微积分总复习(一)

总复习（一）

一、 知识间的关系：

研究对象：函数 初等函数 研究方法：极限 数列的极限

函数的极限

x x (微 y x l 积 连续 一元函数连续

分 多元函数连续

导数

一元函数 ()dx x f dy '=

微分

微分学

研究内容 多元函数 dy y z

dx x z

dz ∂∂+∂∂=

全微分

积分学 不定积分

牛顿-莱不尼兹

定积分曲线积分

曲面积分

二．几个概念的比较

1． 不定积分与定积分的比较

()()c x F dx x f +=⎰

区别：

不定积分：全体原函数的集合

定积分：常数，曲边梯形面积的代数和 联系： ()()()()b F a F x F dx x f b a b

a -==⎰

2．定积分与二重积分的比较

①定积分：曲边梯形的面积

()()i n i i

b a x f dx x f ∆=∑⎰=→10lim ξλ

②二重积分：曲顶柱体的体积

()()i n i i

i D y x f d y x f σσλ∆=∑⎰⎰

=→10,lim ,

共同点：

它们都是一个常数，只与被积函数，积分区间（区域）有关，与积分变量的选取无关。 联系：二重积分转化成二次积分求解。

3．偏导数、全微分、极限的关系

各种关系图：

4．二重积分中直角坐标系与极坐标系的比较

5．微分方程中，可分离变量的微分方程，一阶微分方程，二阶微分方程之间的关系。

（1）可分离变量的一阶微分方程 i ）()()dy y g dx x f =（2）一阶线性微分方程

形如

()(

)x q y x p y =+' ①()0=+'y x p y 一阶线性齐次微分方程（分离变量求解）

②()()x q y x p y =+'一阶线性非齐次微分方程（常数变易法）

（3）二阶线性微分方程

()x f y ='' 两次积分

②()y x f y '='', ③

()y y f y '='',

作变量代换 p y p

y '=''=' 作变量代换 ()d y d p p y y p y ⋅=''=' ()

p x f p ,=' ()p y f dy dp p ,=

三．计算主要题型

（直接利用()()()()b F a F x F dx x f b a b

a -==⎰的条件：一

般为闭区间上的连续函数。注意区别有瑕玷的广义积分）

①换元法：真的换元时，一定对应换上、下限。

xdx x 3sin 13cos 23

3⎰-+π

π

②对称区间上奇、偶函数的利用

③区间的可加性

dx x e

e ⎰1

ln

④可变上限的定积分的导数

可变上限函数本身在闭区间上的性质： 连续，有界，可积，可导。

i ）利用下述公式求导数 ()()[]()()[]()

x u x u f x v x v f dt t f dx d

x v x u '-'=⎰)

()(ii ）利用上述公式求极限

iii ）利用上述公式求某些可变上限函数的极值，最值。

2． 广义积分

①注意找出瑕玷：被积函数中分母=0且不能约分的点。注意瑕玷的处理。

dx x ⎰-111

②收敛性的判断：只有两个都收敛，广义积分才收敛。

③综合题会涉及含有参数的广义积分，收敛性讨论时，要对参数讨论。

3． 二重积分：一条线原则（上下、左右、里外）

特点：

1）最外层上下限：常数

2）里面一层上下限：可以有函数，是关于外层积分变量的函数；

3）两层积分限都是常数的充要条件：直角坐标对应区域为矩形；

极坐标中对应区域为以极点为圆心的圆；

①坐标系的选取：直角坐标，极坐标 ()θθθrdrd r r f D ⎰⎰

sin ,cos

②X —型，Y —型的选取

③由积分的难易，常用交换积分顺序的方法，完成二重积分的证明题。

a) 由已知写出区域的不等式组

b) 由不等式组画出区域的图形

c) 由区域的图形，换种投影方式，写出不等式组 d) 由新的不等式组写出二重积分，化简即可。

4． 偏导数，全微分的计算

①对哪一变量求偏导，哪一变量看作变量，其它的全部看成常数，用导数对应的求导法

则。

②求一阶偏导时，

显函数时直接用上述方法

隐函数时用公式：z y x ,,均是独立的 ''-=∂∂''-=∂∂z

y z x

F F y z F F x z

③求二阶偏导时，

显函数时直接利用上述结果用同样方法继续求偏导。

隐函数时，不再利用公式，z y x ,,不再独立，而将z 看成y x ,的函数，用一元函数隐含数求导法。

四．证明主要题型

1． 证明关于偏导数的方程

2． 证明关于二重积分的方程（交换积分次

序）

3． 利用定积分的中值定理，解决一些综合

题。

五．应用题主要题型：

1. 求平面图形的面积及其绕某一轴旋转后

旋转体的体积。

面积：可据图形，选择积分变量X—型，Y —型

①利用定积分求解

②利用二重积分

dxdy D

旋转体：绕哪一轴，哪一个为积分变量，不能人为选取。

2.求二元函数的极值，最值。二元函数极值

的判定法。

3.利用二重积分求曲顶柱体的体积。

4.偏导数在经济学上的应用

5.全微分在近似计算中的应用