2020年新高考数学核心知识点9.2 直线与直线方程(训练卷)(学生版)

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专题直线与直线方程(真题测试)- 2023年高考数学一轮复习知识点讲解(原卷版)

专题9.1 直线与直线方程（真题测试）一、单选题1．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AA k k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.92．（2020·山东·高考真题）直线2360x y +-=关于点()1,2-对称的直线方程是（） A ．32100x y --=B ．32230x y --=C ．2340x y +-=D ．2320x y +-=3．（2020·山东·高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 4．（山东·高考真题）如下图，直线l 的方程是（）A 330x y -=B 3230x y -=C 3310x y --=D ．310x -=5．（2020·全国·高考真题（文））点(0，﹣1)到直线()1y k x =+距离的最大值为（） A ．1 B 2C 3D ．26．（2018·北京·高考真题（理））在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．47．（全国·高考真题（理））等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（）A ．3B ．2C ．13-D ．12- 8．（四川·高考真题（文））设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是（）A ．[5,5]B ．[10,5]C ．[10,5]D ．[25,45]二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）下列四个命题中，错误的有（）A ．若直线的倾斜角为θ，则sin 0θ>B ．直线的倾斜角θ的取值范围为0θπ≤<C ．若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tan θD ．若一条直线的斜率为tan θ，则此直线的倾斜角为θ10．（2023·全国·高三专题练习）过点(2,3)P ，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程为（）A ．320x y -=B ．10x y -+=C ．50x y +-=D ．4250x y -+=11．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（）A ．直线()32y ax a a R =-+∈必过定点()3,2B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2C 310x y -+=的倾斜角为60°D ．过点()1,2-且平行于直线230x y -+=的直线方程为20x y +=12．（2022·山东省实验中学模拟预测）对于平面直角坐标系内的任意两点()11,P x y ，()22,Q x y ，定义它们之间的一种“距离”为1212PQ x x y y =-+-‖‖．已知不同三点A ，B ，C 满足AC BC AB +=‖‖‖‖‖‖，则下列结论正确的是（） A ．A ，B ，C 三点可能共线B ．A ，B ，C 三点可能构成锐角三角形C ．A ，B ，C 三点可能构成直角三角形D ．A ，B ，C 三点可能构成钝角三角形三、填空题13．（2008·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点坐标分别为(0,),(,0),(,0)A a B b C c ，点(0,)P p 在线段OA 上（异于端点），设,,,a b c p 均为非零实数，直线,BP CP 分别交,AC AB 于点E ，F ，一同学已正确算出OE 的方程：11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，请你求OF 的方程：__________________________．14．（四川·高考真题（理））设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB ⋅的最大值是______．15．（2017·北京·高考真题（理））三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3.①记Qi 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是_________.②记pi 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是_________.16．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））已知点P 是x 轴上的任意一点，(0,2)A -，(3,0)B -，则2||||AP BP +的最小值为_________.四、解答题17.（2022·全国·高三专题练习）已知一直线经过点()1,2，并且与点()2,3和()0,5-的距离相等，求此直线的方程．18．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l ：120(R)kx y k k -++=∈，直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求此时直线l 的方程.19．（2022·全国·高三专题练习）已知在ABC 中，AB AC =，120A ∠=︒，(0,2)A ，边BC 310x y --=，求边AB 、AC 所在的直线方程．20．（2023·全国·高三专题练习）已知两曲线3y x ax =+和2y x bx c =++都经过点()1,2P ，且在点P 处有公切线．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积；21．（2022·全国·高三专题练习）已知(4,3)A -､(2,1)B -和直线:4320l x y +-=，若坐标平面内存在一点P ，使PA PB =，且点P 到直线l 的距离为2，求点P 的坐标.22．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））已知直线1210:l mx y -+=，直线()21:10l x m y ---=(1)若12l l //，求m ；(2)当01m <<时，设直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，求211k k -的最小值．。

高考数学知识考点精析9 直线与方程

高考数学知识考点精析9 直线与方程1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。

当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0。

（2）直线的倾斜角的范围[)π,0。

（3）在直线的倾斜角的定义中抓住三个重要条件：“逆时针旋转、与直线l 重合、最小正角”。

2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率。

直线的斜率常用k 表示，即k ＝tan α(α≠90°).（2）倾斜角为90°的直线没有斜率。

（3）经过两点P 1（x 1, x 2）,P 2 (y 1,y 2)的直线的斜率公式为()212121x x x x y y k ≠--= 3、直线方程的五种形式：（1）点斜式：已知直线过点（x ,y ）斜率为k ，则直线方程为：y-y =k （x-x ）,它不包括垂直于x 轴的直线。

（2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为：y=kx+b,它不包括垂直于x 轴的直线。

（3）两点式：已知直线经过（x 1,y 1）,(x 2,y 2)两点，则直线方程为：121121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴（包括x,y 轴）的直线。

（4）截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为a,b,则直线方程为：1=+by a x，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。

（5）一般式：任何直线均可写成：Ax+By+C=0(A,B 不同时为0)的形式。

在求直线方程时，要注意斜率是否存在，利用截距式时，不能忽视截距为0的情形，同时要区分“截距”和“距离”。

“截距”不是距离，可正可负可为0。

4、点与直线的位置关系：（1）若点P （x ,y ）在直线上，则Ax +By +C=0.(2) 若点P （x ,y ）不在直线上，则Ax +By +C ≠0，此时点P （x ,y ）直线的距离d=2200B A CBy Ax +++，(3)由此可得，两平行线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0，间的距离为d=2221B A C C +-5、直线与直线的位置关系：（1）斜率存在的两直线：l 1: y=k 1x+b 1, l 2：y=k 2x+b 2，有若l 1∥l 2⇔ k 1＝k 2，且b 1≠b 2，若l 1⊥l 2，⇔ k 1 k 2＝－1，若l 1与l 2相交⇔ k 1≠k 2，若l 1与l 2重合⇔ k 1＝k 2，b 1＝b 2。

高中数学直线方程知识点

高中数学直线方程知识点在高中数学中，直线方程是一个重要的知识点，它不仅在数学学科中有着广泛的应用，还为解决其他学科和实际生活中的问题提供了有力的工具。

接下来，让我们一起深入了解直线方程的相关内容。

一、直线的倾斜角与斜率1、倾斜角直线与 x 轴正方向所成的角叫做直线的倾斜角。

倾斜角的范围是0, π)。

当直线与 x 轴平行或重合时，倾斜角为 0；当直线垂直于 x 轴时，倾斜角为π/2。

2、斜率直线的斜率是指倾斜角不是 90°的直线，其倾斜角的正切值。

记为k ＝tanα（α 为倾斜角）。

（1）过两点 P₁(x₁, y₁)，P₂(x₂, y₂)（x₁≠x₂）的直线的斜率 k ＝（y₂ y₁)／（x₂ x₁)。

（2）斜率的性质：当直线平行于 x 轴时，斜率 k ＝ 0；当直线垂直于 x 轴时，斜率不存在；斜率越大，直线越陡峭；斜率为正，直线上升；斜率为负，直线下降。

二、直线方程的几种形式1、点斜式若直线过点 P(x₀, y₀)，且斜率为 k，则直线方程为 y y₀＝ k(xx₀)。

2、斜截式若直线斜率为 k，在 y 轴上的截距为 b，则直线方程为 y ＝ kx ＋ b。

3、两点式若直线过两点 P₁(x₁, y₁)，P₂(x₂, y₂)（x₁≠x₂，y₁≠y₂），则直线方程为（y y₁)／（y₂ y₁) ＝（x x₁)／（x₂ x₁) 。

4、截距式若直线在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a、b（a≠0，b≠0），则直线方程为 x/a ＋ y/b ＝ 1 。

5、一般式Ax ＋ By ＋ C ＝ 0（A、B 不同时为 0）。

三、直线方程的应用1、求直线的方程已知直线上一点和直线的斜率，或者已知直线上两点，都可以求出直线的方程。

2、判断直线的位置关系（1）两条直线平行：若两条直线斜率都存在，且斜率相等，则两条直线平行；若两条直线的一般式方程分别为 A₁x ＋ B₁y ＋ C₁＝ 0 和 A₂x ＋ B₂y ＋ C₂＝ 0，当 A₁B₂ A₂B₁＝ 0 且 A₁C₂ A₂C₁≠ 0 时，两条直线平行。

2020版高考数学新增分大一轮新高考专用课件：第九章 9.1 直线的方程

(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且|AB|＝5.
思维升华
在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.
跟踪训练2 求适合下列条件的直线方程： (1)过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数；解当直线过原点时，方程为 y＝32x，即 3x－2y＝0. 当直线 l 不过原点时，设直线方程为ax－ay＝1. 将P(2,3)代入方程，得a＝－1，所以直线l的方程为x－y＋1＝0. 综上，所求直线l的方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0.
(2)斜率的两种求法
①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan
α求斜率.
②公式法：若已知直线上两点
A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式
k＝y2－y1 x2－x1
(x1≠x2)求斜率.
(3)倾斜角α范围与直线斜率范围互求时，要充分利用y＝tan α的单调性.
化直线方程为 y＝ 3x＋a，∴k＝tan α＝ 3.
∵0°≤α<180°，∴α＝60°.
D.120°
Байду номын сангаас
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
123456
6.过直线l：y＝x上的点P(2,2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为 x－2y＋2＝0或x＝2 .
解析 ①若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x＝2，直线m，直线l和x 轴围成的三角形的面积为2，符合题意；
②若直线m的斜率k＝0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意； ③若直线 m 的斜率 k≠0，设其方程为 y－2＝k(x－2)，令 y＝0，得 x＝2－2k，依题意有12×2－2k×2＝2，即1－1k＝1，解得 k＝12，所以直线 m 的方程为 y －2＝12(x－2)，即 x－2y＋2＝0. 综上可知，直线m的方程为x－2y＋2＝0或x＝2.

高中数学必修2--第三章《直线与方程》知识点总结与练习

第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程[知识能否忆起]一、直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围为[0，π)_．2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝α，倾斜角是90°的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝＝.二、直线方程的形式及适用条件[小题能否全取]1．(教材习题改编)直线x＋y＋m＝0(m∈k)的倾斜角为( )A．30°B．60°C．150°D．120°解析：选C 由k＝α＝－，α∈[0，π)得α＝150°.2．(教材习题改编)已知直线l过点P(－2,5)，且斜率为－，则直线l的方程为( )A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0解析：选A 由y－5＝－(x＋2)，得3x＋4y－14＝0.3．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )A．1 B．4C．1或3 D．1或4解析：选A 由1＝，得m＋2＝4－m，m＝1.4．(2012·长春模拟)若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为．解析：＝＝1，＝＝a－3.由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.答案：45．若直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程为．解析：由已知得直线l的斜率为k＝－.所以l的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.答案：3x＋2y－1＝01.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需要分类讨论．典题导入[例1] (1)(2012·岳阳模拟)经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y＝( )A．－1 B．－3C．0 D．2(2)(2012·苏州模拟)直线θ＋y＋2＝0的倾斜角的范围是．[自主解答] (1)＝＝＝y＋2，因此y＋2＝－1＝－3.(2)由题知k＝－θ，故k∈，结合正切函数的图象，当k ∈时，直线倾斜角α∈，当k∈时，直线倾斜角α∈，故直线的倾斜角的范围是∪.[答案] (1)B (2)∪由题悟法1．求倾斜角的取值范围的一般步骤：(1)求出斜率k＝α的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．以题试法1．(2012·哈尔滨模拟)函数y＝x－x的一条对称轴为x ＝，则直线l：－＋c＝0的倾斜角为( )A．45°B．60°C．120°D．135°解析：选D 由函数y＝f(x)＝x－x的一条对称轴为x＝知，f(0)＝，即－b＝a，则直线l的斜率为－1，故倾斜角为135°.2．(2012·金华模拟)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段相交，则k的取值范围是( )B．(－∞，－2]C．(－∞，－2]∪解析：选D 由题意知直线l恒过定点P(2,1)，如右图．若l与线段相交，则≤k≤.∵＝－2，＝，∴－2≤k≤.典题导入[例2] (1)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是．(2)(2012·东城模拟)若点P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦的中点，则弦所在直线的方程为．[自主解答] (1)设所求直线方程为x－2y＋m＝0，由直线经过点(1, 0)，得1＋m＝0，m＝－1.则所求直线方程为x－2y－1＝0.(2)由题意得，×＝－1，所以＝2，故弦所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.[答案] (1)x－2y－1＝0 (2)2x－y－1＝0由题悟法求直线方程的方法主要有以下两种：(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．以题试法3．(2012·龙岩调研)已知△中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求：(1)△中平行于边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；(2)边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．解：(1)平行于边的中位线就是，中点的连线．因为线段，中点坐标分别为，，所以这条直线的方程为＝，整理一般式方程为得6x－8y－13＝0，截距式方程为－＝1.(2)因为边上的中点为(2,3)，所以边上的中线所在直线的方程为＝，即一般式方程为7x－y－11＝0，截距式方程为－＝1.典题导入[例3] (2012·开封模拟)过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段恰被点P 平分，求此直线的方程．[自主解答] 法一：设点A(x，y)在l1上，点B(，)在l2上．由题意知错误!则点B(6－x，－y)，解方程组错误!得错误!则k＝错误!＝8.故所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.法二：设所求的直线方程为y＝k(x－3)，点A，B的坐标分别为(，)，(，)，由错误!解得错误!由错误!解得错误!∵P(3,0)是线段的中点，∴＋＝0，即＋＝0，∴k2－8k＝0，解得k＝0或k＝8.若k＝0，则＝1，＝－3，此时＝≠3，∴k＝0舍去，故所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.由题悟法解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．以题试法4．(2012·东北三校联考)已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点．(1)当△面积最小时，求直线l的方程；(2)当·取得最小值时，求直线l的方程．解：(1)设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，，B(0，1－2k)，△的面积S＝(1－2k)＝≥(4＋4)＝4.当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.(2)∵＝，＝，∴·＝·＝2 ≥2×2＝4，当且仅当k2＝，即k＝－1时取等号，故直线方程为x＋y－3＝0.[典例] (2012·西安模拟)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．[尝试解题] (1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，此时截距相等．故a＝2，方程即为3x＋y＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得＝a－2，即a＋1＝1，故a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，则错误!或错误!∴a≤－1.综上可知，a的取值范围是(－∞，－1]．——————[易错提醒]———————————————————————————1.与截距有关的直线方程求解时易忽视截距为零的情形.如本例中的截距相等，当直线在x轴与y轴上的截距为零时也满足.2.常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形.注意分类讨论思想的运用.——————————————————————————————————————针对训练过点M(3，－4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为．解析：①当过原点时，直线方程为y＝－x；②当不过原点时，设直线方程为＋＝1，即x－y＝a.代入点(3，－4)，得a＝7.即直线方程为x－y－7＝0.答案：y＝－x或x－y－7＝01．若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝＋b必经过定点( )A．(1，－2) B．(1,2)C．(－1,2) D．(－1，－2)解析：选A 因为k，－1，b三个数成等差数列，所以k＋b ＝－2，即b＝－2－k，于是直线方程化为y＝－k－2，即y＋2＝k(x－1)，故直线必过定点(1，－2)．2．直线2x＋11y＋16＝0关于点P(0,1)对称的直线方程是( )A．2x＋11y＋38＝0 B．2x＋11y－38＝0C．2x－11y－38＝0 D．2x－11y＋16＝0解析：选B 因为中心对称的两直线互相平行，并且对称中心到两直线的距离相等，故可设所求直线的方程为2x＋11y＋C ＝0，由点到直线的距离公式可得＝，解得C＝16(舍去)或C＝－38.3．(2012·衡水模拟)直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为( ) A．(3,0) B．(－3,0)C．(0，－3) D．(0,3)解析：选D ∵l1∥l2，且l1斜率为2，∴l2的斜率为2.又l2过(－1,1)，∴l2的方程为y－1＝2(x＋1)，整理即得y＝2x＋3.令x＝0，得P(0,3)．4．(2013·佛山模拟)直线＋＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足( )A．＞0，＜0 B．＞0，＞0C．＜0，＞0 D．＜0，＜0解析：选A 由于直线＋＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－，易知－＜0且－＞0，故＞0，＜0.5．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( )A．y＝－x＋B．y＝－x＋1C．y＝3x－3 D．y＝x＋1解析：选A 将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°得到直线y＝－x，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y＝－(x－1)，即y＝－x＋.6．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是( )A．－2 B．－7C．3 D．1解析：选C 线段的中点代入直线x＋2y－2＝0中，得m＝3.7．(2013·贵阳模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是．解析：设直线l的斜率为k，则方程为y－2＝k(x－1)，在x轴上的截距为1－，令－3＜1－＜3，解得k＜－1或k＞.答案：(－∞，－1)∪8．(2012·常州模拟)过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为．解析：直线l过原点时，l的斜率为－，直线方程为y＝－x；l不过原点时，设方程为＋＝1，将点(－2,3)代入，得a＝1，直线方程为x＋y＝1.综上，l的方程为x＋y－1＝0或2y＋3x＝0.答案：x＋y－1＝0或3x＋2y＝09．(2012·天津四校联考)不论m取何值，直线(m－1)x－y ＋2m＋1＝0恒过定点．解析：把直线方程(m－1)x－y＋2m＋1＝0整理得(x＋2)m－(x＋y－1)＝0，则错误!得错误!答案：(－2,3)10．求经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程．解：设所求直线方程为＋＝1，由已知可得错误!解得错误!或错误!故直线l的方程为2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.11．(2012·莆田月考)已知两点A(－1,2)，B(m,3)．(1)求直线的方程；(2)已知实数m∈，求直线的倾斜角α的取值范围．解：(1)当m＝－1时，直线的方程为x＝－1；当m≠－1时，直线的方程为y－2＝(x＋1)．(2)①当m＝－1时，α＝；②当m≠－1时，m＋1∈∪(0， ]，∴k＝∈(－∞，－ ]∪，∴α∈∪.综合①②知，直线的倾斜角α∈.12.如图，射线、分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线分别交、于A、B两点，当的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线的方程．解：由题意可得＝45°＝1，＝(180°－30°)＝－，所以直线：y＝x，：y＝－x.设A(m，m)，B(－n，n)，所以的中点，由点C在y＝x上，且A、P、B三点共线得错误!解得m＝，所以A(， )．又P(1,0)，所以＝＝＝，所以：y＝(x－1)，即直线的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.1．若直线l：y＝－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )解析：选B 由错误!解得错误!∵两直线交点在第一象限，∴错误!解得k＞错误!.∴直线l的倾斜角的范围是.2．(2012·洛阳模拟)当过点P(1,2)的直线l被圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝5截得的弦最短时，直线l的方程为．解析：易知圆心C的坐标为(2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C与点P的连线与直线l垂直时，直线l被圆C截得的弦最短．由C(2,1)，P(1,2)可知直线的斜率为＝－1，设直线l的斜率为k，则k×(－1)＝－1，得k＝1，又直线l过点P，所以直线l的方程为x－y＋1＝0.答案：x－y＋1＝03．已知直线l：－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O 为坐标原点，设△的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．解：(1)证明：法一：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．法二：设直线过定点(x0，y0)，则0－y0＋1＋2k＝0对任意k ∈R恒成立，即(x0＋2)k－y0＋1＝0恒成立，∴x0＋2＝0，－y0＋1＝0，解得x0＝－2，y0＝1，故直线l总过定点(－2,1)．(2)直线l的方程为y＝＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则错误!解得k的取值范围是[0，＋∞)．(3)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，∴，B(0,1＋2k)．又－<0且1＋2k>0，∴k>0.故S＝＝×(1＋2k)＝≥(4＋4)＝4，当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.1．(2012·郑州模拟)已知直线l1的方向向量为a＝(1,3)，直线l2的方向向量为b＝(－1，k)．若直线l2经过点(0,5)且l1⊥l2，则直线l2的方程为( )A．x＋3y－5＝0 B．x＋3y－15＝0C．x－3y＋5＝0 D．x－3y＋15＝0解析：选B ∵1＝3，2＝－k，l1⊥l2，∴k＝，l2的方程为y＝－x＋5，即x＋3y－15＝0.2．(2012·吴忠调研)若过点P(1－a,1＋a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是．解析：k＝α＝＝.∵α为钝角，∴＜0，即(a－1)(a＋2)＜0，故－2＜a＜1.答案：(－2,1)3.已知直线l过点P(3,2)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点如图，求△的面积的最小值及此时直线l的方程．解：设A(a,0)，B(0，b)，(a＞0，b＞0)，则直线l的方程为＋＝1，∵l过点P(3,2)，∴＋＝1.∴1＝＋≥2，即≥24.∴S△＝≥12.当且仅当＝，即a＝6，b＝4时，△的面积最小，最小值为12.此时直线l的方程为＋＝1.即2x＋3y－12＝0.第二节两直线的位置关系[知识能否忆起]一、两条直线的位置关系二、两条直线的交点设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组错误!的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．三、几种距离1．两点间的距离平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式：d(A，B)＝＝.2．点到直线的距离点P(x1，y1)到直线l：＋＋C＝0的距离d＝.3．两条平行线间的距离两条平行线＋＋C1＝0与＋＋C2＝0间的距离d＝.[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－2，－1)，Q(3，m)．若l1⊥l2，则实数m为( )A．6 B．－6C．5 D．－5解析：选B 由已知得k1＝1，k2＝.∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，∴1×＝－1，即m＝－6.2．(教材习题改编)点(0，－1)到直线x＋2y＝3的距离为( )C．5解析：选B d＝＝.3．点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是( )A．(－a－1，－b－1) B．(－b－1，－a－1)C．(－a，－b) D．(－b，－a)解析：选B 设对称点为(x′，y′)，则错误!解得x′＝－b－1，y′＝－a－1.4．l1：x－y＝0与l2：2x－3y＋1＝0的交点在直线＋3y＋5＝0上，则m的值为( )A．3 B．5C．－5 D．－8解析：选D 由错误!得l1与l2的交点坐标为(1,1)．所以m＋3＋5＝0，m＝－8.5．与直线4x＋3y－5＝0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是．解析：设所求直线方程为4x＋3y＋m＝0，由3＝，得m＝10或－20.答案：4x＋3y＋10＝0或4x＋3y－20＝01.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独考虑．2．在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化为＋＋C＝0的形式，否则会出错．典题导入[例1] (2012·浙江高考)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[自主解答] 由a＝1，可得l1∥l2；反之，由l1∥l2，可得a＝1或a＝－2.[答案] A在本例中若l1⊥l2，试求a.解：∵l1⊥l2，∴a×1＋2×(a＋1)＝0，∴a＝－.由题悟法1．充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．2．(1)若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y ＝k2x＋b2，则直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2＝－1.(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.以题试法1．(2012·大同模拟)设a，b，c分别是△中角A，B，C所对的边，则直线A＋＋c＝0与－B＋C＝0的位置关系是( ) A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直解析：选C 由已知得a≠0，B≠0，所以两直线的斜率分别为k1＝－)，k2＝B)，由正弦定理得k1·k2＝－)·B)＝－1，所以两条直线垂直．典题导入[例2] (2012·浙江高考)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝.[自主解答] 因曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离为－＝2－＝，所以曲线C1与直线l不能相交，故x2＋a＞x，即x2＋a－x＞0.设C1：y＝x2＋a上一点为(x0，y0)，则点(x0，y0)到直线l的距离d＝＝＝≥＝，所以a＝.[答案]由题悟法1．点到直线的距离问题可直接代入距离公式去求．注意直线方程为一般式．2．点到与坐标轴垂直的直线的距离，可用距离公式求解．也可用如下方法去求解：(1)点P(x0，y0)到与y轴垂直的直线y＝a的距离d＝0－.(2)点P(x0，y0)到与x轴垂直的直线x＝b的距离d＝0－.以题试法2．(2012·通化模拟)若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋＋c ＝0之间的距离为，则c的值是．解析：由题意得＝≠，得a＝－4，c≠－2，则6x＋＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，则＝，解得c＝2或－6.答案：2或－6典题导入[例3] (2012·成都模拟)在直角坐标系中，A(4,0)，B(0，4)，从点P(2,0)射出的光线经直线反射后，再射到直线上，最后经直线反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( ) A．2 B．6C．3 D．2[自主解答] 如图，设点P关于直线，y轴的对称点分别为D，C，易求得D(4,2)，C(－2,0)，由对称性知，D，M，N，C共线，则△的周长＝＋＋＝＋＋＝＝＝2即为光线所经过的路程．[答案] A由题悟法对称问题主要包括中心对称和轴对称(1)中心对称①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足错误!②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．(2)轴对称①点A(a，b)关于直线＋＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有错误!②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．以题试法3．(2012·南京调研)与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为( )A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0解析：选A 与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.[典例] (2012·银川一中月考)求经过直线l1： 3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．[常规解法] 解方程组错误!得l1，l2的交点坐标为(－1,2)．由l3的斜率得l的斜率为－.则由点斜式方程可得l的方程为y－2＝－(x＋1)即5x＋3y －1＝0.——————[高手支招]———————————————————————————运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：(1)与直线＋＋C＝0平行的直线系方程是＋＋m＝0(m∈R且m≠C)；(2)与直线＋＋C＝0垂直的直线系方程是－＋m＝0(m∈R)；(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.——————————————————————————————————————[巧思妙解] 由于l过l1，l2的交点，故可设l的方程为3x ＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0，其斜率－＝－，得λ＝.代入直线系方程得l方程5x＋3y－1＝0.针对训练求与直线2x＋6y－11＝0平行，且与坐标轴围成的三角形面积为6的直线方程．解：由题意，设所求直线方程为2x＋6y＋b＝0.令x＝0，得y＝－；令y＝0，得x＝－，则直线2x＋6y＋b＝0与坐标轴的交点坐标分别为，.又所围成的三角形面积S＝··＝·＝6，所以b2＝144，所以b＝±12.故所求直线方程为2x＋6y＋12＝0或2x＋6y－12＝0.即为x＋3y＋6＝0或x＋3y－6＝0.1．(2012·海淀区期末)已知直线l1：k1x＋y＋1＝0与直线l2：k2x＋y－1＝0，那么“k1＝k2”是“l1∥l2”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C 由k1＝k2,1≠－1，得l1∥l2；由l1∥l2知k1×1－k2×1＝0，所以k1＝k2.故“k1＝k2”是“l1∥l2”的充要条件．2．当0＜k＜时，直线l1：－y＝k－1与直线l2：－x＝2k 的交点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B 解方程组错误!得两直线的交点坐标为错误!，因为0＜k＜，所以＜0，＞0，故交点在第二象限．3．(2012·长沙检测)已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为( )C．4 D．8解析：选B ∵直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，即为3x＋4y＋＝0，∴直线l1与直线l2的距离为＝.4．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点( )A．(0,4) B．(0,2)C．(－2,4) D．(4，－2)解析：选B 由于直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2)．5．已知直线l1：y＝2x＋3，若直线l2与l1关于直线x＋y ＝0对称，又直线l3⊥l2，则l3的斜率为( )A．－2 B．－D．2解析：选A 依题意得，直线l2的方程是－x＝2(－y)＋3，即y＝x＋，其斜率是，由l3⊥l2，得l3的斜率等于－2.6．(2012·岳阳模拟)直线l经过两直线7x＋5y－24＝0和x－y＝0的交点，且过点(5,1)．则l的方程是( ) A．3x＋y＋4＝0 B．3x－y＋4＝0C．x＋3y－8＝0 D．x－3y－4＝0解析：选C 设l的方程为7x＋5y－24＋λ(x－y)＝0，即(7＋λ)x＋(5－λ)y－24＝0，则(7＋λ)×5＋5－λ－24＝0.解得λ＝－4的方程为x＋3y－8＝0.7．(2012·郑州模拟)若直线l1：＋2y＝0和直线l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0垂直，则实数a的值为．解析：由2a＋2(a＋1)＝0得a＝－.答案：－8．已知平面上三条直线x＋2y－1＝0，x＋1＝0，x＋＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的所有取值为．解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k＝0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k＝1，故实数k的所有取值为0,1,2.答案：0,1,29．(2013·临沂模拟)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是．解析：由题意得，点到直线的距离为＝.又≤3，即|15－3a|≤15，解得，0≤a≤10，所以a∈[0,10]．答案：[0,10]10．(2013·舟山模拟)已知＋＝1(a＞0，b＞0)，求点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离的最小值．解：点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离为d＝＝(a＋2b)＝≥(3＋2)＝，当且仅当a2＝2b2，a＋b＝，即a＝1＋，b＝时取等号．所以点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离的最小值为.11．(2012·荆州二检)过点P(1,2)的直线l被两平行线l1：4x＋3y＋1＝0与l2：4x＋3y＋6＝0截得的线段长＝，求直线l 的方程．解：设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，由错误!解得；由错误!解得错误!.∵＝，∴＝，整理，得7k2－48k－7＝0，解得k1＝7或k2＝－.因此，所求直线l的方程为x＋7y－15＝0或7x－y－5＝0.12．已知直线l：3x－y＋3＝0，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程．解：设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)．∵′·＝－1，即×3＝－1.①又′的中点在直线3x－y＋3＝0上，∴3×－＋3＝0.②由①②得错误!(1)把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，∴P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，得关于l的对称直线方程为－－2＝0，化简得7x＋y＋22＝0.1．点P到点A(1,0)和直线x＝－1的距离相等，且点P到直线y＝x的距离为，这样的点P的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选C ∵点P到点A和定直线距离相等，∴P点轨迹为抛物线，方程为y2＝4x.设P(t2,2t)，则＝，解得t1＝1，t2＝1＋，t3＝1－，故P点有三个．2．(2012·福建模拟)若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是( )A．2 B．2C．4 D．2解析：选C 设原点到点(m，n)的距离为d，所以d2＝m2＋n2，又因为(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，所以原点到直线4x ＋3y－10＝0的距离为d的最小值，此时d＝＝2，所以m2＋n2的最小值为4.3．在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0，4)的距离之差最大．解：如图所示，设点B关于l的对称点为B′，连接′并延长交l于P，此时的P满足－的值最大．设B′的坐标为(a，b)，则′·＝－1，即3·＝－1.则a＋3b－12＝0.①又由于线段′的中点坐标为，且在直线l上，则3×－－1＝0，即3a－b－6＝0.②解①②，得a＝3，b＝3，即B′(3,3)．于是′的方程为＝，即2x＋y－9＝0.解错误!得错误!即l与′的交点坐标为P(2,5)．1．点(1，θ)(其中0≤θ≤π)到直线θ＋θ－1＝0的距离是，那么θ等于( )或或解析：选B 由已知得θ＋2θ－1|,2θ＋2θ)＝，即θ－2θ|＝，∴42θ－4 θ－1＝0或42θ－4 θ＋1＝0，∴θ＝或θ＝.∵0≤θ≤π，∴0≤θ≤1，∴θ＝，即θ＝或.2．已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是( )A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0解析：选B l1与l2关于l对称，则l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上．又易知(0，－2)为l1上一点，设其关于l的对称点(x，y)，则错误!得错误!即(1,0)，(－1，－1)为l2上两点，可得l2方程为x－2y－1＝0.3．光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．解：法一：由错误!得错误!即反射点M的坐标为(－1,2)．又取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5,0)，设P关于直线l 的对称点P′(x0，y0)，由′⊥l可知，′＝－＝.而′的中点Q的坐标为，Q点在l上，即3·－2·＋7＝0.由错误!得错误!根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0.法二：设直线x－2y＋5＝0上任意一点P(x0，y0)关于直线l 的对称点为P′(x，y)，则＝－，又′的中点在l上，即3×－2×＋7＝0，由错误!可得P点的坐标为x0＝，y0＝，代入方程x－2y＋5＝0中，化简得29x－2y＋33＝0，故所求反射光线所在的直线方程为29x－2y＋33＝0.。

直线与方程知识点总结和练习

必修二第三章直线与方程的知识点倾斜角与斜率1. 当直线与x 轴相交时，我们把x 轴方向与直线向方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角. 直线的倾斜角α的范围是 .2. 斜率：①倾斜角为α，则 k= （条件：）②已知直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有k= （条件：）特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴，斜率k 注意：当090α︒<<︒时，斜率，随着α的增大，斜率；当90180α︒<<︒时，斜率，随着α的增大，斜率。

两条直线平行与垂直的判定1. 对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：（1）平行（2）垂直2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴；两条直线中一条斜率不存在，另一条斜率为0，则它们垂直。

直线的点斜式方程1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为 .2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为 .3. 点斜式和斜截式不能表示的直线.4. 注意：00y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.直线的两点式方程1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为，2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为 .3. 两点式不能表示的直线；截距式不能表示的直线4. 线段12P P 中点坐标公式直线的一般式方程1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程，斜率为，y 轴上截距为 .2. 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为 . 3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）平行（2）垂直 .两条直线的交点坐标1. 求交点：解方程组11122200A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点. 两点间的距离1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则两点间的距离为： .点到直线的距离及两平行线距离1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为 .2.两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式，对称问题1、关于点的对称：实质考察：2、关于线的对称：要点：一.选择题1.(安徽高考) 过点(1,0)且与直线x-2y=0平行的直线方程是（） A.x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=02. 过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（）A. 012=-+y xB. 052=-+y xC. 052=-+y xD. 072=+-y x 3. 已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（） A. 0 B. -8 C. 2 D. 104.(安徽高考)直线过点（-1，2），且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线的方程是（）A . 3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=0 5.设直线ax+by+c=0的倾斜角为θ，切sin cos 0θθ+=则a,b 满足（）A. a+b=1B. a-b=1C. a+b=0D. a-b=06. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= A 、 -3 B 、-6 C 、23- D 、327.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（）A 2 B 21 C 1 D 278. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是（）A （-2，1）B （2，1）C （1，-2）D （1，2）9. 已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 得值是（） A. 1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2 10、若图中的直线L 1、L 2、L 3的斜率分别为K 1、K 2、K 3则（） A 、K 1﹤K 2﹤K3 B 、K 2﹤K 1﹤K 3C 、K 3﹤K 2﹤K 1D 、K 1﹤K 3﹤K 211、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（）A.3x-2y-6=0B.2x+3y+7=0C. 3x-2y-12=0D. 2x+3y+8=0 12. 若直线ax + by + c = 0在第一、二、三象限，则( )A. ab ＞0，bc ＞0B. ab ＞0，bc ＜0C. ab ＜0，bc ＞0D. ab ＜0，bc ＜0 13. 原点关于x - 2y + 1 = 0的对称点的坐标为( )A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54- B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- 二、填空题1. 点(1,1)P -到直线10x y -+=的距离是________________.2.已知A(-4,-6),B(-3,-1),C(5,a)三点共线，则a 的值为3.经过两直线11x+3y －7=0和12x+y －19=0的交点，且与A （3，－2），B （－1，6）等距离的直线的方程是。

高考直线必考知识点

高考直线必考知识点高考是众多中国学生所迎接的重要考试，其中数学科目无疑是一项关键挑战。

为了帮助学生们更好地备考数学高考，本文将列举一些直线的必考知识点，供大家参考。

一、直线的方程1.一般式方程：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为实数且A和B不同时为0。

2.斜截式方程：y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为y轴截距。

3.点斜式方程：y - y₁ = k(x - x₁)，其中(x₁, y₁)为直线上的一点，k为直线的斜率。

4.两点式方程：(y - y₁)/(x - x₁) = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)，其中(x₁,y₁)和(x₂, y₂)为直线上的两点。

二、直线的性质1.斜率：直线的斜率表示为k，并可用斜率公式计算：k = (y₂ -y₁)/(x₂ - x₁)。

2.平行和垂直关系：若两条直线的斜率相等，则它们平行；若两条直线的斜率乘积为-1，则它们垂直。

3.点与直线的位置关系：设直线方程为Ax + By + C = 0，对于点P(x₀, y₀)，代入方程可以判断点在直线上、直线上方或直线下方。

4.距离公式：点P(x₀, y₀)到直线Ax + By + C = 0的距离为d =|Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)。

三、直线的特殊情况1.过两点的直线方程：已知两点P₁(x₁, y₁)和P₂(x₂, y₂)，可以使用两点式方程求得直线的方程。

2.过点且垂直于某条直线的直线方程：设直线L的斜率为k，直线L'垂直于L且过点P(x₀, y₀)，则直线L'的斜率为-1/k，应用点斜式可以求得直线方程。

通过对这些直线的必考知识点的梳理和理解，学生们可以更好地备考高考数学，提高解题的准确性和速度。

同时，对常见题型的训练也是非常重要的，例如求直线方程、判断两条直线的关系等等。

因此，建议学生们多进行真题的练习，加深对知识点的理解和应用能力。

高考数学直线方程知识点总结

高考数学直线方程知识点总结高考数学直线方程是高中数学中的一项基础知识，也是高考数学试题中经常出现的考点。

直线方程的掌握程度直接影响到解题的准确性和速度。

下面将对高考数学直线方程的知识点进行总结，希望对你的学习有所帮助。

一、直线的一般式方程直线的一般式方程表示为Ax+By+C=0。

通过两个点P(x1, y1)和Q(x2, y2)的坐标可以确定一条直线的一般式方程。

当直线过点P(x1, y1)且斜率存在时，直线的一般式方程可以表示为y-y1=k(x-x1)，其中k为直线的斜率。

二、直线的斜截式方程直线的斜截式方程表示为y=kx+b。

其中k为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距。

通过直线的斜截式方程可以确定一条直线在平面直角坐标系中的位置。

三、直线的点斜式方程直线的点斜式方程表示为y-y1=k(x-x1)。

其中k为直线的斜率，(x1, y1)为直线上的一点。

通过直线的点斜式方程可以确定一条直线在平面直角坐标系中的位置。

四、直线的截距式方程直线的截距式方程表示为x/a+y/b=1。

其中a、b为直线在x轴和y轴上的截距。

通过直线的截距式方程可以确定一条直线在平面直角坐标系中的位置。

五、直线的平行和垂直关系1. 平行关系：两条直线的斜率相等时，两条直线平行。

2. 垂直关系：两条直线的斜率的乘积为-1时，两条直线垂直。

六、直线的截线式方程直线的截线式方程表示为x/a+y/b=1。

其中a、b为直线在x轴和y轴上的截距。

通过直线的截截式方程可以确定一条直线在平面直角坐标系中与坐标轴的交点。

七、直线的交点和距离1. 直线的交点：两条直线的交点可以通过联立方程求解得到。

2. 直线的距离：设直线L的一般式方程为Ax+By+C1=0，点P(x0, y0)到直线L的距离为d=|Ax0+B y0+C1|/√(A²+B²)。

八、直线的性质和常见问题1. 直线的斜率和方向角：直线的斜率k=tanθ，其中θ为直线的方向角。

高考数学直线知识点汇总

高考数学直线知识点汇总数学是高考中必考的科目之一，而直线是数学中的基础知识之一，掌握好直线的知识点对于高考取得好成绩非常重要。

在本文中，我们将对高考数学中直线的相关知识进行汇总和总结。

一、直线的基本概念直线是数学中最基本的几何图形之一，它由无数个点构成，其特点是无限延长且无弯曲。

直线有两个基本要素：斜率和截距。

斜率是直线上的两点之间的垂直距离和水平距离的比值。

截距是指直线与坐标轴交点的坐标。

直线方程的一般形式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。

二、直线的性质和判断1. 平行和垂直关系：两条直线的斜率相等时，它们平行；两条直线的斜率的乘积为-1时，它们垂直。

2. 点斜式和斜截式：点斜式是指通过直线上一点P和它的斜率k来表示直线方程的形式，即y - y₁ = k(x - x₁)。

斜截式是指通过直线的截距表示直线方程的形式，即y = kx + b。

3. 相交关系：两条直线相交时，它们的方程组有唯一解；两条直线重合时，它们的方程组有无数解。

4. 距离公式：直线外一点P到直线的距离可以通过点到直线的距离公式来计算，即d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)。

三、直线的应用1. 解决几何问题：直线常常用于解决几何问题，如求两条直线的交点坐标、判断点是否在直线上等。

2. 物理学中的应用：在物理学中，直线经常用于描述物体的运动轨迹，如匀速直线运动、弹道轨迹等。

3. 经济学中的应用：直线在经济学中也有广泛的应用，如供需曲线、成本曲线等。

四、直线的拓展知识1. 直线方程的推广：在高考中，除了直线方程的一般形式外，还会出现其他形式的直线方程，如斜截式和截距式。

2. 直线与曲线的关系：直线和曲线是数学中重要的图形，它们之间的关系也是数学研究的一部分。

3. 直线的点斜式与斜截式的转换：两种形式的直线方程之间可以互相转换，这在解题中会经常用到。

综上所述，直线是高考数学中的基础知识之一，掌握好直线的知识对于高考取得好成绩非常重要。

高考数学直线方程知识点总结（2篇）

高考数学直线方程知识点总结1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是.注：①当或时，直线垂直于轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2.直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点，即直线在轴，轴上的截距分别为时，直线方程是：.注：若是一直线的方程，则这条直线的方程是，但若则不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程，当均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果变化时，对应的直线也会变化.①当为定植，变化时，它们表示过定点(0，)的直线束.②当为定值，变化时，它们表示一组平行直线.3.⑴两条直线平行：∥两条直线平行的条件是：①和是两条不重合的直线.②在和的斜率都存在的前提下得到的.因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.(一般的结论是：对于两条直线，它们在轴上的纵截距是，则∥，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分条件，且)推论：如果两条直线的倾斜角为则∥.⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线和的斜率分别为和，则有这里的前提是的斜率都存在.②，且的斜率不存在或，且的斜率不存在.(即是垂直的充要条件)4.直线的交角：⑴直线到的角(方向角);直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是，当时.⑵两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有.5.过两直线的交点的直线系方程为参数，不包括在内)____点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有.注：1.两点P1(____1,y1)、P2(____2,y2)的距离公式：.特例：点P(____,y)到原点O的距离：2.定比分点坐标分式。

2020年山东省高考数学一轮冲刺复习汇编：直线与直线方程(含解析)

2020年山东省高考数学一轮冲刺复习汇编：直线与直线方程（含解析）一、【知识精讲】1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π).2.直线的斜率(1)定义：当直线l的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan__α；(2)斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1.3.直线方程的五种形式【注意点】1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：2.直线的斜率k 和倾斜角α之间的函数关系：二、【典例精练】考点一直线的倾斜角与斜率【例1】 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3(2)(一题多解)(经典母题)直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________. 【答案】(1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)【解析】 (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3].设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]. 又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，即倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3.。

2020年新高考数学核心知识点9.2 直线与直线方程(训练卷)(教师版)

专题9.2直线与直线方程（专题训练卷）一、单选题1．30y +-=的倾斜角是（） A ．30° B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒【答案】C 【解析】30y +-=,所以该直线的斜率k =所以可得tan α=而)0,180α︒︒⎡∈⎣所以该直线的倾斜角是120︒. 故选：C2．（2019·山西省长治市第二中学校高二期中（文））若直线过点()(1,3,2,3-,则此直线的倾斜角是（） A ．30o B ．45oC ．60oD ．90o【答案】A 【解析】因为直线过点()(1,3,2,3-,所以直线的斜率为==k 设倾斜角为α,则tan α=, 解得30α=o . 故选：A3．（2019·吉林高二月考（文））已知一直线经过点(3,2)A -,且与x 轴平行,则该直线的方程为（） A ．3x =B ．2x =-C ．3y =D ．2y =-【答案】D 【解析】因为直线与x 轴平行,所以其斜率为0,所以直线的点斜式方程为203()()y x --=⨯-,即2y =-. 故选：D.4．（2019·吉林高二月考（文））如图所示,直线123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k ,则（）A ．123k k k <<B ．231k k k <<C ．321k k k <<D ．132k k k <<【答案】B 【解析】由图可知,直线1l 的倾斜角为锐角,所以10k >,而直线2l 与3l 的倾斜角均为钝角,且2l 的倾斜角小于3l 的倾斜角,故230k k <<.所以231k k k <<. 故选：B.5．（2018·华东师范大学第三附属中学高二期中）“3a =”是“直线()1:1210l a x y -++=与直线2:310l x ay +-=平行”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】C 【解析】当3a =时,直线1:2210l x y ++=,直线2:3310l x y +-=.此时121k k ==-,两条直线平行.当1212//(1)6032l l a a a a ⇒--=⇒==-或,当2a =-时两条直线重合,舍弃.因此3a =.所以为充要条件. 故选择C6．（2019·上海市建平中学高二月考）“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”的（）A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】因为直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直, 则(2)(2)3(2)0+-++=m m m m ,即(2)(42)0+-=m m ,解得2m =-或12m =；因此由“12m =”能推出“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”,反之不能推出, 所以“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”的充分非必要条件. 故选：B7．（2018·陕西省丹凤中学高一月考）已知平行直线13:3404l x y +-=,2:1216370l x y ++=,则1l ,2l 的距离为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】2:1216370l x y ++=可化成373404x y ++=,由2d ===故选：B8．（2019·四川树德中学高一期末）过点()1,2A 且与原点距离最大的直线方程是（） A ．250x y +-= B ．230x y -+= C ．30x y ++= D ．10x y -+=【答案】A 【解析】原点O 坐标为(0,0),根据题意可知当直线与OA 垂直时距离最大, 由两点斜率公式可得：20210OA k -==-所以所求直线的斜率为：12k =- 故所求直线的方程为：12(1)2y x -=--,化简可得：250x y +-=故答案选A9．（2018·上海市控江中学高二期中）直线220x y ++=与直线210x y -+=的位置关系是（） A ．平行 B ．垂直C ．相交但不垂直D ．重合【答案】B 【解析】由题意,直线220x y ++=与直线210x y -+=中,可得12210⨯+⨯-=（）,所以直线220x y ++=与直线210x y -+=的位置关系是垂直．故选：B ．10．（2019·云南省云天化中学高二期中（理））直线0x ay a +-=与直线(23)10ax a y ---=互相垂直,则a 的值为（） A ．2 B ．－3或1C ．2或0D ．1或0【答案】C 【解析】当0a =时,直线为：10,3x y ==,满足条件；当32a =时,直线为：3320,223x y x +-==,显然两直线不垂直,不满足；当0a ≠且32a ≠时,因为两直线垂直,所以()230a a a --=,解得2a =,综上：0a =或2a =. 故选：C.11．若不同的两点(),P a b 与()1,1Q b a -+关于直线l 对称,则直线l 的倾斜角为( ) A ．135° B ．45°C ．30°D ．60°【答案】B 【解析】由题意得：111PQ a bk b a+-==---,P Q Q 关于直线l 对称 ∴直线PQ 与l 垂直1PQ l k k ∴⋅=-,则1l k = ∴直线l 的倾斜角为45o本题正确选项：B12．（2019·内蒙古高二月考）设点(2,3),(3,1)A B -,若直线20ax y ++=与线段AB 有交点,则a 的取值范围是( )A ．5(,][1,)2-∞-⋃+∞ B ．5(1,)2-C ．5(,1)2-D ．5(,1][,)2-∞-⋃+∞ 【答案】D 【解析】如图,画出线段AB ,直线20ax y ++=过点P ()02-，,斜率为a -, 当动直线20ax y ++=,绕点P ()02-，从PB 逆时针旋转到PA 的过程,该直线始终与线段AB 有交点, 因为PB k 12130+==-,PA k 325202+==---,所以1a -≥或者52a -≤-,即5(,1][,)2a ∈-∞-⋃+∞. 即5(,1][,)2a ∈-∞-⋃+∞时,直线20ax y ++=与线段AB 有交点.故选:D.二、填空题13．（2019·重庆高二月考）已知直线l 的方程是+1y x =,则l 在y 轴上的截距是_________________. 【答案】1 【解析】因为直线l 的方程是+1y x =, 令0x =,得1y =所以得到l 在y 轴上的截距是1.故答案为：1.14．（2019·上海市延安中学高三）点(2,1)到直线340x y +=的距离为________ 【答案】2 【解析】依据点到直线的距离公式,点(2,1)到直线340x y +=.15．（2018·华东师范大学第二附属中学附属初级中学高二月考）已知直线:10l x y --=,1:220--=l x y 若直线2l 与1l 关于l 对称,则2l 的方程为______．【答案】210x y --= 【解析】联立10220x y x y --=⎧⎨--=⎩,解得10x y =⎧⎨=⎩,所以三条直线的交点为()1,0在1l 上取点()2,2,依题意该点关于l 的对称点()3,1在2l 上由两点式得2l 的方程为011031y x --=--,化简得210x y --= 故答案为：210x y --=16．（2018·上海曹杨二中高二开学考试）已知()2,3A 、()4,8B -两点,直线l 经过原点,且A 、B 两点到直线l 的距离相等,则直线的方程为______. 【答案】1120x y +=或560x y += 【解析】当直线l 过原点和线段AB 的中点时,线段AB 的中点为111,2⎛⎫- ⎪⎝⎭,故直线l 的方程为112y x =-,即1120x y +=.当是直线l 过原点且与直线AB 平行时,直线AB 的斜率为835426-=---,故直线l 的方程为56y x =-,即560x y +=.故填：1120x y +=或560x y +=. 三、解答题17．（2018·上海西外高二期末）求经过直线1:30l x y +-=与直线2:10l x y --=的交点M ,且分别满足下列条件的直线方程：（1）与直线230x y +-=平行；（2）与直线230x y +-=垂直.【答案】（1）250x y +-=；（2）20x y -= 【解析】（1）由3010x y x y +-=⎧⎨--=⎩,得21x y =⎧⎨=⎩,所以()21M ，．依题意,可设所求直线为：20x y c ++=．因为点M 在直线上,所以2210c ⨯++=,解得：5c =-．所以所求直线方程为：250x y +-=．（2）依题意,设所求直线为：20x y m -+=．因为点M 在直线上,所以2210m -⨯+=,解得：0m =, 所以所求直线方程为：20x y -=．18．（2018·上海市民办丰华高级中学高二期中）直线l 过点()2,1M ,且和x 轴,y 轴正方向分别交于,A B 两点,如果三角形AOB 的面积最小,求直线l 的方程【答案】240x y +-= 【解析】由题意设直线的截距式方程为x ya b+=1（a ,b ＞0）, ∵直线过P （2,1）,∴21a b+=1,∴121a b =+≥,∴ab ≥8, 当且仅当21a b=即a ＝4且b ＝2时取等号, ∴△AOB 的面积S 12=ab ≥4,∴△AOB 面积的最小值为4,此时直线l 的方程为42x y+=1,化为一般式方程可得x +2y ﹣4＝0．19．（2018·上海市川沙中学高二期中）已知直线1l ：(m +2)x +(m +3)y -5=0和2l ：6x +(2m -1)y -5=0,问实数m 为何值时,分别有： (1)1l 与2l 相交； (2)1l 2l ∥【答案】（1）542m m ≠-≠，；（2）52m =- 【解析】（1）因为直线1l ：(m +2)x +(m +3)y -5=0和2l ：6x +(2m -1)y -5=0, 则(2)(21)(3)6m m m +-≠+⨯,解得(25)(4)0m x +-≠,即52m ≠-且4m ≠；（2）因为1l 2l ∥,可得(2)(21)6(3)(2)(5)6(5)m m m m +-=+⎧⎨+⨯-≠⨯-⎩,解得5424m x m ⎧=-=⎪⎨⎪≠⎩或,即52m =-. 20．（2018·上海复旦附中高二期中）已知m R ∈,直线1l 的方程为()()1213m x m y m +--=,直线2l 的方程为()()314154m x m y m +--=+.当m 变化时, （1）分别求直线1l 和2l 经过的定点坐标；（2）讨论直线1l 和2l 的位置关系.【答案】(1) 直线1l 过定点()-11，；同理,直线2l 过定点（3,1）；(2)见解析.【解析】（1）将直线1l 的方程改写为()()230m x y x y --++= ,令2300x y x y --=⎧⎨+=⎩得直线1l 过定点(1,-1)；同理,直线2l 过定点（3,1）；（2）联立方程,得()1(21)3(31)(41)54m x m y m m x m y m ⎧+--=⎨+--=+⎩D=2m(m-2),D x =-2(m-1)(m-2),D y =-2(2m+1)(m-2) 当m 0≠ 和2时,D 0≠ ,两直线相交；当m=0时,D=0,0x D ≠ ,两直线平行；当m=2时,0x y D D D === ,两直线重合.21．（2018·上海复旦附中高二期中）已知直线l 过点()1,3,且与x 轴、y 轴都交于正半轴,当直线l 与坐标轴围成的三角形面积取得最小值时,求：（1）直线l 的方程；（2）直线l 关于直线m:y=2x-1对称的直线方程. 【答案】（1）:360l x y +-=；（2）直线为x-3y+4=0. 【解析】（1）由已知,直线l 的斜率存在,且小于0, 设直线y-3=k(x-1),其中k<0 与x 轴交于点31,0k ⎛⎫-⎪⎝⎭, 与y 轴交于点(0,3-k), 故()()1319(1)36622s k k k k ⎡⎤=--=+-+≥⎢⎥-⎣⎦,等号成立的条件是k=-3, 相应地,:360l x y +-=；（2）显然所求直线的斜率存在,设为k,则()32213212k k ---=+-⨯+ 得13k =又由36021x y y x +-=⎧⎨=-⎩ 得l 与m 的交点为79,55⎛⎫⎪⎝⎭ ,该点也在所求直线上,故所求直线为x-3y+4=0；22．（2019·上海复旦附中高二期中）已知ABC ∆的三个顶点(,)A m n 、(2,1)B 、(2,3)C -. （1）求BC 边所在直线的点方向式方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为230x y c -+=,且7ABC S =△,求点A 的坐标. 【答案】（1）2142x y --=-；（2）(3,0)-或(3,4). 【解析】（1）因为(2,1)B 、(2,3)C -,所以BC 边所在直线的方向向量为：(4,2)=-u u u rBC ,因此,BC 边所在直线的点方向式方程为：2142x y --=-；（2）由（1）得,直线BC 的一般式方程为：240x y +-=；因为D 点为(2,1)B 、(2,3)C -的中点,则(0,2)D ,由中线AD 的方程为230x y c -+=,所以6c =,因此2360-+=m n又==BC 7ABC S =△,所以三角形的高为：2△===ABC S h BC即点(,)A m n 到直线BC 5=, 所以211+=m n 或23+=-m n ,由2112360m n m n +=⎧⎨-+=⎩得34m n =⎧⎨=⎩；由232360m n m n +=-⎧⎨-+=⎩得30m n =-⎧⎨=⎩,即点A 的坐标为(3,4)或(3,0)-.以下内容为“高中数学该怎么有效学习？”首先要做到以下两点：1、先把教材上的知识点、理论看明白。

2020年新高考数学核心知识点9.1 直线与直线方程(精讲精析篇)(学生版)

专题9.1直线与直线方程（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角①定义．当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.②范围：倾斜角α的范围为0απ≤<．2．直线的斜率①定义．一条直线的倾斜角(90)αα≠o的正切叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即tankα＝,倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线l与x轴平行或重合时,0α=o, tan00k==o.②过两点的直线的斜率公式．经过两点11122212()()()P x y P x y x x≠，，，的直线的斜率公式为2121y ykx x--＝.3.每一条直线都有唯一的倾斜角,但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．4.直线的倾斜角α、斜率k之间的大小变化关系：（1）当[0,)2πα∈时,0,kα>越大,斜率越大；（2）当(,)2παπ∈时,0,kα<越大,斜率越大.【典例1】（2019·北京高二学业考试）已知点()1,1A -,()2,4B ,那么直线AB 的斜率为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【典例2】（2019·北京高考模拟（文））已知A （2,3）,B （﹣1,2）,若点P （x ,y ）在线段AB 上,则3yx -的最大值为（） A ．1 B ．35C ．12-D ．﹣3【总结提升】1.求直线的斜率与倾斜角.若已知两点的坐标,则直接利用斜率公式求斜率；若条件中给出一条直线,则求出直线上的两点的坐标,然后利用斜率公式求斜率.求直线的倾斜角,则先求出直线的斜率,再利用tan k α=求倾斜角.2. 求直线的斜率与倾斜角的范围.若斜率k 是含参数的一个式子,则利用函数或不等式的方法求其范围；若是给出图形求斜率与倾斜角的范围,则采用数开结合的方法求其范围．3.由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y ＝tan x 的图象,特别要注意倾斜角取值范围的限制；4.求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想,要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时,需依据正切函数y ＝tan x 的单调性求k 的范围．热门考点02 直线的方程1.直线的点斜式方程：直线l 经过点000(,)P x y ,且斜率为k ,则直线l 的方程为：)(00x x k y y -=-.这个方程就叫做直线点斜式方程.特别地,直线l 过点),0(b ,则直线l 的方程为：b kx y +=.这个方程叫做直线的斜截式方程.2.直线的两点式方程直线l 过两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠,则直线l 的方程为：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--.这个方程叫做直线的两点式方程.当21x x =时,直线与x 轴垂直,所以直线方程为：1x x =；当21y y =时,直线与y 轴垂直,直线方程为：1y y =.特别地,若直线l 过两点12(,0),(0,)(0)P a P b ab ≠,则直线l 的方程为：1x ya b+=,这个方程叫做直线的截距式方程.3.直线的一般式方程关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A,B 不同时为0）叫做直线的一般式方程.由一般式方程可得,B 不为0时,斜率A k B =-,截距C b B=-. 【典例3】（2019·浙江高三学业考试）直线210x y +-=经过点（） A ．（1,0）B ．（0,1）C ．11,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,2⎛⎫⎪⎝⎭【典例4】（2019·吉林高二月考（文））求满足下列条件的直线的一般式方程. (1)斜率为4,在y 轴上的截距为2-.(2)且经过点()5,3A . 【总结提升】1．求直线方程的常用方法：（1）直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式,写出方程．（2）待定系数法：先根据已知条件设出直线方程,再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数,最后代入求出直线方程．（3）直线在x (y )轴上的截距是直线与x (y )轴交点的横(纵)坐标,所以截距是一个实数,可正、可负,也可为0,而不是距离．2.求直线方程的注意事项(1)在求直线方程时,根据题目的条件选择适当的形式．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类与整合思想的运用(若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式,应先判断截距是否为零)．热门考点03 两条直线平行与垂直1．两直线的平行关系(1) 对于两条不重合的直线12,l l ,其斜率为12,k k ,有1212//l l k k ⇔=. (2)对于两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=,有1212211221//0,0l l A B A B AC A C ⇔-=-≠.2．两条直线的垂直关系(1) 对于两条直线12,l l ,其斜率为12,k k ,有12121l l k k ⊥⇔=-.(2)对于两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=,有1211220l l A B A B ⊥⇔+=.【典例5】（上海高考真题（文））已知直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行,则k 的值是（）. A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2【典例6】（福建高考真题（文））“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【易错提醒】当直线方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x,y 的系数不能同时为零这一隐含条件．热门考点04 距离问题1．两点间的距离公式设两点111222(,),(,)P x y P x y ,则12PP =.2．点到直线的距离公式设点000(,)P x y ,直线:0l Ax By C ++=,则点000(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离d =.3．两平行线间的距离公式设两条平行直线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=,则这两条平行线之间的距离d =.【典例7】（2018·北京高考真题（理））在平面直角坐标系中,记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离,当θ、m 变化时,d 的最大值为（） A ．1 B ．2 C ．3D ．4【典例8】（2019·吉林高二月考（文））已知点(14)M ，到直线10l mx y ：＋－＝的距离等于1,则实数m 等于（）A ．34B ．34-C ．43-D ．43【总结提升】两种距离的求解思路 (1)点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求,但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两平行线间的距离的求法①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离． ②利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中x,y 的系数化为相同的形式)．热门考点05 两条直线的交点1.两条直线相交：对于两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=,若12210A B A B -≠,则方程组11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩有唯一解,两条直线就相交,方程组的解就是交点的坐标.2.两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=,联立方程组1112220A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩,若方程组有无数组解,则12,l l 重合．【典例9】（2018·上海市奉贤中学高二期中）已知对于任意的m R ∈,直线()1210m x y m --++=都经过一个定点,则该定点的坐标为___________【典例10】（2013·全国高考真题（理））已知点A （﹣1,0）,B （1,0）,C （0,1）,直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是（） A ．（0,1） B．1122⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭， C．1123⎛⎤-⎥ ⎝⎦， D ．1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【总结提升】 1.两直线交点的求法求两直线的交点坐标,就是解由两直线方程联立组成的方程组,得到的方程组的解,即交点的坐标． 2.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程,利用待定系数法求出直线方程,这样能简化解题过程．热门考点06 对称问题1.中点坐标公式 2．两条直线的垂直关系(1) 对于两条直线12,l l ,其斜率为12,k k ,有12121l l k k ⊥⇔=-.(2)对于两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=,有1211220l l A B A B ⊥⇔+=.【典例11】（河北高考模拟（文））若直线1:(4)l y k x =-与直线l 2关于点(2,1)对称,则直线l 2过定点（） A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(2,4)-D ．(4,2)-【典例12】（2019·河北高考模拟（理））设点P 为直线l ：40x y +-=上的动点,点(2,0)A -,()2,0B ,则||||PA PB +的最小值为（） A．BC．D【总结提升】涉及对称问题,主要有以下几种情况：1．若点00(,)P x y 关于直线:0l Ax By C ++=对称,设对称点是00(,)Q x y '',则线段PQ 的中点在直线l 上且直线PQ l ⊥,由此可得一方程组0000000022()1x x y y A B C y y A x x B ''++⎧⨯+⨯+=⎪⎪⎨'-⎪⨯-=-'-⎪⎩,解这个方程组得：00,x y ''的值,从而求得对称点的坐标.2．若直线:0l Ax By C ++=关于点00(,)P x y 对称,由于对称直线必与直线:0l Ax By C ++=平行,故可设对称直线为0:0l Ax By C '++=.因为直线,l l '间的距离是点P 到直线:0l Ax By C ++=的距离的二倍,2=解这个方程可得0C 的值（注意这里求出的0C 有两个）,再结合图形可求得对称直线l '的方程．3．若直线:0l Ax By C ++=关于直线0000:0l A x B y C ++=对称,则在直线:0l Ax By C ++=上取两点,求出这两点关于直线0l 对称的两点的坐标,再由两点式便可得直线l 关于直线0l 对称的直线的方程．巩固提升1.（2019·吉林高二月考（文））直线30x y ++=与直线230x y -+=的交点坐标为（） A ．()3,0-B ．()2,3--C ．()0,1D ．()1,0-2．（2013·辽宁高考真题（理））已知点()()()30,0,0,,,.,O A b B a a ABC 若为直角三角形则必有∆（）A ．3b a =B ．31b a a=+C ．()3310b ab a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭D ．3310b a b a a-+--= 3．（全国高考真题（文））等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与x-7y-4=0,原点在等腰三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为（）. A ．3B ．2C ．D ．4．（2019·北京高二学业考试）直线l 经过点()1,1A ,且与直线230x y --=平行,则l 的方程为（） A ．21y x =+B ．112y x =+ C ．112y x =-- D ．21y x =-5．（2018·北京高二学业考试）已知直线l 经过点O （0,0）,且与直线垂直,那么直线l 的方程是（） A ．B ．C ．D ．6．（2018·北京高二学业考试）如果直线与直线平行,那么实数k 的值为 A ．B ．C ．D ．37．（2019·辽宁高考模拟（理））当点(3,2)P 到直线120mx y m -+-=的距离最大时,m 的值为（） A ．3B ．0C ．1-D ．18．（2019·重庆高二月考）直线220x ay +-=与(1)30a x ay --+=平行,则a 的值为（） A ．1B ．12或0 C ．12D ．09．（2016·上海高考真题（文））已知平行直线,则的距离是_______________.10．（浙江高考真题（文））若直线与直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直,则实数m =_______ 11．（上海高考真题（理））已知1:210l x my ++=与2:31l y x =-,若两直线平行,则m 的值为 12．（2019·湖南高二学业考试）经过点(,3)P m -,(1,)Q m 的直线的斜率为3,则实数m =________. 13．（2019·上海市第二中学高二期中）已知k ∈R ,则“5k =”是“直线1:(3)(4)10l k x k y -+-+=与直线2:2(3)230l k x y --+=平行”的________.条件14．（2019·上海市第二中学高二期中）点(1,2)P -到直线:30l x y c ++=,则c =________.15．（2019·吉林高二月考（文））已知点()2,2A 和直线34200l x y ：＋－＝. (1)求过点A ,且和直线l 平行的直线方程； (2)求过点A ,且和直线l 垂直的直线方程.16．（2018·上海市川沙中学高二期中）已知直线1l 与直线2l ：3x +4y -12=0平行,且和两坐标轴的正半轴相交.（1）若直线1l 与直线2l 之间的距离为5,求直线1l 的方程；（2）若直线1l 与两坐标轴围成的三角形的面积为1,求直线1l 的方程.。

2020年高中高二数学直线及方程学习知识点学习

2020高二数学直线与方程知识点一、直线与方程直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是0°≤α<180°直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k表示。

即。

斜率反响直线与轴的倾斜程度。

当时，。

当时，;当时，不存在。

②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时，公式右边没心义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°;(2)k与P1、P2的序次没关;(3)今后求斜率可不经过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得 ;求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率获取。

直线方程①点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能够用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1，因此它的方程是x=x1。

②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为 b③两点式：()直线两点，④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。

⑤一般式：(A，B不全为0)⑤一般式：(A，B不全为0)注意：○1各式的适用范围○2特其他方程如：平行于x轴的直线：(b为常数);平行于y轴的直线：(a为常数);直线系方程：即拥有某一共同性质的直线(一)平行直线系平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(二)过定点的直线系(ⅰ)斜率为k的直线系：，直线过定点;(ⅱ)过两条直线，的交点的直线系方程为(为参数)，其中直线不在直线系中。

两直线平行与垂直当，时，;注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

(6)两条直线的交点订交交点坐标即方程组的一组解。

方程组无解;方程组有无数解与重合两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，则点到直线距离公式：一点到直线的距离两平行直线距离公式：在任素来线上任取一点，再转变成点到直线的距离进行求解。

2020版高考数学新增分大一轮新高考专用精练：第九章第2讲两直线的位置关系含解析

第2讲　两直线的位置关系一、选择题1.直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( )A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不能确定解析　直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率为k 2＝－，12则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1.故选C.答案　C2.(2017·刑台模拟)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析　依题意得，直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是解得a ＝－1，因此选C.{a （a －2）＝3×1，a ×1≠3×1，)答案　C3.过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )A.19x －9y ＝0B.9x ＋19y ＝0C.19x －3y ＝0D.3x ＋19y ＝0解析　法一　由得{x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，){x ＝－197，y ＝37，)则所求直线方程为：y ＝x ＝－x ，即3x ＋19y ＝0.37－197319法二　设直线方程为x －3y ＋4＋λ(2x ＋y ＋5)＝0，即(1＋2λ)x －(3－λ)y ＋4＋5λ＝0，又直线过点(0，0)，所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0，解得λ＝－，故所求直线方程为3x ＋19y ＝0.45答案　D4.直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A.x ＋2y －1＝0B.2x ＋y －1＝0C.x ＋2y ＋3＝0D.x ＋2y －3＝0解析　设所求直线上任一点(x ，y )，则它关于直线x ＝1的对称点(2－x ，y )在直线x －2y ＋1＝0上，即2－x －2y ＋1＝0，化简得x ＋2y －3＝0.答案　D5.(2017·安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为，则m ＝( )10A.7 B. C.14 D.17172解析　直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为，所以＝，求得m ＝，故选B.10|2m ＋3|4＋3610172答案　B6.(2017·石家庄模拟)已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos 的值为( )(2 017π2－2α)A. B.－ C.2 D.－454512解析　依题设，直线l 的斜率k ＝2，∴tan α＝2，且α∈[0，π)，则sin α＝，cos α＝，则cos ＝cos ＝sin 2α＝2sin αcos 25555(2 0172π－2α)(π2－2α)α＝.45答案　A7.(2017·成都调研)已知直线l 1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2，0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )A.(3，)B.(2，)C.(1，)D.333(1，32)解析　直线l 1的斜率为k 1＝tan 30°＝，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以k 2＝－33＝－，所以直线l 1的方程为y ＝(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－(x －2).1k 13333两式联立，解得即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，).故选C.{x ＝1，y ＝3，)3答案　C8.从点(2，3)射出的光线沿与向量a ＝(8，4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( )A.x ＋2y －4＝0B.2x ＋y －1＝0C.x ＋6y －16＝0D.6x ＋y －8＝0解析　由直线与向量a ＝(8，4)平行知：过点(2，3)的直线的斜率k ＝，所以12直线的方程为y －3＝(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0，2)，又点(2，3)关于y 12轴的对称点为(－2，3)，所以反射光线过点(－2，3)与(0，2)，由两点式知A 正确.答案　A二、填空题9.若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________.解析　由得{y ＝2x ，x ＋y ＝3，){x ＝1，y ＝2.)∴点(1，2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1＋2×2＋5＝0，∴m ＝－9.答案　－910.(2017·沈阳检测)已知直线l 过点P (3，4)且与点A (－2，2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________.解析　显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得＝，|－2k －2＋4－3k |1＋k 2|4k ＋2＋4－3k |1＋k2∴k ＝2或k ＝－.23∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0.答案　2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝011.(2017·深圳模拟)直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1，1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为________.解析　因为l 1∥l 2，且l 1的斜率为2，则直线l 2的斜率k ＝2，又直线l 2过点(－1，1)，所以直线l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)，整理得y ＝2x ＋3，令x ＝0，得y ＝3，所以P 点坐标为(0，3).答案　(0，3)12.(2017·长沙一调)已知入射光线经过点M (－3，4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2，6)，则反射光线所在直线的方程为________.解析　设点M (－3，4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以解得a ＝1，b ＝0.{b －4a －（－3）·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，)又反射光线经过点N (2，6)，所以所求直线的方程为＝，即6x －y －6＝0.y －06－0x －12－1答案　6x －y －6＝013.(2017·洛阳模拟)在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2的值为( )A. B. C.5 D.1010210解析　由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，∴M 位于以PQ 为直径的圆上，∵|PQ |＝＝，∴|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝10，故选D.9＋110答案　D14.若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2经过定点( )A.(0，4)B.(0，2)C.(－2，4)D.(4，－2)解析　直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)，又直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，故直线l 2经过定点(0，2).答案　B15.设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________.解析　易知A (0，0)，B (1，3)且两直线互相垂直，即△APB 为直角三角形，∴|PA |·|PB |≤＝＝＝5.|PA |2＋|PB |22|AB |22102当且仅当|PA |＝|PB |时，等号成立.答案　516.在平面直角坐标系内，到点A (1，2)，B (1，5)，C (3，6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________.解析　设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD交于一点M ，若|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求.∵k AC ＝＝2，6－23－1∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.①又∵k BD ＝＝－1，5－（－1）1－7∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.②由①②得解得所以M (2，4).{2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，){x ＝2，y ＝4，)答案　(2，4)。