【高考】数学总复习导学第二篇函数与基本初等函数Ⅰ第5讲对数与对数函数理新人教A版
全国版高考数学一轮复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第5讲对数与对数函数课件理
特点
记法
一般对数
底数为(>0,且≠1)
logN
常用对数
底数为10
lg N
自然对数
底数为e
ln N
考点1 对数与对数运算
2.对数的性质、运算法则及重要公式
性质
运算法则
考点1 对数与对数运算
选用e或10作为底数.(2)表中有关公式均
是在式子中所有对数符号有意义的前提下成立的.
考点2 对数函数的图象与性质
1.对数函数的图象和性质
0<<1
>1
图象
定义域:(0,+∞).
值域:R.
图象过定点(1,0),即恒有log1=0.
性质
当>1时,恒有>0;当0<<1时,恒有<0. 当>1时,恒有<0;当0<<1时,恒有>0.
在(0,+∞)上是增函数.
在(0,+∞)上是减函数.
可.
当0<<1时,显然不成立.
当>1时,如图2-5-3所示,要使在区间(1,2)上,
f1()=(-1)2的图象在f2()=log的图象的下方,
只需f1(2)≤f2(2),即(2-1)2≤log2,所以log2≥1,
解得1<≤2.
答案 C
图2-5-3
考法2 对数函数的图象及应用
方法技巧 对数型函数图象的考查类型及解题思路
定,需分>1与0<<1两种情况讨论.
先将化为以为底数的对数式的形式,再借助函数
=log的单调性求解.
将不等式两边化为同底的两个对数式,利用对数函数
的单调性“脱去”对数符号,同时应保证真数大于零.
导数专题书目录
导数专题书目录第一篇独孤九剑——导数基础专题1总诀式——导数的前世今生第一讲导数基本定义第二讲导数运算法则第三讲复合函数求导第四讲同构函数求导专题2破剑式——数形结合遇导数第一讲导数的几何意义第二讲在点的切线方程第三讲过点的切线方程专题3破刀式——基本性质与应用第一讲单调性问题第二讲极值与最值第三讲恒能分问题专题4破枪式——抽象函数的构造第一讲求导法则与抽象构造第二讲幂函数及其抽象构造第三讲指数函数与抽象构造第四讲对数函数与抽象构造第五讲三角函数与抽象构造第六讲平移与奇偶抽象构造专题5破鞭式——分类讨论的策略第一讲不含参的四类问题第二讲含参数的五类问题专题6破索式——三次函数的探究第一讲基本性质第二讲切线问题第三讲四段论界定第四讲三倍角界定专题7破掌式——指对的破解逻辑第一讲指数模型第二讲对数模型专题8破箭式——六大同构函数论第一讲六大同构函数第二讲外部函数同构第三讲极值底层逻辑专题9破气式——零点与交点问题第一讲零点相关定理第二讲曲线交点问题第三讲零点个数问题第二篇如来神掌——导数选填的奇思妙解专题1心中有佛——秒解抽象函数构造第一讲抽象函数的积分构造第二讲“网红解法”的利弊专题2佛光初现——妙解参数取值范围第一讲零点比大小问题妙解双参比值问题第二讲零点比大小妙解指对单参数的问题第三讲恰到好处的取点妙解双参系列问题专题3金顶佛灯——数轴破整数个数解第一讲对数的取点技巧第二讲指数的取点技巧专题4佛动山河——平口单峰函数探秘第一讲平口二次函数问题第二讲平口对勾函数问题第三讲平口三次函数问题第四讲平口函数万能招数第五讲构造平口单峰函数第六讲必要探路最值界定第七讲倍角定理最值界定专题5佛问伽蓝——拉格朗日插值妙用第一讲三大微分中值定理简述第二讲拉格朗日中值定理应用专题6迎佛西天——构造函数速比大小第一讲构造基本初等函数第二讲构造母函数比大小第三讲构造混阶型比大小专题7天佛降世——琴生不等式破选填第一讲函数的凹凸性第二讲凹凸性的应用专题8佛法无边——极限思想巧妙应用第一讲前世今生论第二讲洛必达法则专题9万佛朝宗——选填压轴同构压制第一讲母函数原理概述第二讲同等双参需同构第三讲同构引出的秒解第三篇无涯剑道——导数三板斧升级篇专题1问剑求生——同类同构第一讲双元同构篇第二讲指对同构篇第三讲朗博同构篇第四讲零点同构篇第五讲同构保值篇第六讲同构导中切专题2持剑逆道——分类同构第一讲分而治之型第二讲端点效应型第三讲志同道合型第四讲分道扬镳型第五讲柳暗花明型专题3迎剑归宗——切点同构第一讲切线问题的进阶处理第二讲公切线问题几何探秘第三讲基本函数的切线找点第四讲跨阶函数的切线找点第五讲双变量乘积处理策略第四篇逍遥功——泰勒与放缩专题1逍遥剑法——泰勒展开第一讲泰勒基本展开式第二讲泰勒与切线找点第三讲泰勒与极值界定第四讲无穷阶极值界定第五讲泰勒与切线界定专题2逍遥刀法——京沪专线第一讲指数型“0”线第二讲对数型“0”线第三讲三角型“0”线专题3逍遥拳法——京九专线第一讲指数型“1”线第二讲对数型“1”线第三讲“e”线放缩论“n”线放缩论第四讲指对混阶放缩论第五讲指对三角放缩论第六讲高阶借位放缩论第七讲充分必要放缩论第八讲数列放缩系统论第五篇武当神功——点睛之笔专题1梯云纵——极点极值第一讲极值点本质第二讲唯一极值点第三讲存在极值点第四讲莫有极值点专题2太和功——隐点代换第一讲直接应用第二讲整体代换第三讲反代消参第四讲降次留参第五讲矛盾区间专题3峰回掌——跨阶找点第一讲找点初步认识第二讲找点策略阐述第三讲高次函数找点第四讲指对函数找点第五讲三角函数找点专题4太极剑——跳阶找点第一讲指对混阶找点第二讲指数三角找点第三讲对数三角找点第四讲终结混阶找点专题5八卦阵——必要探路第一讲端点效应第二讲极点效应第三讲显点效应第四讲隐点效应第五讲内点效应第六讲外点效应第七讲拐点效应第八讲弧点效应第六篇六脉神剑——明元之家专题1少商剑——三三来迟第一讲飘带函数减元第二讲点差法第三讲韦达定理的应用专题2商阳剑——四曾相识第一讲极值点偏移第二讲构造法第三讲拐点偏移第四讲泰勒公式专题3中冲剑——不讲五德第一讲换元构造第二讲对数平均不等式第三讲指数平均不等式第四讲广义对均第五讲深度剖析专题4関冲剑——七晴六遇第一讲零点差模型第二讲极值模型第三讲混合模型专题5少泽剑——第一讲复数三角形式第二讲棣莫弗定理第三讲复数的应用专题6少冲剑——第一讲斜率成等差等比问题第一讲数据逻辑及相关定理第二讲破解逻辑及突破压轴。
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》2
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》§2.7函数的图象最新考纲 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．2．图象变换(1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )；②y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )；③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)――――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)．(3)伸缩变换①y ＝f (x )―――――――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a 倍，纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的1a 倍，纵坐标不变y ＝f (ax )．②y ＝f (x )――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )．(4)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|.②y ＝f (x )―――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．概念方法微思考1．函数f (x )的图象关于直线x ＝a 对称，你能得到f (x )解析式满足什么条件？提示f (a ＋x )＝f (a －x )或f (x )＝f (2a －x )．2．若函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象关于点(a ，b )对称，求f (x )，g (x )的关系．提示g (x )＝2b －f (2a －x )题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝f (1－x )的图象，可由y ＝f (－x )的图象向左平移1个单位得到．(×)(2)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．(×)(3)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称．(×)(4)函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称即函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称．(×)题组二教材改编2．[P35例5(3)]函数f (x )＝x ＋1x的图象关于()A ．y 轴对称B ．x 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称答案C 解析函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数，故选C.3．[P32T2]小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是．(填序号)答案③解析小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除①.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除④.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除②.故③正确．4．如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是．答案(－1,1]解析在同一坐标系内作出y ＝f (x )和y ＝log 2(x ＋1)的图象(如图)．由图象知不等式的解集是(－1,1]．题组三易错自纠5．下列图象是函数y 2，x <0，－1，x ≥0的图象的是()答案C6．把函数f (x )＝ln x 的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数解析式是________________．答案y ＝解析根据伸缩变换方法可得，所求函数解析式为y ＝7．(2018·太原调研)若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是__________．答案(0，＋∞)解析在同一个坐标系中画出函数y ＝|x |与y ＝a －x 的图象，如图所示．由图象知，当a >0时，方程|x |＝a －x 只有一个解．题型一作函数的图象分别画出下列函数的图象：(1)y ＝|lg(x －1)|；(2)y ＝2x ＋1－1；(3)y ＝x 2－|x |－2；(4)y ＝2x －1x －1.解(1)首先作出y ＝lg x 的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象，再把所得图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，即得所求函数y ＝|lg(x －1)|的图象，如图①所示(实线部分)．(2)将y ＝2x 的图象向左平移1个单位，得到y ＝2x ＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y ＝2x ＋1－1的图象，如图②所示．(3)y ＝x 2－|x |－2x 2－x －2，x ≥0，x 2＋x －2，x <0，其图象如图③所示．(4)∵y ＝2＋1x －1，故函数的图象可由y ＝1x 1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所示．思维升华图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋1x的函数．(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．题型二函数图象的辨识例1(1)函数y ＝x 2ln|x ||x |的图象大致是()答案D 解析从题设提供的解析式中可以看出函数是偶函数，x ≠0，且当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝1＋ln x 0，1e 上单调递减，在区间1e，＋∞ D.(2)设函数f (x )＝2x ，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是()A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝－|f (x )|C ．y ＝－f (－|x |)D ．y ＝f (－|x |)答案C 解析题图中是函数y ＝－2－|x |的图象，即函数y ＝－f (－|x |)的图象，故选C.思维升华函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．跟踪训练1(1)函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝12x 在同一直角坐标系下的图象大致是()答案B 解析因为函数g (x )＝12为减函数，且其图象必过点(0,1)，故排除A ，D.因为f (x )＝1＋log 2x的图象是由y ＝log 2x 的图象上移1个单位得到的，所以f (x )为增函数，且图象必过点(1,1)，故可排除C ，故选B.(2)函数y ＝1ln|e x －e －x |的部分图象大致为()答案D 解析令f (x )＝1ln|e x －e －x |，则f (－x )＝1ln|e －x －e x |＝1ln|e x －e －x |＝f (x )，∴f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，排除B ，C.当x >1时，y ＝1ln|e x －e －x |＝1ln (e x －e －x )，显然y >0且函数单调递减，故D 正确．题型三函数图象的应用命题点1研究函数的性质例2(1)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是()A ．f (x )是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，单调递减区间是(－1,1)D ．f (x )是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)答案C 解析将函数f (x )＝x |x |－2x去掉绝对值，得f (x )x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．(2)设f (x )＝|lg(x －1)|，若0<a <b 且f (a )＝f (b )，则ab 的取值范围是________．答案(4，＋∞)解析画出函数f (x )＝|lg(x －1)|的图象如图所示．由f (a )＝f (b )可得－lg(a －1)＝lg(b －1)，解得ab ＝a ＋b >2ab (由于a <b ，故取不到等号)，所以ab >4.命题点2解不等式例3函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x<0的解集为．答案－π2，－1∪1，π2解析当x ∈0，π2y ＝cos x >0.当x ∈π2，4y ＝cos x <0.结合y ＝f (x )，x ∈[0,4]上的图象知，当1<x <π2时，f (x )cos x <0.又函数y ＝f (x )cos x为偶函数，所以在[－4,0]上，f (x )cos x<0－π2，－1，所以f (x )cos x<0－π2，－1∪1，π2命题点3求参数的取值范围例4(1)已知函数f (x )12log x ，x >0，2x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是．答案(0,1]解析作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示，由图可知k ∈(0,1]．(2)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是．答案解析先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围思维升华(1)注意函数图象特征与性质的对应关系．(2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题．跟踪训练2(1)(2018·昆明检测)已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )()A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值答案C 解析画出y ＝|f (x )|＝|2x －1|与y ＝g (x )＝1－x 2的图象，它们交于A ，B 两点．由“规定”，在A ，B 两侧，|f (x )|≥g (x )，故h (x )＝|f (x )|；在A ，B 之间，|f (x )|<g (x )，故h (x )＝－g (x )．综上可知，y ＝h (x )的图象是图中的实线部分，因此h (x )有最小值－1，无最大值．(2)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是．答案[－1，＋∞)解析如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知，当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．高考中的函数图象及应用问题高考中考查函数图象问题主要有函数图象的识别，函数图象的变换及函数图象的应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决．熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解决前提．一、函数的图象和解析式问题例1(1)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为()答案B 解析当x ∈0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，图象不会是直线段，从而排除A ，C ；当x ∈π4，3π4时，1＋5，22.∵22<1＋5，∴D ，故选B.(2)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是()A ．f (x )＝ln|x |x B ．f (x )＝e x xC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x答案A 解析由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C.若函数为f (x )＝x －1x，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.(3)(2018·全国Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －x x 2的图象大致为()答案B 解析∵y ＝e x －e －x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴f (x )＝e x －e －x x 2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项．当x ＝1时，f (1)＝e －e －11＝e －1e >0，排除D 选项．又e>2，∴1e <12，∴e －1e >32，排除C 选项．故选B.二、函数图象的变换问题例2已知定义在区间[0,4]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为()答案D 解析方法一先作出函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图象，得到y ＝f (－x )的图象；然后将y ＝f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝f (2－x )的图象；再作y ＝f (2－x )的图象关于x 轴的对称图象，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.方法二先作出函数y ＝f (x )的图象关于原点的对称图象，得到y ＝－f (－x )的图象；然后将y＝－f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.方法三当x ＝0时，y ＝－f (2－0)＝－f (2)＝－4.故选D.三、函数图象的应用例3(1)已知函数f (x )|，x ≤m ，2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是．答案(3，＋∞)解析在同一坐标系中，作y ＝f (x )与y ＝b 的图象．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m－m 2，所以要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.(2)不等式3sin π2x－12log x<0的整数解的个数为．答案2解析不等式3sin π2x12log x<0，即3sinπ2x<12log x.设f(x)＝3sinπ2x，g(x)＝12log x，在同一坐标系中分别作出函数f(x)与g(x)的图象，由图象可知，当x为整数3或7时，有f(x)<g(x)，所以不等式3sin π2x12log x<0的整数解的个数为2.(3)已知函数f(x)sinπx，0≤x≤1，log2020x，x>1，若实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是．答案(2,2021)解析函数f(x)sinπx，0≤x≤1，log2020x，x>1的图象如图所示，不妨令a<b<c，由正弦曲线的对称性可知a＋b＝1，而1<c<2020，所以2<a＋b＋c<2021.1．(2018·浙江)函数y＝2|x|sin2x的图象可能是()答案D解析由y ＝2|x |sin 2x 知函数的定义域为R ，令f (x )＝2|x |sin 2x ，则f (－x )＝2|－x |sin(－2x )＝－2|x |sin 2x .∵f (x )＝－f (－x )，∴f (x )为奇函数．∴f (x )的图象关于原点对称，故排除A ，B.令f (x )＝2|x |sin 2x ＝0，解得x ＝k π2(k ∈Z )，∴当k ＝1时，x ＝π2，故排除C.故选D.2.如图，不规则四边形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 交AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分的面积为y ，则y 关于x 的图象大致是()答案C解析当l 从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D 点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C 点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C.3．已知函数f (x )＝log a x (0<a <1)，则函数y ＝f (|x |＋1)的图象大致为()答案A解析先作出函数f(x)＝log a x(0<a<1)的图象，当x>0时，y＝f(|x|＋1)＝f(x＋1)，其图象由函数f(x)的图象向左平移1个单位得到，又函数y＝f(|x|＋1)为偶函数，所以再将函数y＝f(x＋1)(x>0)的图象关于y轴对称翻折到y轴左边，得到x<0时的图象，故选A.4.若函数f(x)ax＋b，x<－1，ln(x＋a)，x≥－1的图象如图所示，则f(－3)等于()A．－12B．－54C．－1D．－2答案C解析由图象可得－a＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，得a＝2，b＝5，∴f(x)2x＋5，x<－1，ln(x＋2)，x≥－1，故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C.5．函数f(x)的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝e x＋1B．f(x)＝e x－1C．f(x)＝e－x＋1D．f(x)＝e－x－1答案D解析与y＝e x的图象关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意，f(x)的图象向右平移一个单位，得y＝e－x的图象．∴f(x)的图象由y＝e－x的图象向左平移一个单位得到．∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.6．(2018·承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)2－x－1，x≤0，f x－1)，x>0，若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则实数a的取值范围为() A．(－∞，1)B．(－∞，1]C ．(0,1)D ．(－∞，＋∞)答案A解析当x ≤0时，f (x )＝2－x －1，当0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.类推有f (x )＝f (x －1)＝22－x －1，x ∈(1,2]，…，也就是说，x >0的部分是将x ∈(－1,0]的部分周期性向右平移1个单位得到的，其部分图象如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，即a 的取值范围是(－∞，1)．7．设函数y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x －1)f (x )≤0的解集为．答案{x |x ≤0或1<x ≤2}解析画出f (x )的大致图象如图所示．不等式(x －1)f (x )≤0>1，x )≤0<1，x )≥0.由图可知符合条件的解集为{x |x ≤0或1<x ≤2}．8．设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x －a 的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则实数a ＝.答案－2解析由函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x －a 的图象关于直线y ＝－x 对称，可得f (x )＝－a －log 2(－x )，由f (－2)＋f (－4)＝1，可得－a －log 22－a －log 24＝1，解得a ＝－2.9．已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R ，k ≠－1)有四个实数根，则k 的取值范围是．答案－13，解析由题意作出f (x )在[－1,3]上的示意图如图所示，记y ＝k (x ＋1)＋1，∴函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象过定点A (－1,1)．记B (2,0)，由图象知，方程有四个实数根，即函数f (x )与y ＝kx ＋k ＋1的图象有四个交点，故k AB <k <0，k AB ＝0－12－(－1)＝－13，∴－13<k <0.10．给定min{a ，b }，a ≤b ，，b <a ，已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4，若动直线y ＝m与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为．答案(4,5)解析作出函数f (x )的图象，函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，数形结合可得m 的取值范围为(4,5)．11．已知函数f (x )2(1－x )＋1，－1≤x <0，3－3x ＋2，0≤x ≤a的值域为[0,2]，则实数a 的取值范围是．答案[1，3]解析先作出函数f (x )＝log 2(1－x )＋1，－1≤x <0的图象，再研究f (x )＝x 3－3x ＋2,0≤x ≤a的图象．令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝1(x ＝－1舍去)，由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1.又f (0)＝f (3)＝2，f (1)＝0.所以1≤a ≤ 3.12．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当实数m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求实数m 的取值范围．解(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示．由图象可知，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个实数解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个实数解．(2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，t >0，因为H (t )－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )>H (0)＝0.因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．13．已知函数f (x )2＋2x －1，x ≥0，2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是()A ．f (x 1)＋f (x 2)<0B ．f (x 1)＋f (x 2)>0C ．f (x 1)－f (x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<0答案D解析函数f (x )的图象如图实线部分所示，且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数，又0<|x 1|<|x 2|，∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)<0.14．已知函数f (x )＝x |x －1|，g (x )＝1＋x ＋|x |2，若f (x )<g (x )，则实数x 的取值范围是．答案解析f (x )＋1x －1，x >1，1＋11－x，x <1，g (x )＋x ，x ≥0，，x <0，作出两函数的图象如图所示．当0≤x <1时，由－1＋11－x＝x ＋1，解得x ＝5－12；当x >1时，由1＋1x －1＝x ＋1，解得x ＝5＋12.结合图象可知，满足f (x )<g (x )的x －∞，5－12∪1＋52，＋∞15．已知函数f (x )－x 2＋x ，x ≤1，13logx ，x >1，g (x )＝|x －k |＋|x －2|，若对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，则实数k 的取值范围为____________．答案－∞，74∪94，＋∞解析对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，即f (x )max ≤g (x )min .观察f (x )－x 2＋x ，x ≤1，13log x ，x >1的图象可知，当x ＝12时，函数f (x )max ＝14.因为g (x )＝|x －k |＋|x －2|≥|x －k －(x －2)|＝|k －2|，所以g (x )min ＝|k －2|，所以|k －2|≥14，解得k ≤74或k ≥94.故实数k 的取值范围是－∞，74∪94，＋∞16．已知函数f (x )(x －1)2，0≤x ≤2，14x －12，2<x ≤6.若在该函数的定义域[0,6]上存在互异的3个数x 1，x 2，x 3，使得f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝f (x 3)x 3＝k ，求实数k 的取值范围．解由题意知，直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )(x ∈[0,6])的图象至少有3个公共点．函数y ＝f (x )的图象如图所示，由图知k ，1 6.。
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》2
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》§2.2函数的单调性与最值最新考纲1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质．1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件(1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(3)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；(4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值M 为最小值概念方法微思考1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示对∀x 1，x 2∈D ，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，减函数类似．2．写出对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的增区间．提示(－∞，－a ]和[a ，＋∞)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．(×)(2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)(3)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(×)(5)所有的单调函数都有最值．(×)题组二教材改编2．函数f (x )＝x 2－2x 的单调递增区间是____________．答案[1，＋∞)(或(1，＋∞))3．函数y ＝2x －1在[2,3]上的最大值是______．答案24．若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．答案(－∞，2]解析由题意知，[2，＋∞)⊆[m ，＋∞)，∴m ≤2.题组三易错自纠5．函数y ＝12log (x 2－4)的单调递减区间为________．答案(2，＋∞)6．若函数f (x )＝|x －a |＋1的增区间是[2，＋∞)，则a ＝________.答案2解析∵f (x )＝|x －a |＋1的单调递增区间是[a ，＋∞)，∴a ＝2.7．函数y ＝f (x )是定义在[－2,2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________．答案[－1,1)解析－2≤a＋1≤2，－2≤2a≤2，a＋1>2a，解得－1≤a<1.8．函数f(x)1x，x≥1，－x2＋2，x<1的最大值为________．答案2解析当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.题型一确定函数的单调性命题点1求函数的单调区间例1(1)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)答案D解析函数y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9图象的对称轴为直线x＝1，由x2－2x－8>0，解得x>4或x<－2，所以(4，＋∞)为函数y＝x2－2x－8的一个单调递增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)．(2)函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间是__________________．答案[－1,0]，[1，＋∞)解析由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，二次函数的图象如图．由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．命题点2讨论函数的单调性例2判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在[1,2]上的单调性．解函数f (x )＝ax 2＋1x(1<a <3)在[1,2]上单调递增．证明：设1≤x 1<x 2≤2，则f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1＝(x 2－x 1)a (x 1＋x 2)－1x 1x 2，由1≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0,2<x 1＋x 2<4，1<x 1x 2<4，－1<－1x 1x 2<－14.又因为1<a <3，所以2<a (x 1＋x 2)<12，得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2>0，从而f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)，故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单调递增．引申探究如何用导数法求解本例？解f ′(x )＝2ax －1x 2＝2ax 3－1x 2，因为1≤x ≤2，所以1≤x 3≤8，又1<a <3，所以2ax 3－1>0，所以f ′(x )>0，所以函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在[1,2]上是增函数．思维升华确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．跟踪训练1(1)下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是()A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x －xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案C解析由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A ，D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．(2)函数f (x )＝(a －1)x ＋2在R 上单调递增，则函数g (x )＝a |x －2|的单调递减区间是______________．答案(－∞，2]解析因为f (x )在R 上单调递增，所以a －1>0，即a >1，因此g (x )的单调递减区间就是y ＝|x －2|的单调递减区间(－∞，2]．(3)函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是________．答案[1,2]解析f (x )2－2x ，x ≥2，x 2＋2x ，x <2.画出f (x )图象，由图知f (x )的单调递减区间是[1,2]．题型二函数的最值1．函数y ＝x 2－1x 2＋1的值域为____________．答案[－1,1)解析由y ＝x 2－1x 2＋1，可得x 2＝1＋y 1－y.由x 2≥0，知1＋y1－y≥0，解得－1≤y <1，故所求函数的值域为[－1,1)．2．函数y ＝x ＋1－x 2的最大值为________．答案2解析由1－x 2≥0，可得－1≤x ≤1.可令x ＝cos θ，θ∈[0，π]，则y ＝cos θ＋sin θ＝2sin θ∈[0，π]，所以－1≤y ≤2，故原函数的最大值为 2.3．函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．答案[3，＋∞)解析函数y 2x ＋1，x ≤－1，，－1<x <2，x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)．4．函数y ＝3x ＋1x －2的值域为________________．答案{y |y ∈R 且y ≠3}解析y ＝3x ＋1x －2＝3(x －2)＋7x －2＝3＋7x －2，因为7x －2≠0，所以3＋7x －2≠3，所以函数y ＝3x ＋1x －2的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}．5．函数f (x )－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案3解析由于y 在[－1,1]上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.6．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ()A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关答案B 解析方法一设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．故选B.方法二由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b 的变动，相当于图象上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关，故选B.思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(4)分离常数法：形如求y＝cx＋dax＋b(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．题型三函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f －12，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A．c>a>b B．c>b>aC．a>c>b D．b>a>c答案D解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a＝f －12f522<52<3，所以b>a>c.命题点2解函数不等式例4(2018·四川成都五校联考)设函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则f(x)<0的解集是()A．{x|－3<x<0或x>3}B．{x|x<－3或0<x<3}C．{x|x<－3或x>3}D．{x|－3<x<0或0<x<3}答案B解析∵f(x)是奇函数，f(－3)＝0，∴f(－3)＝－f(3)＝0，解得f(3)＝0.∵函数f(x)在(0，＋∞)内是增函数，∴当0<x<3时，f(x)<0；当x>3时，f(x)>0.∵函数f(x)是奇函数，∴当－3<x<0时，f(x)>0；当x<－3时，f(x)<0.则不等式f (x )<0的解集是{x |0<x <3或x <－3}．命题点3求参数的取值范围例5(1)(2018·全国Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]上是减函数，则a 的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D ．π答案C解析∵f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin∴当x －π4∈－π2，π2，即x ∈－π4，3π4时，y ＝sinf (x )＝－2sin ∴－π4，3π4是f (x )在原点附近的单调减区间，结合条件得[0，a ]⊆－π4，3π4，∴a ≤3π4，即a max ＝3π4.(2)已知函数f (x )2＋12a －2，x ≤1，x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．答案(1,2]解析由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2.(3)(2018·安徽滁州中学月考)已知函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是______________．答案(－4,4]解析设g (x )＝x 2－ax ＋3a ，根据对数函数及复合函数的单调性知，g (x )在[2，＋∞)上是增函数，且g (2)>0，2，a >0，∴－4<a ≤4，∴实数a 的取值范围是(－4,4]．思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．(2)解不等式．利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．跟踪训练2(1)如果函数f (x )2－a )x ＋1，x <1，x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．答案32，解析对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．－a >0，>1，2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是32，(2)已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f x 的取值范围是______________．答案12，解析因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，且满足f (2x －1)<所以0≤2x －1<13，解得12≤x <23.1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．yD ．y ＝x ＋1x答案A解析函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为()A．(－∞，1]B．[3，＋∞)C．(－∞，－1]D．[1，＋∞)答案B解析设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．3．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2)D．f(π)<f(－2)<f(－3)答案A解析因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(π)>f(3)>f(2)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．4．已知函数f(x)－2a)x，x≤1，a x＋13，x>1，当x1≠x2时，f(x1)－f(x2)x1－x2<0，则a的取值范围是()，13 B.13，12，12 D.14，13答案A解析当x1≠x2时，f(x1)－f(x2)x1－x2<0，∴f(x)是R上的减函数．∵f(x)－2a)x，x≤1，a x＋13，x>1，－2a<1，a<1，－2a≥13，∴0<a≤13.5．设f (x )x －a )2，x ≤0，＋1x ＋a ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为()A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2]答案D 解析∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2.∴a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.6．已知函数f (x )2x ，x ≥1，＋c ，x <1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A 解析若函数f (x )在R 上单调递增，则需log 21≥c ＋1，即c ≤－1.由于c ＝－1，即c ≤－1，但c ≤－1不能得出c ＝－1，所以“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．7．已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为________________．答案a >b >c 解析∵f (x )在R 上是奇函数，∴a ＝－log f (log 25)．又f (x )在R 上是增函数，且log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8，∴f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8)，∴a >b >c .8．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是______________．答案－14，0解析当a ＝0时，f (x )＝2x －3在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上，实数a 的取值范围是－140.9．记min{a ，b }，a ≤b ，，a >b ，若f (x )＝min{x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．答案6解析由题意知，f (x )＋2，0≤x ≤4，－x ，x >4，易知f (x )max ＝f (4)＝6.10．设函数f (x )x 2＋4x ，x ≤4，2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是__________________．答案(－∞，1]∪[4，＋∞)解析作函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.11．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．(1)证明当a ＝－2时，f (x )＝x x ＋2.设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)解设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).因为a >0，x 2－x 1>0，所以要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，所以a ≤1.综上所述，0<a ≤1.12．(2018·河南南阳一中月考)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，F (x )x )，x >0，f (x )，x <0.(1)若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立，求F (x )的解析式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．解(1)∵f (－1)＝0，∴b ＝a ＋1.由f (x )≥0恒成立，知a >0且方程ax 2＋bx ＋1＝0中Δ＝b 2－4a ＝(a ＋1)2－4a ＝(a －1)2≤0，∴a ＝1.从而f (x )＝x 2＋2x ＋1.∴F (x )x ＋1)2，x >0，(x ＋1)2，x <0.(2)由(1)可知f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1，由g (x )在[－2,2]上是单调函数，知－2－k 2≤－2或－2－k 2≥2，得k ≤－2或k ≥6.即实数k 的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．13．已知函数f (x )3，x ≤0，(x ＋1)，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是()A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)答案D 解析∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图象是一条连续的曲线．又∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1.14．已知f (x )2－4x ＋3，x ≤0，x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，－2)解析二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减，∴－x 2－2x ＋3<3，∴f (x )在R 上单调递减，∴由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ，即2x <a ，∴2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立，∴2(a ＋1)<a ，∴a <－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2)．15．已知函数f (x )＝2020x ＋ln(x 2＋1＋x )－2020－x ＋1，则不等式f (2x －1)＋f (2x )>2的解集为____________．答案解析由题意知，f (－x )＋f (x )＝2，∴f (2x －1)＋f (2x )>2可化为f (2x －1)>f (－2x )，又由题意知函数f (x )在R 上单调递增，∴2x －1>－2x ，∴x >14，∴16．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )是增函数，f (1)＝0，f (3)＝1.(1)解不等式0<f (x 2－1)<1；(2)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．解(1)2－1>0，x 2－1<3，得2<x <2或－2<x <－ 2.∴原不等式的解集为(－2，－2)∪(2，2)．(2)∵函数f (x )在(0,3]上是增函数，∴f (x )在(0,3]上的最大值为f (3)＝1，∴不等式f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1，1]恒成立转化为1≤m 2－2am ＋1对所有a ∈[－1,1]恒成立，即m 2－2am ≥0对所有a ∈[－1,1]恒成立．设g (a )＝－2ma ＋m 2，a ∈[－1,1]，∴(－1)≥0，(1)≥0，m ＋m 2≥0，2m ＋m 2≥0，解该不等式组，得m ≤－2或m ≥2或m ＝0，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．。
第5节对数与对数函数2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)
(7)(2022·甘肃平凉月考)已知a>0且a≠1，若函数f(x)＝loga(ax2－x) 在[3，4]上是减函数，则a的取值范围是_(_13__,_1_)__．
令g(x)＝ax2－x， 1 ≥4， 当a>1时，由题意得 2a
无解，
g（4）＝16a－4>0，
当0<a<1时，由题意得
21a≤3，
解得1<a<1，
M (2)loga N
＝
_____lo_g_a_M__－__lo_g_a_N_________．
(3)logaMn＝_____n_l_o_g_aM_____(n∈R)．
4．换底公式 logab＝llooggccba (a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 5．对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变 量，函数的定义域是(0，＋∞)
6．对数函数的图象及性质
a的范围 图象
0<a<1
y
o1
x
a>1
y
o1
x
性质
定义域 值域 定点
单调性
___(_0_，__＋__∞_)____
R 过定点__(_1_，_0_)______，即x＝1____时，y0＝
____
减函数
增函数
在(0，＋∞)上是
在(0，＋∞)上是
常用结论：
1．换底公式的三个重要结论
A ．12
B． 1
C．7
1 a
+ 1 ，则5c=(
b D．
1
)
12
7
c=
1 a
+
1 b
高考数学一轮复习第二章函数5对数与对数函数课件新人教A版理
1
时,4x<logax,只需在区间 0, 上 f(x)的图象在 g(x)的图象下方即可.
2
当 a>1 时不满足条件;当 0<a<1 时,画出两个函数在区间 0,
上的图象,可知只需 f
1
2
<g
所以 a 的取值范围为
1
1
,即 2<loga ,则
2
2
√2
,1
2
.
√2
a> ,
2
1
2
-20考点1
考点2
考点3
2
1
1
B. 20,
C.f(log
,2
D.(0,2]
a)≤2f(1),即
2f(log
2
2 2a)≤f(1).
A.[1,2]
原不等式变为
2 , > 0,
R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,
又因为 f(x)是定义在 log
(2)设函数 f(x)= log 1 (-), < 0.若
1 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范
数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对
数运算性质化简合并.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数
运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、
幂的运算.
-17考点1
考点2
考点3
对点训练 1(1)100
1
lg9 -lg2
2
=
.
(2)lg 25+lg 2·lg 50+(lg 2)2=
解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思
2022版高考数学大一轮复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第5讲对数与对数函数1
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ第五讲 对数与对数函数练好题·考点自测1。
下列说法正确的是（ ）①若MN >0，则log a (MN )=log a M +log a N.②对数函数y =log a x (a >0且a ≠1）在(0,+∞）上是增函数. ③函数y =ln1+x 1-x与y =ln(1+x )—ln （1—x ）的定义域相同。
④对数函数y =log a x （a 〉0且a ≠1）的图象过定点(1,0)且过点(a ,1)，（1a,-1),函数图象只在第一、四象限。
A.①③④B.①③ C 。
③④ D.④2.[2019浙江，6,5分］在同一直角坐标系中，函数y =1a x,y =log a（x +12)（a >0,且a ≠1)的图象可能是( )A B CD3。
[2020全国卷Ⅰ,8，5分][文］设a log 34=2,则4-a = （ ） A 。
116B.19C 。
18D.164.［2020全国卷Ⅱ，9,5分］设函数f （x )=ln|2x +1｜-ln|2x —1|，则f （x ）( )A 。
是偶函数,且在（12，+∞)单调递增B .是奇函数,且在（−12，12)单调递减C.是偶函数，且在(-∞,−1)单调递增2)单调递减D。
是奇函数,且在（-∞,−12, 5.［2020全国卷Ⅲ，10,5分］［文］设a=log32,b=log53，c=23则（) A.a〈c〈b B.a<b<cC。
b〈c<a D。
c<a〈b6.[2018全国卷Ⅲ，16,5分]［文]已知函数f（x）=ln（√1+x2−x)+1，f(a）=4,则f(-a)=.,a b=b a, 7。
［2016浙江,12,6分］已知a>b>1。
若log a b+log b a=52则a=，b=.拓展变式1。
［2021安徽省四校联考］已知实数a，b满足a+b=5,log2a=log3b，则ab=(）A。
新高考数学二轮复习知识点总结与题型归纳 第5讲 基本初等函数、函数与方程(解析版)
第5讲 基本初等函数、函数与方程[考情分析] 1.基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是高考的热点，常以压轴题形式出现．基本初等函数(Ⅰ)本节复习的基本初等函数包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，三角函数在三角部分复习．函数的图象上直观地反映着函数的性质，学习函数的“捷径”是熟知函数的图象．熟知函数图象包括三个方面：作图，读图，用图．掌握初等函数一般包括以下一些内容：首先是函数的定义，之后是函数的图象和性质．函数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值的变化特点等，研究和记忆函数性质的时候应全面考虑．函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质，我们可以通过解析式研究函数的性质，也可以通过解析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质． 【知识要点】1．一次函数：y ＝kx ＋b (k ≠0)(1)定义域为R ，值域为R ； (2)图象如图所示，为一条直线；(3)k ＞0时，函数为增函数，k ＜0时，函数为减函数；(4)当且仅当b ＝0时一次函数是奇函数．一次函数不可能是偶函数． (5)函数y ＝kx ＋b 的零点为⋅-kb2．二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)通过配方，函数的解析式可以变形为⋅-++=a b ac ab x a y 44)2(22 (1)定义域为R ：当a ＞0时，值域为),44[2+∞-a b ac ；当a ＜0时，值域为]44,(2ab ac --∞；(2)图象为抛物线，抛物线的对称轴为abx 2-=，顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --．当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下． (3)当a ＞0时，]2,(a b --∞是减区间，),2[+∞-ab是增区间； 当a ＜0时，]2,(a b --∞是增区间，),2[+∞-ab是减区间． (4)当且仅当b ＝0时，二次函数是偶函数；二次函数不可能是奇函数．(5)当判别式∆＝b 2－4ac ＞0时，函数有两个变号零点aacb b 242-±-；当判别式∆＝b 2－4ac ＝0时，函数有一个不变号零点ab 2-； 当判别式∆＝b 2－4ac ＜0时，函数没有零点． 3．指数函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1) (1)定义域为R ；值域为(0，＋∞)．(2)a ＞1时，指数函数为增函数；0＜a ＜1时，指数函数为减函数； (3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，也没有零点．4．对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)，对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数．(1)定义域为(0，＋∞)；值域为R．(2)a＞1时，对数函数为增函数；0＜a＜1时，对数函数为减函数；(3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，(4)函数的零点为1．5．幂函数y＝xα(α∈R)幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都通过点(1，1)；(2)如果α＞0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数；(3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地接近y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地接近x轴．要注意：因为所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且当x∈(0，＋∞)时，xα＞0，所以所有的幂函数y＝xα(α∈R)在第一象限都有图象．根据幂函数的共同性质，可以比较容易的画出一个幂函数在第一象限的图象，再根据幂函数的定义域和奇偶性，我们可以得到这个幂函数在其他象限的图象，这样就能够得到这个幂函数的大致图象．6．指数与对数(1)如果存在实数x ，使得x n ＝a (a ∈R ，n ＞1，n ∈N ＋)，则x 叫做a 的n 次方根． 负数没有偶次方根．),1()(+∈>=N n n a a n n ；⎩⎨⎧=为偶数时当为奇数时当n a n a a nn|,|,)( (2)分数指数幂，)0(1>=a a a n n；,0()(>==a a a a n m m n nm n ，m ∈N *，且nm为既约分数)． *N ,,0(1∈>=-m n a aanm nm ，且nm为既约分数)． (3)幂的运算性质a m a n ＝a m ＋n ，(a m )n ＝a mn ，(ab )n ＝a n b n ，a 0＝1(a ≠0)．(4)一般地，对于指数式a b＝N ，我们把“b 叫做以a 为底N 的对数”记为log a N ， 即b ＝log a N (a ＞0，且a ≠1)． (5)对数恒等式：Na alog ＝N ．(6)对数的性质：零和负数没有对数(对数的真数必须大于零!)； 底的对数是1，1的对数是0． (7)对数的运算法则及换底公式：N M NMN M MN a a aa a a log log log ;log log )(log -=+=； M M a a log log αα=； bNN a a b log log log =.(其中a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，M ＞0，N ＞0).【复习要求】1．掌握基本初等函数的概念，图象和性质，能运用这些知识解决有关的问题；其中幂函数主要掌握y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，21,1x y xy ==这五个具体的幂函数的图象与性质．2．准确、熟练的掌握指数、对数运算；3．整体把握函数的图象和性质，解决与函数有关的综合问题．函数的图象 在函数图象上，定义域、值域、对应关系、单调性、奇偶性和周期性一览无遗．因此，快速准确地作出函数图象成为学习函数的一项基本功，而读图也从“形”的角度成为解决函数问题及其他相关问题的一种重要方法．【知识要点】作函数图象最基本的方法是列表描点作图法．常用的函数图象变换有：1．平移变换y＝f(x＋a)：将y＝f(x)的图象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移｜a｜个单位可得．y＝f(x)＋a：将y＝f(x)的图象向上(a＞0)或向下(a＜0)平移｜a｜个单位可得．2．对称变换y＝－f(x)：作y＝f(x)关于x轴的对称图形可得．y＝f(－x)：作y＝f(x)关于y轴的对称图形可得．3．翻折变换y＝｜f(x)｜：将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴的上方，其他部分不变即得．y＝f(｜x｜)：此偶函数的图象关于y轴对称，且当x≥0时图象与y＝f(x)的图象重合．【复习要求】1．能够在对函数性质作一定的讨论之后，用描点法作出函数的图象．2．能够对已知函数y＝f(x)的图象，经过适当的图象变换得到预期函数的图象．3．通过读图能够分析出图形语言所表达的相关信息(包括函数性质及实际意义)，运用数形结合的思想解决一些与函数有关的问题．考点一基本初等函数的图象与性质核心提炼1．指数函数y＝a x(a>0，a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象的异同．2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．【例题分析】1.＝（）A．2B．C．D．﹣2【考点】有理数指数幂及根式．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】利用根式与有理指数幂的互化以及有理指数幂的运算性质求解即可．【解答】解：原式＝．故选：B．【点评】本题考查了有理数指数幂及根式的运算，主要考查了有理指数幂的互化以及有理指数幂的运算性质，属于基础题．2.函数y＝2x（x≤0）的值域是（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（0，1]D．[0，1）【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【答案】C【分析】本题可利用指数函数的值域．【解答】解：∵y＝2x（x≤0）为增函数，且2x＞0，∴20＝1，∴0＜y≤1．∴函数的值域为（0，1]．故选：C．【点评】本题考查的是函数值域的求法，关键是要熟悉指数函数的单调性，本题计算量极小，属于容易题．3.如果函数f（x）＝3x+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，则（）A．b＜﹣1B．﹣1＜b＜0C．0＜b＜1D．b＞1【考点】指数函数的图象与性质．【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】利用函数图象的平移变换，得到关于b的不等式，再求出b的范围．【解答】解：∵函数f（x）＝3x+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，∴函数f（x）＝3x+b是由函数f（x）＝3x的图象向下平移|b|个单位长度得到，且|b|＜1，又∵图象向下平移，∴b＜0，∴﹣1＜b＜0，故选：B．【点评】本题主要考查了函数图象的平移变换，是基础题．函数的最值最大值与最小值是研究变量问题时常需要考虑的问题，也是高中数学中最重要的问题之一．函数的最大值、最小值问题常与实际问题联系在一起．函数的最值与值域在概念上是完全不同的，但对于一些简单函数，其求法是相通的． 【知识要点】本节主要讨论两类常见的函数最值的解决方法及其应用．1．基本初等函数在特定区间上的最值(或值域)问题．解决这类问题的方法是：作出函数图象，观察单调性，求出最值(或值域)．2．一些简单的复合函数的最值问题．解决这类问题的方法通常有： (1)通过作出函数图象变成第1类问题； (2)通过换元法转化成第1类问题； (3)利用平均值定理求最值；(4)通过对函数单调性进行讨论进而求出最值．其中讨论单调性的方法可以用单调性定义或导数的知识(导数的方法在后面相应章节复习)； (5)转化成几何问题来求解，如线性规划问题等． 【复习要求】从整体上把握求函数最值的方法，明确求最值的一般思路．函数与方程【知识要点】1．如果函数y ＝f (x )在实数a 处的值等于零，即f (a )＝0，则a 叫做这个函数的零点． 函数零点的几何意义：如果a 是函数y ＝f (x )的零点，则点(a ，0)一定在这个函数的函数图象上，即这个函数与x 轴的交点为(a ，0)． 2．零点的判定如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是不间断的，而且f (a )f (b )，则这个函数在区间[a ，b ]上至少有一个零点．这也是二分法的依据．注意：上述判定零点的方法只是判断零点存在的充分条件．这种判定零点方法主要适用于在无法对函数进行作图而且也不易对函数所对应的方程求根的情况下．如果可以画出函数的图象(这时判断函数零点的方法将是非常直观的)，如果函数所对应的方程可以求根，那么就可以用“作图”和“求根”的方法判断零点． 3．用二分法求函数y ＝f (x )，x ∈D 零点的一般步骤为：第一步、确定初始区间，即在D 内取一个闭区间[a ，b ]，使得f (a )f (b )＜0； 第二步、求中点及其对应的函数值，即求)(21b a x +=＜0以及f (x )的值，如果f (x )＝0，则计算终止，否则进一步确定零点所在的区间；第三步、计算精确度，即计算区间的两个端点按给定的精确度取近似值时是否相等，若相等，则计算终止，否则重复第二步．【复习要求】1、结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2、能够用二分法求相应方程的近似解．考点二函数的零点核心提炼判断函数零点个数的方法：(1)利用零点存在性定理判断法．(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．规律方法利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法【例题分析】1.函数f（x）＝﹣lnx的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（e，+∞）【考点】函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【答案】B【分析】由函数的解析式可得f（2）•f（3）＜0，再利用函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间．【解答】解：∵函数满足f（2）＝＞0，f（3）＝1﹣ln3＜0，∴f （2）•f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间是（2，3），故选：B ．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题． 2.已知函数f （x ）＝﹣log 2x ，在下列区间中，函数f （x ）有零点的是（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，4）D ．（4，+∞）【考点】函数的零点．【专题】计算题；函数思想；试验法；函数的性质及应用． 【答案】B【分析】首先判断函数f （x ）＝﹣log 2x 在（0，+∞）上是减函数，且连续；从而由零点的判定定理判断即可．【解答】解：易知函数f （x ）＝﹣log 2x 在（0，+∞）上是减函数，且连续； f （1）＝1﹣0＝1＞0，f （2）＝﹣1＝﹣＜0； 故函数f （x ）有零点的区间是（1，2）； 故选：B ．【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用及零点的判定定理的应用，注意掌握基本初等函数的性质．3.函数24,0()(),0x x f x g x x ⎧->=⎨<⎩是奇函数，则函数()f x 的零点是 2± ．【答案】2±．【考点】函数的零点；函数奇偶性的性质与判断【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算 【分析】由已知函数解析式及奇函数的对称性即可求解． 【解答】解：当0x >时，()240x f x =-=， 解得，2x =，根据奇函数的对称性可知，2x =-也是函数()f x 的零点， 故答案为：2±．【点评】本题主要考查了函数零点的求解，属于基础题．考点3 函数零点的判定定理 【例题分析】1.在下列区间中，存在函数3()2f x lnx x =-+的零点的是( )A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】AD【考点】函数零点的判定定理【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据题意，求出函数的导数，分析()f x 的单调区间，由函数零点判断定理依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，3()2f x lnx x =-+，其定义域为(0,)+∞，其导数11()1xf x x x -'=-=，在区间(0,1)上，()0f x '>，()f x 为增函数， 在区间(1,)+∞上，()0f x '<，()f x 为减函数， 依次分析选项：对于A ，()f x 在1(0,)2上递增，2222111311()022f ln e e e e =-+=--<，1113()12022222ef ln ln ln =-+=-=>，在()f x 在1(0,)2上存在零点，A 正确，对于B ，()f x 在1(2，1)上递增，1()1202f ln =->，f （1）3111022ln =-+=>，在()f x 在1(2，1)上不存在零点，B 错误，对于C ，()f x 在(1,2)上递减，f （1）102=>，f （2）31222022ln ln =-+=->， 在()f x 在(1,2)上不存在零点，C 错误， 对于D ，()f x 在(2,3)上递减，f （2）1202ln =->，f （3）33333022ln ln =-+=-<， 在()f x 在(2,3)上存在零点，D 正确， 故选：AD ．【点评】本题考查函数的零点判断定理，解题的关键是确定区间端点对应的函数值异号，属于基础题．2.函数2()2log f x x x =-+的零点所在的一个区间是( ) A ．(4,5) B ．(3,4)C ．(2,3)D ．(1,2)【答案】D【考点】函数零点的判定定理【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理【分析】由函数解析式，判断f （1）f （2）0<，由零点的存在性定理进行分析求解即可． 【解答】解：因为2()2log f x x x =-+， 所以f （1）212log 110=-+=-<， f （2）222log 210=-+=>，所以f （1）f （2）0<，由零点的存在性定理可得，函数2()2log f x x x =-+的零点所在的一个区间是(1,2)． 故选：D ．【点评】本题考查了函数零点的问题，主要考查了函数零点的存在性定理的应用，属于基础题．3.利用二分法求方程20lnx x +-=的近似解，已求得()2f x lnx x =+-的部分函数值的数据如表：A ．1.55B ．1.62C ．1.71D ．1.76【答案】A【考点】函数零点的判定定理【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理【分析】利用表格中的数据，在结合零点的存在性定理进行分析求解即可． 【解答】解：根据表中的数据可得，(1.5)0.0945f =-，(1.5625)0.0088f =， 故函数()f x 的零点在区间(1.5,1.5625)之间， 只有1.55符合要求． 故选：A ．【点评】本题考查了函数零点的求解，涉及了零点存在性定理的应用，解题的关键是熟练掌握函数零点的存在性定理，属于基础题． 函数零点与方程根的关系 【例题分析】1.已知函数2,12()1,21log x x f x x x <⎧⎪=⎨>⎪-⎩，若方程()0f x a -=至少有两个实数根，则实数a 的取值范围为( ) A ．(0,1)B ．(0，1]C ．[0，2)D ．[0，2]【答案】A【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】计算题；数形结合；转化思想；演绎法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算【分析】首先将问题转化为两个函数交点个数的问题，然后数形结合即可确定实数a的取值范围．【解答】解：原问题等价于函数y a与函数()f x至少有两个交点，绘制函数图象如图所示，观察可得，实数a的取值范围是(0,1)．故选：A．【点评】本题主要考查由函数的零点个数求参数的方法，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，属于基础题．2.若方程|2x﹣2|＝b有一个零点，则实数b的取值范围是．【考点】函数的零点；函数的零点与方程根的关系．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；逻辑推理．【答案】（2，+∞）∪{0}．．【分析】根据函数与方程之间的关系，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出函数y＝|2x﹣2|的图象如图：要使方程|2x﹣2|＝b有一个零点，则函数y＝|2x﹣2|与y＝b有一个交点，则b＞2或b＝0，故实数b的取值范围是b＞2或b＝0，即（2，+∞）∪{0}．故答案为：（2，+∞）∪{0}．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，作出函数图象，利用数形结合是解决本题的关键，是基础题．3.已知关于x 的方程|310|x a -=有两个不同的实根1x ，2x ，且212x x =，则实数a 的值是() A ．5 B ．6 C ．7 D ．15【答案】B【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】方程思想；转化法；高考数学专题；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据条件可得3log (10)(010)x a a =±<<，然后由212x x =，得到33log (10)2log (10)a a +=-或33log (10)2log (10)a a -=+，再求出a 的值．【解答】解：关于x 的方程|310|x a -=有两个不同的实根1x ，2x ，∴由|310|x a -=，可知010a <<，3log (10)(010)x a a ∴=±<<，关于x 的方程|310|x a -=有两个不同的实根1x ，2x ，且212x x =， 33log (10)2log (10)a a ∴+=-或33log (10)2log (10)a a -=+ 210(10)a a ∴+=-或210(10)a a -=+，6a ∴=±或15a =±，又010a <<， 6a ∴=．故选：B ．【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了方程思想和转化思想，属基础题．。
2024年高考数学总复习第二章函数的概念与基本初等函数真题分类8对数与对数函数
第15页
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真题分类8 对数与对数函数
高考·数学
01 掌握对数函数图象的特征，底数大小决定了图象的高低，指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)
图象中“底大图高”，而对数函数 y＝logax 图象中“底大图低”．具体见下图(图 1 中 a>b>1>c>d>0，图 2 中 b>a>1>d>c>0).
C5.对数函数的图象及性质
高考·数学
命题者说：(1)理解对数函数的图象的特点及性质，能应用其性质比较大小，解不等式，并能 处理简单的对数型复合函数问题．
第1题 第2题 第11题
第3题
第4题
第5题
第6题
第7题
第8题
第9题
第10题
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真题分类8 对数与对数函数
高考·数学
Ⅰ.对数函数图象过定点问题 Ⅱ.对数函数图象的辨析
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真题分类8 对数与对数函数
高考·数学
6．(2023·北京，11，5
分)已知函数
f(x)＝4x＋log2x，则
1 f(2
)＝____1____．
答案：1
函数
f(x)＝4x＋log2x，所以
1 f(2
1 )＝42
＋log212
＝2－1＝1.
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真题分类8 对数与对数函数
第8页
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真题分类8 对数与对数函数
高考·数学
5．(2017·北京，8，5 分)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而 可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 1080.则下列各数中与MN 最接近的是(参考数据： lg3≈0.48)( )
2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第6讲对数与对数函数pptx课件
1 (2)log53＋log53＝___0___；
(3)lg
5 2＋2lg
2－12－1＝___－__1___；
(4)(log29)·(log34)＝__4____.
2 [解析] (1)log2 2 ＝
1 ＝－2.
1 (2)log53＋log53＝log51＝0.
(3)lg
5 2＋2lg
2－12－1＝lg
5．(必修1P140T4改编)若b>a>1，则函数y＝loga(x＋b)的图象不经过
(D )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] 函数y＝loga(x＋b)的图象是由函数y＝logax的图象向左平移b
个单位长度得到，结合对数函数y＝logax的图象即可求解．∵b>a>1，∴
函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，图象过第一、四象限，又∵函数y
(3)对数的换底公式
logaN logbN＝____lo_g_a_b____(a，b 均大于零且不等于 1，N>0)． (4)对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝__l_o_g_aM__＋__l_o_g_a_N___； ②logaMN ＝_l_o_g_a_M_－__l_o_g_a_N__； ③logaMn＝_n__lo_g_a_M__(n∈R)．
对数形式
特点
一般对数
底数为a(a>0，且a≠1)
常用对数
底数为___1_0____
自然对数
底数为___e___
记法 _____lo_g_a_N_____ _____l_g_N______ ______ln__N_____
高考数学总复习导学 第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ第5讲 对数与对数函数 理 新人教A版
第5讲 对数与对数函数【2013年高考会这样考】1．考查对数函数的定义域与值域． 2．考查对数函数的图象与性质的应用．3．考查以对数函数为载体的复合函数的有关性质． 4．考查对数函数与指数函数互为反函数的关系． 【复习指导】复习本讲首先要注意对数函数的定义域，这是研究对数函数性质．判断与对数函数相关的复合函数图象的重要依据，同时熟练把握对数函数的有关性质，特别注意底数对函数单调性的影响．基础梳理1．对数的概念 (1)对数的定义如果a x＝N (a ＞0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． (2)几种常见对数2.(1)对数的性质①a log a N ＝N ；②log a a N＝N (a ＞0且a ≠1)． (2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .(3)对数的运算法则如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M n＝n mlog a M . 3．对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．一种思想对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明． 两个防范解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围． 三个关键点画对数函数的图象应抓住三个关键点：(a,1)，(1,0)，⎝⎛⎭⎪⎫1a，－1. 四种方法对数值的大小比较方法(1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中间量(0或1)． (4)化同真数后利用图象比较．双基自测1．(2010·四川)2 log 510＋log 50.25＝( )．A ．0B ．1C ．2D ．4 解析 原式＝log 5100＋log 50.25＝log 525＝2. 答案 C2．(人教A 版教材习题改编)已知a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系是( )． A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b解析 将三个数都和中间量1相比较：0＜a ＝log 0.70.8＜1，b ＝log 1.10.9＜0，c ＝1.10.9＞1. 答案 C3．(2012·黄冈中学月考)函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为( )． A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析 设y ＝f (x )，t ＝3x＋1. 则y ＝log 2t ，t ＝3x＋1，x ∈R .由y ＝log 2t ，t >1知函数f (x )的值域为(0，＋∞)． 答案 A4．(2012·汕尾模拟)下列区间中，函数f (x )＝|ln(2－x )|在其上为增函数的是( )．A ．(－∞，1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32D ．[1,2)解析 法一 当2－x ≥1，即x ≤1时，f (x )＝|ln(2－x )|＝ln(2－x )，此时函数f (x )在(－∞，1]上单调递减．当0＜2－x ≤1，即1≤x ＜2时，f (x )＝|ln(2－x )|＝－ln(2－x )，此时函数f (x )在[1,2)上单调递增，故选D. 法二 f (x )＝|ln(2－x )|的图象如图所示．由图象可得，函数f (x )在区间[1,2)上为增函数，故选D. 答案 D5．若log a 23>1，则a 的取值范围是________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1考向一 对数式的化简与求值【例1】►求值：(1)log 89log 23；(2)(lg 5)2＋lg 50·lg 2；(3)12lg 3249－43lg 8＋lg 245. [审题视点] 运用对数运算法则及换底公式． 解 (1)原式＝log 2332log 23＝23.(2)原式＝(lg 5)2＋lg(10×5)lg 105＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)(1－lg 5)＝(lg 5)2＋1－(lg 5)2＝1. (3)法一 原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝12. 法二 原式＝lg 427－lg 4＋lg(75)＝lg 42×757×4＝lg 10＝12.对数源于指数，对数与指数互为逆运算，对数的运算可根据对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式进行．在解决对数的运算和与对数的相关问题时要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化． 【训练1】 (1)若2a ＝5b＝10，求1a ＋1b的值．(2)若x log 34＝1，求4x ＋4－x的值． 解 (1)由已知a ＝log 210，b ＝log 510， 则1a ＋1b＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.(2)由已知x ＝log 43，则4x ＋4－x＝4log 43＋4－log 43＝3＋13＝103.考向二 对数值的大小比较【例2】►已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )．A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c[审题视点] 利用函数单调性或插入中间值比较大小．解析 log 123＝－log 23＝－log 49，b ＝f (log 123)＝f (－log 49)＝f (log 49)，log 47＜log 49,0.2－0.6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－35＝5125＞532＝2＞log 49， 又f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f (x )在[0，＋∞)上是单调递减的， ∴f (0.2－0.6)＜f (log 123)＜f (log 47)，即c ＜b ＜a ，故选B.答案 B一般是同底问题利用单调性处理，不同底问题的处理，一般是利用中间值来比较大小，同指(同真)数问题有时也可借助指数函数、对数函数的图象来解决．【训练2】 (2010·全国)设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－12，则( )．A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a 解析 法一 a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln 2＝1log 2e ，而log 23＞log 2e ＞1，所以a ＜b ，c ＝5－12＝15，而5＞2＝log 24＞log 23，所以c ＜a ，综上c ＜a ＜b ，故选C.法二 a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln 2＝1log 2e ，1＜log 2e ＜log 23＜2，∴12＜1log 23＜1log 2e ＜1；c ＝5－12＝15＜14＝12，所以c ＜a ＜b ，故选C. 答案 C考向三 对数函数性质的应用【例3】►已知函数f (x )＝log a (2－ax )，是否存在实数a ，使函数f (x )在[0,1]上是关于x 的减函数，若存在，求a 的取值范围．[审题视点] a ＞0且a ≠1，问题等价于在[0,1]上恒有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞12－ax ＞0.解 ∵a ＞0，且a ≠1，∴u ＝2－ax 在[0,1]上是关于x 的减函数．又f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]上是关于x 的减函数，∴函数y ＝log a u 是关于u 的增函数，且对x ∈[0,1]时，u ＝2－ax 恒为正数．其充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞12－a ＞0，即1＜a ＜2.∴a 的取值范围是(1,2)．研究函数问题，首先考虑定义域，即定义域优先的原则．研究复合函数的单调性，一定要注意内层与外层的单调性问题．复合函数的单调性的法则是“同增异减”．本题的易错点为：易忽略2－ax ＞0在[0,1]上恒成立，即2－a ＞0.实质上是忽略了真数大于0的条件． 【训练3】 已知f (x )＝log 4(4x－1) (1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性；(3)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域．解 (1)由4x－1>0解得x >0， 因此f (x )的定义域为(0，＋∞)． (2)设0<x 1<x 2，则0<4x 1－1<4x 2－1，因此log 4(4x 1－1)<log 4(4x 2－1)，即f (x 1)<f (x 2)，f (x )在(0，＋∞)上递增．(3)f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上递增， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，f (2)＝log 415， 因此f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为[0，log 415]．难点突破4——与指数、对数函数求值问题有关的解题基本方法指数与对数函数问题，高考中除与导数有关的综合问题外，一般还出一道选择或填空题，考查其图象与性质，其中与求值或取值范围有关的问题是热点，难度虽然不大，但要注意分类讨论．一、与对数函数有关的求值问题【示例】► (2011·陕西)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2dt ，x≤0，若f(f(1))＝1，则a ＝________.二、与对数函数有关的解不等式问题【示例】► (2011·辽宁改编)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f(x)≤2的x 的取值范围是________．。
高考数学一轮复习 第二章 函数与基本初等函数I 2.5 对数与对数函数 理(2021年最新整理)
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第二章函数与基本初等函数I 2。
5 对数与对数函数理1．分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是mna＝n，a m (a〉0,m，n∈N*，且n〉1)．于是，在条件a〉0，m，n∈N＊,且n〉1下,根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿,我们规定mna ＝1mna（a>0,m，n∈N*，且n〉1)。
0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义．（2）有理数指数幂的运算性质:a r a s＝a r＋s,(a r）s＝a rs，(ab)r＝a r b r，其中a〉0，b〉0，r,s∈Q. 2．指数函数的图象与性质y＝a x a〉10<a〈1图象定义域(1）R值域(2）(0，＋∞）性质(3）过定点（0，1）（4）当x>0时，y>1；当x<0时,0〈y〈1（5)当x〉0时，0<y<1；当x〈0时，y>1(6）在(－∞,＋∞)上是增函数（7）在(－∞，＋∞）上是减函数【知识拓展】1．指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y＝a x(a>0，且a≠1）的图象，应抓住三个关键点：(1,a)，(0,1），(－1，错误!)．2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝a x，（2）y＝b x，(3)y＝c x,（4)y＝d x的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c >d >1>a 〉b 。
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【高考】数学总复习导学第二篇函数与基本初等函数Ⅰ第5讲对数与对数函数理新人教A 版【2013年高考会这样考】1．考查对数函数的定义域与值域． 2．考查对数函数的图象与性质的应用．3．考查以对数函数为载体的复合函数的有关性质． 4．考查对数函数与指数函数互为反函数的关系． 【复习指导】复习本讲首先要注意对数函数的定义域，这是研究对数函数性质．判断与对数函数相关的复合函数图象的重要依据，同时熟练把握对数函数的有关性质，特别注意底数对函数单调性的影响．基础梳理1．对数的概念 (1)对数的定义如果a x＝N (a ＞0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． (2)几种常见对数对数形式 特点记法 一般对数 底数为a (a ＞0且a ≠1)log a N 常用对数 底数为10 lg N 自然对数底数为eln_N2.(1)对数的性质①a log a N ＝N ；②log a a N＝N (a ＞0且a ≠1)． (2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .(3)对数的运算法则如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么①log a (MN )＝log a M＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log am M n＝n mlog a M . 3．对数函数的图象与性质a ＞1 0＜a ＜1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R 过点(1,0)当x ＞1时，y ＞0当0＜x＜1，y ＜0 当x ＞1时，y ＜0当0＜x ＜1时，y ＞0是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数4.反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．一种思想对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明． 两个防范解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围． 三个关键点画对数函数的图象应抓住三个关键点：(a,1)，(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1.四种方法对数值的大小比较方法(1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中间量(0或1)． (4)化同真数后利用图象比较．双基自测1．(2010·四川)2 log 510＋log 50.25＝( )．A ．0B ．1C ．2D ．4 解析 原式＝log 5100＋log 50.25＝log 525＝2. 答案 C2．(人教A 版教材习题改编)已知a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系是( )． A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b解析 将三个数都和中间量1相比较：0＜a ＝log 0.70.8＜1，b ＝log 1.10.9＜0，c ＝1.10.9＞1. 答案 C3．(2012·黄冈中学月考)函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为( )． A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析 设y ＝f (x )，t ＝3x＋1. 则y ＝log 2t ，t ＝3x＋1，x ∈R .由y ＝log 2t ，t >1知函数f (x )的值域为(0，＋∞)． 答案 A4．(2012·汕尾模拟)下列区间中，函数f (x )＝|ln(2－x )|在其上为增函数的是( )．A ．(－∞，1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32D ．[1,2)解析 法一 当2－x ≥1，即x ≤1时，f (x )＝|ln(2－x )|＝ln(2－x )，此时函数f (x )在(－∞，1]上单调递减．当0＜2－x ≤1，即1≤x ＜2时，f (x )＝|ln(2－x )|＝－ln(2－x )，此时函数f (x )在[1,2)上单调递增，故选D. 法二 f (x )＝|ln(2－x )|的图象如图所示．由图象可得，函数f (x )在区间[1,2)上为增函数，故选D.答案 D5．若log a 23>1，则a 的取值范围是________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1考向一 对数式的化简与求值【例1】►求值：(1)log 89log 23；(2)(lg 5)2＋lg 50·lg 2；(3)12lg 3249－43lg 8＋lg 245. [审题视点] 运用对数运算法则及换底公式． 解 (1)原式＝log 2332log 23＝23.(2)原式＝(lg 5)2＋lg(10×5)lg 105＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)(1－lg 5)＝(lg 5)2＋1－(lg 5)2＝1. (3)法一 原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝12. 法二 原式＝lg 427－lg 4＋lg(75)＝lg 42×757×4＝lg 10＝12.对数源于指数，对数与指数互为逆运算，对数的运算可根据对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式进行．在解决对数的运算和与对数的相关问题时要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化． 【训练1】 (1)若2a ＝5b＝10，求1a ＋1b的值．(2)若x log 34＝1，求4x ＋4－x的值． 解 (1)由已知a ＝log 210，b ＝log 510， 则1a ＋1b＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.(2)由已知x ＝log 43，则4x ＋4－x＝4log 43＋4－log 43＝3＋13＝103.考向二 对数值的大小比较【例2】►已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )．A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c[审题视点] 利用函数单调性或插入中间值比较大小．解析 log 123＝－log 23＝－log 49，b ＝f (log 123)＝f (－log 49)＝f (log 49)，log 47＜log 49,0.2－0.6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－35＝5125＞532＝2＞log 49， 又f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f (x )在[0，＋∞)上是单调递减的， ∴f (0.2－0.6)＜f (log 123)＜f (log 47)，即c ＜b ＜a ，故选B.答案 B一般是同底问题利用单调性处理，不同底问题的处理，一般是利用中间值来比较大小，同指(同真)数问题有时也可借助指数函数、对数函数的图象来解决．【训练2】 (2010·全国)设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－12，则( )．A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a 解析 法一 a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln 2＝1log 2e ，而log 23＞log 2e ＞1，所以a ＜b ，c ＝5－12＝15，而5＞2＝log 24＞log 23，所以c ＜a ，综上c ＜a ＜b ，故选C.法二 a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln 2＝1log 2e ，1＜log 2e ＜log 23＜2，∴12＜1log 23＜1log 2e ＜1；c ＝5－12＝15＜14＝12，所以c ＜a ＜b ，故选C. 答案 C考向三 对数函数性质的应用【例3】►已知函数f (x )＝log a (2－ax )，是否存在实数a ，使函数f (x )在[0,1]上是关于x 的减函数，若存在，求a 的取值范围．[审题视点] a ＞0且a ≠1，问题等价于在[0,1]上恒有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞12－ax ＞0.解 ∵a ＞0，且a ≠1，∴u ＝2－ax 在[0,1]上是关于x 的减函数．又f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]上是关于x 的减函数，∴函数y ＝log a u 是关于u 的增函数，且对x ∈[0,1]时，u ＝2－ax 恒为正数．其充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞12－a ＞0，即1＜a ＜2.∴a 的取值范围是(1,2)．研究函数问题，首先考虑定义域，即定义域优先的原则．研究复合函数的单调性，一定要注意内层与外层的单调性问题．复合函数的单调性的法则是“同增异减”．本题的易错点为：易忽略2－ax ＞0在[0,1]上恒成立，即2－a ＞0.实质上是忽略了真数大于0的条件． 【训练3】 已知f (x )＝log 4(4x－1) (1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性；(3)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域．解 (1)由4x－1>0解得x >0， 因此f (x )的定义域为(0，＋∞)． (2)设0<x 1<x 2，则0<4x 1－1<4x 2－1，因此log 4(4x 1－1)<log 4(4x 2－1)，即f (x 1)<f (x 2)，f (x )在(0，＋∞)上递增．(3)f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上递增， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，f (2)＝log 415， 因此f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为[0，log 415]．难点突破4——与指数、对数函数求值问题有关的解题基本方法指数与对数函数问题，高考中除与导数有关的综合问题外，一般还出一道选择或填空题，考查其图象与性质，其中与求值或取值范围有关的问题是热点，难度虽然不大，但要注意分类讨论．一、与对数函数有关的求值问题【示例】► (2011·陕西)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2dt ，x≤0，若f(f(1))＝1，则a ＝________.二、与对数函数有关的解不等式问题【示例】► (2011·辽宁改编)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f(x)≤2的x 的取值范围是________．。