安徽省安庆九中2017-2018学年高三下学期第五次月考数学试卷(理科) Word版含解析

安徽省安庆九中2017-2018学年高三下学期第五次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若复数z满足3﹣i=（z+1）i，则复数z的共轭复数的虚部为（）A．3B．3i C．﹣3 D．﹣3i2．已知直线l1：ax+（a+1）y+1=0，l2：x+ay+2=0，则“a=﹣2”是“l1⊥l2”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．πB．C．D．4．阅读如下程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．S＜8？B．S＜12？C．F1D．F25．已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7B．5C．﹣5 D．﹣76．已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2B．1C．D．7．某校团委组织“共圆中国梦”知识演讲比赛活动，现有4名选手参加最后决赛，若每位选手都可以从4个备选题目中任选出一个进行演讲，则恰有一个题目没有被这4位选手选中的情况有（） A ． 36种 B ． 72种 C ． 144种 D ．288种8．若从区间（0，e ）内随机取两个数，则这两个数之积不小于e 的概率为（）A ．B ．C ．D ．9．定义在R 上的函数f （x ）对任意x 1、x 2（x 1≠x 2）都有＜0，且函数y=f （x ﹣1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s ，t 满足不等式f （s 2﹣2s ）≤﹣f （2t ﹣t 2），则当1≤s ≤4时，的取值范围是（） A ． [﹣3，﹣） B ． [﹣3，﹣]C ． [﹣5，﹣）D ．[﹣5，﹣]10．已知平面向量满足：，若，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．（1+x+x 2）（x ﹣）6的展开式中的常数项为．12．以平面直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线（φ为参数，φ∈R ）上的点到曲线ρcos θ+ρsin θ=4（ρ，θ∈R ）的最短距离是．13．设函数f （x ）=3sin （2x+）+1，将y=f （x ）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，使得到的图象关于y 对称，则φ的最小值为．14．设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使，O 为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．15．如图，四面体OABC中，OA，OB，OC两两垂直，且OA=OB=OC=1，给出下列：①存在点D（点O除外），使得四面体DABC仅有3个面是直角三角形；②存在点D，使得四面体DOBC的4个面都是直角三角形；③存在唯一的点D，使得四面体DABC是正棱锥（底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心，这样的棱锥叫做正棱锥）；④存在唯一的点D，使得四面体DABC与四面体OABC的体积相等；⑤存在无数个点D，使得AD与BC垂直且相等．其中正确的序号是．（把你认为正确的序号都填上）三、解答题（本题包括6小题，共75分．请把解题过程和正确答案写在答题卷上）．16．三角形ABC中，已知sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C，其中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求的取值范围．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=，E是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：PE⊥CD；（Ⅱ）求PC与平面PDE所成角的正弦值．18．某电视台举办的闯关节目共有五关，只有通过五关才能获得奖金，规定前三关若有失败即结束，后两关若有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯的机会．已知某人前三关每关通过的概率都是，后两关每关通过的概率都是．（1）求该人获得奖金的概率；（2）设该人通过的关数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．19．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点P（1，），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同两点M，N，记△F1MN的内切圆的面积为S，求当S取最大值时直线l的方程，并求出最大值．20．若数列{a n}的前n项和S n是（1+x）n二项展开式中各项系数的和（n=1，2，3，…）．（1）求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=﹣1，b n+1=b n+（2n﹣1），且，求数列{c n}的通项及其前n项和T n．（3）求证：T n•T n+2＜T n+12．21．设函数f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣bx，其中a和b是实数，曲线y=f（x）恒与x轴相切于坐标原点（1）求常数b的值（2）当0≤x≤1时，关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围（3）求证：对于任意的正整数n，不等式（1+）n．安徽省安庆九中2015届高三下学期第五次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若复数z满足3﹣i=（z+1）i，则复数z的共轭复数的虚部为（）A．3B．3i C．﹣3 D．﹣3i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的四则运算进行化简即可．解答：解：∵3﹣i=（z+1）i，∴z+1===﹣1﹣3i，则z=﹣2﹣3i，则复数z的共轭复数=﹣2+3i，则对应的虚部为3，故选：A点评：本题主要考查复数的基本运算，比较基础．2．已知直线l1：ax+（a+1）y+1=0，l2：x+ay+2=0，则“a=﹣2”是“l1⊥l2”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：利用a=﹣2判断两条直线是否垂直，然后利用两条在的垂直求出a是的值，利用充要条件判断即可．解答：解：因为直线l1：ax+（a+1）y+1=0，l2：x+ay+2=0，当“a=﹣2”时，直线l1：﹣2x﹣y+1=0，l2：x﹣2y+2=0，满足k1•k2=﹣1，∴“l1⊥l2”．如果l1⊥l2，所以a•1+（a+1）a=0，解答a=﹣2或a=0，所以直线l1：ax+（a+1）y+1=0，l2：x+ay+2=0，则“a=﹣2”是“l1⊥l2”充分不必要条件．故选A．点评：本题考查两条直线的位置关系，充要条件的判断方法的应用，考查计算能力．3．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．πB．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，代入锥体体积公式，可得答案．解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，其底面面积S==，高h=1，故半圆锥的体积V==，故选：D点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．4．阅读如下程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．S＜8？B．S＜12？C．F1D．F2考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由框图给出的赋值，先执行一次运算i=i+1，然后判断得到的i的奇偶性，是奇数执行S=S+2*i，是偶数执行S=S+i，然后判断S的值是否满足判断框中的条件，满足继续从i=i+1执行，不满足跳出循环，输出i的值．解答：解：框图首先给变量S和i赋值S=0，i=1，执行i=i+1=2，判断2是奇数不成立，执行S=2；判断框内条件成立，执行i=2+1=3，判断3是奇数成立，执行S=2×3+2=8；判断框内条件成立，执行i=3+1=4，判断4是奇数不成立，执行S=8+4=12；此时在判断时判断框中的条件应该不成立，输出i=4．而此时的S的值是12，故判断框中的条件应S＜12．若是S＜8，输出的i值等于3，与题意不符．故选：B．点评：本题考查了程序框图，考查了循环结构，内含条件结构，整体属于当型循环，解答此题的关键是思路清晰，分清路径，属基础题．5．已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7B．5C．﹣5 D．﹣7考点：等比数列的性质；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可解答：解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7故选D点评：本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力．6．已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2B．1C．D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定a的值即可．解答：解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．即2x+y=1，由，解得，即C（1，﹣1），∵点C也在直线y=a（x﹣3）上，∴﹣1=﹣2a，解得a=．故选：C．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．7．某校团委组织“共圆中国梦”知识演讲比赛活动，现有4名选手参加最后决赛，若每位选手都可以从4个备选题目中任选出一个进行演讲，则恰有一个题目没有被这4位选手选中的情况有（）A．36种B．72种C．144种D．288种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：应用题；排列组合．分析：利用间接法，先确定4个选手无遗漏的选择，再去掉恰好2、3、4道题未被选的情况，即可得出结论．解答：解：由题意，每个选手都有4种选择，所以4个选手无遗漏的选择是44种，其中恰好2道题未被选的有（+）=84、恰好3道未被选（四人选了同一道题，有4种）、恰好0道题未被选的（四道题都被选，有=24种）．故共有256﹣84﹣4﹣24=144种．故选：C．点评：本题考查计数原理的应用，考查间接法，解题的关键是去掉恰好2、3、4道题未被选的情况，属于中档题．8．若从区间（0，e）内随机取两个数，则这两个数之积不小于e的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：先作出图象，再利用图形求概率，由题意可设两个数为x，y，则有所有的基本事件满足，根据几何概型可求其概率．解答：解：解：由题意可设两个数为x，y，则所有的基本事件满足，如图．总的区域是一个边长为e的正方形，它的面积是e2，满足两个数之积不小于e的区域的面积是e（e﹣1）﹣=e2﹣2e，∴两个数之积不小于e的概率是：=．故选B．点评：本题考查几何概率模型，求解问题的关键是能将问题转化为几何概率模型求解，熟练掌握几何概率模型的特征利于本题的转化．9．定义在R上的函数f（x）对任意x1、x2（x1≠x2）都有＜0，且函数y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2），则当1≤s≤4时，的取值范围是（）A．[﹣3，﹣）B．[﹣3，﹣]C．[﹣5，﹣）D．[﹣5，﹣]考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知条件便可得到f（x）在R上是减函数，且是奇函数，所以由不等式f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2）便得到，s2﹣2s≥t2﹣2t，将其整理成（s﹣t）（s+t﹣2）≥0，画出不等式组所表示的平面区域．设，所以得到t=，通过图形求关于s的一次函数的斜率范围即可得到z的范围，从而求出的取值范围．解答：解：由已知条件知f（x）在R上单调递减，且关于原点对称；∴由f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2）得：s2﹣2s≥t2﹣2t；∴（s﹣t）（s+t﹣2）≥0；以s为横坐标，t为纵坐标建立平面直角坐标系；不等式组所表示的平面区域，如图所示：即△ABC及其内部，C（4，﹣2）；设，整理成：；；∴，解得：；∴的取值范围是[]．故选：D．点评：考查减函数的定义，图象的平移，奇函数的定义，以及二元一次不等式组表示平面区域，线性规划的概念，及其应用，过原点的一次函数的斜率的求解．10．已知平面向量满足：，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件以线段AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，P点和M点关于原点对称，点Q在y轴上，从而设出P，M，A，B，Q的坐标：P（x，y），M（﹣x，﹣y），A（a，0），B（﹣a，0），Q（0，﹣），从而根据|PO|=|a|，便得到，根据两点间距离公式从而求出的范围，从而得出||范围．解答：解：如图，以线段AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系；=2，∴Q点在y轴上；设P（x，y），M（﹣x，﹣y），A（a，0），Q（0，）；△PAB为Rt△；∴|PO|=|a|，又0≤；∴；∴；=；∴；∴；∴的取值范围为．故选：C．点评：考查通过建立平面直角坐标系解决向量问题、几何问题的方法，中垂线上的点到线段两端的距离相等，关于原点对称的点的坐标的关系，以及两点间距离公式．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（1+x+x2）（x﹣）6的展开式中的常数项为﹣5．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：根据题意，写出（x﹣）6的展开式中的通项为T r+1，令x的指数为0，﹣1，﹣2可得r的值，由项数与r的关系，可得答案．解答：解：（x﹣）6的展开式中的通项为T r+1 =•（﹣1）r•x6﹣2r，令6﹣2r=0，求得r=3，令6﹣2r=﹣1，无解，令6﹣2r=﹣2，求得r=4，故（1+x+x2）（x﹣）6的展开式中的常数项为﹣20+15=﹣5，故答案为：﹣5．点评：本题考查等价转化的能力、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特殊项问题，属于中档题．12．以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线（φ为参数，φ∈R）上的点到曲线ρcosθ+ρsinθ=4（ρ，θ∈R）的最短距离是2﹣．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：将参数方程化为普通方程，可知两曲线分别为圆与直线，则圆C1上的点到直线C2的最短距离是圆心到直线的距离减去半径，即可得到答案．解答：解：将曲线C1（φ为参数，φ∈R）化为普通方程x2+y2=7，将曲线C2ρcosθ+ρsinθ=4（ρ，θ∈R）化为普通方程x+y=4，∴圆C1上的点到直线C2的最短距离是圆心到直线的距离减去半径，即要求的最短距离=﹣=2﹣．故答案为：2﹣．点评：本题考查了以参数方程形式表示的曲线的之间的最短距离，可以转化为普通方程表示的曲线之间的最短距离．13．设函数f（x）=3sin（2x+）+1，将y=f（x）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，使得到的图象关于y对称，则φ的最小值为．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的图象关系求出函数的解析式，结合函数的对称性进行求解即可．解答：解：将将y=f（x）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位得到y=3sin[2（x﹣φ）+]+1=3sin （2x+﹣2φ）+1，若得到的图象关于y轴对称，则﹣2φ=+kπ，k∈Z．即φ=﹣﹣，k∈Z．故当k=﹣1时，φ=﹣+=，故答案为：．点评：本题主要考查三角函数对称性的应用，根据三角函数平移关系求出函数的解析式是解决本题的关键，属于基本知识的考查．14．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：取PF2的中点A，由，可得，由OA是△PF1F2的中位线，得到PF1⊥PF2，由双曲线的定义求出|PF1|和|PF2|的值，进而在△PF1F2中，由勾股定理可得结论．解答：解：取PF2的中点A，则∵，∴2•=0，∴，∵OA是△PF1F2的中位线，∴PF1⊥PF2，OA=PF1．由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，∵|PF1|=|PF2|，∴|PF2|=，|PF1|=．△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴（）2+（）2=4c2，∴e=．故答案为：．点评：本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，判断△PF1F2是直角三角形，是解题的关键．15．如图，四面体OABC中，OA，OB，OC两两垂直，且OA=OB=OC=1，给出下列：①存在点D（点O除外），使得四面体DABC仅有3个面是直角三角形；②存在点D，使得四面体DOBC的4个面都是直角三角形；③存在唯一的点D，使得四面体DABC是正棱锥（底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心，这样的棱锥叫做正棱锥）；④存在唯一的点D，使得四面体DABC与四面体OABC的体积相等；⑤存在无数个点D，使得AD与BC垂直且相等．其中正确的序号是①②⑤．（把你认为正确的序号都填上）考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；棱锥的结构特征．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：对于①，当四面体D﹣ABC与四面体O﹣ABC一样时，即四面体ABCD的三条棱DA、DB、DC两两垂直，此时点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形；②DC⊥平面OBC时，四面体DOBC的4个面都是直角三角形；③根据对称性，可知，在平面ABC的两侧均存在点D使得四面体D﹣ABC是正棱锥，；④使得D与平面ABC的距离等于O与平面ABC的距离的点有无数个；⑤取BD=AB，CD=AC，AD=BC，AD中点E，可得BE⊥AD，CE⊥AD，从而AD垂直面BEC，即存在无数个点D，使得AD与BC垂直且相等，由此可得结论．解答：解：对于①，∵四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，∴当四面体D ﹣ABC与四面体O﹣ABC一样时，即四面体ABCD的三条棱DA、DB、DC两两垂直，此时点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形，故①正确；②DC⊥平面OBC时，四面体DOBC的4个面都是直角三角形，故②正确；③根据对称性，可知，在平面ABC的两侧均存在点D使得四面体D﹣ABC是正棱锥，故③不正确；④使得D与平面ABC的距离等于O与平面ABC的距离的点有无数个，故④不正确；⑤取BD=AB，CD=AC，AD=BC，AD中点E，可得BE⊥AD，CE⊥AD，从而AD垂直面BEC，即存在无数个点D，使得AD与BC垂直且相等，故⑤正确；综上知，正确的序号为①②⑤故答案为：①②⑤点评：本题综合考查空间几何体的概念、线面关系，等价转化的思想，较难题．三、解答题（本题包括6小题，共75分．请把解题过程和正确答案写在答题卷上）．16．三角形ABC中，已知sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C，其中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求的取值范围．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosC，将得出关系式代入求出cosC的值，确定出C的度数；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理化简可得：=，结合A的范围，可得＜sin（A）＜1，即可得解．解答：解：（Ⅰ）由sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C，利用正弦定理化简得：a2+b2﹣c2=﹣ab，∴cosC===﹣，即C=．（Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得：B=，∴由正弦定理可得：====，∵0，A＜，＜sin（A）＜1，∴＜＜，从而解得：∈（1，）．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，解题时注意分析角的范围，属于基本知识的考查．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=，E是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：PE⊥CD；（Ⅱ）求PC与平面PDE所成角的正弦值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：计算题；证明题；空间角．分析：（I）根据线面垂直的性质和正三角形性质，得AD⊥EP且AB⊥EP，从而得到PE⊥平面ABCD．再结合线面垂直的性质定理，可得PE⊥CD；（II）以E为原点，EA、EP分别为y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．可得E、C、D、P各点的坐标，从而得到向量、、的坐标，利用垂直向量数量积等于0的方法，可得平面PDE一个法向量=（1，﹣2，0），最后根据直线与平面所成角的公式，可得PC 与平面PDE所成角的正弦值为．解答：解：（Ⅰ）∵AD⊥侧面PAB，PE⊂平面PAB，∴AD⊥EP．又∵△PAB是等边三角形，E是线段AB的中点，∴AB⊥EP．∵AD∩AB=A，∴PE⊥平面ABCD．∵CD⊂平面ABCD，∴PE⊥CD．…（Ⅱ）以E为原点，EA、EP分别为y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则E（0，0，0），C（1，﹣1，0），D（2，1，0），P（0，0，）．=（2，1，0），=（0，0，），=（1，﹣1，﹣）．设=（x，y，z）为平面PDE的一个法向量．由，令x=1，可得=（1，﹣2，0）．…设PC与平面PDE所成的角为θ，得=所以PC与平面PDE所成角的正弦值为．…点评：本题在四棱锥中，求证异面直线相垂直并且求直线与平面所成的角，着重考查了空间直线与直线之间的位置关系判断和用空间向量求直线与平面的夹角等知识，属于中档题．18．某电视台举办的闯关节目共有五关，只有通过五关才能获得奖金，规定前三关若有失败即结束，后两关若有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯的机会．已知某人前三关每关通过的概率都是，后两关每关通过的概率都是．（1）求该人获得奖金的概率；（2）设该人通过的关数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）设A n（n=1，2，3，4，5）表示该人通过第n关，则该人获得奖金的概率为P=P（A 1A2A3A4A5）+P（）+P（），即可求得结论；（2）确定变量的取值，求出相应的概率，即可求随机变量ξ的分布列及数学期望．解答：解：（1）设A n（n=1，2，3，4，5）表示该人通过第n关，则A n（n=1，2，3，4，5）相互独立，且P（A n）=（n=1，2，3），P（A4）=P（A5）=∴该人获得奖金的概率为P=P（A 1A2A3A4A5）+P（）+P（）=+2×=；（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，则P（ξ=0）=；P（ξ=1）==；P（ξ=2）==；P（ξ=3）==；P（ξ=4）==；P（ξ=5）=，ξ的分布列为ξ0 1 2 3 4 5P∴Eξ=1×+2×+3×+4×+5×=．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．19．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点P（1，），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同两点M，N，记△F1MN的内切圆的面积为S，求当S取最大值时直线l的方程，并求出最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），△F1MN的内切圆半径为r，运用等积法和韦达定理，弦长公式，结合基本不等式即可求得最大值．解答：解：（Ⅰ）由题意得+=1，=，a2=b2+c2，解得a=2，b=3，c=1，椭圆C的标准方程为+=1；（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），△F1MN的内切圆半径为r，则=（|MN|+|MF 1|+|NF1|）r=×8r=4r，所以要使S取最大值，只需最大，则=|F 1F2|•|y1﹣y2|=|y1﹣y2|，设直线l的方程为x=ty+1，将x=ty+1代入+=1；可得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0（*）∵△＞0恒成立，方程（*）恒有解，y1+y2=，y1y2=，=（y1+y2）2﹣4y1y2=，记m=（m≥1），==在[1，+∞）上递减，当m=1即t=0时，（）max=3，此时l：x=1，S max=π．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和三角形的面积公式，考查运算能力，属于中档题．20．若数列{a n}的前n项和S n是（1+x）n二项展开式中各项系数的和（n=1，2，3，…）．（1）求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=﹣1，b n+1=b n+（2n﹣1），且，求数列{c n}的通项及其前n项和T n．（3）求证：T n•T n+2＜T n+12．考点：数列与不等式的综合．专题：综合题；压轴题．分析：（1）能利用a n与S n之间的关系得到a n的通项公式．（2）会根据递推公式求出b n的通项公式，并根据b n与c n关系求通项公式及前n项和．（3）两式作差后根据其特点利用数学归纳法进行证明．解答：解：（1）由题意S n=2n，S n﹣1=2n﹣1（n≥2），两式相减得a n=2n﹣2n﹣1=2n﹣1（n≥2）．当n=1时，2×1﹣1=1≠S1=a1=2∴．（2）∵b n+1=b n+（2n﹣1），∴b2﹣b1=1，b3﹣b2=3，b4﹣b3=5，b n﹣b n﹣1=2n﹣3．以上各式相加得：b n﹣b1=1+3+5+…+（2n﹣3）=∵b1=﹣1，∴b n=n2﹣2n∴．∴T n=﹣2+0×21+1×22+2×23+3×24+…+（n﹣2）2n﹣1∴2T n=﹣4+0×22+1×23+2×24+…+（n﹣2）2n．∴﹣T n=2+22+23++2n﹣1﹣（n﹣2）2n=∴T n=﹣2n+2+（n﹣2）2n=2+（n﹣3）2n．∴T n=2+（n﹣3）2n．当n=1时T1=﹣2也适合上式．∴T n=2+（n﹣3）2n（3）证明：T n•T n+2﹣T n+12=[2+（n﹣3）•2n]•[2+（n﹣1）•2n+2]﹣[2+（n﹣2）•2n+1]2=4+（n﹣1）•2n+3+（n﹣3）•2n+1+（n﹣1）（n﹣3）•22n+2﹣[4+（n+2）（n+2）•22n+2+（n ﹣2）•2n+3]=2n+1[（n+1）﹣2n+1]∵2n+1＞0，∴需证明n+1＜2n+1，用数学归纳法证明如下：①当n=1时，1+1＜21+1成立．②假设n=k时，成立即k+1＜2k+1，那么，当n=k+1时，（k+1）+1＜2k+1+1＜2k+1+2k+1=2•2k+1=2（k+1）+1成立．由①、②可得，对于n∈N*都有n+1＜2n+1成立．∴2n+1[（n+1）﹣2n+1]＜0∴T n•T n+2＜T n+12点评：能利用a n与S n之间的关系得到a n的通项公式，会根据递推公式求出b n的通项公式，并根据b n与c n关系求c n的通项公式．也要会应用错位相减法求前n项和及会用数学归纳法证明．21．设函数f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣bx，其中a和b是实数，曲线y=f（x）恒与x轴相切于坐标原点（1）求常数b的值（2）当0≤x≤1时，关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围（3）求证：对于任意的正整数n，不等式（1+）n．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由条件可得f′（0）=0，即可得到b=1；（2）求出f（x）的导数，对a讨论，①当a≤﹣时，②当a≥0时，③当﹣＜a＜0时，求出单调区间，求得最小值，即可得到a的范围；（3）对要证的不等式等价变形，可得ln（1+）﹣＜0①，且（+1）ln（1+）﹣＞0②运用（2）中的结论，通过a的取值，即可得证．解答：（1）解：对f（x）求导得：f′（x）=﹣aln（1+x）+﹣b，根据条件知f′（0）=0，所以1﹣b=0，解得b=1；（2）解：由（1）得f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣x，0≤x≤1，f′（x）=﹣aln（1+x）+﹣1f″（x）=﹣．①当a≤﹣时，由于0≤x≤1，有f″（x）≥0，于是f′（x）在[0.1]上单调递增，从而f′（x）≥f′（0）=0，因此f（x）在[0.1]上单调递增，即f（x）≥f（0）而且仅有f（0）=0；②当a≥0时，由于0≤x≤1，有f″（x）＜0，于是f′（x）在[0.1]上单调递减，从而f′（x）≤f′（0）=0，因此f（x）在[0.1]上单调递减，即f（x）≤f（0）而且仅有f（0）=0；③当﹣＜a＜0时，令m=min{1，﹣}，当0≤x≤m时，f″（x）＜0，于是f′（x）在[0，m]上单调递减，从而f′（x）≤f′（0）=0，因此f（x）在[0，m]上单调递减，即f（x）≤f（0）而且仅有f（0）=0．综上可知，所求实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]．（3）证明：要证对于任意的正整数n，不等式（1+）n．即证对于任意的正整数n，nln（1+）＜1＜（n+1）ln（1+）．即证ln（1+）＜＜（+1）ln（1+）．即证ln（1+）﹣＜0①，且（+1）ln（1+）﹣＞0②对于①相当于（2）中a=0，有f（x）在[0，1]上单调递减，即f（x）≤f（0）而且仅有f（0）=0．取x=，有ln（1+）﹣＜0；对于②相当于（2）中a=﹣1，有∀x∈[0，1]，f（x）≥0而且仅有f（0）=0．取x=，有（+1）ln（1+）﹣＞0成立．则有对于任意的正整数n，不等式（1+）n．点评：本题考查导数的运用：求切线斜率和单调区间，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法和等价转化的思想方法是解题的关键．。