论整数规划模型在政策制定中的作用——以“邻避运动”为例

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整数规划模型

决策变量全部取 0 或1的规划称为0-1 整数规划
王秋萍：整数规划模型
为(非负)整数
仅一部分变量为整数
4
有些问题用线性规划数学模型无法描述，可以通过设置逻辑变量建立整数规划的数学模型。
王秋萍：整数规划模型
5
逻辑变量在建立数学模型中的作用
m个约束条件中只有k个起作用
设m个约束条件可表为
∑a x
ij j =1
n
j
≤ bi
i = 1, 2, " , m
定义又M为任意大的正数，则
n ⎧ ⎪ ∑ aij x j ≤ bi + Myi j =1 ⎨ ⎪ y + y +" + y = m − k 2 m ⎩ 1
王秋萍：整数规划模型
6
逻辑变量在建立数学模型中的作用
约束条件的右端项可能是r个值 ( b1 , b2 ," , br ) 中的一个，即 n
( i = 1," , m; j = 1," , m ) 则分配问题的数学模型为 min z = ∑∑ a x
m m i =1 j =1 ij
ij
⎧ m xij = 1 ( i = 1,", m ) ⎪ ∑ j =1 ⎪ m ⎪ ( j = 1,", m ) ⎨ ∑ xij = 1 ⎪ i =1 ⎪ xij = 0或1 ( i = 1," , m; j = 1," , m ) ⎪ ⎩
j = 1, 2, 3 ⎧ x j − My j ≤ 0 ⎪ x + x + x ≥ 4000 ⎪ 1 2 3 ⎨ ⎪ x1 ≤ 1500, x2 ≤ 2000 ⎪ ⎩ x j ≥ 0, y j = 1或0, j = 1, 2, 3

整数规划规划论

Xpress-Optimizer广泛应用于各种行业，如金融、物流、能源和制造业，用于解决复杂的优化问题。
06
整数规划的实际应用案例
生产计划优化
要点一
生产计划
整数规划可以用于优化生产计划，通过合理安排不同产品的生产数量、生产时间和生产顺序，降低生产成本，提高生产效率。
要点二
资源分配
整数规划还可以用于优化资源分配，例如合理分配人力、物料、设备等资源，确保生产过程的顺利进行，同时避免资源的浪费。
物流与运输优化
路径规划
整数规划可以用于优化物流和运输过程中的路径规划，通过选择最短或最优路径，降低运输成本和时间。
车辆调度
整数规划还可以用于优化车辆调度，例如合理安排车辆的出发时间、行驶路线和装载量等，以提高运输效率和服务质量。
金融投资组合优化
投资组合选择
整数规划可以用于优化金融投资组合的选择，通过合理分配资金到不同的投资品种，实现风险和收益的平衡。
整数规划理论
目录
• 整数规划简介 • 整数规划的基本概念 • 整数规划的算法 • 整数规划的优化方法 • 整数规划的软件工具 • 整数规划的实际应用案例
01
整数规划简介
定义与特性
定义
整数规划是一种数学优化方法，旨在找到满足一系列约束条件的最大化或最小化的整数值。
特性
整数规划的主要特性是要求决策变量取整数值，这使得它在处理某些问题时具有独特的优势，例如资源分配、排程和布局问题等。
CPLEX
概述
CPLEX是IBM出品的一款商业优化软件，用于解决线性规划、混合整数规划和其他优化问题。
特点
CPLEX提供了强大的求解器，支持大规模问题，具有高度的可靠性和稳定性。它提供了广泛的算法和功能，支持多种编程语言和平台。

整数规划简介及Lingo求解

整数规划及Lingo 求解一、概论1.1 整数规划的定义在工程设计和企业管理中，常常会遇到要求决策变量取整数值的规划问题。

安排生产时，投入的人力与机器数量必须是整数，生产的某些产品（如汽车、机床、船舶等）的数量也是整数。

整数规划就是用于研究、处理这一类问题的数学规划。

如果在线性规划的基础上，把规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，就称之为线性整数规划。

大部分的整数规划都是线性的所以我们也称线性整数规划为整数规划。

在许多情况下，我们都可以把规划问题的决策变量看成是连续的变量；但在某些情况下，规划问题的决策变量却被要求一定是整数。

例如，完成某项工作所需要的人数或设备台数，进入市场销售的商品件数，以及某一机械设备维修的次数等。

当连续的决策变量变为离散变量时非线性优化问题通常会难解得多。

但是应用软件就方便多了，本文给了Lingo 在规划中的常用方法和程序。

1.2 整数规划的分类在线性规划的基础上，要求所有变量都取整的规划问题称为纯整数规划问题；如果仅仅是要求一部分变量取整，则称为混合整数规划问题。

全部或部分决策变量只能取0，1值的规划问题称为10-规划问题。

1.3 整数规划的一般模型目标函数约束条件决策集 x 为整数如果用集合表示上面的式子目标函数： Cx =max(min)约束条件为： b Ax =例 1.1 飞船装载问题设有n 种不同类型的科学仪器希望装在登月飞船上, 令0>j c 表示每件第j 类仪器的科学价值；0>j a 表示每件第j 类仪器的重量。

每类仪器件数不限, 但装载件数只能是整数。

飞船总载荷不得超过数b 。

设计一种方案, 使得被装载仪器的科学价值之和最大。

建模记j x 为第j 类仪器的装载数。

目标函数 ∑=j j x c m a x约束条件 ∑≤b x a j j决策集 j x 为正整数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+++≤+++≤+++m n mm m m n n n n k x a x a x a k x a x a x a k x a x a x a t s22112222212111212111..n n x c x c x c +++= 2211m ax (m in)二、算法简介及应用举例2.1 解整数规划的一般算法通常解整数规划有三种方法，下面只介绍算法思想不具体讲解，在限制条件少的情况下分支定界法最为常用。

[经济学]整数规划

第23页
数学模型
cij：第i人做第j事的费用
1 若指派第i人做第j事
i，j＝1,...,n
xij＝
总费用：cij xij
i 1 j 1
0 若指派第i人不做第j 事 n n
每件事必有且只有一个人去做
每个人必做且只做一件事
x
n
x
j 1
i 1 n
ij
1 j＝1,...,n
ij
1 i＝1,...,n
步骤1：把各行元素分别减去本行元素的最小值；然后在此基础上再把每列元素减去本列中的最小值。
min 4
4 7 6 6 6 8 7 15 12 9 17 14 10 9 12 8 7 7 14 6 10 9 12 10 6
0 7 0 6 0 6 0 0 6 min 0

可行解是松弛问题的可行解最优值不会优于其松弛问题的最优值
第16页
解的特点
第17页
解的特点
第18页
注
释
• 最优解不一定在顶点上达到 • 最优解不一定是松弛问题最优解的邻近整数解 • 整数可行解远多于顶点，枚举法不可取
第19页
第四章整数规划与分配问题
• 整数规划的特点及作用 • 分配问题与匈牙利法 • 分枝定界法与割平面法 • 应用案例
松弛问题
x j中部分或全部取整数
第 4页
整数线性规划类型
1.纯整数线性规划：
人员安排问题
x j中全部取整数
2.混合整数线性规划：物资运输问题
x j中部分取整数
3.0－1型整数线性规划：投资组合问题
x j只能取值0或1
第 5页
人员安排问题

整数规划建模方法及应用

整数规划建模方法及应用什么是整数规划？整数规划（Integer Programming，简称IP）是在满足一定的约束条件下，求解使目标函数达到最优的一组整数决策变量的数学规划问题。

与线性规划（Linear Programming，简称LP）不同的是，LP中的决策变量可以取任意实数值，而IP中的决策变量只能取整数值。

因此，整数规划问题通常更为复杂，求解难度更大。

整数规划广泛应用于各种实际问题中，例如制造业生产计划、物流配送优化、网络优化、人员调度等。

整数规划建模方法线性整数规划线性整数规划（Integer Linear Programming，简称ILP）是指目标函数和约束条件都是线性的整数规划问题。

一个典型的线性整数规划问题可以表示为：$max\\{cx|Ax\\le b,x\\in Z^n\\}$其中，$A\\in R^{m*n}$，$b\\in R^m$，$c\\in R^n$，$x\\inZ^n$表示整数决策变量。

指派问题是一个经典的线性整数规划问题。

它是一个求解如下二元匹配问题的整数规划模型：$min\\{cx|cx\\ge\\{1,...,1\\},x_{ij}\\in\\{0,1\\},i=1,...,n,j=1,...,m\\}$其中，c是n∗m维的代价系数向量，x ij表示第i个任务分配给第j个工人的决策变量，x ij=1表示第i个任务分配给第j个工人，x ij=0表示不分配。

非线性整数规划非线性整数规划（Nonlinear Integer Programming，简称NLIP）是指目标函数或/和约束条件中存在非线性项的整数规划问题。

一个典型的非线性整数规划问题可以表示为：$max\\{f(x)|g(x)\\le0,x\\in Z\\}$其中，f(x)是目标函数，g(x)代表约束条件，x是整数决策变量。

整数规划求解方法前向分支定界法前向分支定界法（Branch and Bound，简称B&B）是一种广泛应用于整数规划求解的算法。

第五章-整数规划

在E点取得最优解。即
x2
x1＝2, x2 =3, Z(211)＝－17
找到整数解，问题已探明，此枝 3
停止计算。
求（LP212），如图所示。此时
F在点取得最优解。即x1＝3, x2
=2.5,
1
Z(212)＝－31/2≈－15.5 > Z(211)
如对LP212继续分解，其最小值
也不会低于－15.5 ，问题探明,
例5.2 现有资金总额为B。可供选择的投资项目有n个，项目j 所需投资额和预期收益分别为aj和cj（j＝1,2,..,n），此外由于种种原因，有三个附加条件：
若选择项目1，就必须同时选择项目2。反之不一定; 项目3和4中至少选择一个；项目5,6,7中恰好选择2个。应该怎样选择投资项目，才能使总预期收益最大。
现求整数解(最优解):如用舍
入取整法可得到4个点即(1，3),(2 x2
⑴
⑵
，3),(1，4),(2，4)。显然，它们都不可能是整数规划的最优解。 3
(3/2,10/3)
按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题的可行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集是一个有限集，如右
图所示。其中(2,2),(3,1)点的目标函数值最大，即为Z=4。
考虑纯整数规划问题：
设其中aij和bi皆为整数（若不为整数时，可乘上一个倍数化为整数）。
割平面法（纯整数）
割平面法是R.E.Gomory于1958年提出的一种方法，它主要用于求解纯ILP。
割平面法是用增加新的约束来切割可行域，增加的新约束称为割平面方程或切割方程。其基本思路为：
若其松弛问题的最优解X*不满足整数约束，则从X*的非整分量中选取一个，用以构造一个线性约束条件，将其加入原松弛问题中，形成一个新的线性规划，然后求解之。若新的最优解满足整数要求，则它就是整数规划的最优解；否则重复上述步骤，直到获得整数最优解为止。

运筹学中的线性规划与整数规划

运筹学中的线性规划与整数规划在运筹学中，线性规划和整数规划是两个常用且重要的数学模型。

它们被广泛应用于资源分配、生产调度、物流管理等问题的决策过程中。

本文将介绍线性规划和整数规划的基本概念、数学模型以及求解方法。

一、线性规划线性规划是一种通过线性关系来描述问题的数学模型。

它的目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数达到最优的决策变量取值。

线性规划模型一般可以表示为如下形式：Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙs.t. a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，Z表示目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ表示目标函数的系数，x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数，b₁,b₂, ..., bₙ为约束条件的右侧常数。

线性规划的求解方法主要有两类：图形法和单纯形法。

图形法适用于二维问题，通过绘制目标函数和约束条件在坐标系中的图形，找到交点来确定最优解。

而单纯形法适用于多维问题，通过迭代计算，逐步接近最优解。

二、整数规划整数规划是线性规划的一种特殊情况，它要求决策变量的取值必须为整数。

整数规划模型可以表示为如下形式：Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙs.t. a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ∈ Z其中，Z表示目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ表示目标函数的系数，x₁, x₂, ..., xₙ为整数决策变量，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右侧常数。

数学建模中的整数规划问题研究论文

XX大学毕业论文数学建模中的整数规划问题研究院系名称：专业：学生姓名：学号：指导老师：XX大学制二〇一年月日1.引言应用数学学科的一项重要任务是从自然科学、社会科学、工程技术以及现代化管理中提出问题和解决问题。

这就要求我们学会如何将实际问题经过分析、简化，转化为一个数学问题，然后用适当的数学方法解决，即建立数学模型。

随着科学技术的发展，特别是计算机技术的发展，数学的应用领域已由传统的物理领域迅速的扩展到非物理领域。

数学在发展高科技、提高生产力水平和实现现代化管理等方面的作用越来越明显。

正是这样的背景下，数学模型这个词汇越来越多的出现在现代化生产、工作和社会生活中。

数学模型的分类方法有很多种，例如按照建模所用的数学方法的不同，可分为：初等模型、运筹学模型、微分方程模型、概率统计模型、控制论模型等。

而运筹学模型中的规划模型又可分为非线性规划模型和线性规划模型，本文通过实例剖析线性规划中整数规划方法在数学模型种的应用2.主要结果2.1数学建模中的整数规划问题在研究线性规划的问题中，一般问题的最优解都是非整数，即为分数或小数，但对于实际中的具体问题的解常常要求必须取整数.例如问题的解表示是人数、机器设备的台数、机械车辆数等都是整数.为了求整数解，我们设想把所求得的非整数解采用“舍人取整”的方法处理，似乎是变成了整数解，但事实上这样得到的结果未必可行.因为取整以后就不一定是原问题的可行解了，或者虽然是可行解，但也不一定是最优解.因此，对于要求最优整数解的问题，需要寻求直接的求解方法，这就是整数规划方法.2.2整数规划的基本概念]1[整数规划的一般模型为：()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≥=≥=≤=∑∑==,,,2,1,0,,,2,1),(..,minmax11njxxmibxat sxcjjnjijijnjjjz为整数（2.1）整数规划求解方法总的基本思想是：松弛问题（2.1）中的约束条件（譬如去掉整数约束条件），使构成易于求解的新问题——松弛问题（A），如果这个问题（A）的最优解是元问题（2.1）的可行解，则就是原问题（2.1）的最优解；否则，在保证不改变松弛问题（A）的可行性的条件下，修正松弛问题（A）的可行域（增加新的约束），变成新的问题（B），再求问题（B）的解，重复这一过程直到修正问题的最优解在原问题（2.1）的可行域内为止，即得到了原问题的最优解.2.3整数规划的解法2.3.1整数规划的分枝定界法分枝定界法的基本思想：将原问题（2.1）中的整数约束去掉变为问题（A），求出问题（A）的最优解，如果它不是原问题的可行解，则通过附加线性不等式约束，将问题（A）分枝变为若干子问题（iB）（i=1，2，…，I），即对每一个非整数变量附加两个互相排斥（不交叉）的整型约束，即可得到两个子问题，继续求解定界，重复这一过程，知道得到最优解为止。

整数规划模型的构建及求解方法

整数规划模型的构建及求解方法整数规划是一种数学优化问题，其目标是在给定的约束条件下，寻找能够使目标函数最大或最小的整数解。

在实际应用中，整数规划模型常被用于决策问题的求解，如生产计划、物流调度、资源分配等。

本文将介绍整数规划模型的构建方法以及常用的求解方法。

一、整数规划模型的构建方法1.确定决策变量：首先需要确定问题中的决策变量，即可用整数来表示的变量。

这些变量一般代表决策问题中的选择或分配方案。

例如，在生产计划问题中，决策变量可以是不同产品的生产数量。

2.定义目标函数：目标函数是整数规划问题中要最大化或最小化的指标。

根据问题的具体要求，可将目标函数设定为各个决策变量的线性组合或非线性函数。

例如，生产计划问题中，目标函数可以是利润的最大化或成本的最小化。

3.确定约束条件：约束条件用于限制决策变量的取值范围，以满足问题的实际限制。

约束条件可以是等式或不等式。

例如，在物流调度问题中，约束条件可以包括产品的需求量、供应量以及运输容量等。

4.完善模型：为了更准确地描述问题，还需要考虑一些特殊约束条件和问题的具体要求。

例如，某些决策变量可能需要满足某种关系或限制条件，或者需要指定某些变量的取值范围。

二、整数规划模型的求解方法1.穷举法：穷举法是最简单直接的求解方法，即将所有可能的整数解都列举出来，并计算对应的目标函数值，最后选取最优解。

然而，穷举法由于计算复杂度高，只适用于问题规模较小的情况。

2.分支定界法：分支定界法是一种逐步缩小解空间的方法。

通过将整数规划问题分解成若干个子问题，并为每个子问题设定上下界，不断迭代求解，最终找到最优解。

这种方法可以高效地搜索整数解空间，但对于规模较大的问题，计算时间可能会很长。

3.割平面法：割平面法是一种逐步划分解空间的方法。

它通过添加割平面来修正原始线性规划松弛的解，使其成为整数解。

这种方法能够快速收敛到最优解，并且具有较好的计算效率。

4.分枝定界法：分枝定界法是将分支定界法和割平面法相结合的方法。

数学建模在公共政策制定中的作用如何

数学建模在公共政策制定中的作用如何在当今复杂多变的社会环境中，公共政策的制定对于社会的稳定、发展和公平起着至关重要的作用。

而数学建模作为一种强大的工具，正逐渐在公共政策制定领域展现出其独特的价值和作用。

数学建模究竟是什么呢？简单来说，它就是运用数学的语言和方法，对现实世界中的问题进行抽象、简化和描述，从而构建出一个能够反映问题本质和规律的数学模型。

通过对这个模型的分析和求解，可以为解决实际问题提供科学的依据和决策支持。

在公共政策制定中，数学建模首先能够帮助政策制定者更清晰地理解和把握问题。

很多公共政策问题往往十分复杂，涉及众多因素和变量。

例如，城市交通拥堵问题，不仅与车辆数量、道路容量有关，还与人们的出行习惯、公共交通的覆盖程度、城市规划等因素密切相关。

通过数学建模，可以将这些复杂的因素进行量化和整合，建立起一个能够反映交通状况的数学模型。

政策制定者可以通过这个模型，直观地看到不同因素对交通拥堵的影响程度，从而更准确地把握问题的关键所在。

数学建模还能够为公共政策的制定提供科学的预测和评估。

以环境保护政策为例，在制定相关政策时，需要考虑到经济发展、能源消耗、污染物排放等多个因素之间的相互关系。

通过建立数学模型，可以模拟不同政策措施下未来环境质量的变化情况，预测可能出现的环境问题，并评估政策的效果和可行性。

这样，政策制定者就能够在多种方案中选择最优的策略，提高政策的针对性和有效性。

在资源分配方面，数学建模也发挥着重要作用。

比如在教育资源的分配中，需要考虑到学生数量、学校分布、师资力量等因素。

通过建立数学模型，可以根据不同地区的需求和条件，合理分配教育资源，确保每个学生都能享受到公平而优质的教育。

同样，在医疗资源、社会保障资源等方面的分配中，数学建模也能够提供科学的依据，提高资源的利用效率和公平性。

此外，数学建模有助于降低公共政策制定的风险和成本。

在政策实施之前，通过对数学模型的模拟和分析，可以提前发现潜在的问题和风险，从而及时调整政策方案，避免不必要的损失。

数学模型在自然保护区规划中的应用

数学模型在自然保护区规划中的应用随着人类活动的不断扩张，自然资源的损耗和生态环境的破坏日益严重。

为了保护珍稀的自然生态系统和物种多样性，自然保护区的建设和规划变得尤为重要。

在保护区规划过程中，数学模型的应用可以帮助科学家和决策者更好地理解和解决相关问题。

首先，数学模型可以帮助科学家分析自然保护区内的物种分布和群落结构。

通过采集大量的生态数据，并运用统计学方法和空间分析技术，科学家们可以构建物种分布模型和群落结构模型。

这些数学模型可以揭示物种之间的相互作用关系，预测物种的分布范围和数量，并为生物多样性保护提供科学依据。

其次，数学模型可以应用于自然保护区的景观优化和规划。

自然保护区是一个复杂的空间系统，包含了各种各样的生态环境和地理特征。

通过数学模型的建立，科学家和规划师可以模拟不同保护区规模、形状和布局的效果。

他们可以使用最优化算法，比如遗传算法和蚁群算法，来找到最佳的规划方案，以最大程度地保护生态系统的完整性和物种的连通性。

再次，数学模型可以辅助决策者进行资源管理和决策制定。

自然保护区规划需要综合考虑不同的因素，如土地利用、经济发展和社会影响等。

通过数学模型的建立，决策者可以模拟不同的管理策略，并评估其对环境和社会经济的影响。

他们可以根据数学模型的结果，进行决策风险评估和决策优化，以制定可行和可持续的保护区政策。

最后，数学模型还可以用于自然保护区的风险评估和预警。

自然保护区面临各种自然和人为的风险，如气候变化、入侵物种和非法野生动物贸易等。

数学模型可以模拟这些风险的发生概率和扩散路径，帮助决策者制定应对措施和应急预案。

通过数学模型的分析，决策者可以提前预警，降低风险，并增强自然保护区的抵抗能力。

总的来说，数学模型在自然保护区规划中的应用非常广泛。

它们可以提供科学依据和技术支持，帮助科学家和决策者更好地理解和解决各种与保护区规划相关的问题。

未来，随着数学模型和计算能力的不断改进，它们的应用将变得更加精确和有效，对自然保护的贡献也将更加突出。

数学建模在公共政策制定中的应用有哪些

数学建模在公共政策制定中的应用有哪些在当今复杂多变的社会环境中，公共政策的制定对于解决各种社会问题、促进社会发展和保障人民福祉起着至关重要的作用。

而数学建模作为一种强大的工具，正逐渐在公共政策制定中展现出其独特的价值和广泛的应用。

首先，数学建模在公共卫生政策制定中发挥着关键作用。

以传染病的防控为例，通过建立数学模型，可以对传染病的传播规律进行深入研究。

模型能够考虑人口流动、社交接触频率、病毒传播率等多种因素，预测疫情的发展趋势。

这有助于政府合理调配医疗资源，如确定病床数量、医护人员配备以及医疗物资的储备。

比如，在新冠疫情期间，数学模型帮助预测了感染人数的峰值和疫情的持续时间，为政府制定封控措施、疫苗接种策略以及复工复产计划提供了重要依据。

其次，在交通政策方面，数学建模也有着显著的应用。

城市交通拥堵是许多大城市面临的难题。

通过建立交通流量模型，可以分析不同交通规划方案对道路通行能力的影响。

例如，评估新建道路、拓宽现有道路、设置公交专用道或者调整信号灯时间等措施的效果。

这些模型可以基于历史交通数据、人口分布以及城市发展规划，为政府制定合理的交通规划和管理政策提供科学依据，以提高交通运输效率，减少拥堵和环境污染。

再者，数学建模在环境保护政策的制定中也不可或缺。

对于气候变化、空气质量改善等问题，数学模型能够模拟不同减排措施对温室气体排放和空气质量的影响。

比如，通过建立能源消耗模型，可以分析不同能源结构调整方案（如增加可再生能源的比例、提高能源利用效率等）对碳排放的削减效果。

这有助于政府制定科学的能源政策和环保标准，推动可持续发展。

在教育政策领域，数学建模同样能提供有价值的支持。

比如，为了优化教育资源的分配，建立模型来评估不同教育投入方案（如师资配备、教学设施建设等）对教育质量和学生成绩的影响。

通过分析学生的学习进度、人口增长趋势以及教育资源的需求变化，政府可以制定更加公平和有效的教育政策，确保每个学生都能获得优质的教育资源。

(完整word版)整数规划的数学模型及解的特点

整数规划的数学模型及解的特点整数规划IP (integer programming ）:在许多规划问题中,如果要求一部分或全部决策变量必须取整数。

例如,所求的解是机器的台数、人数、车辆船只数等，这样的规划问题称为整数规划，简记IP 。

松弛问题(slack problem)：不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。

若松弛问题是一个线性规化问题，则该整数规划为整数线性规划(integer linear programming)。

一、整数线性规划数学模型的一般形式∑==nj jj x c Z 1min)max(或中部分或全部取整数n j nj i jij x x x mj ni x b xa ts ,...,,...2,1,...,2,10),(.211==≥=≥≤∑=整数线性规划问题可以分为以下几种类型1、纯整数线性规划（pure integer linear programming ）:指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。

有时,也称为全整数规划.2、混合整数线性规划(mixed integer liner programming)：指决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。

3、0—1型整数线性规划（zero —one integer liner programming ）：指决策变量只能取值0或1的整数线性规划。

1 解整数规划问题0—1型整数规划0-1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量仅可取值0或1，这时的变量xi 称为0-1变量，或称为二进制变量.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+≤-+=且为整数0,5210453233max 2121212121x x x x x x x x x x z0—1型整数规划中0—1变量作为逻辑变量(logical variable ），常被用来表示系统是否处于某一特定状态,或者决策时是否取某个方案。

整数规划及应用论文摘要

整数规划及应用论文摘要整数规划是一种数学规划问题，其目标是在给定一组约束条件下，寻找满足所有约束条件并能够优化目标函数的整数解。

整数规划及其应用广泛用于各个领域，例如物流、生产计划、卫生系统、网络设计等。

整数规划问题可以形式化地表示为：max/min Z = c₁x₁+ c₂x₂+ ... + cₙxₙsubject to:a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ ... + a₁ₙxₙ≤b₁a₂₁x₁+ a₂₂x₂+ ... + a₂ₙxₙ≤b₂...aₙ₁x₁+ aₙ₂x₂+ ... + aₙₙxₙ≤bₙx₁, x₂, ..., xₙ为决策变量，其中x₁, x₂, ..., xₙ取值为整数，c₁, c₂, ..., cₙ为系数，分别表示目标函数中各决策变量的权重，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为系数，表示约束条件中各决策变量的权重，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的常数项。

整数规划问题相较于线性规划问题更加复杂，这是因为整数规划问题的整数约束使得问题的解空间变得离散且有限。

这导致了整数规划问题通常具有更多的局部极小值，并且通常更难以寻找全局最优解。

为了解决整数规划问题，研究人员已经开发了多种求解方法。

其中一种常用的方法是分支定界法，该方法基于问题解空间的分支和界限来逐步缩小搜索范围，直到找到最优解。

另一种常用的方法是启发式搜索算法，例如遗传算法和模拟退火算法，这些算法通过模拟自然进化和金属加工过程来搜索最优解。

整数规划在实际应用中具有广泛的应用价值。

例如，在物流领域，整数规划可以用于优化调度问题，以最小化成本并满足交付时间要求。

在生产计划领域，整数规划可以用于优化生产线的调度，以最大化产能利用率并满足交付量需求。

在卫生系统中，整数规划可以用于优化医院的资源分配，以最大化医疗服务的覆盖范围和质量。

在网络设计中，整数规划可以用于优化网络拓扑结构，以最小化通信成本并确保网络连接的可靠性和容错性。

总之，整数规划是一种强大的数学工具，用于在给定约束条件下优化目标函数。

整数规划

A1 投资额利润 100 36 A2 120 40 A3 150 50 A4 80 22 A5 70 20 A6 90 30 A7 80 25 A8 140 48 A9 160 58 A10 180 61
Aj 各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同都是不一样的，预测情况见表所示 (单位：万元)。但投资总额不能超过720万元，问应选择哪几个销售点，可使年利润为最大?
解：设：0--1变量 xi = 1 (Ai 点被选用）或 0 (Ai 点没被选用）。这样我们可建立如下的数学模型： Max z =36x1+40x2+50x3+22x4+20x5+30x6+25x7+48x8+58x9+61x10 s.t. 100x1+120x2+150x3+80x4+70x5+90x6+80x7+140x8+160x9+180x10 ≤ 720 x1 + x2 + x3 ≤ 2 x4 + x5 ≥ 1 x6 + x7 ≥ 1 x8 + x9 + x10 ≥ 2 xi ≥ 0 且xi 为0--1变量，i = 1,2,3,……,10
第三步：作最少的直线覆盖所有0元素。 (1)对没有◎的行打√号； (2)对已打√号的行中所有含Ø元素的列打√号； (3)再对打有√号的列中含◎ 元素的行打√号；
(4)重复(2)，(3)直到得不出新的打√号的行、列为止； (5)对没有打√号的行画横线，有打√号的列画纵线，这就得到覆盖所有0元素的最少直线数 l 。l 应等于m，若不相等，说明试指派过程有误，回到第二步(4)，另行试指派；若 l＝m < n，须再变换当前的系数矩阵，以找到n个独立的0元素，为此转第四步。第四步：变换矩阵(bij)以增加0元素。在没有被直线覆盖的所有元素中找出最小元素，然后打√各行都减去这最小元素；打√各列都加上这最小元素（以保证系数矩阵中不出现负元素）。新系数矩阵的最优解和原问题仍相同。转回第二步。

4.1-整数规划的特点及作用

结束！
例2 利用0-1变量将下述条件表示成一般线性约束条件

变量x只能取值0,3,5或7中的一个
定义 1 假定x取到第i个值 yi (i 1, 2,3, 4) 0 否则则 x 0 y1 3 y2 5 y3 7 y4 y1 y2 y3 y4 1
纯整数规划

例1.某集装箱运输公司有甲乙两种货物可供装运，相关数据如下表，问如何装运使得每车的收益最高？
约束货物甲
5 2
2000
乙
4 5
1000
限量
体积（M3）重建模
max z 2000x1 1000x2 5 x1 4 x2 24 s.t.2 x1 5 x2 13 x , x 0且为整数 1 2
§2设置逻辑变量建立整数规划模型

约束条件的右端项可能是r个值中的某一个,即
a x
定义
j 1 j
n
j
b1或b2或或br
1 假定约束右端项为bi yi (i 1, , r ) 0 否则则
r n a j x j bi yi i 1 j 1 y y y 1 1 2 r

例3.某公司拟投资800万元开辟新的商业网点,可供选择的店铺有6个,有三个附加条件:第一,若选择项目1,就必须同时选择项目2;第二,项目2、3、4中至少选择一个;第三,项目5、6中最多选择一个.怎样选择项目才能使总预期收益最大？
店铺
1
投资额（万元）投资收益（万元/年）
240 80
2
3 4
§2设置逻辑变量建立整数规划模型

两组条件中满足其中一组若x1 4, 则x2 1; 否则 x1 4 , x2 3

整数规划(数据模型与决策)

0-1型整数线性规划：决策变量只能取值0或1的整数线性规划。
整数规划的特点及应用
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例:指派问题或分配问题。人事部门欲安排四人到四个不同岗位工作，每个岗位一个人。经考核四人在不同岗位的成绩（百分制）如表所示，如何安排他们的工作使总成绩最好。
工作
人员甲乙丙丁
A 85 95 82 86
1 x ij 0
指派第 i个人做第 j件事 ( i , j 1,2,..., n) 不指派第 i个人做第 j件事
分配问题与匈牙利法
指派问题的数学模型为：
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min Z
c
i 1 j 1
n
n
ij
x ij
n x ij 1 ( i 1.2. .n) j 1 n x ij 1 ( j 1.2. .n) i 1 x ij 取0或1(i , j 1.2. .n)
Page 19
0 13 7 0 6 0 6 9 0 5 3 2 0 1 0 0
0 Ø 6 0 ◎ Ø 0
13 7 ◎ 0 ◎ 0 6 9 5 3 2 1 ◎ 0 Ø 0
独立0元素的个数为4 , 指派问题的最优指派方案即为甲负责D工作，乙负责B工作，丙负责A工作，丁负责C工作。这样安排能使总的工作时间最少，为4＋4＋9＋11 ＝28。
2）试指派（找独立0元素）
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2 2 4 4 0
0 4 2 4 5 0 3 0 1 0 1 3 0 3 5 1 2 3 0 5
2 2 4 4 ◎ 0
◎ 0
5 1 0 Ø 2
4 2 4 0 3 ◎ 0 Ø ◎ 0 1 3 3 5 1 3 Ø 0 5

整数规划的数学模型及解的特点-推荐下载

变量 xi 称为 0—1 变量，或称为二进制变量。 0—1 型整数规划中 0—1 变量作为逻辑变量(logical variable)，常被用来表示系统是否处于某一特定状态，或者决策时是否取某个方案。
1 如果决策i为是或有 xi 0 如果决策i为否或无
一、0—1 型整数规划的典型应用问题例 1：背包问题：一个登山队员，他需要携带的物品有：食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、通信器材等。每种物品的重量和重要性系数如表所示。设登山队员可携带的最大重量为 25kg,试选择该队员所应携带的物品。
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

整数规划建模方法及应用

整数规划建模方法及应用
整数规划是一种数学优化方法，其任务是找到满足特定限制条
件的整数决策变量的最优值。

整数规划被广泛应用于制造、物流、
金融、计算机科学、工程和其他领域。

以下是整数规划建模方法及
其应用。

整数规划建模方法：
1. 确定决策变量：将需要做出的决策表示为一个整数变量，如
产品数量、员工数量等。

2. 给出目标函数：目标函数表示要最大化或最小化的优化目标，如利润、销售额等。

3. 设置限制条件：限制条件是指需要遵守的约束条件，如生产
能力、市场需求等。

4. 决策变量的整数要求：由于整数规划的特殊性质，需要规定
决策变量为整数。

应用：
1. 生产问题：整数规划可以优化生产计划，包括最佳的生产数量、产品组合和生产时间。

例如，在制造业中，整数规划可以帮助
确定要生产的产品数量，以最大化收益和最小化成本。

2. 库存问题：整数规划可以应用于零售商和批发商的库存管理，以确保及时补货和避免库存过量。

例如，在食品行业中，整数规划
可以帮助决定购买多少食材以达到最大利润。

3. 作业调度问题：整数规划可以帮助确定作业完成的时间，并确保资源分配最有效。

例如，在工厂中可以使用整数规划分配机器的使用时间以达到最大的生产效率。

4. 资源分配问题：整数规划可以帮助分配资源，如资金、人力资源和物资，以最大化效益。

例如，在政府基金分配方面，整数规划可以帮助确定资金分配的最佳方式，以支持社区发展、教育等。

总之，整数规划是一种非常有用的数学工具，可以帮助优化决策和资源分配的过程，应用广泛。