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P



x
x
（如图）
设e ai bj为L上一单位向量，则它的参数方程为 x x0 ta， t . y y0 tb，
pp ( x x0 , y y0 ) ( ta , tb ) te , pp te t , t表示点p到点p的有向距离. 且 z f ( x ta , y tb ) f ( x , y ),
x2 y2 z2 四、求 u 2 2 2 在点 M ( x 0 , y 0 , z 0 ) 处沿点的向 a b c 径r0 的方向导数,问a , b, c 具有什么关系时此方向导 数等于梯度的模?
练习题答案
一、1、1 2 3 ； 2、3 i 2 j 6 k ； 2x 2 2y 2 2z 2 3、 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) gradu ； a b c 4、 a gradu . 1 2( a 2 b 2 ) . 二、 ab 2u( x 0 , y 0 , z 0 ) u ;a b c . 四、 M 2 2 2 r0 x0 y0 z0
2
2
P
f x 轴到梯度的转角的正切为 tan y ． f x
f 当 不为零时， x
gradf
在几何上 z f ( x , y ) 表示一个曲面
曲面被平面 z
c
z f ( x, y) , 所截得 z c
所得曲线在xoy面上投影如图
y
f ( x, y ) c 2
解 由梯度计算公式得
u u u gradu( x , y , z ) i j k x y z
( 2 x 3)i (4 y 2) j 6 zk , 故 gradu(1,1,2) 5i 2 j 12k .
3 1 在 P0 ( , ,0) 处梯度为 0. 2 2
P x 依定义，函数 f ( x , y ) 在点 沿着 轴正向e1 (1,0 ) 、 y 轴正向 e 2 ( 0,1) 的方向导数分别为 f x , f y ；
沿着 x 轴负向、y 轴负向的方向导数是 f x , f y .
定理 如果函数 z f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 是可 微分的，则对于任一单位向量 el (a , b), 函数在 该点沿任意方向 l 的方向导数都存在，且有

l 2, 2, 1的方向导数.
例5 求u xy 2 yz 3在M (2, 1,1)处的梯度及沿
u u u 解 gradu , , y 2 , 2 xy z 3 , 3 yz 2 x y z M 1, 3, 3 2 2 1 0 l , , 3 3 3

当 P 沿着 l 趋于 P 时，
f ( x ta , y tb ) f ( x , y ) lim t 0 t
是否存在？
定义 设函数z f ( x , y )在点p( x 0 , y0 )的某个邻 域内有定义, l是一非零向量, el ( a, b )是与l同 方向的单位向量, 如果极限 f ( x0 ta, y0 tb ) f ( x 0 , y0 ) lim t 0 t 存在, 则称这极限为函数在点 P 沿方向 l 的 f 方向导数，记为 ，即 l （x0，y0） f ( x0 ta, y0 tb ) f ( x 0 , y0 ) f lim l （x0，y0） t 0 t
例5 设一金属球体内各点处的温度与该点离球心的 距离成反比，证明： 球体内任意(异于球心的)一点处 沿着指向球心的方向温度上升得最快。
设 e l ai bj 是方向 l 上的单位向量，
由方向导数公式知
f f f a b ( f , f ) ( a , b ) l x y x y gradf ( x , y ) el | gradf ( x , y ) | cos ,
二、方向导数
讨论函数 z f ( x , y ) 在一点P沿某一方向 的变化率问题． y l 设函数 z f ( x , y ) 在点
P ( x0 , y0 ) 的某一邻域 U ( P ) 内有定义，自点 P 引射线 l．
P
y
设 x 轴正向到射线 l 的转角 o 为 , 并设 P ( x0 x , y0 y ) 为 l 上的另一点且 P U ( p ).
x 2 y 2 z 2 则u沿 3、已 知 场 u( x , y , z ) 2 2 2 , 场的梯度 a b c
方向的方向导数是__________________.

4、称向量场 a 为有势场,是指向量 a 与某个函数 u( x , y , z ) 的梯度有关系__________________.


( 2, 1,1)
u 1 2 2 1 0 gradu l 1, 3, 3 , , l 3 3 3 3
例6 设r xi y j zk , r r , 求 (1) gradr; 1 (2) grad ( r 0). r
推广可得三元函数方向导数的定义
设函数u f ( x , y, z )在点p( x0 , y0 , z0 )的某个邻域 中有定义, l是一非零向量, el ( a, b, c )是与l同方 向的单位向量, u在点p处沿方向l的方向导数为 :
f ( x0 ta , y0 tb , z0 tc ) f ( x0 , y0 , z0 ) lim , t 0 t
方向导数的几何意义：
沿方向el 的二阶方向导数: 2 f l 2 f l l ( x 0 , y 0 )
( x0 , y0 )
例 3 设函数 f ( x , y )在区域 D 内有连续的二阶偏 导数,方向 el (a , b), 证明:
2 f f xx a 2 2 f xy ab f yy b 2 . l 2 2 f 若在点 ( x0 , y0 ) 的近旁 2 0 ,这在几何上有何 l 意义?
1 r grad 3 . r r
x y z r gradr , , . r r r r
四、小结
1、方向导数的概念
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）
2、梯度的概念
（注意梯度是一个向量）
3、方向导数与梯度的关系
梯度的方向就是函数 f ( x , y ) 在这点增长 最快的方向.
f f 可定出一个向量 i j ，这向量称为函数 x y z f ( x , y ) 在点 P ( x , y )的梯度，记为 f f gradf ( x , y ) i j. x y
例4 设 r xi y j zk , r r , f ( r )为可导函数，求 梯度 grad f ( r )。
gradf ( x , y )
梯度为等高线上的法向量
f ( x, y ) c
P
f ( x, y ) c1
等高线
o
x
等高线的画法
播放
例如, 函数 z sin xy 图形及其等高线图形．
梯度的概念可以推广到三元函数
三元函数u f ( x , y , z ) 在空间区域 G 内具有 一阶连续偏导数，则对于每一点P ( x , y , z ) G ， 都可定义一个向量(梯度)
f f f gradf ( x , y , z ) i j k. x y z
类似于二元函数，此梯度也是一个向量， 其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模 为方向导数的最大值.
例4
求函数 u x 2 2 y 2 3 z 2 3 x 2 y 在点 (1,1,2) 处的梯度，并问在 哪些点处数在该点 沿任意方向 l 的方向导数都存在，且有
f f f f a b c. l x y z
其中el ( a, b, c )是与l同方向的单位向量,
三、梯度
问题 : 函数在点 P 沿哪一方向增加的速度最快 ?
定义 设函数 z f ( x , y ) 在平面区域 D 内具有 一阶连续偏导数，则对于每一点 P ( x , y ) D ，都
第六节
方向导数与梯度
一、问题的提出
二、方向导数
三、梯度
一、问题的提出
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐 标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点 处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上 任意一点处的温度与该点到原点的距离成反 比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿 什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方 向（即梯度方向）爬行．
练习题
一、填空题: 2 2 1、函数 z x y 在点(1,2) 处沿从点(1,2) 到点 ( 2,2 3 ) 的方向的方向导数为_____________. 2 2 2 2、设 f ( x , y , z ) x 2 y 3 z xy 3 x 2 y 6 z , 则 gradf ( 0,0,0 ) __________________.
其中 ( gradf ( x , y ) , e l )
f 有最大值. 当 cos( gradf ( x , y ), e l ) 1 时， l
结论 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的
方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为 方向导数的最大值．梯度的模为
gradf
f f | gradf ( x , y ) | . x y
a b x2 y2 二、求函数 z 1 ( 2 2 ) 在点( , ) 处沿曲线 2 2 a b x2 y2 2 1在这点的内法线方向的方向导数. 2 a b