的四则运算。

新人教版高中数学必修第二册复数全套PPT课件

C．－3i
D．3
解析：由复数的几何意义可知
―→ OZ
对应的复数为
－3i.故选C.
答案：C
3．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则( )
A．a≠2或a≠1
B．a≠2或a≠－1
C．a＝2或a＝0
D．a＝0
解析：由题意知a2－2a＝0，解得a＝0或2.故选C.
答案：C
4．若复数a＋1＋(1－a)i在复平面内对应的点在第二象限，则
∴x22x－y＝y22＝，0，解得xy＝＝11，或xy＝＝－－11.， (2)设方程的实数根为x＝m，则3m2－a2m－1＝(10－m－2m2)i，
∴3m2－a2m－1＝0， 10－m－2m2＝0，
解得a＝11或a＝－751.
复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． (3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．
①z的实部为1；②z>0；③z的虚部为i.
A．1
B．2
C．3
D．0
解析：易知①正确，②③错误，故选A.
答案：A
()
2．在2＋
7
，
2 7
i,8＋5i，(1－
3 )i,0.68这几个数中，纯虚数的
个数为
()
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：由纯虚数的定义可知27i, (1－ 3)i是纯虚数．故选C.
答案：C
[思考发现]
1．已知复数z＝－i，复平面内对应点Z的坐标为

2023年人教版高中数学第七章复数知识点归纳总结(精华版)

(名师选题)2023年人教版高中数学第七章复数知识点归纳总结(精华版)单选题1、若z(1+i)=1−i，则z=（）A．1–i B．1+i C．–i D．i答案：D分析：先利用除法运算求得z，再利用共轭复数的概念得到z即可.因为z=1−i1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i2=−i，所以z=i.故选：D【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.2、在复平面内,复数2−i1−3i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A分析：根据复数的运算法则，求得2−i1−3i =12+12i，结合复数的几何意义，即可求解.由题意，复数2−i1−3i =(2−i)(1+3i)(1−3i)(1+3i)=5+5i10=12+12i，所以该复数在复平面内对应的点为(12,12)，在第一象限.故选：A.3、已知为i虚数单位，复数z=1+i1+2i，则z的共轭复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A分析：利用复数的除法运算化简z ，求出z 即可得在复平面内对应的点的坐标以及所在的象限. z =1+i 1+2i=(1+i )(1−2i )(1+2i )(1−2i )=1−2i 2−i 1−4i2=3−i 5=35−15i ，z =35+15i ，所以z 在复平面内对应的点坐标为(35,15)，所以z 在复平面内对应的点位于第一象限，故选：A.4、若z=1+i ，则|z 2–2z |=（） A ．0B ．1C ．√2D ．2 答案：D分析：由题意首先求得z 2−2z 的值，然后计算其模即可.由题意可得：z 2=(1+i )2=2i ，则z 2−2z =2i −2(1+i )=−2. 故|z 2−2z |=|−2|=2. 故选：D.小提示：本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题. 5、已知a,b ∈R ，a1+i +b1−i =1，则a +2b =（） A ．3B ．√3C ．√2D ．1 答案：A分析：等式两边同乘(1+i )(1−i )，整理化简后利用复数相等的条件可求得a +2b 的值因为a1+i +b1−i =1 ，所以a(1−i )+b(1+i )=(1+i )(1−i )=1−i 2=2 即(a +b)+(b −a)i=2所以{a +b =2b −a =0解得{a =1b =1 ，所以a +2b =3故选：A6、已知i 是虚数单位，则复数z =2−i 20202+i 2021对应的点所在的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D分析：先化简i 2020,i 2021，再利用复数的除法化简得解. z =2−i 20202+i 2021=12+i=2−i (2+i)(2−i)=2−i 5.所以复数对应的点(25,−15)在第四象限，故选：D小提示：名师点评复数z =x +yi(x,y ∈R)对应的点为(x,y)，点(x,y)在第几象限，复数对应的点就在第几象限.7、在复平面内，O 为原点，向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为−1−2i ，若点A 关于实轴的对称点为B ，则向量OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为（） A ．−2−i B ．2+i C ．1+2i D ．−1+2i 答案：D分析：根据复数的几何意义，由题中条件，先得出点A ，推出点B 的坐标，进而可得出结果. 由题意可知，点A 的坐标为(−1,−2)，则点B 的坐标为(−1,2)，故向量OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为−1+2i . 故选：D.8、设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限答案：C分析：先求出共轭复数再判断结果.由z =−3+2i,得z =−3−2i,则z =−3−2i,对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．小提示：本题考点为共轭复数，为基础题目．9、已知复数z =2−3i ，若z̅⋅(a +i )是纯虚数，则实数a =（） A ．−23B ．23C ．−32D ．32答案：D分析：根据共轭复数的定义及复数的乘法运算结合纯虚数的定义即可得出答案. 解：z̅⋅(a +i )=(2+3i )(a +i )=2a −3+(3a +2)i 是纯虚数，则{2a −3=03a +2≠0，解得a =32. 故选：D.10、设复数z 满足z ⋅i =−1+i ，则|z |=（） A ．1B ．√2C ．√5D ．√10 答案：B分析：利用复数的四则运算以及复数模的运算即可求解. 解析因为z =−1+i i=(−1+i )⋅i i ⋅i=−i −1−1=1+i ，所以z =1−i ，|z |=√2. 故选：B11、复数2i1−i （i 是虚数单位）的虚部是（） A ．1B ．−i C ．2D ．−2i 答案：A分析：利用复数的除法法则及复数的概念即可求解. 由题意可知，2i1−i =2i ×(1+i )(1−i )(1+i )=−2+2i 2=−1+i ，所以复数2i1−i 的虚部为1. 故选：A.12、复数a+b i(a,b∈R)的平方是一个实数的充要条件是（）.A．a=0且b≠0B．a≠0且b=0C．a=b=0D．ab=0答案：D分析：利用充要条件的定义和复数的运算判断即可因为(a+b i)2=a2+2ab i+(b i)2=a2−b2+2ab i为实数，所以ab=0，反之，当ab=0时，复数a+b i(a,b∈R)的平方是一个实数，所以复数a+b i(a,b∈R)的平方是一个实数的充要条件是ab=0，故选：D双空题13、著名数学家棣莫佛（De moivre，1667~1754）出生于法国香槟，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文.1707年棣莫佛提出了公式：[r(cosθ+i sinθ)]n=r n(cosnθ+i sinnθ)，其中r>0，n∈N∗.根据这个公式，则(cosπ12+i sinπ12)6=______；若[r(cosπ4+i sinπ4)]4=−16，则r= ______.答案：i 2分析：（1）直接代公式得原式为cosπ2+i sinπ2，化简即得解；（2）直接代公式化简得r4=16，解方程即得解.（1）(cosπ12+i sinπ12)6=cos(6×π12)+i sin(6×π12)=cosπ2+i sinπ2=i；（2）[r(cosπ4+i sinπ4)]4=r4(cosπ+i sinπ)=r4(−1)=−16，∴r=2.所以答案是：i；2.14、已知复数(2−3i)z=1−i，则z的虚部为_________；若13z+a为纯虚数，则实数a=_______.答案：113−5分析：首先根据复数代数形式的除法运算化简复数z ，即可得到其虚部，再化简复数13z +a ，根据实部为零，虚部不为零，求出参数a ；解：由题意得z =1−i2−3i =(1−i )(2+3i )(2−3i )(2+3i )=513+113i ，所以z 的虚部为113．因为13z +a =13(513+113i )+a =5+a +i 为纯虚数，所以5+a =0，即a =−5．所以答案是：113；−515、将复数z=3[cos (-π2)+i sin (-π2)]化成代数形式为_____;|z|=_____. 答案： −3i 3分析：利用特殊角的三角函数值，即可得到答案； ∵ z =3(0−i )=−3i ,|z|=3，所以答案是：−3i ,316、已知复数z 满足z (1+i )=−2+i （i 为虚数单位），则z 的虚部是_____，|z |= ______．答案： 32√102分析：根据复数z 满足z (1+i )=−2+i ，利用复数的除法化简得到z =−12+32i ，再根据复数的概念和模的求法求解.因为复数z 满足z (1+i )=−2+i ，所以z =−2+i 1+i=(−2+i )(1−i )(1+i )(1−i )=−12+32i所以z 的虚部是32，|z |=√(−12)2+(32)2=√102，所以答案是：32；√102. 小提示：本题主要考查复数的运算以及复数的概念和模，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 17、已知复数z =1+sinθcosθ+(cosθ−sinθ)i ，则|z |的最大值为__________，最小值为__________．答案： 32√2分析：直接计算复数的模，再利用三角函数的有界性，即可得答案；∵|z|=√(1+sinθ⋅cosθ)2+(cosθ−sinθ)2=√2+2sinθ⋅cosθ+sin2cos2θ−2sinθ⋅cosθ=√2+14sin22θ，当sin22θ=1时，|z|的最大值为32；当sin22θ=0时，|z|的最小值为√2；所以答案是：32；√2.解答题18、已知z1=3−4i，z2=3−2i.求：(1)z1⋅z2；(2)z1z2；(3)(1+i)2n+(1−i)2n（n为正整数）；(4)(1+i)15+(1−i)15(1+i)14−(1−i)14.答案：(1)1−18i(2)1713−613i(3)(2i)n+(−2i)n={2n+1,n=4k,k∈N∗, 0,n=4k+1,k∈N,−2n+1,n=4k+2,k∈N,0,n=4k+3,k∈N(4)i分析：（1）根据复数的加减法和乘法运算规则计算得出结果；（2）根据复数的四则运算规则计算得出结果；（3）根据复数的乘方及四则运算规则计算得出结果；（4）根据复数的乘方及四则运算规则计算得出结果.（1）根据复数的加减法和乘法运算规则得，z1·z2=(3−4i)·(3−2i)=1−18i.（2）根据复数的四则运算规则得，z 1z 2=3−4i 3−2i =(3−4i )(3+2i)(3−2i )(3+2i)=17−6i 13=1713−6i13.（3）根据复数的乘方及四则运算规则得，(1+i )2n +(1−i )2n=(2i )n +(−2i )n ={2n+1,n =4k,k ∈N ∗,0,n =4k +1,k ∈N,−2n+1,n =4k +2,k ∈N,0,n =4k +3,k ∈N（4）根据复数的乘方及四则运算规则得，(1+i )15+(1−i )15(1+i )14−(1−i )14=(1+i)14·(1+i)+(1−i )14·(1−i )(2i)7−(−2i)7=(2i)7·(1+i)+(−2i)7·(1−i )−28i=−27i +27+27i +27−28i=i19、计算：（1）(1−√3i )6−(1−√3i )152i (1−i )12(12+12i )2；（2）i2002+(√2+√2i )8−(√21−i )50+√3+1+2√3i(1−√3i )8．答案：（1）513；（2）247+8√3i ．分析：（1）借助(12−√32i )3=−1，(1−i )2=−2i 以及复数的四则运算，即得解；（2）借助(1+i )2=2i ，(1−i )2=−2i ，i 4=1，(12−√32i )3=−1以及复数的四则运算，即得解.（1）由于(12−√32i )3=(12−√32i )2×(12−√32i )=(−12−√32i )×(12−√32i )=−1(1−i )2=−2i故(1−√3i )6−(1−√3i )152i (1−i )12(12+12i )2=26×(−1)2−215×(−1)52i ×(−2i )6×12i=26+21526=1+29=513（2）由于(1+i )2=2i ，(1−i )2=−2i ，i 4=1，(12−√32i )3=−1故i2002+(√2+√2i )8−(√21−i )50+√3+1+2√3i +(1−√3i )8=i500×4+2+24(1+i)8−225(1−i)50+(−2√3+i)(1−2√3i)(1+2√3i)(1−2√3i)28(1+i)828(12−√32i)8=−1+24(2i)4−225(−2i)25+i28(2i)428×(−1)2×(12−√32i)2=−1+24×2−4i+i+24(−12+√32i)=247+8√3i20、已知复数z=6−4m i1+i（m∈R,i是虚数单位）．(1)若z是实数，求实数m的值；(2)设z̅是z的共轭复数，复数z̅−4z在复平面上对应的点位于第一象限，求实数m的取值范围．答案：(1)m=−32(2)m>32分析：（1）根据除法运算化简，再由复数为实数建立方程求解即可；（2）根据共轭复数的概念化简复数，再由复数对应的点在第一象限建立不等式求解即可. (1)z=(6−4m i)(1−i)(1+i)(1−i)=3−2m−(3+2m)i，因为z为实数，所以3+2m=0，解得m=−32.(2)因为z是z的共轭复数，所以z̅=3−2m+(3+2m)i，所以z̅−4z=6m−9+(10m+15)i因为复数z̅−4z在复平面上对应的点位于第一象限，所以6m−9>0，同时10m+15>0解得m>32.。

高中数学必修2(人教版)7.1.1数系的扩充和复数的概念

[教材答疑]
1．教材P68思考把新引进的数i添加到实数集中，我们希望数i和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律．那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢？提示：依照以上设想，把实数b与i相乘，结果记作bi；把实数 a与bi相加，结果记作a＋bi.注意到所有实数以及i都可以写成a＋ bi(a，b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中．
(2)已知m∈R，复数z＝
mm＋2 m－1
＋(m2＋2m－3)i，当m为何值
时，
(1)z为实数？
(2)z为虚数？
(3)z为纯虚数？
解析：(1)要使z为实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且
mm＋2 m－1
有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.
(2)要使z为虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且
mm＋2 m－1
(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可写成a＋bi(a，b∈R) 的形式，其中0＝0＋0i.
(2)复数的虚部是实数b而非bi. (3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．
2．复数代数形式的应用 (1)从代数形式可判定z是实数、虚数还是纯虚数，若z是纯虚数，可设z＝bi(b≠0，b∈R) 若z是虚数，可设z＝a＋bi(b≠0，b∈R) 若z是复数，可设z＝a＋bi(a，b∈R) (2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．
答案：0
方法归纳在理解和应用复数概念时，一定要明确复数实部和虚部的定义，复数的代数形式，根据题意，解出结果．
题型二复数的分类——师生共研例1 实数m取什么值时，复数z＝m2－5m＋6＋(m2－3m)i是(1) 实数；(2)虚数；(3)纯虚数．

人教版高中数学知识点总结(二篇)

人教版高中数学知识点总结一、函数与方程1. 函数的定义与性质：函数的概念、关系与函数、函数的特性、函数的分类、函数的运算、函数的图象。

2. 一次函数：函数的表达式与图象、函数的增减性与单调性、零点与根的概念、函数的解与方程。

3. 二次函数：函数的表达式与图象、函数的增减性与单调性、函数的最值与极值、函数的解与方程。

4. 幂函数与指数函数：函数的定义域与值域、函数的图象与性质、函数的运算与应用。

二、数列与数列的表示方法1. 等差数列：等差数列的概念与特性、等差数列的通项公式、等差数列的前n项和、等差数列的应用。

2. 等比数列：等比数列的概念与特性、等比数列的通项公式、等比数列的前n项和、等比数列的应用。

3. 通项公式与通项公式的逆向推导：等差数列与等比数列的通项公式的推导与应用。

三、平面坐标系与直线1. 平面直角坐标系：直角坐标系的概念、直角坐标系的运用及常用定理。

2. 直线的方程：直线的一般方程、直线的斜截式方程、直线的截距式方程、两直线的位置关系。

四、图形的变换1. 平移：图形的平移规律、平移的定义与性质、平移的向量表示。

2. 旋转：图形的旋转规律、旋转的定义与性质、旋转的向量表示。

3. 对称：图形的对称规律、对称的定义与性质、对称的向量表示。

五、三角函数1. 角与弧度：角的度量与单位、角的标准位置、弧度制与角度制的换算。

2. 正弦函数：正弦函数的定义与性质、正弦函数的图象与性质、正弦函数的应用。

3. 余弦函数：余弦函数的定义与性质、余弦函数的图象与性质、余弦函数的应用。

4. 正切函数：正切函数的定义与性质、正切函数的图象与性质、正切函数的应用。

六、解析几何1. 平面与空间几何：平面的点坐标与方程、平面的性质及应用、空间几何的概念与基本性质。

2. 平面图形：平面图形的概念与性质、平面图形的参数方程、平面图形的拟合。

3. 空间图形：立体图形的概念与性质、立体图形的参数方程、立体图形的拟合。

七、立体几何1. 空间中的位置关系：直线的位置关系、平面的位置关系、直线与平面的位置关系。

2023年人教版高中数学第七章复数高频考点知识梳理

(名师选题)2023年人教版高中数学第七章复数高频考点知识梳理单选题1、若复数z满足(z-1)i=1+i其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数z̅=（）A．-2-i B．-2+i C．2-i D．2+i答案：D分析：根据复数的除法运算以及共轭复数的概念即可求解.因为(z-1)i=1+i，所以z=1+2ii =(1+2i)ii×i=2−i，所以z=2+i.故选：D.2、已知复数z对应的点在第二象限，z为z的共轭复数，有下列关于z的四个命题：甲：z+z=−2；乙：z−z=2i；丙：z⋅z=4；丁：z÷z=−12−√32i．如果只有一个假命题，则该命题是（）A．甲B．乙C．丙D．丁答案：B分析：设z=a+b i,z=a−b i，根据复数所在象限、复数加法、减法、乘法和除法，结合“只有一个假命题”进行分析，由此确定正确选项.设z=a+b i,z=a−b i，由于z对应点在第二象限，所以a<0,b>0，z+z=2a<0，z−z=2b i，z⋅z=a2+b2，z =a+b ia−b i=(a+b i)2(a−b i)(a+b i)=a2−b2+2ab ia2+b2=a2−b2a2+b2+2aba2+b2i.甲⇒2a=−2,a=−1，乙⇒2b=2,b=1，丙⇒a2+b2=4，丁⇒a 2−b2a2+b2=−12,2aba2+b2=−√32⇒b=−√3a，由于“只有一个假命题”，所以乙是假命题，b的值应为√3.故选：B3、若复数z满足z(1−2i)=5，则（）A．z=1−2iB．z+1是纯虚数C．复数z在复平面内对应的点在第二象限D．若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则cosα=√55答案：D分析：利用复数的除法求复数z及对应点坐标，并确定所在的象限，结合各选项描述判断正误.由题设，z=51−2i=1+2i且对应点在第一象限，A、C错误；z+1=2+2i不是纯虚数，B错误；由z在复平面内对应的点为(1,2)，所以cosα=√55，D正确.故选：D4、复数2−i1+3i在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C分析：利用复数的除法可化简2−i 1+3i ，从而可求对应的点的位置.∵2−i1+3i =(2−i )(1−3i )10=−1−7i 10，所以该复数对应的点为(−110,−710)，在第三象限. 故选：C.5、复数(cos 2θ+isin 3θ)⋅(cos θ+isin θ)的模为1，其中i 为虚数单位，θ∈[0,2π]，则这样的θ一共有（）个.A ．9B ．10C ．11D ．无数答案：C分析：先根据复数(cos 2θ+isin 3θ)⋅(cos θ+isin θ)的模为1及复数模的运算公式，求得cos 22θ+sin 23θ=1即cos 22θ=cos 23θ，接下来分cos 2θ=cos3θ与cos 2θ=−cos3θ两种情况进行求解，结合θ∈[0,2π]，求出θ的个数.|(cos 2θ+isin 3θ)⋅(cos θ+isin θ)|=|cos 2θ+isin 3θ|⋅|cos θ+isin θ|=1，其中|cos θ+isin θ|=1，所以|cos 2θ+isin 3θ|=1，即cos 22θ+sin 23θ=1，cos 22θ=1−sin 23θ=cos 23θ，当cos 2θ=cos3θ时，①2θ=3θ+2k 1π，k 1∈Z ，所以θ=−2k 1π，k 1∈Z ，因为θ∈[0,2π]，所以θ=0或2π；②2θ=−3θ+2k 2π，k 2∈Z ，所以θ=2k 2π5，k 2∈Z ，因为θ∈[0,2π]，所以θ=0，2π5，4π5，6π5，8π5或2π；当cos 2θ=−cos3θ时，①2θ=3θ+(2k 3+1)π，k 3∈Z ，即θ=−(2k 3+1)π，k 3∈Z ，因为θ∈[0,2π]，所以θ=π，②2θ=−3θ+(2k 4+1)π，k 4∈Z ，即θ=(2k 4+1)5π，k 4∈Z ，因为θ∈[0,2π]，所以θ=π5，3π5，π，7π5，9π5，综上：θ=m 5π，m =0,1,⋯10，一共有11个.故选：C6、i 为虚数单位，已知复数a 2−1+(a −1)i 是纯虚数，则a 等于（）A ．±1B ．1C ．−1D ．0答案：C解析：根据纯虚数的定义，实部为0，虚部不为0，列方程组求解.复数a 2−1+(a −1)i 是纯虚数，所以{a 2−1=0a −1≠0 ，得a =−1.7、在复平面内，复数z =(a 2−2a )+(a 2−a −2)i (a ∈R )是纯虚数，则（）A ．a =0或a =2B ．a =0C ．a ≠1且a ≠2D ．a ≠1或a ≠2答案：B分析：利用复数是纯虚数的条件，即：实部为零且虚部不为零求解参数的值.复数z =(a 2−2a )+(a 2−a −2)i (a ∈R )是纯虚数,所以{a 2−2a =0a 2−a −2≠0，解得：a =0，故选：B.8、若复数z =(1+i)23+4i ，则|z |=（） A ．45B ．35C ．25D ．√25答案：C解析：先求出z =8−6i 25，再求出|z|得解. 由题得z =(1+i )23+4i =2i 3+4i =2i(3−4i)(3+4i)(3−4i)=8+6i 25，所以|z|=√(825)2+(625)2=1025=25.故选：C9、z =(2+i )2−4在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B分析：将复数化为标准形式再根据复数的几何意义即可确定.z =(2+i )2−4=−1+4i ，则z 在复平面内对应的点位于第二象限，10、已知i 为虚数单位，则1+3i 1−2i =（）.A ．−2−3iB ．−1−iC ．−1+iD ．3+2i答案：C分析：利用复数的除法化简可得结果.1+3i 1−2i =(1+3i )⋅(1+2i )(1−2i )⋅(1+2i )=−5+5i 5=−1+i ，故选：C.11、1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分，使其积为40”的问题，即“求方程x (10−x )=40的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为5+√−15和5−√−15，数系扩充后这两个根分别记为5+√15i 和5−√15i ．若z(5+√15i )=5−√15i ，则复数z =（）A ．1−√15iB ．1+√15iC ．1−√15i 4D ．1+√15i 4答案：C 分析：利用复数除法运算求得z .由z(5+√15i )=5−√15i ，得z =√15i 5+√15i =√15i 2(5+√15i )(5−√15i )=25−15−10√15i 25−15i 2=1−√15i4．故选：C ．12、若z(1−2i )=2+i ，则复数z̅=（）A ．-1B ．−iC ．1D ．i答案：B分析：由复数的除法运算和共轭复数的概念，即可求出结果.由z(1−2i )=2+i ，得z =2+i 1−2i =(2+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=2−2+i +4i5=i ，则z̅=−i .双空题13、一元二次方程x2-2x+m=0的一个虚根为1−2i，则另一个虚根为___________，实数m=___________. 答案：1+2i 5分析：由方程根的意义，用1−2i替换方程x2-2x+m=0中的x，经计算得m，再还原解一元二次方程得解. 因1−2i是一元二次方程x2-2x+m=0的一个根，所以(1−2i)2−2⋅(1−2i)+m=0⇒−3−4i−2+4i+m=0⇒m=5；m=5时，方程为x2-2x+5＝0，(x-1)2=-4，(x-1)2=(2i)2，x−1=±2i，即x=1−2i或x=1+2i，所以方程的另一虚根为1+2i.所以答案是：1+2i；514、已知复数z1=cosθ−i，z2=sinθ+i，则z1⋅z2的实部最大值为________，虚部最大值为________.答案：32##1.5√2分析：首先根据复数代数形式的乘法运算化简z1⋅z2，再根据正弦函数的性质计算可得；解：因为z1=cosθ−i，z2=sinθ+i，所以z1⋅z2=(cosθ−i)(sinθ+i)=(cosθsinθ+1)+i(cosθ−sinθ)．实部为cosθsinθ+1=1+12sin2θ⩽32，所以实部的最大值为32．虚部为cosθ−sinθ=√2sin(π4−θ)⩽√2，所以虚部的最大值为√2．所以答案是：32；√2；15、已知a∈R，复数z=a+i1−i（i是虚数单位），若z∈R，则a=___________，|z+i|=___________. 答案：−1√2分析：根据复数的除法运算求出复数的代数形式，利用z ∈R 求出a ，利用模长公式求出模长即可.z =(a+i )(1+i )(1−i )(1+i )=a−12+a+12i ，因为z ∈R ，故a+12=0，得a =−1,z =−1，故|z +i |=|−1+i |=√2.所以答案是：−1；√2.16、已知a,b ∈R ，若1+(a 2+a −2)i >a +(3−b)i ，则a =________，b =________.答案： -2 3解析：根据复数可以比较大小，则虚部为零列方程和不等式，由此求得a,b 的值.∵a,b ∈R ，1+(a 2+a −2)i >a +(3−b)i ，∴{a 2+a −2=03−b =01>a，∴{a =−2b =3. 所以答案是：（1）−2；（2）3小提示：本小题主要考查复数可以比较大小的条件，属于基础题.17、复数z 1=1+i,z 2=3−2i ，则|z 1|=_______，z1z 2=__________．答案： √2 113+513i解析：可直接求出|z 1|，再根据复数的除法运算法则可求出z 1z 2. ∵z 1=1+i ，∴|z 1|=√12+12=√2，z 1z 2=1+i 3−2i =(1+i )(3+2i )(3−2i )(3+2i )=1+5i 13=113+513i . 所以答案是：√2；113+513i .解答题18、从①z 与复数2−12i 相等，②z 与复数12+16i 成共轭复数，③z 在复平面上对应的点在第一、三象限角平分线上这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：若复数z=(1+i)m2+(5−2i)m+(6−15i)(m∈R)，．求方程x2+mx+1=0(x∈C)的根．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．答案：答案见解析分析：由已知得z=(m2+5m+6)+(m2−2m−15)i，根据所选的条件，结合复数相等、共轭复数的定义、在一三象限角平分线上点坐标的性质，列方程组求m，进而求方程的根.z=(1+i)m2+(5−2i)m+(6−15i)=(m2+5m+6)+(m2−2m−15)i（1）选择条件①：根据复数相等的充要条件，有{m2+5m+6=2m2−2m−15=−12，解得m=−1，∴方程x2−x+1=0的根为x=1±√3i2（2）选择条件②：根据共轭复数的定义，有{m2+5m+6=12m2−2m−15=−16，解得m=1，∴方程x2+x+1=0的根为x=−1±√3i2（3）选择条件③：由题意，m2+5m+6=m2−2m−15，解得m=−3，∴方程x2−3x+1=0的根为x=3±√5219、（Ⅰ）在①z+z̅=4，②z为纯虚数，③z为实数，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知复数z=(m2−3m+2)+(m2−5m+6)i（i为虚数单位），z̅为z的共轭复数，若_________，求实数m 的值；（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件给分）（Ⅱ）在复数范围内解关于x的方程：x2+2x+2=0．答案：（Ⅰ）答案见解析（Ⅱ）x1=−1+i,x2=−1−i分析：（Ⅰ）由复数的类型以及运算，列出关系式，从而得出实数m的值；（Ⅱ）由配方法结合复数的性质得出方程的解.（Ⅰ）①∵z̅=(m2−3m+2)−(m2−5m+6)i,z+z̅=4∴2(m2−3m+2)=4，即m2−3m=0，解得m=0或m=3②∵z为纯虚数∴{m2−3m+2=0m2−5m+6≠0，解得m=1③∵z为实数，∴m2−5m+6=0，解得m=2,m=3（Ⅱ）∵(x+1)2=−1=i2，∴x1=−1+i,x2=−1−i20、欧拉（1707﹣1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式e iθ＝cosθ+isinθ，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi+1＝0，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数e，圆周率π，两个单位——虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：e iθ＝cosθ+isinθ，解决以下问题：（1）将复数e π4i+eπi写成a+b i（a，b∈R，i为虚数单位）的形式；（2）求|eπi−eθi|（θ∈R）的最大值.答案：（1）(√22−1)+√22i；（2）2.分析：（1）利用欧拉公式将e π4i+eπi化为三角形式，进而根据特殊角的函数值写出其代数形式即可；（2）由欧拉公式及复数模的求法，可得|eπi−eθi|=√2+2cosθ，进而可求其最大值.（1）e π4i+eπi=cosπ4+i sinπ4+(cosπ+i sinπ)=(√22−1)+√22i；（2）|eπi−eθi|=|cosπ+i sinπ−(cosθ+i sinθ)|=|(−1−cosθ)−i sinθ|=√(1+cosθ)2+sin2θ＝√2+2cosθ，∴当cosθ＝1，即θ＝2kπ，k∈Z时，|eπi−eθi|（θ∈R）的最大值为2.。

人教版高中理科数学教材目录

人教版高中理科数学教材目录必修一第一章集合§1集合的含义与表示§2集合的基本关系§3集合的基本运算交集与并集全集与补集第二章函数§1生活中的变量关系§2对函数的进一步认识函数的概念函数的表示方法映射§3函数的单调性§4二次函数性质的再研究二次函数的图像二次函数的性质§5简单的幂函数第二章指数函数与对数函数§1正指数函数§2指数扩充及其运算性质指数概念的扩充指数运算是性质§3指数函数指数函数的概念指数函数的图像和性质指数函数的图像和性质§4对数对数及其运算换底公式§5对数函数对数函数的概念的图像和性质对数函数的图像和性质§6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较第四章函数的应用§1函数和方程利用函数性质判定方程解的存在利用二分法求方程的近似解§2实际问题的函数建模实际问题的函数刻画用函数模型解决实际问题函数建模案例必修二第一章立体几何初步§1简单几何体简单旋转体简单多面体§2直观图§3三视图简单组合体的三视图由三视图还原成实物图§4空间图形的基本关系与公理空间图形基本关系的认识空间图形的公理§5平行关系平行关系的判定平行关系的性质§6垂直关系垂直关系的判定垂直关系的性质§7简单几何体的面积和体积简单几何体的侧面积棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积球的表面积和体积第二章解析几何初步§1直线和直线的方程直线的倾斜角和斜率直线的方程两条直线的位置关系两条直线的交点平面直接坐标系中的距离公式§2圆和圆的方程圆的标准方程圆的一般方程直线与圆、圆与圆的位置关系§3空间直角坐标系空间直接坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标空间两点间的距离公式必修三第一章统计§1从普查到抽样§2抽样方法简单随机抽样分层抽样与系统抽样§3统计图表§4数据的数字特征平均数、中位数、众数、极差、方差标准差§5用样本估计总体估计总体的分布估计总体的数字特征§6统计活动：结婚年龄的变化§7相关性§8最小二乘估计第二章算法初步§1算法的基本思想算法案例分析排序问题与算法的多样性§2算法框图的基本结构及设计顺序结构与选择结构变量与赋值循环结构§3几种基本语句条件语句循环语句第三章概率§1随机事件的概率频率与概率生活中的概率§2古典概型古典概型的特征和概率计算公式建立概率模型互斥事件§3模拟方法——概率的应用必修四第一章三角函数§1周期现象§2角的概念的推广§3弧度制§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式任意角的正弦函数、余弦函数的定义单位圆与周期性单位圆与诱导公式§5正弦函数的性质与图像从单位圆看正弦函数的性质正弦函数的图像正弦函数的性质§6余弦函数的图像和性质余弦函数的图像余弦函数的性质§7正切函数正切函数的定义正切函数的图像和性质正切函数的诱导公式§8函数的图像§9三角函数的简单应用第二章平面向量§1从位移、速度、力到向量位移、速度和力向量的概念§2从位移的合成到向量的加法向量的加法向量的减法§3从速度的倍数到数乘向量数乘向量平面向量基本定理§4平面向量的坐标平面向量的坐标表示平面向量线性运算的坐标表示向量平行的坐标表示§5从力做的功到向量的数量积§6平面向量数量积的坐标表示§7向量应用举例点到直线的距离公式向量的应用举例第三章三角恒等变形§1同角三角函数的基本关系§2两角和与差的三角函数两角差的余弦函数两角和与差的正弦、余弦函数两角和与差的正切函数§3二倍角的三角函数必修五第一章数列§1数列数列的概念数列的函数特性§2等差数列等差数列等差数列的前n项和§3等比数列等比数列等比数列的前n项和§4数列在日常经济生活中的应用第二章解三角形§1正弦定理与余弦定理正弦定理余弦定理§2三角形中的几何计算§3解三角形的实际应用举例第三章不等式§1不等关系不等关系不等关系与不等式§2一元二次不等式一元二次不等式的解法一元二次不等式的应用§3基本不等式基本不等式基本不等式与最大（小）值§4简单线性规划二元一次不等式（组）与平面区域简单线性规划简单线性规划的应用选修2—1第一章常用逻辑用语§1命题§2充分条件与必要条件充分条件必要条件充要条件§3全称量词与存在量词全称量词与全称命题存在量词与特称命题全称命题与特称命题的否定§4逻辑连结词“且”“或”“非”逻辑连结词“且”逻辑连结词“或”逻辑连结词“非”第二章空间向量与立体几何§1从平面向量到空间向量§2空间向量的运算§3向量的坐标表示和空间向量基本定理空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理空间向量运算的坐标表示§4用向量讨论垂直与平行§5夹角的计算直线间的夹角平面间的夹角直线与平面的夹角§6距离的计算第三章圆锥曲线与方程§1椭圆椭圆及其标准方程椭圆的简单性质§2抛物线抛物线及其标准方程抛物线的简单性质§3双曲线双曲线及其标准方程双曲线的简单性质§4曲线与方程曲线与方程圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点选修2—2第一章推理与证明§1归纳与类比归纳推理类比推理§2综合法与分析法综合法分析法§3反证法§4数学归纳法第二章变化率与导数§1变化的快慢与变化率§2导数的概念及其几何意义导数的概念导数的几何意义§3计算导数§4导数的四则运算法则导数的加法与减法法则导数的乘法与除法法则§5简单复合函数的求导法则第三章导数的应用§1函数的单调性与极值导数与函数的单调性函数的极值§2导数在实际问题中的应用实际问题中导数的意义最大值、最小值问题第四章定积分§1定积分的概念定积分的背景——面积和路程问题定积分§2微积分基本定理§3定积分的简单应用平面图形的面积简单几何体的体积第五章数系的扩充与复数的引入§1数系的扩充与复数的引入数的概念的扩展复数的有关概念§2复数的四则运算复数的加法与减法复数的乘法与除法。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

复数的概念
教学目标：
理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件
教学重点：
理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件
教学过程
一、复习：实数系
二、引入新课：
1.虚数单位i:
(1)它的平方等于-1，即21
i=-;
(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.
2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i!
3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1
4.复数的定义：形如(,)
+∈的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体
a bi a
b R
复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*
3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即(,)
=+∈，把复数表示成a+bi
z a bi a b R
的形式，叫做复数的代数形式
4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)
+∈，当且仅当b=0时，
a bi a
b R
复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi 叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.
5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.
6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等
这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di⇔a=c，b=d
复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.
现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小
7、例子
例1实数m 取什么数值时，复数z =m +1+(m －1)i 是:
(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？
［分析］因为m ∈R ，所以m +1，m －1都是实数，由复数z =a +bi 是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m 的值.
解：(1)当m －1=0，即m =1时，复数z 是实数；
(2)当m －1≠0，即m ≠1时，复数z 是虚数；
(3)当m +1=0，且m －1≠0时，即m =－1时，复数z 是纯虚数.
例2 已知(2x －1)+i =y －(3－y )i ，其中x ，y ∈R ，求x 与y .
解：根据复数相等的定义，得方程组⎩⎨
⎧--==-)3(1,12y y x ，所以x =25，y =4。