圆的方程经典例题

高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程

（1）标准方程 ，圆心

()b a ,，半径为r ； 点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系： 当 ，点在圆外

当 ，点在圆上

当 ，点在圆内

（2）一般方程

当 时，方程表示圆，此时圆心为 ，半径为

当 时，表示一个点；

当 时，方程不表示任何图形。

（3）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

1.若过点P(a,a)可作圆x 2+y 2-2ax+a 2

+2a-3=0的两条切线,则实数a 的取值范围是 .

2．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )

A ．(－∞，4)

B ．(－∞，0)

C ．(－4，＋∞)

D ．(4，＋∞)

3. 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关

4. 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．

5. 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．

6.已知直线l :x+y-2=0和圆C:x 2+y 2

-12x-12y+54=0,则与直线l 和圆C 都相切且半径最小的圆的标准方程是 .

7、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件

(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．

8.已知点P(2,2),点M 是圆O 1:x 2+(y-1)2=上的动点,点N 是圆O 2:(x-2)2+y 2=上的动点,则|PN|-|PM|的最大值是 ( ) A.-1 B.-2 C.2- D.3-

类型二：直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有 三种情况：

（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为22B A C

Bb Aa d +++=

，则有

（2）过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k ，得到方程【一定两解】 (3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程

1、已知直线0323=-+y x 和圆422=+y x ，判断此直线与已知圆的位置关系.

2：直线1=+y x 与圆)0(022

2>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是

3：若直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是 .

4．圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点Q 到直线3x ＋4y ＋8＝0距离的最小值为 ．

5. 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？

6.、若直线m x y +=与曲线24x y -=

有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围.

7. 已知圆22:(2)1M x y +-=,Q 是x 轴上的动点,QA 、QB 分别切圆M 于A ，B 两点

(1)若点Q 的坐标为（1，0），求切线QA 、QB 的方程；

(2)求四边形QAMB 的面积的最小值；(3)若423AB =

，求直线MQ 的方程. 类型三：圆与圆的位置关系

通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

设圆()()221211:r b y a x C =-+-，()()222222:R b y a x C =-+-

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

当 时两圆外离，此时有公切线 条；

当 时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；

当 时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；

当 时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线； 当 时，两圆内含； 当0=d 时，为同心圆。

注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线

圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点

1、判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:2

22=++-+y x y x C 的位置关系， 2：圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有 条。

3．圆x 2＋y 2－2x －5＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A ，B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是( )．

A ．x ＋y －1＝0

B ．2x －y ＋1＝0

C ．x －2y ＋1＝0

D ．x －y ＋1＝0

4：求与圆522=+y x 外切于点)2,1(-P ，且半径为52的圆的方程.

5.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0,若直线y=kx+2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最小值是( ) 4535A. B. C. D.3453

- - - - 6. 已知圆:C 22(2)4x y ++=，相互垂直的两条直线1l 、2l 都过点(,0)A a .

（Ⅰ）若1l 、2l 都和圆C 相切，求直线1l 、2l 的方程；

（Ⅱ）当2a =时，若圆心为(1,)M m 的圆和圆C 外切且与直线1l 、2l 都相切，求圆M 的方程； （Ⅲ）当1a =-时，求1l 、2l 被圆C 所截得弦长之和的最大值.